Re: [obm-l] Inteiros (divisibilidade)

[Pedro José]

Bom dia!
Caso contrário fica simples.
b=-1 ==> a= -1 (-1,-1)
b=0 ou b=-2  ==> qualquer a
a=-1 ==> b qualquer
Para outros casos: a+1 é múltiplo de b+1
Generalizando:  |a+1|= |k(b+1)| com k inteiro

Em qua., 18 de mar. de 2020 às 09:04, Pedro José 
escreveu:

> Bom dia!
> Não há outra restrição?
> É igual perguntar quais os pares de inteiros (x,y) tais que x|y, com x=b+1
> e y=a+1.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em qua., 18 de mar. de 2020 às 08:51, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Determine todos os pares de inteiros a e b tais que a divide b+1 e b
>> divide a+1
>> Desde já agradeço
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Inteiros (divisibilidade)

[Pedro José]

Bom dia!
Não há outra restrição?
É igual perguntar quais os pares de inteiros (x,y) tais que x|y, com x=b+1
e y=a+1.

Saudações,
PJMS

Em qua., 18 de mar. de 2020 às 08:51, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Determine todos os pares de inteiros a e b tais que a divide b+1 e b
> divide a+1
> Desde já agradeço
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Inteiros (divisibilidade)

[marcone augusto araújo borges]

Determine todos os pares de inteiros a e b tais que a divide b+1 e b divide a+1
Desde já agradeço

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] inteiros

[Claudio Buffara]

spdg podemos supor que mdc(a,b,c) = 1 (caso contrário, basta dividir a, b,
c pelo mdc).

A identidade implica que a é par ==>
a = 2m  (m inteiro) ==>
8m^3 + 2b^3 + 4c^3 = 0 ==>
b^3 + 2c^3 +4m^3 = 0 ==>
b é par ==>
b = 2n ==> etc... ==> c é par ==>
a = b = c = 0   ou  mdc(a,b,c) > 1
Mas a segunda alternativa contradiz a hipótese inicial de ser mdc(a,b,c) =
1.


On Wed, Mar 6, 2019 at 4:29 PM marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> wrote:

> Se a, b e c são inteiros tais que a^3 + 2b^3 + 4c^3 = 0, mostre que a=b=c=0
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] inteiros

[marcone augusto araújo borges]

Se a, b e c são inteiros tais que a^3 + 2b^3 + 4c^3 = 0, mostre que a=b=c=0

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Inteiros de Gauss

[Pedro José]

Boa noite!
Faltou a menção que N(r1) escreveu:

> Boa tarde!
>
> seja x = yq+r1 e x = zq+r2, onde x,y,z,q, r1 e r2 pertencem a Z[i]
>
> 1) Realmente [ N(r1-r2) = 2N(q) ou N(r1-r2)=N(q) ] e (r1-r2) | q
> Curiosamente, não há solução para x,y  pertencentes a Z[i], x<>0 com N(x)
> = 3N(y)
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em seg, 10 de set de 2018 às 14:49, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> Anderson,
>> desculpe-me mas não  compreendi o que você referenciou como isso, pois
>> fizera três observações.
>> Saudações,
>> PJMS.
>>
>> Em Seg, 10 de set de 2018 14:09, Anderson Torres <
>> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Acho que isso ocorre porque ela não é muito óbvia. Quem em sã
>>> consciência consegue relacionar o fato de x^2-p ser múltiplo de q e o de
>>> y^2-q ser múltiplo de p? Só quem tem tempo livre para tabular e conjecturar
>>> isso.
>>> Conjectura na mão, aí é demonstração.
>>>
>>> Em 8 de set de 2018 01:02, "Claudio Buffara" 
>>> escreveu:
>>>
 Se não me engano, os inteiros de Gauss foram inventados (descobertos)
 pelo mesmo pra serem usados no estudo da reciprocidade biquadrática.

 A meu ver, a maior dificuldade da reciprocidade quadrática é a falta de
 motivação pras demonstrações. Todas as que eu conheço dependem de alguma
 sacada genial e usam métodos que não são nada óbvios.

 Talvez um bom ponto de partida seja o estudo da história do teorema.
 Por exemplo, aqui:
 http://seanelvidge.com/wp-content/uploads/2011/04/HistoryQR.pdf

 []s,
 Claudio.



 On Fri, Sep 7, 2018 at 6:23 PM Pedro José  wrote:

> Boa tarde!
> Cláudio,
> devido ao corre corre do trabalho, só hoje tive oportunidade de ler o
> material. Gostei bastante. Faltam as provas sugeridas e uma revisão da
> parte de múltiplos utilizando o conceito de gráficos. Também entender os
> casos que há mais de uma divisão de ß por
> §. Quando a a parte real, ou imaginária de ß * conjugado de § por
> N(§), dá um inteiro adicionado com 1/2 é fácil, mas tenho que pensar nos
> casos do exemplo 3.5. Lera que Gauss desenvolvera esse conjunto para
> facilitar o estudo de resíduos quadráticos. E tenho que vencer um trauma
> dese assunto. Pois tem a resoluçao de um problema da OBM, o 2 da OBM. 
> 2007,
> que não estava entendendo nada. Mas eu vou até o fim e releio, até
> compreender ou desistir.
> Só que ao final tinha: Agora é
> só um problema simples de contagem dos números da forma 2^(2k)*(8k+1)
> no intervalo  [-2007,2007] o que dá 0<= k<=6. Portanto, contando você
> encontra 670 valores.
> Primeiro julgava ser uma bijeçao e ser a mesma contagem. de k, apenas
> 7. Outro ponto é que 2^12*17> 2007.
> Aí eu sempre travo quando vou estudar residuos quadráticos e Legendre.
> Será que não tem uma literatura desse tópico, levada para os inteiros
> de Gauss?
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em Seg, 27 de ago de 2018 14:37, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Nesse contexto (álgebra ou teoria dos números), a palavra
>> "invertível" é sinônima de "unidade" e talvez seja preferível, pra evitar
>> justamente a confusão com "A unidade" que, no contexto da aritmética
>> elementar, significa apenas 1.
>>
>> On Mon, Aug 27, 2018 at 2:07 PM Pedro José 
>> wrote:
>>
>>> Boa tarde!
>>> Grato.
>>> Eu vi a demonstração que não existem outros, pois, um dos
>>> coeficientes será um racional não inteiro, 2/3, salvo engano.
>>> Todavia, o que mais me assombrou foi a afirmação"...assim com em
>>> Z...". Se esse conceito de ser "invertível" em Z, caracterizar unidade.
>>> Então -1, também é unidade em Z e nunca ouvira essa afirmação. Mas, 
>>> também
>>> não conhecia os inteiros de Gauss, até três dias atrás...
>>> -1 também é uma unidade em Z?
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>> Em seg, 27 de ago de 2018 às 12:31, Claudio Buffara <
>>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Pra evitar esta confusão, ao invés de "unidade" talvez seja melhor
 usar o termo "invertível"
 E daí sim, -1 é invertível em Z.
 Os invertíveis de Z[i] são 1, -1, i e -i (e o exercício não trivial
 - mas também não muito difícil - é provar que não há outros).

 Sugiro o artigo na Eureka no. 14  (Inteiros de Gauss e Inteiros de
 Eisenstein).
 Ou então dê um google em "Gaussian Integers".

 []s,
 Claudio.


 On Mon, Aug 27, 2018 at 12:04 PM Pedro José 
 wrote:

> Bom dia!
> Solicito ajuda com sugestão para estudar o tópico em epígrafe, que
> não seja pirata. Quem escreve livros, merece ganhar dinheiro por 
> eles, a
> menos que permita publicações em domínio público.
> Aproveito, para pedir auxílio sobre uma 

Re: [obm-l] Inteiros de Gauss

[Pedro José]

Boa tarde!

seja x = yq+r1 e x = zq+r2, onde x,y,z,q, r1 e r2 pertencem a Z[i]

1) Realmente [ N(r1-r2) = 2N(q) ou N(r1-r2)=N(q) ] e (r1-r2) | q
Curiosamente, não há solução para x,y  pertencentes a Z[i], x<>0 com N(x) =
3N(y)

Saudações,
PJMS

Em seg, 10 de set de 2018 às 14:49, Pedro José 
escreveu:

> Boa tarde!
> Anderson,
> desculpe-me mas não  compreendi o que você referenciou como isso, pois
> fizera três observações.
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em Seg, 10 de set de 2018 14:09, Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>
>> Acho que isso ocorre porque ela não é muito óbvia. Quem em sã consciência
>> consegue relacionar o fato de x^2-p ser múltiplo de q e o de y^2-q ser
>> múltiplo de p? Só quem tem tempo livre para tabular e conjecturar isso.
>> Conjectura na mão, aí é demonstração.
>>
>> Em 8 de set de 2018 01:02, "Claudio Buffara" 
>> escreveu:
>>
>>> Se não me engano, os inteiros de Gauss foram inventados (descobertos)
>>> pelo mesmo pra serem usados no estudo da reciprocidade biquadrática.
>>>
>>> A meu ver, a maior dificuldade da reciprocidade quadrática é a falta de
>>> motivação pras demonstrações. Todas as que eu conheço dependem de alguma
>>> sacada genial e usam métodos que não são nada óbvios.
>>>
>>> Talvez um bom ponto de partida seja o estudo da história do teorema. Por
>>> exemplo, aqui:
>>> http://seanelvidge.com/wp-content/uploads/2011/04/HistoryQR.pdf
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>>
>>> On Fri, Sep 7, 2018 at 6:23 PM Pedro José  wrote:
>>>
 Boa tarde!
 Cláudio,
 devido ao corre corre do trabalho, só hoje tive oportunidade de ler o
 material. Gostei bastante. Faltam as provas sugeridas e uma revisão da
 parte de múltiplos utilizando o conceito de gráficos. Também entender os
 casos que há mais de uma divisão de ß por
 §. Quando a a parte real, ou imaginária de ß * conjugado de § por N(§),
 dá um inteiro adicionado com 1/2 é fácil, mas tenho que pensar nos casos do
 exemplo 3.5. Lera que Gauss desenvolvera esse conjunto para facilitar o
 estudo de resíduos quadráticos. E tenho que vencer um trauma dese assunto.
 Pois tem a resoluçao de um problema da OBM, o 2 da OBM. 2007, que não
 estava entendendo nada. Mas eu vou até o fim e releio, até compreender ou
 desistir.
 Só que ao final tinha: Agora é
 só um problema simples de contagem dos números da forma 2^(2k)*(8k+1)
 no intervalo  [-2007,2007] o que dá 0<= k<=6. Portanto, contando você
 encontra 670 valores.
 Primeiro julgava ser uma bijeçao e ser a mesma contagem. de k, apenas
 7. Outro ponto é que 2^12*17> 2007.
 Aí eu sempre travo quando vou estudar residuos quadráticos e Legendre.
 Será que não tem uma literatura desse tópico, levada para os inteiros
 de Gauss?
 Saudações,
 PJMS.

 Em Seg, 27 de ago de 2018 14:37, Claudio Buffara <
 claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Nesse contexto (álgebra ou teoria dos números), a palavra "invertível"
> é sinônima de "unidade" e talvez seja preferível, pra evitar justamente a
> confusão com "A unidade" que, no contexto da aritmética elementar,
> significa apenas 1.
>
> On Mon, Aug 27, 2018 at 2:07 PM Pedro José 
> wrote:
>
>> Boa tarde!
>> Grato.
>> Eu vi a demonstração que não existem outros, pois, um dos
>> coeficientes será um racional não inteiro, 2/3, salvo engano.
>> Todavia, o que mais me assombrou foi a afirmação"...assim com em
>> Z...". Se esse conceito de ser "invertível" em Z, caracterizar unidade.
>> Então -1, também é unidade em Z e nunca ouvira essa afirmação. Mas, 
>> também
>> não conhecia os inteiros de Gauss, até três dias atrás...
>> -1 também é uma unidade em Z?
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em seg, 27 de ago de 2018 às 12:31, Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Pra evitar esta confusão, ao invés de "unidade" talvez seja melhor
>>> usar o termo "invertível"
>>> E daí sim, -1 é invertível em Z.
>>> Os invertíveis de Z[i] são 1, -1, i e -i (e o exercício não trivial
>>> - mas também não muito difícil - é provar que não há outros).
>>>
>>> Sugiro o artigo na Eureka no. 14  (Inteiros de Gauss e Inteiros de
>>> Eisenstein).
>>> Ou então dê um google em "Gaussian Integers".
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>> On Mon, Aug 27, 2018 at 12:04 PM Pedro José 
>>> wrote:
>>>
 Bom dia!
 Solicito ajuda com sugestão para estudar o tópico em epígrafe, que
 não seja pirata. Quem escreve livros, merece ganhar dinheiro por eles, 
 a
 menos que permita publicações em domínio público.
 Aproveito, para pedir auxílio sobre uma dúvida. Li numa monografia
 que trata desse tópico e: "Assim como nos inteiros Z, a unidade em 
 Z[i] é
 qualquer elemento de Z[i], que possua inverso multiplicativo."

Re: [obm-l] Inteiros de Gauss

[Pedro José]

Boa tarde!
Anderson,
desculpe-me mas não  compreendi o que você referenciou como isso, pois
fizera três observações.
Saudações,
PJMS.

Em Seg, 10 de set de 2018 14:09, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Acho que isso ocorre porque ela não é muito óbvia. Quem em sã consciência
> consegue relacionar o fato de x^2-p ser múltiplo de q e o de y^2-q ser
> múltiplo de p? Só quem tem tempo livre para tabular e conjecturar isso.
> Conjectura na mão, aí é demonstração.
>
> Em 8 de set de 2018 01:02, "Claudio Buffara" 
> escreveu:
>
>> Se não me engano, os inteiros de Gauss foram inventados (descobertos)
>> pelo mesmo pra serem usados no estudo da reciprocidade biquadrática.
>>
>> A meu ver, a maior dificuldade da reciprocidade quadrática é a falta de
>> motivação pras demonstrações. Todas as que eu conheço dependem de alguma
>> sacada genial e usam métodos que não são nada óbvios.
>>
>> Talvez um bom ponto de partida seja o estudo da história do teorema. Por
>> exemplo, aqui:
>> http://seanelvidge.com/wp-content/uploads/2011/04/HistoryQR.pdf
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>>
>> On Fri, Sep 7, 2018 at 6:23 PM Pedro José  wrote:
>>
>>> Boa tarde!
>>> Cláudio,
>>> devido ao corre corre do trabalho, só hoje tive oportunidade de ler o
>>> material. Gostei bastante. Faltam as provas sugeridas e uma revisão da
>>> parte de múltiplos utilizando o conceito de gráficos. Também entender os
>>> casos que há mais de uma divisão de ß por
>>> §. Quando a a parte real, ou imaginária de ß * conjugado de § por N(§),
>>> dá um inteiro adicionado com 1/2 é fácil, mas tenho que pensar nos casos do
>>> exemplo 3.5. Lera que Gauss desenvolvera esse conjunto para facilitar o
>>> estudo de resíduos quadráticos. E tenho que vencer um trauma dese assunto.
>>> Pois tem a resoluçao de um problema da OBM, o 2 da OBM. 2007, que não
>>> estava entendendo nada. Mas eu vou até o fim e releio, até compreender ou
>>> desistir.
>>> Só que ao final tinha: Agora é
>>> só um problema simples de contagem dos números da forma 2^(2k)*(8k+1) no
>>> intervalo  [-2007,2007] o que dá 0<= k<=6. Portanto, contando você encontra
>>> 670 valores.
>>> Primeiro julgava ser uma bijeçao e ser a mesma contagem. de k, apenas 7.
>>> Outro ponto é que 2^12*17> 2007.
>>> Aí eu sempre travo quando vou estudar residuos quadráticos e Legendre.
>>> Será que não tem uma literatura desse tópico, levada para os inteiros de
>>> Gauss?
>>> Saudações,
>>> PJMS.
>>>
>>> Em Seg, 27 de ago de 2018 14:37, Claudio Buffara <
>>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Nesse contexto (álgebra ou teoria dos números), a palavra "invertível"
 é sinônima de "unidade" e talvez seja preferível, pra evitar justamente a
 confusão com "A unidade" que, no contexto da aritmética elementar,
 significa apenas 1.

 On Mon, Aug 27, 2018 at 2:07 PM Pedro José  wrote:

> Boa tarde!
> Grato.
> Eu vi a demonstração que não existem outros, pois, um dos coeficientes
> será um racional não inteiro, 2/3, salvo engano.
> Todavia, o que mais me assombrou foi a afirmação"...assim com em
> Z...". Se esse conceito de ser "invertível" em Z, caracterizar unidade.
> Então -1, também é unidade em Z e nunca ouvira essa afirmação. Mas, também
> não conhecia os inteiros de Gauss, até três dias atrás...
> -1 também é uma unidade em Z?
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em seg, 27 de ago de 2018 às 12:31, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Pra evitar esta confusão, ao invés de "unidade" talvez seja melhor
>> usar o termo "invertível"
>> E daí sim, -1 é invertível em Z.
>> Os invertíveis de Z[i] são 1, -1, i e -i (e o exercício não trivial -
>> mas também não muito difícil - é provar que não há outros).
>>
>> Sugiro o artigo na Eureka no. 14  (Inteiros de Gauss e Inteiros de
>> Eisenstein).
>> Ou então dê um google em "Gaussian Integers".
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>> On Mon, Aug 27, 2018 at 12:04 PM Pedro José 
>> wrote:
>>
>>> Bom dia!
>>> Solicito ajuda com sugestão para estudar o tópico em epígrafe, que
>>> não seja pirata. Quem escreve livros, merece ganhar dinheiro por eles, a
>>> menos que permita publicações em domínio público.
>>> Aproveito, para pedir auxílio sobre uma dúvida. Li numa monografia
>>> que trata desse tópico e: "Assim como nos inteiros Z, a unidade em Z[i] 
>>> é
>>> qualquer elemento de Z[i], que possua inverso multiplicativo."
>>> Então -1 é unidade? Julgava que "a" unidade fosse apenas 1.
>>> Sds,
>>> PJMS
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> 

Re: [obm-l] Inteiros de Gauss

[Anderson Torres]

Acho que isso ocorre porque ela não é muito óbvia. Quem em sã consciência
consegue relacionar o fato de x^2-p ser múltiplo de q e o de y^2-q ser
múltiplo de p? Só quem tem tempo livre para tabular e conjecturar isso.
Conjectura na mão, aí é demonstração.

