Re: [obm-l] Ajuda em Repunits
Muito interessante, não faço a mínima ideia de como fazer, mas como você disse vou me divertir pesquisando. Não sei se tem alguma coisa a ver mas, se dividir o período desses exemplos ao "meio" e somar (1/11 deu essa ideia) o resultado parecem ser 9's. Outra coisa que percebi é que a ordem desses denominadores módulo 10 é igual ao tamanho do período ( de novo 1/11 deu essa ideia). E como alguns são raízes primitivas de 10 o período é o maior possível... Com certeza se for verdade, são fatos já provados, vou tentar encontrar as fontes. Obrigado pela atenção [[ ]]'s Em dom., 10 de jul. de 2022 às 16:38, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Se quiser se divertir mais com isso, veja o seguinte: > 1/7 = 0,142857142857142... > O período é 142 857 e 1+8 = 4+5 = 2+7 = 9. > > 1/11: o período é 09 e 0+9 = 9. > > 1/13: o período é 076 923 e 0+9 = 7+2 = 6+3 = 9. > > Determine, com demonstração, para quais números N, o período de 1/N tem > esta propriedade. > > > > > On Sun, Jul 10, 2022 at 8:41 AM Rubens Vilhena Fonseca < > rubens.vilhen...@gmail.com> wrote: > >> Muito obrigado ao Ralph Costa Teixeira e ao Claudio Buffara por todos os >> ótimos esclarecimentos. >> [[ ]]'s >> >> Em dom., 10 de jul. de 2022 às 01:39, Ralph Costa Teixeira < >> ralp...@gmail.com> escreveu: >> >>> Argh, corrigindo um detalhe ali perto do fim: >>> -- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)**x**10^w = r*n. >>> Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5 *e x*, conclui-se que n divide >>> 111 (com q 1's), e portanto q>=p=k. >>> >>> On Sun, Jul 10, 2022 at 1:24 AM Ralph Costa Teixeira >>> wrote: >>> A chave: *os "restos parciais" que aparecem são exatamente os restos que x, 10x, 100x, deixam na divisão por n.* ---///--- MAIS SPOILERS ABAIXO ... ... Acho que facilita bastante pensar no "período" de 1/n de outro jeito: ---///--- LEMA: (i) Dado n não divisível por 2 ou 5, existe algum número da forma 111...111 que é múltiplo de n. (ii) Se n não for divisível por 2, 3 ou 5, o *menor* número do tipo 111...111 que é múltiplo de n tem k dígitos, onde k é exatamente o tamanho do período (fundamental) da dízima em 1/n. PROVA: (i) Olhe os restos de 1, 11, 111, , ... na divisão por n. São n possibilidades, de 0 a n-1, então alguma hora algum resto tem que repetir. Isto significa que .. (com A dígitos) e 11...111 (com B dígitos, B>>> ...1110 (A 1's e B 0's) = 111 * (10^B) é múltiplo de n. Mas n não tem fator comum com aquele 10^B (pois não é divisível por 2 nem por 5), portanto ...111 (com k=A-B dígitos) é divisível por n. (ii) Denote por P=111111 (com p dígitos) o menor daqueles caras com apenas "1s" que é múltiplo de n, e denote por k o "período fundamental" na dízima de 1/n. Por um lado, como 9P=999=10^p-1 é múltiplo de n, temos 10^p * (1/n) - 1/n inteiro. Mas isso significa que a parte decimal de 1/n "se repete" de p em p dígitos, ou seja, que a dízima de 1/n tem período p. Em particular, p>=k. Por outro lado, sendo k o período fundamental, temos 10^k * (1/n) - (1/n) com número finito de casas decimais, ou seja, (10^k-1)/n = m/10^z com m inteiro, e z=número de casas decimais que "sobraram". Mas daqui vem 9*(111...111)*10^z = m*n (com k dígitos 1s). Como n é primo com 2, 3 e 5, conclui-se que 111... (k 1's) tem que ser múltiplo de n, e portanto k>=p. Note um efeito colateral disso tudo: provamos que 10^k*(1/n)- 1/n = 10^p*(1/n)-1/n = inteiro. Assim aquele z vale 0, ou seja, não tem "casas decimais que sobram" -- a dízima periódica do 1/n se inicia logo no primeiro dígito! ---///--- Agora fica tudo bem simples: a) Na notação acima, provamos que k=p, e n divide 111 com p dígitos. b) Seja q o período (fundamental) da dízima de B=x/n irredutível. Em primeiro lugar, provemos que q=k. Basicamente repetimos o que fizemos no lema: -- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)*10^w = r*n. Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5, conclui-se que n divide 111 (com q 1's), e portanto q>=p=k. -- Por outro lado, como (10^k-1)/n é inteiro, (10^k-1)*x/n=10^k*B-B também é inteiro, ou seja, a dízima de B tem período k (e se inicia no primeiro dígito!). Portanto k>=q. *Enfim, note que os tais "restos parciais" que aparecem são exatamente os restos que x, 10x, 100x, , 10^q.x deixam na divisão por n. *A soma desses caras vale (...)*x, que é divisível por n pois temos ali q=k=p dígitos 1. Por isso, ao dividir esses restos parciais por n, a soma dos novos restos tem que ser múltiplo de n tambem. Foi? On Sat, Jul 9, 2022 at 7:16 PM Rubens Vilhena
Re: [obm-l] Ajuda em Repunits
Se quiser se divertir mais com isso, veja o seguinte: 1/7 = 0,142857142857142... O período é 142 857 e 1+8 = 4+5 = 2+7 = 9. 1/11: o período é 09 e 0+9 = 9. 1/13: o período é 076 923 e 0+9 = 7+2 = 6+3 = 9. Determine, com demonstração, para quais números N, o período de 1/N tem esta propriedade. On Sun, Jul 10, 2022 at 8:41 AM Rubens Vilhena Fonseca < rubens.vilhen...@gmail.com> wrote: > Muito obrigado ao Ralph Costa Teixeira e ao Claudio Buffara por todos os > ótimos esclarecimentos. > [[ ]]'s > > Em dom., 10 de jul. de 2022 às 01:39, Ralph Costa Teixeira < > ralp...@gmail.com> escreveu: > >> Argh, corrigindo um detalhe ali perto do fim: >> -- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)**x**10^w = r*n. >> Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5 *e x*, conclui-se que n divide >> 111 (com q 1's), e portanto q>=p=k. >> >> On Sun, Jul 10, 2022 at 1:24 AM Ralph Costa Teixeira >> wrote: >> >>> A chave: *os "restos parciais" que aparecem são exatamente os restos >>> que x, 10x, 100x, deixam na divisão por n.* >>> ---///--- >>> >>> MAIS SPOILERS ABAIXO >>> >>> >>> ... >>> >>> >>> >>> >>> >>> ... >>> >>> >>> >>> >>> Acho que facilita bastante pensar no "período" de 1/n de outro jeito: >>> ---///--- >>> LEMA: >>> (i) Dado n não divisível por 2 ou 5, existe algum número da forma >>> 111...111 que é múltiplo de n. >>> (ii) Se n não for divisível por 2, 3 ou 5, o *menor* número do tipo >>> 111...111 que é múltiplo de n tem k dígitos, onde k é exatamente o tamanho >>> do período (fundamental) da dízima em 1/n. >>> PROVA: >>> >>> (i) Olhe os restos de 1, 11, 111, , ... na divisão por n. São n >>> possibilidades, de 0 a n-1, então alguma hora algum resto tem que repetir. >>> Isto significa que .. (com A dígitos) e 11...111 (com B dígitos, >>> B>> ...1110 (A 1's e B 0's) = 111 * (10^B) é múltiplo de n. Mas >>> n não tem fator comum com aquele 10^B (pois não é divisível por 2 nem por >>> 5), portanto ...111 (com k=A-B dígitos) é divisível por n. >>> >>> (ii) Denote por P=111111 (com p dígitos) o menor daqueles caras com >>> apenas "1s" que é múltiplo de n, e denote por k o "período fundamental" na >>> dízima de 1/n. >>> Por um lado, como 9P=999=10^p-1 é múltiplo de n, temos 10^p * >>> (1/n) - 1/n inteiro. Mas isso significa que a parte decimal de 1/n "se >>> repete" de p em p dígitos, ou seja, que a dízima de 1/n tem período p. Em >>> particular, p>=k. >>> Por outro lado, sendo k o período fundamental, temos 10^k * (1/n) - >>> (1/n) com número finito de casas decimais, ou seja, (10^k-1)/n = m/10^z com >>> m inteiro, e z=número de casas decimais que "sobraram". Mas daqui vem >>> 9*(111...111)*10^z = m*n (com k dígitos 1s). Como n é primo com 2, 3 e 5, >>> conclui-se que 111... (k 1's) tem que ser múltiplo de n, e portanto >>> k>=p. >>> >>> Note um efeito colateral disso tudo: provamos que 10^k*(1/n)- 1/n = >>> 10^p*(1/n)-1/n = inteiro. Assim aquele z vale 0, ou seja, não tem "casas >>> decimais que sobram" -- a dízima periódica do 1/n se inicia logo no >>> primeiro dígito! >>> >>> ---///--- >>> Agora fica tudo bem simples: >>> a) Na notação acima, provamos que k=p, e n divide 111 com p >>> dígitos. >>> b) Seja q o período (fundamental) da dízima de B=x/n irredutível. >>> >>> Em primeiro lugar, provemos que q=k. Basicamente repetimos o que fizemos >>> no lema: >>> -- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)*10^w = r*n. >>> Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5, conclui-se que n divide 111 >>> (com q 1's), e portanto q>=p=k. >>> -- Por outro lado, como (10^k-1)/n é inteiro, (10^k-1)*x/n=10^k*B-B >>> também é inteiro, ou seja, a dízima de B tem período k (e se inicia no >>> primeiro dígito!). Portanto k>=q. >>> >>> *Enfim, note que os tais "restos parciais" que aparecem são exatamente >>> os restos que x, 10x, 100x, , 10^q.x deixam na divisão por n. *A >>> soma desses caras vale (...)*x, que é divisível por n pois temos >>> ali q=k=p dígitos 1. Por isso, ao dividir esses restos parciais por n, a >>> soma dos novos restos tem que ser múltiplo de n tambem. >>> >>> Foi? >>> >>> >>> On Sat, Jul 9, 2022 at 7:16 PM Rubens Vilhena Fonseca < >>> rubens.vilhen...@gmail.com> wrote: >>> Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema. *Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n. Comentário: Pelo que entendi, se 1/13 tem período k =6. Então 13 divide 11 ( k=6 1's). Essa parte consegui provar. Quanto à segunda parte para 1/13 os resto da divisão sem repetição são {10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar) Não consigo organizar uma sequência de passos para a demonstração dos dois
Re: [obm-l] Ajuda em Repunits
Muito obrigado ao Ralph Costa Teixeira e ao Claudio Buffara por todos os ótimos esclarecimentos. [[ ]]'s Em dom., 10 de jul. de 2022 às 01:39, Ralph Costa Teixeira < ralp...@gmail.com> escreveu: > Argh, corrigindo um detalhe ali perto do fim: > -- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)**x**10^w = r*n. > Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5 *e x*, conclui-se que n divide > 111 (com q 1's), e portanto q>=p=k. > > On Sun, Jul 10, 2022 at 1:24 AM Ralph Costa Teixeira > wrote: > >> A chave: *os "restos parciais" que aparecem são exatamente os restos que >> x, 10x, 100x, deixam na divisão por n.* >> ---///--- >> >> MAIS SPOILERS ABAIXO >> >> >> ... >> >> >> >> >> >> ... >> >> >> >> >> Acho que facilita bastante pensar no "período" de 1/n de outro jeito: >> ---///--- >> LEMA: >> (i) Dado n não divisível por 2 ou 5, existe algum número da forma >> 111...111 que é múltiplo de n. >> (ii) Se n não for divisível por 2, 3 ou 5, o *menor* número do tipo >> 111...111 que é múltiplo de n tem k dígitos, onde k é exatamente o tamanho >> do período (fundamental) da dízima em 1/n. >> PROVA: >> >> (i) Olhe os restos de 1, 11, 111, , ... na divisão por n. São n >> possibilidades, de 0 a n-1, então alguma hora algum resto tem que repetir. >> Isto significa que .. (com A dígitos) e 11...111 (com B dígitos, >> B> ...1110 (A 1's e B 0's) = 111 * (10^B) é múltiplo de n. Mas >> n não tem fator comum com aquele 10^B (pois não é divisível por 2 nem por >> 5), portanto ...111 (com k=A-B dígitos) é divisível por n. >> >> (ii) Denote por P=111111 (com p dígitos) o menor daqueles caras com >> apenas "1s" que é múltiplo de n, e denote por k o "período fundamental" na >> dízima de 1/n. >> Por um lado, como 9P=999=10^p-1 é múltiplo de n, temos 10^p * >> (1/n) - 1/n inteiro. Mas isso significa que a parte decimal de 1/n "se >> repete" de p em p dígitos, ou seja, que a dízima de 1/n tem período p. Em >> particular, p>=k. >> Por outro lado, sendo k o período fundamental, temos 10^k * (1/n) - (1/n) >> com número finito de casas decimais, ou seja, (10^k-1)/n = m/10^z com m >> inteiro, e z=número de casas decimais que "sobraram". Mas daqui vem >> 9*(111...111)*10^z = m*n (com k dígitos 1s). Como n é primo com 2, 3 e 5, >> conclui-se que 111... (k 1's) tem que ser múltiplo de n, e portanto >> k>=p. >> >> Note um efeito colateral disso tudo: provamos que 10^k*(1/n)- 1/n = >> 10^p*(1/n)-1/n = inteiro. Assim aquele z vale 0, ou seja, não tem "casas >> decimais que sobram" -- a dízima periódica do 1/n se inicia logo no >> primeiro dígito! >> >> ---///--- >> Agora fica tudo bem simples: >> a) Na notação acima, provamos que k=p, e n divide 111 com p >> dígitos. >> b) Seja q o período (fundamental) da dízima de B=x/n irredutível. >> >> Em primeiro lugar, provemos que q=k. Basicamente repetimos o que fizemos >> no lema: >> -- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)*10^w = r*n. >> Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5, conclui-se que n divide 111 >> (com q 1's), e portanto q>=p=k. >> -- Por outro lado, como (10^k-1)/n é inteiro, (10^k-1)*x/n=10^k*B-B >> também é inteiro, ou seja, a dízima de B tem período k (e se inicia no >> primeiro dígito!). Portanto k>=q. >> >> *Enfim, note que os tais "restos parciais" que aparecem são exatamente os >> restos que x, 10x, 100x, , 10^q.x deixam na divisão por n. *A soma >> desses caras vale (...)*x, que é divisível por n pois temos ali >> q=k=p dígitos 1. Por isso, ao dividir esses restos parciais por n, a soma >> dos novos restos tem que ser múltiplo de n tambem. >> >> Foi? >> >> >> On Sat, Jul 9, 2022 at 7:16 PM Rubens Vilhena Fonseca < >> rubens.vilhen...@gmail.com> wrote: >> >>> Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema. >>> *Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e >>> suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator >>> do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na >>> divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n. >>> Comentário: >>> Pelo que entendi, se 1/13 tem período k =6. Então 13 divide 11 ( >>> k=6 1's). >>> Essa parte consegui provar. >>> Quanto à segunda parte para 1/13 os resto da divisão sem repetição são >>> {10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar) >>> Não consigo organizar uma sequência de passos para a demonstração >>> dos dois fatos. >>> Agradeço qualquer ajuda. >>> [[ ]]'s >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em Repunits
Se n não é divisível por 2 e nem por 5, então 1/n = 0,a1a2...ak a1a2...ak a1... (dízima periódica simples de período k) Daí (10^k)*n - n = a1a2...ak ==> (99...9)*n é inteiro (onde há k algarismos 9) ==> n é fator de 99...9 = 9*(11...1). Mas n é primo com 3 ==> n | 11...1 Pra segunda parte, a ideia é tentar ver porque é verdade com exemplos concretos. Por exemplo, 1/7: 10*1 = 1*7 + 3 10*3 = 4*7 + 2 10*2 = 2*7 + 6 10*6 = 8*7 + 4 10*4 = 5*7 + 5 10*5 = 7*7 + 1 10*1 = 1*7 + 3 (e as equações se repetem a partir daqui) 1/13: 10*1 = 0*13 + 10 10*10 = 7*13 + 9 10*9 = 6*13 + 12 10*12 = 9*13 + 3 10*3 = 2*13 + 4 10*4 = 3*13 + 1 10*1 = 0*13 + 10 (idem) Assim, no caso geral, pra calcular a representação de 1/n, as k primeiras divisões sucessivas resultam em: 10*1 = a1*n + r1 10*r1 = a2*n + r2 10*r2 = a3*n + r3 ... 10*r(k-1) = ak*n + rk Como n é primo com 2 e 5, 1/n será uma dízima periódica simples, digamos de período k. Isso significa que rk, o resto da k-ésima divisão, será necessariamente igual a 1, já que os dividendos (os algarismos aj que formam o período) irão se repetir a partir da (k+1)-ésima equação. Ou seja, a(k+1) = a1 e, portanto, r(k+1) = r1. Somando as k equações, obtemos: 10*(1+r1+r2+ ...r(k-1)) = (a1+a2+a3...+ak)*n + (r1+r2+r3+...+rk). Como rk = 1, isso fica: 10*(rk+r1+r2+ ...r(k-1)) = (a1+a2+a3...+ak)*n + (r1+r2+r3+...+rk) ==> 9*(rk+r2+...+r(k-1)) = (a1+a2+a3+...+ak)*n Como n é primo com 3 (e, portanto, com 9), concluímos que n divide r1+r2+...+rk. On Sat, Jul 9, 2022 at 7:16 PM Rubens Vilhena Fonseca < rubens.vilhen...@gmail.com> wrote: > Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema. > *Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e > suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator > do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na > divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n. > Comentário: > Pelo que entendi, se 1/13 tem período k =6. Então 13 divide 11 ( k=6 > 1's). > Essa parte consegui provar. > Quanto à segunda parte para 1/13 os resto da divisão sem repetição são > {10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar) > Não consigo organizar uma sequência de passos para a demonstração > dos dois fatos. > Agradeço qualquer ajuda. > [[ ]]'s > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em Repunits
Argh, corrigindo um detalhe ali perto do fim: -- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)**x**10^w = r*n. Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5 *e x*, conclui-se que n divide 111 (com q 1's), e portanto q>=p=k. On Sun, Jul 10, 2022 at 1:24 AM Ralph Costa Teixeira wrote: > A chave: *os "restos parciais" que aparecem são exatamente os restos que > x, 10x, 100x, deixam na divisão por n.* > ---///--- > > MAIS SPOILERS ABAIXO > > > ... > > > > > > ... > > > > > Acho que facilita bastante pensar no "período" de 1/n de outro jeito: > ---///--- > LEMA: > (i) Dado n não divisível por 2 ou 5, existe algum número da forma > 111...111 que é múltiplo de n. > (ii) Se n não for divisível por 2, 3 ou 5, o *menor* número do tipo > 111...111 que é múltiplo de n tem k dígitos, onde k é exatamente o tamanho > do período (fundamental) da dízima em 1/n. > PROVA: > > (i) Olhe os restos de 1, 11, 111, , ... na divisão por n. São n > possibilidades, de 0 a n-1, então alguma hora algum resto tem que repetir. > Isto significa que .. (com A dígitos) e 11...111 (com B dígitos, > B ...1110 (A 1's e B 0's) = 111 * (10^B) é múltiplo de n. Mas > n não tem fator comum com aquele 10^B (pois não é divisível por 2 nem por > 5), portanto ...111 (com k=A-B dígitos) é divisível por n. > > (ii) Denote por P=111111 (com p dígitos) o menor daqueles caras com > apenas "1s" que é múltiplo de n, e denote por k o "período fundamental" na > dízima de 1/n. > Por um lado, como 9P=999=10^p-1 é múltiplo de n, temos 10^p * > (1/n) - 1/n inteiro. Mas isso significa que a parte decimal de 1/n "se > repete" de p em p dígitos, ou seja, que a dízima de 1/n tem período p. Em > particular, p>=k. > Por outro lado, sendo k o período fundamental, temos 10^k * (1/n) - (1/n) > com número finito de casas decimais, ou seja, (10^k-1)/n = m/10^z com m > inteiro, e z=número de casas decimais que "sobraram". Mas daqui vem > 9*(111...111)*10^z = m*n (com k dígitos 1s). Como n é primo com 2, 3 e 5, > conclui-se que 111... (k 1's) tem que ser múltiplo de n, e portanto > k>=p. > > Note um efeito colateral disso tudo: provamos que 10^k*(1/n)- 1/n = > 10^p*(1/n)-1/n = inteiro. Assim aquele z vale 0, ou seja, não tem "casas > decimais que sobram" -- a dízima periódica do 1/n se inicia logo no > primeiro dígito! > > ---///--- > Agora fica tudo bem simples: > a) Na notação acima, provamos que k=p, e n divide 111 com p > dígitos. > b) Seja q o período (fundamental) da dízima de B=x/n irredutível. > > Em primeiro lugar, provemos que q=k. Basicamente repetimos o que fizemos > no lema: > -- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)*10^w = r*n. > Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5, conclui-se que n divide 111 > (com q 1's), e portanto q>=p=k. > -- Por outro lado, como (10^k-1)/n é inteiro, (10^k-1)*x/n=10^k*B-B também > é inteiro, ou seja, a dízima de B tem período k (e se inicia no primeiro > dígito!). Portanto k>=q. > > *Enfim, note que os tais "restos parciais" que aparecem são exatamente os > restos que x, 10x, 100x, , 10^q.x deixam na divisão por n. *A soma > desses caras vale (...)*x, que é divisível por n pois temos ali > q=k=p dígitos 1. Por isso, ao dividir esses restos parciais por n, a soma > dos novos restos tem que ser múltiplo de n tambem. > > Foi? > > > On Sat, Jul 9, 2022 at 7:16 PM Rubens Vilhena Fonseca < > rubens.vilhen...@gmail.com> wrote: > >> Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema. >> *Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e >> suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator >> do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na >> divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n. >> Comentário: >> Pelo que entendi, se 1/13 tem período k =6. Então 13 divide 11 ( >> k=6 1's). >> Essa parte consegui provar. >> Quanto à segunda parte para 1/13 os resto da divisão sem repetição são >> {10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar) >> Não consigo organizar uma sequência de passos para a demonstração >> dos dois fatos. >> Agradeço qualquer ajuda. >> [[ ]]'s >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em Repunits
