Bom dia!
Caso contrário fica simples.
b=-1 ==> a= -1 (-1,-1)
b=0 ou b=-2 ==> qualquer a
a=-1 ==> b qualquer
Para outros casos: a+1 é múltiplo de b+1
Generalizando: |a+1|= |k(b+1)| com k inteiro
Em qua., 18 de mar. de 2020 às 09:04, Pedro José
escreveu:
> Bom dia!
> Não há outra restrição?
> É
Bom dia!
Não há outra restrição?
É igual perguntar quais os pares de inteiros (x,y) tais que x|y, com x=b+1
e y=a+1.
Saudações,
PJMS
Em qua., 18 de mar. de 2020 às 08:51, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
> Determine todos os pares de inteiros a e b tais que
Determine todos os pares de inteiros a e b tais que a divide b+1 e b divide a+1
Desde já agradeço
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
spdg podemos supor que mdc(a,b,c) = 1 (caso contrário, basta dividir a, b,
c pelo mdc).
A identidade implica que a é par ==>
a = 2m (m inteiro) ==>
8m^3 + 2b^3 + 4c^3 = 0 ==>
b^3 + 2c^3 +4m^3 = 0 ==>
b é par ==>
b = 2n ==> etc... ==> c é par ==>
a = b = c = 0 ou mdc(a,b,c) > 1
Mas a segunda
Se a, b e c são inteiros tais que a^3 + 2b^3 + 4c^3 = 0, mostre que a=b=c=0
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
Boa noite!
Faltou a menção que N(r1) escreveu:
> Boa tarde!
>
> seja x = yq+r1 e x = zq+r2, onde x,y,z,q, r1 e r2 pertencem a Z[i]
>
> 1) Realmente [ N(r1-r2) = 2N(q) ou N(r1-r2)=N(q) ] e (r1-r2) | q
> Curiosamente, não há solução para x,y pertencentes a Z[i], x<>0 com N(x)
> = 3N(y)
>
>
Boa tarde!
seja x = yq+r1 e x = zq+r2, onde x,y,z,q, r1 e r2 pertencem a Z[i]
1) Realmente [ N(r1-r2) = 2N(q) ou N(r1-r2)=N(q) ] e (r1-r2) | q
Curiosamente, não há solução para x,y pertencentes a Z[i], x<>0 com N(x) =
3N(y)
Saudações,
PJMS
Em seg, 10 de set de 2018 às 14:49, Pedro José
Boa tarde!
Anderson,
desculpe-me mas não compreendi o que você referenciou como isso, pois
fizera três observações.
Saudações,
PJMS.
Em Seg, 10 de set de 2018 14:09, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
> Acho que isso ocorre porque ela não é muito óbvia. Quem em sã
Acho que isso ocorre porque ela não é muito óbvia. Quem em sã consciência
consegue relacionar o fato de x^2-p ser múltiplo de q e o de y^2-q ser
múltiplo de p? Só quem tem tempo livre para tabular e conjecturar isso.
Conjectura na mão, aí é demonstração.
Em 8 de set de 2018 01:02, "Claudio
Boa tarde!
Cláudio,
repassei o primeiro material e achei alguns pontos interessantes.
1) A demonstração de que um primo côngruo a 1 mod4 podia ser escrito como a
soma de quadrados de dois inteiros que conhecia, usava um conceito de
involução, e era super complicada. Nem me recordo mais. Aqui saiu
Se não me engano, os inteiros de Gauss foram inventados (descobertos) pelo
mesmo pra serem usados no estudo da reciprocidade biquadrática.
A meu ver, a maior dificuldade da reciprocidade quadrática é a falta de
motivação pras demonstrações. Todas as que eu conheço dependem de alguma
sacada genial
Boa tarde!
Cláudio,
devido ao corre corre do trabalho, só hoje tive oportunidade de ler o
material. Gostei bastante. Faltam as provas sugeridas e uma revisão da
parte de múltiplos utilizando o conceito de gráficos. Também entender os
casos que há mais de uma divisão de ß por
§. Quando a a parte
Nesse contexto (álgebra ou teoria dos números), a palavra "invertível" é
sinônima de "unidade" e talvez seja preferível, pra evitar justamente a
confusão com "A unidade" que, no contexto da aritmética elementar,
significa apenas 1.