Em 8 de set de 2018 01:02, "Claudio Buffara" 
escreveu:

> Se não me engano, os inteiros de Gauss foram inventados (descobertos) pelo
> mesmo pra serem usados no estudo da reciprocidade biquadrática.
>
> A meu ver, a maior dificuldade da reciprocidade quadrática é a falta de
> motivação pras demonstrações. Todas as que eu conheço dependem de alguma
> sacada genial e usam métodos que não são nada óbvios.
>
> Talvez um bom ponto de partida seja o estudo da história do teorema. Por
> exemplo, aqui: http://seanelvidge.com/wp-content/uploads/2011/04/
> HistoryQR.pdf
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> On Fri, Sep 7, 2018 at 6:23 PM Pedro José  wrote:
>
>> Boa tarde!
>> Cláudio,
>> devido ao corre corre do trabalho, só hoje tive oportunidade de ler o
>> material. Gostei bastante. Faltam as provas sugeridas e uma revisão da
>> parte de múltiplos utilizando o conceito de gráficos. Também entender os
>> casos que há mais de uma divisão de ß por
>> §. Quando a a parte real, ou imaginária de ß * conjugado de § por N(§),
>> dá um inteiro adicionado com 1/2 é fácil, mas tenho que pensar nos casos do
>> exemplo 3.5. Lera que Gauss desenvolvera esse conjunto para facilitar o
>> estudo de resíduos quadráticos. E tenho que vencer um trauma dese assunto.
>> Pois tem a resoluçao de um problema da OBM, o 2 da OBM. 2007, que não
>> estava entendendo nada. Mas eu vou até o fim e releio, até compreender ou
>> desistir.
>> Só que ao final tinha: Agora é
>> só um problema simples de contagem dos números da forma 2^(2k)*(8k+1) no
>> intervalo  [-2007,2007] o que dá 0<= k<=6. Portanto, contando você encontra
>> 670 valores.
>> Primeiro julgava ser uma bijeçao e ser a mesma contagem. de k, apenas 7.
>> Outro ponto é que 2^12*17> 2007.
>> Aí eu sempre travo quando vou estudar residuos quadráticos e Legendre.
>> Será que não tem uma literatura desse tópico, levada para os inteiros de
>> Gauss?
>> Saudações,
>> PJMS.
>>
>> Em Seg, 27 de ago de 2018 14:37, Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Nesse contexto (álgebra ou teoria dos números), a palavra "invertível" é
>>> sinônima de "unidade" e talvez seja preferível, pra evitar justamente a
>>> confusão com "A unidade" que, no contexto da aritmética elementar,
>>> significa apenas 1.
>>>
>>> On Mon, Aug 27, 2018 at 2:07 PM Pedro José  wrote:
>>>
 Boa tarde!
 Grato.
 Eu vi a demonstração que não existem outros, pois, um dos coeficientes
 será um racional não inteiro, 2/3, salvo engano.
 Todavia, o que mais me assombrou foi a afirmação"...assim com em Z...".
 Se esse conceito de ser "invertível" em Z, caracterizar unidade. Então -1,
 também é unidade em Z e nunca ouvira essa afirmação. Mas, também não
 conhecia os inteiros de Gauss, até três dias atrás...
 -1 também é uma unidade em Z?

 Saudações,
 PJMS

 Em seg, 27 de ago de 2018 às 12:31, Claudio Buffara <
 claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Pra evitar esta confusão, ao invés de "unidade" talvez seja melhor
> usar o termo "invertível"
> E daí sim, -1 é invertível em Z.
> Os invertíveis de Z[i] são 1, -1, i e -i (e o exercício não trivial -
> mas também não muito difícil - é provar que não há outros).
>
> Sugiro o artigo na Eureka no. 14  (Inteiros de Gauss e Inteiros de
> Eisenstein).
> Ou então dê um google em "Gaussian Integers".
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Mon, Aug 27, 2018 at 12:04 PM Pedro José 
> wrote:
>
>> Bom dia!
>> Solicito ajuda com sugestão para estudar o tópico em epígrafe, que
>> não seja pirata. Quem escreve livros, merece ganhar dinheiro por eles, a
>> menos que permita publicações em domínio público.
>> Aproveito, para pedir auxílio sobre uma dúvida. Li numa monografia
>> que trata desse tópico e: "Assim como nos inteiros Z, a unidade em Z[i] é
>> qualquer elemento de Z[i], que possua inverso multiplicativo."
>> Então -1 é unidade? Julgava que "a" unidade fosse apenas 1.
>> Sds,
>> PJMS
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de 

Re: [obm-l] Inteiros de Gauss

[Pedro José]

Boa tarde!
Cláudio,
repassei o primeiro material e achei alguns pontos interessantes.
1) A demonstração de que um primo côngruo a 1 mod4 podia ser escrito como a
soma de quadrados de dois inteiros que conhecia, usava um conceito de
involução, e era super complicada. Nem me recordo mais. Aqui saiu de forma
simples.
2) O conjunto de elementos que são iguais a soma de dois quadrados de
inteiros é fechado para multiplicação.
3) Como a divisão eucidiana, adaptada para Z[ i] pode ter mais de um resto,
a subtração desses restos tem que dividir o quociente. Então cheguei a
conclusão, embora não esteja seguro ainda, de que N(r1-r2)= N(qouciente) ou
N(r1-r2) =2* N(quociente), onde N significa Norma.
Gostaria que alguém me explicasse a contagem, apresentada na solução do
problema 2 da OBM 2007, que afirma haver 670 ocorrências de números do tipo
2^2k(8k+1) no intervalo [-2007,2007]. Estou no celular e não consegui
copiar o caminho. Mas se procurar no Google por "Porque você deveria ter
resolvido o problema 2 da OBM 2007"...
Saudações,
PJMS


Em Sáb, 8 de set de 2018 01:02, Claudio Buffara 
escreveu:

> Se não me engano, os inteiros de Gauss foram inventados (descobertos) pelo
> mesmo pra serem usados no estudo da reciprocidade biquadrática.
>
> A meu ver, a maior dificuldade da reciprocidade quadrática é a falta de
> motivação pras demonstrações. Todas as que eu conheço dependem de alguma
> sacada genial e usam métodos que não são nada óbvios.
>
> Talvez um bom ponto de partida seja o estudo da história do teorema. Por
> exemplo, aqui:
> http://seanelvidge.com/wp-content/uploads/2011/04/HistoryQR.pdf
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> On Fri, Sep 7, 2018 at 6:23 PM Pedro José  wrote:
>
>> Boa tarde!
>> Cláudio,
>> devido ao corre corre do trabalho, só hoje tive oportunidade de ler o
>> material. Gostei bastante. Faltam as provas sugeridas e uma revisão da
>> parte de múltiplos utilizando o conceito de gráficos. Também entender os
>> casos que há mais de uma divisão de ß por
>> §. Quando a a parte real, ou imaginária de ß * conjugado de § por N(§),
>> dá um inteiro adicionado com 1/2 é fácil, mas tenho que pensar nos casos do
>> exemplo 3.5. Lera que Gauss desenvolvera esse conjunto para facilitar o
>> estudo de resíduos quadráticos. E tenho que vencer um trauma dese assunto.
>> Pois tem a resoluçao de um problema da OBM, o 2 da OBM. 2007, que não
>> estava entendendo nada. Mas eu vou até o fim e releio, até compreender ou
>> desistir.
>> Só que ao final tinha: Agora é
>> só um problema simples de contagem dos números da forma 2^(2k)*(8k+1) no
>> intervalo  [-2007,2007] o que dá 0<= k<=6. Portanto, contando você encontra
>> 670 valores.
>> Primeiro julgava ser uma bijeçao e ser a mesma contagem. de k, apenas 7.
>> Outro ponto é que 2^12*17> 2007.
>> Aí eu sempre travo quando vou estudar residuos quadráticos e Legendre.
>> Será que não tem uma literatura desse tópico, levada para os inteiros de
>> Gauss?
>> Saudações,
>> PJMS.
>>
>> Em Seg, 27 de ago de 2018 14:37, Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Nesse contexto (álgebra ou teoria dos números), a palavra "invertível" é
>>> sinônima de "unidade" e talvez seja preferível, pra evitar justamente a
>>> confusão com "A unidade" que, no contexto da aritmética elementar,
>>> significa apenas 1.
>>>
>>> On Mon, Aug 27, 2018 at 2:07 PM Pedro José  wrote:
>>>
 Boa tarde!
 Grato.
 Eu vi a demonstração que não existem outros, pois, um dos coeficientes
 será um racional não inteiro, 2/3, salvo engano.
 Todavia, o que mais me assombrou foi a afirmação"...assim com em Z...".
 Se esse conceito de ser "invertível" em Z, caracterizar unidade. Então -1,
 também é unidade em Z e nunca ouvira essa afirmação. Mas, também não
 conhecia os inteiros de Gauss, até três dias atrás...
 -1 também é uma unidade em Z?

 Saudações,
 PJMS

 Em seg, 27 de ago de 2018 às 12:31, Claudio Buffara <
 claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Pra evitar esta confusão, ao invés de "unidade" talvez seja melhor
> usar o termo "invertível"
> E daí sim, -1 é invertível em Z.
> Os invertíveis de Z[i] são 1, -1, i e -i (e o exercício não trivial -
> mas também não muito difícil - é provar que não há outros).
>
> Sugiro o artigo na Eureka no. 14  (Inteiros de Gauss e Inteiros de
> Eisenstein).
> Ou então dê um google em "Gaussian Integers".
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Mon, Aug 27, 2018 at 12:04 PM Pedro José 
> wrote:
>
>> Bom dia!
>> Solicito ajuda com sugestão para estudar o tópico em epígrafe, que
>> não seja pirata. Quem escreve livros, merece ganhar dinheiro por eles, a
>> menos que permita publicações em domínio público.
>> Aproveito, para pedir auxílio sobre uma dúvida. Li numa monografia
>> que trata desse tópico e: "Assim como nos inteiros Z, a unidade em Z[i] é
>> qualquer elemento de Z[i], que possua inverso multiplicativo."

Re: [obm-l] Inteiros de Gauss

[Claudio Buffara]

Se não me engano, os inteiros de Gauss foram inventados (descobertos) pelo
mesmo pra serem usados no estudo da reciprocidade biquadrática.

A meu ver, a maior dificuldade da reciprocidade quadrática é a falta de
motivação pras demonstrações. Todas as que eu conheço dependem de alguma
sacada genial e usam métodos que não são nada óbvios.

Talvez um bom ponto de partida seja o estudo da história do teorema. Por
exemplo, aqui:
http://seanelvidge.com/wp-content/uploads/2011/04/HistoryQR.pdf

[]s,
Claudio.



On Fri, Sep 7, 2018 at 6:23 PM Pedro José  wrote:

> Boa tarde!
> Cláudio,
> devido ao corre corre do trabalho, só hoje tive oportunidade de ler o
> material. Gostei bastante. Faltam as provas sugeridas e uma revisão da
> parte de múltiplos utilizando o conceito de gráficos. Também entender os
> casos que há mais de uma divisão de ß por
> §. Quando a a parte real, ou imaginária de ß * conjugado de § por N(§), dá
> um inteiro adicionado com 1/2 é fácil, mas tenho que pensar nos casos do
> exemplo 3.5. Lera que Gauss desenvolvera esse conjunto para facilitar o
> estudo de resíduos quadráticos. E tenho que vencer um trauma dese assunto.
> Pois tem a resoluçao de um problema da OBM, o 2 da OBM. 2007, que não
> estava entendendo nada. Mas eu vou até o fim e releio, até compreender ou
> desistir.
> Só que ao final tinha: Agora é
> só um problema simples de contagem dos números da forma 2^(2k)*(8k+1) no
> intervalo  [-2007,2007] o que dá 0<= k<=6. Portanto, contando você encontra
> 670 valores.
> Primeiro julgava ser uma bijeçao e ser a mesma contagem. de k, apenas 7.
> Outro ponto é que 2^12*17> 2007.
> Aí eu sempre travo quando vou estudar residuos quadráticos e Legendre.
> Será que não tem uma literatura desse tópico, levada para os inteiros de
> Gauss?
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em Seg, 27 de ago de 2018 14:37, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Nesse contexto (álgebra ou teoria dos números), a palavra "invertível" é
>> sinônima de "unidade" e talvez seja preferível, pra evitar justamente a
>> confusão com "A unidade" que, no contexto da aritmética elementar,
>> significa apenas 1.
>>
>> On Mon, Aug 27, 2018 at 2:07 PM Pedro José  wrote:
>>
>>> Boa tarde!
>>> Grato.
>>> Eu vi a demonstração que não existem outros, pois, um dos coeficientes
>>> será um racional não inteiro, 2/3, salvo engano.
>>> Todavia, o que mais me assombrou foi a afirmação"...assim com em Z...".
>>> Se esse conceito de ser "invertível" em Z, caracterizar unidade. Então -1,
>>> também é unidade em Z e nunca ouvira essa afirmação. Mas, também não
>>> conhecia os inteiros de Gauss, até três dias atrás...
>>> -1 também é uma unidade em Z?
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>> Em seg, 27 de ago de 2018 às 12:31, Claudio Buffara <
>>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Pra evitar esta confusão, ao invés de "unidade" talvez seja melhor usar
 o termo "invertível"
 E daí sim, -1 é invertível em Z.
 Os invertíveis de Z[i] são 1, -1, i e -i (e o exercício não trivial -
 mas também não muito difícil - é provar que não há outros).

 Sugiro o artigo na Eureka no. 14  (Inteiros de Gauss e Inteiros de
 Eisenstein).
 Ou então dê um google em "Gaussian Integers".

 []s,
 Claudio.


 On Mon, Aug 27, 2018 at 12:04 PM Pedro José 
 wrote:

> Bom dia!
> Solicito ajuda com sugestão para estudar o tópico em epígrafe, que não
> seja pirata. Quem escreve livros, merece ganhar dinheiro por eles, a menos
> que permita publicações em domínio público.
> Aproveito, para pedir auxílio sobre uma dúvida. Li numa monografia que
> trata desse tópico e: "Assim como nos inteiros Z, a unidade em Z[i] é
> qualquer elemento de Z[i], que possua inverso multiplicativo."
> Então -1 é unidade? Julgava que "a" unidade fosse apenas 1.
> Sds,
> PJMS
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Inteiros de Gauss

[Pedro José]

Boa tarde!
Cláudio,
devido ao corre corre do trabalho, só hoje tive oportunidade de ler o
material. Gostei bastante. Faltam as provas sugeridas e uma revisão da
parte de múltiplos utilizando o conceito de gráficos. Também entender os
casos que há mais de uma divisão de ß por
§. Quando a a parte real, ou imaginária de ß * conjugado de § por N(§), dá
um inteiro adicionado com 1/2 é fácil, mas tenho que pensar nos casos do
exemplo 3.5. Lera que Gauss desenvolvera esse conjunto para facilitar o
estudo de resíduos quadráticos. E tenho que vencer um trauma dese assunto.
Pois tem a resoluçao de um problema da OBM, o 2 da OBM. 2007, que não
estava entendendo nada. Mas eu vou até o fim e releio, até compreender ou
desistir.
Só que ao final tinha: Agora é
só um problema simples de contagem dos números da forma 2^(2k)*(8k+1) no
intervalo  [-2007,2007] o que dá 0<= k<=6. Portanto, contando você encontra
670 valores.
Primeiro julgava ser uma bijeçao e ser a mesma contagem. de k, apenas 7.
Outro ponto é que 2^12*17> 2007.
Aí eu sempre travo quando vou estudar residuos quadráticos e Legendre.
Será que não tem uma literatura desse tópico, levada para os inteiros de
Gauss?
Saudações,
PJMS.

Em Seg, 27 de ago de 2018 14:37, Claudio Buffara 
escreveu:

> Nesse contexto (álgebra ou teoria dos números), a palavra "invertível" é
> sinônima de "unidade" e talvez seja preferível, pra evitar justamente a
> confusão com "A unidade" que, no contexto da aritmética elementar,
> significa apenas 1.
>
> On Mon, Aug 27, 2018 at 2:07 PM Pedro José  wrote:
>
>> Boa tarde!
>> Grato.
>> Eu vi a demonstração que não existem outros, pois, um dos coeficientes
>> será um racional não inteiro, 2/3, salvo engano.
>> Todavia, o que mais me assombrou foi a afirmação"...assim com em Z...".
>> Se esse conceito de ser "invertível" em Z, caracterizar unidade. Então -1,
>> também é unidade em Z e nunca ouvira essa afirmação. Mas, também não
>> conhecia os inteiros de Gauss, até três dias atrás...
>> -1 também é uma unidade em Z?
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em seg, 27 de ago de 2018 às 12:31, Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Pra evitar esta confusão, ao invés de "unidade" talvez seja melhor usar
>>> o termo "invertível"
>>> E daí sim, -1 é invertível em Z.
>>> Os invertíveis de Z[i] são 1, -1, i e -i (e o exercício não trivial -
>>> mas também não muito difícil - é provar que não há outros).
>>>
>>> Sugiro o artigo na Eureka no. 14  (Inteiros de Gauss e Inteiros de
>>> Eisenstein).
>>> Ou então dê um google em "Gaussian Integers".
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>> On Mon, Aug 27, 2018 at 12:04 PM Pedro José  wrote:
>>>
 Bom dia!
 Solicito ajuda com sugestão para estudar o tópico em epígrafe, que não
 seja pirata. Quem escreve livros, merece ganhar dinheiro por eles, a menos
 que permita publicações em domínio público.
 Aproveito, para pedir auxílio sobre uma dúvida. Li numa monografia que
 trata desse tópico e: "Assim como nos inteiros Z, a unidade em Z[i] é
 qualquer elemento de Z[i], que possua inverso multiplicativo."
 Então -1 é unidade? Julgava que "a" unidade fosse apenas 1.
 Sds,
 PJMS


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Inteiros de Gauss

[Claudio Buffara]

Nesse contexto (álgebra ou teoria dos números), a palavra "invertível" é
sinônima de "unidade" e talvez seja preferível, pra evitar justamente a
confusão com "A unidade" que, no contexto da aritmética elementar,
significa apenas 1.

On Mon, Aug 27, 2018 at 2:07 PM Pedro José  wrote:

> Boa tarde!
> Grato.
> Eu vi a demonstração que não existem outros, pois, um dos coeficientes
> será um racional não inteiro, 2/3, salvo engano.
> Todavia, o que mais me assombrou foi a afirmação"...assim com em Z...". Se
> esse conceito de ser "invertível" em Z, caracterizar unidade. Então -1,
> também é unidade em Z e nunca ouvira essa afirmação. Mas, também não
> conhecia os inteiros de Gauss, até três dias atrás...
> -1 também é uma unidade em Z?
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em seg, 27 de ago de 2018 às 12:31, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Pra evitar esta confusão, ao invés de "unidade" talvez seja melhor usar o
>> termo "invertível"
>> E daí sim, -1 é invertível em Z.
>> Os invertíveis de Z[i] são 1, -1, i e -i (e o exercício não trivial - mas
>> também não muito difícil - é provar que não há outros).
>>
>> Sugiro o artigo na Eureka no. 14  (Inteiros de Gauss e Inteiros de
>> Eisenstein).
>> Ou então dê um google em "Gaussian Integers".
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>> On Mon, Aug 27, 2018 at 12:04 PM Pedro José  wrote:
>>
>>> Bom dia!
>>> Solicito ajuda com sugestão para estudar o tópico em epígrafe, que não
>>> seja pirata. Quem escreve livros, merece ganhar dinheiro por eles, a menos
>>> que permita publicações em domínio público.
>>> Aproveito, para pedir auxílio sobre uma dúvida. Li numa monografia que
>>> trata desse tópico e: "Assim como nos inteiros Z, a unidade em Z[i] é
>>> qualquer elemento de Z[i], que possua inverso multiplicativo."
>>> Então -1 é unidade? Julgava que "a" unidade fosse apenas 1.
>>> Sds,
>>> PJMS
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Inteiros de Gauss

[Pedro José]

Boa tarde!
Grato.
Eu vi a demonstração que não existem outros, pois, um dos coeficientes será
um racional não inteiro, 2/3, salvo engano.
Todavia, o que mais me assombrou foi a afirmação"...assim com em Z...". Se
esse conceito de ser "invertível" em Z, caracterizar unidade. Então -1,
também é unidade em Z e nunca ouvira essa afirmação. Mas, também não
conhecia os inteiros de Gauss, até três dias atrás...
-1 também é uma unidade em Z?

Saudações,
PJMS

Em seg, 27 de ago de 2018 às 12:31, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Pra evitar esta confusão, ao invés de "unidade" talvez seja melhor usar o
> termo "invertível"
> E daí sim, -1 é invertível em Z.
> Os invertíveis de Z[i] são 1, -1, i e -i (e o exercício não trivial - mas
> também não muito difícil - é provar que não há outros).
>
> Sugiro o artigo na Eureka no. 14  (Inteiros de Gauss e Inteiros de
> Eisenstein).
> Ou então dê um google em "Gaussian Integers".
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Mon, Aug 27, 2018 at 12:04 PM Pedro José  wrote:
>
>> Bom dia!
>> Solicito ajuda com sugestão para estudar o tópico em epígrafe, que não
>> seja pirata. Quem escreve livros, merece ganhar dinheiro por eles, a menos
>> que permita publicações em domínio público.
>> Aproveito, para pedir auxílio sobre uma dúvida. Li numa monografia que
>> trata desse tópico e: "Assim como nos inteiros Z, a unidade em Z[i] é
>> qualquer elemento de Z[i], que possua inverso multiplicativo."
>> Então -1 é unidade? Julgava que "a" unidade fosse apenas 1.
>> Sds,
>> PJMS
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Inteiros de Gauss

[Claudio Buffara]

Acho que essa referência aqui tem tudo o que você precisa e mais um pouco:
http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/ugradnumthy/Zinotes.pdf

Aliás, os artigos desse cara tendem a ser muito bons. Estão aqui:
http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/

[]s,
Claudio.




On Mon, Aug 27, 2018 at 12:23 PM Claudio Buffara 
wrote:

> Pra evitar esta confusão, ao invés de "unidade" talvez seja melhor usar o
> termo "invertível"
> E daí sim, -1 é invertível em Z.
> Os invertíveis de Z[i] são 1, -1, i e -i (e o exercício não trivial - mas
> também não muito difícil - é provar que não há outros).
>
> Sugiro o artigo na Eureka no. 14  (Inteiros de Gauss e Inteiros de
> Eisenstein).
> Ou então dê um google em "Gaussian Integers".
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Mon, Aug 27, 2018 at 12:04 PM Pedro José  wrote:
>
>> Bom dia!
>> Solicito ajuda com sugestão para estudar o tópico em epígrafe, que não
>> seja pirata. Quem escreve livros, merece ganhar dinheiro por eles, a menos
>> que permita publicações em domínio público.
>> Aproveito, para pedir auxílio sobre uma dúvida. Li numa monografia que
>> trata desse tópico e: "Assim como nos inteiros Z, a unidade em Z[i] é
>> qualquer elemento de Z[i], que possua inverso multiplicativo."
>> Então -1 é unidade? Julgava que "a" unidade fosse apenas 1.
>> Sds,
>> PJMS
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Inteiros de Gauss

[Claudio Buffara]

Pra evitar esta confusão, ao invés de "unidade" talvez seja melhor usar o
termo "invertível"
E daí sim, -1 é invertível em Z.
Os invertíveis de Z[i] são 1, -1, i e -i (e o exercício não trivial - mas
também não muito difícil - é provar que não há outros).

Sugiro o artigo na Eureka no. 14  (Inteiros de Gauss e Inteiros de
Eisenstein).
Ou então dê um google em "Gaussian Integers".

[]s,
Claudio.


On Mon, Aug 27, 2018 at 12:04 PM Pedro José  wrote:

> Bom dia!
> Solicito ajuda com sugestão para estudar o tópico em epígrafe, que não
> seja pirata. Quem escreve livros, merece ganhar dinheiro por eles, a menos
> que permita publicações em domínio público.
> Aproveito, para pedir auxílio sobre uma dúvida. Li numa monografia que
> trata desse tópico e: "Assim como nos inteiros Z, a unidade em Z[i] é
> qualquer elemento de Z[i], que possua inverso multiplicativo."
> Então -1 é unidade? Julgava que "a" unidade fosse apenas 1.
> Sds,
> PJMS
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Inteiros de Gauss

[Pedro José]

Bom dia!
Solicito ajuda com sugestão para estudar o tópico em epígrafe, que não seja
pirata. Quem escreve livros, merece ganhar dinheiro por eles, a menos que
permita publicações em domínio público.
Aproveito, para pedir auxílio sobre uma dúvida. Li numa monografia que
trata desse tópico e: "Assim como nos inteiros Z, a unidade em Z[i] é
qualquer elemento de Z[i], que possua inverso multiplicativo."
Então -1 é unidade? Julgava que "a" unidade fosse apenas 1.
Sds,
PJMS

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Inteiros

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2015-10-06 20:23 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges
:
> Determine todos os pares de inteiros x e y tais que x^2 - 2xy + 125y^2 =
> 2009

Isso dá (x-y)^2 + 124y^2 = 2009. Chame (x-y) de z, fica z^2 + 124y^2 =
2009. Daí:

y^2 < 2009/124 ~ 2000/125 = 16,

então basta testar y = 0, 1, 2, 3 e 4. Para cada um deles, você vê se
tem algum z cujo quadrado seja 2009 - 124y^2, se tiver isso dá duas
soluções em z, e duas soluções em y, o que dá quatro ao todo para
(x,y).


Para não parecer que é mágica, note que toda forma quadrática real em
duas variáveis corresponde a
- elipse (ax^2 + by^2)
- parábola (ax^2)
- hipérbole (ax^2 - by^2)
onde eu botei entre parênteses a forma reduzda após uma mudança de variáveis.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Inteiros

[marcone augusto araújo borges]

Determine todos os pares de inteiros x e y tais que x^2 - 2xy + 125y^2 = 2009   
  
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] inteiros positivos

[Pedro José]

Bom dia!

7^3 ≡ 4*7 ≡ 1 (mod9) e não 7^3 ≡ 3*7 ≡ 1 (mod9)

Em 27 de maio de 2015 09:52, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Bom dia!

 Douglas,
 há valores ímpares de x que atendem 7^x≡ 4 (mod9)

 7^2 ≡ 4 (mod9) == x ≡  2 (mod3)

 7^1 ≡ 7 (mod9)
 7^2 ≡4 (mod9)
 7^3 ≡ 3*7 ≡ 1 (mod9)
 == 7^(2+3k) ≡ 7^2*(7^3)^k ≡ 4 (mod9)


 -- Mensagem encaminhada --
 De: Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com
 Data: 26 de maio de 2015 23:37
 Assunto: Re: [obm-l] inteiros positivos
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br



 Bom, é fácil ver que x=1 e y=1 satisfaz a equação, assim caso y seja maior
 ou igual a 2,
 teremos que 7^x=4 (mod 9), desta forma x=2 (mod 4), ou podemos dizer que x
 é par da forma 2k,
 logo 7^2k-3^y=4, (7^k+2)(7^k-2)=3^y, mas nao existem duas potências de 3
 cuja diferença vale 4.
 Assim só existe uma solução.

 Abraço.
 Douglas Oliveira

 Em 26 de maio de 2015 22:41, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Determine todos os inteiros positivos x e y tais que 7^x - 3^y = 4

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Fwd: [obm-l] inteiros positivos

[Pedro José]

Bom dia!

Douglas,
há valores ímpares de x que atendem 7^x≡ 4 (mod9)

7^2 ≡ 4 (mod9) == x ≡  2 (mod3)

7^1 ≡ 7 (mod9)
7^2 ≡4 (mod9)
7^3 ≡ 3*7 ≡ 1 (mod9)
== 7^(2+3k) ≡ 7^2*(7^3)^k ≡ 4 (mod9)


-- Mensagem encaminhada --
De: Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com
Data: 26 de maio de 2015 23:37
Assunto: Re: [obm-l] inteiros positivos
Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br


Bom, é fácil ver que x=1 e y=1 satisfaz a equação, assim caso y seja maior
ou igual a 2,
teremos que 7^x=4 (mod 9), desta forma x=2 (mod 4), ou podemos dizer que x
é par da forma 2k,
logo 7^2k-3^y=4, (7^k+2)(7^k-2)=3^y, mas nao existem duas potências de 3
cuja diferença vale 4.
Assim só existe uma solução.

Abraço.
Douglas Oliveira

Em 26 de maio de 2015 22:41, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Determine todos os inteiros positivos x e y tais que 7^x - 3^y = 4

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



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Re: [obm-l] inteiros positivos

[Douglas Oliveira de Lima]

Pense que x só pode assumir 4 formas,  4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3.
Em 27/05/2015 10:05, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Bom dia!

 7^3 ≡ 4*7 ≡ 1 (mod9) e não 7^3 ≡ 3*7 ≡ 1 (mod9)

 Em 27 de maio de 2015 09:52, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Bom dia!

 Douglas,
 há valores ímpares de x que atendem 7^x≡ 4 (mod9)

 7^2 ≡ 4 (mod9) == x ≡  2 (mod3)

 7^1 ≡ 7 (mod9)
 7^2 ≡4 (mod9)
 7^3 ≡ 3*7 ≡ 1 (mod9)
 == 7^(2+3k) ≡ 7^2*(7^3)^k ≡ 4 (mod9)


 -- Mensagem encaminhada --
 De: Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com
 Data: 26 de maio de 2015 23:37
 Assunto: Re: [obm-l] inteiros positivos
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br



 Bom, é fácil ver que x=1 e y=1 satisfaz a equação, assim caso y seja
 maior ou igual a 2,
 teremos que 7^x=4 (mod 9), desta forma x=2 (mod 4), ou podemos dizer que
 x é par da forma 2k,
 logo 7^2k-3^y=4, (7^k+2)(7^k-2)=3^y, mas nao existem duas potências de 3
 cuja diferença vale 4.
 Assim só existe uma solução.

 Abraço.
 Douglas Oliveira

 Em 26 de maio de 2015 22:41, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Determine todos os inteiros positivos x e y tais que 7^x - 3^y = 4

 --
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Re: [obm-l] inteiros positivos

[Mauricio de Araujo]

Douglas, em certo momento da sua demonstração, você diz o seguinte:

...7^x=4 (mod 9), desta forma x=2 (mod 4)...

Porém, a primeira equação é satisfeita, por exemplo, por x = 5  (7^5 - 4 é
múltiplo de 9!!!) não sendo, portanto, x côngruo a 2 mod4...

Estou errado na minha avaliação?

Em 27 de maio de 2015 10:58, Douglas Oliveira de Lima 
profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Pense que x só pode assumir 4 formas,  4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3.
 Em 27/05/2015 10:05, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Bom dia!

 7^3 ≡ 4*7 ≡ 1 (mod9) e não 7^3 ≡ 3*7 ≡ 1 (mod9)

 Em 27 de maio de 2015 09:52, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Bom dia!

 Douglas,
 há valores ímpares de x que atendem 7^x≡ 4 (mod9)

 7^2 ≡ 4 (mod9) == x ≡  2 (mod3)

 7^1 ≡ 7 (mod9)
 7^2 ≡4 (mod9)
 7^3 ≡ 3*7 ≡ 1 (mod9)
 == 7^(2+3k) ≡ 7^2*(7^3)^k ≡ 4 (mod9)


 -- Mensagem encaminhada --
 De: Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com
 Data: 26 de maio de 2015 23:37
 Assunto: Re: [obm-l] inteiros positivos
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br



 Bom, é fácil ver que x=1 e y=1 satisfaz a equação, assim caso y seja
 maior ou igual a 2,
 teremos que 7^x=4 (mod 9), desta forma x=2 (mod 4), ou podemos dizer que
 x é par da forma 2k,
 logo 7^2k-3^y=4, (7^k+2)(7^k-2)=3^y, mas nao existem duas potências de 3
 cuja diferença vale 4.
 Assim só existe uma solução.

 Abraço.
 Douglas Oliveira

 Em 26 de maio de 2015 22:41, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Determine todos os inteiros positivos x e y tais que 7^x - 3^y = 4

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Re: [obm-l] inteiros positivos

[Mauricio de Araujo]

Pensei em algo assim:

7 = -1 mod4
3 = -1 mod4

para que 7^x - 3^y = 4 = x, y devem ter a mesma paridade. Então

caso 1 ambos pares

x = 2k e y = 2m (k,m inteiros positivos)

7^2k - 3^2m = 4 = (7^k - 3^m)(7^k + 3^m) = 4 não é possível pois o produto
é maior do que 4 (em função do segundo fator).

caso 2 ambos ímpares

x = 2k+1 e y = 2m+1 (k,m inteiros não negativos)

para k=m=0 temos uma solução.

quem continua?

Em 27 de maio de 2015 15:09, Mauricio de Araujo 
mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 Douglas, em certo momento da sua demonstração, você diz o seguinte:

 ...7^x=4 (mod 9), desta forma x=2 (mod 4)...

 Porém, a primeira equação é satisfeita, por exemplo, por x = 5  (7^5 - 4 é
 múltiplo de 9!!!) não sendo, portanto, x côngruo a 2 mod4...

 Estou errado na minha avaliação?

 Em 27 de maio de 2015 10:58, Douglas Oliveira de Lima 
 profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Pense que x só pode assumir 4 formas,  4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3.
 Em 27/05/2015 10:05, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Bom dia!

 7^3 ≡ 4*7 ≡ 1 (mod9) e não 7^3 ≡ 3*7 ≡ 1 (mod9)

 Em 27 de maio de 2015 09:52, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Bom dia!

 Douglas,
 há valores ímpares de x que atendem 7^x≡ 4 (mod9)

 7^2 ≡ 4 (mod9) == x ≡  2 (mod3)

 7^1 ≡ 7 (mod9)
 7^2 ≡4 (mod9)
 7^3 ≡ 3*7 ≡ 1 (mod9)
 == 7^(2+3k) ≡ 7^2*(7^3)^k ≡ 4 (mod9)


 -- Mensagem encaminhada --
 De: Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com
 Data: 26 de maio de 2015 23:37
 Assunto: Re: [obm-l] inteiros positivos
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br



 Bom, é fácil ver que x=1 e y=1 satisfaz a equação, assim caso y seja
 maior ou igual a 2,
 teremos que 7^x=4 (mod 9), desta forma x=2 (mod 4), ou podemos dizer
 que x é par da forma 2k,
 logo 7^2k-3^y=4, (7^k+2)(7^k-2)=3^y, mas nao existem duas potências de
 3 cuja diferença vale 4.
 Assim só existe uma solução.