A chave: *os "restos parciais" que aparecem são exatamente os restos que x, 10x, 100x, deixam na divisão por n.* ---///--- MAIS SPOILERS ABAIXO ... ... Acho que facilita bastante pensar no "período" de 1/n de outro jeito: ---///--- LEMA: (i) Dado n não divisível por 2 ou 5, existe algum número da forma 111...111 que é múltiplo de n. (ii) Se n não for divisível por 2, 3 ou 5, o *menor* número do tipo 111...111 que é múltiplo de n tem k dígitos, onde k é exatamente o tamanho do período (fundamental) da dízima em 1/n. PROVA: (i) Olhe os restos de 1, 11, 111, , ... na divisão por n. São n possibilidades, de 0 a n-1, então alguma hora algum resto tem que repetir. Isto significa que .. (com A dígitos) e 11...111 (com B dígitos, B=k. Por outro lado, sendo k o período fundamental, temos 10^k * (1/n) - (1/n) com número finito de casas decimais, ou seja, (10^k-1)/n = m/10^z com m inteiro, e z=número de casas decimais que "sobraram". Mas daqui vem 9*(111...111)*10^z = m*n (com k dígitos 1s). Como n é primo com 2, 3 e 5, conclui-se que 111... (k 1's) tem que ser múltiplo de n, e portanto k>=p. Note um efeito colateral disso tudo: provamos que 10^k*(1/n)- 1/n = 10^p*(1/n)-1/n = inteiro. Assim aquele z vale 0, ou seja, não tem "casas decimais que sobram" -- a dízima periódica do 1/n se inicia logo no primeiro dígito! ---///--- Agora fica tudo bem simples: a) Na notação acima, provamos que k=p, e n divide 111 com p dígitos. b) Seja q o período (fundamental) da dízima de B=x/n irredutível. Em primeiro lugar, provemos que q=k. Basicamente repetimos o que fizemos no lema: -- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)*10^w = r*n. Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5, conclui-se que n divide 111 (com q 1's), e portanto q>=p=k. -- Por outro lado, como (10^k-1)/n é inteiro, (10^k-1)*x/n=10^k*B-B também é inteiro, ou seja, a dízima de B tem período k (e se inicia no primeiro dígito!). Portanto k>=q. *Enfim, note que os tais "restos parciais" que aparecem são exatamente os restos que x, 10x, 100x, , 10^q.x deixam na divisão por n. *A soma desses caras vale (...)*x, que é divisível por n pois temos ali q=k=p dígitos 1. Por isso, ao dividir esses restos parciais por n, a soma dos novos restos tem que ser múltiplo de n tambem. Foi? On Sat, Jul 9, 2022 at 7:16 PM Rubens Vilhena Fonseca < rubens.vilhen...@gmail.com> wrote: > Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema. > *Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e > suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator > do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na > divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n. > Comentário: > Pelo que entendi, se 1/13 tem período k =6. Então 13 divide 11 ( k=6 > 1's). > Essa parte consegui provar. > Quanto à segunda parte para 1/13 os resto da divisão sem repetição são > {10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar) > Não consigo organizar uma sequência de passos para a demonstração > dos dois fatos. > Agradeço qualquer ajuda. > [[ ]]'s > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda numa questão da OBM 1987
Em ter., 20 de jul. de 2021 às 18:25, Prof. Douglas Oliveira escreveu: > > Tem-se um bolo em forma de prisma triangular, cuja base está em um plano > horizontal. Dois indivíduos vão dividir o bolo de acordo com a seguinte > regra: o primeiro escolhe um ponto na base superior do bolo e o segundo corta > o bolo por um plano vertical à sua escolha, passando porém pelo ponto > escolhido, e seleciona para si um dos pedaços em que dividiu o bolo. Qual > deve ser a estratégia para o primeiro e qual deve ser a fração do volume do > bolo que ele espera obter? Primeira dica: tente resolver o mesmo problema, mas para um triângulo equilátero de lado 100. Afinal de contas, uma transformação afim leva isso para qualquer triângulo. > > Abraço do Douglas. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda numa questão da OBM 1987
Eu pensaria em trabalhar com os pontos notáveis, talvez o baricentro, e argumentar que em qualquer outro ponto é possível realizar um corte que o prejudique mais. Isso é só uma teoria e, portanto, é possível que esteja totalmente errada. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em teoria dos números
Boa tarde! Na verdade: 2^a=64; a= 6 e y=12. Em qui., 22 de out. de 2020 às 11:17, Pedro José escreveu: > Bom dia! > Recebi esse problema hoje: 615 + x^2 = 2^y., para x,y inteiros Não saberia > fazer, como não soube resolver esse, acima. Mas devido a solução do colega > Esdras, pensei:"já vi algo parecido". > Basta restringir y aos pares. > Se y é ímpar x^2=2 mod3, absurdo então y é par. Logo y=2a, com a inteiro. > (2^a + x) (2^a-x)= 615= 1*615=3*205=5*123=15*41 e como a soma dos fatores > necessita ser uma potência de 2, só serve para 123 e 5. > Logo 2^y=64 e y=6 e x= 59 ou x=-59. > Uma resolução levou a outra, não pelo talento nato, mas por aprendizado, o > que é válido. > Teve uma feita que estava tentando provar que o triângulo órtico, era o > triângulo de menor perímetro que poderia ser inscrito em um triângulo > acutângulo. Tentei por geometria analítica e só levando tinta. Tinha > desistido. Quando me deparei com um problema que não consegui resolver, mas > que tinha um caminho para a solução. Quando vi o rebatimento feito, pensei > está resolvido. O curioso, é que, quando desisti, pesquisei na internet e > não achei nada. Depois que consegui resolver, achei duas soluções, e > infelizmente e como esperado, a minha não era novidade, era clássica. > Obrigado, Esdras! Sem a sua solução, certamente, não teria resolvido essa > última questão. > > Cordialmente, > PJMS > > Em sex., 24 de jul. de 2020 às 12:19, Prof. Douglas Oliveira < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> Obrigado Claudio e Esdras, fatoração show >> >> >> Em sex., 24 de jul. de 2020 às 11:12, Esdras Muniz < >> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu: >> >>> Se for solução inteira positiva, acho que só tem 3 e 4. Vc supõe spdg x >>> maior ou igual a y, vê que y=1 não tem solução e x=y tb não. Daí, x>y>1. >>> Fatorando a expressão, fica: (xy-8-(x-y))(xy-8+(x-y))=15. Como >>> (xy-8-(x-y))>(xy-8+(x-y))>-2. Temos que ou (xy-8-(x-y))=1 e (xy-8+(x-y))=15, >>> o que não tem soluções inteiras positivas, ou (xy-8-(x-y))=3 e >>> (xy-8+(x-y))=5, >>> cujas únicas soluções inteiras são x=4 e y=3. >>> >>> Em sex, 24 de jul de 2020 10:36, Claudio Buffara < >>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >>> Pelo que entendi, a solução é a porção dessa curva algébrica situada no 1o quadrante. Dá pra fazer isso no Wolfram Alpha, com o comando plot (x*y-7)^2 - x^2 - y^2 = 0. []s, Claudio. On Fri, Jul 24, 2020 at 9:58 AM Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: > Preciso de ajuda para encontrar todas as soluções não negativas da > equação > (xy-7)^2=x^2+y^2. > > Desde já agradeço a ajuda > Douglas Oliveira > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > >
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em teoria dos números
Bom dia! Recebi esse problema hoje: 615 + x^2 = 2^y., para x,y inteiros Não saberia fazer, como não soube resolver esse, acima. Mas devido a solução do colega Esdras, pensei:"já vi algo parecido". Basta restringir y aos pares. Se y é ímpar x^2=2 mod3, absurdo então y é par. Logo y=2a, com a inteiro. (2^a + x) (2^a-x)= 615= 1*615=3*205=5*123=15*41 e como a soma dos fatores necessita ser uma potência de 2, só serve para 123 e 5. Logo 2^y=64 e y=6 e x= 59 ou x=-59. Uma resolução levou a outra, não pelo talento nato, mas por aprendizado, o que é válido. Teve uma feita que estava tentando provar que o triângulo órtico, era o triângulo de menor perímetro que poderia ser inscrito em um triângulo acutângulo. Tentei por geometria analítica e só levando tinta. Tinha desistido. Quando me deparei com um problema que não consegui resolver, mas que tinha um caminho para a solução. Quando vi o rebatimento feito, pensei está resolvido. O curioso, é que, quando desisti, pesquisei na internet e não achei nada. Depois que consegui resolver, achei duas soluções, e infelizmente e como esperado, a minha não era novidade, era clássica. Obrigado, Esdras! Sem a sua solução, certamente, não teria resolvido essa última questão. Cordialmente, PJMS Em sex., 24 de jul. de 2020 às 12:19, Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Obrigado Claudio e Esdras, fatoração show > > > Em sex., 24 de jul. de 2020 às 11:12, Esdras Muniz < > esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu: > >> Se for solução inteira positiva, acho que só tem 3 e 4. Vc supõe spdg x >> maior ou igual a y, vê que y=1 não tem solução e x=y tb não. Daí, x>y>1. >> Fatorando a expressão, fica: (xy-8-(x-y))(xy-8+(x-y))=15. Como >> (xy-8-(x-y))>(xy-8+(x-y))>-2. Temos que ou (xy-8-(x-y))=1 e (xy-8+(x-y))=15, >> o que não tem soluções inteiras positivas, ou (xy-8-(x-y))=3 e >> (xy-8+(x-y))=5, >> cujas únicas soluções inteiras são x=4 e y=3. >> >> Em sex, 24 de jul de 2020 10:36, Claudio Buffara < >> claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> >>> Pelo que entendi, a solução é a porção dessa curva algébrica situada no >>> 1o quadrante. >>> Dá pra fazer isso no Wolfram Alpha, com o comando plot (x*y-7)^2 - x^2 - >>> y^2 = 0. >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> On Fri, Jul 24, 2020 at 9:58 AM Prof. Douglas Oliveira < >>> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: >>> Preciso de ajuda para encontrar todas as soluções não negativas da equação (xy-7)^2=x^2+y^2. Desde já agradeço a ajuda Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em teoria dos números
Obrigado Claudio e Esdras, fatoração show Em sex., 24 de jul. de 2020 às 11:12, Esdras Muniz < esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu: > Se for solução inteira positiva, acho que só tem 3 e 4. Vc supõe spdg x > maior ou igual a y, vê que y=1 não tem solução e x=y tb não. Daí, x>y>1. > Fatorando a expressão, fica: (xy-8-(x-y))(xy-8+(x-y))=15. Como > (xy-8-(x-y))>(xy-8+(x-y))>-2. Temos que ou (xy-8-(x-y))=1 e (xy-8+(x-y))=15, > o que não tem soluções inteiras positivas, ou (xy-8-(x-y))=3 e (xy-8+(x-y))=5, > cujas únicas soluções inteiras são x=4 e y=3. > > Em sex, 24 de jul de 2020 10:36, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Pelo que entendi, a solução é a porção dessa curva algébrica situada no >> 1o quadrante. >> Dá pra fazer isso no Wolfram Alpha, com o comando plot (x*y-7)^2 - x^2 - >> y^2 = 0. >> >> []s, >> Claudio. >> >> On Fri, Jul 24, 2020 at 9:58 AM Prof. Douglas Oliveira < >> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: >> >>> Preciso de ajuda para encontrar todas as soluções não negativas da >>> equação >>> (xy-7)^2=x^2+y^2. >>> >>> Desde já agradeço a ajuda >>> Douglas Oliveira >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em teoria dos números
Se for solução inteira positiva, acho que só tem 3 e 4. Vc supõe spdg x maior ou igual a y, vê que y=1 não tem solução e x=y tb não. Daí, x>y>1. Fatorando a expressão, fica: (xy-8-(x-y))(xy-8+(x-y))=15. Como (xy-8-(x-y))>(xy-8+(x-y))>-2. Temos que ou (xy-8-(x-y))=1 e (xy-8+(x-y))=15, o que não tem soluções inteiras positivas, ou (xy-8-(x-y))=3 e (xy-8+(x-y))=5, cujas únicas soluções inteiras são x=4 e y=3. Em sex, 24 de jul de 2020 10:36, Claudio Buffara escreveu: > Pelo que entendi, a solução é a porção dessa curva algébrica situada no 1o > quadrante. > Dá pra fazer isso no Wolfram Alpha, com o comando plot (x*y-7)^2 - x^2 - > y^2 = 0. > > []s, > Claudio. > > On Fri, Jul 24, 2020 at 9:58 AM Prof. Douglas Oliveira < > profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: > >> Preciso de ajuda para encontrar todas as soluções não negativas da equação >> (xy-7)^2=x^2+y^2. >> >> Desde já agradeço a ajuda >> Douglas Oliveira >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em teoria dos números
Pelo que entendi, a solução é a porção dessa curva algébrica situada no 1o quadrante. Dá pra fazer isso no Wolfram Alpha, com o comando plot (x*y-7)^2 - x^2 - y^2 = 0. []s, Claudio. On Fri, Jul 24, 2020 at 9:58 AM Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: > Preciso de ajuda para encontrar todas as soluções não negativas da equação > (xy-7)^2=x^2+y^2. > > Desde já agradeço a ajuda > Douglas Oliveira > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima
Boa noite! Errata da nota anterior independente de m e não de m, supondo (m,n)=1 e m/n não inteiro. Outro ponto não há necessidade a verificação de se o proposto vale para quando n for múltiplo de 2 ou de 10, pois a ordem m mod n só existe se (10,n)=1. Foi bobagem só ter aventado a possibilidade. não coloquei como cheguei a conclusão de que era ordem 10 mod n, pois achei bem intuitivo. Mas na hora que fui mostrar, achei complicado o que julgara fácil. Mas quanto a isso estou seguro. Para (n,m)=1 e (n,10)=1 e n/m não inteiro. Se m>n pode-se representar por uma fração q j/n com q, j e n inteiros e (j,n)=1 pois m=qn+j e se d<>1 divide n e j então d|m pois m é uma Z combinação linear de j e n. Absurdo pois(m,n)=1 por hipótese. Então sem perda de generalidade podemos só trabalhar para o caso m=2, está correta. Saudações, PJMS Em dom, 8 de mar de 2020 16:09, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Douglas, > Não creio, no meu entendimento 3^2003 é o número de algarismos da dízima > pois, é a ordem 10 módulo 3^2005. > 1/3^2005 tem uma montoeira de algarismos zeros no início do período o que > não acontece em 3^2005. > O número de algarismos do período de uma dízima m/n, pelo menos quando n > não é múltiplo dos primos 2 e 5 é ord10mod n e independe de n. Nao > verifiquei se vale sem a restriçao. > Por exemplo o período de 1/7 é 142857 e ord 10 mod 7 = 6. > Se aquele fosse o período da dízima bastaria fazer n =[log10 (3^2003)+1] > onde colchetes representam parte inteira.. > Minha dúvida está na prova por absurdo, que ord 10 mod 3^n= 3^(n-2). > > Saudações, > PJMS > > > > Em dom, 8 de mar de 2020 11:31, Prof. Douglas Oliveira < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> 3^2003 é o período certo??, o número de dígitos disso que seria a >> pergunta. >> >> >> Douglas oliveira >> >> Em dom, 8 de mar de 2020 11:13, Prof. Douglas Oliveira < >> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: >> >>> Olá Pedro, primeiramente muito obrigado pela sua solução, eu dei uma >>> olhada rápida e acredito estar correta. Estarei olhando com mais calma, >>> assim que tiver um tempinho. >>> >>> Douglas Oliveira. >>> >>> Em dom, 8 de mar de 2020 11:05, Pedro José >>> escreveu: >>> Bom dia! Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender fica para o futuro. Quando me aposentar cursar uma faculdade de matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém poderia me informar se está correto? Saudações, PJMS. Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Não me senti muito seguro na resposta. Está correto? > > Saudações, > PJMS > > Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José > escreveu: > >> Boa noite! >> Creio ter conseguido. >> Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1 >> então k é a ordem 10 mod 3^2005. >> 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então >> pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i) >> Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se >> x<>3^(n-2) absurdo; pois, teria que ser 3^k com k> e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2> ord 10 mod 3^2005 =3^2003 >> 3^2003 algarismos >> Saudações, >> PJMS >> >> Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> 3^2005 e não 10^2005. >>> >>> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José >>> escreveu: >>> Boa tarde! Questão complicada. Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod 10^2005. Portanto x | 2*3^2004. Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas parece que não... Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim. O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) para n>=2. Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a conjectura esteja correta. Saudações, PJMS Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ? > > > Saudações > Douglas Oliveira > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima
Boa tarde! Douglas, Não creio, no meu entendimento 3^2003 é o número de algarismos da dízima pois, é a ordem 10 módulo 3^2005. 1/3^2005 tem uma montoeira de algarismos zeros no início do período o que não acontece em 3^2005. O número de algarismos do período de uma dízima m/n, pelo menos quando n não é múltiplo dos primos 2 e 5 é ord10mod n e independe de n. Nao verifiquei se vale sem a restriçao. Por exemplo o período de 1/7 é 142857 e ord 10 mod 7 = 6. Se aquele fosse o período da dízima bastaria fazer n =[log10 (3^2003)+1] onde colchetes representam parte inteira.. Minha dúvida está na prova por absurdo, que ord 10 mod 3^n= 3^(n-2). Saudações, PJMS Em dom, 8 de mar de 2020 11:31, Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > 3^2003 é o período certo??, o número de dígitos disso que seria a pergunta. > > > Douglas oliveira > > Em dom, 8 de mar de 2020 11:13, Prof. Douglas Oliveira < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> Olá Pedro, primeiramente muito obrigado pela sua solução, eu dei uma >> olhada rápida e acredito estar correta. Estarei olhando com mais calma, >> assim que tiver um tempinho. >> >> Douglas Oliveira. >> >> Em dom, 8 de mar de 2020 11:05, Pedro José >> escreveu: >> >>> Bom dia! >>> Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou >>> matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de >>> espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender >>> fica para o futuro. Quando me aposentar cursar uma faculdade de >>> matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém >>> poderia me informar se está correto? >>> Saudações, >>> PJMS. >>> >>> Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José >>> escreveu: >>> Boa tarde! Não me senti muito seguro na resposta. Está correto? Saudações, PJMS Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José escreveu: > Boa noite! > Creio ter conseguido. > Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1 > então k é a ordem 10 mod 3^2005. > 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então > pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i) > Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se > x<>3^(n-2) absurdo; pois, teria que ser 3^k com k e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2 ord 10 mod 3^2005 =3^2003 > 3^2003 algarismos > Saudações, > PJMS > > Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José > escreveu: > >> Boa tarde! >> 3^2005 e não 10^2005. >> >> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> Questão complicada. >>> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 >>> mod 10^2005. Portanto x | 2*3^2004. >>> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas >>> parece que não... >>> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim. >>> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) >>> para n>=2. >>> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a >>> conjectura esteja correta. >>> >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira < >>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: >>> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ? Saudações Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima
3^2003 é o período certo??, o número de dígitos disso que seria a pergunta. Douglas oliveira Em dom, 8 de mar de 2020 11:13, Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Olá Pedro, primeiramente muito obrigado pela sua solução, eu dei uma > olhada rápida e acredito estar correta. Estarei olhando com mais calma, > assim que tiver um tempinho. > > Douglas Oliveira. > > Em dom, 8 de mar de 2020 11:05, Pedro José escreveu: > >> Bom dia! >> Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou >> matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de >> espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender >> fica para o futuro. Quando me aposentar cursar uma faculdade de >> matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém >> poderia me informar se está correto? >> Saudações, >> PJMS. >> >> Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> Não me senti muito seguro na resposta. Está correto? >>> >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José >>> escreveu: >>> Boa noite! Creio ter conseguido. Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1 então k é a ordem 10 mod 3^2005. 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i) Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se x<>3^(n-2) absurdo; pois, teria que ser 3^k com k>>> e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2>>> ord 10 mod 3^2005 =3^2003 3^2003 algarismos Saudações, PJMS Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > 3^2005 e não 10^2005. > > Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José > escreveu: > >> Boa tarde! >> Questão complicada. >> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 >> mod 10^2005. Portanto x | 2*3^2004. >> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas >> parece que não... >> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim. >> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) >> para n>=2. >> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a >> conjectura esteja correta. >> >> Saudações, >> PJMS >> >> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira < >> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: >> >>> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ? >>> >>> >>> Saudações >>> Douglas Oliveira >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima
Olá Pedro, primeiramente muito obrigado pela sua solução, eu dei uma olhada rápida e acredito estar correta. Estarei olhando com mais calma, assim que tiver um tempinho. Douglas Oliveira. Em dom, 8 de mar de 2020 11:05, Pedro José escreveu: > Bom dia! > Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou > matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de > espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender > fica para o futuro. Quando me aposentar cursar uma faculdade de > matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém > poderia me informar se está correto? > Saudações, > PJMS. > > Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José escreveu: > >> Boa tarde! >> Não me senti muito seguro na resposta. Está correto? >> >> Saudações, >> PJMS >> >> Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa noite! >>> Creio ter conseguido. >>> Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1 >>> então k é a ordem 10 mod 3^2005. >>> 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então >>> pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i) >>> Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se >>> x<>3^(n-2) absurdo; pois, teria que ser 3^k com k>> e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2>> ord 10 mod 3^2005 =3^2003 >>> 3^2003 algarismos >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José >>> escreveu: >>> Boa tarde! 3^2005 e não 10^2005. Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Questão complicada. > Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod > 10^2005. Portanto x | 2*3^2004. > Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas > parece que não... > Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim. > O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) > para n>=2. > Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a > conjectura esteja correta. > > Saudações, > PJMS > > Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ? >> >> >> Saudações >> Douglas Oliveira >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima
Bom dia! Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender fica para o futuro. Quando me aposentar cursar uma faculdade de matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém poderia me informar se está correto? Saudações, PJMS. Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Não me senti muito seguro na resposta. Está correto? > > Saudações, > PJMS > > Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José > escreveu: > >> Boa noite! >> Creio ter conseguido. >> Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1 então >> k é a ordem 10 mod 3^2005. >> 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então >> pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i) >> Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se x<>3^(n-2) >> absurdo; pois, teria que ser 3^k com k> e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2> ord 10 mod 3^2005 =3^2003 >> 3^2003 algarismos >> Saudações, >> PJMS >> >> Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> 3^2005 e não 10^2005. >>> >>> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José >>> escreveu: >>> Boa tarde! Questão complicada. Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod 10^2005. Portanto x | 2*3^2004. Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas parece que não... Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim. O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) para n>=2. Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a conjectura esteja correta. Saudações, PJMS Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ? > > > Saudações > Douglas Oliveira > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima
Boa tarde! Não me senti muito seguro na resposta. Está correto? Saudações, PJMS Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José escreveu: > Boa noite! > Creio ter conseguido. > Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1 então > k é a ordem 10 mod 3^2005. > 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então pelo > lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i) > Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se x<>3^(n-2) > absurdo; pois, teria que ser 3^k com k e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2 ord 10 mod 3^2005 =3^2003 > 3^2003 algarismos > Saudações, > PJMS > > Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José > escreveu: > >> Boa tarde! >> 3^2005 e não 10^2005. >> >> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José >> escreveu: >> >>> Boa tarde! >>> Questão complicada. >>> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod >>> 10^2005. Portanto x | 2*3^2004. >>> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas parece >>> que não... >>> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim. >>> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) >>> para n>=2. >>> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a conjectura >>> esteja correta. >>> >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira < >>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: >>> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ? Saudações Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima
Boa noite! Creio ter conseguido. Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1 então k é a ordem 10 mod 3^2005. 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i) Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se x<>3^(n-2) absurdo; pois, teria que ser 3^k com k escreveu: > Boa tarde! > 3^2005 e não 10^2005. > > Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José > escreveu: > >> Boa tarde! >> Questão complicada. >> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod >> 10^2005. Portanto x | 2*3^2004. >> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas parece >> que não... >> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim. >> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) para >> n>=2. >> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a conjectura >> esteja correta. >> >> Saudações, >> PJMS >> >> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira < >> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: >> >>> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ? >>> >>> >>> Saudações >>> Douglas Oliveira >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima
Boa tarde! 3^2005 e não 10^2005. Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Questão complicada. > Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod > 10^2005. Portanto x | 2*3^2004. > Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas parece > que não... > Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim. > O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) para > n>=2. > Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a conjectura > esteja correta. > > Saudações, > PJMS > > Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ? >> >> >> Saudações >> Douglas Oliveira >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima
Boa tarde! Questão complicada. Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod 10^2005. Portanto x | 2*3^2004. Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas parece que não... Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim. O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) para n>=2. Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a conjectura esteja correta. Saudações, PJMS Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ? > > > Saudações > Douglas Oliveira > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima
Estou conjecturando que 1/3^n tem período igual a 3^(n-2) , para n>=3. Carlos Victor Em 20/02/2020 18:01, Prof. Douglas Oliveira escreveu: > Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ? > > Saudações > Douglas Oliveira > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em duas questões (Geometria plana e equação funcional)
Sempre que possível, crie um e-mail para cada questão. Assim, fica mais fácil para cada participante acompanhar a discussão. Eu por exemplo gosto bem mais de geometria que de álgebra. Ao ler esse e-mail e suas respostas, eu não sei de cara se estou comentando a questão de geometria ou a de álgebra. Em sex., 13 de dez. de 2019 às 21:05, Prof. Douglas Oliveira escreveu: > > 1) Dado um triângulo equilátero ABC, e os segmentos internos de reta BS, CT e > AR tais que BS=CT=AR e além disso B, R, S estão alinhados, C, S, T estão > alinhados e A, T, R estão alinhados, mostre que o triângulo RST também é > equilátero. > > 2) Essa é a questão da (IMO shortlisted 2008) > . Find all functions f : (0, ∞) → (0, ∞) such that [(f(p))^2 + (f(q))^2]/ > f(r^2 ) + f(s^2 ) = (p^2 + q^2)/(r^2 + s^2) for all p, q, r, s > 0 with pq = > rs. > > Pois bem, a minha dúvida é , eu cheguei em duas soluções f(x)=x e f(x)=1/x, e > a minha pergunta seria , precisa mostrar que são as únicas soluções? A princípio, durante a resolução você automaticamente exclui a possibilidade de existirem outras soluções. Essa unicidade já fica "embutida". Até porque, é muito raro resolver uma equação funcional por "eliminação" ou por "contradição"; elas costumam ser resolvidas de maneira mais dedutiva. Se sua solução for parecida com a oficial - que começa demonstrando que f(x^2)=(f(x))^2 e daí > > Saudações > Douglas Oliveira. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em duas questões (Geometria plana e equação funcional)
Olá Douglas, boa noite! Professor, já fiz essa questão 2 e do jeito que resolvi, já fica meio que implícito que essas são as únicas soluções. Envia tua solução para que eu possa analisar, se possivel! Em sex, 13 de dez de 2019 21:05, Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > 1) Dado um triângulo equilátero ABC, e os segmentos internos de reta BS, > CT e AR tais que BS=CT=AR e além disso B, R, S estão alinhados, C, S, T > estão alinhados e A, T, R estão alinhados, mostre que o triângulo RST > também é equilátero. > > 2) Essa é a questão da (IMO shortlisted 2008) > . Find all functions f : (0, ∞) → (0, ∞) such that [(f(p))^2 + > (f(q))^2]/ f(r^2 ) + f(s^2 ) = (p^2 + q^2)/(r^2 + s^2) for all p, q, r, s > > 0 with pq = rs. > > Pois bem, a minha dúvida é , eu cheguei em duas soluções f(x)=x e > f(x)=1/x, e a minha pergunta seria , precisa mostrar que são as únicas > soluções? > > Saudações > Douglas Oliveira. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em divisores
Oi Pacini, Basta fazer 98x19=1862. Bobroy Em 17/02/2019 0:09, Pacini Bores escreveu: > Uma ajuda : > > Seja N=(2^98).(3^19). Quantos inteiros positivos, divisores de N^2 são > menores que N e não dividem N? > > Obrigado > > Pacini > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em divisores
Em dom, 17 de fev de 2019 às 00:22, Pacini Bores escreveu: > > Uma ajuda : > > Seja N=(2^98).(3^19). Quantos inteiros positivos, divisores de N^2 são > menores que N e não dividem N? > Não trate ponto como cdot. Complicado. Um número d desse tipo teria que ser da forma 2^a * 3^b, com a<=196 e b<=38. O problema de d não dividir N pode ser visto como ou a>98, ou b>19, ou os dois. O úmtimo caso não pode ser, Agora, para ser menor, a coisa complica um bocado. Vamos tentar dividir em casos: - SE a>98 e b>19, não dá, pois seria maior que N. - SE a>98, temos 2^(a-98) < 3^(19-b), ou (a-98) log 2 < (19-b) log 3. Dá para ir testando b de 0 a 19 e verificando as possibilidades - SE b>19, temos 2^(98-a) < 3^(b-19), ou (98-a) log 2 < (b-19) log 3. Dá para ir testando b de 20 até 38 e verificando as possibilidades. > Obrigado > > Pacini > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em números reais
Pensando nos vetores unitários (a,b) e (c,d), ac + bd = 0 implica (via produto escalar, como você sugeriu) que estes vetores são ortogonais e que, portanto: c = b, d = -a ==> ab + cd = ab + b(-a) = 0 ou c = -b, d = a ==> ab + cd = ab + (-b)a = 0. []s, Claudio. On Sat, Aug 25, 2018 at 1:19 PM marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> wrote: > Sejam a, b , c e d são números reais tais que a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 1, > ac + bd = 0. Calcule ab + cd > > > Pensando em produto escalar, podemos dizer que a = senx, b = - cosx, c = > cosx e d = senx ? Nesse caso, ab + cd = 0. Um colega achou +1 ou -1 > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade
Certamente uma das melhores soluções que eu já vi para esse tipo de problema Uma resolução "verdadeiramente olímpica" Muito bom mesmo, parabéns! Em 16 de julho de 2018 09:13, matematica10complicada < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como] > algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente. > Veja só: > > 1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que deve > existir um "a" para que isso seja verdade usando médias. > > 2) Depois estive a desenvolver, x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36 > >=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG. > > 3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que 4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>= > (x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a. > > 4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n , > teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma > an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3. > > 5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica x^3+y^3/xy+9 >= > x+y-3 o que de forma análoga teremos: > > P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9. > > Acho que é isso. > > Douglas Oliveira. > > > > Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > >> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor >> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9) >> >> Agradeço desde já. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade
Muito bom! E o mínimo (= 9) de fato é atingido quando x = y = z = 3. (x^3+y^3)/(xy+9) tem grau 3 - 2 = 1, de modo que faz sentido buscar uma desigualdade da forma (x^3+y^3)/(xy+9) >= x+y+a (*) E a ideia é especialmente boa pois o lado direito da forma x+y+a resulta (somando as três desigualdades oriundas das 3 parcelas de P) em: P >= 2(x+y+z) + 3a = 18 + 3a. Com base na conjectura de que P mínimo = 9 (quando x = y = z = 3), daria até pra conjecturar que a desigualdade (*) vale com a = -3, mas no fim das contas, sua análise acabou achando o valor de "a" sem precisar da conjectura. Também foi uma boa ideia procurar uma desigualdade envolvendo apenas (x+y), usando, em especial (no passo 3), a desigualdade das médias potenciais: ((x^3+y^3)/2)^(1/3) >= (x+y)/2. Gostei! Parabéns! []s, Claudio. 2018-07-16 9:13 GMT-03:00 matematica10complicada < profdouglaso.del...@gmail.com>: > Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como] > algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente. > Veja só: > > 1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que deve > existir um "a" para que isso seja verdade usando médias. > > 2) Depois estive a desenvolver, x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36 > >=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG. > > 3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que 4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>= > (x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a. > > 4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n , > teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma > an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3. > > 5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica x^3+y^3/xy+9 >= > x+y-3 o que de forma análoga teremos: > > P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9. > > Acho que é isso. > > Douglas Oliveira. > > > > Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > >> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor >> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9) >> >> Agradeço desde já. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade
Eu também 2018-07-16 10:21 GMT-03:00 Daniel Quevedo : > Recebi > > Em seg, 16 de jul de 2018 às 10:19, Kevin Felipe Kuhl Oliveira < > kevin_k...@usp.br> escreveu: > >> Gostaria de saber se minhas mensagens são recebidas. >> >> Por favor, se você visualizou esta mensagem, me avise. >> >> Obrigado >> On 16 Jul 2018 09:52 -0300, matematica10complicada < >> profdouglaso.del...@gmail.com>, wrote: >> >> Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como] >> algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente. >> Veja só: >> >> 1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que >> deve existir um "a" para que isso seja verdade usando médias. >> >> 2) Depois estive a desenvolver, x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36 >> >=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG. >> >> 3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que >> 4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>= >> (x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a. >> >> 4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n , >> teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma >> an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3. >> >> 5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica x^3+y^3/xy+9 >= >> x+y-3 o que de forma análoga teremos: >> >> P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9. >> >> Acho que é isso. >> >> Douglas Oliveira. >> >> >> >> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges < >> marconeborge...@hotmail.com> escreveu: >> >>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor >>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9) >>> >>> Agradeço desde já. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> >> -- >> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e >> >> >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > -- > Fiscal: Daniel Quevedo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade
Recebi Em seg, 16 de jul de 2018 às 10:19, Kevin Felipe Kuhl Oliveira < kevin_k...@usp.br> escreveu: > Gostaria de saber se minhas mensagens são recebidas. > > Por favor, se você visualizou esta mensagem, me avise. > > Obrigado > On 16 Jul 2018 09:52 -0300, matematica10complicada < > profdouglaso.del...@gmail.com>, wrote: > > Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como] > algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente. > Veja só: > > 1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que deve > existir um "a" para que isso seja verdade usando médias. > > 2) Depois estive a desenvolver, x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36 > >=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG. > > 3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que 4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>= > (x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a. > > 4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n , > teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma > an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3. > > 5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica x^3+y^3/xy+9 >= > x+y-3 o que de forma análoga teremos: > > P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9. > > Acho que é isso. > > Douglas Oliveira. > > > > Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > >> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor >> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9) >> >> Agradeço desde já. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e > > > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Fiscal: Daniel Quevedo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade
Gostaria de saber se minhas mensagens são recebidas. Por favor, se você visualizou esta mensagem, me avise. Obrigado On 16 Jul 2018 09:52 -0300, matematica10complicada , wrote: > Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como] > algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente. > Veja só: > > 1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que deve > existir um "a" para que isso seja verdade usando médias. > > 2) Depois estive a desenvolver, x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36 > >=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG. > > 3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que > 4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>= (x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a. > > 4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n , > teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma > an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3. > > 5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica x^3+y^3/xy+9 >= x+y-3 o > que de forma análoga teremos: > > P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9. > > Acho que é isso. > > Douglas Oliveira. > > > > > Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges > > escreveu: > > > Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor > > > mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9) > > > Agradeço desde já. > > > > > > -- > > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade
Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como] algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente. Veja só: 1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que deve existir um "a" para que isso seja verdade usando médias. 2) Depois estive a desenvolver, x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36 >=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG. 3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que 4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>= (x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a. 4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n , teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3. 5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica x^3+y^3/xy+9 >= x+y-3 o que de forma análoga teremos: P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9. Acho que é isso. Douglas Oliveira. Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor > mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9) > > Agradeço desde já. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade
Boa tarde! Depois me apercebi que quando encontrei x=y=z, não é garantido que x=y implica em x=z. Portanto, falta mostrar para x=y escreveu: > Boa noite! > > Ontem, num momento solitário e introspectivo, estudando um pouco de > mitologia grega no livro de Junito Brandão, bebendo um belo e apetitoso > vinho e a escutar John Coltrane, soprando formosuras em seu sax, veio-me > uma inspiração. Larguei a leitura, sem deixar os demais prazeres e creio > ter conseguido solucionar o problema. Com uma parcela bem exagerada de > paciência e braço. > > *Passo 1: Cálculo das derivadas parciais.* > > em relação a x (não sei como fazer para símbolos no computador) Gx(x,y,z) > = [3x^2(xy+9) - (x^3+y^3)y]/(xy+9)^2 + [3x^2(xz+9) - (x^3+z^3)z]/(xz+9)^2 > > em relação a > y > Gy(x,yz) = [3y^2(xy+9) - (x^3+y^3)x]/(xy+9)^2 + [3y^2(yz+9) - > (y^3+z^3)z]/(yz+9)^2 > > e em relação a > z > Gz(x,yz) = [3z^2(xz+9) - (x^3+z^3)x]/(xz+9)^2 + [3z^2(yz+9) - > (y^3+z^3)y]/(yz+9)^2 > > > *Passo 2. Achando a condição para ser um ponto crítico e um certo ponto > crítico.* > > Por Lagrange Gradiente se (xo,yo,zo) é um ponto crítico: F(xo,yo,zo) = k. > Gradiente de R(xo,yo,zo) e R(xo,yo,zo)=cte da restrição, onde R(x,y,z)= x+y > +z e a constante é 9e F(x,y,z) é o que pretendemos minimizar. > > R(x,y,z) =(1,1,1) então Gx(xo,yo,zo)=Gy(xo,yo,zo)=Gz(xo,yo,zo) > > Gx(xo,yo,zo) - Gy(xo,yo,zo)=0. > > Desenvolvendo a expressão chegamos a: > > C1(x,y,z,) (x^3-y^3) +[ C2(x,y,z) + C3(x,y,z) + C4(x,y,z) + C5(x,y,z) ] > (x^2-y^2) + [ C6(x,y,z) +C7(x,y,z) +C8(x,y,z) +C9(x,y,z) +C10(x,y,z) ] > (x-y)/[(xy+9)(xz+9)(yz+9)]^2=0 > > onde: > > C1(x,y,z) = -81z(xy+9)^2 > > C2(x,y,z) = 3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 > C3(x,y,z) = 27(xy+9)^2(xz+9).(yz+9) > C4(x,y,z) = -18(xyz^2)(xy+9)^2 > C5(x,y,z) = z^6(xy+9)^2 > > C6(x,y,z) = 3(xz+9)^2(yz+9)^2(x^3+y^3) > C7(x,y,z) = 3(xyz)(xz+9)(yz+9)(xy+9)^2 > C8(x,y,z) = -x^2y^2z^3(xy+9)^2 > C9(x,y,z) = 18z^5(xy+9)^2 > > Logo xo=yo atende a equação acima e xo=zo atenderá a Gx(x,y,z)=Gz(xo,yo,zo) > Portanto pela restrição x+y+z=9 temos xo=yo=zo=3, formando um ponto > crítico, ou seja, (3,3,3) > > *Passo 3. Provando que o ponto crítico é único* > > Agora devemos provar que é único, pois, caso contrário achar as demais > raízes dessa equação é casca. Foi aqui que sucumbi na primeira tentativa. > Mas conjecturando sobre o que significaria o fogo no mito de Prometeu, que > fora trazido para os homens escondido numa férula e com esse ato enfurecido > Zeus. Se seria simplesmente, o fogo propriamente dito ou algum conhecimento > específico como o ensinamento das estações, de como fazer o plantio, o > simbolismo da inteligência...Quando pensei e se para x<>y Provar que todos > os componentes somados tem o mesmo sinal, só haverá uma raiz, pois a > expressão total não é uma constante. > Então como a função a ser minimizada é simétrica, basta mostrar que não > atende para: > > x > C3(x,y,z) + C4(x,y,z) > 0, pois 27(xy+9)^2.(xz+9).(yz+9) > > 18xyz^2(xy+9)^2. Pois, 27(xz+9)(yz+9) > 18xyz^2, pela restrição do problema > x,y,z positivos. > C2 e C5 são positivos, então legal para o termo que multiplica (x^2-y^2). > > C7(x,y,z) +C8(x,y,z) >0, também é fácil, simplifica (xy+9)^2 e tem um > termo de C7(x,y,z) que é 27xyz^2, ue já é suficiente e os outros são > positivos. > > O patinho feio C1(x,y,z) é negativo. > > então tentei com uns termos que sobraram em (x^2-y^2), mostrar que. > > -(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 (x^2-y^2) + z^6(xy+9)^2 (x^2-y^2) > 81z(xy+9)^2 > (y^3-x^3), para garantir que C1 ((x^3-y3) + (C2+C5) (x^2-y2) < 0, com sinal > igual as demais parcelas. (x+y > > (x+y)(y^2-x^2) + yx^2 - xy^2 = y^3-x^3. Como 0 yx^2 portanto y3-x^3 < (x+y) (y^2-x2) > > Mas pela ordem assumida como premissa x+y<6, pois se x+y>=6 ==> z<=3 e > fere a ordem da premissa. > > então: 81z(xy+9)^2 (y^3-x^3) < 486z(xy+9)^2 (y^2-x^2) > > Se provar que -[3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 + z^6(xy+9)^2 ](x^2-y^2) > > 486z(xy+9)^2 (y^2-x^2) só há um ponto crítico. > > Dividindo por(y^2-x^2)>0, por hipótese, temos: (xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 + > z^6(xy+9)^2 > 486z(xy+9)^2 > > 3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2> (-z^6+ 486z) (xy+9)^2 mas -z6+486z é monótona > crescente para z>raizquinta(81)~2,41. > > Como z>3 (-z^6+ 486z) (xy+9)^2 < 729 (xy+9)^2 > Como (zx+9)>(xy+9) > Basta provar que: 3(xz+9)(yz+9)^2 > 729, só o termo independente atende > 2187 e os demais da esquerda são positivos. > O ponto crítico é único. > > *Passo 4, FINAL. Provando que é um ponto de mínimo.* > > Para compor a hessiana,tentei achar a folha que tinha feito as segundas > derivadas parciais, mas não tive sucesso. Ainda teria que calcular as > parciais em x,y em x,z e em y,z. > > Então pensei: > > O ponto crítico é único e a função é contínua. > > O ponto pode ser de máximo local, mínimo local ou ponto de sela. > > Se for mínimo local, o valor da função aplicado em (3,3,3) que é 9 é o > valor mínimo da função. > > Caso contrário haverá um limitante, menor que 9, mas não haverá solução, > visto que o domínio dá um triângulo aberto e
Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade
Boa noite! Ontem, num momento solitário e introspectivo, estudando um pouco de mitologia grega no livro de Junito Brandão, bebendo um belo e apetitoso vinho e a escutar John Coltrane, soprando formosuras em seu sax, veio-me uma inspiração. Larguei a leitura, sem deixar os demais prazeres e creio ter conseguido solucionar o problema. Com uma parcela bem exagerada de paciência e braço. *Passo 1: Cálculo das derivadas parciais.* em relação a x (não sei como fazer para símbolos no computador) Gx(x,y,z) = [3x^2(xy+9) - (x^3+y^3)y]/(xy+9)^2 + [3x^2(xz+9) - (x^3+z^3)z]/(xz+9)^2 em relação a y Gy(x,yz) = [3y^2(xy+9) - (x^3+y^3)x]/(xy+9)^2 + [3y^2(yz+9) - (y^3+z^3)z]/(yz+9)^2 e em relação a z Gz(x,yz) = [3z^2(xz+9) - (x^3+z^3)x]/(xz+9)^2 + [3z^2(yz+9) - (y^3+z^3)y]/(yz+9)^2 *Passo 2. Achando a condição para ser um ponto crítico e um certo ponto crítico.* Por Lagrange Gradiente se (xo,yo,zo) é um ponto crítico: F(xo,yo,zo) = k. Gradiente de R(xo,yo,zo) e R(xo,yo,zo)=cte da restrição, onde R(x,y,z)= x+y +z e a constante é 9e F(x,y,z) é o que pretendemos minimizar. R(x,y,z) =(1,1,1) então Gx(xo,yo,zo)=Gy(xo,yo,zo)=Gz(xo,yo,zo) Gx(xo,yo,zo) - Gy(xo,yo,zo)=0. Desenvolvendo a expressão chegamos a: C1(x,y,z,) (x^3-y^3) +[ C2(x,y,z) + C3(x,y,z) + C4(x,y,z) + C5(x,y,z) ] (x^2-y^2) + [ C6(x,y,z) +C7(x,y,z) +C8(x,y,z) +C9(x,y,z) +C10(x,y,z) ] (x-y)/[(xy+9)(xz+9)(yz+9)]^2=0 onde: C1(x,y,z) = -81z(xy+9)^2 C2(x,y,z) = 3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 C3(x,y,z) = 27(xy+9)^2(xz+9).(yz+9) C4(x,y,z) = -18(xyz^2)(xy+9)^2 C5(x,y,z) = z^6(xy+9)^2 C6(x,y,z) = 3(xz+9)^2(yz+9)^2(x^3+y^3) C7(x,y,z) = 3(xyz)(xz+9)(yz+9)(xy+9)^2 C8(x,y,z) = -x^2y^2z^3(xy+9)^2 C9(x,y,z) = 18z^5(xy+9)^2 Logo xo=yo atende a equação acima e xo=zo atenderá a Gx(x,y,z)=Gz(xo,yo,zo) Portanto pela restrição x+y+z=9 temos xo=yo=zo=3, formando um ponto crítico, ou seja, (3,3,3) *Passo 3. Provando que o ponto crítico é único* Agora devemos provar que é único, pois, caso contrário achar as demais raízes dessa equação é casca. Foi aqui que sucumbi na primeira tentativa. Mas conjecturando sobre o que significaria o fogo no mito de Prometeu, que fora trazido para os homens escondido numa férula e com esse ato enfurecido Zeus. Se seria simplesmente, o fogo propriamente dito ou algum conhecimento específico como o ensinamento das estações, de como fazer o plantio, o simbolismo da inteligência...Quando pensei e se para x<>y Provar que todos os componentes somados tem o mesmo sinal, só haverá uma raiz, pois a expressão total não é uma constante. Então como a função a ser minimizada é simétrica, basta mostrar que não atende para: x 0, pois 27(xy+9)^2.(xz+9).(yz+9) > 18xyz^2(xy+9)^2. Pois, 27(xz+9)(yz+9) > 18xyz^2, pela restrição do problema x,y,z positivos. C2 e C5 são positivos, então legal para o termo que multiplica (x^2-y^2). C7(x,y,z) +C8(x,y,z) >0, também é fácil, simplifica (xy+9)^2 e tem um termo de C7(x,y,z) que é 27xyz^2, ue já é suficiente e os outros são positivos. O patinho feio C1(x,y,z) é negativo. então tentei com uns termos que sobraram em (x^2-y^2), mostrar que. -(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 (x^2-y^2) + z^6(xy+9)^2 (x^2-y^2) > 81z(xy+9)^2 (y^3-x^3), para garantir que C1 ((x^3-y3) + (C2+C5) (x^2-y2) < 0, com sinal igual as demais parcelas. (x+y (x+y)(y^2-x^2) + yx^2 - xy^2 = y^3-x^3. Como 0 yx^2=6 ==> z<=3 e fere a ordem da premissa. então: 81z(xy+9)^2 (y^3-x^3) < 486z(xy+9)^2 (y^2-x^2) Se provar que -[3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 + z^6(xy+9)^2 ](x^2-y^2) > 486z(xy+9)^2 (y^2-x^2) só há um ponto crítico. Dividindo por(y^2-x^2)>0, por hipótese, temos: (xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 + z^6(xy+9)^2 > 486z(xy+9)^2 3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2> (-z^6+ 486z) (xy+9)^2 mas -z6+486z é monótona crescente para z>raizquinta(81)~2,41. Como z>3 (-z^6+ 486z) (xy+9)^2 < 729 (xy+9)^2 Como (zx+9)>(xy+9) Basta provar que: 3(xz+9)(yz+9)^2 > 729, só o termo independente atende 2187 e os demais da esquerda são positivos. O ponto crítico é único. *Passo 4, FINAL. Provando que é um ponto de mínimo.* Para compor a hessiana,tentei achar a folha que tinha feito as segundas derivadas parciais, mas não tive sucesso. Ainda teria que calcular as parciais em x,y em x,z e em y,z. Então pensei: O ponto crítico é único e a função é contínua. O ponto pode ser de máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Se for mínimo local, o valor da função aplicado em (3,3,3) que é 9 é o valor mínimo da função. Caso contrário haverá um limitante, menor que 9, mas não haverá solução, visto que o domínio dá um triângulo aberto e o mínimo estaria na borda que não faz parte do conjunto. Para ser mínimo local e global, não pode haver um ponto na borda que apresente um valor menor que 9. Optei por esse caminho. Se o raciocínio estiver errado, por favor, indiquem, que voltarei para o calvário da hessiana. Como a função é simétrica, basta verificar para um segmento da borda. Escolhi z=0 e x+y = 9 com x,y>=0 e Nas extremidades (0,9) ou (9,0) dá o mesmo valor 162 > 9. Agora vamos achar o mínimo da
Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade
Oi, Marcone: De onde você tirou este problema? []s, Claudio. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade
Agora só falta o Marcone dizer de onde saiu este problema... 2018-07-06 21:29 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com>: > 2018-07-02 8:38 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges > : > > Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor > > mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9) > > Bom, acredito que resolvi. Com uma ajuda do computador para > - fazer uns gráficos (1D) > - calcular derivadas simbólicas > - calcular uns valores numéricos > > Vou assumir que é a soma simétrica de (x^3 + y^3) / (xy + 9) (note a > posição da barra, eu pensei durante algum tempo que era o inverso > disso... A\b é uma notação comum para inversa à esquerda... enfim :D). > Chame essa soma de S. > > Primeiro, pense em min (x^3 + y^3) / (xy + 9) com a condição que x+y = > a. Esse é um problema mais fácil, a simetria dá que a solução ou é > simétrica x=y, ou é "extrema" x=0, y = a (ou simetricamente x=a, y=0). > Calculando, x=y=a/2 dá g(a) = 2*(a/2)^3 / ((a/2)^2 + 9) = a^3/4 / > (a^2/4 + 3^2) = a^3 / (a^2 + 6^2) enquanto que as outras (extremas) > dão a^3/9. Como 36 > 9, a primeira é sempre menor, independente de a. > > Agora, repita para os outros 2 pares, impondo as condições x+y=a, > y+z=b, z+x=c e você terá a soma simétrica S2 = g(a) + g(b) + g(c), com > a condição que a+b+c = 18. Como isso é um monte de mínimos separados, > esta nova soma S2 é uma estimativa por baixo de S. Só que g é convexa > até x = 6*sqrt(3) (eu pedi ajuda pro maxima pra calcular a segunda > derivada, mas dá para usar o wolfram alpha), e portanto: > 1) ou a soma simétrica é minimizada em a=b=c=6 (convexidade => mínimo > no ponto de simetria), ou > 2) algum deles é maior do que 6*sqrt(3). > > Mas o caso 2 é impossível, porque teríamos x+y = a = 6*sqrt(3) > 10 > > 9 = x+y+z, absurdo porque z > 0. > > O caso 1 implica x=y=z=3, e isso demonstra que (3,3,3) é de fato mínimo > global. > > > > > Para os que querem todos os detalhes, segue a demonstração de que S2 <= S > > S2 = min_{a,b,c} g(a) + g(b) + g(c) s.a. a+b+c = 18 > S = min_{x,y,z} P(x,y) + P(y,z) + P(z,x) s.a. x+y+z = 9 > > Em S, introduza as variáveis a,b,c como indicado > > S = min_{a,b,c,x,y,z} P(x,y) + P(y,z) + P(z,x) s.a. x+y+z = 9, x+y=a, > y+z=b, z+x=c, a+b+c = 18 > > E adicione novas variáveis "cópia" X,Y,Z. > > S = min_{a,b,c,x,y,z,X,Y,Z} P(x,Y) + P(y,Z) + P(z,X) > s.a. x+y+z = 9, x+Y = a, y+Z = b, z+X = c, a+b+c = 18, x=X, y=Y, z=Z > > Agora, "esqueça" as restrições "que me complicam": x+y+z = 9, x=X, > y=Y, z=Z. Isso reduz o valor do mínimo (pois temos mais > flexibilidade), e "desacopla" o problema em um "mestre" e um > "subordenado": > > S_modif = min_{a,b,c} [min_{x,y,z,X,Y,Z} P(x,Y) + P(y,Z) + P(x,Z) s.a. > x+Y=a, y+Z=b, z+X=c] s.a. a+b+c = 18 > > Mas o subordenado está desacoplado também: é igual a [min_{x,Y} P(x,Y) > s.a. x+Y = a] + [idem y,Z] + [idem z,X] = g(a) + g(b) + g(c) pela > nossa definição de g. > > Isso prova que S_modif = S2, e porque "retiramos restrições", S2 <= S. > > O curioso é que, mesmo introduzindo 6 novas variáveis, com 4+4 novas > restrições (de compatibilidade), e jogando 5 restrições no lixo, ainda > temos S2 = S. > > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade
2018-07-02 8:38 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges : > Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor > mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9) Bom, acredito que resolvi. Com uma ajuda do computador para - fazer uns gráficos (1D) - calcular derivadas simbólicas - calcular uns valores numéricos Vou assumir que é a soma simétrica de (x^3 + y^3) / (xy + 9) (note a posição da barra, eu pensei durante algum tempo que era o inverso disso... A\b é uma notação comum para inversa à esquerda... enfim :D). Chame essa soma de S. Primeiro, pense em min (x^3 + y^3) / (xy + 9) com a condição que x+y = a. Esse é um problema mais fácil, a simetria dá que a solução ou é simétrica x=y, ou é "extrema" x=0, y = a (ou simetricamente x=a, y=0). Calculando, x=y=a/2 dá g(a) = 2*(a/2)^3 / ((a/2)^2 + 9) = a^3/4 / (a^2/4 + 3^2) = a^3 / (a^2 + 6^2) enquanto que as outras (extremas) dão a^3/9. Como 36 > 9, a primeira é sempre menor, independente de a. Agora, repita para os outros 2 pares, impondo as condições x+y=a, y+z=b, z+x=c e você terá a soma simétrica S2 = g(a) + g(b) + g(c), com a condição que a+b+c = 18. Como isso é um monte de mínimos separados, esta nova soma S2 é uma estimativa por baixo de S. Só que g é convexa até x = 6*sqrt(3) (eu pedi ajuda pro maxima pra calcular a segunda derivada, mas dá para usar o wolfram alpha), e portanto: 1) ou a soma simétrica é minimizada em a=b=c=6 (convexidade => mínimo no ponto de simetria), ou 2) algum deles é maior do que 6*sqrt(3). Mas o caso 2 é impossível, porque teríamos x+y = a = 6*sqrt(3) > 10 > 9 = x+y+z, absurdo porque z > 0. O caso 1 implica x=y=z=3, e isso demonstra que (3,3,3) é de fato mínimo global. Para os que querem todos os detalhes, segue a demonstração de que S2 <= S S2 = min_{a,b,c} g(a) + g(b) + g(c) s.a. a+b+c = 18 S = min_{x,y,z} P(x,y) + P(y,z) + P(z,x) s.a. x+y+z = 9 Em S, introduza as variáveis a,b,c como indicado S = min_{a,b,c,x,y,z} P(x,y) + P(y,z) + P(z,x) s.a. x+y+z = 9, x+y=a, y+z=b, z+x=c, a+b+c = 18 E adicione novas variáveis "cópia" X,Y,Z. S = min_{a,b,c,x,y,z,X,Y,Z} P(x,Y) + P(y,Z) + P(z,X) s.a. x+y+z = 9, x+Y = a, y+Z = b, z+X = c, a+b+c = 18, x=X, y=Y, z=Z Agora, "esqueça" as restrições "que me complicam": x+y+z = 9, x=X, y=Y, z=Z. Isso reduz o valor do mínimo (pois temos mais flexibilidade), e "desacopla" o problema em um "mestre" e um "subordenado": S_modif = min_{a,b,c} [min_{x,y,z,X,Y,Z} P(x,Y) + P(y,Z) + P(x,Z) s.a. x+Y=a, y+Z=b, z+X=c] s.a. a+b+c = 18 Mas o subordenado está desacoplado também: é igual a [min_{x,Y} P(x,Y) s.a. x+Y = a] + [idem y,Z] + [idem z,X] = g(a) + g(b) + g(c) pela nossa definição de g. Isso prova que S_modif = S2, e porque "retiramos restrições", S2 <= S. O curioso é que, mesmo introduzindo 6 novas variáveis, com 4+4 novas restrições (de compatibilidade), e jogando 5 restrições no lixo, ainda temos S2 = S. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade
Ainda acho que há alguma transformação algébrica que transforma P em algo mais fácil de manipular. Por exemplo, P é uma função simétrica, ou seja, qualquer permutação de x, y e z deixa P invariável. Isso significa que a superfície P(x,y,z) = k (k = constante) é simétrica em relação à reta x = y = z. Assim, talvez uma mudança de base da base canônica do R^3 para a base (1,0,0), (0,1,0), (1,1,1) resulte numa expressão mais útil para P. 2018-07-06 16:10 GMT-03:00 Pedro José : > Boa tarde! > > Joguei a toalha. Dá para verificar que (3,3,3) é um ponto crítico. Mas > garantir que a única curva de nível que tangencia o plano x+y+z=9 é (x^3 + > y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)=9 ou que se existir > outro ponto de tangência, será para uma curva de nível com a constante >=9, > não tenho ideia de como fazê-lo. > > Saudações, > PJMS. > > Em 5 de julho de 2018 16:01, Pedro José escreveu: > >> Bom dia! >> Para mim esse problema foi bom. >> Pois me fez recordar levemente a otimização, Matriz Hessiana. Tinha uma >> forma de ver através dos sinais dos determinantes das matrizes menores de >> menores, mas não lembro mais. Assim que tiver um tempo vou dar uma >> estudada. Mas já estou adiantando a parte braçal, as derivadas parciais. >> Como a função é contínua e podemos ampliar o conjunto para x,y,z>=0 e >> garantir que existe um mínimo e um máximo global. Aí seria mostrar que >> (3,3,3) é o único ponto crítico, que é ponto de mínimo local e que nenhum >> ponto na borda (são três segmentos de reta), x=0 e y+z =9; y=0 e x+z=9; z=o >> e x+y=9, tem valor inferior a 9. >> Nesse intervalo surgirá uma solução, mostrando que essa soma está entre >> duas funções, que a inferior é menor ou igual a 9 e que a superior é maior >> ou igual a 9 e que as três funções convergem para 9 em (3,3,3). >> >> Mas deu até para recordar as aulas de cálculo III, a sala, as pessoas... >> >> Saudações, >> PJMS >> >> Em 5 de julho de 2018 01:41, Claudio Buffara >> escreveu: >> >>> De onde vem este problema? >>> É de alguma olimpíada ou de algum livro de cálculo de várias variáveis? >>> Pois, no segundo caso, a solução mais óbvia será mesmo por >>> multiplicadores de Lagrange. >>> >>> 2018-07-02 8:38 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges < >>> marconeborge...@hotmail.com>: >>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9) Agradeço desde já. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade
Boa tarde! Joguei a toalha. Dá para verificar que (3,3,3) é um ponto crítico. Mas garantir que a única curva de nível que tangencia o plano x+y+z=9 é (x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)=9 ou que se existir outro ponto de tangência, será para uma curva de nível com a constante >=9, não tenho ideia de como fazê-lo. Saudações, PJMS. Em 5 de julho de 2018 16:01, Pedro José escreveu: > Bom dia! > Para mim esse problema foi bom. > Pois me fez recordar levemente a otimização, Matriz Hessiana. Tinha uma > forma de ver através dos sinais dos determinantes das matrizes menores de > menores, mas não lembro mais. Assim que tiver um tempo vou dar uma > estudada. Mas já estou adiantando a parte braçal, as derivadas parciais. > Como a função é contínua e podemos ampliar o conjunto para x,y,z>=0 e > garantir que existe um mínimo e um máximo global. Aí seria mostrar que > (3,3,3) é o único ponto crítico, que é ponto de mínimo local e que nenhum > ponto na borda (são três segmentos de reta), x=0 e y+z =9; y=0 e x+z=9; z=o > e x+y=9, tem valor inferior a 9. > Nesse intervalo surgirá uma solução, mostrando que essa soma está entre > duas funções, que a inferior é menor ou igual a 9 e que a superior é maior > ou igual a 9 e que as três funções convergem para 9 em (3,3,3). > > Mas deu até para recordar as aulas de cálculo III, a sala, as pessoas... > > Saudações, > PJMS > > Em 5 de julho de 2018 01:41, Claudio Buffara > escreveu: > >> De onde vem este problema? >> É de alguma olimpíada ou de algum livro de cálculo de várias variáveis? >> Pois, no segundo caso, a solução mais óbvia será mesmo por >> multiplicadores de Lagrange. >> >> 2018-07-02 8:38 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges < >> marconeborge...@hotmail.com>: >> >>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor >>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9) >>> >>> Agradeço desde já. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade
Bom dia! Para mim esse problema foi bom. Pois me fez recordar levemente a otimização, Matriz Hessiana. Tinha uma forma de ver através dos sinais dos determinantes das matrizes menores de menores, mas não lembro mais. Assim que tiver um tempo vou dar uma estudada. Mas já estou adiantando a parte braçal, as derivadas parciais. Como a função é contínua e podemos ampliar o conjunto para x,y,z>=0 e garantir que existe um mínimo e um máximo global. Aí seria mostrar que (3,3,3) é o único ponto crítico, que é ponto de mínimo local e que nenhum ponto na borda (são três segmentos de reta), x=0 e y+z =9; y=0 e x+z=9; z=o e x+y=9, tem valor inferior a 9. Nesse intervalo surgirá uma solução, mostrando que essa soma está entre duas funções, que a inferior é menor ou igual a 9 e que a superior é maior ou igual a 9 e que as três funções convergem para 9 em (3,3,3). Mas deu até para recordar as aulas de cálculo III, a sala, as pessoas... Saudações, PJMS Em 5 de julho de 2018 01:41, Claudio Buffara escreveu: > De onde vem este problema? > É de alguma olimpíada ou de algum livro de cálculo de várias variáveis? > Pois, no segundo caso, a solução mais óbvia será mesmo por multiplicadores > de Lagrange. > > 2018-07-02 8:38 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com>: > >> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor >> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9) >> >> Agradeço desde já. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade
De onde vem este problema? É de alguma olimpíada ou de algum livro de cálculo de várias variáveis? Pois, no segundo caso, a solução mais óbvia será mesmo por multiplicadores de Lagrange. 2018-07-02 8:38 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com>: > Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor > mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9) > > Agradeço desde já. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade
É isso mesmo. Matriz Hessiana positiva definida e gradiente nulo implicam mínimo local. Mas não necessariamente global. Artur Costa Steiner Em Ter, 3 de jul de 2018 14:24, Claudio Buffara escreveu: > Até porque se as 3 derivadas parciais forem positivas em (3,3,3) - e eu > não fiz as contas - este não pode ser ponto de mínimo local, certo? > Acho que você quis dizer derivadas parciais segundas, mas mesmo assim não > é garantido. > Se me lembro bem (e provavelmente estou errado) a matriz Hessiana tem que > ser positiva definida. > Seja como for, deve haver uma solução elementar. > > []s, > Claudio. > > > 2018-07-03 13:24 GMT-03:00 Pedro José : > >> Boa tarde! >> Creio que tenha falado bobagem, as derivadas parciais positivas não >> garantem o ponto de mínimo local. >> >> Em 3 de julho de 2018 09:49, Pedro José escreveu: >> >>> Bom dia! >>> >>> Já que ninguém lhe respondeu... >>> Por Lagrange chega-se que x=y=z=3 é um ponto singular, mas daí a mostrar >>> que é um mínimo em todo domínio, não consegui nada. >>> Que é um mínimo local, dá para ver pois todas derivadas parciais são >>> positivas para x=y=z=3. >>> Mas fica um direcionamento. >>> Talvez anime alguém a avançar. >>> >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> >>> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges < >>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu: >>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9) Agradeço desde já. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade
Boa noite! Mesmo falando bobagem, foi bom. Pois, provocou a manifestação. Acho triste quando uma questão postada fica no vácuo, como dizem os jovens. Saudações, PJMS Em 3 de julho de 2018 14:08, Claudio Buffara escreveu: > Até porque se as 3 derivadas parciais forem positivas em (3,3,3) - e eu > não fiz as contas - este não pode ser ponto de mínimo local, certo? > Acho que você quis dizer derivadas parciais segundas, mas mesmo assim não > é garantido. > Se me lembro bem (e provavelmente estou errado) a matriz Hessiana tem que > ser positiva definida. > Seja como for, deve haver uma solução elementar. > > []s, > Claudio. > > > 2018-07-03 13:24 GMT-03:00 Pedro José : > >> Boa tarde! >> Creio que tenha falado bobagem, as derivadas parciais positivas não >> garantem o ponto de mínimo local. >> >> Em 3 de julho de 2018 09:49, Pedro José escreveu: >> >>> Bom dia! >>> >>> Já que ninguém lhe respondeu... >>> Por Lagrange chega-se que x=y=z=3 é um ponto singular, mas daí a mostrar >>> que é um mínimo em todo domínio, não consegui nada. >>> Que é um mínimo local, dá para ver pois todas derivadas parciais são >>> positivas para x=y=z=3. >>> Mas fica um direcionamento. >>> Talvez anime alguém a avançar. >>> >>> Saudações, >>> PJMS >>> >>> >>> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges < >>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu: >>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9) Agradeço desde já. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade
Até porque se as 3 derivadas parciais forem positivas em (3,3,3) - e eu não fiz as contas - este não pode ser ponto de mínimo local, certo? Acho que você quis dizer derivadas parciais segundas, mas mesmo assim não é garantido. Se me lembro bem (e provavelmente estou errado) a matriz Hessiana tem que ser positiva definida. Seja como for, deve haver uma solução elementar. []s, Claudio. 2018-07-03 13:24 GMT-03:00 Pedro José : > Boa tarde! > Creio que tenha falado bobagem, as derivadas parciais positivas não > garantem o ponto de mínimo local. > > Em 3 de julho de 2018 09:49, Pedro José escreveu: > >> Bom dia! >> >> Já que ninguém lhe respondeu... >> Por Lagrange chega-se que x=y=z=3 é um ponto singular, mas daí a mostrar >> que é um mínimo em todo domínio, não consegui nada. >> Que é um mínimo local, dá para ver pois todas derivadas parciais são >> positivas para x=y=z=3. >> Mas fica um direcionamento. >> Talvez anime alguém a avançar. >> >> Saudações, >> PJMS >> >> >> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges < >> marconeborge...@hotmail.com> escreveu: >> >>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor >>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9) >>> >>> Agradeço desde já. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade
Boa tarde! Creio que tenha falado bobagem, as derivadas parciais positivas não garantem o ponto de mínimo local. Em 3 de julho de 2018 09:49, Pedro José escreveu: > Bom dia! > > Já que ninguém lhe respondeu... > Por Lagrange chega-se que x=y=z=3 é um ponto singular, mas daí a mostrar > que é um mínimo em todo domínio, não consegui nada. > Que é um mínimo local, dá para ver pois todas derivadas parciais são > positivas para x=y=z=3. > Mas fica um direcionamento. > Talvez anime alguém a avançar. > > Saudações, > PJMS > > > Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges < > marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > >> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor >> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9) >> >> Agradeço desde já. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade
Bom dia! Já que ninguém lhe respondeu... Por Lagrange chega-se que x=y=z=3 é um ponto singular, mas daí a mostrar que é um mínimo em todo domínio, não consegui nada. Que é um mínimo local, dá para ver pois todas derivadas parciais são positivas para x=y=z=3. Mas fica um direcionamento. Talvez anime alguém a avançar. Saudações, PJMS Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor > mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9) > > Agradeço desde já. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em geometria e álgebra.
Seja P o ponto de DC tal que AP=AC (portanto igual ao BD). Calculando alguns ângulos: APc=48 e PAD=18. Seja O o circuncentro do triângulo APD, então OD=OP=OA, e como ADB=30 então POA=2x30=60. Concluimos que o triângulo POA é equilátero. Calculando alguns ângulos: ODA=42 Notando que OD=OB podemos concluir que OBD=DBO=36. Estique BO e desenh o segmento AT perpendicular a BO (T está na prolongação de BO). Observe que os triângulos ATO e APM (onde M é o meio de PC) são iguais e portanto AM=AT. Finalmente os triângulo BAT e BAM são iguais e daí ABT=ABD=36/2=18 2018-03-13 20:14 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com>: > Olá amigos, não consigo fazer esse problema por construção, já fiz por lei > dos senos e > pelo geogebra e deu 18 graus. > > Eis o problema: > > 6 Seja D um ponto sobre o lado BC de um triângulo ABC. Supondo que, AC=BD > e o ângulo ADC=30 graus e ACB= 48 graus , determine a medida do ângulo > ABC. > > > > Qualquer ajuda será bem vinda. > > Abraço do > > Douglas Oliveira. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Ajuda em Aritmética
Se p é um primo diferente de 5, os restos dos outros 2 por 5 são os mesmos que os de p^2-1 e p^2+1 respectivamente. Se os 3 números são primos, nenhum deles é múltiplo de 5. Daí o produto (p^2-1)(p^2+1) não pode ser múltiplo de 5. Mas esse produto é p^4-1. Mas o pequeno teorema de Fermat garante que 5 divide p^4-1 se p for diferente de 4. Aí o problema acaba. Se vc não quiser usar o pequeno teorema de Fermat, é só verificar que para r=1, 2, 3 e 4, onde r é o resto de p por 5, ou 4p^2-1 ou 6p^2-1 é múltiplo de 5. Acho a primeira solução melhor pq mostra de onde o autor tirou a idéia de fazer a questão. -Mensagem Original- De: "Marcelo de Moura Costa"Enviada em: 26/09/2016 06:19 Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" Assunto: [obm-l] Ajuda em Aritmética Bom dia a todos, um anulo me apresentou esse problema e confesso que pela dica não consegui interpretá-lo corretamente e fiquei muito curioso como o mesmo, será que alguém poderia me ajudar? O problema é: Mostre que somente para p=5, os números p, 4p^2+1 e 6p^2+1 serão primos. (Dica: analise os restos da divisão de p por 5) Agradeço a atenção. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em Aritmética
Um deles ser multiplo de 5 é equivalents a p^2 ser congruente a 1 ou p^2 ser congruente a 4, que são os unicos resíduos mod 5 além do 0. Logo P deve ser múltiplo de 5 e só testar P=5. > On Sep 26, 2016, at 06:09, Marcelo de Moura Costawrote: > > Bom dia a todos, um anulo me apresentou esse problema e confesso que pela > dica não consegui interpretá-lo corretamente e fiquei muito curioso como o > mesmo, será que alguém poderia me ajudar? > O problema é: > Mostre que somente para p=5, os números p, 4p^2+1 e 6p^2+1 serão primos. > (Dica: analise os restos da divisão de p por 5) > > Agradeço a atenção. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.
L = ((1+1/(n+1))^(n+1))/(1+1/n)^n = ((1 - 1/(n+1)²)^n)((n+2)/(n+1)) Use que (1 - x)^n > 1 - nx, Para x \in (0, 1) L > (1 - n/(n+1)²)((n+2)/(n+1)) = ((n²+n+1)/(n²+2n+1))((n+2)/(n+1)) = (n³+3n²+3n+2)/(n³+3n²+3n+1) > 1. Esse último termo é maior que 1. Em 28 de janeiro de 2016 09:41, Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Opa Marcelo, muito obrigado mesmo, eu estou procurando uma solução > daquelas tipo > desigualdades, onde efetuamos uma estratégia para chegar no resultado, > tipo uma daquelas que tu encontra no livro de combinatória do MOrgado(o > problema das apostas). > Mas valeu, se conseguir uma dessas me manda novamente por favor. > Abraço > Douglas Oliveira > > Em 28 de janeiro de 2016 01:26, Marcelo Salhab Brogliato < > msbro...@gmail.com> escreveu: > >> Oi, Douglas, tudo bem? >> >> Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está >> provada sua desigualdade. >> >> Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 + >> 1/x). Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x) >> também será (exercício: prove essa afirmação). >> >> g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x) = ln(1 + 1/x) - (1/x) / >> (1 + 1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x) >> >> Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x. >> >> Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em >> 1/x, temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1. >> >> Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 + >> 1/x) = (1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0 >> para todo x (já que 1+1/x > 1). >> >> Abraços, >> Salhab >> >> 2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima < >> profdouglaso.del...@gmail.com>: >> >>> Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade >>> (1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural. >>> >>> Agradeço desde já. >>> >>> >> > -- Esdras Muniz Mota Mestrando em Matemática Universidade Federal do Ceará
RE: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.
Sauda,c~oes, oi Douglas, Vou dar uma dica: faça a_(n+1) = ? e a_1=……=a_n = ?? Dai use G <= A ( no caso G < A ) . Abs, L. Date: Thu, 28 Jan 2016 16:15:11 -0200 Subject: RE: [obm-l] Ajuda numa desigualdade. From: profdouglaso.del...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Erro? Bom no meu celular acho que saiu as fórmulas todas fora de ordem rs Em 28/01/2016 16:02, "Bruno Lira" <brunotorne...@hotmail.com> escreveu: Primeiramente, tome a função logaritmântica f(x) = ln(x) cujo domínio é o conjuntos dos números reais maiores que ou igual a zero. Note que a função f é injetora. Portanto, para provarmos que: n n+1 ( 1 + 1 )< ( 1 + 1 ) ( n ) ( n+1 ) basta provar que: (n) ( n+1) ln( ( 1 + 1 ) ) < ln( ( 1 + 1 ) ) ( ( n ) ) ( ( n+1) ) . De fato, temos que: (n)( n+1) ln( ( 1 + 1 ) ) – ln( ( 1 + 1 ) )= ( ( n ) )(( n + 1) ) (n)(n+1) ln( ( n + 1 ) ) – ln( ( n + 2 ) )= ( (n) )( ( n + 1 )) ( 2n ) ln( ( n + 1 ) . n+1 ) ; Das propriedades de logaritmo. ( (n (n+2)) n+2 ) Daí: ( n ) ln( ( n^2 + 2n + 1 ) . n+1 ) ( (n^2 + 2n )n+2) Comon^2 + 2n < n^2 + 2n + 1en+1 < n + 2temos que: n ( n^2 + 2n + 1 ) . n+1<1 (n^2 + 2n) n+2 E da injetividade da função f temos: ( n ) ln( ( n^2 + 2n + 1 ) . n+1 ) < ln(1)=0 ( (n^2 + 2n )n+2) Isto é: (n)(n+1)ln( ( 1 + 1 ) ) – ln( ( 1 + 1 ) )<0 ( ( n ) )( ( n+1 ) ) Logo, n n+1( 1 + 1 ) < ( 1 + 1 )( n ) ( n+1 ) C.Q.D P.S.: Se tiver algum erro me avisem por favor. From: esdrasmunizm...@gmail.com Date: Thu, 28 Jan 2016 12:18:03 -0300 Subject: Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade. To: obm-l@mat.puc-rio.br L = ((1+1/(n+1))^(n+1))/(1+1/n)^n = ((1 - 1/(n+1)²)^n)((n+2)/(n+1)) Use que (1 - x)^n > 1 - nx, Para x \in (0, 1) L > (1 - n/(n+1)²)((n+2)/(n+1)) = ((n²+n+1)/(n²+2n+1))((n+2)/(n+1)) = (n³+3n²+3n+2)/(n³+3n²+3n+1) > 1. Esse último termo é maior que 1. Em 28 de janeiro de 2016 09:41, Douglas Oliveira de Lima <profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: Opa Marcelo, muito obrigado mesmo, eu estou procurando uma solução daquelas tipodesigualdades, onde efetuamos uma estratégia para chegar no resultado, tipo uma daquelas que tu encontra no livro de combinatória do MOrgado(o problema das apostas).Mas valeu, se conseguir uma dessas me manda novamente por favor.AbraçoDouglas Oliveira Em 28 de janeiro de 2016 01:26, Marcelo Salhab Brogliato <msbro...@gmail.com> escreveu: Oi, Douglas, tudo bem? Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está provada sua desigualdade. Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 + 1/x). Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x) também será (exercício: prove essa afirmação). g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x) = ln(1 + 1/x) - (1/x) / (1 + 1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x) Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x. Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em 1/x, temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1. Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 + 1/x) = (1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0 para todo x (já que 1+1/x > 1). Abraços,Salhab 2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima <profdouglaso.del...@gmail.com>: Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade (1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural. Agradeço desde já. -- Esdras Muniz Mota Mestrando em Matemática Universidade Federal do Ceará
Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.
No livro do Yaglon de olimpíadas russas tem a solução. Abs Carlos Victor Enviado por Samsung Mobile Mensagem original De : Douglas Oliveira de LimaData:28/01/2016 00:34 (GMT-03:00) Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Ajuda numa desigualdade. Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade (1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural. Agradeço desde já.
Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.
