[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatória

[Pedro Júnior]

Eu pensei sim, mas e os casos do tipo ACCACAC. Esse caso não entra na conta
6! - 2* 3!* 3!.

Em qua., 13 de mar. de 2024 às 09:09, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Pense no oposto: de quantas maneiras as crianças e adultos podem se sentar
> separados uns dos outros.
>
> On Wed, Mar 13, 2024 at 8:39 AM Pedro Júnior 
> wrote:
>
>> Olá pessoal, bom dia.
>> Alguém poderia me ajudar nesse problema?
>>
>> Seis poltronas enfileiradas em um cinema e entram 3 adultos e 3 crianças.
>> De quantas maneiras podem sentar-se 2 crianças juntas e dois adultos juntos?
>>
>>
>> Desde já fico grato!
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



-- 

Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

Professor de Matemática

Geo João Pessoa – PB

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Combinatória

[Pedro Júnior]

Olá pessoal, bom dia.
Alguém poderia me ajudar nesse problema?

Seis poltronas enfileiradas em um cinema e entram 3 adultos e 3 crianças.
De quantas maneiras podem sentar-se 2 crianças juntas e dois adultos juntos?


Desde já fico grato!

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Divisibilidade, pedido de esclarecimento

[Pedro José]

Bom dia!
Mas provar que ocorrendo as duas está certo, não é o que foi pedido.
Pode ser que ocorrendo as duas esteja OK e também que haja pelo menos um
caso, que dá certo para a primeira assertiva e não ocorre para a segunda ou
pode ter pelo menos um caso que ocorra para a segunda e não ocorra para
primeira, já é suficiente para furar.
O certo é:
supor (i) e mostrar que ocorre(ii) e depois provar a volta, supor (ii) e
mostrar que ocorre (i).
(i) 9r + 5s | 17. 17s + 17r | 17 (iii) logo 4*(i)-2(iii) ==>  2r - 14s | 17
(iv).
Como 17s! 17 (v); (1v)+ (v) ==> 2r+3s | 17. Provada a ida. 17
2r +3s |17 (ii) . Mas 17r + 17 s | 17 (iii). (iii)- 4*(i) ==> 9r +5s | 17
Provada a volta.
logo 9r + 5s | 17 <=> 2r+ 3s | 17 C.Q.D.


Cordialmente,
PJMS

Em sáb., 2 de mar. de 2024 às 12:37, Marcone Borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Sendo r e s inteiros, mostre que 9r +5s divide 17 se, e somente se, 2r +
> 3s divide 17.
> De 9r + 5s ==0(mod 17), assim como de 2r + 3s ==0(mod17), segue que
> r==7s (mod17). Daí sai a resposta.
> Ou podemos mostrar o que foi pedido usando 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s)
> Mas, do ponto de vista de quem elaborou a questão, por que vincular essas
> expressões ao fato de que quando uma for um múltiplo de 17 a outra também
> será?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade e frações

[Pedro Júnior]

Desculpas, Cláudio. É isso mesmo, com "a" e "b" inteiros e positivos.

Obrigado pela brilhante solução.

Em ter, 27 de fev de 2024 01:41, Claudio Buffara 
escreveu:

> Deveria ser a e b inteiros positivos, não?
> Pois se forem inteiros sem restrição, então como 2022/2023 < 2022,5/2023,5
> < 2023/2024, bastaria tomar a sequência:
> a(n) = -20225*n  e  b(n) = -20235*n.
> Daí teríamos 2022/2023 < a(n)/b(n) < 2023/2024 e a sequência a(n)+b(n)
> seria ilimitada inferiormente.
>
> Assim, suponhamos que a e b sejam inteiros positivos.
> 2022/2023 < a/b < 2023/2024 implica que b > a+1, já que a sequência
> (n/(n+1)) é crescente.
> Além disso, usando razões e proporções, achamos que:
> 2022 < a/(b-a) < 2023 < b/(b-a) < 2024
> ==> para que a+b seja o menor possível, b-a deverá ser o menor possível.
> E o menor valor possível de b-a é 2.
> Usando frações equivalentes, dá pra escrever 4044/4046 < a/b < 4046/4048 e
> daí teríamos uma única fração a/b com b - a = 2.
> Seria a/b = 4045/4047 ==> a+b mínimo = 8092.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
>
> On Mon, Feb 26, 2024 at 10:12 PM Pedro Júnior 
> wrote:
>
>> Quem puder me ajudar, fixo grato.
>>
>> Sejam a e b dois números inteiros. Sabendo que 2022/2023 < a/b <
>> 2023/2024, determine o menos calor da soma a + b.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Desigualdade e frações

[Pedro Júnior]

Quem puder me ajudar, fixo grato.

Sejam a e b dois números inteiros. Sabendo que 2022/2023 < a/b < 2023/2024,
determine o menos calor da soma a + b.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] OBM 88 Problema 6.

[Pedro José]

Boa noite!
Cláudio, minha preocupação é com a solução em si da equação.
O problema original pede que demonstre que k é um quadrado perfeito. Todas
soluções que vi são baseadas nas relações de Girad ou Vieta's fórmula como
chamam lá fora.
Eu parti do conhecimento de que k tem de ser quadrado perfeito.
Consegui provar que tirando as soluções triviais a=0 ou b=0 ou a=b=1
b>=raiz(k)
Aí achei a primeira solução para a equação, sem perda de generalidade,
considerei a>b, a=b só ocorre para a=b=1 ou a=b=0. Lá fora acho que nem
consideram 0 natural. Seguem a risca como foi o postulado de Peano.
Então para cada k=w^2 com w>1
Tem um conjunto com uma sequência infinita de soluções.
Sk={si=(ai,bi,k): i natural e i>=1| s1=(w^3,w,w^2) e si+1=(ai*w^2-bi, ai,
w^2).
Consigo provar que todos termos da sequência são soluções.
Não consigo provar que se há uma solução (a*,b*, k*) então (a*,b*,k*) ou
(b*,a*, k*) pertence a sequência Sk para k=w^2.
Eu não acho a solução da equação, só do problema como foi pedido, mostrar
que k é um QP, sem no entanto achar todas as soluções

Cordialmente,
PJMS

Em sex., 29 de dez. de 2023 09:18, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Dá um Google em "IMO 88".
> Vai ter até vídeo com a solução deste problema.
>
> On Thu, Dec 28, 2023 at 4:35 PM Pedro José  wrote:
>
>> Boa tarde!
>> Com referência a esse problema criei uma conjectura, não consegui provar
>> com a pretensão de abranger todas as soluções da equação:
>>
>> (a^2+b^2)/(ab+1)= k, com a,b,k Naturais e a>1, b>1 e k>1 Fiz essa
>> restrição para retirar as soluções triviais.
>> E SPG considerei a>b, já que a=b só ocorre para a=b=1, que está fora pela
>> restrição acima e por ser uma equação simétrica em relação à a e b.
>> O problema era provar que k era um quadrado perfeito.
>> Gostaria de saber se alguém teria conhecimento da resolução em si do
>> problema, i.e., quais ternos (a*,b*,k*) são solução da equação.
>> Caso ninguém tenha resolvido a equação, ainda, gostaria como faço para
>> dar divulgação da minha conjectura, onde tenho a pretenção de ter
>> encontrado todas as soluções possíveis para a equação em epígrafe, no
>> Universo dos Naturais, com a restrição a>1, b>1 e K>1.
>>
>> Agradeço quem puder me orientar.
>>
>> Cordialmente,
>> PJMS
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] OBM 88 Problema 6.

[Pedro José]

Peço máxima vênia. Nem.reparata que fizera uma referência errada. OBM ao
invés de IMO. Interpretei erroneamente como uma censura. Só depois é que
reparei que falhará na referência.
Minhas escusas.

Cordialmente, PJMS.

Em qui., 28 de dez. de 2023 19:47, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

>
>
> Em qui, 28 de dez de 2023 19:01, Pedro José 
> escreveu:
>
>> E daí?
>>
>
> E daí e daí?
>
>
>> Em qui., 28 de dez. de 2023 18:42, Anderson Torres <
>> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Isso não é da OBM mas da IMO
>>>
>>> Em qui, 28 de dez de 2023 16:35, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
>>>> Boa tarde!
>>>> Com referência a esse problema criei uma conjectura, não consegui
>>>> provar com a pretensão de abranger todas as soluções da equação:
>>>>
>>>> (a^2+b^2)/(ab+1)= k, com a,b,k Naturais e a>1, b>1 e k>1 Fiz essa
>>>> restrição para retirar as soluções triviais.
>>>> E SPG considerei a>b, já que a=b só ocorre para a=b=1, que está fora
>>>> pela restrição acima e por ser uma equação simétrica em relação à a e b.
>>>> O problema era provar que k era um quadrado perfeito.
>>>> Gostaria de saber se alguém teria conhecimento da resolução em si do
>>>> problema, i.e., quais ternos (a*,b*,k*) são solução da equação.
>>>>
>>>
>>> Sim, o próprio método de resolução por descenso provê um método de
>>> listagem das soluções.
>>>
>>> Caso ninguém tenha resolvido a equação, ainda, gostaria como faço para
>>>> dar divulgação da minha conjectura, onde tenho a pretenção de ter
>>>> encontrado todas as soluções possíveis para a equação em epígrafe, no
>>>> Universo dos Naturais, com a restrição a>1, b>1 e K>1.
>>>>
>>>> Agradeço quem puder me orientar.
>>>>
>>>> Cordialmente,
>>>> PJMS
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] OBM 88 Problema 6.

[Pedro José]

E daí?

Em qui., 28 de dez. de 2023 18:42, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Isso não é da OBM mas da IMO
>
> Em qui, 28 de dez de 2023 16:35, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> Com referência a esse problema criei uma conjectura, não consegui provar
>> com a pretensão de abranger todas as soluções da equação:
>>
>> (a^2+b^2)/(ab+1)= k, com a,b,k Naturais e a>1, b>1 e k>1 Fiz essa
>> restrição para retirar as soluções triviais.
>> E SPG considerei a>b, já que a=b só ocorre para a=b=1, que está fora pela
>> restrição acima e por ser uma equação simétrica em relação à a e b.
>> O problema era provar que k era um quadrado perfeito.
>> Gostaria de saber se alguém teria conhecimento da resolução em si do
>> problema, i.e., quais ternos (a*,b*,k*) são solução da equação.
>>
>
> Sim, o próprio método de resolução por descenso provê um método de
> listagem das soluções.
>
> Caso ninguém tenha resolvido a equação, ainda, gostaria como faço para dar
>> divulgação da minha conjectura, onde tenho a pretenção de ter encontrado
>> todas as soluções possíveis para a equação em epígrafe, no Universo dos
>> Naturais, com a restrição a>1, b>1 e K>1.
>>
>> Agradeço quem puder me orientar.
>>
>> Cordialmente,
>> PJMS
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
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> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] OBM 88 Problema 6.

[Pedro José]

Boa tarde!
Com referência a esse problema criei uma conjectura, não consegui provar
com a pretensão de abranger todas as soluções da equação:

(a^2+b^2)/(ab+1)= k, com a,b,k Naturais e a>1, b>1 e k>1 Fiz essa restrição
para retirar as soluções triviais.
E SPG considerei a>b, já que a=b só ocorre para a=b=1, que está fora pela
restrição acima e por ser uma equação simétrica em relação à a e b.
O problema era provar que k era um quadrado perfeito.
Gostaria de saber se alguém teria conhecimento da resolução em si do
problema, i.e., quais ternos (a*,b*,k*) são solução da equação.
Caso ninguém tenha resolvido a equação, ainda, gostaria como faço para dar
divulgação da minha conjectura, onde tenho a pretenção de ter encontrado
todas as soluções possíveis para a equação em epígrafe, no Universo dos
Naturais, com a restrição a>1, b>1 e K>1.

Agradeço quem puder me orientar.

Cordialmente,
PJMS

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Conjuntos

[Pedro José]

Boa tarde!
Vou considerar 3 números mesmo.
3, 3, 3 é um número só repetido três  vezes.
Os três números obrigatoriamente estarão em P.A. Então usando a menor razão
r <>0;
temos r=1
{1,2,3} {2,3,4}...{2020, 2021, 2022}
{2021, 2022, 2023} temos 2021 conjuntos para r=1.
É fácil observar que para r=2 o último
conjunto será  {2019, 2021, 2023} assim sendo teremos 2019 conjuntos.
E a cada unidade que aumentamos em r diminuímos em 2 o número de conjuntos
Até que chegaremos a um conjunto apenas. {1, 1012, 2023}
Logo o número de conjuntos N será a soma de:
N= 1 + 3 +5+..2019+2021, que é uma PA de razão 2.
seja n o número de termos da PA
n=(2021-1)/2+1=1011
N=(1+2021)*1011/2=1.022.121

Cordialmente,
PJMS


Em ter., 8 de ago. de 2023 19:53, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> mande uma vez somente.
>
> Em ter, 8 de ago de 2023 12:33, Jamil Silva 
> escreveu:
>
>> Quantos conjuntos de três números inteiros positivos menores ou iguais a
>> 2023 contêm a média aritmética de seus elementos ?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Cone Sul

[Pedro Júnior]

Olá pessoal, muito bom dia.
Gostaria de saber se tem um site oficial da competição "Cone Sul de
Matemática"? Procurei o banco de provas pelo Google e não encontrei. Me
remete ao site da OBM e também não vi por lá.

Desde já fico grato.

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[obm-l] Re: [obm-l] Seria por distribuição binomial ou alguma recorrência

[joao pedro b menezes]

A probabilidade do estudante acertar um número n de questões é [ (1/5)^n *
(4/5)^(25-n) ] * n!*(25-n)!/25! . ( o primeiro segmento, separo por [
...], indica a probabilidade de ele acertar n questões em uma ordem
definida, enquanto a segunda parte se refere ao número de combinações
possíveis em que ele acerta n questões ) . Agora é somar e fatorar

On Tue, Feb 28, 2023, 11:52 Bianca Flores  wrote:

> Alguém poderia ajudar com essa questão: estou frustrada porque não consigo
> chegar ao gabarito E.
>
> Um estudante preenche, aleatoriamente e de forma independente cada uma das
> questões, um exame de múltipla escolha com 5 respostas possíveis (das quais
> apenas uma é correta) para cada uma de 25 questões. A probabilidade que ele
> acerte um número par de questões é dada por:
>
> (A)(1-(4/5)^25)/2
> (B)(1-(3/5)^25)/2
> (C)((3/5)^25)/2
> (D)(1+(4/5)^25)/2
> (E)(1+(3/5)^25)/2
>
> Tento de todas as formar usar a distribuição binomial, alguma recorrência,
> mas sem sucesso.
> Bianca
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Caracterização de Inteiros

[Pedro José]

Obrigado a você e ao Cláudio. Mas não sou criativo para inventar. Mas já vi
que terei que fazer uma homotetia, para as classes de equivalência para
representar só como um número e não como um par, creio eu.

Cordialmente,
PJMS

Em ter., 15 de nov. de 2022 às 16:00, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

>
>
> Em ter, 15 de nov de 2022 14:33, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> Para os |Naturais, temos os postulados de Peano.
>>
>> Para os Inteiros há alguma formalização?
>>
>
> invente uma!
>
> Pode ser por exemplo o conjunto de pares (p,q) tais que p-q é constante.
>
> ou melhor (p1,q1)=(p2,q2) se e só se p1+q2=p2+q1.
>
>
>> Acho pobre dizer que é necessário ter outros números devido ao problema
>> de fechamento nos naturais para a subtração que é fato e daí introduzir os
>> simétricos que são inteiros e ainda não foram caracterizados.
>>
>> No meu antigo ginásio aprendi que os Reais era a união dos conjuntos
>> disjuntos irracionais e racionais. Os racionais haviam sido bem definidos.
>> Aí questionei e o que são irracionais? resposta: são os Reais que não são
>> racionais, os que não podem ser escritos na forma p/q p e q inteiros e
>> q<>0. Mas me deram um tombo. Definiram os |Reais com base nos irracionais e
>> os irracionais com base nos |Reais. 3 +2i também não pode ser inscrito na
>> forma p/q. Só mais tarde no científico, é que meu professor definiu
>> irracional como um número que não podia ser escrito na forma p/q e cuja
>> representação decimal tinha uma infinidade de algarismos, sem haver uma
>> periodicidade.
>> Na época foi o maior nó que tive com a matemática. O mestre demonstrou
>> que os racionais eram densos, mas entre eles ainda cabiam os irracionais.
>> Não satisfeito mostrou que os racionais eram enumeráveis e por absurdo
>> mostrou que os |Reais não. Não satisfeito mostrou que a cardinalidade do
>> intervalo [0,1] era maior que a dos |Naturais. Não conseguia conceber que
>> havia um infinito maior que outro. Outra coisa que demorei a aceitar,mesmo
>> vendo a bijeção, era que os inteiros e naturais tinham a mesma
>> cardinalidade. Na minha cabeça, os inteiros têm todos os naturais ainda
>> sobram os negativos, como é igual?
>> Hoje, depois de velho, arrumei uma enteada, que muito me pergunta e estou
>> enrolado. Para dar um ar de superioridade, questionei se conhecia os
>> inteiros de Gaus, que 5 não era primo nos inteiros de Gaus. Estrepei-me, a
>> danada foi pesquisar e me questiona sobre o que não tenho um domínio pleno.
>> Em suma, como apresentei a ela os postulados de Peano para a
>> caracterização dos Naturais, ela me cobra por algo semelhante para os
>> Inteiros, e não sei responder.
>> HELP! SOCORRO! AU SECOURS! AYUDA! AIUTO! HILFE!
>> Cordialmente,
>> PJMS
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Caracterização de Inteiros

[Pedro José]

Boa tarde!
Para os |Naturais, temos os postulados de Peano.

Para os Inteiros há alguma formalização?

Acho pobre dizer que é necessário ter outros números devido ao problema de
fechamento nos naturais para a subtração que é fato e daí introduzir os
simétricos que são inteiros e ainda não foram caracterizados.

No meu antigo ginásio aprendi que os Reais era a união dos conjuntos
disjuntos irracionais e racionais. Os racionais haviam sido bem definidos.
Aí questionei e o que são irracionais? resposta: são os Reais que não são
racionais, os que não podem ser escritos na forma p/q p e q inteiros e
q<>0. Mas me deram um tombo. Definiram os |Reais com base nos irracionais e
os irracionais com base nos |Reais. 3 +2i também não pode ser inscrito na
forma p/q. Só mais tarde no científico, é que meu professor definiu
irracional como um número que não podia ser escrito na forma p/q e cuja
representação decimal tinha uma infinidade de algarismos, sem haver uma
periodicidade.
Na época foi o maior nó que tive com a matemática. O mestre demonstrou que
os racionais eram densos, mas entre eles ainda cabiam os irracionais. Não
satisfeito mostrou que os racionais eram enumeráveis e por absurdo mostrou
que os |Reais não. Não satisfeito mostrou que a cardinalidade do intervalo
[0,1] era maior que a dos |Naturais. Não conseguia conceber que havia um
infinito maior que outro. Outra coisa que demorei a aceitar,mesmo vendo a
bijeção, era que os inteiros e naturais tinham a mesma cardinalidade. Na
minha cabeça, os inteiros têm todos os naturais ainda sobram os negativos,
como é igual?
Hoje, depois de velho, arrumei uma enteada, que muito me pergunta e estou
enrolado. Para dar um ar de superioridade, questionei se conhecia os
inteiros de Gaus, que 5 não era primo nos inteiros de Gaus. Estrepei-me, a
danada foi pesquisar e me questiona sobre o que não tenho um domínio pleno.
Em suma, como apresentei a ela os postulados de Peano para a caracterização
dos Naturais, ela me cobra por algo semelhante para os Inteiros, e não sei
responder.
HELP! SOCORRO! AU SECOURS! AYUDA! AIUTO! HILFE!
Cordialmente,
PJMS

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de probabilidade

[Pedro José]

Eu na minha humilde opinião creio que a probabilidade exista quando pode
ser uma coisa ou outra. No caso já é definido o que os animais são. Então
já está tudo errado. A questão seria viável se dessem esses limitantes para
uma criança que pintaria os desenhos dos animais. Aí sim há probabilidade.