 Abraço.
 Douglas Oliveira

 Em 26 de maio de 2015 22:41, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Determine todos os inteiros positivos x e y tais que 7^x - 3^y = 4

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[obm-l] inteiros positivos

[marcone augusto araújo borges]

Determine todos os inteiros positivos x e y tais que 7^x - 3^y = 4  
  
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Re: [obm-l] inteiros positivos

[Douglas Oliveira de Lima]

Bom, é fácil ver que x=1 e y=1 satisfaz a equação, assim caso y seja maior
ou igual a 2,
teremos que 7^x=4 (mod 9), desta forma x=2 (mod 4), ou podemos dizer que x
é par da forma 2k,
logo 7^2k-3^y=4, (7^k+2)(7^k-2)=3^y, mas nao existem duas potências de 3
cuja diferença vale 4.
Assim só existe uma solução.

Abraço.
Douglas Oliveira

Em 26 de maio de 2015 22:41, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Determine todos os inteiros positivos x e y tais que 7^x - 3^y = 4

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[obm-l] Inteiros(ajuda)

[marcone augusto araújo borges]

Determinar todos os pares de inteiros (x,y) tais que 1 + 2^x + 2^(2x+1) = 
y^2Agradeço desde já.   
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Re: [obm-l] Inteiros de novo

[saulo nilson]

2^n=(2k+1)(2x+1)^2-1=(2k+1)(4x^2+4x+1)-1=2k(4x^2+4x+1)+4x^2+4x=
2(k(4x^2+4x+1)+2x^2+2x)
2^(n-1)=(4k+2)x^2+(4k+2)x+k
delta=16k^2+16k+4-16k^2-8k=8k+4
x=(-2k-1+-sqrt(2k+1))/2(2k+1)
2^(n)=(2(2k+1)x+2k+1-sqrt(2k+1))(2(2k+1)x+2k+1+sqrt(2k+1))/(2k+1)
2k+1=y^2
y^22^n=(2y^2x+y^2-y)(2y^2x+y^2+y)
2^n=(2yx+y-1)(2yx+y+1)
dois numeros quase consecutivos potencia de 2
2yx+y-1=2
2yx+y+1=4
n=3
2yx+y=3, y(2x+1)=3

2015-01-05 17:32 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com:

  Determine todos os inteiros positivos n tais que (2^n +1) / n^2 é
 inteiro

 --
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Re: [obm-l] Inteiros

[Pedro José]

Bom dia!

Ontem a noite tive tempo e apanhei muito. Tá uns 5 x ) para o problema. Vou
pensar em outra linha.

Saudações,
PJMS

Em 6 de janeiro de 2015 08:48, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Bom dia!

 A resposta é S = {(1,1) ; (1,-1) ; (3,5) ; (3;-5)}

 Primeiramente é fácil verificar que n Ɛ 2 Z + 1.

 Também temos que m Ɛ 2 Z + 1; pois, se m Ɛ 2 Z == que 3^m é um quadrado
 perfeito e não existem dois quadrados perfeitos cuja diferença dê 2.

 O que falta formalizar é que 3^(2x+1) - [3^x*.raiz(3)]^2 = 3^(2x+3) -
 [3^(x+1)*raiz(3)]^2 (i), onde [t] Ɛ Z e t-1  [t] = t. (parte inteira)
 para todo x0.
 Assim como para x =2 temos que 3^(2x+1) - [3^x*.raiz(3)]^2 = 18, para
 qualquer x  2 a diferença aumentará e não haverá solução.

 então só teremos solução para x= 0 ou x= 1.

 x=0 == m = 1 == 3 = n^2 +2 == n = 1 ou n = -1.

 x=1 == m =3 == 27 = n^2 +2 == n= 5 ou n= -5.

 Porém a solução não está completa, pois falta formalizar a demonstração de
 (i)

 Estou meio sem tempo, mas tenho pensado nos intervalos. Se alguém ajudar e
 conseguir, fica resolvido o problema.

 Saudações,
 PJMS


 Em 4 de janeiro de 2015 18:31, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:



 Em 26 de dezembro de 2014 18:46, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Determinar todos os inteiros m e n tas que 3^m = n^2 + 2

 --


 m=0, não serve.
 m=1, n=1 serve

 Suponha m1.

 Módulo 9: n^2+2=0
 4^2+2=18
 n=4 ou 5 módulo 9.
 E n é ímpar, pois 3^m-2 é ímpar.

 Módulo 4: 3^m=3, 3^(m-1)=1, m é ímpar.

 3^m-3 = n^2-1
 3*(3^(m-1)-1) = (n-1)(n+1)

 - n = 9k+4

 3*(3^a-1)=(9k+3)(9k+5)
 (3^a-1)=(3k+1)(9k+5)

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 /**/
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Re: [obm-l] Inteiros

[Pedro José]

Bom dia!

A resposta é S = {(1,1) ; (1,-1) ; (3,5) ; (3;-5)}

Primeiramente é fácil verificar que n Ɛ 2 Z + 1.

Também temos que m Ɛ 2 Z + 1; pois, se m Ɛ 2 Z == que 3^m é um quadrado
perfeito e não existem dois quadrados perfeitos cuja diferença dê 2.

O que falta formalizar é que 3^(2x+1) - [3^x*.raiz(3)]^2 = 3^(2x+3) -
[3^(x+1)*raiz(3)]^2 (i), onde [t] Ɛ Z e t-1  [t] = t. (parte inteira)
para todo x0.
Assim como para x =2 temos que 3^(2x+1) - [3^x*.raiz(3)]^2 = 18, para
qualquer x  2 a diferença aumentará e não haverá solução.

então só teremos solução para x= 0 ou x= 1.

x=0 == m = 1 == 3 = n^2 +2 == n = 1 ou n = -1.

x=1 == m =3 == 27 = n^2 +2 == n= 5 ou n= -5.

Porém a solução não está completa, pois falta formalizar a demonstração de
(i)

Estou meio sem tempo, mas tenho pensado nos intervalos. Se alguém ajudar e
conseguir, fica resolvido o problema.

Saudações,
PJMS


Em 4 de janeiro de 2015 18:31, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
escreveu:



 Em 26 de dezembro de 2014 18:46, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Determinar todos os inteiros m e n tas que 3^m = n^2 + 2

 --


 m=0, não serve.
 m=1, n=1 serve

 Suponha m1.

 Módulo 9: n^2+2=0
 4^2+2=18
 n=4 ou 5 módulo 9.
 E n é ímpar, pois 3^m-2 é ímpar.

 Módulo 4: 3^m=3, 3^(m-1)=1, m é ímpar.

 3^m-3 = n^2-1
 3*(3^(m-1)-1) = (n-1)(n+1)

 - n = 9k+4

 3*(3^a-1)=(9k+3)(9k+5)
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[obm-l] Inteiros de novo

[marcone augusto araújo borges]

Determine todos os inteiros positivos n tais que (2^n +1) / n^2 é inteiro   
  
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Inteiros

[terence thirteen]

Em 26 de dezembro de 2014 18:46, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Determinar todos os inteiros m e n tas que 3^m = n^2 + 2

 --


m=0, não serve.
m=1, n=1 serve

Suponha m1.

Módulo 9: n^2+2=0
4^2+2=18
n=4 ou 5 módulo 9.
E n é ímpar, pois 3^m-2 é ímpar.

Módulo 4: 3^m=3, 3^(m-1)=1, m é ímpar.

3^m-3 = n^2-1
3*(3^(m-1)-1) = (n-1)(n+1)

- n = 9k+4

3*(3^a-1)=(9k+3)(9k+5)
(3^a-1)=(3k+1)(9k+5)

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Re: [obm-l] Inteiros positivos

[saulo nilson]

n2^(n-1)=(m-1)(m+1)
n=2^zw
m-1=2^xk
m+1=2^yu
w2^(n+z-1)=2^(x+y)ku
ku=w
n+z-1=x+y
1=2^(y-1)u-2^(x-1)k
soluçoes
u=29
y=1
k=7
x=3
w=203
n+z=5
2014-12-26 1:16 GMT-02:00 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com:

  Ficou subentendido que m e n sao naturais positivos.

 n=1 nao serve, entao o lado direito eh par. Entao m eh impar, digamos,
 m=2k+1. Entao fica n.2^(n-1)=4k(k+1).

 Como n=2 nao serve, podemos escrever n.2^(n-3)=k(k+1). Note que n=4 nao
 serve, e n=5 dah aquela solucao.

 Agora, o problema eh que um dos dois fatores do lado direito eh impar,
 entao tem que dividir o fator n do lado esquerdo. Isto significa que n=k,
 o que diz que o lado esquerdo vai ser muito grande, e a igualdade nao vai
 valer.

 Mais exatamente, prove primeiro por inducao que 2^s  2s para s=3. Entao,
 se n=6, temos k(k+1) = n.2^(n-3)  n.2.(n-3) = 2k(k-3). Daqui vem
 k+12k-6, isto eh, k7. Teste os poucos casos que sobram e acabou.

 Abraco, Ralph.

 P.S.: Ou teste n=6 que nao dah nada; depois mostre que 2^s = 4s para
 s=4; e use agora k(k+1) = n.2^(n-3) = n.4.(n-3) = 4k(k-3). Daqui vem
 k+1=4k-12, isto eh, k=4, e nao ha mais nada para testar.


 2014-12-25 23:03 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com:

  n.2^(n-1) + 1 = m^2.Como resolver?
 n = 5 e m = 9.Outras soluções?

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[obm-l] Inteiros

[marcone augusto araújo borges]

Determinar todos os inteiros m e n tas que 3^m = n^2 + 2
  
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[obm-l] Inteiros positivos

[marcone augusto araújo borges]

n.2^(n-1) + 1 = m^2.Como resolver?n = 5 e m = 9.Outras soluções?
  
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Re: [obm-l] Inteiros positivos

[Ralph Teixeira]

Ficou subentendido que m e n sao naturais positivos.

n=1 nao serve, entao o lado direito eh par. Entao m eh impar, digamos,
m=2k+1. Entao fica n.2^(n-1)=4k(k+1).

Como n=2 nao serve, podemos escrever n.2^(n-3)=k(k+1). Note que n=4 nao
serve, e n=5 dah aquela solucao.

Agora, o problema eh que um dos dois fatores do lado direito eh impar,
entao tem que dividir o fator n do lado esquerdo. Isto significa que n=k,
o que diz que o lado esquerdo vai ser muito grande, e a igualdade nao vai
valer.

Mais exatamente, prove primeiro por inducao que 2^s  2s para s=3. Entao,
se n=6, temos k(k+1) = n.2^(n-3)  n.2.(n-3) = 2k(k-3). Daqui vem
k+12k-6, isto eh, k7. Teste os poucos casos que sobram e acabou.

Abraco, Ralph.

P.S.: Ou teste n=6 que nao dah nada; depois mostre que 2^s = 4s para s=4;
e use agora k(k+1) = n.2^(n-3) = n.4.(n-3) = 4k(k-3). Daqui vem
k+1=4k-12, isto eh, k=4, e nao ha mais nada para testar.


2014-12-25 23:03 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com:

 n.2^(n-1) + 1 = m^2.Como resolver?
 n = 5 e m = 9.Outras soluções?

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Re: FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)

[Pedro José]

Bom dia!

Atrasado; porém, com outra solução.

n^2 + (n+1)^2 =  m^3  == 2n^2 + 2n + 1 - m^3 =0

n^2 + n + (1-m^3)/2 = 0

n = (-1 ±  Raiz (2m^3-1))/2

n Ɛ Z == 2m^3-1 é um quadrado perfeito.

Da primeira equação temos que: m Ɛ 2Z +1 (i)

2m^3 -1 Ɛ 2Z +1. Se é um quadrado perfeito pode ser escrito da forma 4 y(y
+1) +1, y Ɛ Z, pois,

x Ɛ 2Z +1 == Ǝ y Ɛ Z | x = 2y + 1 == x^2 = 4y^2 + 4y + 1 = 4y (y+1) +1;

(i) == Ǝ s Ɛ Z | m = 2s + 1 == 2m^3 - 1 = 16s^3 + 24s^2 + 12s + 1 =

= 4s(4s^2+6s+3) + 1.


Para ser quadrado perfeito:


4s(4s^2+6s+3) = 0 (i); pois 1 = 4.0.1 + 1 ou

s + 1 = 4s^2+6s+3 (ii) ou

s = 4s^2+6s+4 (iii)


(i) só aceita s =0 como raiz inteira.

(ii) não aceita raízes inteiras.

(iii) não aceita raízes inteiras.


s=0 == m=1 == só há solução para m =1 == n=0 ou n= -1.


S = {(-1,1) , (0,1)}

Saudações,
PJMS



Em 30 de setembro de 2014 15:04, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Boa tarde!

 Só que eu achei as soluções de orelhada. Como 1 é elemento neutro da
 multiplicação se o lado esquerdo fosse 1 haveria raízes.
 Porém não consegui provar que eram as únicas soluções.
 Do jeito que você apresentou ficou claro.
 Bela resolução!

 Saudações,
 PJMS.

 Em 30 de setembro de 2014 13:11, Douglas Oliveira de Lima 
 profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Olá rabisquei bem esse problema, achei muito legal, olha considerei uma
 equação xˆ2+yˆ2=zˆ3, e fiz uma jogada parecida com a identidade de
 fibonacci.
 Vamos ver se esta equação xˆ2+yˆ2=zˆ3 tem soluções inteiras.

 Suponha  z = a2 + b2   =   z3 = a6 + 3a4b2 + 3a2b4 + b6 = a6 + 9a4b2 –
 6a4b2 + 9a2b4 – 6a2b4 + b6   =

 z3 = (a6 – 6a4b2 + 9a2b4) + (9a4b2 – 6a2b4 + b6)

 Temos então a identidade:  (a3 – 3ab2)2 + (3a2b – b3)2 = (a2 + b2)3

 Variando a e b temos infinitos valores para  x2 + y2 = z3.

 (1)Agora observe que no seu caso, o n=aˆ3-3abˆ2 e n+1=3aˆ2b-bˆ3, assim
 resolvendo o sistema teremos (a+b)(3ab+ab-aˆ2-bˆ2)=1 , ou ambos são iguais
 a 1 , ou ambos são iguais a -1 , bom resolvi os dois, com ambos iguais a 1
 não teve solução, porém com ambos os fatores iguais a -1 achei solução a=-1
 e b=0 ou a=0 e b=-1, Assim já temos as soluções que o Pedro encontrou.

 (2)Se invertermos o caso (1)  assim n+1=aˆ3-3abˆ2 e n=3aˆ2b-bˆ3, teremos
 as mesmas raízes.

 Com relação a todos os casos supracitados acredito que as únicas soluções
 são as mesmas do Pedro.


 Abraços do Douglas Oliveira.


 Em 29 de setembro de 2014 17:33, Pedro José petroc...@gmail.com
 escreveu:

 Boa tarde!

 É complicado mesmo, mas tem de fazer ressalva para n  0 e n  -1;
 pois para esses casos há solução (0,1) e (-1,1).

 Saudações,
 PJMS

 Em 28 de setembro de 2014 22:11, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:


 Desculpem.Tá errado pois delta = 4(2m^3 - 1)
 --
 From: marconeborge...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
 Date: Sun, 28 Sep 2014 19:16:26 +


 Eu acabei vendo isso : m é ímpar por que o primeiro membro é ímpar.
 2n^2 + 2n + 1 - m^3 = 0
 Delta = 4(2m^3 + 1)
 2m^3 + 1 = t^2 = 2m^3 = (t+1)(t-1) = t+1 é par
 2m^3 = 2k(2k-2) = m^3 = 2k(k-1) = m^3 é par = m é par,uma
 contradição.


 --
 From: marconeborge...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
 Date: Sun, 28 Sep 2014 17:24:34 +

 Mostre que a equação n^2 + (n+1)^2 =  m^3 não tem solução,com m e n
 inteiros.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

 --
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 --
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-- 
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[obm-l] Inteiros de novo(complicada?)

[marcone augusto araújo borges]

Meus agradecimentos e meus parabéns ao Douglas e ao Pedro.Vocês mandaram muito 
bem.   
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)

[Douglas Oliveira de Lima]

Olá rabisquei bem esse problema, achei muito legal, olha considerei uma
equação xˆ2+yˆ2=zˆ3, e fiz uma jogada parecida com a identidade de
fibonacci.
Vamos ver se esta equação xˆ2+yˆ2=zˆ3 tem soluções inteiras.

Suponha  z = a2 + b2   =   z3 = a6 + 3a4b2 + 3a2b4 + b6 = a6 + 9a4b2 – 6a4b
2 + 9a2b4 – 6a2b4 + b6   =

z3 = (a6 – 6a4b2 + 9a2b4) + (9a4b2 – 6a2b4 + b6)

Temos então a identidade:  (a3 – 3ab2)2 + (3a2b – b3)2 = (a2 + b2)3

Variando a e b temos infinitos valores para  x2 + y2 = z3.

(1)Agora observe que no seu caso, o n=aˆ3-3abˆ2 e n+1=3aˆ2b-bˆ3, assim
resolvendo o sistema teremos (a+b)(3ab+ab-aˆ2-bˆ2)=1 , ou ambos são iguais
a 1 , ou ambos são iguais a -1 , bom resolvi os dois, com ambos iguais a 1
não teve solução, porém com ambos os fatores iguais a -1 achei solução a=-1
e b=0 ou a=0 e b=-1, Assim já temos as soluções que o Pedro encontrou.