On Mon, Aug 27, 2018 at 2:07 PM Pedro José wrote:
> Boa tarde!
Boa tarde!
Grato.
Eu vi a demonstração que não existem outros, pois, um dos coeficientes será
um racional não inteiro, 2/3, salvo engano.
Todavia, o que mais me assombrou foi a afirmação"...assim com em Z...". Se
esse conceito de ser "invertível" em Z, caracterizar unidade. Então -1,
também é
Acho que essa referência aqui tem tudo o que você precisa e mais um pouco:
http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/ugradnumthy/Zinotes.pdf
Aliás, os artigos desse cara tendem a ser muito bons. Estão aqui:
http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/
[]s,
Claudio.
On Mon, Aug 27, 2018 at
Pra evitar esta confusão, ao invés de "unidade" talvez seja melhor usar o
termo "invertível"
E daí sim, -1 é invertível em Z.
Os invertíveis de Z[i] são 1, -1, i e -i (e o exercício não trivial - mas
também não muito difícil - é provar que não há outros).
Sugiro o artigo na Eureka no. 14
Bom dia!
Solicito ajuda com sugestão para estudar o tópico em epígrafe, que não seja
pirata. Quem escreve livros, merece ganhar dinheiro por eles, a menos que
permita publicações em domínio público.
Aproveito, para pedir auxílio sobre uma dúvida. Li numa monografia que
trata desse tópico e: "Assim
2015-10-06 20:23 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges
:
> Determine todos os pares de inteiros x e y tais que x^2 - 2xy + 125y^2 =
> 2009
Isso dá (x-y)^2 + 124y^2 = 2009. Chame (x-y) de z, fica z^2 + 124y^2 =
2009. Daí:
y^2 < 2009/124 ~ 2000/125 = 16,
então basta
Determine todos os pares de inteiros x e y tais que x^2 - 2xy + 125y^2 = 2009
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
+3k) ≡ 7^2*(7^3)^k ≡ 4 (mod9)
-- Mensagem encaminhada --
De: Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com
Data: 26 de maio de 2015 23:37
Assunto: Re: [obm-l] inteiros positivos
Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br
Bom, é fácil ver que x=1 e y=1
: 26 de maio de 2015 23:37
Assunto: Re: [obm-l] inteiros positivos
Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br
Bom, é fácil ver que x=1 e y=1 satisfaz a equação, assim caso y seja maior
ou igual a 2,
teremos que 7^x=4 (mod 9), desta forma x=2 (mod 4), ou podemos dizer que x
é par da forma 2k
Assunto: Re: [obm-l] inteiros positivos
Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br
Bom, é fácil ver que x=1 e y=1 satisfaz a equação, assim caso y seja
maior ou igual a 2,
teremos que 7^x=4 (mod 9), desta forma x=2 (mod 4), ou podemos dizer que
x é par da forma 2k,
logo 7^2k-3^y=4, (7^k+2
Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com
Data: 26 de maio de 2015 23:37
Assunto: Re: [obm-l] inteiros positivos
Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br
Bom, é fácil ver que x=1 e y=1 satisfaz a equação, assim caso y seja
maior ou igual a 2,
teremos que 7^x=4 (mod 9), desta
: Re: [obm-l] inteiros positivos
Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br
Bom, é fácil ver que x=1 e y=1 satisfaz a equação, assim caso y seja
maior ou igual a 2,
teremos que 7^x=4 (mod 9), desta forma x=2 (mod 4), ou podemos dizer
que x é par da forma 2k,
logo 7^2k-3^y=4, (7^k+2)(7
Determine todos os inteiros positivos x e y tais que 7^x - 3^y = 4
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
Bom, é fácil ver que x=1 e y=1 satisfaz a equação, assim caso y seja maior
ou igual a 2,
teremos que 7^x=4 (mod 9), desta forma x=2 (mod 4), ou podemos dizer que x
é par da forma 2k,
logo 7^2k-3^y=4, (7^k+2)(7^k-2)=3^y, mas nao existem duas potências de 3
cuja diferença vale 4.
Assim só existe uma
Determinar todos os pares de inteiros (x,y) tais que 1 + 2^x + 2^(2x+1) =
y^2Agradeço desde já.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
2^n=(2k+1)(2x+1)^2-1=(2k+1)(4x^2+4x+1)-1=2k(4x^2+4x+1)+4x^2+4x=
2(k(4x^2+4x+1)+2x^2+2x)
2^(n-1)=(4k+2)x^2+(4k+2)x+k
delta=16k^2+16k+4-16k^2-8k=8k+4
x=(-2k-1+-sqrt(2k+1))/2(2k+1)
2^(n)=(2(2k+1)x+2k+1-sqrt(2k+1))(2(2k+1)x+2k+1+sqrt(2k+1))/(2k+1)
2k+1=y^2
y^22^n=(2y^2x+y^2-y)(2y^2x+y^2+y)
Bom dia!
Ontem a noite tive tempo e apanhei muito. Tá uns 5 x ) para o problema. Vou
pensar em outra linha.
Saudações,
PJMS
Em 6 de janeiro de 2015 08:48, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:
Bom dia!
A resposta é S = {(1,1) ; (1,-1) ; (3,5) ; (3;-5)}
Primeiramente é fácil verificar
Bom dia!
A resposta é S = {(1,1) ; (1,-1) ; (3,5) ; (3;-5)}
Primeiramente é fácil verificar que n Ɛ 2 Z + 1.
Também temos que m Ɛ 2 Z + 1; pois, se m Ɛ 2 Z == que 3^m é um quadrado
perfeito e não existem dois quadrados perfeitos cuja diferença dê 2.
O que falta formalizar é que 3^(2x+1) -
Determine todos os inteiros positivos n tais que (2^n +1) / n^2 é inteiro
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
Em 26 de dezembro de 2014 18:46, marcone augusto araújo borges
marconeborge...@hotmail.com escreveu:
Determinar todos os inteiros m e n tas que 3^m = n^2 + 2
--
m=0, não serve.
m=1, n=1 serve
Suponha m1.
Módulo 9: n^2+2=0
4^2+2=18
n=4 ou 5 módulo 9.
E n é ímpar, pois 3^m-2 é ímpar.
n2^(n-1)=(m-1)(m+1)
n=2^zw
m-1=2^xk
m+1=2^yu
w2^(n+z-1)=2^(x+y)ku
ku=w
n+z-1=x+y
1=2^(y-1)u-2^(x-1)k
soluçoes
u=29
y=1
k=7
x=3
w=203
n+z=5
2014-12-26 1:16 GMT-02:00 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com:
Ficou subentendido que m e n sao naturais positivos.
n=1 nao serve, entao o lado direito eh
Determinar todos os inteiros m e n tas que 3^m = n^2 + 2
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
n.2^(n-1) + 1 = m^2.Como resolver?n = 5 e m = 9.Outras soluções?
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
Ficou subentendido que m e n sao naturais positivos.
n=1 nao serve, entao o lado direito eh par. Entao m eh impar, digamos,
m=2k+1. Entao fica n.2^(n-1)=4k(k+1).
Como n=2 nao serve, podemos escrever n.2^(n-3)=k(k+1). Note que n=4 nao
serve, e n=5 dah aquela solucao.
Agora, o problema eh que um
...@hotmail.com escreveu:
Desculpem.Tá errado pois delta = 4(2m^3 - 1)
--
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
Date: Sun, 28 Sep 2014 19:16:26 +
Eu acabei vendo isso : m é ímpar por que o
Meus agradecimentos e meus parabéns ao Douglas e ao Pedro.Vocês mandaram muito
bem.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
)
--
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
Date: Sun, 28 Sep 2014 19:16:26 +
Eu acabei vendo isso : m é ímpar por que o primeiro membro é ímpar.
2n^2 + 2n + 1 - m^3 = 0
Delta = 4(2m^3 + 1)
2m^3 + 1 = t^2 = 2m^3 = (t+1)(t-1
escreveu:
Desculpem.Tá errado pois delta = 4(2m^3 - 1)
--
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
Date: Sun, 28 Sep 2014 19:16:26 +
Eu acabei vendo isso : m é ímpar por que o primeiro
)
--
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
Date: Sun, 28 Sep 2014 19:16:26 +
Eu acabei vendo isso : m é ímpar por que o primeiro membro é ímpar.
2n^2 + 2n + 1 - m^3 = 0
Delta = 4(2m^3 + 1)
2m
x(x+1) é par, y(y+1) é par, e z(z+1) é par
Douglas Oliveira.