Em sáb., 18 de jun. de 2022 03:33, Rogerio Ponce da Silva <
abrlw...@gmail.com> escreveu:

> Ola' Vanderlei e pessoal da lista!
>
> Sem perda de generalidade, podemos imaginar que vamos fazer o seguinte:
>
> - uma pintura preta em um dos caes, escolhido aleatoriamente
>
> - uma pintura "malhada" em um dos animais, escolhido aleatoriamente entre
> os 7 animais nao pintados
>
> - duas pintura pretas, em dois animais, escolhidos aleatoriamente entre os
> 6 animais restantes,
>
> - quatro pinturas brancas nos 4 animais restantes
>
>
> Analisando a afirmacao 04, por exemplo, verificamos que, no segundo passo
> (pintura malhada) existem 4 opcoes de cachorro e 3 opcoes de gato.
>
> Assim, a probabilidade de haver um cachorro malhado (4/7) e' maior que a
> probabilidade de haver um gato malhado (3/7).
> Portanto, a afirmacao 04 esta' correta.
> (e o gabarito esta' errado).
>
> []'s
> Rogerio Ponce
>
>
>
> On Wed, Mar 16, 2022 at 8:08 AM Professor Vanderlei Nemitz <
> vanderma...@gmail.com> wrote:
>
>> Bom dia!
>> Na questão a seguir, do vestibular da UEM, penso que o espaço amostral
>> tem 105 elementos, pois um cachorro é preto (desconsideramos esse). Porém,
>> com esse pensamento, não consigo obter o gabarito, que diz que 02 e 16 são
>> corretas.
>> Alguém poderia ajudar?
>> Muito obrigado!
>>
>> *Em um pet shop há 3 gatos e 5 cães. Sabemos que 3 desses animais são
>> pretos, 4 são brancos e 1 é malhado. Além disso, pelo menos 1 cachorro é
>> preto. Assinale o que for correto. *
>> *01) A probabilidade de haver exatamente 1 cachorro preto é de 1/6. *
>> *02) A probabilidade de haver pelo menos 1 gato branco e pelo menos 2
>> cachorros brancos é de 2/3.*
>> *04) A probabilidade de haver um cachorro malhado é maior do que a
>> probabilidade de haver um gato malhado. *
>> *08) Se um animal for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser um
>> cachorro preto é de 1/8. *
>> *16) Se um animal for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser um
>> gato malhado é de 1/16.   *
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida e ajuda.

[Pedro José]

Grato a todos!
Já, já tenho de voltar ao trabalho.
Depois dou uma olhada.
Mas achei a demonstração usando casa de pombos, simples e prática.
Já que tem de haver um p/q com pp temos w=x+p/q,
onde x é a parte inteira de w/q, então pq e os restos só podem q-1, uma hora tem de
repetir e aí volta a sequência.
Mas saindo do trabalho dou uma olhada.
Mais uma vez, minha gratidão.

Cordialmente,
PJMS



Em sex., 8 de abr. de 2022 às 13:02, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> A volta é fácil também: ao calcular a representação decimal de a/b (a e b
> naturais), nas divisões sucessivas por b só existem b-1 restos possíveis
> (resto = 0 em alguma etapa implica numa decimal finita) e, portanto, após
> não mais do que b-1 divisões, um resto vai se repetir, marcando o início de
> um novo período na representação decimal.
>
> Agora, suponha que  X =
> 0,123456789112233445566778899111222333444555666777888999... seja racional.
> Então existirão n e p naturais tais que, a partir da n-ésima casa decimal
> (1/10^n), os algarismos de X vão se repetir numa sequência com período p.
>
> Mas, pela lei de formação de X, vai existir uma sequência de n+p+1
> algarismos iguais a 1, e esta sequência vai começar após a n-ésima casa
> decimal.
> Ou seja, a sequência vai estar incluída na parte periódica da
> representação decimal de X.
> Mas como o período é p, isso implica que a parte periódica teria que
> ser 111..11 (p algarismos 1) ==> contradição à lei de formação de X.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Fri, Apr 8, 2022 at 11:17 AM Pedro José  wrote:
>
>> Bom dia!
>> Posso concluir que um número representado por uma infinidade de
>> algarismos decimais é racional se e somente se tem um período de repetições
>> desses algarismos?
>> A ida é fácil se tiver o período é racional.
>> Já a volta não sei se é verdade e se for há como provar?
>>
>> Meu objetivo primário é saber se:
>> 0,123456789112233445566778899111222333444555666777888999... é racional.
>> As reticências se referem ao aumento de mais um algarismo repetido a cada
>> sequência, ou seja a primeira aparição de 1 será 1, a 2a 11 a 3a 111 e
>> assim sucessivamente, o mesmo vale para os demais algarismos.
>>
>> Alguém poderia me ajudar?
>> Grato,
>> PJMS
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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[obm-l] Re: Dúvida e ajuda.

[Pedro José]

Bom dia!
Última forma!
Achei uma demonstração simples e bela, usando casa dos pombos. Uma hora
haverá de ter repetição, portanto, tem que ter um grupamento de dígitos que
se repita caso seja uma série infinita de algarismos decimais.
Portanto o número é irracional.
Grato!
PJMS

Em sex., 8 de abr. de 2022 às 11:06, Pedro José 
escreveu:

> Bom dia!
> Posso concluir que um número representado por uma infinidade de algarismos
> decimais é racional se e somente se tem um período de repetições desses
> algarismos?
> A ida é fácil se tiver o período é racional.
> Já a volta não sei se é verdade e se for há como provar?
>
> Meu objetivo primário é saber se:
> 0,123456789112233445566778899111222333444555666777888999... é racional. As
> reticências se referem ao aumento de mais um algarismo repetido a cada
> sequência, ou seja a primeira aparição de 1 será 1, a 2a 11 a 3a 111 e
> assim sucessivamente, o mesmo vale para os demais algarismos.
>
> Alguém poderia me ajudar?
> Grato,
> PJMS
>

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Dúvida e ajuda.

[Pedro José]

Bom dia!
Posso concluir que um número representado por uma infinidade de algarismos
decimais é racional se e somente se tem um período de repetições desses
algarismos?
A ida é fácil se tiver o período é racional.
Já a volta não sei se é verdade e se for há como provar?

Meu objetivo primário é saber se:
0,123456789112233445566778899111222333444555666777888999... é racional. As
reticências se referem ao aumento de mais um algarismo repetido a cada
sequência, ou seja a primeira aparição de 1 será 1, a 2a 11 a 3a 111 e
assim sucessivamente, o mesmo vale para os demais algarismos.

Alguém poderia me ajudar?
Grato,
PJMS

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Invertíveis e Divisores de Zero

[Pedro Júnior]

Sim...

Em ter., 30 de nov. de 2021 às 15:21, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Z_4 x Z_5 é isomorfo a Z_20.
> Talvez isso ajude.
>
> On Tue, Nov 30, 2021 at 2:33 PM Pedro Júnior 
> wrote:
>
>> Quem puder ajudar...
>> Encontre todos os invertíveis e divisores de zero em Z_4 x Z_5.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
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> acredita-se estar livre de perigo.



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Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

Professor de Matemática

Geo João Pessoa – PB

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[obm-l] Invertíveis e Divisores de Zero

[Pedro Júnior]

Quem puder ajudar...
Encontre todos os invertíveis e divisores de zero em Z_4 x Z_5.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida

[Pedro José]

Boa tarde!

Grato, pela ajuda!
Não conheço.
Vou abrir um leque de estudo para tentar entender!
Valeu a curiosidade, com o que cheguei consegui matar o problema.
Genericamente, consegui que a solução levaria a uma expressão que era um
quadrado perfeito,esse era o objetivo. Só que me deu curiosidade, quanto a
resolução. Vou me enveredar no tema.

Cordialmente,
PJMS.

Em ter., 16 de nov. de 2021 às 17:29, Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Equação de Pell
>
> Em seg., 15 de nov. de 2021 13:36, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>>
>> Alguém saberia como resolver a seguinte equação:
>>
>> x^2-7y^2=1, x,y em Z?
>>
>> Fiz a-7b=1 e achei a= 8 +7k e b=1 +K
>> Logo fica fácil que para k=-1 funciona x^2=1 e y^2=0.
>> Também funciona para k=8 x^2=64 e y^2=9.
>> Mas não sei nem como achar mais soluções nem como provar que só são essas.
>> Alguém poderia me dar uma orientação?
>>
>> Cordialmente,
>> PJMS
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
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> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Dúvida

[Pedro José]

Boa tarde!

Alguém saberia como resolver a seguinte equação:

x^2-7y^2=1, x,y em Z?

Fiz a-7b=1 e achei a= 8 +7k e b=1 +K
Logo fica fácil que para k=-1 funciona x^2=1 e y^2=0.
Também funciona para k=8 x^2=64 e y^2=9.
Mas não sei nem como achar mais soluções nem como provar que só são essas.
Alguém poderia me dar uma orientação?

Cordialmente,
PJMS

-- 
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Re: [obm-l] OBMEP 2021 - Fase 2 - N3

[Pedro Júnior]

Obrigado, Ralph!

Em ter., 9 de nov. de 2021 às 13:21, Ralph Costa Teixeira 
escreveu:

> Suponho que (A) e (B) sejam fáceis -- basta seguir o algoritmo na mão e
> ver o que acontece.
>
> Para facilitar a conversa, vou pensar em "tempo" como o número de
> movimentos feitos... Ou seja, o tempo 0 corresponde à posição inicial; o
> tempo 1 seria logo após o primeiro movimento; etc.
>
> Para (C), pense assim: se o sistema tem alguma coroa no tempo (n), eu
> afirmo que vai ter alguma coroa no tempo (n+1). De fato:
> -- Se o ponteiro aponta para uma cara no tempo (n), o sistema não muda, e
> a tal coroa continua ali;
> -- Se o ponteiro aponta para uma coroa no tempo (n), ESTA coroa vai ficar
> presente no tempo (n+1).
> Portanto, sempre teremos coroas.
> (Talvez seja mais natural pensar assim: como que o sistema passaria de
> "ter coroas" para "não ter coroas"? Bom, para ele mudar o ponteiro tem que
> apontar para alguma coroa, e esta coroa NÃO MUDA. Ou seja,
> impossível passar de "ter coroas" para "não ter coroas".)
>
> Para (D), note que o sistema tem apenas (2^10) * 10 configurações
> possíveis (o número não interessa tanto, o que importa é que é FINITO; note
> que incluo ali as posições das moedas E a do ponteiro), enquanto o tempo
> avança sempre, então em algum momento alguma configuração vai ter que
> repetir.
> Mas pense como "desfazer" o último movimento realizado e você vai perceber
> que existe apenas um jeito de "voltar no tempo" (deixo para você descrever
> exatamente isso)! Ou seja, o sistema é reversível (olhando como ficou o
> sistema no tempo (n+1), você consegue deduzir como ele estava no tempo (n),
> revertendo o último movimento, de maneira única). Portanto, se o sistema
> tinha a mesma configuração nos tempos A e A+T, revertendo os movimentos,
> concluímos que vai ter a mesma configuração nos tempos 0 e T; ou seja, no
> tempo T tínhamos todas coroas como no tempo 0 (e o ponteiro apontando para
> A! Bônus!)
>
> Abraço, Ralph.
>
> On Tue, Nov 9, 2021 at 12:22 PM Pedro Júnior 
> wrote:
>
>> Olá pessoal, alguém aí conseguiu fazer essa questão da prova da OBMEP
>> 2021 N3, fase 2? Se puder, ajuda aí... Valeu!
>>
>> 6) há 10 moedas em um círculo nomeadas de A a J, inicialmente todas com a
>> face coroa virada para cima. No centro desse círculo, há um ponteiro que
>> inicialmente aponta para a moeda A. Esse ponteiro se movimenta, girando no
>> sentido anti-horário (A->B->C->...->J->A->...). Ao movimentar-se, há duas
>> opções:
>> •Quando o ponteiro termina o movimento apontando para uma moeda com a
>> face coroa virada para cima, a moeda seguinte é virada.
>> •Quando o ponteiro termina o movimento apontando para uma moeda com a
>> face cara virada para cima, nada acontece.
>>
>> Há exemplo, no primeiro movimento (de A para B), o ponteiro termina em B,
>> e assim, vira-se a moeda C, que fica com a face cara para cima.
>>
>> Letra A) o que acontece com as moedas C e D após o segundo movimento?
>>
>> Letra B) Depois do 12º movimento, quais moedas estão com a face coroa
>> virada para cima?
>>
>> Letra C) mostre que é impossível que, após certo número de movimentos,
>> todas as moedas fiquem com a face cara para cima.
>>
>> Letra D) Mostre que, após um certo número de movimentos, todas as moedas
>> voltarão a ficar com a face coroa para cima.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



-- 

Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

Professor de Matemática

Geo João Pessoa – PB

-- 
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[obm-l] OBMEP 2021 - Fase 2 - N3

[Pedro Júnior]

Olá pessoal, alguém aí conseguiu fazer essa questão da prova da OBMEP 2021
N3, fase 2? Se puder, ajuda aí... Valeu!

6) há 10 moedas em um círculo nomeadas de A a J, inicialmente todas com a
face coroa virada para cima. No centro desse círculo, há um ponteiro que
inicialmente aponta para a moeda A. Esse ponteiro se movimenta, girando no
sentido anti-horário (A->B->C->...->J->A->...). Ao movimentar-se, há duas
opções:
•Quando o ponteiro termina o movimento apontando para uma moeda com a face
coroa virada para cima, a moeda seguinte é virada.
•Quando o ponteiro termina o movimento apontando para uma moeda com a face
cara virada para cima, nada acontece.

Há exemplo, no primeiro movimento (de A para B), o ponteiro termina em B, e
assim, vira-se a moeda C, que fica com a face cara para cima.

Letra A) o que acontece com as moedas C e D após o segundo movimento?

Letra B) Depois do 12º movimento, quais moedas estão com a face coroa
virada para cima?

Letra C) mostre que é impossível que, após certo número de movimentos,
todas as moedas fiquem com a face cara para cima.

Letra D) Mostre que, após um certo número de movimentos, todas as moedas
voltarão a ficar com a face coroa para cima.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] cálculo

[Pedro Angelo]

A definição de integrabilidade Riemann passa por verificar que, para
partições P suficientemente finas, a soma superior S(f;P) é parecida
com a soma inferior s(f;P).

Faça o que sempre deve ser feito nesse tipo de problema: calcule
exemplos concretos. Escolha partições quaisquer (pequenas, pois vc
quer conseguir fazer as contas na mão), e calcule as somas inferior e
superior para cada partição escolhida. O que acontece à medida que as
partições vão ficando cada vez mais finas?

On Wed, Sep 15, 2021 at 12:11 AM Israel Meireles Chrisostomo
 wrote:
>
> Olá pessoal. eu estou me esforçando para entender esse exemplo do guidorizzi, 
> alguém poderia me explicar?Aqui vai:
> Seja f uma função, tal que se x é racional então f igual a 1, se x é 
> irracional então f igual a zero. Mostre que a função não é riemann integrável.
>
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda numa questão da OBM 1987

[joao pedro b menezes]

Eu pensaria em trabalhar com os pontos notáveis, talvez o baricentro, e
argumentar que em qualquer outro ponto é possível realizar um corte que o
prejudique mais. Isso é só uma teoria e, portanto, é possível que esteja
totalmente errada.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] f(x + y) = f(x) + f(y)

[joao pedro b menezes]

Eu estava fazendo um exercício de equações funcionais e me deparei com essa
expressão. Não sei o que aconteceu, mas tive uma crise existencial e decidi
provar que isso implica f(x) = ax + b( ou pelo menos acho que implica).
Essa prova estaria certa?:
(obs: a função é definida nos racionais)
f(x + 0) = f(x) + f(0) => f(0) = 0.
f(x + h) = f(x) + f(h) ->
(f(x + h) - f(x))/h = f(h)/h = (f(h) - f(0))/h
agora basta fazer lim h -> 0 e obtemos
f’(x) = f’(0) . Mas f’(0) é uma constante, logo f(x) = ax + b
(obs: tenho quase certeza que ela seria válida para os reais, porém como a
função é limitada aos racionais, estou em dúvida)

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Magnitude

[Pedro Lazéra]

Boa noite, Maikel.

A quantidade de algarismos de um número x (na base 10) é "1 + piso de
log(x)", em que "log" é a função logaritmo na base 10. Você pode verificar
isso assim: 10^n, para n inteiro >= 0, é o menor número do mundo com n+1
algarismos. Além disso, log(10^n) = n. Por fim, log é uma função crescente.

Usando que log(a*b) = log(a) + log(b), uma solução computeira é fazer um
programa que calcula log(i), para i inteiro entre 1 e 100, e soma esses
valores a uma variável s inicializada com o valor ZERO.

Uma solução computeira (provavelmente) errada é calcular x = 100! e depois
achar o log(x). Esse valor x não cabe nas estruturas de dados que a maioria
das linguagens usa para representar números.

Bom, a soma dá 157.97, conforme o Anderson Torres falou antes de mim. A
gente sabe que os computadores até erram (truncam) o valor exato de log(x),
mas o erro é bem pequeno e só estamos somando 100 aplicações da função log,
daí sabemos que esse 157.97 pode até estar errado, mas é por muito pouco
(menos do que 0,01, por exemplo).

Finalmente, 100! tem 1 + piso(157.97) = 158 algarismos.

Abraços,
Pedro

On Sun, Apr 11, 2021 at 12:29 AM Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> wrote:

> Em sáb., 3 de abr. de 2021 às 01:13, Maikel Andril Marcelino
>  escreveu:
> >
> > Quantos algarismos tem o número (100!) ?
>
> Em outras palavras, qual é o log(100!)/log(10). O Google me diz que
> isso é 157,97 - logo, 158 dígitos.
>
> >
> >
> > Atenciosamente,
> >
> > Maikel Andril Marcelino
> > Assistente de Aluno - Biblioteca - Ramal: 7616
> > Coordenadoria de Apoio Acadêmico - COAPAC/IFRN-SPP
> > Instituto Federal do Rio Grande do Norte
> > Campus São Paulo do Potengi
> >
> > +55 (84) 8851-3451
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
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>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] INFLAÇÂO MÁXIMA

[Pedro Júnior]

Sobre a gramática, verdade!
Sobre a Matemática, impecável.
Consegui ver onde eu estava errando.

Obrigado, professor.

Em sex, 23 de abr de 2021 14:24,  escreveu:

> Olá!
>
> Para começar, esta questão deveria ter sido anulada. “… não HAJAM perdas
> reais?” é um assassinato da nossa língua.
>
>
>
> Juros “reais” (JR), de 10%, significam juros acima da inflação (IF).
>
> No período de 1 ano, o ganho bruto de capital (GB) será: GB = 1.000
> (1+10%)(1+IF) - 1.000
>
> Descontando o imposto, o ganho líquido (GL) será: GL =  (1-40%)GB
>
> Condição de contorno: não “hão” (coerência com o linguajar da questão)
> perdas reais: 1.000(1+IF) = 1.000+GL = 1.000 + (1-40%)GB = 1.000 + (1-40%)(
> 1.000 (1+10%)(1+IF) - 1.000 )
>
> Daí: IF = 17,6470…%
>
>
>
> *Albert Bouskelá*
>
> bousk...@gmail.com
>
>
>
> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br  *Em nome de
> *Daniel Jelin
> *Enviada em:* sexta-feira, 23 de abril de 2021 12:30
> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Assunto:* [obm-l] Re: [obm-l] INFLAÇÂO MÁXIMA
>
>
>
> Curioso, pra mim deu muito perto, 17,6470...%
>
> Resolvi a seguinte inequação, com x = 1 + (inflação):
>
> 1.1*1000x - (1.1*1000x - 1000)*0.4>=1000x
> 1.1 x - 0.44 x + 0.4 >= x
> x<=0.4/0.34= 1.176470...
>
> Parece simples. O que tá escapando aqui?
>
>
>
> On Fri, Apr 23, 2021 at 11:23 AM Pedro Júnior 
> wrote:
>
> Olá pessoal, acabei me enrolando nesse probleminha da Olimpíada Brasileira
> de Economia. Será que alguém pode me ajudar? Vai junto o gabarito da
> competição, isso foi em 2020.
>
>
>
> *01)* Um título comprado por mil reais promete pagar juros reais de 10%
> a.a. A alíquota de imposto é de 40%. Qual a inflação máxima no período para
> que não hajam perdas reais?
>
> Resp.: 17,62%
>
>
>
> --
>
> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
>
> Professor de Matemática
>
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?s e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] INFLAÇÂO MÁXIMA

[Pedro Júnior]

Olá pessoal, acabei me enrolando nesse probleminha da Olimpíada Brasileira
de Economia. Será que alguém pode me ajudar? Vai junto o gabarito da
competição, isso foi em 2020.

*01)* Um título comprado por mil reais promete pagar juros reais de 10%
a.a. A alíquota de imposto é de 40%. Qual a inflação máxima no período para
que não hajam perdas reais?
Resp.: 17,62%

-- 

Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

Professor de Matemática

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Artigo

[Pedro Júnior]

Boa discussão!

Em ter, 30 de mar de 2021 17:16, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Obrigado
>
> Em ter., 30 de mar. de 2021 às 16:20, Daniel Jelin 
> escreveu:
>
>> não sei ao certo, meu caro, mas, falando como professor (e leitor),
>> suponho que não. e não é tanto por ser muito ou pouco avançado. receio que
>> o assunto fuja às preocupações do ensino básico - mesmo que a sua prova
>> seja elementar. repara, nada contra provas matemáticas na escola, ao
>> contrário. acho importante mostrar para os alunos de onde vêm os teoremas,
>> claro, mas: apenas das propriedades que eles de fato usam; e apenas as
>> demonstrações que eles têm condição de acompanhar do princípio ao fim, sem
>> que isso se torne um fardo adicional. será o caso?
>>
>> claro, algumas provas podem interessar ao professor mesmo que ele não
>> tenha a intenção de levá-la a todos os alunos. a irracionalidade de pi,
>> talvez, pra ficar no mesmo campo. leria com gosto uma investigação sobre a
>> irracionalidade de pi, passo a passo, com as armas da matemática do ensino
>> médio. tem isso? sei lá eu. mas a transcendência de pi? que tipo de
>> questão, que problema (escolar) esbarra na transcendência de pi? uma
>> sugestão: se vc puder mostrar que o professor deveria, sim, se importar com
>> isso, que questões importantes passam por aí, opa, então beleza, aí fica
>> mto legal, aí tem tudo a ver.
>>
>> abs
>>
>> On Tue, Mar 30, 2021 at 2:14 PM Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Vcs acham que a revista RPM aceitaria uma prova para transcendência de
>>> pi, ou isso é algo avançado demais para revista?
>>>
>>> --
>>> Israel Meireles Chrisostomo
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Equações funcionais

[joao pedro b menezes]

Eu sei, temos f(-1)= 0, f(0) = 1, e f é bijetora. Após trabalhar a equação
que cheguei na expressão:
f( x + f(x) ) - f( f(x)) = x.  Queria saber se essa identidade, junto com a
do enunciado, é suficiente para provar a linearidade de f.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Equações funcionais

[joao pedro b menezes]

Foi da OBM 2006, nível 3,  3° fase:
“Determine todas as funções f: R -> R tais que
f( xf(y) + f(x) ) = 2f(x) + xy
para todos x,y reais”

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Equações funcionais

[joao pedro b menezes]

Obrigado pela resposta, mas ainda tenho umas dúvidas. Poderia dar um
exemplo de tal função ou explicar como construí-la? E se f fosse somente
injetora, mudaria alguma coisa?

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[obm-l] Re: Equações funcionais

[joao pedro b menezes]

Obs: f é bijetora

>

-- 
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[obm-l] Equações funcionais

[joao pedro b menezes]

Olá, bom dia. Eu estava fazendo um exercício de equações funcionais e
acabei concluindo que :
f( f(x) + x ) - f( f( x) ) = x para todo x real. Somente isso é suficiente
para provar que f é linear?

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Indução

[joao pedro b menezes]

obs: só agora fui ver o título :) , se era necessário fazer especialmente
por indução, por favor desconsidere a minha resposta.

On Fri, Feb 5, 2021 at 7:14 AM joao pedro b menezes <
joaopedrobmene...@gmail.com> wrote:

> Suponha que d | (a^(2)^n ) + 1. Então a^2^n = -1 (mod d). Pegue um primo
> tal que p| d, então a^2^n = -1 (mod p). Mas temos: a^2^(n+1) = 1 (mod p).
> Logo
>  ord(p)a | 2^(n+1), mas ord(p)a não divide 2^n, logo ord(p)a = 2^(n + 1).
> Isso é um absurdo, pois ord(p)a < p <= d <= 2^(n + 1).
> obs: tenho quase certeza que já perguntaram a mesma coisa nessa lista.
> Portanto acho que vale a pena ir procurar a resposta anterior também :)
>
> On Thu, Feb 4, 2021 at 11:20 PM Heitor Gama Ribeiro 
> wrote:
>
>> Prove por indução que se 3<= d <= 2^(n+1), então d não divide
>> [a^(2)^(n) + 1] para todo inteiro positivo a.
>>
>>
>> Sent from my iPhone
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>

[obm-l] Re: [obm-l] Indução

[joao pedro b menezes]

Suponha que d | (a^(2)^n ) + 1. Então a^2^n = -1 (mod d). Pegue um primo
tal que p| d, então a^2^n = -1 (mod p). Mas temos: a^2^(n+1) = 1 (mod p).
Logo
 ord(p)a | 2^(n+1), mas ord(p)a não divide 2^n, logo ord(p)a = 2^(n + 1).
Isso é um absurdo, pois ord(p)a < p <= d <= 2^(n + 1).
obs: tenho quase certeza que já perguntaram a mesma coisa nessa lista.
Portanto acho que vale a pena ir procurar a resposta anterior também :)

On Thu, Feb 4, 2021 at 11:20 PM Heitor Gama Ribeiro 
wrote:

> Prove por indução que se 3<= d <= 2^(n+1), então d não divide
> [a^(2)^(n) + 1] para todo inteiro positivo a.
>
>
> Sent from my iPhone
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função parte inteira

[joao pedro b menezes]

Obrigado pela dica! Honestamente creio que existe um erro nesse problema.
Fazendo alguns casos na mão é possivel perceber que isso sempre resulta em
8n + 7. Essa é a prova:
"Provar que ( n^(1/3) + ( n + 2)^(1/3) )³  < 8n + 8. Abrindo a potência,
temos:
2n + 2 + 3 * ( (n² ( n + 2))^(1/3) + (n(n + 2)²)^(1/3)) < 8n + 8
  (n² ( n + 2))^(1/3) + (n(n + 2)²)^(1/3)   < 2n + 2
Porém temos que  (n² ( n + 2))^(1/3) < n + 2/3  , e  (n(n + 2)²)^(1/3) <
n + 4/3 ( eu testei elevando ambos os lados ao cubo deu certo) . Isso
confirma a inequação inicial.
Agora se 8n + 7 <  ( n^(1/3) + ( n + 2)^(1/3) )³  o exercício acaba. De
fato, trabalhando a expressão:
   (n² ( n + 2))^(1/3) + (n(n + 2)²)^(1/3)   > 2n + 5/3
Mas novamente, tem se que  (n² ( n + 2))^(1/3) > n + 1/2 e  (n(n +
2)²)^(1/3) > n + 7/6 para qualquer n > 1 ( no caso n =1 basta testar na
mão). E como 1/2 + 7/6 = 5/3 ,  tem se que ela é verdade, logo:
8n + 7 <  ( n^(1/3) + ( n + 2)^(1/3) )³  < 8n + 8 ==> [ ( n^(1/3) + ( n +
2)^(1/3) )³ ] = 8n + 7"
Eu estranhei bastante porque nunca tinha acontecido de um exercicio do POTI
estar errado.
obs: Se a minha solução estiver errada de alguma forma, adoraria saber!

On Wed, Feb 3, 2021 at 12:42 PM Ralph Costa Teixeira 
wrote:

> Sem tempo agora, mas olhando por alto eu aproximaria o que estah dentro do
> () por 2(n+1)^(1/3), o que levaria imediatamente a 8(n+1). Serah que a
> parte inteira daquela coisa eh 8(n+1)?
>
> Entao eu tentaria abrir os cubos, subtrair 8(n+1), e mostrar que o que
> sobra eh menor que 1.
>
> Serah que funciona?
>
> On Wed, Feb 3, 2021 at 10:03 AM joao pedro b menezes <
> joaopedrobmene...@gmail.com> wrote:
>
>> Olá, estava tentando fazer esta questão:
>>   Prove que [ ( n^(1/3) + (n + 2)^(1/3)  )³] é divisível por 8.
>> obs: não tinha a tecla de função parte inteira, por isso escolhi [ ]
>> Se alguém tiver alguma dica ou souber como resolver, ajudaria bastante.
>>
>

[obm-l] Função parte inteira

[joao pedro b menezes]

Olá, estava tentando fazer esta questão:
  Prove que [ ( n^(1/3) + (n + 2)^(1/3)  )³] é divisível por 8.
obs: não tinha a tecla de função parte inteira, por isso escolhi [ ]
Se alguém tiver alguma dica ou souber como resolver, ajudaria bastante.

Re: [obm-l] Limites

[joao pedro b menezes]

Olá, boa noite, obrigado pela resposta( e pela dica)! Quanto ao meu
conhecimento de cálculo, embora saiba um pouco, ele é limitado e portanto
não conhecia esse teorema. Já li sobre ele durante o dia e entendi sua
demonstração. Mais uma vez, obrigado aos dois!

Re: [obm-l] Limites

[Pedro Angelo]

Em geral, sempre que você não sabe o que fazer com uma potência (por
exemplo nesse caso em que tanto a base quanto o expoente dependem de
x), a dica é trocar a base B por e^(log(B)).

Trocando (1+x) por e^(log(1+x)), vai ficar:

e^( ln(1+x) / x )

Como a função f(u)=e^u é contínua, basta saber calcular o limite de:

ln(1+x) / x

quando x tende a infinito. Esse é mais fácil?

On Fri, Jan 29, 2021 at 10:26 PM joao pedro b menezes
 wrote:
>
> Olá a todos, boa noite, estou com um pouco de dificuldade em encontrar uma 
> prova para esse limite
> lim x-> infinito (1 + x)^(1/x)
> Creio que ele seja 1, mas não conheço nenhuma maneira de provar isso
> Se alguém tiver uma dica ou souber como provar, ajudaria bastante
> Já agradeço pela ajuda :)

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Limites

[joao pedro b menezes]

Olá a todos, boa noite, estou com um pouco de dificuldade em encontrar uma
prova para esse limite
lim x-> infinito (1 + x)^(1/x)
Creio que ele seja 1, mas não conheço nenhuma maneira de provar isso
Se alguém tiver uma dica ou souber como provar, ajudaria bastante
Já agradeço pela ajuda :)

[obm-l] Proxima OBM

[joao pedro b menezes]

Olá, bom dia. Meu nome é João Pedro Menezes. Eu contactei vocês à um tempo
atrás para saber quando seria liberada a lista de convidados para a OBM
2020 (que agora será em 2021), mas obtive uma resposta inconclusiva. se
puderem me ajudar, agradeceria muito.

João Pedro Menezes

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ângulos de um triângulo

[Pedro Henrique de Almeida Ursino]

Seja x a medida do ângulo DAC (logo DAB mede 48 -x). Por trig Ceva

sin x * sin 18 * sin 54 = sin (48-x) * sin 12 * sin 48.

Pode-se deduzir que sin 54 = (1+ sqrt(5))/4 e sin 18 = (sqrt(5)-1)/4. Logo,
sin 54 * sin 18 = 1/4. Assim, nossa equação fica

sin x / sin (48-x) = 4 * sin 12 * sin 48

usando Werner, temos que 2 *sin 12 * sin 48 = cos(48 -12) - cos (48 + 12) =
cos 36 - cos 60 = cos 36 - 1/2
Desse modo, nossa relação fica

sinx/ sin(48-x) = 2*cos 36 - 1 = 2*sin 18

Daí é muito trivial ver que 18 é solução. Esta solução é única pois f(x) =
sin x/ sin(48-x) é crescente para x entre 0 e 48 (graus).

Essa solução usa muitas relações trigonométricas não tão conhecidas
assim Essa foi uma das soluções dadas pelo prof. Sandro do Canal: A
hora do Bizu em seu último vídeo. Ele também dá uma solução sintética para
o problema. Enfim, vale a pena conferir.

On Fri, Dec 4, 2020 at 4:13 PM Armando Staib 
wrote:

> Não querendo polemizar, mas de acordo com o exercício, é, na minha
> opinião, impossível ser 30 o ângulo pedido  pq se fosse o triângulo DBC
> teria o lado oposto ao ângulo de 18 menor do que o lado oposto ao ângulo de
> 12.
>
> Se me enganei poderiam me mostrar, onde eu errei?
>
> Em sex., 4 de dez. de 2020 às 14:06, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Aliás, de posse da expressão para BAD e CAD, um exercício razoavelmente
>> fácil de programação (até em planilha), é descobrir para quais triângulos
>> isósceles com ângulos inteiros (em graus) e quais ângulos DBC e DCB
>> inteiros, BAD (e obviamente CAD) também são inteiros.
>>
>> Daí, um problema (não mais um exercício!) é descobrir o padrão por trás
>> destes triângulos especiais.
>>
>> On Fri, Dec 4, 2020 at 1:42 PM Claudio Buffara 
>> wrote:
>>
>>> Usando áreas - em particular, área(ABC) = (1/2)*AB*AC*sen(A) - você
>>> consegue, com alguma facilidade, expressar a tangente de DAC em termos de
>>> senos e cossenos dos ângulos dados.   Daí, é só calcular (com calculadora
>>> ou computador - eu uso Excel ou Wolfram Alpha).  E, de fato, AD divide BAC,
>>> que mede 48 graus, em dois ângulos: um medindo 30 e o outro 18 graus.
>>>
>>> O que não dá é - em 2020 - ficar manipulando aquelas fórmulas de
>>> prostaférese ou identidades trigonométricas obscuras envolvendo ângulos
>>> múltiplos de 3 graus. Isso é coisa do século 19...
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>> On Mon, Nov 30, 2020 at 7:28 PM Professor Vanderlei Nemitz <
>>> vanderma...@gmail.com> wrote:
>>>
 Boa noite!
 Alguém conhece uma saída para o seguinte problema?
 Muito obrigado!

 *Num triângulo isósceles ABC, AB = AC.*
 *Seja D um ponto interno tal que os ângulos DBC, DCB, DBA e DCA medem,
 respectivamente, 12°, 18°, 54° e 48°. *
 *Determine a medida do ângulo DAC.*


 
  Livre
 de vírus. www.avast.com
 .

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>>>

[obm-l] Teoria dos Números

[Pedro Henrique de Almeida Ursino]

A problema que segue é o problema 8 da primeira lista de preparação para a
Cone Sul/OMCPLP do ano de 2020. Segue o problema:


Para cada inteiro positivo n, defina
  S_n = 1!+2!+...+n!
Prove que existe um inteiro positivo n tal que S_n possui um divisor primo
maior que 10^(2020)



Espero que gostem do problema!

[obm-l] Probabilidade - duas listas a partir da normal(0,1)

[Pedro Lazéra]

[obm-l] Teorema Chinês do resto

[joao pedro b menezes]

Olá, eu estava fazendo esse exercício :
" . (OBM 2005) Dados os inteiros positivos a, c e o inteiro b, prove que
existe um inteiro positivo x tal que a^x + x ≡ b (mod c)."

Eu pensei nessa solução, mas eu tenho quase certeza que ela está errada...

"Primeiramente , suponhamos c primo. Desse modo, se escolhermos x tal que
x  ≡ 0 (mod c - 1) , teremos a^x + x  ≡ 1 + x <=> x  ≡ b - 1 (mod c) (pelo
teorema de fermat) . Teríamos o sistema de congruências:
x  ≡ 0 ( mod c)
x  ≡ b - 1 (mod c-1)
Como c e c-1 são primos entre sí, pelo teorema chinês do resto esse sistema
infinitas soluções.
Agora, suponhamos c composto. Como um número composto é nada mais que o
produto de uma quantidade finita de primos, podemos chamar todos os primos
divisores de c como p1, p2, p3 ... pn . Forçando  x  ≡ b - 1 (mod pi) para
qualquer pi divisor primo de c, montamos o sistema de congruências:
x  ≡ 0 (mod p1 - 1)
x  ≡ b - 1 (mod p1)
.
x  ≡ 0 (mod pn - 1)
x  ≡ b - 1 (mod pn)
O único empecilho para o teorema é que pj - 1 e ph - 1 ( com j e h inteiros
1 <= j <= h <= n) possivelmente terão múltiplos em comum. Para anular esse
problema, basta fazer com que x seja múltiplo de p1 - 1, p2 - 1 . pn -
1,e chamando de Z o produto de todos esses números, podemos construir:
x  ≡ b - 1 (mod p1)
x  ≡ b - 1( mod p2)

x  ≡ b - 1 (mod pn)
x  ≡ 0 (mod Z)
Como p1, p2 , ... pn e  Z são primos entre si, o sistema sempre terá
infinitas soluções pelo teorema chinês do resto
Dessa forma, comprovamos o enunciado"

Se ela estiver errada( o que eu tenho quase certeza) , alguém poderia, por
favor, me falar por que ?
Agradeço pela ajuda e pelo tempo por ler este email gigante 

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Números

[joao pedro b menezes]

Muito obrigado pela ajuda! Entendi o exercício agora.

Em dom, 25 de out de 2020 às 19:59, Otávio Araújo 
escreveu:

> Vc resolve essa questão mostrando q p=n^2+n+1.  Se n=1 acabou. Se n>1,Já
> que p divide n^3-1 e é primo, temos que p divide n-1 ou n^2+n+1. Não
> podemos ter p dividindo n-1 pois n divide p-1 -> n<= p-1 n-1 Portanto p divide n^2+n+1. Faca n^2+n+1 = kp, k inteiro positivo. Temos que
> kp=n^2+n+1 é congruente a 1 módulo n. Do enunciado temos p congruente a 1
> módulo n,  mas p é congruente a 1 módulo n e é diferente de 1(pois é primo)
> -> p>= n+1 e  k será congruente a 1 módulo n também. Suponha que k>1,
> k>1 implica k>= n+1 daí kp>=(n+1)^2 > n^2+n+1, contradição. Portanto  k=1
> e p=n^2+n+1.
>
> Em dom, 25 de out de 2020 17:37, joao pedro b menezes <
> joaopedrobmene...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá, boa tarde.
>> Estou com dúvida nesse exercício:
>> " Sejam n um inteiro positivo maior que 1 e p um primo positivo tal que n
>> divide p − 1 e p divide n 3 − 1. Mostre que 4p − 3 ´e um quadrado perfeito."
>> Já agradeço pela ajuda e pelo tempo!
>>
>>

[obm-l] Teoria dos Números

[joao pedro b menezes]

Olá, boa tarde.
Estou com dúvida nesse exercício:
" Sejam n um inteiro positivo maior que 1 e p um primo positivo tal que n
divide p − 1 e p divide n 3 − 1. Mostre que 4p − 3 ´e um quadrado perfeito."
Já agradeço pela ajuda e pelo tempo!