(2)Se invertermos o caso (1)  assim n+1=aˆ3-3abˆ2 e n=3aˆ2b-bˆ3, teremos as
mesmas raízes.

Com relação a todos os casos supracitados acredito que as únicas soluções
são as mesmas do Pedro.


Abraços do Douglas Oliveira.


Em 29 de setembro de 2014 17:33, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Boa tarde!

 É complicado mesmo, mas tem de fazer ressalva para n  0 e n  -1; pois
 para esses casos há solução (0,1) e (-1,1).

 Saudações,
 PJMS

 Em 28 de setembro de 2014 22:11, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:


 Desculpem.Tá errado pois delta = 4(2m^3 - 1)
 --
 From: marconeborge...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
 Date: Sun, 28 Sep 2014 19:16:26 +


 Eu acabei vendo isso : m é ímpar por que o primeiro membro é ímpar.
 2n^2 + 2n + 1 - m^3 = 0
 Delta = 4(2m^3 + 1)
 2m^3 + 1 = t^2 = 2m^3 = (t+1)(t-1) = t+1 é par
 2m^3 = 2k(2k-2) = m^3 = 2k(k-1) = m^3 é par = m é par,uma contradição.


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 From: marconeborge...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
 Date: Sun, 28 Sep 2014 17:24:34 +

 Mostre que a equação n^2 + (n+1)^2 =  m^3 não tem solução,com m e n
 inteiros.

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Re: FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)

[Pedro José]

Boa tarde!

Só que eu achei as soluções de orelhada. Como 1 é elemento neutro da
multiplicação se o lado esquerdo fosse 1 haveria raízes.
Porém não consegui provar que eram as únicas soluções.
Do jeito que você apresentou ficou claro.
Bela resolução!

Saudações,
PJMS.

Em 30 de setembro de 2014 13:11, Douglas Oliveira de Lima 
profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Olá rabisquei bem esse problema, achei muito legal, olha considerei uma
 equação xˆ2+yˆ2=zˆ3, e fiz uma jogada parecida com a identidade de
 fibonacci.
 Vamos ver se esta equação xˆ2+yˆ2=zˆ3 tem soluções inteiras.

 Suponha  z = a2 + b2   =   z3 = a6 + 3a4b2 + 3a2b4 + b6 = a6 + 9a4b2 – 6a
 4b2 + 9a2b4 – 6a2b4 + b6   =

 z3 = (a6 – 6a4b2 + 9a2b4) + (9a4b2 – 6a2b4 + b6)

 Temos então a identidade:  (a3 – 3ab2)2 + (3a2b – b3)2 = (a2 + b2)3

 Variando a e b temos infinitos valores para  x2 + y2 = z3.

 (1)Agora observe que no seu caso, o n=aˆ3-3abˆ2 e n+1=3aˆ2b-bˆ3, assim
 resolvendo o sistema teremos (a+b)(3ab+ab-aˆ2-bˆ2)=1 , ou ambos são iguais
 a 1 , ou ambos são iguais a -1 , bom resolvi os dois, com ambos iguais a 1
 não teve solução, porém com ambos os fatores iguais a -1 achei solução a=-1
 e b=0 ou a=0 e b=-1, Assim já temos as soluções que o Pedro encontrou.

 (2)Se invertermos o caso (1)  assim n+1=aˆ3-3abˆ2 e n=3aˆ2b-bˆ3, teremos
 as mesmas raízes.

 Com relação a todos os casos supracitados acredito que as únicas soluções
 são as mesmas do Pedro.


 Abraços do Douglas Oliveira.


 Em 29 de setembro de 2014 17:33, Pedro José petroc...@gmail.com
 escreveu:

 Boa tarde!

 É complicado mesmo, mas tem de fazer ressalva para n  0 e n  -1; pois
 para esses casos há solução (0,1) e (-1,1).

 Saudações,
 PJMS

 Em 28 de setembro de 2014 22:11, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:


 Desculpem.Tá errado pois delta = 4(2m^3 - 1)
 --
 From: marconeborge...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
 Date: Sun, 28 Sep 2014 19:16:26 +


 Eu acabei vendo isso : m é ímpar por que o primeiro membro é ímpar.
 2n^2 + 2n + 1 - m^3 = 0
 Delta = 4(2m^3 + 1)
 2m^3 + 1 = t^2 = 2m^3 = (t+1)(t-1) = t+1 é par
 2m^3 = 2k(2k-2) = m^3 = 2k(k-1) = m^3 é par = m é par,uma contradição.


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 From: marconeborge...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
 Date: Sun, 28 Sep 2014 17:24:34 +

 Mostre que a equação n^2 + (n+1)^2 =  m^3 não tem solução,com m e n
 inteiros.

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Re: FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)

[Pedro José]

Boa tarde!

É complicado mesmo, mas tem de fazer ressalva para n  0 e n  -1; pois
para esses casos há solução (0,1) e (-1,1).

Saudações,
PJMS

Em 28 de setembro de 2014 22:11, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:


 Desculpem.Tá errado pois delta = 4(2m^3 - 1)
 --
 From: marconeborge...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
 Date: Sun, 28 Sep 2014 19:16:26 +


 Eu acabei vendo isso : m é ímpar por que o primeiro membro é ímpar.
 2n^2 + 2n + 1 - m^3 = 0
 Delta = 4(2m^3 + 1)
 2m^3 + 1 = t^2 = 2m^3 = (t+1)(t-1) = t+1 é par
 2m^3 = 2k(2k-2) = m^3 = 2k(k-1) = m^3 é par = m é par,uma contradição.


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 From: marconeborge...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
 Date: Sun, 28 Sep 2014 17:24:34 +

 Mostre que a equação n^2 + (n+1)^2 =  m^3 não tem solução,com m e n
 inteiros.

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 acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] inteiros

[Douglas Oliveira de Lima]

x(x+1) é par, y(y+1) é par, e z(z+1) é par

Douglas Oliveira.

Em 27 de setembro de 2014 22:55, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Mostre que a equação x^2 + y^2 + z^2 + x + y + z = 1 não tem solução
 inteira
 Sugestão : sete não pode ser escrito como soma de 3 quadrados.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Inteiros

[marcone augusto araújo borges]

Olá Douglas.Como ficou simples!Eu tinha pensado em uma esfera de raio 
raiz(7/4)e centro (1/2,1/2,1/2).Pelo intervalo de variação de x,y e z,dá pra 
concluir.Mas daquela sugestão é que não saquei o porquê.Obrigado!   
   
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Inteiros

[Rogerio Ponce]

Ola' Marcone,
x^2 + x + y^2 + y + z^2 + z = 1
x^2 + x + 1/4 + y^2 + y + 1/4 + z^2 + z + 1/4 = 7/4
(2x+1)^2 + (2y+1)^2 + (2z+1)^2 = 7
Como 7 nao e' soma de 3 quadrados...
[]'s
Rogerio Ponce

2014-09-28 11:07 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com:

 Olá Douglas.Como ficou simples!Eu tinha pensado em uma esfera de raio
 raiz(7/4)
 e centro (1/2,1/2,1/2).
 Pelo intervalo de variação de x,y e z,dá pra concluir.
 Mas daquela sugestão é que não saquei o porquê.
 Obrigado!

 --
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-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Inteiros de novo(complicada?)

[marcone augusto araújo borges]

Mostre que a equação n^2 + (n+1)^2 =  m^3 não tem solução,com m e n inteiros.   
  
-- 
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FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)

[marcone augusto araújo borges]

Eu acabei vendo isso : m é ímpar por que o primeiro membro é ímpar.2n^2 + 2n + 
1 - m^3 = 0Delta = 4(2m^3 + 1)2m^3 + 1 = t^2 = 2m^3 = (t+1)(t-1) = t+1 é par 
2m^3 = 2k(2k-2) = m^3 = 2k(k-1) = m^3 é par = m é par,uma contradição. 
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
Date: Sun, 28 Sep 2014 17:24:34 +




Mostre que a equação n^2 + (n+1)^2 =  m^3 não tem solução,com m e n inteiros.   
  
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FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)

[marcone augusto araújo borges]

Desculpem.Tá errado pois delta = 4(2m^3 - 1)
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: FW: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
Date: Sun, 28 Sep 2014 19:16:26 +




Eu acabei vendo isso : m é ímpar por que o primeiro membro é ímpar.2n^2 + 2n + 
1 - m^3 = 0Delta = 4(2m^3 + 1)2m^3 + 1 = t^2 = 2m^3 = (t+1)(t-1) = t+1 é par 
2m^3 = 2k(2k-2) = m^3 = 2k(k-1) = m^3 é par = m é par,uma contradição. 
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Inteiros de novo(complicada?)
Date: Sun, 28 Sep 2014 17:24:34 +




Mostre que a equação n^2 + (n+1)^2 =  m^3 não tem solução,com m e n inteiros.   
  
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] inteiros

[marcone augusto araújo borges]

Mostre que a equação x^2 + y^2 + z^2 + x + y + z = 1 não tem solução 
inteiraSugestão : sete não pode ser escrito como soma de 3 quadrados.   
 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Inteiros

[marcone augusto araújo borges]

Determine todos os naturais a,b e c tais que a^3 - b^3 - c^3 = 3abc e a^2 = 
2(b+c)
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Inteiros

[Carlos Victor]

Oi  Marcone, essa é do Mathematical Morsels.

Já que 3abc é positivo, devemos ter  a^3 maior que b^3  e c^3.

Logo ba  e ca dando b+c  2a  e portanto  a^2  4a , ou seja, a  4.

A segunda igualdade mostra também a é par , então  a = 2, b = c = 1.

Abraços

Carlos Victor

Em 13 de setembro de 2014 20:12, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Determine todos os naturais a,b e c tais que a^3 - b^3 - c^3 = 3abc e a^2
 = 2(b+c)

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] inteiros(agradeço)

[marcone augusto araújo borges]

Olá Carlos.Muito bom!Obrigado!
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] inteiros

[saulo nilson]

1)Sejam m e n números naturais tais que A = [(m+3)^n + 1]/3m é inteiro.
Mostre que A é impar,

3A=[C(N,0)m^n3^0+C(n,1)m^(n-1)3^1+...+c(n,n-2)m^23^(n-2)+c(n,n-1)m*3^(n-1)+c(n,n)3^n+1]/m=
=3Q+(m^n+3^n+1)/m
Para A ser inteiro
(m^n+3^n+1)/m=m^(n-1)+(3^n+1)/m tem que ser inteiro multiplo de 3
m^(n-1)=3^k-1
3A=3Q+(3^k+3^n)/m=
m tem que ser par
3Q+3^n(3^(n-k)+1)/m
3^(n-k)+1=0modm
3Q+3^n*x=3(Q+3^(n-1)x)
se x e par A e par
se x e impar A e impar
m^(n-1)=3^k-1
3^(n-k)+1/m=x
3^n/3^k=(-1+xm)/m
3^k=3^nm/(xm-1)=m^(n-1)+1
xm=m3^n/(m^(n-1)+1)+1
x e impar
logo A e impar




2014-08-22 10:19 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima 
profdouglaso.del...@gmail.com:

 Para a letra b a questão foi da IMO de 1990.
 Vou dividir em duas partes:
 Parte I

 1)Como o numerador é ímpar, n deve ser ímpar.

 2)Agora vamos supor que 3^k divide n, ou seja 3^k
 é a maior potência de 3 que divide n.

  3)Assim 3^2k divide n^2 que por sua vez divide (2^n + 1).

 4)Logo 2^n é congruente a  -1 módulo 3^2k, ou seja 2^n= -1 mod(3^2k).

 5)Assim 3^(2k-1) divide n, [Pois 2 é uma raiz primitiva mod(3^n), e se
 2^n= -1 (mod3^2k),
 então 3^(2k-1) divide n], Ref. José P. dos Santos (Dê uma olhada em raízes
 primitivas e entenda este item 5 antes de passar para o próximo item)

 6) 2k - 1= k,  k= 1, mostrando
 que n tem, no máximo, um fator de 3. Observa-se que n = 3 é uma solução.
 (Não leia daqui pra frente se não entendeu o item 5)

 Parte II

 7) Suponha-se que n tem um factor primo maior do que 3, seja p este tal
 Primo. Então p divide  (2^n + 1), assim 2^n= -1 (mod p).

 8) Seja d da ordem de 2 modulo
 p, então 2^2n=1 (mod p), assim d divide 2n.
 (Novamente o assunto de raízes primitivas)

  9)Se d é ímpar, então d divide n, logo  2^n= 1, o que é absurdo.

 10)Se d é par, d=2t.. Então 2t divide 2n (Vide 8), logo t divide n.

 11)Temos também d divide (p - 1), ou
 2t divide (p-1). Assim 2t=p-1p,  ou t=(p-1)/2p .(Vide 7)

 12) Mas como t divide n, então t = 1 ou t = 3. Se t = 1,
 então d = 2 e 2^2=1 (mod p )  , novamente um absurdo.

 13) Se t=3, então d=6, assim e
 2^6= 1 (mod p), e por fermat, p = 7.

 14) Mas a ordem de 2 módulo 7 é 3,
 o que é estranho, uma vez mais contradição.

 15) Portanto, não existe esse tal p
 logo a solução n = 3.


 Valeu
 Abraços
 Douglas Oliveira.



 Em 16 de agosto de 2014 12:37, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:

  1)Sejam m e n números naturais tais que A = [(m+3)^n + 1]/3m é inteiro.
 Mostre que A é impar

 2) Determine todos os inteiros n  1 tais que (2^n + 1)/n^2 é inteiro.

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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



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 acredita-se estar livre de perigo.


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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] inteiros

[Douglas Oliveira de Lima]

Para a letra b a questão foi da IMO de 1990.
Vou dividir em duas partes:
Parte I

1)Como o numerador é ímpar, n deve ser ímpar.

2)Agora vamos supor que 3^k divide n, ou seja 3^k
é a maior potência de 3 que divide n.

 3)Assim 3^2k divide n^2 que por sua vez divide (2^n + 1).

4)Logo 2^n é congruente a  -1 módulo 3^2k, ou seja 2^n= -1 mod(3^2k).

5)Assim 3^(2k-1) divide n, [Pois 2 é uma raiz primitiva mod(3^n), e se 2^n=
-1 (mod3^2k),
então 3^(2k-1) divide n], Ref. José P. dos Santos (Dê uma olhada em raízes
primitivas e entenda este item 5 antes de passar para o próximo item)

6) 2k - 1= k,  k= 1, mostrando
que n tem, no máximo, um fator de 3. Observa-se que n = 3 é uma solução.
(Não leia daqui pra frente se não entendeu o item 5)

Parte II

7) Suponha-se que n tem um factor primo maior do que 3, seja p este tal
Primo. Então p divide  (2^n + 1), assim 2^n= -1 (mod p).

8) Seja d da ordem de 2 modulo
p, então 2^2n=1 (mod p), assim d divide 2n.
(Novamente o assunto de raízes primitivas)

 9)Se d é ímpar, então d divide n, logo  2^n= 1, o que é absurdo.

10)Se d é par, d=2t.. Então 2t divide 2n (Vide 8), logo t divide n.

11)Temos também d divide (p - 1), ou
2t divide (p-1). Assim 2t=p-1p,  ou t=(p-1)/2p .(Vide 7)

12) Mas como t divide n, então t = 1 ou t = 3. Se t = 1,
então d = 2 e 2^2=1 (mod p )  , novamente um absurdo.

13) Se t=3, então d=6, assim e
2^6= 1 (mod p), e por fermat, p = 7.

14) Mas a ordem de 2 módulo 7 é 3,
o que é estranho, uma vez mais contradição.

15) Portanto, não existe esse tal p
logo a solução n = 3.


Valeu
Abraços
Douglas Oliveira.



Em 16 de agosto de 2014 12:37, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 1)Sejam m e n números naturais tais que A = [(m+3)^n + 1]/3m é inteiro.
 Mostre que A é impar

 2) Determine todos os inteiros n  1 tais que (2^n + 1)/n^2 é inteiro.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
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[obm-l] inteiros

[marcone augusto araújo borges]

1)Sejam m e n números naturais tais que A = [(m+3)^n + 1]/3m é inteiro.Mostre 
que A é impar
2) Determine todos os inteiros n  1 tais que (2^n + 1)/n^2 é inteiro.  
  
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Re: [obm-l] Inteiros

[Pedro José]

Boa tarde!

Para um dado valor de a=a*, existe um máximo para soma

smax (a*) = 1/a* + 1/(a*+1) + 1/(a*+2) == smax 1 == 1/a* + 1/(a*+1) +
1/(a*+2) 1 == 3a*^2 + 6a* + 2  x^3 + 3a*^2 + 2a*

a*^3 - 4a*-2 0

Seja f(x) = x^3 - 4x -2 == f ' (x) = 3x^2 - 4 == que a função é monótona
crescente para x = 2.

f(2) = -2 0, atende. f(3) = 13 0, não atende. O único a* possível é 2,
pois a Ɛ Z e a 1.

Para um dado a* e b* smax(a*,b*)= 1/a* + 1/b* 1/(b*+1)

Como a*=2 (única opção) temos smax(2,b*) = 1/2 + 1/b* 1/(b*+1) == 1/2 +
1/b* 1/(b*+1) 1

1/b* 1/(b*+1)  1/2 == 4b* +2  b*^2 + b* == b^2 - 3b -2 0 == Como b Ɛ
Z e b2 == b* Ɛ [2, (3+raiz(17))/2) ᴒ |N

Assim só sobra a opção b* = 3

Para a*= 2 e b* = 3 == 1/2 + 1/3 + 1/c*  1 == 1/c*  1/6 == c*  6.
Como c 3 e cƐ Z, só temos duas opções para c, ou seja, c = 4 ou c = 5.

Portanto só existem dois ternos ordenados: (2,3,4) e (2,3,5) com os valores
da expressão: 13/12 e 31/30, respectivamente.

Saudações
PJMS



Em 4 de maio de 2014 00:26, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Quantos ternos ordenados (a,b,c) de números inteiros,com a  b  c 1,
 existem tais
 que 1/a + 1/b + 1/c  1 ?

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Re: [obm-l] Inteiros

[Pedro José]

Boa tarde!

Desculpe-me, na verdade é abc1 e fiz para cba1. Os ternos corretos
são (4,3,2) e (5,3,2).
E aresposta também não são os ternos mas o número deternos ordenados.
Portanto, dois para ambos os casos.


Em 7 de maio de 2014 14:36, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Boa tarde!

 Para um dado valor de a=a*, existe um máximo para soma

 smax (a*) = 1/a* + 1/(a*+1) + 1/(a*+2) == smax 1 == 1/a* + 1/(a*+1) +
 1/(a*+2) 1 == 3a*^2 + 6a* + 2  x^3 + 3a*^2 + 2a*

 a*^3 - 4a*-2 0

 Seja f(x) = x^3 - 4x -2 == f ' (x) = 3x^2 - 4 == que a função é monótona
 crescente para x = 2.

 f(2) = -2 0, atende. f(3) = 13 0, não atende. O único a* possível é 2,
 pois a Ɛ Z e a 1.

 Para um dado a* e b* smax(a*,b*)= 1/a* + 1/b* 1/(b*+1)

 Como a*=2 (única opção) temos smax(2,b*) = 1/2 + 1/b* 1/(b*+1) == 1/2 +
 1/b* 1/(b*+1) 1

 1/b* 1/(b*+1)  1/2 == 4b* +2  b*^2 + b* == b^2 - 3b -2 0 == Como b Ɛ
 Z e b2 == b* Ɛ [2, (3+raiz(17))/2) ᴒ |N

 Assim só sobra a opção b* = 3

 Para a*= 2 e b* = 3 == 1/2 + 1/3 + 1/c*  1 == 1/c*  1/6 == c*  6.
 Como c 3 e cƐ Z, só temos duas opções para c, ou seja, c = 4 ou c = 5.

 Portanto só existem dois ternos ordenados: (2,3,4) e (2,3,5) com os
 valores da expressão: 13/12 e 31/30, respectivamente.

 Saudações
 PJMS



 Em 4 de maio de 2014 00:26, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:

  Quantos ternos ordenados (a,b,c) de números inteiros,com a  b  c 1,
 existem tais
 que 1/a + 1/b + 1/c  1 ?

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[obm-l] Inteiros

[marcone augusto araújo borges]

Quantos ternos ordenados (a,b,c) de números inteiros,com a  b  c 1, existem 
taisque 1/a + 1/b + 1/c  1 ?  
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RE: [obm-l] Inteiros(de novo)

[marcone augusto araújo borges]

Para a primeira,fazendo x = y da pra ver que há infinitas soluções2x^2 = 
y^3basta tomar x é da forma 2^(3n+1).b^3 e y = x^1/3mas eu gostaria de resolver 
a equaçãoA segunda equação seria um caso particular da primeira


Date: Thu, 16 Jan 2014 20:09:56 -0200
Subject: Re: [obm-l] Inteiros(de novo)
From: saulo.nil...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

(2,2,2)

2014/1/15 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com




Onde encontro soluções de x^2 + y^2 = z^3 e x^2 + 4 = y^3?  
  
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Re: [obm-l] Inteiros(de novo)

[saulo nilson]

 x^2 + y^2 = z^3 e x^2 + 4 = y^3
y^3+y^2-4=z^3
(-2,-2), (2,2)


2014/1/15 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

 Onde encontro soluções de x^2 + y^2 = z^3 e x^2 + 4 = y^3?

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Re: [obm-l] Inteiros(de novo)

[saulo nilson]

(2,2,2)


2014/1/15 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

 Onde encontro soluções de x^2 + y^2 = z^3 e x^2 + 4 = y^3?

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[obm-l] Inteiros(de novo)

[marcone augusto araújo borges]

Onde encontro soluções de x^2 + y^2 = z^3 e x^2 + 4 = y^3?  
  
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Re: [obm-l] Inteiros

[saulo nilson]

3^p^2+3^h^2+1=t^2
3^h^2+1 deve ser um numero quadratico senao nao existe um triangulo com 3^m
, 3^n+1 e t
3^h^2=k^2-1=(k-1)(k+1) que e impossivel pois os numeros da forma 3^m nao
podem ser colocados como produtos de numeros quase consecutivos.


2014/1/8 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

 Mostre que a equação 3^m + 3^n + 1 = t^2 não tem solução nos inteiros


 a = b (c) significa a é congruo a b modulo c

 o primeiro membro da equação representa um numero impar,então t é impar
 chamando t de 2k+1 e desenvolvendo temos 3^m + 3^n = 4k(k+1) *
 o segundo membro de * é um multiplo de 8
 o primeiro membro de * nunca é multiplo de 8,pois de 3^2 = 1(8),segue que
 3^(2p) = 1(8) e 3^(2p + 1) = 3(8)
 Dai :  a) 3^m + 3^n = 6(8) se m e n são impares
b) 3^m + 3^n = 2(8) se m e n são pares
c) 3^m + 3^n = 4(8) se um dos expoentes é par e o outro,impar
 Eu agradeceria  se alguem apresentasse uma solução diferente.



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[obm-l] Inteiros

[marcone augusto araújo borges]

Mostre que a equação 3^m + 3^n + 1 = t^2 não tem solução nos inteiros





 
 



  


  


  


  


 
 



  


  


  


  

a = b (c) significa a é congruo a b modulo c 
o primeiro membro da equação representa um numero impar,então t é imparchamando 
t de 2k+1 e desenvolvendo temos 3^m + 3^n = 4k(k+1) *o segundo membro de * é um 
multiplo de 8o primeiro membro de * nunca é multiplo de 8,pois de 3^2 = 
1(8),segue que3^(2p) = 1(8) e 3^(2p + 1) = 3(8)Dai :  a) 3^m + 3^n = 6(8) se m 
e n são impares   b) 3^m + 3^n = 2(8) se m e n são pares   c) 
3^m + 3^n = 4(8) se um dos expoentes é par e o outro,imparEu agradeceria  se 
alguem apresentasse uma solução diferente.

  
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Inteiros

[marcone augusto araújo borges]

Mostre que há infinitos pares de naturais x,y tais que



 
 



  


  


  


  


 
 



  


  


  


  

2x^2 - 3x - 3y^2 - y - 1 = 0  
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RE: [obm-l] Inteiros

[João Maldonado]

Resolve em x, iguale o delta em y a k ao quadrado, resolva em y, iguale o delta 
em k a k linha ao quadrado, resolva a equacao de pell

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Inteiros
Date: Sun, 10 Nov 2013 17:17:18 +




Mostre que há infinitos pares de naturais x,y tais que



 
 



  


  


  


  


 
 



  


  


  


  

2x^2 - 3x - 3y^2 - y - 1 = 0  
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Re: [obm-l] Inteiros(esclarecimento)

[Artur Costa Steiner]

Sua solução está perfeita. Se for o caso, complete mostrando que 3n - 1 nunca é 
quadrado perfeito. O que é fácil, pois, módulo 3, o quadrado de qualquer número 
inteiro é congruente a 0 ou a 1, nunca a -1.

Qual é a solução do livro?

Artur Costa Steiner

 Em 11/10/2013, às 23:11, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:
 
 Mostre que não exstem inteiros positivos m,n tais que
 m/n +(n+1)/m = 4
 
 Supondo que existem os tais m e n,achei uma quadrática em m cujo delta
 é igual a 4n(3n - 1)
 como n e 3n - 1 são primos entre si,temos que ambos dever ser quadrados
 perfeitos,o que é impossível pois  3n - 1 nunca é quadrado perfeito.
 Na verdade tenho uma solução deste problema no livro,a qual não entendi,por 
 isso busquei essa.Espero ter acertado.
 Alguém poderia corrigir,se for o caso,ou mostrar outra solução?
 
 
 -- 
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[obm-l] Inteiros(esclarecimento)

[marcone augusto araújo borges]

Mostre que não exstem inteiros positivos m,n tais que



 
 



  


  


  


  


 
 



  


  


  


  

m/n +(n+1)/m = 4
Supondo que existem os tais m e n,achei uma quadrática em m cujo deltaé igual a 
4n(3n - 1)como n e 3n - 1 são primos entre si,temos que ambos dever ser 
quadradosperfeitos,o que é impossível pois  3n - 1 nunca é quadrado perfeito.Na 
verdade tenho uma solução deste problema no livro,a qual não entendi,por isso 
busquei essa.Espero ter acertado.Alguém poderia corrigir,se for o caso,ou 
mostrar outra solução?
  
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RE: [obm-l] inteiros

[João Maldonado]

Não

Um ou dois números são negativos
Se x é negativo, faça x' = -x
x'³ = y³+z³
Se x e y são negativos, faça x'=-x  ey' = -y
x'³ + y'³ = z³

Ambos os casos são impossíveis pelo último teorema de fermat

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] inteiros
Date: Thu, 7 Feb 2013 09:56:55 +








Sejam x,y,z inteiros não nulos.É possível que x^3 + y^3 + z^3 = 0?  
  

[obm-l] inteiros

[marcone augusto araújo borges]

Sejam x,y,z inteiros não nulos.É possível que x^3 + y^3 + z^3 = 0?  
  

Re: [obm-l] inteiros

[douglas . oliveira]

  

Segundo o teorema de Fermat não existem sluções inteiras para
x^a+y^a=z^a para a=3!! 

 porém ainda temos outra \ arrumando fica
x^3+y^3=(-z)ˆ3 que pelo UTF não há solução!! 

On Thu, 7 Feb 2013
09:56:55 +, marcone augusto araújo borges wrote: 

 Sejam x,y,z
inteiros não nulos.É possível que x^3 + y^3 + z^3 = 0?

  

[obm-l] Inteiros

[marcone augusto araújo borges]

1) Resolva a equação 3.2^m + 1 = n^2 2) x^2 + y^2 + z^2 = 8t - 1 Eu estou 
tentando e não sai.Obrigado pela atenção.   

Re: [obm-l] Inteiros

[Heitor Bueno Ponchio Xavier]

Para a primeira eu fiz assim:
3*2^m + 1 = n²
Se m=0 então 4=n² e n=+-2
Se m=1 não temos soulucoes(basta checar!)
Se m1 então basta observar que n=2k+1 é ímpar, então 3*2^m = 4k²+4k =
3*2^(m-2) = k(k+1)
Como o lado esquerod é multiplo de 3 o lado direito tambem deve ser, logo
temos duas opções
i)k=3t, e então 2^(m-2) = t(3t+1), logo t=2^a e 3t+1 = 3*2^a + 1= 2^b,ou
ainda 2^a(2^(b-a) - 3)=1 logo 2^a = 1 e 2^(b-a) -3 = 1 então a=0 e b=3.
Voltando nas equações anteriores temos que t=1, m=4 e n=7, que é solução da
eq. originial.
ii)k=3t-1, e então 3*2^(m-2)=t(3t-1), logot=2^a e 3t-1 = 3*2^a - 1 = 2^b,
ou ainda -2^b + 3*2^a = 1 = 2^a(3-2^(b-a))=1 então 2^a=1 e 3-2^(b-a) = 1
então a=0 e b=1.
Voltando nas equações anteriores temos quem=3 e n=5 que é solução tambem.



Em 26 de outubro de 2012 11:18, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

  1) Resolva a equação 3.2^m + 1 = n^2

 2) x^2 + y^2 + z^2 = 8t - 1

 Eu estou tentando e não sai.Obrigado pela atenção.

RE: [obm-l] Inteiros

[Athos Couto]

Para a segunda temos que:Um número ao quadrado pode ser côngruo a 0, 1 ou 4 
módulo 8.A soma dos quadrados dá 8t-1 que é côngruo a 7 módulo 8.A soma de três 
quadrados só pode ser congruente a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 módulo 8, nunca podendo 
ser côngrua a 7.Portanto a equação não tem solução natural (nem inteira).

Date: Fri, 26 Oct 2012 11:57:46 -0200
Subject: Re: [obm-l] Inteiros
From: heitor.iyp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Para a primeira eu fiz assim:
3*2^m + 1 = n²
Se m=0 então 4=n² e n=+-2
Se m=1 não temos soulucoes(basta checar!)
Se m1 então basta observar que n=2k+1 é ímpar, então 3*2^m = 4k²+4k = 
3*2^(m-2) = k(k+1)

Como o lado esquerod é multiplo de 3 o lado direito tambem deve ser, logo temos 
duas opções
i)k=3t, e então 2^(m-2) = t(3t+1), logo t=2^a e 3t+1 = 3*2^a + 1= 2^b,ou ainda 
2^a(2^(b-a) - 3)=1 logo 2^a = 1 e 2^(b-a) -3 = 1 então a=0 e b=3.

Voltando nas equações anteriores temos que t=1, m=4 e n=7, que é solução da eq. 
originial.
ii)k=3t-1, e então 3*2^(m-2)=t(3t-1), logot=2^a e 3t-1 = 3*2^a - 1 = 2^b, ou 
ainda -2^b + 3*2^a = 1 = 2^a(3-2^(b-a))=1 então 2^a=1 e 3-2^(b-a) = 1 então 
a=0 e b=1.

Voltando nas equações anteriores temos quem=3 e n=5 que é solução tambem.



Em 26 de outubro de 2012 11:18, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:








1) Resolva a equação 3.2^m + 1 = n^2
 
2) x^2 + y^2 + z^2 = 8t - 1
 
Eu estou tentando e não sai.Obrigado pela atenção.
  

  

RE: [obm-l] Inteiros

[marcone augusto araújo borges]

Isso mesmo.Depois de ter enviado a questão eu acabei percebendo isso.Obrigado.
 From: athos...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Inteiros
Date: Fri, 26 Oct 2012 21:43:54 +





Para a segunda temos que:Um número ao quadrado pode ser côngruo a 0, 1 ou 4 
módulo 8.A soma dos quadrados dá 8t-1 que é côngruo a 7 módulo 8.A soma de três 
quadrados só pode ser congruente a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 módulo 8, nunca podendo 
ser côngrua a 7.Portanto a equação não tem solução natural (nem inteira).

Date: Fri, 26 Oct 2012 11:57:46 -0200
Subject: Re: [obm-l] Inteiros
From: heitor.iyp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Para a primeira eu fiz assim:
3*2^m + 1 = n²
Se m=0 então 4=n² e n=+-2
Se m=1 não temos soulucoes(basta checar!)
Se m1 então basta observar que n=2k+1 é ímpar, então 3*2^m = 4k²+4k = 
3*2^(m-2) = k(k+1)

Como o lado esquerod é multiplo de 3 o lado direito tambem deve ser, logo temos 
duas opções
i)k=3t, e então 2^(m-2) = t(3t+1), logo t=2^a e 3t+1 = 3*2^a + 1= 2^b,ou ainda 
2^a(2^(b-a) - 3)=1 logo 2^a = 1 e 2^(b-a) -3 = 1 então a=0 e b=3.

Voltando nas equações anteriores temos que t=1, m=4 e n=7, que é solução da eq. 
originial.
ii)k=3t-1, e então 3*2^(m-2)=t(3t-1), logot=2^a e 3t-1 = 3*2^a - 1 = 2^b, ou 
ainda -2^b + 3*2^a = 1 = 2^a(3-2^(b-a))=1 então 2^a=1 e 3-2^(b-a) = 1 então 
a=0 e b=1.

Voltando nas equações anteriores temos quem=3 e n=5 que é solução tambem.



Em 26 de outubro de 2012 11:18, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:








1) Resolva a equação 3.2^m + 1 = n^2
 
2) x^2 + y^2 + z^2 = 8t - 1
 
Eu estou tentando e não sai.Obrigado pela atenção.
  


  

Re: [obm-l] Inteiros!!!

[Pedro Júnior]

Falou nobre amigo, que Deus continue lhe dando sabedoria...
Abraços


2008/4/4 Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]:

 Ola Pedro e demais
 colegas desta lista ... OBM-L,

 Obviamente que todo par (X,Y) da forma (X,-X) e solucao, pois :
 X^3 + (-X)^3 = 0 = (X+(-X))/2.  Em particular, (0,0) e solucao.

 Se, porem, X+Y # 0, teremos :
 X^3 + Y^3 = (X+Y)*(X^2 -XY + Y^2) = (X+Y)/2. = X^2 - XY + Y^2 = 1/2
 = (X-Y)^2 = - (X^2 +Y^2) .
 A possibilidade aqui, logicamente, e :  X-Y=0 e X^2+Y^2 = 0. Mas isso
 da (X,Y)=(0,0)
 o que contraria a hipotese X+Y # 0

 Assim, todas as solucoes inteiras sao {(X,-X) / X e inteiro }

 Um Abracao a Todos
 Paulo Santa Rita
 6,0A2D,040408

 2008/4/4 Pedro Júnior [EMAIL PROTECTED]:
  02. Ache todos os pares tais de números inteiros (x, y) tais que:
  x^3 + y^3 = (x + y)^2

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
 =

Re: [obm-l] Inteiros!!!

[Paulo Santa Rita]

Ola Pedro e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Obviamente que todo par (X,Y) da forma (X,-X) e solucao, pois :
X^3 + (-X)^3 = 0 = (X+(-X))/2.  Em particular, (0,0) e solucao.

Se, porem, X+Y # 0, teremos :
X^3 + Y^3 = (X+Y)*(X^2 -XY + Y^2) = (X+Y)/2. = X^2 - XY + Y^2 = 1/2
= (X-Y)^2 = - (X^2 +Y^2) .
A possibilidade aqui, logicamente, e :  X-Y=0 e X^2+Y^2 = 0. Mas isso
da (X,Y)=(0,0)
o que contraria a hipotese X+Y # 0

Assim, todas as solucoes inteiras sao {(X,-X) / X e inteiro }

Um Abracao a Todos
Paulo Santa Rita
6,0A2D,040408

2008/4/4 Pedro Júnior [EMAIL PROTECTED]:
 02. Ache todos os pares tais de números inteiros (x, y) tais que:
 x^3 + y^3 = (x + y)^2

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Inteiros!!!

[Pedro Júnior]

02. Ache todos os pares tais de números inteiros (x, y) tais que:
x^3 + y^3 = (x + y)^2

[obm-l] Inteiros

[Klaus Ferraz]

Mostre que se x,y,n,k sao inteiros positivos, e n é impar entao a equacao   x^n -y^n=2^k nao tem solucoes inteiras positivas.
		 
Yahoo! Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de graça. 

Re: [obm-l] Inteiros

[Ricardo]

x=5, y=3, n=1, k=1

  - Original Message - 
  From: 
  Klaus 
  Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Saturday, April 08, 2006 10:40 
  PM
  Subject: [obm-l] Inteiros
  
  Mostre que se x,y,n,k sao inteiros positivos, e n é impar entao a equacao 
  
  x^n -y^n=2^k nao tem solucoes inteiras positivas.
  
  
  Yahoo! 
  Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de graça. 
  
  

  No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free 
  Edition.Version: 7.1.385 / Virus Database: 268.4.0/304 - Release Date: 
  7/4/2006

[obm-l] Inteiros da forma ax + by

[claudio\.buffara]

Dados inteiros positivos a, b com mdc(a,b) = 1, o problema é encontrar todos os inteiros positivos que podem ser representados na forma ax + by, onde x e y são inteiros não-negativos.

Nesse caso:
1) ab - a - b não pode ser representado;
2) todo inteiro maior do queab - a - b pode ser representado;
3) exatamente metade dos inteiros no intervalo [0,ab - a - b] pode ser representada.

Tudo isso está provado em:
http://www.cut-the-knot.org/blue/Byzantine.shtml

[]s,
Claudio.

[obm-l] Inteiros

[Bruna Carvalho]

Sendo a, b e c números inteiros naturais tais que a+b+c= 25 e a +2b+3c=40. Se c assume o maior valor possível, o produto a.b vale:a)7 b)17 c)18 d)20 e)21como que eu uso esse dado de c assumi o maior valor possivel ??

Re: [obm-l] Inteiros

[Hugo Fernandes]

a + b + c = 25  a = 25 - b - ca + 2b + 3c = 40  25 - b - c + 2b + 3c = 40  b + 2c = 15  b = 15 - 2cComo b é inteiro = 0 , então c = 7 e b = 1, donde a = 17 e   a.b = 17.1 = 17 letra BSdsHugo.Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED] escreveu:  Sendo a, b e c números inteiros naturais tais que a+b+c= 25 e a +2b+3c=40. Se c assume o maior valor possível, o produto a.b vale:a)7 b)17 c)18 d)20 e)21como que eu uso esse dado de c assumi o maior valor possivel ??   
		 
Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.

Re: [obm-l] Inteiros

[Marcelo Salhab Brogliato]

Use o fato de C ser o maior possivel em alguma 
desigualdade.. vamos desenvolver.

resolvendo como se C fosse conhecido, 
então:

a + b = 25 - c
a + 2b = 40 - 3c

b = (40 - 3c) - (25 - c) = 40 - 3c - 25+ c = 
15 - 2c
a = 25 - c - b = 25 - c - (15 - 2c) = 25 - c - 15 + 
2c = 10 + c

Assim:
b = 15 - 2c
a = 10 + c

b  0 ... logo, 2c  15 ... c  7,5 ... c 
= 7
a  0 ... logo, c  -10 ... c  
0

Assim, o maior valor possivel de c, para que a e b 
sejam positivos é: c = 7

Assim:
b = 15 - 14 = 1
a = 10 + 7 = 17

Logo: a * b = 17

Alternativa B

Abraços,
Salhab


- Original Message - 

  From: 
  Bruna Carvalho 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, January 31, 2006 12:18 
  AM
  Subject: [obm-l] Inteiros
  Sendo a, b e c números inteiros naturais tais que a+b+c= 25 e a 
  +2b+3c=40. Se c assume o maior valor possível, o produto a.b 
  vale:a)7 b)17 c)18 d)20 
  e)21como que eu uso esse dado de c assumi o maior valor possivel ?? 
  

Re: [obm-l] Inteiros

[Iuri]

Como p não é divisivel por 2, ele é impar.Se p é na forma 2n+1, ele é impar e nao divisivel por 3.Entao p^2 é impar e tambem não é divisivel por 3. Entao p^2 = 1 (mod 3). Portanto p^2 - 1 é divisivel por 3.
Logo, p^2 -1 = 0 (mod 6)4n^2 + 4n + 1 - 1 = 0 (mod 6)4n(n + 1)=0 (mod 6)4, n e n+1 são fatores de p. Entao p é divisivel por 4*n*(n+1). Como p  4, 2n +1  4, potanto n  3/2.Como n é natural, o minimo n=2. 4*2*3=24
Resposta é B.Em 19/11/05, marcio aparecido [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Se p natural maior que 1 não é divisivel nem por 2 nem por 3, entãop^2-1 é divisilvel por:
a)18b)24c)36d)9e)27=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

[obm-l] Inteiros

[marcio aparecido]

Se p natural maior que 1 não é divisivel nem por 2 nem por 3, então
p^2-1 é divisilvel por:
a)18  b)24  c)36  d)9  e)27

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Inteiros

[bernardoakino]

Se p não é divisível por 2 nem por 3 devemos observar os numeros que não são 
multiplos de 6 
6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k-2, 6k-1 
Porem desses numeros, somente o primeiro e o ultimo nos interessam, pois os 
outros sao multiplos de 2 ou 3 

Fazendo p²-1 = (6k+1)²-1 = 36k²+12k = 12k(k+1) 
Neste caso o numero é divisivel por 12 e por 2 (k+1 ou k é par),ou seja, é 
divisivel por 24 
Fazendo p²-1 = (6k-1)²-1 = 36k²-12k = 12k(k-1) 
O numero obtido tambem é multiplo de 24. 

Acho que a resposta é letra b) 

BTW, sou novo na lista :), ola para todos! 
[]s 
Bernardo 

Re: [obm-l] inteiros

[Felipe Amaral]

PELA INDUÇÃO supomos  K^5 termina com K e verificamos que para 1 vale,
depois provamos que:
VALE PARA K  =  VALE PARA K+1
use 1 na esquerda, temos 2
mas se temos 2, temos 3
...  ,  ...
tipo um dominó

OBS: Na indução, temos que usar o fato de que vale para K para
conseguirmos provar para K+1 e as vezes precisamos de K e K+1 para
provar K+2, mas o efeito dominó continua...



On Tue, 21 Sep 2004 21:30:00 -0400, Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Veja comentario abaixo
 
 From: Felipe Amaral [EMAIL PROTECTED]
 
 Oi! Bem, para 1^5 = 1 o fato é verdade.Agora por indução temos que mostar
 que:
 
 (K+1)^5  termina com  k+1
 
 (K+1)^5 =   k^5  +  5K^4  +  10K^3  +  10K^2  +  5K  +  1
 
 = K^5  +  1 10( K^3  +  K^2 ) 5K( k^3  +  1 )
-v   v---v---
  AB  C
 
 A: K^5 termina com K, somando um termina em K+1
 
 Da onde vc tirou que K^5 termina com K?  Voce nao pode
 usar a propriedade que vc quer provar no meio da sua prova, ne?
 
 
 B: 10xcoisa   não atrapalha nada...
 
 C:   se K é PAR, 5K(...) = 10N(...)  logo não atrapalha e
se K é ÍMPAR,  K^3+1 = P que é PAR,   então  5KP = 10KN não
 atrapalhando também na unidade...
 
 Abraços...
 
 (Qualquer erro me avisem)
 
 _
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 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] inteiros

[Ricardo Bittencourt]

Tio Cabri st wrote:
Se K é um número Natural então K^5 possui o mesmo algarismo das unidades.
TEntei fazer por indução empaquei.
Tentei demonstrar que k^5-K é múltiplo de dez empaquei novamente
Se você quiser fazer por indução, então o mais fácil
é quebrar o problema em dois: prove que k^5-k é par, e depois
que k^5-k é multiplo de 5.

Ricardo Bittencourt   http://www.mundobizarro.tk
[EMAIL PROTECTED]  kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita
-- União contra o forward - crie suas proprias piadas --
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] inteiros

[Fernando Aires]

Hermann,

   Eu tenho uma idéia:

   Pelo método da multiplicação, sabemos que a unidade resultante
depende apenas de uma operação, que é a multiplicação dos algarismos
das unidades dos fatores. Desta forma, podemos provar diretamente para
cada um dos possíveis algarimos das unidades ([0;9]).

   Para o número x=ABC...N0:
   ABC...N0 ^2 = A'B'C'...N'0 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'0 * ABC...N0 = A''B''C''...N''0 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''0 * A'B'C'...N'0 = A'''B'''C'''...N'''0 (x^3 * x^2 = x^5)

   Para o número x=ABC...N1:
   ABC...N01^2 = A'B'C'...N'1 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'1 * ABC...N1 = A''B''C''...N''1 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''1 * A'B'C'...N'1 = A'''B'''C'''...N'''1 (x^3 * x^2 = x^5)

   Para o número x=ABC...N2:
   ABC...N2 ^2 = A'B'C'...N'4 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'4 * ABC...N2 = A''B''C''...N''8 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''4 * A'B'C'...N'8 = A'''B'''C'''...N'''2 (x^3 * x^2 = x^5)

   Para o número x=ABC...N3:
   ABC...N3 ^2 = A'B'C'...N'9 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'9 * ABC...N3 = A''B''C''...N''7 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''7 * A'B'C'...N'9 = A'''B'''C'''...N'''3 (x^3 * x^2 = x^5)

   Para o número x=ABC...N4:
   ABC...N4 ^2 = A'B'C'...N'6 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'6 * ABC...N4 = A''B''C''...N''4 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''4 * A'B'C'...N'6 = A'''B'''C'''...N'''4 (x^3 * x^2 = x^5)

   Para o número x=ABC...N5:
   ABC...N5 ^2 = A'B'C'...N'5 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'5 * ABC...N5 = A''B''C''...N''5 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''5 * A'B'C'...N'5 = A'''B'''C'''...N'''5 (x^3 * x^2 = x^5)

   Para o número x=ABC...N6:
   ABC...N6 ^2 = A'B'C'...N'6 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'6 * ABC...N6 = A''B''C''...N''6 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''6 * A'B'C'...N'6 = A'''B'''C'''...N'''6 (x^3 * x^2 = x^5)

   Para o número x=ABC...N7:
   ABC...N7 ^2 = A'B'C'...N'9 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'9 * ABC...N7 = A''B''C''...N''3 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''3 * A'B'C'...N'9 = A'''B'''C'''...N'''7 (x^3 * x^2 = x^5)

   Para o número x=ABC...N8:
   ABC...N8 ^2 = A'B'C'...N'4 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'4 * ABC...N8 = A''B''C''...N''2 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''2 * A'B'C'...N'4 = A'''B'''C'''...N'''8 (x^3 * x^2 = x^5)

   Para o número x=ABC...N9:
   ABC...N9 ^2 = A'B'C'...N'1 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'1 * ABC...N9 = A''B''C''...N''9 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''9 * A'B'C'...N'1 = A'''B'''C'''...N'''9 (x^3 * x^2 = x^5)

   (C.Q.D.)

   Apesar de não muito elegante, é uma demonstração válida.
   (Mas estou pensando na prova que K^5-K é múltiplo de 10)

Beijos,

-- 
--
Fernando Aires
[EMAIL PROTECTED]
Em tudo Amar e Servir
--

On Tue, 21 Sep 2004 17:03:05 -0300, Tio Cabri st
[EMAIL PROTECTED] wrote:
 Por favor...
 Como demonstro o seguinte:
 
 Se K é um número Natural então K^5 possui o mesmo algarismo das unidades.
 
 TEntei fazer por indução empaquei.
 Tentei demonstrar que k^5-K é múltiplo de dez empaquei novamente
 
 espero que alguém da lista saiba
 Obrigado,
 Hermann

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] inteiros

[Edward Elric]

Fernando vc acabou demonstrando tb que K^5 - k e multiplo de 10, pois vc 
demonstrou que o algarismo das unidades e igual ao de algarismo das unidades 
de k, quando vc subtrair o novo algarismo vai ser 0.


From: Fernando Aires [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] inteiros
Date: Tue, 21 Sep 2004 17:59:21 -0300
Hermann,
   Eu tenho uma idéia:
   Pelo método da multiplicação, sabemos que a unidade resultante
depende apenas de uma operação, que é a multiplicação dos algarismos
das unidades dos fatores. Desta forma, podemos provar diretamente para
cada um dos possíveis algarimos das unidades ([0;9]).
   Para o número x=ABC...N0:
   ABC...N0 ^2 = A'B'C'...N'0 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'0 * ABC...N0 = A''B''C''...N''0 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''0 * A'B'C'...N'0 = A'''B'''C'''...N'''0 (x^3 * x^2 = 
x^5)

   Para o número x=ABC...N1:
   ABC...N01^2 = A'B'C'...N'1 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'1 * ABC...N1 = A''B''C''...N''1 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''1 * A'B'C'...N'1 = A'''B'''C'''...N'''1 (x^3 * x^2 = 
x^5)

   Para o número x=ABC...N2:
   ABC...N2 ^2 = A'B'C'...N'4 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'4 * ABC...N2 = A''B''C''...N''8 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''4 * A'B'C'...N'8 = A'''B'''C'''...N'''2 (x^3 * x^2 = 
x^5)

   Para o número x=ABC...N3:
   ABC...N3 ^2 = A'B'C'...N'9 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'9 * ABC...N3 = A''B''C''...N''7 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''7 * A'B'C'...N'9 = A'''B'''C'''...N'''3 (x^3 * x^2 = 
x^5)

   Para o número x=ABC...N4:
   ABC...N4 ^2 = A'B'C'...N'6 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'6 * ABC...N4 = A''B''C''...N''4 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''4 * A'B'C'...N'6 = A'''B'''C'''...N'''4 (x^3 * x^2 = 
x^5)

   Para o número x=ABC...N5:
   ABC...N5 ^2 = A'B'C'...N'5 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'5 * ABC...N5 = A''B''C''...N''5 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''5 * A'B'C'...N'5 = A'''B'''C'''...N'''5 (x^3 * x^2 = 
x^5)

   Para o número x=ABC...N6:
   ABC...N6 ^2 = A'B'C'...N'6 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'6 * ABC...N6 = A''B''C''...N''6 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''6 * A'B'C'...N'6 = A'''B'''C'''...N'''6 (x^3 * x^2 = 
x^5)

   Para o número x=ABC...N7:
   ABC...N7 ^2 = A'B'C'...N'9 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'9 * ABC...N7 = A''B''C''...N''3 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''3 * A'B'C'...N'9 = A'''B'''C'''...N'''7 (x^3 * x^2 = 
x^5)

   Para o número x=ABC...N8:
   ABC...N8 ^2 = A'B'C'...N'4 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'4 * ABC...N8 = A''B''C''...N''2 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''2 * A'B'C'...N'4 = A'''B'''C'''...N'''8 (x^3 * x^2 = 
x^5)

   Para o número x=ABC...N9:
   ABC...N9 ^2 = A'B'C'...N'1 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'1 * ABC...N9 = A''B''C''...N''9 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''9 * A'B'C'...N'1 = A'''B'''C'''...N'''9 (x^3 * x^2 = 
x^5)

   (C.Q.D.)
   Apesar de não muito elegante, é uma demonstração válida.
   (Mas estou pensando na prova que K^5-K é múltiplo de 10)
Beijos,
--
--
Fernando Aires
[EMAIL PROTECTED]
Em tudo Amar e Servir
--
On Tue, 21 Sep 2004 17:03:05 -0300, Tio Cabri st
[EMAIL PROTECTED] wrote:
 Por favor...
 Como demonstro o seguinte:

 Se K é um número Natural então K^5 possui o mesmo algarismo das 
unidades.

 TEntei fazer por indução empaquei.
 Tentei demonstrar que k^5-K é múltiplo de dez empaquei novamente

 espero que alguém da lista saiba
 Obrigado,
 Hermann

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] inteiros

[Fernando Aires]

Edward,

   Sim, é verdade. Mas eu me referia ao método sugerido por outro
membro da lista (eu não especifiquei, perdoem-me), que consistia em
provar que K^5-K é par, e que K^5-K é múltiplo de 5...

Beijos,

-- 
--
Fernando Aires
[EMAIL PROTECTED]
Em tudo Amar e Servir
--

On Tue, 21 Sep 2004 21:09:34 +, Edward Elric
[EMAIL PROTECTED] wrote:
 Fernando vc acabou demonstrando tb que K^5 - k e multiplo de 10, pois vc
 demonstrou que o algarismo das unidades e igual ao de algarismo das unidades
 de k, quando vc subtrair o novo algarismo vai ser 0.
 
 From: Fernando Aires [EMAIL PROTECTED]
 Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Subject: Re: [obm-l] inteiros
 Date: Tue, 21 Sep 2004 17:59:21 -0300
 
 
 
 Hermann,
 
 Eu tenho uma idéia:
 
 Pelo método da multiplicação, sabemos que a unidade resultante
 depende apenas de uma operação, que é a multiplicação dos algarismos
 das unidades dos fatores. Desta forma, podemos provar diretamente para
 cada um dos possíveis algarimos das unidades ([0;9]).
 
 Para o número x=ABC...N0:
 ABC...N0 ^2 = A'B'C'...N'0 (x*x=x^2)
 A'B'C'...N'0 * ABC...N0 = A''B''C''...N''0 (x^2 * x = x^3)
 A''B''C''...N''0 * A'B'C'...N'0 = A'''B'''C'''...N'''0 (x^3 * x^2 =
 x^5)
 
 Para o número x=ABC...N1:
 ABC...N01^2 = A'B'C'...N'1 (x*x=x^2)
 A'B'C'...N'1 * ABC...N1 = A''B''C''...N''1 (x^2 * x = x^3)
 A''B''C''...N''1 * A'B'C'...N'1 = A'''B'''C'''...N'''1 (x^3 * x^2 =
 x^5)
 
 Para o número x=ABC...N2:
 ABC...N2 ^2 = A'B'C'...N'4 (x*x=x^2)
 A'B'C'...N'4 * ABC...N2 = A''B''C''...N''8 (x^2 * x = x^3)
 A''B''C''...N''4 * A'B'C'...N'8 = A'''B'''C'''...N'''2 (x^3 * x^2 =
 x^5)
 
 Para o número x=ABC...N3:
 ABC...N3 ^2 = A'B'C'...N'9 (x*x=x^2)
 A'B'C'...N'9 * ABC...N3 = A''B''C''...N''7 (x^2 * x = x^3)
 A''B''C''...N''7 * A'B'C'...N'9 = A'''B'''C'''...N'''3 (x^3 * x^2 =
 x^5)
 
 Para o número x=ABC...N4:
 ABC...N4 ^2 = A'B'C'...N'6 (x*x=x^2)
 A'B'C'...N'6 * ABC...N4 = A''B''C''...N''4 (x^2 * x = x^3)
 A''B''C''...N''4 * A'B'C'...N'6 = A'''B'''C'''...N'''4 (x^3 * x^2 =
 x^5)
 
 Para o número x=ABC...N5:
 ABC...N5 ^2 = A'B'C'...N'5 (x*x=x^2)
 A'B'C'...N'5 * ABC...N5 = A''B''C''...N''5 (x^2 * x = x^3)
 A''B''C''...N''5 * A'B'C'...N'5 = A'''B'''C'''...N'''5 (x^3 * x^2 =
 x^5)
 
 Para o número x=ABC...N6:
 ABC...N6 ^2 = A'B'C'...N'6 (x*x=x^2)
 A'B'C'...N'6 * ABC...N6 = A''B''C''...N''6 (x^2 * x = x^3)
 A''B''C''...N''6 * A'B'C'...N'6 = A'''B'''C'''...N'''6 (x^3 * x^2 =
 x^5)
 
 Para o número x=ABC...N7:
 ABC...N7 ^2 = A'B'C'...N'9 (x*x=x^2)
 A'B'C'...N'9 * ABC...N7 = A''B''C''...N''3 (x^2 * x = x^3)
 A''B''C''...N''3 * A'B'C'...N'9 = A'''B'''C'''...N'''7 (x^3 * x^2 =
 x^5)
 
 Para o número x=ABC...N8:
 ABC...N8 ^2 = A'B'C'...N'4 (x*x=x^2)
 A'B'C'...N'4 * ABC...N8 = A''B''C''...N''2 (x^2 * x = x^3)
 A''B''C''...N''2 * A'B'C'...N'4 = A'''B'''C'''...N'''8 (x^3 * x^2 =
 x^5)
 
 Para o número x=ABC...N9:
 ABC...N9 ^2 = A'B'C'...N'1 (x*x=x^2)
 A'B'C'...N'1 * ABC...N9 = A''B''C''...N''9 (x^2 * x = x^3)
 A''B''C''...N''9 * A'B'C'...N'1 = A'''B'''C'''...N'''9 (x^3 * x^2 =
 x^5)
 
 (C.Q.D.)
 
 Apesar de não muito elegante, é uma demonstração válida.
 (Mas estou pensando na prova que K^5-K é múltiplo de 10)
 
 Beijos,
 
 --
 --
 Fernando Aires
 [EMAIL PROTECTED]
 Em tudo Amar e Servir
 --
 
 On Tue, 21 Sep 2004 17:03:05 -0300, Tio Cabri st
 [EMAIL PROTECTED] wrote:
   Por favor...
   Como demonstro o seguinte:
  
   Se K é um número Natural então K^5 possui o mesmo algarismo das
 unidades.
  
   TEntei fazer por indução empaquei.
   Tentei demonstrar que k^5-K é múltiplo de dez empaquei novamente
  
   espero que alguém da lista saiba
   Obrigado,
   Hermann

=
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=

Re: [obm-l] inteiros

[Edward Elric]

Outra soluçao para k^5 - k multiplo de 10:
Pelo pequeno teorema de Fermat temos: x^5 = x (mod 5) -- x^5 -x = 0 (mod 5) 
--
x(x^4 -1)= 0 (mod5) -- x(x^4 -1) é multiplo de 5.
Agora suponha x impar: Temos x(x^4 -1) par
Suponha x par: Temos x(x^4 -1) par
Então x^5 -x é multiplo de 5 e par, logo é multiplo de 10.


On Tue, 21 Sep 2004 17:03:05 -0300, Tio Cabri st
[EMAIL PROTECTED] wrote:
 Por favor...
 Como demonstro o seguinte:

 Se K é um número Natural então K^5 possui o mesmo algarismo das 
unidades.

 TEntei fazer por indução empaquei.
 Tentei demonstrar que k^5-K é múltiplo de dez empaquei novamente

 espero que alguém da lista saiba
 Obrigado,
 Hermann

=
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RE: [obm-l] inteiros

[Artur Costa Steiner]

Usando a forca bruta, concluimos por enumeracao - um 
metodo tao veho quanto a humanidade - que a proposicao
eh verdadeira para todo numero par =0  de 1 digito,
isto eh, 0, 2, 4 , 6, 8. Deve haver como fazer isto de
modo cientifico, mas neste caso eh tao simples que
parece que aqui o processo exaustivo eh mais eficiente
que o criativo.
Mas para generalizar, vamos ser um pouco mais
cientificos. Se k eh um numero par, entao o seu
algarismo da unidades, p, eh um par de um algarismo.
Temos entao que k = p (modulo 10), onde, aqui, =
significa congruente. Pelas propriedades da
congruencias, temos que k^5 = p^5 (mod 10). E como p^5
tem o proprio p como o algarismo das unidades,
segue-se que p^5 = p (mod 10). Logo, k^5 = p (mod 10),
o que equivale a dizer que k^5 -p tem 0 como algarismo
das unidades, o que, a seu turno, implica que p eh o
algarismo das unidades de k^5. Logo, k^5 e k tem o
mesmo algarismo das unidades.
Artur 


--- Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Por favor...
 Como demonstro o seguinte:
 
 Se K é um número Natural então K^5 possui o mesmo
 algarismo das unidades.
 
 TEntei fazer por indução empaquei.
 Tentei demonstrar que k^5-K é múltiplo de dez
 empaquei novamente
 
 espero que alguém da lista saiba
 Obrigado,
 Hermann
 
 Ki tal na forca bruta?
 0^5 = 0
 1^5 = 1
 2^5 = 32
 3^5 = 243
 4^5 = 1024
 5^5 = 3125
 6^5 = 7776
 7^5 = 16807
 8^5 = 32768
 9^5 = 59049
 todos servem... agora pra K =  10
 
 K = 10 - K = 10a + b (a e b inteiros, 0=b=9)
 K^5 = (10a + b)^5 = (10a)^5 +  + b^5 = 10n + b^5
 e cai em um dos casos 
 acima
 

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RE: [obm-l] inteiros

[João Gilberto Ponciano Pereira]

Hum... Vamos de um jeito mais bonito então

Chamando Mod(k^5,10) = M (M é o resto da divisão de k^5 por M)

Quando k = 0, M=0

Sabemos também que:
(K+1)^5 = K^5 + 5*k^4 + 10*K^3 + 10*K^2 + 5*K + 1
(K+1)^5 = K^5 + 5*k*(k^3+1) + 10*K^2(K+1) + 1

Observem que o termo 5*k*(k^3+1) será sempre múltiplo de 10 para k inteiro.
(Se k é impar, k^3+1 é par)

Tirando o módulo da divisão por 10 de tudo isso, temos:
mod((k+1)^5) = mod(k^5) + 1
 e como mod(0) = 0

-Original Message-
From: Fernando Aires [mailto:[EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, September 21, 2004 5:59 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] inteiros


Hermann,

   Eu tenho uma idéia:

   Pelo método da multiplicação, sabemos que a unidade resultante
depende apenas de uma operação, que é a multiplicação dos algarismos
das unidades dos fatores. Desta forma, podemos provar diretamente para
cada um dos possíveis algarimos das unidades ([0;9]).

   Para o número x=ABC...N0:
   ABC...N0 ^2 = A'B'C'...N'0 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'0 * ABC...N0 = A''B''C''...N''0 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''0 * A'B'C'...N'0 = A'''B'''C'''...N'''0 (x^3 * x^2 = x^5)

   Para o número x=ABC...N1:
   ABC...N01^2 = A'B'C'...N'1 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'1 * ABC...N1 = A''B''C''...N''1 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''1 * A'B'C'...N'1 = A'''B'''C'''...N'''1 (x^3 * x^2 = x^5)

   Para o número x=ABC...N2:
   ABC...N2 ^2 = A'B'C'...N'4 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'4 * ABC...N2 = A''B''C''...N''8 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''4 * A'B'C'...N'8 = A'''B'''C'''...N'''2 (x^3 * x^2 = x^5)

   Para o número x=ABC...N3:
   ABC...N3 ^2 = A'B'C'...N'9 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'9 * ABC...N3 = A''B''C''...N''7 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''7 * A'B'C'...N'9 = A'''B'''C'''...N'''3 (x^3 * x^2 = x^5)

   Para o número x=ABC...N4:
   ABC...N4 ^2 = A'B'C'...N'6 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'6 * ABC...N4 = A''B''C''...N''4 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''4 * A'B'C'...N'6 = A'''B'''C'''...N'''4 (x^3 * x^2 = x^5)

   Para o número x=ABC...N5:
   ABC...N5 ^2 = A'B'C'...N'5 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'5 * ABC...N5 = A''B''C''...N''5 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''5 * A'B'C'...N'5 = A'''B'''C'''...N'''5 (x^3 * x^2 = x^5)

   Para o número x=ABC...N6:
   ABC...N6 ^2 = A'B'C'...N'6 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'6 * ABC...N6 = A''B''C''...N''6 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''6 * A'B'C'...N'6 = A'''B'''C'''...N'''6 (x^3 * x^2 = x^5)

   Para o número x=ABC...N7:
   ABC...N7 ^2 = A'B'C'...N'9 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'9 * ABC...N7 = A''B''C''...N''3 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''3 * A'B'C'...N'9 = A'''B'''C'''...N'''7 (x^3 * x^2 = x^5)

   Para o número x=ABC...N8:
   ABC...N8 ^2 = A'B'C'...N'4 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'4 * ABC...N8 = A''B''C''...N''2 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''2 * A'B'C'...N'4 = A'''B'''C'''...N'''8 (x^3 * x^2 = x^5)

   Para o número x=ABC...N9:
   ABC...N9 ^2 = A'B'C'...N'1 (x*x=x^2)
   A'B'C'...N'1 * ABC...N9 = A''B''C''...N''9 (x^2 * x = x^3)
   A''B''C''...N''9 * A'B'C'...N'1 = A'''B'''C'''...N'''9 (x^3 * x^2 = x^5)

   (C.Q.D.)

   Apesar de não muito elegante, é uma demonstração válida.
   (Mas estou pensando na prova que K^5-K é múltiplo de 10)

Beijos,

-- 
--
Fernando Aires
[EMAIL PROTECTED]
Em tudo Amar e Servir
--

On Tue, 21 Sep 2004 17:03:05 -0300, Tio Cabri st
[EMAIL PROTECTED] wrote:
 Por favor...
 Como demonstro o seguinte:
 
 Se K é um número Natural então K^5 possui o mesmo algarismo das unidades.
 
 TEntei fazer por indução empaquei.
 Tentei demonstrar que k^5-K é múltiplo de dez empaquei novamente
 
 espero que alguém da lista saiba
 Obrigado,
 Hermann

=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] inteiros

[Felipe Amaral]

Oi! Bem, para 1^5 = 1 o fato é verdade.Agora por indução temos que mostar que:

(K+1)^5  termina com  k+1

(K+1)^5 =   k^5  +  5K^4  +  10K^3  +  10K^2  +  5K  +  1 

= K^5  +  1 10( K^3  +  K^2 ) 5K( k^3  +  1 ) 
  -v   v---v---
AB  C

A: K^5 termina com K, somando um termina em K+1

B: 10xcoisa   não atrapalha nada...

C:   se K é PAR, 5K(...) = 10N(...)  logo não atrapalha e 
  se K é ÍMPAR,  K^3+1 = P que é PAR,   então  5KP = 10KN não
atrapalhando também na unidade...

Abraços...

(Qualquer erro me avisem)

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] inteiros

[Qwert Smith]

Veja comentario abaixo
From: Felipe Amaral [EMAIL PROTECTED]
Oi! Bem, para 1^5 = 1 o fato é verdade.Agora por indução temos que mostar 
que:

(K+1)^5  termina com  k+1
(K+1)^5 =   k^5  +  5K^4  +  10K^3  +  10K^2  +  5K  +  1
= K^5  +  1 10( K^3  +  K^2 ) 5K( k^3  +  1 )
  -v   v---v---
AB  C
A: K^5 termina com K, somando um termina em K+1
Da onde vc tirou que K^5 termina com K?  Voce nao pode
usar a propriedade que vc quer provar no meio da sua prova, ne?
B: 10xcoisa   não atrapalha nada...
C:   se K é PAR, 5K(...) = 10N(...)  logo não atrapalha e
  se K é ÍMPAR,  K^3+1 = P que é PAR,   então  5KP = 10KN não
atrapalhando também na unidade...
Abraços...
(Qualquer erro me avisem)
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Re: [obm-l] inteiros e quadrados perfeitos...

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Este problema e muito legal!!!
Este foi o problema 6 da IMO de Canberra, Australia.Me contaram uma historia que era mais ou menos assim...
Estavam para escolher esse problema para ser o 6.So que ninguem tinha uma soluçao decente.Foram chamados os melhores especialistas em teoria dos numeros para fazer esse.Eles demoraram um tempo consideravel (bem mais que o medio de uma questao da IMO).Foi votada a entrada do problema na prova.Onze alunos fecharam esse.Vamos a uma soluçao!
Escreva
a^2+b^2=k*ab+k, com k fixo.
Temos
a^2+(-k*b)*a+(b^2-k)=0
Entao se (a;b) e uma resposta ao nosso problema entao (kb-a;b) tambem e.Por simetria considere A=B0 a soluçao(A;B)com A+B minimo.Entao (kB-A;B)seria soluçao se A+B=kB-A+B sse 2A=kB, e escrevendo o k como a divisao, apos umas contas voce chega em BA^2+2A=B^3 .Mas isto e falso porque A^2*B+2A=B^2B+2BB^3.Logo (kB-A;B) nao e soluçao, e assim 
kB-A0 sse kB=A-1 sse A=B^3+AB+1.Veja que essa desigualdade nao vale se B=1.Logo B=0.Portanto e imediato que k e quadrado perfeito (de raiz quadrada A, alias!).
E fim!!
Ass.Johann


niski [EMAIL PROTECTED] wrote:
Eu não sei fazer. Alguem sabe? Como?Mostre que dados a,b números naturais então se (a^2 + b^2)/(ab+1) é um numero inteiro, então tambem é um quadrado perfeitoobrigado-- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski[upon losing the use of his right eye]"Now I will have less distrraction"Leonhard Euler=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI
CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE
Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!

[obm-l] inteiros e quadrados perfeitos...

[niski]

Eu não sei fazer. Alguem sabe? Como?

Mostre que dados a,b números naturais então se (a2 + b2)/(ab+1) é um 
numero inteiro, então tambem é um quadrado perfeito

obrigado
--
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
[upon losing the use of his right eye]
Now I will have less distraction
Leonhard Euler
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

Re: [obm-l] inteiros e quadrados perfeitos...

[Cláudio \(Prática\)]

Dê uma olhada em:
http://www.kalva.demon.co.uk/imo/imo88.html

É o problema B3.

[]s,
Claudio.

- Original Message -
From: niski [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, April 12, 2004 1:54 PM
Subject: [obm-l] inteiros e quadrados perfeitos...


 Eu não sei fazer. Alguem sabe? Como?

 Mostre que dados a,b números naturais então se (a2 + b2)/(ab+1) é um
 numero inteiro, então tambem é um quadrado perfeito

 obrigado
 --
 Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski

 [upon losing the use of his right eye]
 Now I will have less distraction
 Leonhard Euler

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[obm-l] inteiros

[Rafael]

O número de pares de inteiros positivos (x, y) que são
solução da equação 1/x + 1/y = 1/1992 é:
resposta: 63

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