Opa Marcelo, muito obrigado mesmo, eu estou procurando uma solução daquelas tipo desigualdades, onde efetuamos uma estratégia para chegar no resultado, tipo uma daquelas que tu encontra no livro de combinatória do MOrgado(o problema das apostas). Mas valeu, se conseguir uma dessas me manda novamente por favor. Abraço Douglas Oliveira Em 28 de janeiro de 2016 01:26, Marcelo Salhab Brogliatoescreveu: > Oi, Douglas, tudo bem? > > Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está > provada sua desigualdade. > > Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 + > 1/x). Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x) > também será (exercício: prove essa afirmação). > > g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x) = ln(1 + 1/x) - (1/x) / (1 > + 1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x) > > Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x. > > Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em > 1/x, temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1. > > Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 + > 1/x) = (1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0 > para todo x (já que 1+1/x > 1). > > Abraços, > Salhab > > 2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima < > profdouglaso.del...@gmail.com>: > >> Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade >> (1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural. >> >> Agradeço desde já. >> >> >
RE: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.
Primeiramente, tome a função logaritmântica f(x) = ln(x) cujo domínio é o conjuntos dos números reais maiores que ou igual a zero. Note que a função f é injetora. Portanto, para provarmos que: n n+1 ( 1 + 1 )< ( 1 + 1 ) ( n ) ( n+1 ) basta provar que: (n) ( n+1) ln( ( 1 + 1 ) ) < ln( ( 1 + 1 ) ) ( ( n ) ) ( ( n+1) ) . De fato, temos que: (n)( n+1) ln( ( 1 + 1 ) ) – ln( ( 1 + 1 ) )= ( ( n ) )(( n + 1) ) (n)(n+1) ln( ( n + 1 ) ) – ln( ( n + 2 ) )= ( (n) )( ( n + 1 )) ( 2n ) ln( ( n + 1 ) . n+1 ) ; Das propriedades de logaritmo. ( (n (n+2)) n+2 ) Daí: ( n ) ln( ( n^2 + 2n + 1 ) . n+1 ) ( (n^2 + 2n )n+2) Comon^2 + 2n < n^2 + 2n + 1en+1 < n + 2temos que: n ( n^2 + 2n + 1 ) . n+1<1 (n^2 + 2n) n+2 E da injetividade da função f temos: ( n ) ln( ( n^2 + 2n + 1 ) . n+1 ) < ln(1)=0 ( (n^2 + 2n )n+2) Isto é: (n)(n+1)ln( ( 1 + 1 ) ) – ln( ( 1 + 1 ) )<0 ( ( n ) )( ( n+1 ) ) Logo, n n+1( 1 + 1 ) < ( 1 + 1 )( n ) ( n+1 ) C.Q.D P.S.: Se tiver algum erro me avisem por favor. From: esdrasmunizm...@gmail.com Date: Thu, 28 Jan 2016 12:18:03 -0300 Subject: Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade. To: obm-l@mat.puc-rio.br L = ((1+1/(n+1))^(n+1))/(1+1/n)^n = ((1 - 1/(n+1)²)^n)((n+2)/(n+1)) Use que (1 - x)^n > 1 - nx, Para x \in (0, 1) L > (1 - n/(n+1)²)((n+2)/(n+1)) = ((n²+n+1)/(n²+2n+1))((n+2)/(n+1)) = (n³+3n²+3n+2)/(n³+3n²+3n+1) > 1. Esse último termo é maior que 1. Em 28 de janeiro de 2016 09:41, Douglas Oliveira de Lima <profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: Opa Marcelo, muito obrigado mesmo, eu estou procurando uma solução daquelas tipodesigualdades, onde efetuamos uma estratégia para chegar no resultado, tipo uma daquelas que tu encontra no livro de combinatória do MOrgado(o problema das apostas).Mas valeu, se conseguir uma dessas me manda novamente por favor.AbraçoDouglas Oliveira Em 28 de janeiro de 2016 01:26, Marcelo Salhab Brogliato <msbro...@gmail.com> escreveu: Oi, Douglas, tudo bem? Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está provada sua desigualdade. Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 + 1/x). Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x) também será (exercício: prove essa afirmação). g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x) = ln(1 + 1/x) - (1/x) / (1 + 1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x) Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x. Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em 1/x, temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1. Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 + 1/x) = (1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0 para todo x (já que 1+1/x > 1). Abraços,Salhab 2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima <profdouglaso.del...@gmail.com>: Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade (1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural. Agradeço desde já. -- Esdras Muniz Mota Mestrando em Matemática Universidade Federal do Ceará
RE: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.
Erro? Bom no meu celular acho que saiu as fórmulas todas fora de ordem rs Em 28/01/2016 16:02, "Bruno Lira" <brunotorne...@hotmail.com> escreveu: > Primeiramente, tome a função logaritmântica f(x) = ln(x) cujo > > domínio é o conjuntos dos números reais maiores que ou > > igual a zero. Note que a função f é injetora. Portanto, > > para provarmos que: > > > n n+1 > > ( 1 + *1* ) < ( 1 + * 1 * ) > > ( n ) ( n+1 ) > > > basta provar que: > > >(n) ( n+1) > > ln( ( 1 + *1* ) ) < ln( ( 1 + * 1 *) ) > >( ( n ) ) ( ( n+1) ) . > > > De fato, temos que: > > >(n)( n+1) > > ln( ( 1 + *1* ) ) – ln( ( 1 +* 1 *) ) = > >( ( n ) )(( n + 1) ) > > >(n)(n+1) > > ln( ( *n** + 1 *) ) – ln( ( *n** + **2* ) ) = > >( (n) )( ( n + 1 )) > > >( 2n ) > > ln( (* n + 1 *) . *n+1* ) ; Das propriedades de logaritmo. > >( (n (n+2)) n+2 ) > > > Daí: > > >( n ) > > ln( ( *n^2 + 2**n** + 1 *) . *n+1* ) > >( (n^2 + 2n )n+2) > > > Como n^2 + 2n < n^2 + 2n + 1 e n+1 < n + 2 temos que: > > > n > > ( *n^2 + 2**n** + 1 *) . *n+1*<1 > > (n^2 + 2n) n+2 > > > E da injetividade da função f temos: > > >( n ) > > ln( ( *n^2 + 2**n** + 1 *) . *n+1* ) <ln(1)=0 > >( (n^2 + 2n )n+2) > > > Isto é: > > >(n)(n+1) > > ln( ( 1 + *1* ) ) – ln( ( 1 + *1 *) )<0 > >( ( n ) )( ( n+1 ) ) > > > Logo, > > > n n+1 > > ( 1 + *1* ) < ( 1 + *1 *) > > ( n ) ( n+1 ) > > > C.Q.D > > P.S.: Se tiver algum erro me avisem por favor. > -- > From: esdrasmunizm...@gmail.com > Date: Thu, 28 Jan 2016 12:18:03 -0300 > Subject: Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade. > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > L = ((1+1/(n+1))^(n+1))/(1+1/n)^n = ((1 - 1/(n+1)²)^n)((n+2)/(n+1)) > > Use que (1 - x)^n > 1 - nx, Para x \in (0, 1) > > L > (1 - n/(n+1)²)((n+2)/(n+1)) = ((n²+n+1)/(n²+2n+1))((n+2)/(n+1)) > = (n³+3n²+3n+2)/(n³+3n²+3n+1) > 1. > > > > Esse último termo é maior que 1. > > Em 28 de janeiro de 2016 09:41, Douglas Oliveira de Lima < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > > Opa Marcelo, muito obrigado mesmo, eu estou procurando uma solução > daquelas tipo > desigualdades, onde efetuamos uma estratégia para chegar no resultado, > tipo uma daquelas que tu encontra no livro de combinatória do MOrgado(o > problema das apostas). > Mas valeu, se conseguir uma dessas me manda novamente por favor. > Abraço > Douglas Oliveira > > Em 28 de janeiro de 2016 01:26, Marcelo Salhab Brogliato < > msbro...@gmail.com> escreveu: > > Oi, Douglas, tudo bem? > > Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está > provada sua desigualdade. > > Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 + > 1/x). Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x) > também será (exercício: prove essa afirmação). > > g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x) = ln(1 + 1/x) - (1/x) / (1 > + 1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x) > > Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x. > > Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em > 1/x, temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1. > > Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 + > 1/x) = (1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0 > para todo x (já que 1+1/x > 1). > > Abraços, > Salhab > > 2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima < > profdouglaso.del...@gmail.com>: > > Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade > (1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural. > > Agradeço desde já. > > > > > > > -- > Esdras Muniz Mota > Mestrando em Matemática > Universidade Federal do Ceará > > >
Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.
Oi, Douglas, tudo bem? Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está provada sua desigualdade. Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 + 1/x). Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x) também será (exercício: prove essa afirmação). g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x) = ln(1 + 1/x) - (1/x) / (1 + 1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x) Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x. Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em 1/x, temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1. Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 + 1/x) = (1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0 para todo x (já que 1+1/x > 1). Abraços, Salhab 2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com>: > Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade > (1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural. > > Agradeço desde já. > >
Re: [obm-l] ajuda(logaritmo)
n<0 ,logo n<1\(2-a) 2015-11-10 13:09 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com>: > Seja n um número natural > 1 e seja a um número > real positivo < 2. Se n = log(1/(2-a)) na base a. Podemos > afirmar que n < 1/(2-a)? > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. >
Re: [obm-l] Ajuda
Pra N tem raizes reais a^2 - 4a^2 + 24 < 0 a>2sqrt2 Podemos admitir a real, caso contrario, a equacao obviamente nao possui raízes reais. Devemos provar que nao existe raiz de a menor que 2sqrt2 Se f(X)=x^3-6x-6 Como f(2sqrt2).f(-oo)>0 f(X) tem um numero par de raizes entre ]-oo,2sqrt2] Ou seja, 0 ou 2 solucoes. Agora, como f(2sqrt2)f(2.03sqrt2)<0 temos uma ou 3 solucoes nesse intervalo. Obviamente temos uma solucao visto que a soma das solucoes e igual a 0. Chamando essa solucao de x3 X1+x2=-x3 X1.x2=6/x3 Entao para x1 e x2 nao serem reais temos que (x3)^2 -24/x3 < 0 => x3<24^(1/3) de fato, pois x3 esta entre 2Sqrt2 e 2.03sqrt2. Temos que x3 é a unica soluçao real da equacao e eh maior que 2sqrt2. Sent from my iPad > On Oct 14, 2015, at 07:57, marcone augusto araújo borges >wrote: > > Seja a um número real tal que a^3 = 6(a+1).Mostre que a equação > x^2 + ax+ a^2 - 6 = 0 não tem raízes reais. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda
so resolver a cubica para a e substituir na equação de 2o grau. 2015-10-14 7:57 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com>: > Seja a um número real tal que a^3 = 6(a+1).Mostre que a equação > x^2 + ax+ a^2 - 6 = 0 não tem raízes reais. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda - OBM 2014 nível universitário
Cara, faz tempo isso, mas fiz por volume, vc usa que o tetraedro de maior volume inscrito na esfera é o regular. Em 22 de fevereiro de 2015 22:26, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Acho que a culpa dessa expressao eh minha -- eu tenho essa mania de chamar funcoes afins de lineares, vem do ingles (linear functions). Linear em cada entrada quer dizer o seguinte: se voce fixar todas as entradas exceto uma, digamos, a_11=x, a funcao determinante seria f(x)=ax+b onde a e b dependem apenas das outras 8 entradas... Entao, fixadas as outras 8 entradas, a funcao f(x) serah maximizada em x=0 ou x=9 (bom, pode ser que a=0, entao qualquer valor de x daria no mesmo, mas voce nao perde nada em supor x=0 ou x=9). Entao nao eh que x TEM que ser 0 ou 9, eh que voce PODE supor x=0 ou x=9 para maximizar a funcao. Como isso vale para cada uma das 9 entradas... Melhorou? Abraco, Ralph. P.S.: Ou talvez, pense por contradicao: se det(A) fosse maximizado com alguma entrada NAO sendo 0 ou 9, voce poderia trocar esta entrada para 0 ou 9 e isto aumentaria (ou manteria) o valor do determinante, Entao HA uma escolha maximizante apenas com 0 ou 9. 2015-02-22 14:14 GMT-05:00 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Fala ai gente, Fiquei com uma dúvida no problema 2 da OBM-2014 nível universitário, primeira fase. Tentei resolver o problema, não consegui, quado fui olhar a resolução me perdi logo nas primeiras linhas, teria como alguém me dar uma ajuda? O problema é o seguinte: Considere as matrizes 3x3 cujas entradas são inteiros entre 0 e 9 (inclusive). Determine o maior determinante possível de uma tal matriz. A resolução começa assim: Seja A = (aij) a matriz. Como det(A) é linear em cada entrada, basta considerar aij = 0 ou aij = 9, de modo que A = 9B com B = (bij ) e bij = 0 ou 1. Não entendi o que ele quis dizer como linear em cada entrada. Teria como alguém me explicar melhor porque os valores só podem ser 9 ou 0? []'s João -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esdras Muniz Mota Mestrando em Matemática Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda - OBM 2014 nível universitário
Acho que a culpa dessa expressao eh minha -- eu tenho essa mania de chamar funcoes afins de lineares, vem do ingles (linear functions). Linear em cada entrada quer dizer o seguinte: se voce fixar todas as entradas exceto uma, digamos, a_11=x, a funcao determinante seria f(x)=ax+b onde a e b dependem apenas das outras 8 entradas... Entao, fixadas as outras 8 entradas, a funcao f(x) serah maximizada em x=0 ou x=9 (bom, pode ser que a=0, entao qualquer valor de x daria no mesmo, mas voce nao perde nada em supor x=0 ou x=9). Entao nao eh que x TEM que ser 0 ou 9, eh que voce PODE supor x=0 ou x=9 para maximizar a funcao. Como isso vale para cada uma das 9 entradas... Melhorou? Abraco, Ralph. P.S.: Ou talvez, pense por contradicao: se det(A) fosse maximizado com alguma entrada NAO sendo 0 ou 9, voce poderia trocar esta entrada para 0 ou 9 e isto aumentaria (ou manteria) o valor do determinante, Entao HA uma escolha maximizante apenas com 0 ou 9. 2015-02-22 14:14 GMT-05:00 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Fala ai gente, Fiquei com uma dúvida no problema 2 da OBM-2014 nível universitário, primeira fase. Tentei resolver o problema, não consegui, quado fui olhar a resolução me perdi logo nas primeiras linhas, teria como alguém me dar uma ajuda? O problema é o seguinte: Considere as matrizes 3x3 cujas entradas são inteiros entre 0 e 9 (inclusive). Determine o maior determinante possível de uma tal matriz. A resolução começa assim: Seja A = (aij) a matriz. Como det(A) é linear em cada entrada, basta considerar aij = 0 ou aij = 9, de modo que A = 9B com B = (bij ) e bij = 0 ou 1. Não entendi o que ele quis dizer como linear em cada entrada. Teria como alguém me explicar melhor porque os valores só podem ser 9 ou 0? []'s João -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] ajuda para atacar este problema
6° problema da OBMU, só percebi q α é irracional. Tava pensando que poderia ser feito dividindo o [0,1] como [0,1/N]; [1/N,2/N];...; [(N-1)/N,1] e mostrando que tem um elemento do X em cada parte. Em 28 de outubro de 2014 17:05, Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.com escreveu: Oi pessoal,estou sem ideias para este problema: Considere um número real α e constantes b 0 e γ ≥ 1 tais que para quaisquer p e q inteiros com q ≥ 1 vale |qα − p| ≥ b/qγ. Prove que existe uma constante C tal que, para todo inteiro N ≥ 1, o conjunto XN = {mα − ɭmα⌡, m ∈ Z, 0 ≤ m ≤ CNγ} é tal que, para todo x ∈ [0, 1] existe y ∈ XN com |x − y| 1/N. nota: ɭmα⌡ é a parte inteira de mα. Alguem tem alguma sugestao de como desenvolver uma bom raciocinio para ela? Como voces a atacariam? Abraços -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esdras Muniz Mota Graduando em Matemática Bacharelado Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] ajuda para atacar este problema
|qα − p| ≥ b/qγ |qa| +|p|=b/q^y |qa|=(|p|q^y-b)/q^y |ma|=(mN^y-b)/N^y xN==1-b/N^y pertence [0,1] y=1-b/N^y-1/N teremos |x-y|1/N 2014-10-28 17:05 GMT-02:00 Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.com: Oi pessoal,estou sem ideias para este problema: Considere um número real α e constantes b 0 e γ ≥ 1 tais que para quaisquer p e q inteiros com q ≥ 1 vale |qα − p| ≥ b/qγ. Prove que existe uma constante C tal que, para todo inteiro N ≥ 1, o conjunto XN = {mα − ɭmα⌡, m ∈ Z, 0 ≤ m ≤ CNγ} é tal que, para todo x ∈ [0, 1] existe y ∈ XN com |x − y| 1/N. nota: ɭmα⌡ é a parte inteira de mα. Alguem tem alguma sugestao de como desenvolver uma bom raciocinio para ela? Como voces a atacariam? Abraços -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda numa equação exponencial
Muito obrigado pela ajuda! Abraço! Luiz 2014-09-19 20:27 GMT-03:00 faraujoco...@yahoo.com.br: Retificando. Solução única igual a zero. Enviado via iPhone Em 19/09/2014, às 19:17, Luiz Antonio Rodrigues rodrigue...@gmail.com escreveu: Olá, pessoal! Peço desculpas por pedir ajuda num problema tão fácil, mas eu tentei de todos os modos e não consegui resolver esta equação: 8^x +18^x = 2.27^x O segundo membro é dois vezes vinte e sete elevado a x. Alguém pode me ajudar? Desde já agradeço! Abraço! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda numa equação exponencial
Por nada. Enviado via iPhone Em 20/09/2014, às 14:35, Luiz Antonio Rodrigues rodrigue...@gmail.com escreveu: Muito obrigado pela ajuda! Abraço! Luiz 2014-09-19 20:27 GMT-03:00 faraujoco...@yahoo.com.br: Retificando. Solução única igual a zero. Enviado via iPhone Em 19/09/2014, à s 19:17, Luiz Antonio Rodrigues rodrigue...@gmail.com escreveu: Olá, pessoal! Peço desculpas por pedir ajuda num problema tão fácil, mas eu tentei de todos os modos e não consegui resolver esta equação: 8^x +18^x = 2.27^x O segundo membro é dois vezes vinte e sete elevado a x. Alguém pode me ajudar? Desde já agradeço! Abraço! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e  acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda numa equação exponencial
Pense em dividir a eq por 8^x. Enviado via iPhone Em 19/09/2014, às 19:17, Luiz Antonio Rodrigues rodrigue...@gmail.com escreveu: Olá, pessoal! Peço desculpas por pedir ajuda num problema tão fácil, mas eu tentei de todos os modos e não consegui resolver esta equação: 8^x +18^x = 2.27^x O segundo membro é dois vezes vinte e sete elevado a x. Alguém pode me ajudar? Desde já agradeço! Abraço! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda numa equação exponencial
Decompondo, vem: 8^x +18^x = 2.27^x 2^(3x) + [3^(2x)].(2^x) = 2.[3^(3x)]. Dividindo cada membro por 2^(3x), vem: 1 + (3/2)^2x = 2.[(3/2)]^(2x). Se (3/2)^2x = y 1+y=2y 2y-y=1 y=1 Logo, (3/2)^2x = 1 = 2x = 0 = x = 0. Em 19 de setembro de 2014 19:17, Luiz Antonio Rodrigues rodrigue...@gmail.com escreveu: Olá, pessoal! Peço desculpas por pedir ajuda num problema tão fácil, mas eu tentei de todos os modos e não consegui resolver esta equação: 8^x +18^x = 2.27^x O segundo membro é dois vezes vinte e sete elevado a x. Alguém pode me ajudar? Desde já agradeço! Abraço! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira http://www.professorwaltertadeu.mat.br -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda numa equação exponencial
Pensando assim solução única igual a um. Enviado via iPhone Em 19/09/2014, às 19:17, Luiz Antonio Rodrigues rodrigue...@gmail.com escreveu: Olá, pessoal! Peço desculpas por pedir ajuda num problema tão fácil, mas eu tentei de todos os modos e não consegui resolver esta equação: 8^x +18^x = 2.27^x O segundo membro é dois vezes vinte e sete elevado a x. Alguém pode me ajudar? Desde já agradeço! Abraço! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda numa equação exponencial
Retificando. Solução única igual a zero. Enviado via iPhone Em 19/09/2014, às 19:17, Luiz Antonio Rodrigues rodrigue...@gmail.com escreveu: Olá, pessoal! Peço desculpas por pedir ajuda num problema tão fácil, mas eu tentei de todos os modos e não consegui resolver esta equação: 8^x +18^x = 2.27^x O segundo membro é dois vezes vinte e sete elevado a x. Alguém pode me ajudar? Desde já agradeço! Abraço! Luiz -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. Instrugues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em geometria(Ja foram resolvidas por inspeção usando trigonometria)
Apenas para esclarecer: uma solução usando trigonometria não é uma 'solução por inspeção' (o que é isto, afinal?) nem é uma solução 'além da geometria euclidiana' (ainda se está usando ferramentas geométricas, afinal!). O termo seria 'uma solução sintética', em contraste com uma solução analítica. Eu nem sempre gosto delas, pois não aparecem tão naturalmente quando são apontadas para um novato. Uma pessoa vê a solução e diz sorte que esses doidos não as colocam nos vestibulares!, haha! Porém, uma solução com contas às vezes é mais técnica - ficar olhando quais ângulos têm uma média legal é complicadinho, e nem sempre abrir tudo dá certo. Qualquer forma, um dos métodos que eu mais procuro usar é traçar a circunferência passando por A,B,C e fatiar ela em setores de 10 graus, e ir encaixando os elementos do problema ali. Logo eu vou tentar responder. Em 15 de maio de 2014 16:58, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Ola meus caros amigos, desenhando aqui pelo geogebra acabei criando uma bela questão de geometria, do qual consegui por inspecao resolve-la através de trigonometria pela lei dos senos, porem fiquei muito curioso para saber se existe alguma solução por geometria euclidiana plana, estarei tentando, mas vim aqui compartilhar com voces, se puderem agradeço desde ja.Um abraço do Douglas Oliveira. Problema: Seja um triângulo ABC com ângulos BAC=70 graus, ACB=30; dado um ponto interno P such that BAP=30 e BCP=10, encontrar o angulo ABP. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em geometria(Ja foram resolvidas por inspeção usando trigonometria)
E verdade!! Em 19 de maio de 2014 14:17, terence thirteen peterdirich...@gmail.comescreveu: Apenas para esclarecer: uma solução usando trigonometria não é uma 'solução por inspeção' (o que é isto, afinal?) nem é uma solução 'além da geometria euclidiana' (ainda se está usando ferramentas geométricas, afinal!). O termo seria 'uma solução sintética', em contraste com uma solução analítica. Eu nem sempre gosto delas, pois não aparecem tão naturalmente quando são apontadas para um novato. Uma pessoa vê a solução e diz sorte que esses doidos não as colocam nos vestibulares!, haha! Porém, uma solução com contas às vezes é mais técnica - ficar olhando quais ângulos têm uma média legal é complicadinho, e nem sempre abrir tudo dá certo. Qualquer forma, um dos métodos que eu mais procuro usar é traçar a circunferência passando por A,B,C e fatiar ela em setores de 10 graus, e ir encaixando os elementos do problema ali. Logo eu vou tentar responder. Em 15 de maio de 2014 16:58, Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Ola meus caros amigos, desenhando aqui pelo geogebra acabei criando uma bela questão de geometria, do qual consegui por inspecao resolve-la através de trigonometria pela lei dos senos, porem fiquei muito curioso para saber se existe alguma solução por geometria euclidiana plana, estarei tentando, mas vim aqui compartilhar com voces, se puderem agradeço desde ja.Um abraço do Douglas Oliveira. Problema: Seja um triângulo ABC com ângulos BAC=70 graus, ACB=30; dado um ponto interno P such that BAP=30 e BCP=10, encontrar o angulo ABP. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em geometria(Ja foram resolvidas por inspeção usando trigonometria)
Seja Q o ponto de AC tal que PQ=QA. Seja T o ponto de AB tal que APT=20. Analizando o triângulo ATP e o ponto Q: ângulo externo em T = 50, angulo AQP = 100 (= 2 x 50), e QA=QP, conclusão Q é circuncentro de ATP. Então QT=QA=QP (circunradio). Então Triângulo TQP é equilátero, então TP=TQ. COm isso tudo, Os triângulos TPC e TQC são idênticos, portanto PCT=10. E como o ângulo PCT tambem é 10 e además TC=BC (pois BTC=80, esquecia isso). Ouseja os triângulos BCP e TCP são idênticos, por tanto PB=PT e então x=50 Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Thu, 15 May 2014 16:58:44 -0300 Asunto : [obm-l] Ajuda em geometria(Ja foram resolvidas por inspeção usando trigonometria) Ola meus caros amigos, desenhando aqui pelo geogebra acabei criando uma bela questão de geometria, do qual consegui por inspecao resolve-la através de trigonometria pela lei dos senos, porem fiquei muito curioso para saber se existe alguma solução por geometria euclidiana plana, estarei tentando, mas vim aqui compartilhar com voces, se puderem agradeço desde ja.Um abraço do Douglas Oliveira. Problema: Seja um triângulo ABC com ângulos BAC=70 graus, ACB=30; dado um ponto interno P such that BAP=30 e BCP=10, encontrar o angulo ABP. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em recorrência!!