Re: [obm-l] Lista/ Livros Geometria IMO/OBM

[joao pedro b menezes]

Olá, boa tarde. Eu não conheço todos, mas eu sei que é possivel entrar no
site da OBM :
https://www.obm.org.br/2020/07/25/conheca-livros-para-iniciar-a-preparacao-para-a-proxima-obm/

Ainda assim, um livro que eu particularmente acho fantástico se chama
“Challenging  problems in geometry “. Ele é usado para a preparação da IMO.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em teoria dos números

[Pedro José]

Boa tarde!
Na verdade: 2^a=64; a= 6 e y=12.

Em qui., 22 de out. de 2020 às 11:17, Pedro José 
escreveu:

> Bom dia!
> Recebi esse problema hoje: 615 + x^2 = 2^y., para x,y inteiros Não saberia
> fazer, como não soube resolver esse, acima. Mas devido a solução do colega
> Esdras, pensei:"já vi algo parecido".
> Basta restringir y aos pares.
> Se y é ímpar x^2=2 mod3, absurdo então y é par. Logo y=2a, com a inteiro.
> (2^a + x) (2^a-x)= 615= 1*615=3*205=5*123=15*41 e como a soma dos fatores
> necessita ser uma potência de 2, só serve para 123 e 5.
> Logo 2^y=64 e y=6 e x= 59 ou x=-59.
> Uma resolução levou a outra, não pelo talento nato, mas por aprendizado, o
> que é válido.
> Teve uma feita que estava tentando provar que o triângulo órtico, era o
> triângulo de menor perímetro que poderia ser inscrito em um triângulo
> acutângulo. Tentei por geometria analítica e só levando tinta. Tinha
> desistido. Quando me deparei com um problema que não consegui resolver, mas
> que tinha um caminho para a solução. Quando vi o rebatimento feito, pensei
> está resolvido. O curioso, é que, quando desisti, pesquisei na internet e
> não achei nada. Depois que consegui resolver, achei duas soluções, e
> infelizmente e como esperado, a minha não era novidade, era clássica.
> Obrigado, Esdras! Sem a sua solução, certamente, não teria resolvido essa
> última questão.
>
> Cordialmente,
> PJMS
>
> Em sex., 24 de jul. de 2020 às 12:19, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Obrigado Claudio e Esdras, fatoração show
>>
>>
>> Em sex., 24 de jul. de 2020 às 11:12, Esdras Muniz <
>> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Se for solução inteira positiva, acho que só tem 3 e 4. Vc supõe spdg x
>>> maior ou igual a y, vê que y=1 não tem solução e x=y tb não. Daí, x>y>1.
>>> Fatorando a expressão, fica: (xy-8-(x-y))(xy-8+(x-y))=15. Como
>>> (xy-8-(x-y))>(xy-8+(x-y))>-2. Temos que ou (xy-8-(x-y))=1 e (xy-8+(x-y))=15,
>>> o que não tem soluções inteiras positivas, ou (xy-8-(x-y))=3 e 
>>> (xy-8+(x-y))=5,
>>> cujas únicas soluções inteiras são x=4 e y=3.
>>>
>>> Em sex, 24 de jul de 2020 10:36, Claudio Buffara <
>>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>>> Pelo que entendi, a solução é a porção dessa curva algébrica situada no
>>>> 1o quadrante.
>>>> Dá pra fazer isso no Wolfram Alpha, com o comando plot (x*y-7)^2 - x^2
>>>> - y^2 = 0.
>>>>
>>>> []s,
>>>> Claudio.
>>>>
>>>> On Fri, Jul 24, 2020 at 9:58 AM Prof. Douglas Oliveira <
>>>> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>>>>
>>>>> Preciso de ajuda para encontrar todas as soluções não negativas da
>>>>> equação
>>>>> (xy-7)^2=x^2+y^2.
>>>>>
>>>>> Desde já agradeço a ajuda
>>>>> Douglas Oliveira
>>>>>
>>>>> --
>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em teoria dos números

[Pedro José]

Bom dia!
Recebi esse problema hoje: 615 + x^2 = 2^y., para x,y inteiros Não saberia
fazer, como não soube resolver esse, acima. Mas devido a solução do colega
Esdras, pensei:"já vi algo parecido".
Basta restringir y aos pares.
Se y é ímpar x^2=2 mod3, absurdo então y é par. Logo y=2a, com a inteiro.
(2^a + x) (2^a-x)= 615= 1*615=3*205=5*123=15*41 e como a soma dos fatores
necessita ser uma potência de 2, só serve para 123 e 5.
Logo 2^y=64 e y=6 e x= 59 ou x=-59.
Uma resolução levou a outra, não pelo talento nato, mas por aprendizado, o
que é válido.
Teve uma feita que estava tentando provar que o triângulo órtico, era o
triângulo de menor perímetro que poderia ser inscrito em um triângulo
acutângulo. Tentei por geometria analítica e só levando tinta. Tinha
desistido. Quando me deparei com um problema que não consegui resolver, mas
que tinha um caminho para a solução. Quando vi o rebatimento feito, pensei
está resolvido. O curioso, é que, quando desisti, pesquisei na internet e
não achei nada. Depois que consegui resolver, achei duas soluções, e
infelizmente e como esperado, a minha não era novidade, era clássica.
Obrigado, Esdras! Sem a sua solução, certamente, não teria resolvido essa
última questão.

Cordialmente,
PJMS

Em sex., 24 de jul. de 2020 às 12:19, Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Obrigado Claudio e Esdras, fatoração show
>
>
> Em sex., 24 de jul. de 2020 às 11:12, Esdras Muniz <
> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:
>
>> Se for solução inteira positiva, acho que só tem 3 e 4. Vc supõe spdg x
>> maior ou igual a y, vê que y=1 não tem solução e x=y tb não. Daí, x>y>1.
>> Fatorando a expressão, fica: (xy-8-(x-y))(xy-8+(x-y))=15. Como
>> (xy-8-(x-y))>(xy-8+(x-y))>-2. Temos que ou (xy-8-(x-y))=1 e (xy-8+(x-y))=15,
>> o que não tem soluções inteiras positivas, ou (xy-8-(x-y))=3 e 
>> (xy-8+(x-y))=5,
>> cujas únicas soluções inteiras são x=4 e y=3.
>>
>> Em sex, 24 de jul de 2020 10:36, Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Pelo que entendi, a solução é a porção dessa curva algébrica situada no
>>> 1o quadrante.
>>> Dá pra fazer isso no Wolfram Alpha, com o comando plot (x*y-7)^2 - x^2 -
>>> y^2 = 0.
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>> On Fri, Jul 24, 2020 at 9:58 AM Prof. Douglas Oliveira <
>>> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>>>
 Preciso de ajuda para encontrar todas as soluções não negativas da
 equação
 (xy-7)^2=x^2+y^2.

 Desde já agradeço a ajuda
 Douglas Oliveira

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problema da IMO

[Pedro José]

Boa noite!
Atrapalhou meu vinho e o filme que estava assistindo mas consegui. Não
gostei tanto, agora que consegui, é muito trabalhoso.

2= [3(y+1)(z+1)-1]/2yz
yz= 3(yz+2) (i)
z(y-3)= 3y +2 (ii)
y(z-3)=3z+2 (iii)
(i)*(ii) yz(z-3)(y-3)= 9yz+6(y+z)+4 e Voilá: (z-3)(y-3)=11.

Saudações,
PJMS





Em sáb., 12 de set. de 2020 às 00:35, Pedro José 
escreveu:

> Boa noite!
> Fui em uma linha parecida com a primeira solução, embora não visse
> necessidade de mudança de variáveis.
> Mas o b achei sempre por restrição.
> Esse "it implies" e aparece um número fatorado, não consegui captar,
> embora tenha gostado do recurso, já que é bem restritivo.
>
> Sudações,
> PJMS
>
>
> Em sáb., 12 de set. de 2020 às 00:08, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa noite!
>> Grato, Ralph!
>>
>> Estou estudando a solução. Pelo menos, não me decepcionei. A resposta
>> estava correta,
>>
>> Saudações.
>> PJMS
>>
>> Em sex., 11 de set. de 2020 às 22:33, Ralph Costa Teixeira <
>> ralp...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Essa eh da IMO 1992. Tem uma solucao aqui:
>>> http://sms.math.nus.edu.sg/Simo/IMO_Problems/92.pdf
>>>
>>> On Fri, Sep 11, 2020 at 10:06 PM Pedro José  wrote:
>>>
>>>> Bom dia!
>>>>
>>>> Recebi de um filho de um amigo, um problema que já o fizera.
>>>> (a-1)(b-1)(c-1) | abc-1;  1>>>
>>>> Confesso que desta feita gastei mais tempo que da  primeira vez.
>>>> Curioso, da primeira ,eu pensei, dessa vez, eu tentei lembrar como eu
>>>> resolvera, aí nem lembrava, nem pensava. Apelei para a internet, mas não
>>>> encontrei nada. Mas no fim, recordei o que havia feito.
>>>> (1+1/(a-1))(1+1/(b-1))(1+1/(c-1)) = k, onde k é inteiro.
>>>> vê-se que k>1, e para um dado a k é máximo para b e c mínimos logo
>>>> b=a+1 e c=a+2
>>>> [a(a+1)(a+2)]/[(a-1)(a)(a+1)] > [a(a+1)(a+2)-1]/[(a-1)(a)(a+1)]>=2,
>>>> então (a+2)/(a-1)>2 ==> a <4, a=2 ou a=3.
>>>> O k é máximo para a=2, b=3 e c=4 ==> k <4, logo k=2 ou k=3.
>>>> S.p.g, se a é ímpar (a-1)(b-1)(c-1) é par; então b,c ímpares e k é
>>>> livre.
>>>> S.p.g se a é par abc-1 é ímpar; então b,c são pares e k ímpar.
>>>> a=2, temos  2b(b+1)/[(b-1)b] >3, não usei a restrição de paridade para
>>>> c para facilitar a simplificação. b<5 Logo a=2>>> k é ímpar k=3. Logo c= 8. (2,4,8) é uma solução.
>>>>
>>>> a=3 temos 3b(b+1)/[2(b-1)b] > 2; b<7 e 3>>> para a=3 e b=5. kmax <= (15*7-1)/(2*4*6) <=2;pois k é inteiro.
>>>> 1 k=2 e c= 15. (3,5,15) é a outra solução.
>>>>
>>>> Só agora me apercebi de que c=ab nas duas soluções. Então tentei uma
>>>> nova solução.
>>>> (a-1)(b-1)(c-1) | abc-1 e (a-1)(b-1)(c-1) | abc + c(1 - (a+b)) -ab+
>>>> (a+b) - 1 logo divide a diferença:
>>>> (a-1)(b-1)(c-1) | (a+b) (c-1) + ab -1 - (c-1) logo c-1 | ab-1, então
>>>> ab-1= w(c-1), para algum w inteiro e ab=w(c-1) +1 (i)
>>>> Como a=2 ou a=3
>>>> Se a=2. e w>=2
>>>> Temos por (i) 2b>= 2 (c-1) +1 c-1>=b, logo absurdo.
>>>> Se a=3
>>>> Temos por (i) 3b>= w(c-1)+1; w=3 ==>3b< 3 (c-1) +1 pois c>b
>>>> w=2 ==> 3b =2(c-1) +1 ==> c=(3b+1)/2
>>>> 2(b-1)(3b-1)/2 | 3b(3b+1)/2 -1 ==>  2(b-1)(3b-1)/ | 3b(3b+1) -2 ==>
>>>> 6b^2-8b-2 | 9b^2+3b-1 ==>  6b^2-8b-2 | 3b^2 +11b+ 4
>>>> ==> b <=5. Como b>a=3 ==> b=5 e c= 8, ferindo a paridade.
>>>> Logo ab-1=c-1 ==> ab=c ==> (a-1)(b-1)(c-1) | c^2-1 ==>  (a-1)(b-1) |
>>>> c+1 (a-1)(b-1) |ab+1==> (a-1)(b-1)!a+b
>>>> a=2 ==> 2b-2= 2+b. b=4 e c=ab=8 (2,4,8)
>>>> a=3 ==> 2(b-1) | 3+b ==> 2(b-1) = 3+. b=5 e c=ab=15. (3,5,15),
>>>> Forcei um pouco a barra para mostrar que c=ab.
>>>> Alguém teria uma outra solução, ou um endereço onde se tem as questões
>>>> da IMO e suas resoluções?
>>>>
>>>> Grato!
>>>> Saudações,
>>>> PJMS
>>>>
>>>>
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problema da IMO

[Pedro José]

Boa noite!
Fui em uma linha parecida com a primeira solução, embora não visse
necessidade de mudança de variáveis.
Mas o b achei sempre por restrição.
Esse "it implies" e aparece um número fatorado, não consegui captar, embora
tenha gostado do recurso, já que é bem restritivo.

Sudações,
PJMS


Em sáb., 12 de set. de 2020 às 00:08, Pedro José 
escreveu:

> Boa noite!
> Grato, Ralph!
>
> Estou estudando a solução. Pelo menos, não me decepcionei. A resposta
> estava correta,
>
> Saudações.
> PJMS
>
> Em sex., 11 de set. de 2020 às 22:33, Ralph Costa Teixeira <
> ralp...@gmail.com> escreveu:
>
>> Essa eh da IMO 1992. Tem uma solucao aqui:
>> http://sms.math.nus.edu.sg/Simo/IMO_Problems/92.pdf
>>
>> On Fri, Sep 11, 2020 at 10:06 PM Pedro José  wrote:
>>
>>> Bom dia!
>>>
>>> Recebi de um filho de um amigo, um problema que já o fizera.
>>> (a-1)(b-1)(c-1) | abc-1;  1>>
>>> Confesso que desta feita gastei mais tempo que da  primeira vez.
>>> Curioso, da primeira ,eu pensei, dessa vez, eu tentei lembrar como eu
>>> resolvera, aí nem lembrava, nem pensava. Apelei para a internet, mas não
>>> encontrei nada. Mas no fim, recordei o que havia feito.
>>> (1+1/(a-1))(1+1/(b-1))(1+1/(c-1)) = k, onde k é inteiro.
>>> vê-se que k>1, e para um dado a k é máximo para b e c mínimos logo b=a+1
>>> e c=a+2
>>> [a(a+1)(a+2)]/[(a-1)(a)(a+1)] > [a(a+1)(a+2)-1]/[(a-1)(a)(a+1)]>=2,
>>> então (a+2)/(a-1)>2 ==> a <4, a=2 ou a=3.
>>> O k é máximo para a=2, b=3 e c=4 ==> k <4, logo k=2 ou k=3.
>>> S.p.g, se a é ímpar (a-1)(b-1)(c-1) é par; então b,c ímpares e k é livre.
>>> S.p.g se a é par abc-1 é ímpar; então b,c são pares e k ímpar.
>>> a=2, temos  2b(b+1)/[(b-1)b] >3, não usei a restrição de paridade para c
>>> para facilitar a simplificação. b<5 Logo a=2>> é ímpar k=3. Logo c= 8. (2,4,8) é uma solução.
>>>
>>> a=3 temos 3b(b+1)/[2(b-1)b] > 2; b<7 e 3>> para a=3 e b=5. kmax <= (15*7-1)/(2*4*6) <=2;pois k é inteiro.
>>> 1 k=2 e c= 15. (3,5,15) é a outra solução.
>>>
>>> Só agora me apercebi de que c=ab nas duas soluções. Então tentei uma
>>> nova solução.
>>> (a-1)(b-1)(c-1) | abc-1 e (a-1)(b-1)(c-1) | abc + c(1 - (a+b)) -ab+
>>> (a+b) - 1 logo divide a diferença:
>>> (a-1)(b-1)(c-1) | (a+b) (c-1) + ab -1 - (c-1) logo c-1 | ab-1, então
>>> ab-1= w(c-1), para algum w inteiro e ab=w(c-1) +1 (i)
>>> Como a=2 ou a=3
>>> Se a=2. e w>=2
>>> Temos por (i) 2b>= 2 (c-1) +1 c-1>=b, logo absurdo.
>>> Se a=3
>>> Temos por (i) 3b>= w(c-1)+1; w=3 ==>3b< 3 (c-1) +1 pois c>b
>>> w=2 ==> 3b =2(c-1) +1 ==> c=(3b+1)/2
>>> 2(b-1)(3b-1)/2 | 3b(3b+1)/2 -1 ==>  2(b-1)(3b-1)/ | 3b(3b+1) -2 ==>
>>> 6b^2-8b-2 | 9b^2+3b-1 ==>  6b^2-8b-2 | 3b^2 +11b+ 4
>>> ==> b <=5. Como b>a=3 ==> b=5 e c= 8, ferindo a paridade.
>>> Logo ab-1=c-1 ==> ab=c ==> (a-1)(b-1)(c-1) | c^2-1 ==>  (a-1)(b-1) |
>>> c+1 (a-1)(b-1) |ab+1==> (a-1)(b-1)!a+b
>>> a=2 ==> 2b-2= 2+b. b=4 e c=ab=8 (2,4,8)
>>> a=3 ==> 2(b-1) | 3+b ==> 2(b-1) = 3+. b=5 e c=ab=15. (3,5,15),
>>> Forcei um pouco a barra para mostrar que c=ab.
>>> Alguém teria uma outra solução, ou um endereço onde se tem as questões
>>> da IMO e suas resoluções?
>>>
>>> Grato!
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problema da IMO

[Pedro José]

Boa noite!
Grato, Ralph!

Estou estudando a solução. Pelo menos, não me decepcionei. A resposta
estava correta,

Saudações.
PJMS

Em sex., 11 de set. de 2020 às 22:33, Ralph Costa Teixeira <
ralp...@gmail.com> escreveu:

> Essa eh da IMO 1992. Tem uma solucao aqui:
> http://sms.math.nus.edu.sg/Simo/IMO_Problems/92.pdf
>
> On Fri, Sep 11, 2020 at 10:06 PM Pedro José  wrote:
>
>> Bom dia!
>>
>> Recebi de um filho de um amigo, um problema que já o fizera.
>> (a-1)(b-1)(c-1) | abc-1;  1>
>> Confesso que desta feita gastei mais tempo que da  primeira vez. Curioso,
>> da primeira ,eu pensei, dessa vez, eu tentei lembrar como eu resolvera, aí
>> nem lembrava, nem pensava. Apelei para a internet, mas não encontrei nada.
>> Mas no fim, recordei o que havia feito.
>> (1+1/(a-1))(1+1/(b-1))(1+1/(c-1)) = k, onde k é inteiro.
>> vê-se que k>1, e para um dado a k é máximo para b e c mínimos logo b=a+1
>> e c=a+2
>> [a(a+1)(a+2)]/[(a-1)(a)(a+1)] > [a(a+1)(a+2)-1]/[(a-1)(a)(a+1)]>=2, então
>> (a+2)/(a-1)>2 ==> a <4, a=2 ou a=3.
>> O k é máximo para a=2, b=3 e c=4 ==> k <4, logo k=2 ou k=3.
>> S.p.g, se a é ímpar (a-1)(b-1)(c-1) é par; então b,c ímpares e k é livre.
>> S.p.g se a é par abc-1 é ímpar; então b,c são pares e k ímpar.
>> a=2, temos  2b(b+1)/[(b-1)b] >3, não usei a restrição de paridade para c
>> para facilitar a simplificação. b<5 Logo a=2> é ímpar k=3. Logo c= 8. (2,4,8) é uma solução.
>>
>> a=3 temos 3b(b+1)/[2(b-1)b] > 2; b<7 e 3> para a=3 e b=5. kmax <= (15*7-1)/(2*4*6) <=2;pois k é inteiro.
>> 1 k=2 e c= 15. (3,5,15) é a outra solução.
>>
>> Só agora me apercebi de que c=ab nas duas soluções. Então tentei uma nova
>> solução.
>> (a-1)(b-1)(c-1) | abc-1 e (a-1)(b-1)(c-1) | abc + c(1 - (a+b)) -ab+ (a+b)
>> - 1 logo divide a diferença:
>> (a-1)(b-1)(c-1) | (a+b) (c-1) + ab -1 - (c-1) logo c-1 | ab-1, então
>> ab-1= w(c-1), para algum w inteiro e ab=w(c-1) +1 (i)
>> Como a=2 ou a=3
>> Se a=2. e w>=2
>> Temos por (i) 2b>= 2 (c-1) +1 c-1>=b, logo absurdo.
>> Se a=3
>> Temos por (i) 3b>= w(c-1)+1; w=3 ==>3b< 3 (c-1) +1 pois c>b
>> w=2 ==> 3b =2(c-1) +1 ==> c=(3b+1)/2
>> 2(b-1)(3b-1)/2 | 3b(3b+1)/2 -1 ==>  2(b-1)(3b-1)/ | 3b(3b+1) -2 ==>
>> 6b^2-8b-2 | 9b^2+3b-1 ==>  6b^2-8b-2 | 3b^2 +11b+ 4
>> ==> b <=5. Como b>a=3 ==> b=5 e c= 8, ferindo a paridade.
>> Logo ab-1=c-1 ==> ab=c ==> (a-1)(b-1)(c-1) | c^2-1 ==>  (a-1)(b-1) |  c+1
>> (a-1)(b-1) |ab+1==> (a-1)(b-1)!a+b
>> a=2 ==> 2b-2= 2+b. b=4 e c=ab=8 (2,4,8)
>> a=3 ==> 2(b-1) | 3+b ==> 2(b-1) = 3+. b=5 e c=ab=15. (3,5,15),
>> Forcei um pouco a barra para mostrar que c=ab.
>> Alguém teria uma outra solução, ou um endereço onde se tem as questões da
>> IMO e suas resoluções?
>>
>> Grato!
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Problema da IMO

[Pedro José]

Bom dia!

Recebi de um filho de um amigo, um problema que já o fizera.
(a-1)(b-1)(c-1) | abc-1;  11, e para um dado a k é máximo para b e c mínimos logo b=a+1 e
c=a+2
[a(a+1)(a+2)]/[(a-1)(a)(a+1)] > [a(a+1)(a+2)-1]/[(a-1)(a)(a+1)]>=2, então
(a+2)/(a-1)>2 ==> a <4, a=2 ou a=3.
O k é máximo para a=2, b=3 e c=4 ==> k <4, logo k=2 ou k=3.
S.p.g, se a é ímpar (a-1)(b-1)(c-1) é par; então b,c ímpares e k é livre.
S.p.g se a é par abc-1 é ímpar; então b,c são pares e k ímpar.
a=2, temos  2b(b+1)/[(b-1)b] >3, não usei a restrição de paridade para c
para facilitar a simplificação. b<5 Logo a=2 2; b<7 e 3 k=2 e c= 15. (3,5,15) é a outra solução.

Só agora me apercebi de que c=ab nas duas soluções. Então tentei uma nova
solução.
(a-1)(b-1)(c-1) | abc-1 e (a-1)(b-1)(c-1) | abc + c(1 - (a+b)) -ab+ (a+b) -
1 logo divide a diferença:
(a-1)(b-1)(c-1) | (a+b) (c-1) + ab -1 - (c-1) logo c-1 | ab-1, então ab-1=
w(c-1), para algum w inteiro e ab=w(c-1) +1 (i)
Como a=2 ou a=3
Se a=2. e w>=2
Temos por (i) 2b>= 2 (c-1) +1 c-1>=b, logo absurdo.
Se a=3
Temos por (i) 3b>= w(c-1)+1; w=3 ==>3b< 3 (c-1) +1 pois c>b
w=2 ==> 3b =2(c-1) +1 ==> c=(3b+1)/2
2(b-1)(3b-1)/2 | 3b(3b+1)/2 -1 ==>  2(b-1)(3b-1)/ | 3b(3b+1) -2 ==>
6b^2-8b-2 | 9b^2+3b-1 ==>  6b^2-8b-2 | 3b^2 +11b+ 4
==> b <=5. Como b>a=3 ==> b=5 e c= 8, ferindo a paridade.
Logo ab-1=c-1 ==> ab=c ==> (a-1)(b-1)(c-1) | c^2-1 ==>  (a-1)(b-1) |  c+1
(a-1)(b-1) |ab+1==> (a-1)(b-1)!a+b
a=2 ==> 2b-2= 2+b. b=4 e c=ab=8 (2,4,8)
a=3 ==> 2(b-1) | 3+b ==> 2(b-1) = 3+. b=5 e c=ab=15. (3,5,15),
Forcei um pouco a barra para mostrar que c=ab.
Alguém teria uma outra solução, ou um endereço onde se tem as questões da
IMO e suas resoluções?

Grato!
Saudações,
PJMS

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] É um número?

[Pedro Porta]

Boa noite, caso seja perante as duas condições não, se trata de um valor
numérico irrepresentável.

Em qui, 27 de ago de 2020 17:30, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Faz sentido a^x, se a< 0 e x é irracional positivo?
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?

[Pedro José]

Boa noite!
Anderson,
achei legal a sua visão. Mas não consegui evoluir com nada.
Todavia, fiquei com uma dúvida. Como x+y é um dos ângulos do triângulo
temos a restrição 0 escreveu:

> Em qui., 20 de ago. de 2020 às 22:03, Anderson Torres
>  escreveu:
> >
> > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 19:51, Pedro José 
> escreveu:
> > >
> > > Boa noite!
> > > Cláudio,
> > > não consegui nada geométrico.
> > > O máximo que atingi foi:
> > > a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)]  + [cotg(B1) +cotg (B2)] +
> co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C.
> > > Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que
> ocorre quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das
> bissetrizes e logo I.
> > > Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB.
> >
> > Acho que daqui poderia sair uma interpretação mais escamoteada.
> > Afinal, trigonometria é uma espécie de "ponto de contato" entre a
> > geometria analítica e a sintética, entre a nuvem de desenhos e a de
> > números.
> >
> > Acredito que a solução aqui seria arranjar uma interpretação
> > geométrica desses colchetes de co-tangentes. Acredito que possamos
> > apelar para Ptolomeu em algum momento ou para um macete de
> > semelhanças, pois as projeções de um ponto sobre duas retas criam um
> > quadrilátero cíclico.
>
> Acrescentando mais coisas: se queremos minimizar cot(x) +cot(y) com
> x+y fixo, isto é equivalente a minimizar tan(90-x)+tan(90-y) com
> 90-x+90-y fixo. Ou como maximizar tan(x) + tan(y) com x+y fixo.
>
> Geometricamente, tangente é cateto oposto dividido por cateto
> adjacente. Logo uma soma de tangentes com catetos adjacentes iguais
> equivale a uma soma de catetos opostos! Assim sendo, nosso problema
> pode ser pensado da seguinte forma:
>
> Dados um ponto A e uma reta d fixos, temos que construir duas retas x
> e y, com ângulo 'alfa' entre elas, ambas passando por A e tais que a
> distância entre os pontos X e Y, que elas geram ao intersectar d, seja
> mínima.
>
> Daí fica fácil argumentar que a altura por A também tem que ser a
> bissetriz por A.
>
> No fundo do fundo é uma forma de geometrizar a solução trigonométrica.
> A trigonometria se torna apenas um atalho.
>
> Vou formalizar isso mais tarde, com desenhos e tudo.
>
>
>
> >
> > Isso até me lembra o famoso artigo do Shine sobre geometria cearense
> > VS geometria paulista:
> > https://cyshine.webs.com/geometria-2005.pdf
> >
> >
> > >
> > > Saudações,
> > > PJMS
> > >
> > > Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
> > >>
> > >> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica
> disso? E que torne o resultado mais intuitivo?
> > >> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos
> lados, pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo, a/h_a
> cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo.
> > >> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a
> priori, que P deva ser equidistante dos três.
> > >> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior
> lado e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que
> a/h_a = b/h_b = c/h_c.
> > >> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente
> neste caso.
> > >>
> > >>
> > >> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco <
> matheusse...@gmail.com> wrote:
> > >>>
> > >>> Olá, Vanderlei.
> > >>> Por Cauchy-Schwarz, temos
> > >>>
> > >>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2.  (#)
> > >>>
> > >>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a
> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o semi-perimetro.
> > >>>
> > >>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb
> = hc, ou seja, quando P é o incentro do triângulo
> > >>>
> > >>> Abraços,
> > >>> Matheus
> > >>>
> > >>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz <
> vanderma...@gmail.com> escreveu:
> > >>>>
> > >>>> Bom dia!
> > >>>>
> > >>>> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive
> êxito. Alguém ajuda?
> > >>>> Muito agradecido!
> > >>>>
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana com desigualdade de médias?

[Pedro José]

Boa noite!
Cláudio,
não consegui nada geométrico.
O máximo que atingi foi:
a/ha + b/hb + c/hc= [cotg(A1) +cotg (A2)]  + [cotg(B1) +cotg (B2)] +
co[tg(C1) +cotg (C2)] com A1 + A2 = A; B1 + B2 + B e C1 + C2 = C.
Para ser mínimo cada termo entre colchetes deve ser mínimo, o que ocorre
quando A1 = A2; B1 = B2 e C1 = C2. Logo P seria o encontro das bissetrizes
e logo I.
Onde: A1= PAB e A2=PAC; B1=PBA e B2=PBC; C1=PCA e C2=PCB.

Saudações,
PJMS

Em ter., 18 de ago. de 2020 às 11:34, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Será que tem uma demonstração mais geométrica e menos algébrica disso? E
> que torne o resultado mais intuitivo?
> É razoável que o ponto P não esteja muito próximo de qualquer dos lados,
> pois neste caso, se P se aproximasse do lado a, por exemplo,
> a/h_a cresceria e a expressão se afastaria do valor mínimo.
> Mas, com lados não necessariamente congruentes, não é óbvio, a priori, que
> P deva ser equidistante dos três.
> De fato, seria razoável esperar que P estivesse mais próximo do maior lado
> e conjecturar, por exemplo, que o P que minimiza a expressão é tal que
> a/h_a = b/h_b = c/h_c.
> O fato de P ser o incentro não me parece a conjectura mais evidente neste
> caso.
>
>
> On Sun, Aug 16, 2020 at 10:11 AM Matheus Secco 
> wrote:
>
>> Olá, Vanderlei.
>> Por Cauchy-Schwarz, temos
>>
>> (a/ha + b/hb + c/hc) * (a*ha + b*hb + c*hc) >= (a+b+c)^2.  (#)
>>
>> Como (a*ha + b*hb + c*hc) = 2S, onde S é a área de ABC, segue que a
>> expressão a/ha + b/hb + c/hc é pelo menos 2p^2/S, onde p é o
>> semi-perimetro.
>>
>> Por outro lado, a igualdade em (#) ocorre se, e somente se, ha = hb = hc,
>> ou seja, quando P é o incentro do triângulo
>>
>> Abraços,
>> Matheus
>>
>> Em dom, 16 de ago de 2020 08:59, Professor Vanderlei Nemitz <
>> vanderma...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Bom dia!
>>>
>>> Tentei utilizar alguma desigualdade de médias aqui, mas não tive êxito.
>>> Alguém ajuda?
>>> Muito agradecido!
>>>
>>> Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam ha, hb e hc as
>>> distâncias de P aos lados a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor
>>> mínimo de (a/ha) + (b/hb) + (c/hc) ocorre quando P é o incentivo do
>>> triângulo ABC.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] polinômio minimal

[João Pedro de Abreu Marciano]

Verdade...
Seja p = x^8 - 12 x^6 + 32 x^4 - 72 x^2 + 4 um polinômio minimal de α,
então não pode haver polinômio de grau menor que 8 com α sendo raiz.
Suponha que p não é irredutível. Logo, existem g,h tais que  p = g*h, com
0
escreveu:

> Sauda,c~oes, oi João Pedro,
>
> Obrigado por responder.
>
> Tinha feito isso. Deu
>
> 
>
> expand  (x + 1)^8 - 12 (x + 1)^6 + 32 (x + 1)^4 - 72 (x + 1)^2 + 4
>
> x^8 + 8 x^7 + 16 x^6 - 16 x^5 - 78 x^4 - 56 x^3 - 32 x^2 - 80 x - 47
>
> E o Critério de Eisenstein não se aplica.
>
> E para x=x+2, deu
>
> x^8 + 16 x^7 + 100 x^6 + 304 x^5 + 432 x^4 + 128 x^3 - 392 x^2 - 544 x -
> 284
>
> Quase. Falha no a_0=284.
>
> Luís
>
>
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] polinômio minimal

[João Pedro de Abreu Marciano]

Boa noite!

Tente aplicar o Critério de Eisenstein com p=3 e substituindo x por x+1.

Att.
João Pedro.

Em sáb., 8 de ago. de 2020 às 17:14, 
escreveu:

> Sauda,c~oes,
>
> O polinômio 
> é o polinômio minimal de α = sqrt(2) + sqrt(1+sqrt(3)).
>
> Como provar que ele é irredutível em Q[x] ?
>
> Luís
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Problema da IMO

[Pedro José]

 Encontre todos os (k,n), k,n pertencentes à Z+, tal que k!=
(2^n-1)*(2^n-2)*(2^n-4)*...(2^n-2^(n-2))*(2^n-2(n-1))

Gostaria de saber se está correto?

Como os dois termos iniciais são consecutivos, é intuitivo que haja
baixíssima probabilidade de termos respostas que não sejam as triviais, com
um ou dois fatores.
(1,1) ==> 1! = 2-1 correto! e (3,2) --> 3!= 3*2, correto!
Para n= 3 temos k!= 7*6*4 com um fator 7 e não temos um 5, não atende.
Para n=4 temos k!=15*14*12*8=20160, mas 7! <2 0.060 < 8!;não atende.

G(n) = (2^n-1)*(2^n-2)*(2^n-4)*...(2^n-2^(n-2))*(2^n-2(n-1)) ==> G(n+1)=
(2^(n+1) -1)**G(n)2^n

Vamos mostrar por absurdo que k! <>
(2^n-1)*(2^n-2)*(2^n-4)*...(2^n-2^(n-2))*(2^n-2(n-1))para qualquer n>=5.
Seja , por hipótese, k! =
(2^n-1)*(2^n-2)*(2^n-4)*...(2^n-2^(n-2))*(2^n-2(n-1))e n>=5.
Fica claro que 2^i || (2^n-2î) com n>i e n, i inteiros.
Então obtém-se uma P.A. para o expoente da fatoração de cada termo do
produto, nos levando a: k!=2^((n-1)*n/2)*m, com m ímpar.Ou seja, a
fatoração de k! tem como o expoente de 2, a= (n-1)*n/2
Todavia, por contagem é muito simples chegar-se a: a=
[k/2]+[k/4]+[k/8]+[k/16]+...; Note que embora haja uma infinidade de
parcela, haverá um j, tal que 2^j>k e a partir desse termo todas as
parcelas irão zerar. Onde [x] representa, parte inteira de x.
a= [k/2]+[k/4]+[k/8]+[k/16]+...= [k/2]+[k/4]+[k/8]+[k/16]+ ...[k/2^(j-1] <
[k/2]+[k/4] + ...+[k/2^(j-1)] + k/2^j + k/2^(j+1)+ k/2^(j+2+< k/2 + k/4
+ k/8 + k/16+...= k ==>
==> k>a ==> k>= (a+1), já que k e a são inteiros. então k! >=(a+1)!
Vamos por indução.
Para n=5 a=10 e k!>=11! > 31*30*28*24*16=k!, por hipótese; k! >k!, absurdo.

Se k!>=(a+1)! > (2^n-1)*(2^n-2)*(2^n-4)*...(2^n-2^(n-2))*(2^n-2(n-1)) para
n>=5
temos F=((n-1)*n/2+1)*(n-1)*n/2*((n-1)*n/2-1)*...2*1>
(2^n-1)*(2^n-2)*(2^n-4)*...(2^n-2^(n-2))*(2^n-2(n-1)=P

Para n+1
k! >= (a+1)! >
(n*(n+1)/2+1)*n*(n+1)/2*(n*(n+1)/2-1)**((n-1)*n/2+2)*F>(2^(n+1)-1)*2*(2^n-1)*2(2^n-2)*...*2*(2^n-2(n-1)=
(2^(n+1)-1)*2^n*P
Mas como F> P se mostramos que
(n*(n+1)/2+1)*n*(n+1)/2*(n*(n+1)/2-1)**((n-1)*n/2+2)>2^n*(2^(n+1)*2^n,
está provado.
O lado esquerdo é composto de n fatores todos maiores que o último que é
maior ou igual 12, para n=5.
O lado esquerdo é menor que 2^(2n+1)
Como 12^n= 3^n*2^2^n > 2* 2^2n > 2^n*(2^(n+1)*2^n,==>
(n*(n+1)/2+1)*n*(n+1)/2*(n*(n+1)/2-1)**((n-1)*n/2+2)>2^n*(2^(n+1)*2^.
então k!>k!, absurdo. Não existem soluções para k>=5. E como só existiam
duas para k<5, temos S= {(1,1);(3,2)}

Saudações,
PJMS

-- 
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Re: [obm-l] Normas

[João Pedro de Abreu Marciano]

Dado M>1. Definimos f(x) = 0 se 1/M0 tal que | f |_infinito <= B*|
f |_1 para todo f. Ou seja, as normas não são equivalentes.

Espero ter ajudado,
João Pedro Marciano.

Em seg., 15 de jun. de 2020 às 22:46, Pedro Júnior <
pedromatematic...@gmail.com> escreveu:

> [image: image.png]
> Alguém pode me ajudar nesse problema?
>
> --
>
> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
>
> Professor de Matemática
>
> João Pessoa – PB
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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[obm-l] Normas

[Pedro Júnior]

[image: image.png]
Alguém pode me ajudar nesse problema?

-- 

Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

Professor de Matemática

João Pessoa – PB

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Decrescimento de Funções Exponenciais

[Pedro Angelo]

Sobre o item 5, o que acontece se h(x)=x^(-1) e g(x)=x^(-1.1) ?

Le mar. 12 mai 2020 à 09:52, Luiz Antonio Rodrigues
 a écrit :
>
> Olá, pessoal!
>
> Bom dia!
>
> Tudo bem?
>
> Estou tentando resolver um problema há uns 10 dias.
>
> Já tentei de tudo e estou com dúvidas.
>
> O problema é o seguinte:
>
>
> São dadas duas funções: h(x) e g(x).
>
> A função g(x) tende a zero mais rápido do que h(x), quando x tende a infinito.
>
> O problema pede que as seguintes funções sejam comparadas com h(x):
>
>
> (h(x))^2
>
> (g(x))^2
>
> f(x)*g(x)
>
> sqrt(h(x))
>
> sqrt(g(x))
>
>
> A pergunta é: quais dessas funções decrescem mais rápido do que h(x), quando 
> x tende a infinito?
>
> Eu usei, entre outras, as seguintes funções:
>
>
> 1/ln(x)
>
> 1/x
>
> 1/x^5
>
> 1/e^x
>
>
> Utilizei a regra de L’Hospital e descobri que a única função que não decresce 
> mais rápido do que h(x) é a (4).
>
> Também utilizei softwares gráficos e confirmei o meu resultado.
>
> Só sei que a resposta não está correta, mas ainda não sei qual seria a 
> solução.
>
> Não consigo entender o motivo...
>
> Será que preciso achar um contra-exemplo?
>
> Alguém pode me ajudar?
>
> Muito obrigado!
>
> Abraços!
>
> Luiz
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] RE: Dois problemas

[Pedro José]

Mandei espuriamente. Corrigi o que faltava.

Seja b=7
n é formado por 17C7 e R(n) por 7C71, logo 4*c+3 >=30 e 4c+3=7 mod 10,
portanto não há c que atenda.
Seja b=9
n é formado por 19C7 e R(n) por 7C91, logo 4c+3=9 mod 10 e
4*9+int((4c+3)/10)=c mod10
Só atende a primeira 4 ou 9, desses só atende a segunda 9.

Logo n= 1997 e 4n +3= 7991, resposta única. Havia mandado adiantado.


Em seg, 27 de abr de 2020 21:19, Pedro José  escreveu:

> Boa noite!
> 1) a_n = [n(n+1)]/2 mod 10
> Fácilmente se vê que 20 é múltiplo do período minímo pois:
> a_19= 0 e a_20=0 logo a_21= a_20+21mod10 =0+1=1=a1.
> a_22=a_1+22 mod10 = 3=a_3 É assim sucessivamente.
> Então o período é um divisor de 20
> p<>1, pois, a_1<>a_2
> p<>2, pois, a_1<>a_3
> p<>4, pois a_1<>a_5
> p<>5, pois a_1<> a_6
> p<>10 pois a_1<>a_11
> logo p = 20.
> Não vem outra forma se calcular a_1 até a_20
>
> a_1=1 e S_1=1
> a_2=3  e S_2=4
> a_3=6 e S_3=10
> a_4=0 e S_4=10
> a_5=5 e S_5=15
> a_6=1 e S_6= 16
> a_7=8 e S_7=24
> a_8=6 e S_8=30
> a_9=5 e S_9=35
> a_10=5 e S_10=40
> a_11=6 e S_11=46
> a_12=8 e S_12=54
> a_13=1 e S_13=55
> a_14=5 e S_14=60
> a_15=0 e S_15=60
> a_16=6 e S_16= 66
> a_17=3 e S_17=69
> a_18=1 e S_18=70
> a_19=0 e S_19=70
> a_20=0 e S_20=70
> É fácil ver que a cada 20 números a mais a soma dará 70 de novo.,  1992 =
> 20 x 99 +12; logo S_1992 =99 S_×0+S_12=6984.
>
> 2) seja n formado por ABCD, vamos representar a ideia número pela letra
> minúscula a, b, c, d e U={a, b, c, d} max(U)=9 e min(U)=0.
> a<=2 e a ímpar pois R(n)=DCBA é ímpar.
> Então a=1
>  4n+3= 4x(a*10^3+b*10^2+c*10+d)+3=
> =4d+3 mod10 4d+3=a mod10 ==> d=2 ou d=7, mas d>=4 pois 4n+3= d*10^3 +
> c*10^2 + b*10 + a > 4 *10^3. Logo d=7
> Logo b=7 ou b=9
> pois 4*b +3>30 É b é ímpar pois
> DCBA é côngruo 3 mod4
> Seja b=7
> n é formado por 17C7 e R(n) por 7C71, logo 4*c+3 >=30 e 4c+3=7 mod 10,
> portanto não há c que atenda.
> Seja b=9
> n é formado por 19C7 e R(n) por 7C91, logo 4c+3=9 mod 10 e
> 4*9+int((4c+3)/10)=c mod10
> Só atende a primeira 4 ou 9, desses só atende a segunda 9.
>
Logo n= 1997 e 4n +3= 7991, resposta única. Havia mandado adiantado.


>
>
>
>
> Em dom, 26 de abr de 2020 22:56, Julio Mohnsam <
> prof.juliomat...@hotmail.com> escreveu:
>
>> se n=2019
>>
>> --
>> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br  em nome de
>> Rogério Possi Júnior 
>> *Enviado:* domingo, 26 de abril de 2020 18:21
>> *Para:* Lista de Olímpiada OBM 
>> *Assunto:* [obm-l] Dois problemas
>>
>> Boa noite.
>>
>> Quem pode ajudar com esses dois problemas:
>>
>> 1) (Ibero-1992) Para cada inteiro positivo n, seja a_n o último dígito de
>> 1+2+3+...+n. Calcule a_1+a_2+...+a_n.
>>
>> 2) (UK-1997) N é um número inteiro de 4 dígitos não terminado em zero, e
>> R(N) é o número inteiro de 4 dígitos obtido pela reversão dos dígitos de N;
>> por exemplo R(3275)=5723. Determine todos os inteiros N ára os quais
>> R(N)=4N+3.
>>
>> Sds,
>>
>> Rogério
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>

-- 
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Re: [obm-l] RE: Dois problemas

[Pedro José]

Boa noite!
1) a_n = [n(n+1)]/2 mod 10
Fácilmente se vê que 20 é múltiplo do período minímo pois:
a_19= 0 e a_20=0 logo a_21= a_20+21mod10 =0+1=1=a1.
a_22=a_1+22 mod10 = 3=a_3 É assim sucessivamente.
Então o período é um divisor de 20
p<>1, pois, a_1<>a_2
p<>2, pois, a_1<>a_3
p<>4, pois a_1<>a_5
p<>5, pois a_1<> a_6
p<>10 pois a_1<>a_11
logo p = 20.
Não vem outra forma se calcular a_1 até a_20

a_1=1 e S_1=1
a_2=3  e S_2=4
a_3=6 e S_3=10
a_4=0 e S_4=10
a_5=5 e S_5=15
a_6=1 e S_6= 16
a_7=8 e S_7=24
a_8=6 e S_8=30
a_9=5 e S_9=35
a_10=5 e S_10=40
a_11=6 e S_11=46
a_12=8 e S_12=54
a_13=1 e S_13=55
a_14=5 e S_14=60
a_15=0 e S_15=60
a_16=6 e S_16= 66
a_17=3 e S_17=69
a_18=1 e S_18=70
a_19=0 e S_19=70
a_20=0 e S_20=70
É fácil ver que a cada 20 números a mais a soma dará 70 de novo.,  1992 =
20 x 99 +12; logo S_1992 =99 S_×0+S_12=6984.

2) seja n formado por ABCD, vamos representar a ideia número pela letra
minúscula a, b, c, d e U={a, b, c, d} max(U)=9 e min(U)=0.
a<=2 e a ímpar pois R(n)=DCBA é ímpar.
Então a=1
 4n+3= 4x(a*10^3+b*10^2+c*10+d)+3=
=4d+3 mod10 4d+3=a mod10 ==> d=2 ou d=7, mas d>=4 pois 4n+3= d*10^3 +
c*10^2 + b*10 + a > 4 *10^3. Logo d=7
Logo b=7 ou b=9
pois 4*b +3>30 É b é ímpar pois
DCBA é côngruo 3 mod4
Seja b=7
n é formado por 17C7 e R(n) por 7C71, logo 4*c+3 >=30 e 4c+3=7 mod 10,
portanto não há c que atenda.
Seja b=9
n é formado por 19C7 e R(n) por 7C91, logo 4c+3=9 mod 10 e






Em dom, 26 de abr de 2020 22:56, Julio Mohnsam 
escreveu:

> se n=2019
>
> --
> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br  em nome de
> Rogério Possi Júnior 
> *Enviado:* domingo, 26 de abril de 2020 18:21
> *Para:* Lista de Olímpiada OBM 
> *Assunto:* [obm-l] Dois problemas
>
> Boa noite.
>
> Quem pode ajudar com esses dois problemas:
>
> 1) (Ibero-1992) Para cada inteiro positivo n, seja a_n o último dígito de
> 1+2+3+...+n. Calcule a_1+a_2+...+a_n.
>
> 2) (UK-1997) N é um número inteiro de 4 dígitos não terminado em zero, e
> R(N) é o número inteiro de 4 dígitos obtido pela reversão dos dígitos de N;
> por exemplo R(3275)=5723. Determine todos os inteiros N ára os quais
> R(N)=4N+3.
>
> Sds,
>
> Rogério
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] teoria dos numeros

[Pedro José]

Boa noite!

errata:
Ao invés de: 128=2^7 então 2^7| 49^{n} + 81^{n} −2<==> x= 2^7| 49^{n} +
81^{n}=2 mod2^7
128=2^7 então 2^7| 49^{n} + 81^{n} −2<==> x= 49^{n} + 81^{n}=2 mod2^7

Saudações,
PJMS

Em dom., 29 de mar. de 2020 às 14:04, Pedro José 
escreveu:

> Bom dia!
> Prove que 128 divide 49^{n} + 81^{n} −2, para todo n ≥ 1.
> 128=2^7 então 2^7| 49^{n} + 81^{n} −2<==> x= 2^7| 49^{n} + 81^{n}=2 mod2^7
> x= a + b , a= 49^n e b=81^n
> a= (64-15)^n = n(-1)^n*n*64*(15)^(n-1) + (-1)^n*15^n mod2^7; pois, os
> demais termos do binômio de Newton terão o fator (2^6)^m com m>1 que é
> côngruo 0 mod2^7.
> b= (64+17)^n = n*64*17^(n-1) + 17^n mod2^7 pelo mesmo motivo anterior.
> a+b = n*64(17^n-1 +(-1)^(n-1)*15^(n-1)) + 17^n + (-1)^n*15^n =
> (-1)^(n-1)*15^(n-1)) + 17^n + (-1)^n*15^n mod2^; pois a primeira parcela é
> côngrua a 0 mod2^7; já que o termo entre parêntesis é par.
> (16+1)^n= n*16+1 mod2^7 ,pois, (2^4)^m =0 mod2^7 para m>1
> (-1)^n*(16-1)= (-1)^n*[(-1)^(n-1)*n*16+(-1)^n]=-16n +1
> então x = a+b= 2 mod2^7 ==> 2^7 | a+b-2
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
>
> Em sáb., 28 de mar. de 2020 às 14:05, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Eu sei resolver o problema abaixo,porém não sei se é a forma mais simples
>> de se fazer.Vcs poderiam por favor colocar suas soluções nos comentários
>> dessa publicação? O problema é o seguinte:
>> Prove que 128 divide 49^{n} + 81^{n} −2, para todo n ≥ 1.Se possível não
>> use indução, pois eu já estou usando indução.
>>
>> --
>> Israel Meireles Chrisostomo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] teoria dos numeros

[Pedro José]

Bom dia!
Prove que 128 divide 49^{n} + 81^{n} −2, para todo n ≥ 1.
128=2^7 então 2^7| 49^{n} + 81^{n} −2<==> x= 2^7| 49^{n} + 81^{n}=2 mod2^7
x= a + b , a= 49^n e b=81^n
a= (64-15)^n = n(-1)^n*n*64*(15)^(n-1) + (-1)^n*15^n mod2^7; pois, os
demais termos do binômio de Newton terão o fator (2^6)^m com m>1 que é
côngruo 0 mod2^7.
b= (64+17)^n = n*64*17^(n-1) + 17^n mod2^7 pelo mesmo motivo anterior.
a+b = n*64(17^n-1 +(-1)^(n-1)*15^(n-1)) + 17^n + (-1)^n*15^n =
(-1)^(n-1)*15^(n-1)) + 17^n + (-1)^n*15^n mod2^; pois a primeira parcela é
côngrua a 0 mod2^7; já que o termo entre parêntesis é par.
(16+1)^n= n*16+1 mod2^7 ,pois, (2^4)^m =0 mod2^7 para m>1
(-1)^n*(16-1)= (-1)^n*[(-1)^(n-1)*n*16+(-1)^n]=-16n +1
então x = a+b= 2 mod2^7 ==> 2^7 | a+b-2

Saudações,
PJMS




Em sáb., 28 de mar. de 2020 às 14:05, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Eu sei resolver o problema abaixo,porém não sei se é a forma mais simples
> de se fazer.Vcs poderiam por favor colocar suas soluções nos comentários
> dessa publicação? O problema é o seguinte:
> Prove que 128 divide 49^{n} + 81^{n} −2, para todo n ≥ 1.Se possível não
> use indução, pois eu já estou usando indução.
>
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: período de dízima

[Pedro José]

Bom dia!
Consegui demonstrar que é verdadeira.
Só faltou 2^a||t e 2^b||t ou seja (10,n)=1.

Saudações,
PJMS

Em ter., 10 de mar. de 2020 às 18:39, Pedro José 
escreveu:

> Boa noite!
>
> Alguém poderia provar ou derrubar a conjectura a seguir?
>
> Seja s/t uma fração em que t não divide s e (s,t)=1; seja t=2^a.2^b.n
> O número de algarismos da parte não periódica é o max(a,b) e o número de
> algarismos da parte periódica é a ord 10 mod n.
> Representação decimal.
>
> Saudações,
> PJMS
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Pedro José]

Boa tarde!
Perfeita a sua correção.
Quanto ao questionamento, nem tenho formação em matemática, meu sonho é
cursar no IMPA ao me aposentar. Sou pitaqueiro. Ouço um assunto que não
conheço, tento aprendê-lo. Na verdade, gosto de matemática. Talvez seja ela
o "Mundo das ideias", o mundo ideal, a qual Platão se referiu.
Saudações,
PJMS

Em dom, 22 de mar de 2020 12:25, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Acho q tem uma ´pequena correção no seguinte passo "4k+1. Pegando os
> fatores (4n-1)^2 e (4n+1)^2, teremos que 2^6 |p(n) para qualquer n=4k+1."O
> correto seria "Para n=4k+1.Pegando os fatores (n-1)^2 e (n+1)^2"
>
> Em dom., 22 de mar. de 2020 às 10:14, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Primeiramente obrigado pela solução.Mas Pedro, tenho uma pergunta :   o
>> sr. é professor de Matemática?
>>
>> Em dom., 22 de mar. de 2020 às 01:34, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Bom dia!
>>> Dei uma mancada.
>>> O expoente de 3 é 3 e não 2.
>>> Retornando às classes mod 3.
>>> Ao último fator é côngruo à (n-1)*n
>>> Para n=3k aparece outro fator e 3^3|p(n), n=3k.
>>> n=3k+1, tenho (n-1)^2 e (n-1), 3^3|p(n), n=3k+1
>>> n=3k+2, tenho(n-2)^2 é (n+1)^2, 3^3|p(n), n=3k+2,
>>> Logo 3^3|p(n) para todo n inteiro.
>>> D>=2^6*3^3*5. Mas D<=2^6*3^3*5, então D=8640
>>> Desculpem-me pelo erro.
>>> Saudações,
>>> PJMS.
>>>
>>>
>>>
>>> Em sáb, 21 de mar de 2020 13:20, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
>>>> Boa tarde!
>>>> Nem carece método numérico.
>>>> Para n=1 ou n=0 ou n=2 temos que qualquer inteiro divide o polinômio
>>>> p(n)=(n-2)^2*(n-1)^2*n^2*(n+1)^2*(4n^2-4n-9)
>>>>
>>>> p(3)=8640
>>>> p(4)=561600 então (p(3),p(4))=8640=2^6*3^3*5.
>>>> Seja D o maior inteiro que divide p(n) para todo n inteiro, D<=8640
>>>> Vamos pegar as classes de equivalência mod 4. Seja k um inteiro.
>>>> Para 4k temos que n^2= 16k^2 e (n-2) é par logo (n-2)^2= 4s^2 com s
>>>> inteiro. Logo 2^6 divide p(n) para qualquer n =4k.
>>>> 4k+1. Pegando os fatores (4n-1)^2 e (4n+1)^2, teremos que 2^6 |p(n)
>>>> para qualquer n=4k+1.
>>>> 4k+2. Pegando (n-2)^2 e n^2, teremos que 2^6|p(n) para qualquer n=4k+2
>>>> 4k+3, pegando os mesmos fatores de 4k+1, 2^6|p(n) para n=4k+3.
>>>> Portanto 2^6|p(n) para qualquer inteiro
>>>> Agora classes de equivalência mod 3
>>>> 3k, pegando n^2, 3^2|p(n) para n=3k
>>>> 3k+1, pegando (n-1)^2; 3^2| p(n), n=3k+1
>>>> 3k+2, pegando (n-2)^2, 3^2| p(n), n=3k+2
>>>> Daí 3^2|p(n) para qualquer n inteiro.
>>>> Classes de equivalência mod 5.
>>>> 5k, n^2 , 5 |p(n), n =5
>>>> 5k +1, (n-1)^2, 5|p(n), n=5k+1
>>>> 5k+2, (n-2)^2, 5|p(n), n=5k+2
>>>> 5k+3, (4n^2-4n-9)=(100k^2-100k+15)
>>>> 5|p(n), n=5k+3
>>>> 5k+4, (n+1)^2, 5|p(n) , n=5k+4.
>>>> Então 5|p(n) para todo inteiro
>>>> D>=2^6*3^2×*5
>>>> Mas D<=2^6*3^2*5, logo D=8640
>>>>
>>>> Saudações,
>>>> PJMS
>>>>
>>>> Em sáb, 21 de mar de 2020 04:39, Pedro José 
>>>> escreveu:
>>>>
>>>>> Bom dia!
>>>>> Falta de novo, em seu questionamento, informar que n é inteiro ou
>>>>> natural e colocar a condição para qualquer valor de n. Chamando o 
>>>>> polinômio
>>>>> de p(n)
>>>>> Para n=0, 1 ou 2, qualquer inteiro divide.
>>>>> Faria mdc(p(3),p(4))= A1
>>>>> Se der "pequeno", com poucos fatores primos e expoentes pequenos. Paro
>>>>> em A1, se não.
>>>>> (p(5),A1)=A2 uso o mesmo critério de parar
>>>>> (p(6),A2)=A3 até parar em:
>>>>> Ai=(p(i+3),A(i-1)).
>>>>> Aí faço o polinômio módfi^xi, onde fi é um fator primo de Aí e xi seu
>>>>> expoente. verifico se para cada resíduon= 1, 2...fi^n-1 se P(n)=0 mod 
>>>>> fi^si
>>>>> Se falhar diminuto xi em 1 e repito o teste para todos resíduos de
>>>>> fi^(xi-1)-1 até um dado xki em que todos os p(resíduos) foram equivalente 
>>>>> a
>>>>> zero módulo fi^xki ou quando fizer para o expoente 1  e não zerar para
>>>>> todos resíduos de fi, quando o fator será descartado.
>>>>> Depois repito para cada fator primo f e seu respectivo expoe

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Pedro José]

Bom dia!
Dei uma mancada.
O expoente de 3 é 3 e não 2.
Retornando às classes mod 3.
Ao último fator é côngruo à (n-1)*n
Para n=3k aparece outro fator e 3^3|p(n), n=3k.
n=3k+1, tenho (n-1)^2 e (n-1), 3^3|p(n), n=3k+1
n=3k+2, tenho(n-2)^2 é (n+1)^2, 3^3|p(n), n=3k+2,
Logo 3^3|p(n) para todo n inteiro.
D>=2^6*3^3*5. Mas D<=2^6*3^3*5, então D=8640
Desculpem-me pelo erro.
Saudações,
PJMS.



Em sáb, 21 de mar de 2020 13:20, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
> Nem carece método numérico.
> Para n=1 ou n=0 ou n=2 temos que qualquer inteiro divide o polinômio
> p(n)=(n-2)^2*(n-1)^2*n^2*(n+1)^2*(4n^2-4n-9)
>
> p(3)=8640
> p(4)=561600 então (p(3),p(4))=8640=2^6*3^3*5.
> Seja D o maior inteiro que divide p(n) para todo n inteiro, D<=8640
> Vamos pegar as classes de equivalência mod 4. Seja k um inteiro.
> Para 4k temos que n^2= 16k^2 e (n-2) é par logo (n-2)^2= 4s^2 com s
> inteiro. Logo 2^6 divide p(n) para qualquer n =4k.
> 4k+1. Pegando os fatores (4n-1)^2 e (4n+1)^2, teremos que 2^6 |p(n) para
> qualquer n=4k+1.
> 4k+2. Pegando (n-2)^2 e n^2, teremos que 2^6|p(n) para qualquer n=4k+2
> 4k+3, pegando os mesmos fatores de 4k+1, 2^6|p(n) para n=4k+3.
> Portanto 2^6|p(n) para qualquer inteiro
> Agora classes de equivalência mod 3
> 3k, pegando n^2, 3^2|p(n) para n=3k
> 3k+1, pegando (n-1)^2; 3^2| p(n), n=3k+1
> 3k+2, pegando (n-2)^2, 3^2| p(n), n=3k+2
> Daí 3^2|p(n) para qualquer n inteiro.
> Classes de equivalência mod 5.
> 5k, n^2 , 5 |p(n), n =5
> 5k +1, (n-1)^2, 5|p(n), n=5k+1
> 5k+2, (n-2)^2, 5|p(n), n=5k+2
> 5k+3, (4n^2-4n-9)=(100k^2-100k+15)
> 5|p(n), n=5k+3
> 5k+4, (n+1)^2, 5|p(n) , n=5k+4.
> Então 5|p(n) para todo inteiro
> D>=2^6*3^2×*5
> Mas D<=2^6*3^2*5, logo D=8640
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em sáb, 21 de mar de 2020 04:39, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Bom dia!
>> Falta de novo, em seu questionamento, informar que n é inteiro ou natural
>> e colocar a condição para qualquer valor de n. Chamando o polinômio de p(n)
>> Para n=0, 1 ou 2, qualquer inteiro divide.
>> Faria mdc(p(3),p(4))= A1
>> Se der "pequeno", com poucos fatores primos e expoentes pequenos. Paro em
>> A1, se não.
>> (p(5),A1)=A2 uso o mesmo critério de parar
>> (p(6),A2)=A3 até parar em:
>> Ai=(p(i+3),A(i-1)).
>> Aí faço o polinômio módfi^xi, onde fi é um fator primo de Aí e xi seu
>> expoente. verifico se para cada resíduon= 1, 2...fi^n-1 se P(n)=0 mod fi^si
>> Se falhar diminuto xi em 1 e repito o teste para todos resíduos de
>> fi^(xi-1)-1 até um dado xki em que todos os p(resíduos) foram equivalente a
>> zero módulo fi^xki ou quando fizer para o expoente 1  e não zerar para
>> todos resíduos de fi, quando o fator será descartado.
>> Depois repito para cada fator primo f e seu respectivo expoente.
>> Ao final D = Produtório de cada fator fi elevado ao expoente xki que
>> zerou p(n) mod fi^xki para todos os resíduos, descartando os fí em que xji
>> chegou a 1 e não atendeu ou considerando nesse caso xki=0.
>>
>> Mas resolveria por método numérico.
>> Depois poste sua solução.
>>
>> Saudações,
>> PJMS.
>>
>>
>>
>>
>> Em sex, 20 de mar de 2020 12:42, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Qual o maior inteiro que divide (n - 2)^2 (n - 1)^2 n^2 (n + 1)^2 (4 n^2
>>> - 4 n - 9))?
>>> Eu sei resolver esse problema com meu algoritmo, porém gostaria de saber
>>> como os colegas o resolveriam.
>>> --
>>> Israel Meireles Chrisostomo
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Pedro José]

Boa tarde!
Nem carece método numérico.
Para n=1 ou n=0 ou n=2 temos que qualquer inteiro divide o polinômio
p(n)=(n-2)^2*(n-1)^2*n^2*(n+1)^2*(4n^2-4n-9)

p(3)=8640
p(4)=561600 então (p(3),p(4))=8640=2^6*3^3*5.
Seja D o maior inteiro que divide p(n) para todo n inteiro, D<=8640
Vamos pegar as classes de equivalência mod 4. Seja k um inteiro.
Para 4k temos que n^2= 16k^2 e (n-2) é par logo (n-2)^2= 4s^2 com s
inteiro. Logo 2^6 divide p(n) para qualquer n =4k.
4k+1. Pegando os fatores (4n-1)^2 e (4n+1)^2, teremos que 2^6 |p(n) para
qualquer n=4k+1.
4k+2. Pegando (n-2)^2 e n^2, teremos que 2^6|p(n) para qualquer n=4k+2
4k+3, pegando os mesmos fatores de 4k+1, 2^6|p(n) para n=4k+3.
Portanto 2^6|p(n) para qualquer inteiro
Agora classes de equivalência mod 3
3k, pegando n^2, 3^2|p(n) para n=3k
3k+1, pegando (n-1)^2; 3^2| p(n), n=3k+1
3k+2, pegando (n-2)^2, 3^2| p(n), n=3k+2
Daí 3^2|p(n) para qualquer n inteiro.
Classes de equivalência mod 5.
5k, n^2 , 5 |p(n), n =5
5k +1, (n-1)^2, 5|p(n), n=5k+1
5k+2, (n-2)^2, 5|p(n), n=5k+2
5k+3, (4n^2-4n-9)=(100k^2-100k+15)
5|p(n), n=5k+3
5k+4, (n+1)^2, 5|p(n) , n=5k+4.
Então 5|p(n) para todo inteiro
D>=2^6*3^2×*5
Mas D<=2^6*3^2*5, logo D=8640

Saudações,
PJMS

Em sáb, 21 de mar de 2020 04:39, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
> Falta de novo, em seu questionamento, informar que n é inteiro ou natural
> e colocar a condição para qualquer valor de n. Chamando o polinômio de p(n)
> Para n=0, 1 ou 2, qualquer inteiro divide.
> Faria mdc(p(3),p(4))= A1
> Se der "pequeno", com poucos fatores primos e expoentes pequenos. Paro em
> A1, se não.
> (p(5),A1)=A2 uso o mesmo critério de parar
> (p(6),A2)=A3 até parar em:
> Ai=(p(i+3),A(i-1)).
> Aí faço o polinômio módfi^xi, onde fi é um fator primo de Aí e xi seu
> expoente. verifico se para cada resíduon= 1, 2...fi^n-1 se P(n)=0 mod fi^si
> Se falhar diminuto xi em 1 e repito o teste para todos resíduos de
> fi^(xi-1)-1 até um dado xki em que todos os p(resíduos) foram equivalente a
> zero módulo fi^xki ou quando fizer para o expoente 1  e não zerar para
> todos resíduos de fi, quando o fator será descartado.
> Depois repito para cada fator primo f e seu respectivo expoente.
> Ao final D = Produtório de cada fator fi elevado ao expoente xki que zerou
> p(n) mod fi^xki para todos os resíduos, descartando os fí em que xji chegou
> a 1 e não atendeu ou considerando nesse caso xki=0.
>
> Mas resolveria por método numérico.
> Depois poste sua solução.
>
> Saudações,
> PJMS.
>
>
>
>
> Em sex, 20 de mar de 2020 12:42, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Qual o maior inteiro que divide (n - 2)^2 (n - 1)^2 n^2 (n + 1)^2 (4 n^2
>> - 4 n - 9))?
>> Eu sei resolver esse problema com meu algoritmo, porém gostaria de saber
>> como os colegas o resolveriam.
>> --
>> Israel Meireles Chrisostomo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Pedro José]

Bom dia!
Falta de novo, em seu questionamento, informar que n é inteiro ou natural e
colocar a condição para qualquer valor de n. Chamando o polinômio de p(n)
Para n=0, 1 ou 2, qualquer inteiro divide.
Faria mdc(p(3),p(4))= A1
Se der "pequeno", com poucos fatores primos e expoentes pequenos. Paro em
A1, se não.
(p(5),A1)=A2 uso o mesmo critério de parar
(p(6),A2)=A3 até parar em:
Ai=(p(i+3),A(i-1)).
Aí faço o polinômio módfi^xi, onde fi é um fator primo de Aí e xi seu
expoente. verifico se para cada resíduon= 1, 2...fi^n-1 se P(n)=0 mod fi^si
Se falhar diminuto xi em 1 e repito o teste para todos resíduos de
fi^(xi-1)-1 até um dado xki em que todos os p(resíduos) foram equivalente a
zero módulo fi^xki ou quando fizer para o expoente 1  e não zerar para
todos resíduos de fi, quando o fator será descartado.
Depois repito para cada fator primo f e seu respectivo expoente.
Ao final D = Produtório de cada fator fi elevado ao expoente xki que zerou
p(n) mod fi^xki para todos os resíduos, descartando os fí em que xji chegou
a 1 e não atendeu ou considerando nesse caso xki=0.

Mas resolveria por método numérico.
Depois poste sua solução.

Saudações,
PJMS.




Em sex, 20 de mar de 2020 12:42, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Qual o maior inteiro que divide (n - 2)^2 (n - 1)^2 n^2 (n + 1)^2 (4 n^2 -
> 4 n - 9))?
> Eu sei resolver esse problema com meu algoritmo, porém gostaria de saber
> como os colegas o resolveriam.
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Inteiros (divisibilidade)

[Pedro José]

Bom dia!
Caso contrário fica simples.
b=-1 ==> a= -1 (-1,-1)
b=0 ou b=-2  ==> qualquer a
a=-1 ==> b qualquer
Para outros casos: a+1 é múltiplo de b+1
Generalizando:  |a+1|= |k(b+1)| com k inteiro

Em qua., 18 de mar. de 2020 às 09:04, Pedro José 
escreveu:

> Bom dia!
> Não há outra restrição?
> É igual perguntar quais os pares de inteiros (x,y) tais que x|y, com x=b+1
> e y=a+1.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em qua., 18 de mar. de 2020 às 08:51, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Determine todos os pares de inteiros a e b tais que a divide b+1 e b
>> divide a+1
>> Desde já agradeço
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Inteiros (divisibilidade)

[Pedro José]

Bom dia!
Não há outra restrição?
É igual perguntar quais os pares de inteiros (x,y) tais que x|y, com x=b+1
e y=a+1.

Saudações,
PJMS

Em qua., 18 de mar. de 2020 às 08:51, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Determine todos os pares de inteiros a e b tais que a divide b+1 e b
> divide a+1
> Desde já agradeço
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problema

[Pedro José]

Boa noite!
Você já formulou esse problema em set/2019 e Daniel Jelin apresentou uma
bela solução.
Saudações,
PJMS

Em ter, 17 de mar de 2020 19:26,  escreveu:

> Problema
> Um mágico e seu assistente realizam um truque da maneira seguinte. Existem
> 12 caixas vazias e fechadas, colocadas em fila. O mágico sai da sala e uma
> pessoa do público escolhe duas caixas e esconde em cada uma delas uma
> moeda, deixando a fila de caixas da mesma forma como era, mas o assistente
> sabe quais são as duas caixas que têm as moedas. O mágico retorna para a
> sala e o assistente escolhe uma caixa que ele sabe que está vazia. Das
> restantes, o mágico então escolhe quatro caixas que são abertas
> simultaneamente. O objetivo do mágico é que, entre essas quatro caixas,
> duas contenham as moedas.
> Desenvolva um método que permita que o mágico e seu assistente realizem a
> mágica com sucesso
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.Booa
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Pedro José]

Boa noite!
Aí, como dizia minha falecida vó, são outros quinhentos.
Como nas propostas anteriores n era natural. Vamos seguir nessa linha, se
não for reformule o problema.
Seja f(n)=   n (427 - 90n - 70n^2 + 45n^3 + 18n^4)
f(0)=0 qualquer natural divide, portanto, é indiferente.
f(1)= 330
f(2)= 1230
É fácil verificar que mdc(330,1230)=30 então D<=30, onde D é o máximo
inteiro que divide f(n) para todo n natural.
f(n) = 7n +5n^4 + 8 n^5 mod 10.
f(0)=0 mod10
f(1)= 20 = 0 mod10
f(2)= 350= 0 mod10
f(3)= 2370 = 0 mod10
f(4)= 9500 = 0 mod10
f(5)= 28160 = 0 mod10
f(6)=68730 = 0 mod10
f(7)=146510 = 0 mod10
f(8)=282680 = 0 mod10
f(9)=505260 = 0 mod10
logo 10 | f(n) para qualquer n natural.

f(n) = n -n^3 mod 3
f(0) = 0 mod 3
f(1) = 0 mod 3
f(2)= -6 = 0 mod 3
logo 3| f(n) para todo n natural
então D = 30.

Saudações,
PJMS



Em ter., 17 de mar. de 2020 às 11:57, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Sim é isso q eu quis dizer
>
> Em ter, 17 de mar de 2020 11:12, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <
> g...@impa.br> escreveu:
>
>> Acho que a pergunta deve ser qual é o maior inteiro positivo que divide
>> essa expressão para todo valor de n ao mesmo tempo.
>>
>> On Tue, Mar 17, 2020 at 6:58 AM Pedro José  wrote:
>>
>>> Bom dia!
>>> Se você considerar a expressão n(427-90n-70n^2+45n^3+18n^4)
>>> D=|n(427-90n-70n^2+45n^3+18n^4)|
>>> Por exemplo, n=1
>>> D=330.
>>> Agora se liberar n para variar D tende a oo.
>>>
>>> Se n for raiz da expressão, também tende a oi, pois qualquer inteiro
>>> divide 0.
>>>
>>>
>>> Em seg, 16 de mar de 2020 22:16, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>>> não entendi
>>>>
>>>> Em seg., 16 de mar. de 2020 às 22:01, Pedro José 
>>>> escreveu:
>>>>
>>>>> Para um dado n é o módulo do valor da expressão.
>>>>>
>>>>> Em seg, 16 de mar de 2020 21:49, Pedro José 
>>>>> escreveu:
>>>>>
>>>>>> Boa noite!
>>>>>> O módulo dessa expressão tende a oo. Não existe máximo.
>>>>>> Saudações,
>>>>>> PJMS
>>>>>>
>>>>>> Em seg, 16 de mar de 2020 20:36, Israel Meireles Chrisostomo <
>>>>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>>>>
>>>>>>> Qual é o maior inteiro que divide  n (427 - 90n - 70n^2 + 45n^3 +
>>>>>>> 18n^4)?
>>>>>>>
>>>>>>> --
>>>>>>> Israel Meireles Chrisostomo
>>>>>>>
>>>>>>> --
>>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>>>
>>>>>>
>>>>> --
>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>
>>>>
>>>>
>>>> --
>>>> Israel Meireles Chrisostomo
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Pedro José]

Bom dia!
Se você considerar a expressão n(427-90n-70n^2+45n^3+18n^4)
D=|n(427-90n-70n^2+45n^3+18n^4)|
Por exemplo, n=1
D=330.
Agora se liberar n para variar D tende a oo.

Se n for raiz da expressão, também tende a oi, pois qualquer inteiro divide
0.


Em seg, 16 de mar de 2020 22:16, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> não entendi
>
> Em seg., 16 de mar. de 2020 às 22:01, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Para um dado n é o módulo do valor da expressão.
>>
>> Em seg, 16 de mar de 2020 21:49, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa noite!
>>> O módulo dessa expressão tende a oo. Não existe máximo.
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>> Em seg, 16 de mar de 2020 20:36, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>>> Qual é o maior inteiro que divide  n (427 - 90n - 70n^2 + 45n^3 +
>>>> 18n^4)?
>>>>
>>>> --
>>>> Israel Meireles Chrisostomo
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Pedro José]

Boa noite!
O módulo dessa expressão tende a oo. Não existe máximo.
Saudações,
PJMS

Em seg, 16 de mar de 2020 20:36, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Qual é o maior inteiro que divide  n (427 - 90n - 70n^2 + 45n^3 + 18n^4)?
>
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Pedro José]

Para um dado n é o módulo do valor da expressão.

Em seg, 16 de mar de 2020 21:49, Pedro José  escreveu:

> Boa noite!
> O módulo dessa expressão tende a oo. Não existe máximo.
> Saudações,
> PJMS
>
> Em seg, 16 de mar de 2020 20:36, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Qual é o maior inteiro que divide  n (427 - 90n - 70n^2 + 45n^3 + 18n^4)?
>>
>> --
>> Israel Meireles Chrisostomo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Pedro José]

Boa tarde!

Difícil generalizar. Mas consegui dois valores que não zeram a expressão
(soluções triviais), a duras penas, n=32 e n=43.
Vou continuar pensando no assunto.

Saudações,
PJMS


Em dom., 15 de mar. de 2020 às 18:48, Pedro José 
escreveu:

> Boa tarde!
> Faltou um contraexemplo.
> n=5
> 3^2*4^2*5^2*6^2*71 não é múltiplo de 11 nem de 37.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em sáb, 14 de mar de 2020 19:47, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa noite!
>> Creio que a pergunta correta seria, para que valores de n natural...
>> 8140=2^2*5*11*37. Então a solução só se dará para um subconjunto dos
>> naturais diferente de|N.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>> Em sex, 13 de mar de 2020 20:05, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>>   Dado n natural verifique se a expressão
>>>  (n − 2)² (n − 1)²n² (n + 1)² (4n²− 4n − 9)/8140 é um número inteiro
>>>
>>> --
>>> Israel Meireles Chrisostomo
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Pedro José]

Boa tarde!
Faltou um contraexemplo.
n=5
3^2*4^2*5^2*6^2*71 não é múltiplo de 11 nem de 37.

Saudações,
PJMS

Em sáb, 14 de mar de 2020 19:47, Pedro José  escreveu:

> Boa noite!
> Creio que a pergunta correta seria, para que valores de n natural...
> 8140=2^2*5*11*37. Então a solução só se dará para um subconjunto dos
> naturais diferente de|N.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em sex, 13 de mar de 2020 20:05, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>>   Dado n natural verifique se a expressão
>>  (n − 2)² (n − 1)²n² (n + 1)² (4n²− 4n − 9)/8140 é um número inteiro
>>
>> --
>> Israel Meireles Chrisostomo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

[Pedro José]

Boa noite!
Creio que a pergunta correta seria, para que valores de n natural...
8140=2^2*5*11*37. Então a solução só se dará para um subconjunto dos
naturais diferente de|N.

Saudações,
PJMS


Em sex, 13 de mar de 2020 20:05, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

>   Dado n natural verifique se a expressão
>  (n − 2)² (n − 1)²n² (n + 1)² (4n²− 4n − 9)/8140 é um número inteiro
>
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Soma surpreendentemente inteira

[Pedro Cardoso]

Olá, amigos.

Gostaria de ajuda para calcular a segunte soma:

Soma com n variando de 1 a 7 de
3/(cos(24n)-1)

Com o argumento do cos em graus

Aparentemente essa soma é 56, não consegui entender porque

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] período de dízima

[Pedro José]

Boa noite!

Alguém poderia provar ou derrubar a conjectura a seguir?

Seja s/t uma fração em que t não divide s e (s,t)=1; seja t=2^a.2^b.n
O número de algarismos da parte não periódica é o max(a,b) e o número de
algarismos da parte periódica é a ord 10 mod n.
Representação decimal.

Saudações,
PJMS

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Pedro José]

Boa noite!
Errata da nota anterior independente de m e não de m, supondo (m,n)=1 e m/n
não inteiro.
Outro ponto não há necessidade a verificação de se o proposto vale para
quando n for múltiplo de 2 ou de 10, pois a ordem m mod n só existe se
(10,n)=1. Foi bobagem só ter aventado a possibilidade.
não coloquei como cheguei a conclusão de que era ordem 10 mod n, pois achei
bem intuitivo. Mas na hora que fui mostrar, achei complicado o que julgara
fácil. Mas quanto a isso estou seguro.
Para (n,m)=1 e (n,10)=1 e n/m não inteiro.
Se m>n pode-se representar por uma fração q j/n com q, j e n inteiros e
(j,n)=1 pois m=qn+j e se d<>1 divide n e j então d|m pois m é uma Z
combinação linear de j e n. Absurdo pois(m,n)=1 por hipótese.
Então sem perda de generalidade podemos só trabalhar para o caso m=2, está correta.

Saudações,
PJMS


Em dom, 8 de mar de 2020 16:09, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
> Douglas,
> Não creio, no meu entendimento 3^2003 é o número de algarismos da dízima
> pois, é a ordem 10 módulo 3^2005.
> 1/3^2005 tem uma montoeira de algarismos zeros no início do período o que
> não acontece em 3^2005.
> O número de algarismos do período de uma dízima m/n, pelo menos quando n
> não  é múltiplo dos primos 2 e 5 é ord10mod n e independe de n. Nao
> verifiquei se vale sem a restriçao.
> Por exemplo o período de 1/7 é 142857 e ord 10 mod 7 = 6.
> Se aquele fosse o período da dízima bastaria fazer n =[log10 (3^2003)+1]
> onde colchetes representam parte inteira..
> Minha dúvida está na prova por absurdo, que ord 10 mod 3^n= 3^(n-2).
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
> Em dom, 8 de mar de 2020 11:31, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> 3^2003 é o período certo??, o número de dígitos disso que seria a
>> pergunta.
>> 
>>
>> Douglas oliveira
>>
>> Em dom, 8 de mar de 2020 11:13, Prof. Douglas Oliveira <
>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Olá Pedro, primeiramente muito obrigado pela sua solução, eu dei uma
>>> olhada rápida e acredito estar correta. Estarei olhando com mais calma,
>>> assim que tiver um tempinho.
>>>
>>> Douglas Oliveira.
>>>
>>> Em dom, 8 de mar de 2020 11:05, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
>>>> Bom dia!
>>>> Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou
>>>> matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de
>>>> espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender
>>>> fica para o futuro. Quando me aposentar  cursar uma faculdade de
>>>> matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém
>>>> poderia me informar se está correto?
>>>> Saudações,
>>>> PJMS.
>>>>
>>>> Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José 
>>>> escreveu:
>>>>
>>>>> Boa tarde!
>>>>> Não me senti muito seguro na resposta. Está correto?
>>>>>
>>>>> Saudações,
>>>>> PJMS
>>>>>
>>>>> Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José 
>>>>> escreveu:
>>>>>
>>>>>> Boa noite!
>>>>>> Creio ter conseguido.
>>>>>> Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1
>>>>>> então k é a ordem 10 mod 3^2005.
>>>>>> 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então
>>>>>> pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i)
>>>>>> Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se
>>>>>> x<>3^(n-2) absurdo; pois, teria que ser 3^k com k>>>>> e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2>>>>> ord 10 mod 3^2005 =3^2003
>>>>>> 3^2003 algarismos
>>>>>> Saudações,
>>>>>> PJMS
>>>>>>
>>>>>> Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José 
>>>>>> escreveu:
>>>>>>
>>>>>>> Boa tarde!
>>>>>>> 3^2005 e não 10^2005.
>>>>>>>
>>>>>>> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José 
>>>>>>> escreveu:
>>>>>>>
>>>>>>>> Boa tarde!
>>>>>>>> Questão complicada.
>>>>>>>> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10
>>>>>>>> mod 10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
>>>>>>>> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí da

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Pedro José]

Boa tarde!
Douglas,
Não creio, no meu entendimento 3^2003 é o número de algarismos da dízima
pois, é a ordem 10 módulo 3^2005.
1/3^2005 tem uma montoeira de algarismos zeros no início do período o que
não acontece em 3^2005.
O número de algarismos do período de uma dízima m/n, pelo menos quando n
não  é múltiplo dos primos 2 e 5 é ord10mod n e independe de n. Nao
verifiquei se vale sem a restriçao.
Por exemplo o período de 1/7 é 142857 e ord 10 mod 7 = 6.
Se aquele fosse o período da dízima bastaria fazer n =[log10 (3^2003)+1]
onde colchetes representam parte inteira..
Minha dúvida está na prova por absurdo, que ord 10 mod 3^n= 3^(n-2).

Saudações,
PJMS



Em dom, 8 de mar de 2020 11:31, Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> 3^2003 é o período certo??, o número de dígitos disso que seria a pergunta.
> 
>
> Douglas oliveira
>
> Em dom, 8 de mar de 2020 11:13, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá Pedro, primeiramente muito obrigado pela sua solução, eu dei uma
>> olhada rápida e acredito estar correta. Estarei olhando com mais calma,
>> assim que tiver um tempinho.
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>> Em dom, 8 de mar de 2020 11:05, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Bom dia!
>>> Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou
>>> matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de
>>> espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender
>>> fica para o futuro. Quando me aposentar  cursar uma faculdade de
>>> matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém
>>> poderia me informar se está correto?
>>> Saudações,
>>> PJMS.
>>>
>>> Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
>>>> Boa tarde!
>>>> Não me senti muito seguro na resposta. Está correto?
>>>>
>>>> Saudações,
>>>> PJMS
>>>>
>>>> Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José 
>>>> escreveu:
>>>>
>>>>> Boa noite!
>>>>> Creio ter conseguido.
>>>>> Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1
>>>>> então k é a ordem 10 mod 3^2005.
>>>>> 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então
>>>>> pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i)
>>>>> Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se
>>>>> x<>3^(n-2) absurdo; pois, teria que ser 3^k com k>>>> e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2>>>> ord 10 mod 3^2005 =3^2003
>>>>> 3^2003 algarismos
>>>>> Saudações,
>>>>> PJMS
>>>>>
>>>>> Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José 
>>>>> escreveu:
>>>>>
>>>>>> Boa tarde!
>>>>>> 3^2005 e não 10^2005.
>>>>>>
>>>>>> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José 
>>>>>> escreveu:
>>>>>>
>>>>>>> Boa tarde!
>>>>>>> Questão complicada.
>>>>>>> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10
>>>>>>> mod 10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
>>>>>>> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas
>>>>>>> parece que não...
>>>>>>> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim.
>>>>>>> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2)
>>>>>>> para n>=2.
>>>>>>> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a
>>>>>>> conjectura esteja correta.
>>>>>>>
>>>>>>> Saudações,
>>>>>>> PJMS
>>>>>>>
>>>>>>> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira <
>>>>>>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>>>>>>
>>>>>>>> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?
>>>>>>>>
>>>>>>>>
>>>>>>>> Saudações
>>>>>>>> Douglas Oliveira
>>>>>>>>
>>>>>>>> --
>>>>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>>>>
>>>>>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Pedro José]

Bom dia!
Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou
matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de
espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender
fica para o futuro. Quando me aposentar  cursar uma faculdade de
matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém
poderia me informar se está correto?
Saudações,
PJMS.

Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
> Não me senti muito seguro na resposta. Está correto?
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa noite!
>> Creio ter conseguido.
>> Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1 então
>> k é a ordem 10 mod 3^2005.
>> 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então
>> pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i)
>> Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se x<>3^(n-2)
>> absurdo; pois, teria que ser 3^k com k> e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2> ord 10 mod 3^2005 =3^2003
>> 3^2003 algarismos
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>> 3^2005 e não 10^2005.
>>>
>>> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
>>>> Boa tarde!
>>>> Questão complicada.
>>>> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod
>>>> 10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
>>>> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas
>>>> parece que não...
>>>> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim.
>>>> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2)
>>>> para n>=2.
>>>> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a
>>>> conjectura esteja correta.
>>>>
>>>> Saudações,
>>>> PJMS
>>>>
>>>> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira <
>>>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>>>
>>>>> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?
>>>>>
>>>>>
>>>>> Saudações
>>>>> Douglas Oliveira
>>>>>
>>>>> --
>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>
>>>>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Pedro José]

Boa tarde!
Não me senti muito seguro na resposta. Está correto?

Saudações,
PJMS

Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José 
escreveu:

> Boa noite!
> Creio ter conseguido.
> Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1 então
> k é a ordem 10 mod 3^2005.
> 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então pelo
> lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i)
> Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se x<>3^(n-2)
> absurdo; pois, teria que ser 3^k com k e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2 ord 10 mod 3^2005 =3^2003
> 3^2003 algarismos
> Saudações,
> PJMS
>
> Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> 3^2005 e não 10^2005.
>>
>> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>> Questão complicada.
>>> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod
>>> 10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
>>> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas parece
>>> que não...
>>> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim.
>>> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2)
>>> para n>=2.
>>> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a conjectura
>>> esteja correta.
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira <
>>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>>> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?
>>>>
>>>>
>>>> Saudações
>>>> Douglas Oliveira
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Pedro José]

Boa noite!
Creio ter conseguido.
Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1 então k
é a ordem 10 mod 3^2005.
3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então pelo
lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i)
Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se x<>3^(n-2)
absurdo; pois, teria que ser 3^k com k escreveu:

> Boa tarde!
> 3^2005 e não 10^2005.
>
> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> Questão complicada.
>> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod
>> 10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
>> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas parece
>> que não...
>> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim.
>> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) para
>> n>=2.
>> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a conjectura
>> esteja correta.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira <
>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?
>>>
>>>
>>> Saudações
>>> Douglas Oliveira
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Pedro José]

Boa tarde!
3^2005 e não 10^2005.

Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
> Questão complicada.
> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod
> 10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas parece
> que não...
> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim.
> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) para
> n>=2.
> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a conjectura
> esteja correta.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?
>>
>>
>> Saudações
>> Douglas Oliveira
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Pedro José]

Boa tarde!
Questão complicada.
Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod
10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas parece
que não...
Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim.
O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) para
n>=2.
Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a conjectura
esteja correta.

Saudações,
PJMS

Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?
>
>
> Saudações
> Douglas Oliveira
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Ângulos em um triângulo

[Pedro Cardoso]

Deve haver um jeito mais fácil, mas foi o que eu pensei agora

Construa os circumcírculos de ABM e NBC. Pela lei dos senos, eles têm o
mesmo raio.
Seja X o centro do circuncírculo de ABM, e Y o de NBC.
B está na intersersão dos circumcírculos, então B está na mediatriz de XY.
AXM, NYC e XBY são isósceles.
ABC e MBN são isósceles
O pé da altura de B em relação a MN coincide com Q.
BQC=90°

Em qui, 13 de fev de 2020 22:42, Vanderlei Nemitz 
escreveu:

> Boa noite!
>
> Usei várias leis dos senos, obtive coisas legais, mas não o ângulo pedido.
> Alguém conhece algo interessante?
>
>
>
> Muito obrigado!
>
>
>
> *Em um triângulo ABC, os pontos consecutivos M, Q, N do lado AC são tais
> que AM = NC. Se Q é ponto médio de MN e os ângulos NBC e ABM medem 20º,
> calcule a medida do ângulo BQC.*
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Cálculo do Volume de um Sólido

[Pedro José]

Bom dia!
Alguém poderia me ajudar e mostrar onde errei os limites? Resolvendo por
integral tripla, usando f(x,y,z)=1.

Grato,
PJMS

Em ter, 11 de fev de 2020 13:11, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
>
> Resolvi por método numérico usando, pelo menos penso eu, os mesmos limites
> e encontrei 2,1329, muito próximo da resposta. Gostaria que alguém me
> ajudasse onde errei na integral tripla.
> Usei z^2-y e 2z-y como os limites para integral em dx. Em seguida, z^2 e
> 2z para dy e finalmente 0 e 2 para dz.
> Onde está o erro?
> Grato,
> PJMS
>
> Em ter, 11 de fev de 2020 12:49, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> O sólido é a região do 1o octante (todas as coordenadas positivas)
>> compreendida entre os planos x-z e y-z, acima do plano z = (x+y)/2 e abaixo
>> da z = raiz(x+y).
>> A superfície e o plano se intersectam numa reta:
>> raiz(x+y) = (x+y)/2 ==> x+y = (x+y)^2/4 ==> x+y = 4, contida no plano z =
>> 2.
>>
>> Assim, o volume pode ser dado pela diferença entre duas integrais duplas,
>> calculadas sobre o domínio D, no plano x-y, dado por x > 0, y > 0 e x+y = 4.
>> Volume = Integral(D) raiz(x+y)*dA - Integral(D) (x+y)/2*dA.
>>
>> Usando coordenadas cartesianas, a primeira integral fica:
>> Integral(x=0...4)Integral(y=0...4-x)*raiz(x+y)*dy*dx
>> = Integral(0...4) (2/3)*(4^(3/2) - x^(3/2))*dx
>> = Integral(0...4) (16/3 - (2/3)*x^(3/2))
>> = 64/3 - (4/15)*4^(5/2)
>> = 64/3 - 128/15
>> = 64/5
>>
>> A segunda integral é:
>> Integral(x=0...4)Integral(y=0...4-x) (x+y)/2*dy*dx
>> = Integral(x=0...4) (1/2)*(x*(4-x) + (4-x)^2/2)*dx
>> = Integral(0...4) (4 - x^2/4)*dx
>> = 32/3
>>
>> Logo, o volume é 64/5 - 32/3 = 32/15  (se não errei nenhuma conta...)
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>> On Mon, Feb 3, 2020 at 8:55 PM Luiz Antonio Rodrigues <
>> rodrigue...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Olá, pessoal!
>>> Tudo bem?
>>> Estou tentando resolver o seguinte problema:
>>>
>>> Ache o volume da região tridimensional definida por:
>>>
>>> z^2>>
>>> Sendo que:
>>> x>0 e y>0 e z>0
>>>
>>> Com o auxílio de um software eu consegui visualizar o sólido em questão.
>>> Eu calculei o volume do sólido girando em torno do eixo z e dividindo o
>>> resultado por 4.
>>> A resposta que eu obtive foi (16*pi)/15, que não está correta.
>>> Já refiz os cálculos muitas vezes e chego sempre na mesma resposta.
>>> Alguém pode me ajudar?
>>> Muito obrigado e um abraço!
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Cálculo do Volume de um Sólido

[Pedro José]

Boa tarde!

Resolvi por método numérico usando, pelo menos penso eu, os mesmos limites
e encontrei 2,1329, muito próximo da resposta. Gostaria que alguém me
ajudasse onde errei na integral tripla.
Usei z^2-y e 2z-y como os limites para integral em dx. Em seguida, z^2 e 2z
para dy e finalmente 0 e 2 para dz.
Onde está o erro?
Grato,
PJMS

Em ter, 11 de fev de 2020 12:49, Claudio Buffara 
escreveu:

> O sólido é a região do 1o octante (todas as coordenadas positivas)
> compreendida entre os planos x-z e y-z, acima do plano z = (x+y)/2 e abaixo
> da z = raiz(x+y).
> A superfície e o plano se intersectam numa reta:
> raiz(x+y) = (x+y)/2 ==> x+y = (x+y)^2/4 ==> x+y = 4, contida no plano z =
> 2.
>
> Assim, o volume pode ser dado pela diferença entre duas integrais duplas,
> calculadas sobre o domínio D, no plano x-y, dado por x > 0, y > 0 e x+y = 4.
> Volume = Integral(D) raiz(x+y)*dA - Integral(D) (x+y)/2*dA.
>
> Usando coordenadas cartesianas, a primeira integral fica:
> Integral(x=0...4)Integral(y=0...4-x)*raiz(x+y)*dy*dx
> = Integral(0...4) (2/3)*(4^(3/2) - x^(3/2))*dx
> = Integral(0...4) (16/3 - (2/3)*x^(3/2))
> = 64/3 - (4/15)*4^(5/2)
> = 64/3 - 128/15
> = 64/5
>
> A segunda integral é:
> Integral(x=0...4)Integral(y=0...4-x) (x+y)/2*dy*dx
> = Integral(x=0...4) (1/2)*(x*(4-x) + (4-x)^2/2)*dx
> = Integral(0...4) (4 - x^2/4)*dx
> = 32/3
>
> Logo, o volume é 64/5 - 32/3 = 32/15  (se não errei nenhuma conta...)
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Mon, Feb 3, 2020 at 8:55 PM Luiz Antonio Rodrigues <
> rodrigue...@gmail.com> wrote:
>
>> Olá, pessoal!
>> Tudo bem?
>> Estou tentando resolver o seguinte problema:
>>
>> Ache o volume da região tridimensional definida por:
>>
>> z^2>
>> Sendo que:
>> x>0 e y>0 e z>0
>>
>> Com o auxílio de um software eu consegui visualizar o sólido em questão.
>> Eu calculei o volume do sólido girando em torno do eixo z e dividindo o
>> resultado por 4.
>> A resposta que eu obtive foi (16*pi)/15, que não está correta.
>> Já refiz os cálculos muitas vezes e chego sempre na mesma resposta.
>> Alguém pode me ajudar?
>> Muito obrigado e um abraço!
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise complexa - mostrar que f é sobrejetora

[Pedro Angelo]

Aparentemente, errei hehe. Achei engraçada essa explicação: funções
holomorfas não-inteiras também têm "série de potências inteiras" em
torno de cada ponto. Por que só as inteiras levam o nome?

Le lun. 10 févr. 2020 à 20:52, Bernardo Freitas Paulo da Costa
 a écrit :
>
> On Mon, Feb 10, 2020 at 8:16 PM Artur Costa Steiner
>  wrote:
> > O adjetivo inteira, em análise complexa,  não tem nada a ver com o que ele 
> > sugere. Acho uma terminologia infeliz, mas é consagrada.
>
> Um chute: em francês, o termo "série inteira" (por oposição a série
> fracionária) se refere às séries de potências (inteiras) da variável z
> (por oposição às "séries de Puiseux" onde há expoentes fracionários).
> E as funções inteiras têm expansão, convergente, como série de
> potências (inteiras) da variável z, f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n.
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise complexa - mostrar que f é sobrejetora

[Pedro Angelo]

Eu gosto de pensar o "inteira" como significando que a série de
potências f(z) = a_0 + a_1 z + ... converge no plano *inteiro*.

Le lun. 10 févr. 2020 à 20:16, Artur Costa Steiner
 a écrit :
>
>
>
> Em seg, 10 de fev de 2020 17:28, Anderson Torres 
>  escreveu:
>>
>> Em dom., 9 de fev. de 2020 às 21:50, Artur Costa Steiner
>>  escreveu:
>> >
>> > Nunca vi este curioso fato ser citado em lugar nenhum.É fácil de provar 
>> > recorrendo-se ao teorema de Picard. Será que há uma prova simples (ou uma 
>> > qualquer) que não recorra a este teorema?
>> >
>> > Se a não identicamente nula f for inteira e ímpar, então f é sobrejetora.
>> >
>>
>> O que é função inteira?
>>
>> Se f é uma função definida em um aberto V do plano complexo C, dizemos que f 
>> é holomorfa em V se f for diferenciável em cada elemento de V.
>
>
> Se V = C, dizemos que f é inteira. Assim, uma função de C em C é inteira 
> se for diferenciável em todo o C. É holomorfa em C.
>
> O adjetivo inteira, em análise complexa,  não tem nada a ver com o que ele 
> sugere. Acho uma terminologia infeliz, mas é consagrada.
>
> Artur
>
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Cálculo do Volume de um Sólido

[Pedro José]

Boa noite!
Não sei onde errei está dando exatamente a metade 16/15.
Saudações,
PJMS

Em seg, 10 de fev de 2020 15:46, Luiz Antonio Rodrigues <
rodrigue...@gmail.com> escreveu:

> Olá, Pedro!
> Tudo bem?
> Obrigado pela resposta!
> A resposta realmente não tem pi: é 32/15.
> Eu percebi ontem que o meu erro foi fazer uma rotação em torno do eixo z.
> Se seccionarmos a figura no plano xy teremos um trapézio.
> Vou pensar na sua sugestão e tentar fazer tudo de novo.
> Muito obrigado!
> Abraços!
> Luiz
>
>
>
> Em seg, 10 de fev de 2020 1:38 PM, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> Como no caso você tem a resposta, facilitaria se a expusesse.
>> Para evitar que postemos soluções erradas.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em qui., 6 de fev. de 2020 às 07:41, Anderson Torres <
>> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Em seg., 3 de fev. de 2020 às 20:55, Luiz Antonio Rodrigues
>>>  escreveu:
>>> >
>>> > Olá, pessoal!
>>> > Tudo bem?
>>> > Estou tentando resolver o seguinte problema:
>>> >
>>> > Ache o volume da região tridimensional definida por:
>>> >
>>> > z^2>> >
>>> > Sendo que:
>>> > x>0 e y>0 e z>0
>>> >
>>> > Com o auxílio de um software eu consegui visualizar o sólido em
>>> questão.
>>> > Eu calculei o volume do sólido girando em torno do eixo z e dividindo
>>> o resultado por 4.
>>> > A resposta que eu obtive foi (16*pi)/15, que não está correta.
>>> > Já refiz os cálculos muitas vezes e chego sempre na mesma resposta.
>>> > Alguém pode me ajudar?
>>>
>>> Tem como cê enviar as contas e o desenho que cê fez?
>>>
>>> > Muito obrigado e um abraço!
>>> >
>>> > --
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> =
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.