Em 27 de setembro de 2014 22:55, marcone augusto araújo borges
marconeborge...@hotmail.com escreveu:
Mostre que a equação x^2 + y^2 + z^2 + x + y + z = 1 não tem solução
inteira
Sugestão : sete não pode ser escrito como soma de 3
Olá Douglas.Como ficou simples!Eu tinha pensado em uma esfera de raio
raiz(7/4)e centro (1/2,1/2,1/2).Pelo intervalo de variação de x,y e z,dá pra
concluir.Mas daquela sugestão é que não saquei o porquê.Obrigado!
--
Esta mensagem foi verificada pelo
Ola' Marcone,
x^2 + x + y^2 + y + z^2 + z = 1
x^2 + x + 1/4 + y^2 + y + 1/4 + z^2 + z + 1/4 = 7/4
(2x+1)^2 + (2y+1)^2 + (2z+1)^2 = 7
Como 7 nao e' soma de 3 quadrados...
[]'s
Rogerio Ponce
2014-09-28 11:07 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges
marconeborge...@hotmail.com:
Olá Douglas.Como
Mostre que a equação n^2 + (n+1)^2 = m^3 não tem solução,com m e n inteiros.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
Date: Sun, 28 Sep 2014 17:24:34 +
Mostre que a equação n^2 + (n+1)^2 = m^3 não tem solução,com m e n inteiros.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo
Desculpem.Tá errado pois delta = 4(2m^3 - 1)
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
Date: Sun, 28 Sep 2014 19:16:26 +
Eu acabei vendo isso : m é ímpar por que o primeiro membro é ímpar.2n^2 + 2n +
1 - m^3 = 0Delta = 4
Mostre que a equação x^2 + y^2 + z^2 + x + y + z = 1 não tem solução
inteiraSugestão : sete não pode ser escrito como soma de 3 quadrados.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
Determine todos os naturais a,b e c tais que a^3 - b^3 - c^3 = 3abc e a^2 =
2(b+c)
--
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acredita-se estar livre de perigo.
Oi Marcone, essa é do Mathematical Morsels.
Já que 3abc é positivo, devemos ter a^3 maior que b^3 e c^3.
Logo ba e ca dando b+c 2a e portanto a^2 4a , ou seja, a 4.
A segunda igualdade mostra também a é par , então a = 2, b = c = 1.
Abraços
Carlos Victor
Em 13 de setembro de 2014
Olá Carlos.Muito bom!Obrigado!
--
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acredita-se estar livre de perigo.
1)Sejam m e n números naturais tais que A = [(m+3)^n + 1]/3m é inteiro.
Mostre que A é impar,
3A=[C(N,0)m^n3^0+C(n,1)m^(n-1)3^1+...+c(n,n-2)m^23^(n-2)+c(n,n-1)m*3^(n-1)+c(n,n)3^n+1]/m=
=3Q+(m^n+3^n+1)/m
Para A ser inteiro
(m^n+3^n+1)/m=m^(n-1)+(3^n+1)/m tem que ser inteiro multiplo de 3
Para a letra b a questão foi da IMO de 1990.
Vou dividir em duas partes:
Parte I
1)Como o numerador é ímpar, n deve ser ímpar.
2)Agora vamos supor que 3^k divide n, ou seja 3^k
é a maior potência de 3 que divide n.
3)Assim 3^2k divide n^2 que por sua vez divide (2^n + 1).
4)Logo 2^n é
1)Sejam m e n números naturais tais que A = [(m+3)^n + 1]/3m é inteiro.Mostre
que A é impar
2) Determine todos os inteiros n 1 tais que (2^n + 1)/n^2 é inteiro.
--
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acredita-se estar livre de perigo.
Boa tarde!
Para um dado valor de a=a*, existe um máximo para soma
smax (a*) = 1/a* + 1/(a*+1) + 1/(a*+2) == smax 1 == 1/a* + 1/(a*+1) +
1/(a*+2) 1 == 3a*^2 + 6a* + 2 x^3 + 3a*^2 + 2a*
a*^3 - 4a*-2 0
Seja f(x) = x^3 - 4x -2 == f ' (x) = 3x^2 - 4 == que a função é monótona
crescente para x = 2.
Boa tarde!
Desculpe-me, na verdade é abc1 e fiz para cba1. Os ternos corretos
são (4,3,2) e (5,3,2).
E aresposta também não são os ternos mas o número deternos ordenados.
Portanto, dois para ambos os casos.
Em 7 de maio de 2014 14:36, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:
Boa tarde!
Para
Quantos ternos ordenados (a,b,c) de números inteiros,com a b c 1, existem
taisque 1/a + 1/b + 1/c 1 ?
--
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Para a primeira,fazendo x = y da pra ver que há infinitas soluções2x^2 =
y^3basta tomar x é da forma 2^(3n+1).b^3 e y = x^1/3mas eu gostaria de resolver
a equaçãoA segunda equação seria um caso particular da primeira
Date: Thu, 16 Jan 2014 20:09:56 -0200
Subject: Re: [obm-l] Inteiros(de novo
x^2 + y^2 = z^3 e x^2 + 4 = y^3
y^3+y^2-4=z^3
(-2,-2), (2,2)
2014/1/15 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
Onde encontro soluções de x^2 + y^2 = z^3 e x^2 + 4 = y^3?
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
(2,2,2)
2014/1/15 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
Onde encontro soluções de x^2 + y^2 = z^3 e x^2 + 4 = y^3?
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus
Onde encontro soluções de x^2 + y^2 = z^3 e x^2 + 4 = y^3?
--
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3^p^2+3^h^2+1=t^2
3^h^2+1 deve ser um numero quadratico senao nao existe um triangulo com 3^m
, 3^n+1 e t
3^h^2=k^2-1=(k-1)(k+1) que e impossivel pois os numeros da forma 3^m nao
podem ser colocados como produtos de numeros quase consecutivos.
2014/1/8 marcone augusto araújo borges
Mostre que a equação 3^m + 3^n + 1 = t^2 não tem solução nos inteiros
Mostre que há infinitos pares de naturais x,y tais que
Resolve em x, iguale o delta em y a k ao quadrado, resolva em y, iguale o delta
em k a k linha ao quadrado, resolva a equacao de pell
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Inteiros
Date: Sun, 10 Nov 2013 17:17:18 +
Mostre que há infinitos pares de
Sua solução está perfeita. Se for o caso, complete mostrando que 3n - 1 nunca é
quadrado perfeito. O que é fácil, pois, módulo 3, o quadrado de qualquer número
inteiro é congruente a 0 ou a 1, nunca a -1.
Qual é a solução do livro?
Artur Costa Steiner
Em 11/10/2013, às 23:11, marcone augusto
Mostre que não exstem inteiros positivos m,n tais que
Não
Um ou dois números são negativos
Se x é negativo, faça x' = -x
x'³ = y³+z³
Se x e y são negativos, faça x'=-x ey' = -y
x'³ + y'³ = z³
Ambos os casos são impossíveis pelo último teorema de fermat
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] inteiros
Date: Thu
Sejam x,y,z inteiros não nulos.É possível que x^3 + y^3 + z^3 = 0?
Segundo o teorema de Fermat não existem sluções inteiras para
x^a+y^a=z^a para a=3!!
porém ainda temos outra \ arrumando fica
x^3+y^3=(-z)ˆ3 que pelo UTF não há solução!!
On Thu, 7 Feb 2013
09:56:55 +, marcone augusto araújo borges wrote:
Sejam x,y,z
inteiros não nulos.É possível
1) Resolva a equação 3.2^m + 1 = n^2 2) x^2 + y^2 + z^2 = 8t - 1 Eu estou
tentando e não sai.Obrigado pela atenção.
Para a primeira eu fiz assim:
3*2^m + 1 = n²
Se m=0 então 4=n² e n=+-2
Se m=1 não temos soulucoes(basta checar!)
Se m1 então basta observar que n=2k+1 é ímpar, então 3*2^m = 4k²+4k =
3*2^(m-2) = k(k+1)
Como o lado esquerod é multiplo de 3 o lado direito tambem deve ser, logo
temos duas opções
(nem inteira).
Date: Fri, 26 Oct 2012 11:57:46 -0200
Subject: Re: [obm-l] Inteiros
From: heitor.iyp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Para a primeira eu fiz assim:
3*2^m + 1 = n²
Se m=0 então 4=n² e n=+-2
Se m=1 não temos soulucoes(basta checar!)
Se m1 então basta observar que n=2k+1 é ímpar
Isso mesmo.Depois de ter enviado a questão eu acabei percebendo isso.Obrigado.
From: athos...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Inteiros
Date: Fri, 26 Oct 2012 21:43:54 +
Para a segunda temos que:Um número ao quadrado pode ser côngruo a 0, 1 ou 4
módulo 8.A soma
Falou nobre amigo, que Deus continue lhe dando sabedoria...
Abraços
2008/4/4 Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]:
Ola Pedro e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Obviamente que todo par (X,Y) da forma (X,-X) e solucao, pois :
X^3 + (-X)^3 = 0 = (X+(-X))/2. Em particular, (0,0) e solucao.
Ola Pedro e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Obviamente que todo par (X,Y) da forma (X,-X) e solucao, pois :
X^3 + (-X)^3 = 0 = (X+(-X))/2. Em particular, (0,0) e solucao.
Se, porem, X+Y # 0, teremos :
X^3 + Y^3 = (X+Y)*(X^2 -XY + Y^2) = (X+Y)/2. = X^2 - XY + Y^2 = 1/2
= (X-Y)^2 = - (X^2
02. Ache todos os pares tais de números inteiros (x, y) tais que:
x^3 + y^3 = (x + y)^2
Mostre que se x,y,n,k sao inteiros positivos, e n é impar entao a equacao x^n -y^n=2^k nao tem solucoes inteiras positivas.
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x=5, y=3, n=1, k=1
- Original Message -
From:
Klaus
Ferraz
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Saturday, April 08, 2006 10:40
PM
Subject: [obm-l] Inteiros
Mostre que se x,y,n,k sao inteiros positivos, e n é impar entao a equacao
x^n -y^n=2^k nao tem solucoes
Dados inteiros positivos a, b com mdc(a,b) = 1, o problema é encontrar todos os inteiros positivos que podem ser representados na forma ax + by, onde x e y são inteiros não-negativos.
Nesse caso:
1) ab - a - b não pode ser representado;
2) todo inteiro maior do queab - a - b pode ser
Sendo a, b e c números inteiros naturais tais que a+b+c= 25 e a +2b+3c=40. Se c assume o maior valor possível, o produto a.b vale:a)7 b)17 c)18 d)20 e)21como que eu uso esse dado de c assumi o maior valor possivel ??
a + b + c = 25 a = 25 - b - ca + 2b + 3c = 40 25 - b - c + 2b + 3c = 40 b + 2c = 15 b = 15 - 2cComo b é inteiro = 0 , então c = 7 e b = 1, donde a = 17 e a.b = 17.1 = 17 letra BSdsHugo.Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED] escreveu: Sendo a, b e c números inteiros naturais tais
-
From:
Bruna Carvalho
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Tuesday, January 31, 2006 12:18
AM
Subject: [obm-l] Inteiros
Sendo a, b e c números inteiros naturais tais que a+b+c= 25 e a
+2b+3c=40. Se c assume o maior valor possível, o produto a.b
vale:a)7 b)17 c)18 d)20
e)21como que eu
Como p não é divisivel por 2, ele é impar.Se p é na forma 2n+1, ele é impar e nao divisivel por 3.Entao p^2 é impar e tambem não é divisivel por 3. Entao p^2 = 1 (mod 3). Portanto p^2 - 1 é divisivel por 3.
Logo, p^2 -1 = 0 (mod 6)4n^2 + 4n + 1 - 1 = 0 (mod 6)4n(n + 1)=0 (mod 6)4, n e n+1 são
Se p natural maior que 1 não é divisivel nem por 2 nem por 3, então
p^2-1 é divisilvel por:
a)18 b)24 c)36 d)9 e)27
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
Se p não é divisível por 2 nem por 3 devemos observar os numeros que não são
multiplos de 6
6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k-2, 6k-1
Porem desses numeros, somente o primeiro e o ultimo nos interessam, pois os
outros sao multiplos de 2 ou 3
Fazendo p²-1 = (6k+1)²-1 = 36k²+12k = 12k(k+1)
Neste caso o
PELA INDUÇÃO supomos K^5 termina com K e verificamos que para 1 vale,
depois provamos que:
VALE PARA K = VALE PARA K+1
use 1 na esquerda, temos 2
mas se temos 2, temos 3
... , ...
tipo um dominó
OBS: Na indução, temos que usar o fato de que vale para K para
conseguirmos provar para K+1 e as
Tio Cabri st wrote:
Se K é um número Natural então K^5 possui o mesmo algarismo das unidades.
TEntei fazer por indução empaquei.
Tentei demonstrar que k^5-K é múltiplo de dez empaquei novamente
Se você quiser fazer por indução, então o mais fácil
é quebrar o problema em dois: prove que k^5-k é
Hermann,
Eu tenho uma idéia:
Pelo método da multiplicação, sabemos que a unidade resultante
depende apenas de uma operação, que é a multiplicação dos algarismos
das unidades dos fatores. Desta forma, podemos provar diretamente para
cada um dos possíveis algarimos das unidades ([0;9]).
]
Subject: Re: [obm-l] inteiros
Date: Tue, 21 Sep 2004 17:59:21 -0300
Hermann,
Eu tenho uma idéia:
Pelo método da multiplicação, sabemos que a unidade resultante
depende apenas de uma operação, que é a multiplicação dos algarismos
das unidades dos fatores. Desta forma, podemos provar diretamente
]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] inteiros
Date: Tue, 21 Sep 2004 17:59:21 -0300
Hermann,
Eu tenho uma idéia:
Pelo método da multiplicação, sabemos que a unidade resultante
depende apenas de uma operação, que é a multiplicação dos
Outra soluçao para k^5 - k multiplo de 10:
Pelo pequeno teorema de Fermat temos: x^5 = x (mod 5) -- x^5 -x = 0 (mod 5)
--
x(x^4 -1)= 0 (mod5) -- x(x^4 -1) é multiplo de 5.
Agora suponha x impar: Temos x(x^4 -1) par
Suponha x par: Temos x(x^4 -1) par
Então x^5 -x é multiplo de 5 e par, logo é
Usando a forca bruta, concluimos por enumeracao - um
metodo tao veho quanto a humanidade - que a proposicao
eh verdadeira para todo numero par =0 de 1 digito,
isto eh, 0, 2, 4 , 6, 8. Deve haver como fazer isto de
modo cientifico, mas neste caso eh tao simples que
parece que aqui o processo
]
Subject: Re: [obm-l] inteiros
Hermann,
Eu tenho uma idéia:
Pelo método da multiplicação, sabemos que a unidade resultante
depende apenas de uma operação, que é a multiplicação dos algarismos
das unidades dos fatores. Desta forma, podemos provar diretamente para
cada um dos possíveis
Oi! Bem, para 1^5 = 1 o fato é verdade.Agora por indução temos que mostar que:
(K+1)^5 termina com k+1
(K+1)^5 = k^5 + 5K^4 + 10K^3 + 10K^2 + 5K + 1
= K^5 + 1 10( K^3 + K^2 ) 5K( k^3 + 1 )
-v v---v---
Veja comentario abaixo
From: Felipe Amaral [EMAIL PROTECTED]
Oi! Bem, para 1^5 = 1 o fato é verdade.Agora por indução temos que mostar
que:
(K+1)^5 termina com k+1
(K+1)^5 = k^5 + 5K^4 + 10K^3 + 10K^2 + 5K + 1
= K^5 + 1 10( K^3 + K^2 ) 5K( k^3 + 1 )
Este problema e muito legal!!!
Este foi o problema 6 da IMO de Canberra, Australia.Me contaram uma historia que era mais ou menos assim...
Estavam para escolher esse problema para ser o 6.So que ninguem tinha uma soluçao decente.Foram chamados os melhores especialistas em teoria dos numeros para
Eu não sei fazer. Alguem sabe? Como?
Mostre que dados a,b números naturais então se (a2 + b2)/(ab+1) é um
numero inteiro, então tambem é um quadrado perfeito
obrigado
--
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
[upon losing the use of his right eye]
Now I will have less distraction
Leonhard
Dê uma olhada em:
http://www.kalva.demon.co.uk/imo/imo88.html
É o problema B3.
[]s,
Claudio.
- Original Message -
From: niski [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, April 12, 2004 1:54 PM
Subject: [obm-l] inteiros e quadrados perfeitos...
Eu não sei fazer. Alguem sabe
O número de pares de inteiros positivos (x, y) que são
solução da equação 1/x + 1/y = 1/1992 é:
resposta: 63
___
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