Obrigado meu camarada vou ler com atenção!! Em 14.12.2013 12:23, Rodrigo Renji escreveu: Faz f(n)+2= g(n+1)/g(n) = 1/ (f(n)+2) = g(n) / g(n+1) , (que vamos usar ) daí f(n)-1 =g(n+1)/g(n) -3 = [g(n+1) -3g(n) ] / g(n) e f(n+1) =g(n+2)/g(n+1) -2 = [g(n+2)- 2g(n+1) ] / g(n+1) por isso substituindo tudo em f(n+1)=(f(n)-1)/(f(n)+2) , segue que [g(n+2)- 2g(n+1) ] / g(n+1) = [g(n+1) -3g(n) ] / g(n) . g(n) / g(n+1) cancelando todas coisas canceláveis, segue que g(n+2)- 2g(n+1) = g(n+1) -3g(n) o que implica g(n+2)= 3 g(n+1)-3g(n) que é uma recorrência de segunda ordem com solução conhecida , depois só ajustar as condições iniciais eu tenho um texto (ruim) falando sobre caso geral disso, se quiser dar uma olhada https://www.dropbox.com/s/0h6sfpe6p33vu76/equacoesdiferencas.pdf [1] lá pela página 35 . Como transforma recorrência do tipo f(n+p)= (af(n)+ b)/ (c f(n) +d) , caindo em uma outra recorrência que teoricamente sabemos resolver Em 14 de dezembro de 2013 08:56, douglas.olive...@grupoolimpo.com.br escreveu: Olá amigos preciso de uma ajudinha para resolver um problema estava muito interessado em resolver a seguinte recorrência f(n+1)=(f(n)-1)/(f(n)+2) com f(1)=3 para n natural Qualquer ajuda será bem vinda. Att. Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. Links: -- [1] https://www.dropbox.com/s/0h6sfpe6p33vu76/equacoesdiferencas.pdf -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em recorrência!!
Valeu! qualquer coisa só falar :) ! Em 15 de dezembro de 2013 07:42, douglas.olive...@grupoolimpo.com.brescreveu: Obrigado meu camarada vou ler com atenção!! Em 14.12.2013 12:23, Rodrigo Renji escreveu: Faz f(n)+2= g(n+1)/g(n) = 1/ (f(n)+2) = g(n) / g(n+1) , (que vamos usar ) daí f(n)-1 =g(n+1)/g(n) -3 = [g(n+1) -3g(n) ] / g(n) e f(n+1) =g(n+2)/g(n+1) -2 = [g(n+2)- 2g(n+1) ] / g(n+1) por isso substituindo tudo em f(n+1)=(f(n)-1)/(f(n)+2) , segue que [g(n+2)- 2g(n+1) ] / g(n+1) =[g(n+1) -3g(n) ] / g(n) . g(n) / g(n+1) cancelando todas coisas canceláveis, segue que g(n+2)- 2g(n+1) = g(n+1) -3g(n) o que implica g(n+2)= 3 g(n+1)-3g(n) que é uma recorrência de segunda ordem com solução conhecida , depois só ajustar as condições iniciais eu tenho um texto (ruim) falando sobre caso geral disso, se quiser dar uma olhada https://www.dropbox.com/s/0h6sfpe6p33vu76/equacoesdiferencas.pdf lá pela página 35 . Como transforma recorrência do tipo f(n+p)= (af(n)+ b)/ (c f(n) +d) , caindo em uma outra recorrência que teoricamente sabemos resolver Em 14 de dezembro de 2013 08:56, douglas.olive...@grupoolimpo.com.brescreveu: Olá amigos preciso de uma ajudinha para resolver um problema estava muito interessado em resolver a seguinte recorrência f(n+1)=(f(n)-1)/(f(n)+2) com f(1)=3 para n natural Qualquer ajuda será bem vinda. Att. Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em recorrência!!
Faz f(n)+2= g(n+1)/g(n) = 1/ (f(n)+2) = g(n) / g(n+1) , (que vamos usar ) daí f(n)-1 =g(n+1)/g(n) -3 = [g(n+1) -3g(n) ] / g(n) e f(n+1) =g(n+2)/g(n+1) -2 = [g(n+2)- 2g(n+1) ] / g(n+1) por isso substituindo tudo em f(n+1)=(f(n)-1)/(f(n)+2) , segue que [g(n+2)- 2g(n+1) ] / g(n+1) =[g(n+1) -3g(n) ] / g(n) . g(n) / g(n+1) cancelando todas coisas canceláveis, segue que g(n+2)- 2g(n+1) = g(n+1) -3g(n) o que implica g(n+2)= 3 g(n+1)-3g(n) que é uma recorrência de segunda ordem com solução conhecida , depois só ajustar as condições iniciais eu tenho um texto (ruim) falando sobre caso geral disso, se quiser dar uma olhada https://www.dropbox.com/s/0h6sfpe6p33vu76/equacoesdiferencas.pdf lá pela página 35 . Como transforma recorrência do tipo f(n+p)= (af(n)+ b)/ (c f(n) +d) , caindo em uma outra recorrência que teoricamente sabemos resolver Em 14 de dezembro de 2013 08:56, douglas.olive...@grupoolimpo.com.brescreveu: Olá amigos preciso de uma ajudinha para resolver um problema estava muito interessado em resolver a seguinte recorrência f(n+1)=(f(n)-1)/(f(n)+2) com f(1)=3 para n natural Qualquer ajuda será bem vinda. Att. Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em probabilidade
P(x = 10 ou x = 11 ou x = 12) = C12, 10 . (0,15)2 . (0,85)10 + C12, 11 . (0,15) . (0,85)11 + C12, 12 . (0,85)12 P(x = 10 ou x = 11 ou x = 12) = 0,292358 + 0,301218 + 0,142242 = 0,735818 = 73,5818% Em 24 de setembro de 2013 14:37, Marcelo de Moura Costa mat.mo...@gmail.com escreveu: Embora tenha feito, não acho a alternativa do gabarito. Agradeceria uma ajuda. Um estudo publicado este ano afirma que a probabilidade de ocorrer uma reação alérgica decorrente de um tipo de vacina A em um adulto é de 15%. A pesquisa foi publicada online por uma revista especialista na área. Considere agora, que um grupo de 12 adultos recebeu uma dose da vacina A. A probabilidade de que pelo menos 5/6 dos adultos desse grupo não apresentem reação alérgica é de aproximadamente a) 73,6% b) 74,1% c) 75,8% d) 76,5% e) 77,3% Grato pelo retorno. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Desculpe,mas por que x/y é constante? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:22:32 -0300 Seja a elipse centrada na origem x²/a² + y²/b² = 1 Derivando temos 2xdx/a² + 2ydy/b² = 0, dy/dx = (-x/y) (b²/a²) Como a reta diametral é da forma y = mx, x/y é constante - dy/dx = constante - retas paralelas []s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Ajudou bastante. From: profmar...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 03:04:48 + Se não houver imperiosidade de usar Geometria Analítica, pode-se empregar, tão somente, a propriedade reflexiva da elipse, segundo a qual: uma reta tangente a uma elipse por um de seus pontos forma ângulos congruentes com os raios vetores referentes a tal ponto.Desse modo, sejam F e F' os focos da elipse, O seu centro e AB um diâmetro qualquer (A e B pertencentes à cônica). Como O é um centro de simetria, AF = BF' e AF' = BF. Portanto, AFBF' é um paralelogramo, com diagonais encontrando-se em O. Das congruências entre os triângulos AFO e BF'O, bem como entre AF'O e BOF, fica fácil ver, usando a propriedade reflexiva, que as retas tangentes formam, por exemplo, alternos internos de mesma medida, relativamente à reta transversal AOB. Logo, devem ser paralelas.Obviamente, convém acompanhar a resolução usando uma figura.Espero ter ajudado. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
O y/x é constante para os dois pontos de intersecção. Repare que temos infinitos m que satisfazem y=mx, mas cada diametro da elipse é formado por uma unica reta (um unico m) que gera dois pontos de intereeccao distintos, porem nesses dois pontos o y/x é o mesmo From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 12:07:03 + Desculpe,mas por que x/y é constante? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:22:32 -0300 Seja a elipse centrada na origem x²/a² + y²/b² = 1 Derivando temos 2xdx/a² + 2ydy/b² = 0, dy/dx = (-x/y) (b²/a²) Como a reta diametral é da forma y = mx, x/y é constante - dy/dx = constante - retas paralelas []s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Levando em conta que os pontos de intersecção são da forma (x,y) e (-x,-y),poderíamosmostrar,usando a fórmula de distância de um ponto a uma reta,que as distâncias de cada um deles às retas tangentes(opostas)são iguais e dai concluir que essas retas tangentes são paralelas? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 13:18:17 -0300 O y/x é constante para os dois pontos de intersecção. Repare que temos infinitos m que satisfazem y=mx, mas cada diametro da elipse é formado por uma unica reta (um unico m) que gera dois pontos de intereeccao distintos, porem nesses dois pontos o y/x é o mesmo From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 12:07:03 + Desculpe,mas por que x/y é constante? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:22:32 -0300 Seja a elipse centrada na origem x²/a² + y²/b² = 1 Derivando temos 2xdx/a² + 2ydy/b² = 0, dy/dx = (-x/y) (b²/a²) Como a reta diametral é da forma y = mx, x/y é constante - dy/dx = constante - retas paralelas []s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Pode mas não é necessário, Como Maldonado mostrou, ao longo do diâmetro ( de equação y/x=m) y/x é constante, portanto este quociente é o mesmonas extremidades do diâmetro. De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 12 de Setembro de 2013 15:07 Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Levando em conta que os pontos de intersecção são da forma (x,y) e (-x,-y),poderíamos mostrar,usando a fórmula de distância de um ponto a uma reta,que as distâncias de cada um deles às retas tangentes(opostas)são iguais e dai concluir que essas retas tangentes são paralelas? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 13:18:17 -0300 O y/x é constante para os dois pontos de intersecção. Repare que temos infinitos m que satisfazem y=mx, mas cada diametro da elipse é formado por uma unica reta (um unico m) que gera dois pontos de intereeccao distintos, porem nesses dois pontos o y/x é o mesmo From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 12:07:03 + Desculpe,mas por que x/y é constante? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:22:32 -0300 Seja a elipse centrada na origem x²/a² + y²/b² = 1 Derivando temos 2xdx/a² + 2ydy/b² = 0, dy/dx = (-x/y) (b²/a²) Como a reta diametral é da forma y = mx, x/y é constante - dy/dx = constante - retas paralelas []s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Eu nao vejo porque isso estaria certo, se tivermos duas retas, com um ponto em cada uma, tal que a distancia de cada um deles à reta oposta é a mesma, não quer dizer que as retas sejam paralelas From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 18:07:49 + Levando em conta que os pontos de intersecção são da forma (x,y) e (-x,-y),poderíamosmostrar,usando a fórmula de distância de um ponto a uma reta,que as distâncias de cada um deles às retas tangentes(opostas)são iguais e dai concluir que essas retas tangentes são paralelas? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 13:18:17 -0300 O y/x é constante para os dois pontos de intersecção. Repare que temos infinitos m que satisfazem y=mx, mas cada diametro da elipse é formado por uma unica reta (um unico m) que gera dois pontos de intereeccao distintos, porem nesses dois pontos o y/x é o mesmo From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 12:07:03 + Desculpe,mas por que x/y é constante? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:22:32 -0300 Seja a elipse centrada na origem x²/a² + y²/b² = 1 Derivando temos 2xdx/a² + 2ydy/b² = 0, dy/dx = (-x/y) (b²/a²) Como a reta diametral é da forma y = mx, x/y é constante - dy/dx = constante - retas paralelas []s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Claro que está correto; Seja P1 em uma reta e o pé da perpenciular à outra N1, P2 na outra reta com N2 pé da perpencidular à ptimeira reta. P1 N1 P2 N2 representa um retângulo! []'s De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 12 de Setembro de 2013 19:33 Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Eu nao vejo porque isso estaria certo, se tivermos duas retas, com um ponto em cada uma, tal que a distancia de cada um deles à reta oposta é a mesma, não quer dizer que as retas sejam paralelas From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 18:07:49 + Levando em conta que os pontos de intersecção são da forma (x,y) e (-x,-y),poderíamos mostrar,usando a fórmula de distância de um ponto a uma reta,que as distâncias de cada um deles às retas tangentes(opostas)são iguais e dai concluir que essas retas tangentes são paralelas? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 13:18:17 -0300 O y/x é constante para os dois pontos de intersecção. Repare que temos infinitos m que satisfazem y=mx, mas cada diametro da elipse é formado por uma unica reta (um unico m) que gera dois pontos de intereeccao distintos, porem nesses dois pontos o y/x é o mesmo From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 12:07:03 + Desculpe,mas por que x/y é constante? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:22:32 -0300 Seja a elipse centrada na origem x²/a² + y²/b² = 1 Derivando temos 2xdx/a² + 2ydy/b² = 0, dy/dx = (-x/y) (b²/a²) Como a reta diametral é da forma y = mx, x/y é constante - dy/dx = constante - retas paralelas []s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Sem dúvida uma solução extremamente elegante. Parabéns! De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 12 de Setembro de 2013 11:58 Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Ajudou bastante. From: profmar...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 03:04:48 + Se não houver imperiosidade de usar Geometria Analítica, pode-se empregar, tão somente, a propriedade reflexiva da elipse, segundo a qual: uma reta tangente a uma elipse por um de seus pontos forma ângulos congruentes com os raios vetores referentes a tal ponto. Desse modo, sejam F e F' os focos da elipse, O seu centro e AB um diâmetro qualquer (A e B pertencentes à cônica). Como O é um centro de simetria, AF = BF' e AF' = BF. Portanto, AFBF' é um paralelogramo, com diagonais encontrando-se em O. Das congruências entre os triângulos AFO e BF'O, bem como entre AF'O e BOF, fica fácil ver, usando a propriedade reflexiva, que as retas tangentes formam, por exemplo, alternos internos de mesma medida, relativamente à reta transversal AOB. Logo, devem ser paralelas. Obviamente, convém acompanhar a resolução usando uma figura. Espero ter ajudado. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Se não houver imperiosidade de usar Geometria Analítica, pode-se empregar, tão somente, a propriedade reflexiva da elipse, segundo a qual: uma reta tangente a uma elipse por um de seus pontos forma ângulos congruentes com os raios vetores referentes a tal ponto.Desse modo, sejam F e F' os focos da elipse, O seu centro e AB um diâmetro qualquer (A e B pertencentes à cônica). Como O é um centro de simetria, AF = BF' e AF' = BF. Portanto, AFBF' é um paralelogramo, com diagonais encontrando-se em O. Das congruências entre os triângulos AFO e BF'O, bem como entre AF'O e BOF, fica fácil ver, usando a propriedade reflexiva, que as retas tangentes formam, por exemplo, alternos internos de mesma medida, relativamente à reta transversal AOB. Logo, devem ser paralelas.Obviamente, convém acompanhar a resolução usando uma figura.Espero ter ajudado. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Seja a elipse centrada na origem x²/a² + y²/b² = 1 Derivando temos 2xdx/a² + 2ydy/b² = 0, dy/dx = (-x/y) (b²/a²) Como a reta diametral é da forma y = mx, x/y é constante - dy/dx = constante - retas paralelas []s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em geometria
Mas afinal vc resolveu ou não!? - Original Message - From: marcone augusto araújo borges To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, September 08, 2013 11:12 PM Subject: RE: [obm-l] Ajuda em geometria Eu vi essas coisas mas tentei novamente e não consegui.Obrigado. -- From: ilhadepaqu...@bol.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Ajuda em geometria Date: Sun, 8 Sep 2013 12:39:21 -0300 Marcone, se mostrarmos que os triângulos EDF e BEF são isósceles teremos que EF=FD e EF=BF, certo? Observe que são semelhantes os seguintes triângulos: ACE ~BCE e principalmente semelhantes ao triângulo EC(ponto de interseção reta perpendicular com AC chamarei de G), com isto vc prova que aqueles triangulos são isósceles e BF=DF, abraços Hermann - Original Message - From: marcone augusto araújo borges To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, September 08, 2013 11:28 AM Subject: [obm-l] Ajuda em geometria Os arcos AB e CD de um circulo são perpendiculares em E,ponto situado no interior do circulo. A reta perpendicular a AC por E intersecta BD em F.Mostre que F é ponto médio de BD. Agradeço por ajuda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Ajuda em geometria
Não. From: ilhadepaqu...@bol.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Ajuda em geometria Date: Mon, 9 Sep 2013 09:05:03 -0300 Mas afinal vc resolveu ou não!? - Original Message - From: marcone augusto araújo borges To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, September 08, 2013 11:12 PM Subject: RE: [obm-l] Ajuda em geometria Eu vi essas coisas mas tentei novamente e não consegui.Obrigado. From: ilhadepaqu...@bol.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Ajuda em geometria Date: Sun, 8 Sep 2013 12:39:21 -0300 Marcone, se mostrarmos que os triângulos EDF e BEF são isósceles teremos que EF=FD e EF=BF, certo? Observe que são semelhantes os seguintes triângulos: ACE ~BCE e principalmente semelhantes ao triângulo EC(ponto de interseção reta perpendicular com AC chamarei de G), com isto vc prova que aqueles triangulos são isósceles e BF=DF, abraços Hermann - Original Message - From: marcone augusto araújo borges To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, September 08, 2013 11:28 AM Subject: [obm-l] Ajuda em geometria Os arcos AB e CD de um circulo são perpendiculares em E,ponto situado no interior do circulo. A reta perpendicular a AC por E intersecta BD em F.Mostre que F é ponto médio de BD. Agradeço por ajuda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em geometria
Como eu não sei postar figura nesse fórum vou te enviar por email, ok!? abraços Hermann - Original Message - From: marcone augusto araújo borges To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, September 09, 2013 10:30 AM Subject: RE: [obm-l] Ajuda em geometria Não. -- From: ilhadepaqu...@bol.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Ajuda em geometria Date: Mon, 9 Sep 2013 09:05:03 -0300 Mas afinal vc resolveu ou não!? - Original Message - From: marcone augusto araújo borges To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, September 08, 2013 11:12 PM Subject: RE: [obm-l] Ajuda em geometria Eu vi essas coisas mas tentei novamente e não consegui.Obrigado. From: ilhadepaqu...@bol.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Ajuda em geometria Date: Sun, 8 Sep 2013 12:39:21 -0300 Marcone, se mostrarmos que os triângulos EDF e BEF são isósceles teremos que EF=FD e EF=BF, certo? Observe que são semelhantes os seguintes triângulos: ACE ~BCE e principalmente semelhantes ao triângulo EC(ponto de interseção reta perpendicular com AC chamarei de G), com isto vc prova que aqueles triangulos são isósceles e BF=DF, abraços Hermann - Original Message - From: marcone augusto araújo borges To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, September 08, 2013 11:28 AM Subject: [obm-l] Ajuda em geometria Os arcos AB e CD de um circulo são perpendiculares em E,ponto situado no interior do circulo. A reta perpendicular a AC por E intersecta BD em F.Mostre que F é ponto médio de BD. Agradeço por ajuda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em geometria
Se puder enviar para o meu e-mail também, agradeço muito! Em 9 de setembro de 2013 11:00, Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br escreveu: ** Como eu não sei postar figura nesse fórum vou te enviar por email, ok!? abraços Hermann - Original Message - *From:* marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Monday, September 09, 2013 10:30 AM *Subject:* RE: [obm-l] Ajuda em geometria Não. -- From: ilhadepaqu...@bol.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Ajuda em geometria Date: Mon, 9 Sep 2013 09:05:03 -0300 Mas afinal vc resolveu ou não!? - Original Message - *From:* marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Sunday, September 08, 2013 11:12 PM *Subject:* RE: [obm-l] Ajuda em geometria Eu vi essas coisas mas tentei novamente e não consegui.Obrigado. -- From: ilhadepaqu...@bol.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Ajuda em geometria Date: Sun, 8 Sep 2013 12:39:21 -0300 Marcone, se mostrarmos que os triângulos EDF e BEF são isósceles teremos que EF=FD e EF=BF, certo? Observe que são semelhantes os seguintes triângulos: ACE ~BCE e principalmente semelhantes ao triângulo EC(ponto de interseção reta perpendicular com AC chamarei de G), com isto vc prova que aqueles triangulos são isósceles e BF=DF, abraços Hermann - Original Message - *From:* marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Sunday, September 08, 2013 11:28 AM *Subject:* [obm-l] Ajuda em geometria Os arcos AB e CD de um circulo são perpendiculares em E,ponto situado no interior do circulo. A reta perpendicular a AC por E intersecta BD em F.Mostre que F é ponto médio de BD. Agradeço por ajuda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em Geometria
Muito obrigado, domingos! Bela solução! O teorema da bissetriz interna garante o resultado, como você mostrou. Abraço, Vanderlei Em 7 de setembro de 2013 05:42, domingosromua...@gmail.com escreveu: Vanderlei, suponha que a retas BE e CD se encontrem em H. Os triangulos BGF e DGH são semelhantes, assim como HDE e HCB. Assim, GH/GB=HD/BF e HD/DE=HC/CB. Como DE=BF, pode-se concluir que GH/GB = CH/CB. O que isto implica para a bissetriz do angulo C no triangulo HCB? Abraço, Domingos Sent from Windows Mail *From:* Vanderlei Nemitz *Sent:* Saturday, September 7, 2013 8:31 AM *To:* obm-l@mat.puc-rio.br Pessoal, estou precisando em uma ajuda no seguinte problema: *Em um paralelogramo ABCD, os pontos E e F, pertencentes respectivamente aos lados AD e AB, são tais que DE = BF. Se BE e DF se intersectam no ponto G, mostre que CG é bissetriz do ângulo BCD.* Obrigado, Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em geometria
Marcone, se mostrarmos que os triângulos EDF e BEF são isósceles teremos que EF=FD e EF=BF, certo? Observe que são semelhantes os seguintes triângulos: ACE ~BCE e principalmente semelhantes ao triângulo EC(ponto de interseção reta perpendicular com AC chamarei de G), com isto vc prova que aqueles triangulos são isósceles e BF=DF, abraços Hermann - Original Message - From: marcone augusto araújo borges To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, September 08, 2013 11:28 AM Subject: [obm-l] Ajuda em geometria Os arcos AB e CD de um circulo são perpendiculares em E,ponto situado no interior do circulo. A reta perpendicular a AC por E intersecta BD em F.Mostre que F é ponto médio de BD. Agradeço por ajuda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Ajuda em geometria
Eu vi essas coisas mas tentei novamente e não consegui.Obrigado. From: ilhadepaqu...@bol.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Ajuda em geometria Date: Sun, 8 Sep 2013 12:39:21 -0300 Marcone, se mostrarmos que os triângulos EDF e BEF são isósceles teremos que EF=FD e EF=BF, certo? Observe que são semelhantes os seguintes triângulos: ACE ~BCE e principalmente semelhantes ao triângulo EC(ponto de interseção reta perpendicular com AC chamarei de G), com isto vc prova que aqueles triangulos são isósceles e BF=DF, abraços Hermann - Original Message - From: marcone augusto araújo borges To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, September 08, 2013 11:28 AM Subject: [obm-l] Ajuda em geometria Os arcos AB e CD de um circulo são perpendiculares em E,ponto situado no interior do circulo. A reta perpendicular a AC por E intersecta BD em F.Mostre que F é ponto médio de BD. Agradeço por ajuda. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em Geometria
Vanderlei, suponha que a retas BE e CD se encontrem em H. Os triangulos BGF e DGH são semelhantes, assim como HDE e HCB. Assim, GH/GB=HD/BF e HD/DE=HC/CB. Como DE=BF, pode-se concluir que GH/GB = CH/CB. O que isto implica para a bissetriz do angulo C no triangulo HCB? Abraço, Domingos Sent from Windows Mail From: Vanderlei Nemitz Sent: Saturday, September 7, 2013 8:31 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Pessoal, estou precisando em uma ajuda no seguinte problema: Em um paralelogramo ABCD, os pontos E e F, pertencentes respectivamente aos lados AD e AB, são tais que DE = BF. Se BE e DF se intersectam no ponto G, mostre que CG é bissetriz do ângulo BCD. Obrigado, Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda em geometria analítica
É bem fácil fazer uma rotação usando auto valor e auto vetor, mas pode também fazer o seguinte: Considere a equação geral Axˆ2+Bxy+Cyˆ2+Dx+Ey+f=0 fazendo uma rotação de z graus a tg(2z)=B/(A-C), assim na sua equação ficaria x=x´cos(z)-y´sen(z) , e y=x´sen(z)+y´cos(z) , fazendo essa substituição o termo xy sumiria. tg(2z)=4/3 ai sim. OBS: Mesmo assim ainda prefiro usar auto valor e auto vetor ai vai um link pra vc ler que pode muito te ajudar https://www.dropbox.com/s/jj3xq0hjv2z39zp/gaalt0.pdf?m , ai vc le a parte de diagonalização é bem legal , e aliás muito didático. Valeu um abraço do Douglas Oliveira Em 27.08.2013 09:21, marcone augusto araújo borges escreveu: Faça uma rotação conveniente para eliminar o termo em xy na equação 4x^2 + y^2 + 4xy + x - 2y = 0 e determine o foco,o vértice e a equação da reta diretriz em relação ao sistema xoy Eu agradeço muito. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda num problema
2013/8/12 Marcelo de Moura Costa mat.mo...@gmail.com Gostaria de que alguém me orientasse nesse problema, mas é para atender alunos da 9ºano, pois é do Colégio Naval. Veja que(3 + 2*raiz(2)) e (7 + 5*raiz(2)) são ambos potências do mesmo número (irracional). -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] ajuda em exercício de geometria
Perfeito Marcos.Também suspeitava de algum erro no enunciado,e descobri qual é agorinha tendo acesso a questao original. A diferença é que a igualdade é definida como 2BD=2DE*=EC* Consegue fazer a construção agora? =D Em 27 de julho de 2013 11:54, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.comescreveu: Acho que dá pra provar que não existem pontos D e E pertencentes à BC e que satisfaçam as outras condições do enunciado. i) supondo que D e E pertencem ao interior do segmento de reta BC. Já que BD = DE = EC e a altura desde o vértice A até estas bases é a mesma, as áreas dos triângulos ABD, ADE e AEC são iguais. Sabemos que a área de um triângulo qualquer é igual a seu semi-perímetro multiplicado pelo raio do círculo inscrito. Pelo enunciado, os raios de todos os círculos inscritos são iguais. Logo o semi-perímetro destes três triângulos são também iguais. Assim, devemos ter: AB = AE e AD = AC. Seja alpha o ângulo ABD e beta o ângulo ACE. Como os triângulos ABE e ACD são isósceles, temos: AED = alpha e ADE = beta. Portanto: DAE = 180 - (alpha + beta). Mas, agora, vamos olhar pra soma dos ângulos internos de ABC: ABC + ACB + BAD + DAE + EAC = alpha + beta + (180 - alpha - beta) + BAD + EAC = 180 + BAD + EAC 180, já que, por construção, BAD e EAC são positivos. Isso nos mostra que, pelo menos um dos pontos (D ou E) deve estar fora do interior do segmento BC. ii) supondo que D esteja à esquerda de B. Como BD = DE e já que E não pode coincidir com B, devemos ter E à esquerda de D. Mas, claramente, teríamos EC 2 . BD. Absurdo pois EC = BD. iii) supondo que D esteja à direita de C. Como BD = DE e já que E não pode coincidir com B, devemos ter E à direita de D. Mas, claramente, teríamos EC DE. Absurdo pois EC = DE. Por isso que eu acredito ter algo errado no enunciado. Em 26 de julho de 2013 20:19, Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.com escreveu: Pelo que eu entendi da questão,sim. Saudações Em 26 de julho de 2013 17:00, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.comescreveu: Então o problema está dizendo que os segmentos de reta BD, DE e EC são iguais mesmo? Brigado. Em 26 de julho de 2013 15:47, Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.com escreveu: pois é,está exatamente assim.Também achei meio estranho,mas a condição segundo a questão é válida. Em 26 de julho de 2013 14:12, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com escreveu: Tem certeza dessa condição: 2BD=2DE=2EC? Achei meio estranho colocar o fator dois em todos os membros. Em 24 de julho de 2013 21:25, Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.com escreveu: Oi pessoal,será que alguém consegue me dar uma luz nessa questão de geometria? Seja ABC um triângulo.Sejam D e E pontos no lado BC tal que 2BD=2DE=2EC (onde BD,DE e EC são retas).Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,ADE e AEC tem o mesmo raio,calcule o seno do ângulo ACB. Saudações Bruno -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] ajuda em exercício de geometria
Beleza. Vou supor que D e E pertencem ao interior do segmento BC. Como 2 BD = 2 DE = EC (e lembrando que as áreas dos triângulos formados quando traçamos AD e AE são proporcionais às razões de suas bases (já que têm a mesma altura)), podemos escrever: i) S_ABD = S_ADE (S_XYZ é a área do triângulo de vértices X, Y e Z). Assim, teremos, necessariamente: AB = AE = l (isso vale porque o enunciado afirma que os raios dos círculos inscritos a todos os triângulos é o mesmo e S = p . r, onde p é o semi-perímetro de um triângulo). ii) S_AEC = 2 . S_AED. Vamos chamar AC de b e AD de m (também estou considerando BD = DE = 2x e EC = x). Usando pensamento semelhante a i), podemos escrever o seguinte sobre os semi-perímetros: b + l + 2x = 2 (x + l + m) - m = (b - l)/2. Vamos usar Stewart agora: I) No triângulo ABE, sendo AD a ceviana: l^2 / (2x . x) - (b - l)^2 / (4.x.x) + l^2 / (2x . x) - 4l^2 - (b - l)^2 = 4x^2 (I) II) No triângulo ADC, sendo AE a ceviana: (b - l)^2 / (4 . 3x . x) - l^2 / (x . 2x) + b^2 / (3x . 2x) - (b - l)^2 - 6l^2 + 2b^2 = 12x^2 (II) Podemos fazer, agora, (II) - 3. (I): - 12l^2 + 3(b - l)^2 + (b - l)^2 - 6l^2 + 2b^2 = 0 - 4(b - l)^2 - 8bl - 14l^2 = 0 - 3b^2 - 4bl - 7l^2 = 0. As duas soluções para esta equação são b = 7l / 3 ou b = - l. Geometricamente falando, apenas a primeira tem sentido. Podemos obter x como função de l também. Basta substituir em (I): 4x^2 = 4l^2 - (7l / 3 - l)^2 = 20l^2 / 9 - x = l sqrt(5) / 3. Aplicando lei dos co-senos no triângulo AEC, teremos (alpha é o ângulo cujo seno queremos calcular): l^2 = b^2 + 4x^2 - 4bx . cos(alpha) - l^2 = 49l^2 / 9 + 20l^2 / 9 - 4 . 7 . sqrt(5) l^2 . cos(alpha) / 9 - 9 = 69 - 28 . sqrt(5) . cos(alpha) - cos(alpha) = 3 . sqrt(5) / 7. Assim, alpha pertence ao primeiro quadrante (é menor que 90 graus) e seu seno vale sqrt(1 - 45 / 49) = 2/7. Em 30 de julho de 2013 21:51, Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.comescreveu: Perfeito Marcos.Também suspeitava de algum erro no enunciado,e descobri qual é agorinha tendo acesso a questao original. A diferença é que a igualdade é definida como 2BD=2DE*=EC* Consegue fazer a construção agora? =D Em 27 de julho de 2013 11:54, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.comescreveu: Acho que dá pra provar que não existem pontos D e E pertencentes à BC e que satisfaçam as outras condições do enunciado. i) supondo que D e E pertencem ao interior do segmento de reta BC. Já que BD = DE = EC e a altura desde o vértice A até estas bases é a mesma, as áreas dos triângulos ABD, ADE e AEC são iguais. Sabemos que a área de um triângulo qualquer é igual a seu semi-perímetro multiplicado pelo raio do círculo inscrito. Pelo enunciado, os raios de todos os círculos inscritos são iguais. Logo o semi-perímetro destes três triângulos são também iguais. Assim, devemos ter: AB = AE e AD = AC. Seja alpha o ângulo ABD e beta o ângulo ACE. Como os triângulos ABE e ACD são isósceles, temos: AED = alpha e ADE = beta. Portanto: DAE = 180 - (alpha + beta). Mas, agora, vamos olhar pra soma dos ângulos internos de ABC: ABC + ACB + BAD + DAE + EAC = alpha + beta + (180 - alpha - beta) + BAD + EAC = 180 + BAD + EAC 180, já que, por construção, BAD e EAC são positivos. Isso nos mostra que, pelo menos um dos pontos (D ou E) deve estar fora do interior do segmento BC. ii) supondo que D esteja à esquerda de B. Como BD = DE e já que E não pode coincidir com B, devemos ter E à esquerda de D. Mas, claramente, teríamos EC 2 . BD. Absurdo pois EC = BD. iii) supondo que D esteja à direita de C. Como BD = DE e já que E não pode coincidir com B, devemos ter E à direita de D. Mas, claramente, teríamos EC DE. Absurdo pois EC = DE. Por isso que eu acredito ter algo errado no enunciado. Em 26 de julho de 2013 20:19, Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.com escreveu: Pelo que eu entendi da questão,sim. Saudações Em 26 de julho de 2013 17:00, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com escreveu: Então o problema está dizendo que os segmentos de reta BD, DE e EC são iguais mesmo? Brigado. Em 26 de julho de 2013 15:47, Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.com escreveu: pois é,está exatamente assim.Também achei meio estranho,mas a condição segundo a questão é válida. Em 26 de julho de 2013 14:12, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com escreveu: Tem certeza dessa condição: 2BD=2DE=2EC? Achei meio estranho colocar o fator dois em todos os membros. Em 24 de julho de 2013 21:25, Bruno Rodrigues brunorodrigues@gmail.com escreveu: Oi pessoal,será que alguém consegue me dar uma luz nessa questão de geometria? Seja ABC um triângulo.Sejam D e E pontos no lado BC tal que 2BD=2DE=2EC (onde BD,DE e EC são retas).Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,ADE e AEC tem o mesmo raio,calcule o seno do ângulo ACB. Saudações Bruno -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta