[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Pedro José]

Boa tarde!
Fiz lambança.
a>b ==> Existe x>0 : a=b+x
Sej k>0 : ka=k(b+x)=kb+kx>kb
a>b, multiplicando-se ambos os lados por 1/b : a/b>1.
Saudações,
PJMS

Em Sex, 7 de set de 2018 13:15, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
> Realmente é difícil limitar qual o ferramental que pode ser usado.
> a>b ==> Existe x>0: a=×+r(i)
> seja k >0
> a*k= k*(x+r)=k*x+kr>k*x
> a>b, multiplicando-se ambis os lados por 1/b temos: a/b>1.
> Mas mesmo assim, podia se questionar a demonstração de (i) e também a da
> propriedade distributiva.
> Aí, não tenho a menor ideia de como fazê-las.
> Saudações,
> PJMS
>
> Em Qui, 6 de set de 2018 01:06, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>
>> On Wed, Sep 5, 2018 at 7:17 PM Israel Meireles Chrisostomo
>>  wrote:
>> > Olá pessoal, como posso provar que se a,b,c,d, são positivos e se a>b,
>> c>d então ac>bd
>>
>> Oi Israel, Pedro, Luciano, e demais colegas da lista,
>>
>> quais são os resultados que você pode usar para demonstrar isso?
>> Positivos quer dizer reais, eu imagino, mas dependendo de como você
>> define / constrói os reais, a forma de responder (e entender) esta
>> questão é diferente.  Por exemplo, todas as manipulações "algébricas"
>> (do tipo "a > b => a/b > 1") já podem pedir uma demonstração das
>> mesmas... Tudo depende do que você assume / admite como conhecido.
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Pedro José]

Boa tarde!
Realmente é difícil limitar qual o ferramental que pode ser usado.
a>b ==> Existe x>0: a=×+r(i)
seja k >0
a*k= k*(x+r)=k*x+kr>k*x
a>b, multiplicando-se ambis os lados por 1/b temos: a/b>1.
Mas mesmo assim, podia se questionar a demonstração de (i) e também a da
propriedade distributiva.
Aí, não tenho a menor ideia de como fazê-las.
Saudações,
PJMS

Em Qui, 6 de set de 2018 01:06, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> On Wed, Sep 5, 2018 at 7:17 PM Israel Meireles Chrisostomo
>  wrote:
> > Olá pessoal, como posso provar que se a,b,c,d, são positivos e se a>b,
> c>d então ac>bd
>
> Oi Israel, Pedro, Luciano, e demais colegas da lista,
>
> quais são os resultados que você pode usar para demonstrar isso?
> Positivos quer dizer reais, eu imagino, mas dependendo de como você
> define / constrói os reais, a forma de responder (e entender) esta
> questão é diferente.  Por exemplo, todas as manipulações "algébricas"
> (do tipo "a > b => a/b > 1") já podem pedir uma demonstração das
> mesmas... Tudo depende do que você assume / admite como conhecido.
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

On Wed, Sep 5, 2018 at 7:17 PM Israel Meireles Chrisostomo
 wrote:
> Olá pessoal, como posso provar que se a,b,c,d, são positivos e se a>b, c>d 
> então ac>bd

Oi Israel, Pedro, Luciano, e demais colegas da lista,

quais são os resultados que você pode usar para demonstrar isso?
Positivos quer dizer reais, eu imagino, mas dependendo de como você
define / constrói os reais, a forma de responder (e entender) esta
questão é diferente.  Por exemplo, todas as manipulações "algébricas"
(do tipo "a > b => a/b > 1") já podem pedir uma demonstração das
mesmas... Tudo depende do que você assume / admite como conhecido.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Aritmética

[luciano rodrigues]

Provar que a>b e c>d e a,b,c,d>0 => ac>ad

a>b => a-b>0   c>0 => (a-b)c>0 =>
ac>bc
c>d => c-d>0   b>0 => (c-d)b>0 =>
bc>bd
ac>bc e bc>bd => ac>bd


> Em 5 de set de 2018, às 19:01, Israel Meireles Chrisostomo 
>  escreveu:
> 
> Olá pessoal, como posso provar que se a,b,c,d, são positivos e se a>b, c>d 
> então ac>bd
> 
> -- 
> Israel Meireles Chrisostomo
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Israel Meireles Chrisostomo]

muito obrigado pedro

Em qua, 5 de set de 2018 às 19:31, Pedro José 
escreveu:

> Boa noite!
>
> a/b>1 e 0 a/b >d/c (i)
> Como bc>0, multiplicando-se ambos os lados de (i) por bc temos ac>bd.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em qua, 5 de set de 2018 às 19:17, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá pessoal, como posso provar que se a,b,c,d, são positivos e se a>b,
>> c>d então ac>bd
>>
>> --
>> Israel Meireles Chrisostomo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



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Israel Meireles Chrisostomo

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Pedro José]

Boa noite!

a/b>1 e 0 a/b >d/c (i)
Como bc>0, multiplicando-se ambos os lados de (i) por bc temos ac>bd.

Saudações,
PJMS

Em qua, 5 de set de 2018 às 19:17, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Olá pessoal, como posso provar que se a,b,c,d, são positivos e se a>b, c>d
> então ac>bd
>
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Aritmética

[Israel Meireles Chrisostomo]

Olá pessoal, como posso provar que se a,b,c,d, são positivos e se a>b, c>d
então ac>bd

-- 
Israel Meireles Chrisostomo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética dos restos

[Otávio Araújo]

Essa da ordem foi desleixo meu mesmo k

Em dom, 20 de mai de 2018 15:12, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
> O jeito de resolver é esse mesmo.
> A única ressalva é quanto a ordem de 3 mod 1000.
> Quando é potência prefiro achar primeiro a ordem da base.
> 3^4=1 mod 10
> 3^4=8*10+1.
> 3^a=1 mod 1000==> 3^a=1 mod 10 então 4|a.
> (3^4)^x=(8*10+1)^ x para x > 1 temos que as únicas parcelas <>0 mod 1000
> são:
> Cx,2 *8^2*10^2 + Cx,1*8*10 +1
> No caso para que seja 1 mod 1000, basta que Cx,1*8*10=0 mod 1000, pois,
> garante que o anterior também será.
> Portanto o menor x é 25.
> Então a ordem de 3 mod 1000 É 4*25=100.
> Saudações,
> PJMS
>
> Em Sáb, 19 de mai de 2018 20:58, Otávio Araújo 
> escreveu:
>
>> Tipo, se eu tivesse notado logo no começo que 100 é a ordem de 3 módulo
>> 1000 logo de cara 
>>
>> Em sáb, 19 de mai de 2018 20:43, Otávio Araújo 
>> escreveu:
>>
>>> Acredito que deva ter forma mais elegante de fazer, mas de qualquer
>>> forma está aí uma solução
>>>
>>> Em sáb, 19 de mai de 2018 20:31, Otávio Araújo <
>>> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Vejamos: 2002^2001 = 2^2001 mód 400 = 2x 16^500 mód 400 (tô no celular
 e não tem sinal de congruência kkk).
 Analisemos 16^n módulo 400:
 16^1 =16
 16^2 = 256
 16^3= 4096 = 96 mód 400
 16^4= 96 x16 mód 400 =1536 mód 400 = -64 mód 400
 16^5 = -64 x16 mód 400 = -1024 mód 400 = 176 mód 400
 16^6 = 16 x 176 mód 400=
 2816 mód400 = 16 mód 400
 Bingo, 16^n tem periodo 5 módulo 400,  daí temos 16^500 =176 mód 400 ->
 2x16^500= 352 mód 400

 E o kiko? O kiko vem do teorema de Euler : 2003^fi(1000) = 1 mód 1000 ->
 2003^400= 1 mód 1000.

 Daí, como 2002^2001 = 352 mód 400
 Teremos 2003^(2002^2001) = 2003^352 mód 1000 = 3^352 mód 1000
  3^5 =243
 3^10 = 243 x 243 = 59049 = 49 mód 1000
 3^20= 49 x 49 mód 1000 = 2401 mód 1000 = 401 mód 1000
 3^40 = 401 x 401 mód 1000 = 160801 mód 1000 = 801 mód 1000
 3^80 = 801 x 801 mód 1000 = 641601 mód 1000 = 601 mód 1000
 3^100= 601 x 401 mód 1000 = 241001 mód 1000 = 1 mód 1000
 Oba! 3^100=1 mód 1000, logo 3^352 = 3^52 mód 1000

 Mas

 3^50=(3^40)x(3^10) =801x49 mód 1000 =39249 mód 1000 = 249 mód 1000
 E daí
 3^52 = 249 x 9 mód 1000 = 2241 mód 1000 = 241 mód 1000

 Ou seja, concluimos que os últimos três algarismos de 2003^(2002^2001)
 são 241, e a soma deles é 2+4+1 = 7. Ufa!

>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética dos restos

[Pedro José]

Boa tarde!
O jeito de resolver é esse mesmo.
A única ressalva é quanto a ordem de 3 mod 1000.
Quando é potência prefiro achar primeiro a ordem da base.
3^4=1 mod 10
3^4=8*10+1.
3^a=1 mod 1000==> 3^a=1 mod 10 então 4|a.
(3^4)^x=(8*10+1)^ x para x > 1 temos que as únicas parcelas <>0 mod 1000
são:
Cx,2 *8^2*10^2 + Cx,1*8*10 +1
No caso para que seja 1 mod 1000, basta que Cx,1*8*10=0 mod 1000, pois,
garante que o anterior também será.
Portanto o menor x é 25.
Então a ordem de 3 mod 1000 É 4*25=100.
Saudações,
PJMS

Em Sáb, 19 de mai de 2018 20:58, Otávio Araújo 
escreveu:

> Tipo, se eu tivesse notado logo no começo que 100 é a ordem de 3 módulo
> 1000 logo de cara 
>
> Em sáb, 19 de mai de 2018 20:43, Otávio Araújo 
> escreveu:
>
>> Acredito que deva ter forma mais elegante de fazer, mas de qualquer forma
>> está aí uma solução
>>
>> Em sáb, 19 de mai de 2018 20:31, Otávio Araújo 
>> escreveu:
>>
>>> Vejamos: 2002^2001 = 2^2001 mód 400 = 2x 16^500 mód 400 (tô no celular e
>>> não tem sinal de congruência kkk).
>>> Analisemos 16^n módulo 400:
>>> 16^1 =16
>>> 16^2 = 256
>>> 16^3= 4096 = 96 mód 400
>>> 16^4= 96 x16 mód 400 =1536 mód 400 = -64 mód 400
>>> 16^5 = -64 x16 mód 400 = -1024 mód 400 = 176 mód 400
>>> 16^6 = 16 x 176 mód 400=
>>> 2816 mód400 = 16 mód 400
>>> Bingo, 16^n tem periodo 5 módulo 400,  daí temos 16^500 =176 mód 400 ->
>>> 2x16^500= 352 mód 400
>>>
>>> E o kiko? O kiko vem do teorema de Euler : 2003^fi(1000) = 1 mód 1000 ->
>>> 2003^400= 1 mód 1000.
>>>
>>> Daí, como 2002^2001 = 352 mód 400
>>> Teremos 2003^(2002^2001) = 2003^352 mód 1000 = 3^352 mód 1000
>>>  3^5 =243
>>> 3^10 = 243 x 243 = 59049 = 49 mód 1000
>>> 3^20= 49 x 49 mód 1000 = 2401 mód 1000 = 401 mód 1000
>>> 3^40 = 401 x 401 mód 1000 = 160801 mód 1000 = 801 mód 1000
>>> 3^80 = 801 x 801 mód 1000 = 641601 mód 1000 = 601 mód 1000
>>> 3^100= 601 x 401 mód 1000 = 241001 mód 1000 = 1 mód 1000
>>> Oba! 3^100=1 mód 1000, logo 3^352 = 3^52 mód 1000
>>>
>>> Mas
>>>
>>> 3^50=(3^40)x(3^10) =801x49 mód 1000 =39249 mód 1000 = 249 mód 1000
>>> E daí
>>> 3^52 = 249 x 9 mód 1000 = 2241 mód 1000 = 241 mód 1000
>>>
>>> Ou seja, concluimos que os últimos três algarismos de 2003^(2002^2001)
>>> são 241, e a soma deles é 2+4+1 = 7. Ufa!
>>>


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética dos restos

[Otávio Araújo]

Tipo, se eu tivesse notado logo no começo que 100 é a ordem de 3 módulo
1000 logo de cara 

Em sáb, 19 de mai de 2018 20:43, Otávio Araújo 
escreveu:

> Acredito que deva ter forma mais elegante de fazer, mas de qualquer forma
> está aí uma solução
>
> Em sáb, 19 de mai de 2018 20:31, Otávio Araújo 
> escreveu:
>
>> Vejamos: 2002^2001 = 2^2001 mód 400 = 2x 16^500 mód 400 (tô no celular e
>> não tem sinal de congruência kkk).
>> Analisemos 16^n módulo 400:
>> 16^1 =16
>> 16^2 = 256
>> 16^3= 4096 = 96 mód 400
>> 16^4= 96 x16 mód 400 =1536 mód 400 = -64 mód 400
>> 16^5 = -64 x16 mód 400 = -1024 mód 400 = 176 mód 400
>> 16^6 = 16 x 176 mód 400=
>> 2816 mód400 = 16 mód 400
>> Bingo, 16^n tem periodo 5 módulo 400,  daí temos 16^500 =176 mód 400 ->
>> 2x16^500= 352 mód 400
>>
>> E o kiko? O kiko vem do teorema de Euler : 2003^fi(1000) = 1 mód 1000 ->
>> 2003^400= 1 mód 1000.
>>
>> Daí, como 2002^2001 = 352 mód 400
>> Teremos 2003^(2002^2001) = 2003^352 mód 1000 = 3^352 mód 1000
>>  3^5 =243
>> 3^10 = 243 x 243 = 59049 = 49 mód 1000
>> 3^20= 49 x 49 mód 1000 = 2401 mód 1000 = 401 mód 1000
>> 3^40 = 401 x 401 mód 1000 = 160801 mód 1000 = 801 mód 1000
>> 3^80 = 801 x 801 mód 1000 = 641601 mód 1000 = 601 mód 1000
>> 3^100= 601 x 401 mód 1000 = 241001 mód 1000 = 1 mód 1000
>> Oba! 3^100=1 mód 1000, logo 3^352 = 3^52 mód 1000
>>
>> Mas
>>
>> 3^50=(3^40)x(3^10) =801x49 mód 1000 =39249 mód 1000 = 249 mód 1000
>> E daí
>> 3^52 = 249 x 9 mód 1000 = 2241 mód 1000 = 241 mód 1000
>>
>> Ou seja, concluimos que os últimos três algarismos de 2003^(2002^2001)
>> são 241, e a soma deles é 2+4+1 = 7. Ufa!
>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética dos restos

[Otávio Araújo]

Acredito que deva ter forma mais elegante de fazer, mas de qualquer forma
está aí uma solução

Em sáb, 19 de mai de 2018 20:31, Otávio Araújo 
escreveu:

> Vejamos: 2002^2001 = 2^2001 mód 400 = 2x 16^500 mód 400 (tô no celular e
> não tem sinal de congruência kkk).
> Analisemos 16^n módulo 400:
> 16^1 =16
> 16^2 = 256
> 16^3= 4096 = 96 mód 400
> 16^4= 96 x16 mód 400 =1536 mód 400 = -64 mód 400
> 16^5 = -64 x16 mód 400 = -1024 mód 400 = 176 mód 400
> 16^6 = 16 x 176 mód 400=
> 2816 mód400 = 16 mód 400
> Bingo, 16^n tem periodo 5 módulo 400,  daí temos 16^500 =176 mód 400 ->
> 2x16^500= 352 mód 400
>
> E o kiko? O kiko vem do teorema de Euler : 2003^fi(1000) = 1 mód 1000 ->
> 2003^400= 1 mód 1000.
>
> Daí, como 2002^2001 = 352 mód 400
> Teremos 2003^(2002^2001) = 2003^352 mód 1000 = 3^352 mód 1000
>  3^5 =243
> 3^10 = 243 x 243 = 59049 = 49 mód 1000
> 3^20= 49 x 49 mód 1000 = 2401 mód 1000 = 401 mód 1000
> 3^40 = 401 x 401 mód 1000 = 160801 mód 1000 = 801 mód 1000
> 3^80 = 801 x 801 mód 1000 = 641601 mód 1000 = 601 mód 1000
> 3^100= 601 x 401 mód 1000 = 241001 mód 1000 = 1 mód 1000
> Oba! 3^100=1 mód 1000, logo 3^352 = 3^52 mód 1000
>
> Mas
>
> 3^50=(3^40)x(3^10) =801x49 mód 1000 =39249 mód 1000 = 249 mód 1000
> E daí
> 3^52 = 249 x 9 mód 1000 = 2241 mód 1000 = 241 mód 1000
>
> Ou seja, concluimos que os últimos três algarismos de 2003^(2002^2001) são
> 241, e a soma deles é 2+4+1 = 7. Ufa!
>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética dos restos

[Otávio Araújo]

Vejamos: 2002^2001 = 2^2001 mód 400 = 2x 16^500 mód 400 (tô no celular e
não tem sinal de congruência kkk).
Analisemos 16^n módulo 400:
16^1 =16
16^2 = 256
16^3= 4096 = 96 mód 400
16^4= 96 x16 mód 400 =1536 mód 400 = -64 mód 400
16^5 = -64 x16 mód 400 = -1024 mód 400 = 176 mód 400
16^6 = 16 x 176 mód 400=
2816 mód400 = 16 mód 400
Bingo, 16^n tem periodo 5 módulo 400,  daí temos 16^500 =176 mód 400 ->
2x16^500= 352 mód 400

E o kiko? O kiko vem do teorema de Euler : 2003^fi(1000) = 1 mód 1000 ->
2003^400= 1 mód 1000.

Daí, como 2002^2001 = 352 mód 400
Teremos 2003^(2002^2001) = 2003^352 mód 1000 = 3^352 mód 1000
 3^5 =243
3^10 = 243 x 243 = 59049 = 49 mód 1000
3^20= 49 x 49 mód 1000 = 2401 mód 1000 = 401 mód 1000
3^40 = 401 x 401 mód 1000 = 160801 mód 1000 = 801 mód 1000
3^80 = 801 x 801 mód 1000 = 641601 mód 1000 = 601 mód 1000
3^100= 601 x 401 mód 1000 = 241001 mód 1000 = 1 mód 1000
Oba! 3^100=1 mód 1000, logo 3^352 = 3^52 mód 1000

Mas

3^50=(3^40)x(3^10) =801x49 mód 1000 =39249 mód 1000 = 249 mód 1000
E daí
3^52 = 249 x 9 mód 1000 = 2241 mód 1000 = 241 mód 1000

Ou seja, concluimos que os últimos três algarismos de 2003^(2002^2001) são
241, e a soma deles é 2+4+1 = 7. Ufa!

>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Aritmética dos restos

[Daniel Quevedo]

A soma dos 3 últimos algarismos do número 2003^2002^2001 é igual a:

R: 7
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Ralph Teixeira]

Suponho que naturais aqui sejam {1,2,3,...}

Eu faria no braço mesmo. No que se segue, leia vírgulas como "ou":

mn+1 | 24
mn+1 = 2,3,4,6,8,12,24
mn = 1,2,3,5,7,11,23

Como todos esses são primos (exceto 1... mas não faz diferença) teremos
{m,n} ={1,1},{1,2},...

Então m+n=1+1,1+2,...,1+23, que são os divisores de 24 de novo.

Abraço, Ralph.

2018-02-05 9:45 GMT-02:00 Pedro Júnior :

> Sejam m e n números naturais. Prove que
>
> mn + 1 | 24 =
> >
> m + n | 24
> 
> .
>
> Agradecido.
>
> --
>
> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
>
> Professor de Matemática
>
> Geo João Pessoa – PB
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Aritmética

[Pedro Júnior]

Sejam m e n números naturais. Prove que

mn + 1 | 24 => m + n | 24.

Agradecido.

-- 

Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

Professor de Matemática

Geo João Pessoa – PB

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética modular

[Pedro José]

Boa noite!

Não saiu a figura (https://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_totient_function)
caso não consiga visualizar e até por propósito, o certo teria sido citar a
fonte da figura.:

.[image: Imagem inline 1]
onde p é primo e p divide n

Em 21 de novembro de 2017 20:08, Pedro José  escreveu:

> Boa noite!
>
> a)
>
> (300,1001) = 1.
> 1001 = 7*11*13; então φ (1001) = 6*10*12 = 720. Para um caso geral, [image:
> {\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}]
> onde p é primo e p divide n.
>
> 300^3000 = 300^ (4*720 + 120) =  300^120  mod 1001. Não adiantou nada, o
> resto 120 é grande.
>
> Tem de ir para o braço.
>
> 300^1 = 300 mod 1001
> 300^2 = 911= -90 mod 1001
> 300^3 = -90 *300 = 27 mod 1001
> 300^4 = 27*300 = 92 mod 1001
> 300^5 = 92*1001 = 573 mod 1001  Note que poderíamos também
> 300^5 = 300^2 * 300 ^3 = -90*27, fica mais fácil usar quando os números
> forem menores.
> 300^6 = 573*300 = 729 mod 1001
> 300^7 = -272*300 = 482 mod 1001
> 300^8 = 482*300 = 456 mod 1001
> 300^9= 456*300 = 664 mod 1001
> 300^10 = -337*300 = 1 mod 1001
>
> então 300^120 = (300^10)^12 = 1 mod 1001 ==> 3000^300-1=0 mod1001; então o
> resto é zero.
>
> b)
>
> (7,143) = 1
> 143 = 11*13 ==> φ (143) = 10*12=120 então 7^120 = 1 mod 143.
> logo 7^120 -1 = 0 mod 1001, novamente o resto é zero.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em 21 de novembro de 2017 14:49, Pedro Luchiari 
> escreveu:
>
>> Senhores,
>> Estou fazendo uns problemas e gostaria que mais alguém resolvesse pra eu
>> confirmar minha resposta:
>>
>> Encontre os restos da divis ̃oes de:
>>
>> a) 3003000 − 1 por 1001
>>
>> b) 7120 − 1 por 143
>>
>> Valeu!
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética modular

[Pedro José]

Boa noite!

a)

(300,1001) = 1.
1001 = 7*11*13; então φ (1001) = 6*10*12 = 720. Para um caso geral, [image:
{\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}]
onde p é primo e p divide n.

300^3000 = 300^ (4*720 + 120) =  300^120  mod 1001. Não adiantou nada, o
resto 120 é grande.

Tem de ir para o braço.

300^1 = 300 mod 1001
300^2 = 911= -90 mod 1001
300^3 = -90 *300 = 27 mod 1001
300^4 = 27*300 = 92 mod 1001
300^5 = 92*1001 = 573 mod 1001  Note que poderíamos também
300^5 = 300^2 * 300 ^3 = -90*27, fica mais fácil usar quando os números
forem menores.
300^6 = 573*300 = 729 mod 1001
300^7 = -272*300 = 482 mod 1001
300^8 = 482*300 = 456 mod 1001
300^9= 456*300 = 664 mod 1001
300^10 = -337*300 = 1 mod 1001

então 300^120 = (300^10)^12 = 1 mod 1001 ==> 3000^300-1=0 mod1001; então o
resto é zero.

b)

(7,143) = 1
143 = 11*13 ==> φ (143) = 10*12=120 então 7^120 = 1 mod 143.
logo 7^120 -1 = 0 mod 1001, novamente o resto é zero.

Saudações,
PJMS

Em 21 de novembro de 2017 14:49, Pedro Luchiari 
escreveu:

> Senhores,
> Estou fazendo uns problemas e gostaria que mais alguém resolvesse pra eu
> confirmar minha resposta:
>
> Encontre os restos da divis ̃oes de:
>
> a) 3003000 − 1 por 1001
>
> b) 7120 − 1 por 143
>
> Valeu!
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Aritmética modular

[Pedro Luchiari]

Senhores,
Estou fazendo uns problemas e gostaria que mais alguém resolvesse pra eu
confirmar minha resposta:

Encontre os restos da divis ̃oes de:

a) 3003000 − 1 por 1001

b) 7120 − 1 por 143

Valeu!

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Aritmética(divisores)

[Gabriel Tostes]

Se d15<=n/3 chega num absurdo pela primeira condicao. Entao d15=n/2 e tem 16 
divisores.
Se d14<=n/4 chega num absurdo tambem pela primeira e logo d14=n/3.
Substituindo esses valores em n=d13+d14+d15 achamos que d13=n/6
Entao 2||n e 3|n vamos dividir em dois casos. 3||n e 3^b||n, b>1
1°:
3||n
Da segunda condicao > d15=d5(d5^2+3d5+3) como 3|d15 e 3 nao divide d5 chegamos 
a um absurdo.
2°:
Como uma potencia de 3 maior que um divide n e ja vimos que d5 tem que ser 
multiplo de 3 entao d5=9 e logo n=1998. 



> On Jan 12, 2017, at 16:58, marcone augusto araújo borges 
>  wrote:
> 
> Os divisores de um número inteiro e positivo n estão escritos em ordem 
> crescente a partir
> 
> do número 1 < d1 < d2 < d3 < ... < n.Encontrar o número n sabendo que:
> 
> 
> a) n = d13 + d14 + d15 e
> 
> 
> b) (d5 + 1)^3 = d15 + 1
> 
> 
> Alguém resolveria?
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Aritmética(divisores)

[marcone augusto araújo borges]

Os divisores de um número inteiro e positivo n estão escritos em ordem 
crescente a partir

do número 1 < d1 < d2 < d3 < ... < n.Encontrar o número n sabendo que:


a) n = d13 + d14 + d15 e


b) (d5 + 1)^3 = d15 + 1


Alguém resolveria?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Pedro José]

Realmente, só se n for primo.
É mais complicado do que o previsto.

Saudações,
PJMS

Em 13 de outubro de 2016 21:12, Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com> escreveu:

> Hm, devagar -- por exemplo (4,2)=6 nao eh multiplo de 4.
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2016-10-13 17:25 GMT-03:00 Pedro José <petroc...@gmail.com>:
>
>> Boa tarde!
>>
>> Basta que p seja diferente de 0 ou n, para n<>0.
>>
>> (n,p) = n! / (p!. (n-p)!),
>>
>> Portanto, só há como tirar o fator n do n! se p! = n! ou (n-p)! = n! ==>
>> p = 0 ou p = n.
>>
>> Se n=0 (0,0) =1 que também não é múltiplo de zero.
>>
>> Saudações,
>> PJMS.
>>
>> Em 13 de outubro de 2016 10:27, marcone augusto araújo borges <
>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>
>>> Obrigado. Em que condições, o binomial (n,p)  é múltiplo de n?
>>>
>>> --
>>> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br <owner-ob...@mat.puc-rio.br> em nome
>>> de Esdras Muniz <esdrasmunizm...@gmail.com>
>>> *Enviado:* quinta-feira, 13 de outubro de 2016 02:31
>>> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
>>> *Assunto:* [obm-l] Re: [obm-l] aritmética
>>>
>>> E = (13-1)^99 + (13+1)^99 congruente a {(99)x13 - 1} + {(99)x13 + 1}(mod
>>> 13²)  (usando binômio de Newton).
>>> Então fica:
>>> E congruente a 39 (mod 13²).
>>>
>>> Em 12 de outubro de 2016 23:10, marcone augusto araújo borges <
>>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>>
>>>> Determine o resto da divisão de 12^99 + 14^99 por 169
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esdras Muniz Mota
>>> Mestrando em Matemática
>>> Universidade Federal do Ceará
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Ralph Teixeira]

Hm, devagar -- por exemplo (4,2)=6 nao eh multiplo de 4.

Abraco, Ralph.

2016-10-13 17:25 GMT-03:00 Pedro José <petroc...@gmail.com>:

> Boa tarde!
>
> Basta que p seja diferente de 0 ou n, para n<>0.
>
> (n,p) = n! / (p!. (n-p)!),
>
> Portanto, só há como tirar o fator n do n! se p! = n! ou (n-p)! = n! ==> p
> = 0 ou p = n.
>
> Se n=0 (0,0) =1 que também não é múltiplo de zero.
>
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em 13 de outubro de 2016 10:27, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Obrigado. Em que condições, o binomial (n,p)  é múltiplo de n?
>>
>> --
>> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br <owner-ob...@mat.puc-rio.br> em nome de
>> Esdras Muniz <esdrasmunizm...@gmail.com>
>> *Enviado:* quinta-feira, 13 de outubro de 2016 02:31
>> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
>> *Assunto:* [obm-l] Re: [obm-l] aritmética
>>
>> E = (13-1)^99 + (13+1)^99 congruente a {(99)x13 - 1} + {(99)x13 + 1}(mod
>> 13²)  (usando binômio de Newton).
>> Então fica:
>> E congruente a 39 (mod 13²).
>>
>> Em 12 de outubro de 2016 23:10, marcone augusto araújo borges <
>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>
>>> Determine o resto da divisão de 12^99 + 14^99 por 169
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>>
>> --
>> Esdras Muniz Mota
>> Mestrando em Matemática
>> Universidade Federal do Ceará
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Pedro José]

Boa tarde!

Basta que p seja diferente de 0 ou n, para n<>0.

(n,p) = n! / (p!. (n-p)!),

Portanto, só há como tirar o fator n do n! se p! = n! ou (n-p)! = n! ==> p
= 0 ou p = n.

Se n=0 (0,0) =1 que também não é múltiplo de zero.

Saudações,
PJMS.

Em 13 de outubro de 2016 10:27, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Obrigado. Em que condições, o binomial (n,p)  é múltiplo de n?
>
> --
> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br <owner-ob...@mat.puc-rio.br> em nome de
> Esdras Muniz <esdrasmunizm...@gmail.com>
> *Enviado:* quinta-feira, 13 de outubro de 2016 02:31
> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Assunto:* [obm-l] Re: [obm-l] aritmética
>
> E = (13-1)^99 + (13+1)^99 congruente a {(99)x13 - 1} + {(99)x13 + 1}(mod
> 13²)  (usando binômio de Newton).
> Então fica:
> E congruente a 39 (mod 13²).
>
> Em 12 de outubro de 2016 23:10, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Determine o resto da divisão de 12^99 + 14^99 por 169
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
>
> --
> Esdras Muniz Mota
> Mestrando em Matemática
> Universidade Federal do Ceará
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[marcone augusto araújo borges]

Obrigado. Em que condições, o binomial (n,p)  é múltiplo de n?


De: owner-ob...@mat.puc-rio.br <owner-ob...@mat.puc-rio.br> em nome de Esdras 
Muniz <esdrasmunizm...@gmail.com>
Enviado: quinta-feira, 13 de outubro de 2016 02:31
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

E = (13-1)^99 + (13+1)^99 congruente a {(99)x13 - 1} + {(99)x13 + 1}(mod 13²)  
(usando binômio de Newton).
Então fica:
E congruente a 39 (mod 13²).

Em 12 de outubro de 2016 23:10, marcone augusto araújo borges 
<marconeborge...@hotmail.com<mailto:marconeborge...@hotmail.com>> escreveu:

Determine o resto da divisão de 12^99 + 14^99 por 169

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.



--
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará



--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] aritmética

[marcone augusto araújo borges]

Determine o resto da divisão de 12^99 + 14^99 por 169

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética modular

[Israel Meireles Chrisostomo]

Obrigado vinícius!

Em 3 de agosto de 2016 17:44, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> ah sim entendi
>
> Em 3 de agosto de 2016 17:43, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> ainda não entendi
>>
>> Em 3 de agosto de 2016 17:35, vinicius raimundo 
>> escreveu:
>>
>>> Acho que a idéia é a seguinte
>>>
>>> 6/2=1/2 . 6 ≡ 1/2 . 1 ≡ 1/2 (mod 5)
>>> Logo:
>>> 1/2≡6/2≡3 (mod 5)
>>>
>>> end
>>>
>>> Em quarta-feira, 3 de agosto de 2016, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Olá pessoal já estudei um pouco de congruências, mas não sei muito bem
 em como lidar com congruências fracionárias.Por exemplo, alguém poderia me
 explicar o pq da congruência abaixo?

 1/2≡6/2 ≡3(mod 5)

 Para falar a verdade não entendi absolutamente nada disso.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética modular

[Israel Meireles Chrisostomo]

ainda não entendi

Em 3 de agosto de 2016 17:35, vinicius raimundo 
escreveu:

> Acho que a idéia é a seguinte
>
> 6/2=1/2 . 6 ≡ 1/2 . 1 ≡ 1/2 (mod 5)
> Logo:
> 1/2≡6/2≡3 (mod 5)
>
> end
>
> Em quarta-feira, 3 de agosto de 2016, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá pessoal já estudei um pouco de congruências, mas não sei muito bem em
>> como lidar com congruências fracionárias.Por exemplo, alguém poderia me
>> explicar o pq da congruência abaixo?
>>
>> 1/2≡6/2 ≡3(mod 5)
>>
>> Para falar a verdade não entendi absolutamente nada disso.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética modular

[Israel Meireles Chrisostomo]

ah sim entendi

Em 3 de agosto de 2016 17:43, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> ainda não entendi
>
> Em 3 de agosto de 2016 17:35, vinicius raimundo 
> escreveu:
>
>> Acho que a idéia é a seguinte
>>
>> 6/2=1/2 . 6 ≡ 1/2 . 1 ≡ 1/2 (mod 5)
>> Logo:
>> 1/2≡6/2≡3 (mod 5)
>>
>> end
>>
>> Em quarta-feira, 3 de agosto de 2016, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Olá pessoal já estudei um pouco de congruências, mas não sei muito bem
>>> em como lidar com congruências fracionárias.Por exemplo, alguém poderia me
>>> explicar o pq da congruência abaixo?
>>>
>>> 1/2≡6/2 ≡3(mod 5)
>>>
>>> Para falar a verdade não entendi absolutamente nada disso.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética modular

[vinicius raimundo]

Acho que a idéia é a seguinte

6/2=1/2 . 6 ≡ 1/2 . 1 ≡ 1/2 (mod 5)
Logo:
1/2≡6/2≡3 (mod 5)

end

Em quarta-feira, 3 de agosto de 2016, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Olá pessoal já estudei um pouco de congruências, mas não sei muito bem em
> como lidar com congruências fracionárias.Por exemplo, alguém poderia me
> explicar o pq da congruência abaixo?
>
> 1/2≡6/2 ≡3(mod 5)
>
> Para falar a verdade não entendi absolutamente nada disso.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Aritmética modular

[Israel Meireles Chrisostomo]

Olá pessoal já estudei um pouco de congruências, mas não sei muito bem em
como lidar com congruências fracionárias.Por exemplo, alguém poderia me
explicar o pq da congruência abaixo?

1/2≡6/2 ≡3(mod 5)

Para falar a verdade não entendi absolutamente nada disso.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Pedro José]

Bom dia!

Não consegui algo que não fosse braçal. Porém com direcionamento.

Supondo o número como 10*A + B, temos que 0<= r < (A+B). Logo vamos começar
com as somas de A+ B em ordem decrescente pois apresentam maior
possibilidade de ter um resto elevado.

(i) A+B = 18 ==> r = 9, então já não é necessário procurar os números em
que A + B <=10. (aqui se elimina 63 números, e com 1 que já foi feito só
restam 34 números para análise)

(ii) A+B = 17 ==> A = 8 e B =9 ou A= 9 e B = 8 ==> r = 4 ou r = 13.. Logo
não precisamos procurar em números com
A + B  <= 14. (aqui eliminamos 89 números com o analisado em (i) e para os
dois analisados aqui só restam 7 números a serem analisados.)

A+ B = 16 ==> A=B= 8 ou A=7 e B= 9 ou A= 9 e B = 7, que darão r = 8 ou r =
15 0u r = 1. Portanto eliminamos todos os números que tenham A + B < 16.
Estão eliminados os restantes dos múmeros.

r = 15 e o número é 79.

Se conseguir uma solução mais elegante, vos envio.

Saudações,
PJMS





Em 30 de março de 2016 23:10, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> 2016-03-30 16:55 GMT-03:00 Pedro Júnior :
> > Qual o maior resto possível da divisão de um número de dois algarismos
> pela
> > soma de seus algarismos?
> 15.
>
> > Caso saibam de alguma fórmula ou teoria gostaria do link ou referência.
>
> Eu sei do meu computador. Segue uma lista dos pares (n, resto), cada
> vez que o resto fica maior do que os restos anteriores
>
> 11 1
> 14 4
> 19 9
> 49 10
> 68 12
> 79 15
> 299 19
> 689 22
> 799 24
> 3889 25
> 4898 26
> 5599 27
> 6698 28
> 7996 29
> 8798 30
> 9599 31
> 16999 33
> 18899 34
> 39899 37
> 4 39
> 89789 40
> 89998 42
> 98999 43
>
> Curiosamente, começa com os quadrados (1,4,9), depois tem uma
> "carreirinha" de 24-31, pula 32 = 2^5, 35, 36, 38 que são compostos,
> mas logo pula 41 que é primo. (já tinha pulado outros, mas você
> poderia imaginar que era um "defeito" de ter "muito poucos dígitos")
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2016-03-30 16:55 GMT-03:00 Pedro Júnior :
> Qual o maior resto possível da divisão de um número de dois algarismos pela
> soma de seus algarismos?
15.

> Caso saibam de alguma fórmula ou teoria gostaria do link ou referência.

Eu sei do meu computador. Segue uma lista dos pares (n, resto), cada
vez que o resto fica maior do que os restos anteriores

11 1
14 4
19 9
49 10
68 12
79 15
299 19
689 22
799 24
3889 25
4898 26
5599 27
6698 28
7996 29
8798 30
9599 31
16999 33
18899 34
39899 37
4 39
89789 40
89998 42
98999 43

Curiosamente, começa com os quadrados (1,4,9), depois tem uma
"carreirinha" de 24-31, pula 32 = 2^5, 35, 36, 38 que são compostos,
mas logo pula 41 que é primo. (já tinha pulado outros, mas você
poderia imaginar que era um "defeito" de ter "muito poucos dígitos")

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Aritmética

[Pedro Júnior]

Qual o maior resto possível da divisão de um número de dois algarismos pela
soma de seus algarismos?
Achei que no Abrano Hefez havia algo relacionado com isso, mas não
encontrei.
Caso saibam de alguma fórmula ou teoria gostaria do link ou referência.
Obrigado

-- 

Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

Professor de Matemática

Geo João Pessoa – PB

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Aritmética

[marcone augusto araújo borges]

Demonstre que se mdc(a,b) = 1, então todos os divisores primos ímparesde a^2 + 
b^2 são da forma 4k+1  

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Israel Meireles Chrisostomo]

Pelo pequeno teorema de Fermat sabe-se que se p é primo e mdc(p,a) então
 vale a^(p­-1)≡1mod(p).Para usarmos esse teorema, temos que garantir que
mdc(a,p)=1, mas note que p não divide a e também não divide b, pois se p
dividisse a, para dividir a soma a²+b² ,também deveria dividir b, mas isso
é absurdo pois se p divide a² e b² também divide a e b, logo p também
dividiria o mdc(a,b)=1, ou seja p dividiria 1, absurdo. Então pelo teorema
de Fermat temos
a^(p­-1)­≡b^(p­-1)≡1 (mod p) Equação i
Mas note que

a^(p­-1)=[a²]^((p­-1)/2) Equação ii
Substituindo Equação ii em i, temos
[a²]^((p­-1)/2)≡b^(p­-1)≡1 (mod p) Equação iii

E como a²+b²≡0 (mod p) segue que

a²≡-b² (mod p) ->(a²)^((p­-1)/2)≡(-b²)^((p­-1)/2) (mod
p) ->(a²)^((p­-1)/2)≡(-1)^((p­-1)/2).b^(p-1) (mod p) Equação iv
Usando a equação iv em equação ii, temos:

(-1)^((p­-1)/2).b^(p-1)≡b^(p­-1)≡1 (mod p) Equação v

Pela Equação v, o resto deve ser igual a +1, para que isso aconteça o
expoente tem que ser par, logo (p­-1)/2 é da forma 2k então p=4k+1


­

Em 8 de fevereiro de 2016 17:31, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Demonstre que se mdc(a,b) = 1, então todos os divisores primos ímpares
> de a^2 + b^2 são da forma 4k+1
>

[obm-l] Aritmética

[marcone augusto araújo borges]

Alguém poderia resolver?
Sejam a, b, n, m inteiros positivos e suponha que a^n + b^m sejaum número 
primo.Mostre que (n,m) = 1 ou (n,m) = 2^r, para algumr inteiro positivo.Desde 
já agradeço.

  
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Willy George Amaral Petrenko]

Seja k um divisor impar de m e n. Observe que an + bm = akn' + bkm' = (an'
+ bm') * (a(k-1)n' - a(k-2)n'bm' +  - an b(k-2)m'+ b(k-1)m').

Bom, a partir daí vc preenche os detalhes. Só acrescento que há uma
exceção, quando a=b=1, n e m podem ter valores arbitrários e a soma dá
sempre 2 que é primo.

att

2015-10-25 0:52 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com>:

> Alguém poderia resolver?
>
> Sejam a, b, n, m inteiros positivos e suponha que a^n + b^m seja
> um número primo.Mostre que (n,m) = 1 ou (n,m) = 2^r, para algum
> r inteiro positivo.
> Desde já agradeço.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

RE: [obm-l] Aritmética

[Esdras Muniz]

Suponha um impar i>1, tal que i|mdc(a,b). Daí p=x^i+y^i=(x+y)() e tem-se um 
absurdo.

-Mensagem Original-
De: "marcone augusto araújo borges" <marconeborge...@hotmail.com>
Enviada em: ‎24/‎10/‎2015 23:58
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] Aritmética

Alguém poderia resolver?


Sejam a, b, n, m inteiros positivos e suponha que a^n + b^m seja
um número primo.Mostre que (n,m) = 1 ou (n,m) = 2^r, para algum
r inteiro positivo.
Desde já agradeço.





-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/12/4 Cassio Anderson Feitosa cassiofeito...@gmail.com:
 Mas acredito que o outro raciocínio levou a todas as soluções.
É. Quando p é um número primo, uma equação do segundo grau n^2 = x
(mod p) ou tem duas raízes, ou não tem nenhuma (o único caso de raiz
única é n^2 = 0, mas isso é uma raiz dupla). No seu caso, para
mostrar que n^2 = x (mod p*q), você tem que mostrar que cada uma das
equações tem raiz, logo terá duas, e portanto ao fazer as combinações,
você obtém 4 raízes ao todo (mod p*q). Basta que haja uma para que
haja infinitas, mas se houver uma raíz mod (p*q) então você terá 4
(com multiplicidades, se for o caso). É um exercício legal calcular
quantas dessas equações n^2 == x (mod p*q) tem 4 soluções diferentes,
2 soluções duplas, 1 solução quádrupla (x = 0 apenas) e deduzir
quantas delas não têm !

 Em 4 de dezembro de 2013 13:50, Cassio Anderson Feitosa
 cassiofeito...@gmail.com escreveu:

 8n^2+5\equiv 0\pmod 77  é equivalente a 8n^2+5 == 0 mod 7e
 8n^2+5== 0 mod 11.

 Primeira parte: 8n² == 5 mod 11  == 8n^2 == 6mod 11
Aqui teve um errinho (e também mais embaixo) que me comeu um tempo...
de 8n^2 + 5 == 0, você esquece o sinal e faz 8n^2 == 5, (em vez de ==
-5) e depois você inverte o sinal 8n^2 == 6 e acerta de novo.

Fora isso, certíssimo. Você poderia ter invertido 8 módulo 11 (8*7 =
56 == 1) e obter um pouco mais rápido 0 = 7*8n^2 + 7*5 == 56 n^2 + 35
== n^2 + 2 = n^2 == -2 == 9 mod 11. (O mesmo vale embaixo, onde 8 ==
1 mod 7 direto, 0 == 8n^2 + 5 == n^2 + 5 = n^2 == -5 == 2 == 9 mod 7)

 == 4n² == 3 mod
 11 == 3(4n²) == 9 mod 11 ==  12n²==n²==9 mod 11 ===n==3 ou n== -3
 mod 11, ou seja, n==3 ou n== 8 mod 11.

  Segunda parte: 8n² == 5 mod 7 == 8n^2 == 2mod 7 == 4n² == 1 mod 7
 == 2(4n²) == 2 mod 7 ==  8n²==n²==2 mod 7. =   n==3 ou n== -3 mod
 11, ou seja, n==3 ou n== 4 mod 7.

  Então, o sistema n == 3 mod 11 e n == 3 mod 7 gera uma solução.
  o sistema  n == 3 mod 11 e n == 4 mod 7 gera outra solução
 n == 8 mod 11 e n == 3 mod 7 outra solução
 n == 8 mod 11 e n == 4 mod 7 outra solução.


  Daí basta pegar cada sistema de duas congruências e resolver pelo
 Teorema chinês de Resto.

  Por exemplo, a solução pro primeiro sistema é n=77q + 3, q inteiro.

 --
 Cássio Anderson
 Graduando em Matemática - UFPB

-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[saulo nilson]

8(n^2-1)=(k-1)77
n^2-1=i77
k-1=i8
n^2=i77+1
(n-1)(n+1)=i77=7*11i
n-1=7a
n+1=11b
2=11b-7a
e uma reta que da infinitos valores valores de a e b, pois e continua em
reais.






2013/12/4 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com

 Olá pessoal gostaria de uma ajuda na reolução do problema:
 1) Mostre que existem infinitos valores de n (natural) para os quais 8n^2
 + 5 ẽ divisível por 77.

 Desde já agradeço

 --

 Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

 Professor de Matemática

 Geo João Pessoa – PB

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[saulo nilson]

2=11b-7a
1=11b/2-7a/2
1=rq(170/4)rq(b^2+a^2)/2(sen(u-k))
sen(u-k)=4/rq(170(b^2+a^2)) e uma equaçao que da infinitas respostas



2013/12/6 saulo nilson saulo.nil...@gmail.com

 8(n^2-1)=(k-1)77
 n^2-1=i77
 k-1=i8
 n^2=i77+1
 (n-1)(n+1)=i77=7*11i
 n-1=7a
 n+1=11b
 2=11b-7a
 e uma reta que da infinitos valores valores de a e b, pois e continua em
 reais.






 2013/12/4 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com

 Olá pessoal gostaria de uma ajuda na reolução do problema:
 1) Mostre que existem infinitos valores de n (natural) para os quais 8n^2
 + 5 ẽ divisível por 77.

 Desde já agradeço

 --

 Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

 Professor de Matemática

 Geo João Pessoa – PB

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Aritmética

[marcone augusto araújo borges]

Olá,Pedro



 
 



  


  


  


  


 
 



  


  


  


  

mostrar que há infinitos n tais que 8n^2 + 5 é múltiplo de 77Note que 
para n = 77k + 3,temos 8n^2 + 5 = 77q
  
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Aritmética

[marcone augusto araújo borges]

Eu notei que 8.3^2 + 5  =  77Dai o resultado
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Aritmética 
Date: Fri, 6 Dec 2013 00:09:29 +




Olá,Pedro



 
 



  


  


  


  


 
 



  


  


  


  

mostrar que há infinitos n tais que 8n^2 + 5 é múltiplo de 77Note que 
para n = 77k + 3,temos 8n^2 + 5 = 77q
  
--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Aritmética

[Pedro Júnior]

Olá pessoal gostaria de uma ajuda na reolução do problema:
1) Mostre que existem infinitos valores de n (natural) para os quais 8n^2 +
5 ẽ divisível por 77.

Desde já agradeço

-- 

Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

Professor de Matemática

Geo João Pessoa – PB

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Cassio Anderson Feitosa]

8n^2+5\equiv 0\pmod 77  é equivalente a 8n^2+5 == 0 mod 7e8n^2+5==
0 mod 11.

Primeira parte: 8n² == 5 mod 11  == 8n^2 == 6mod 11 == 4n² == 3 mod 11
== 3(4n²) == 9 mod 11 ==  12n²==n²==9 mod 11 ===n==3 ou n== -3 mod
11, ou seja, n==3 ou n== 8 mod 11.

 Segunda parte: 8n² == 5 mod 7 == 8n^2 == 2mod 7 == 4n² == 1 mod 7 ==
2(4n²) == 2 mod 7 ==  8n²==n²==2 mod 7. =   n==3 ou n== -3 mod 11,
ou seja, n==3 ou n== 4 mod 7.

 Então, o sistema n == 3 mod 11 e n == 3 mod 7 gera uma solução.
 o sistema  n == 3 mod 11 e n == 4 mod 7 gera outra solução
n == 8 mod 11 e n == 3 mod 7 outra solução
n == 8 mod 11 e n == 4 mod 7 outra solução.


 Daí basta pegar cada sistema de duas congruências e resolver pelo Teorema
chinês de Resto.

 Por exemplo, a solução pro primeiro sistema é n=77q + 3, q inteiro.




-- 
Cássio Anderson
Graduando em Matemática - UFPB

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Cassio Anderson Feitosa]

As soluções para as outras são n=77q+25,   n=77q+52 e n=77q+74, q inteiro.

Cássio Anderson
Graduando em Matemática - UFPB


Em 4 de dezembro de 2013 13:50, Cassio Anderson Feitosa 
cassiofeito...@gmail.com escreveu:

 8n^2+5\equiv 0\pmod 77  é equivalente a 8n^2+5 == 0 mod 7e8n^2+5==
 0 mod 11.

 Primeira parte: 8n² == 5 mod 11  == 8n^2 == 6mod 11 == 4n² == 3 mod 11
 == 3(4n²) == 9 mod 11 ==  12n²==n²==9 mod 11 ===n==3 ou n== -3 mod
 11, ou seja, n==3 ou n== 8 mod 11.

  Segunda parte: 8n² == 5 mod 7 == 8n^2 == 2mod 7 == 4n² == 1 mod 7 ==
 2(4n²) == 2 mod 7 ==  8n²==n²==2 mod 7. =   n==3 ou n== -3 mod 11,
 ou seja, n==3 ou n== 4 mod 7.

  Então, o sistema n == 3 mod 11 e n == 3 mod 7 gera uma solução.
  o sistema  n == 3 mod 11 e n == 4 mod 7 gera outra solução
 n == 8 mod 11 e n == 3 mod 7 outra solução
 n == 8 mod 11 e n == 4 mod 7 outra solução.


  Daí basta pegar cada sistema de duas congruências e resolver pelo Teorema
 chinês de Resto.

  Por exemplo, a solução pro primeiro sistema é n=77q + 3, q inteiro.




 --
 Cássio Anderson
 Graduando em Matemática - UFPB


-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Pedro Júnior]

Obrigado Cássio, mas não pensei que fosse tão complicado! (pelo menos pra
mim!)
Caso alguém consiga de uma forma diferente favor encaminhar.
Abç
Pedro Jr


Em 4 de dezembro de 2013 13:50, Cassio Anderson Feitosa 
cassiofeito...@gmail.com escreveu:

 8n^2+5\equiv 0\pmod 77  é equivalente a 8n^2+5 == 0 mod 7e8n^2+5==
 0 mod 11.

 Primeira parte: 8n² == 5 mod 11  == 8n^2 == 6mod 11 == 4n² == 3 mod 11
 == 3(4n²) == 9 mod 11 ==  12n²==n²==9 mod 11 ===n==3 ou n== -3 mod
 11, ou seja, n==3 ou n== 8 mod 11.

  Segunda parte: 8n² == 5 mod 7 == 8n^2 == 2mod 7 == 4n² == 1 mod 7 ==
 2(4n²) == 2 mod 7 ==  8n²==n²==2 mod 7. =   n==3 ou n== -3 mod 11,
 ou seja, n==3 ou n== 4 mod 7.

  Então, o sistema n == 3 mod 11 e n == 3 mod 7 gera uma solução.
  o sistema  n == 3 mod 11 e n == 4 mod 7 gera outra solução
 n == 8 mod 11 e n == 3 mod 7 outra solução
 n == 8 mod 11 e n == 4 mod 7 outra solução.


  Daí basta pegar cada sistema de duas congruências e resolver pelo Teorema
 chinês de Resto.

  Por exemplo, a solução pro primeiro sistema é n=77q + 3, q inteiro.




 --
 Cássio Anderson
 Graduando em Matemática - UFPB

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Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

Professor de Matemática

Geo João Pessoa – PB

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Cassio Anderson Feitosa]

Mas acredito que o outro raciocínio levou a todas as soluções.

Cássio Anderson
Graduando em Matemática - UFPB


Em 4 de dezembro de 2013 14:14, Cassio Anderson Feitosa 
cassiofeito...@gmail.com escreveu:

 8n² == 72 mod 77 === n² == 9 mod 77

 n == +- 3 mod 77 gera duas da soluções encontradas

 Cássio Anderson
 Graduando em Matemática - UFPB


 Em 4 de dezembro de 2013 13:59, Pedro Júnior 
 pedromatematic...@gmail.comescreveu:

 Obrigado Cássio, mas não pensei que fosse tão complicado! (pelo menos pra
 mim!)
 Caso alguém consiga de uma forma diferente favor encaminhar.
 Abç
 Pedro Jr


 Em 4 de dezembro de 2013 13:50, Cassio Anderson Feitosa 
 cassiofeito...@gmail.com escreveu:

 8n^2+5\equiv 0\pmod 77  é equivalente a 8n^2+5 == 0 mod 7e
  8n^2+5== 0 mod 11.

 Primeira parte: 8n² == 5 mod 11  == 8n^2 == 6mod 11 == 4n² == 3 mod
 11 == 3(4n²) == 9 mod 11 ==  12n²==n²==9 mod 11 ===n==3 ou n== -3
 mod 11, ou seja, n==3 ou n== 8 mod 11.

  Segunda parte: 8n² == 5 mod 7 == 8n^2 == 2mod 7 == 4n² == 1 mod 7
 == 2(4n²) == 2 mod 7 ==  8n²==n²==2 mod 7. =   n==3 ou n== -3 mod
 11, ou seja, n==3 ou n== 4 mod 7.

  Então, o sistema n == 3 mod 11 e n == 3 mod 7 gera uma solução.
  o sistema  n == 3 mod 11 e n == 4 mod 7 gera outra solução
 n == 8 mod 11 e n == 3 mod 7 outra solução
 n == 8 mod 11 e n == 4 mod 7 outra solução.


  Daí basta pegar cada sistema de duas congruências e resolver pelo
 Teorema chinês de Resto.

  Por exemplo, a solução pro primeiro sistema é n=77q + 3, q inteiro.




 --
 Cássio Anderson
 Graduando em Matemática - UFPB

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




 --

 Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

 Professor de Matemática

 Geo João Pessoa – PB

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Cassio Anderson Feitosa]

8n² == 72 mod 77 === n² == 9 mod 77

n == +- 3 mod 77 gera duas da soluções encontradas

Cássio Anderson
Graduando em Matemática - UFPB


Em 4 de dezembro de 2013 13:59, Pedro Júnior
pedromatematic...@gmail.comescreveu:

 Obrigado Cássio, mas não pensei que fosse tão complicado! (pelo menos pra
 mim!)
 Caso alguém consiga de uma forma diferente favor encaminhar.
 Abç
 Pedro Jr


 Em 4 de dezembro de 2013 13:50, Cassio Anderson Feitosa 
 cassiofeito...@gmail.com escreveu:

 8n^2+5\equiv 0\pmod 77  é equivalente a 8n^2+5 == 0 mod 7e
  8n^2+5== 0 mod 11.

 Primeira parte: 8n² == 5 mod 11  == 8n^2 == 6mod 11 == 4n² == 3 mod 11
 == 3(4n²) == 9 mod 11 ==  12n²==n²==9 mod 11 ===n==3 ou n== -3 mod
 11, ou seja, n==3 ou n== 8 mod 11.

  Segunda parte: 8n² == 5 mod 7 == 8n^2 == 2mod 7 == 4n² == 1 mod 7
 == 2(4n²) == 2 mod 7 ==  8n²==n²==2 mod 7. =   n==3 ou n== -3 mod
 11, ou seja, n==3 ou n== 4 mod 7.

  Então, o sistema n == 3 mod 11 e n == 3 mod 7 gera uma solução.
  o sistema  n == 3 mod 11 e n == 4 mod 7 gera outra solução
 n == 8 mod 11 e n == 3 mod 7 outra solução
 n == 8 mod 11 e n == 4 mod 7 outra solução.


  Daí basta pegar cada sistema de duas congruências e resolver pelo
 Teorema chinês de Resto.

  Por exemplo, a solução pro primeiro sistema é n=77q + 3, q inteiro.




 --
 Cássio Anderson
 Graduando em Matemática - UFPB

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 Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

 Professor de Matemática

 Geo João Pessoa – PB

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética não tão básica!

[Jefferson Franca]

Perdão, mas não conseguir entender pq os números têm que ser quadrados 
perfeitos ou ter expoente maior que 2?
Vc poderia explicar melhor?
Obrigado
Jefferson



Em Terça-feira, 26 de Novembro de 2013 19:07, saulo nilson 
saulo.nil...@gmail.com escreveu:
 
p+a^2= x^2 numeros da forma quadratica ou cujo expoente e par maior que 2.
p+a^2=x^2n
p=(x^n-a)(x^n+a) absurdo pois p e primo



2013/11/25 Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br

Estudando surgiram algumas dúvidas. Diante disso, peço humildemente vossa 
ajuda. Eis as dúvidas:
01. Mostre que para um determinado tipo de números a conjectura não é 
verdadeira:'' Todo inteiro positivo pode ser escrito da forma p + a^2 , onde p 
é um número primo ou 1 e a = 0.
02. Ache o número primo p que satisfaz p^6 + 3 =(côngruo)1 (mod p+2).
Att
Jefferson
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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética não tão básica!

[Jefferson Franca]

Muito obrigado Saulo.
Jefferson



Em Quarta-feira, 27 de Novembro de 2013 12:01, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:
 
Para o segundo,eu achei p = 31
p6  + 2 = 0(mod(p+2))
p6 + 2 = k(p+2)
Dividindo p6 + 2 por p+2, verifiquei que
k = (p6 + 2)/(p+2) = Q(p) + 66/(p+2)
como k é inteiro e Q(p)  também,temos que
(p+2) divide 66,então p = 31



Date: Tue, 26 Nov 2013 19:53:35 -0800
From: jeffma...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética não tão básica!
To: obm-l@mat.puc-rio.br


Obrigado Saulo



Em Terça-feira, 26 de Novembro de 2013 19:07, saulo nilson 
saulo.nil...@gmail.com escreveu:
 
p+a^2= x^2 numeros da forma quadratica ou cujo expoente e par maior que 2.
p+a^2=x^2n
p=(x^n-a)(x^n+a) absurdo pois p e primo



2013/11/25 Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br

Estudando surgiram algumas dúvidas. Diante disso, peço humildemente vossa 
ajuda. Eis as dúvidas:
01. Mostre que para um determinado tipo de números a conjectura não é 
verdadeira:'' Todo inteiro positivo pode ser escrito da forma p + a^2 , onde p 
é um número primo ou 1 e a = 0.
02. Ache o número primo p que satisfaz p^6 + 3 =(côngruo)1 (mod p+2).
Att
Jefferson
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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética não tão básica!

[marcone augusto araújo borges]

Para o segundo,eu achei p = 31p6  + 2 = 0(mod(p+2))
p6 + 2 = k(p+2)Dividindo p6 + 2 por p+2, verifiquei quek = (p6 + 2)/(p+2) = 
Q(p) + 66/(p+2)como k é inteiro e Q(p)  também,temos que(p+2) divide 66,então p 
= 31
Date: Tue, 26 Nov 2013 19:53:35 -0800
From: jeffma...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética não tão básica!
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Obrigado Saulo 
 
 Em Terça-feira, 26 de Novembro de 2013 19:07, saulo nilson 
saulo.nil...@gmail.com escreveu:
p+a^2= x^2 numeros da forma quadratica ou cujo expoente e par maior que 
2.p+a^2=x^2np=(x^n-a)(x^n+a) absurdo pois p e primo
2013/11/25 Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br
Estudando surgiram algumas dúvidas. Diante disso, peço humildemente vossa 
ajuda. Eis as dúvidas:
01. Mostre que para um determinado tipo de números a conjectura não é 
verdadeira:'' Todo inteiro positivo pode ser escrito da forma p + a^2 , onde p 
é um número primo ou 1 e a = 0.02. Ache o número primo p que satisfaz p^6 + 3 
=(côngruo)1 (mod p+2).
AttJefferson--
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[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética não tão básica!

[saulo nilson]

p+a^2= x^2 numeros da forma quadratica ou cujo expoente e par maior que 2.
p+a^2=x^2n
p=(x^n-a)(x^n+a) absurdo pois p e primo


2013/11/25 Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br

 Estudando surgiram algumas dúvidas. Diante disso, peço humildemente vossa
 ajuda. Eis as dúvidas:
 01. Mostre que para um determinado tipo de números a conjectura não é
 verdadeira:'' Todo inteiro positivo pode ser escrito da forma p + a^2 ,
 onde p é um número primo ou 1 e a = 0.
 02. Ache o número primo p que satisfaz p^6 + 3 =(côngruo)1 (mod p+2).
 Att
 Jefferson

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética não tão básica!

[Jefferson Franca]

Obrigado Saulo



Em Terça-feira, 26 de Novembro de 2013 19:07, saulo nilson 
saulo.nil...@gmail.com escreveu:
 
p+a^2= x^2 numeros da forma quadratica ou cujo expoente e par maior que 2.
p+a^2=x^2n
p=(x^n-a)(x^n+a) absurdo pois p e primo



2013/11/25 Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br

Estudando surgiram algumas dúvidas. Diante disso, peço humildemente vossa 
ajuda. Eis as dúvidas:
01. Mostre que para um determinado tipo de números a conjectura não é 
verdadeira:'' Todo inteiro positivo pode ser escrito da forma p + a^2 , onde p 
é um número primo ou 1 e a = 0.
02. Ache o número primo p que satisfaz p^6 + 3 =(côngruo)1 (mod p+2).
Att
Jefferson
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[obm-l] Aritmética não tão básica!

[Jefferson Franca]

Estudando surgiram algumas dúvidas. Diante disso, peço humildemente vossa 
ajuda. Eis as dúvidas:
01. Mostre que para um determinado tipo de números a conjectura não é 
verdadeira:'' Todo inteiro positivo pode ser escrito da forma p + a^2 , onde p 
é um número primo ou 1 e a = 0.
02. Ache o número primo p que satisfaz p^6 + 3 =(côngruo)1 (mod p+2).
Att
Jefferson
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[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[saulo nilson]

x^2+y+2=b^2
y=b^2-x^2-2
4x + y^2=a^2
4x+(b^2-x^2-2)^2=a^2
4x+(b^2-x^2-2)^2=(d^2-x^2)^2
4x=(d^2-b^2+2)(d^2+b^2-2-2x^2)
2(d^2-b^2+2)x^2+4x-(d^4-(b^2-2)^2=0
delta=(16+8(d^2-b^2+2)(d^4-(b^2-2)^2)
x=(-4+-rq(16+8(d^2-b^2+2)(d^4-(b^2-2)^2)))/4
x=-1+rq(4+2(d^2-b^2+2)(d^4-(b^2-2)^2))=-1+rq2(2+(d^2-b^2+2)^2((d^2+b^2-2)))
absurdo pois
y=b^2-2-x^2
e x e funçao de (b^2-2)^3/2b^2-2 logo se existe x0, y sera 0


2013/9/17 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

 Prove que não existem inteiros positivos x,y tais que x^2 + y + 2 e 4x +
 y^2
 são ambos quadrados perfeitos

 Eu peço uma dica para essa.


 --
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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[marcone augusto araújo borges]

Valeu,Esdras!

From: esdrasmunizm...@gmail.com
Date: Thu, 19 Sep 2013 11:38:20 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Use o seguinte fato:se a,b pertencem aos inteiros positivos, 
|a²-b²|=2*min{a,b}+1.A²=y²+4xB²=x²+y+24x=A²-y²=2y+1y+2=B²-x²=2x+1então

y=2x-1/2y=2x-1então 2x-1=y=2x-1/2  elevando ao quadrado 
fica:4x²-4x+1=y²=4x²-2y+1/4  somando 4x:(2x)²+1=A²=(2x+1)²-2x+1/4

isto nos dá um absurdo, pois o roximo quadrado depois de(2x)² é (2x+1)².

Em 17 de setembro de 2013 15:33, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:





Prove que não existem inteiros positivos x,y tais que x^2 + y + 2 e 4x + y^2são 
ambos quadrados perfeitos
Eu peço uma dica para essa. 



 
 



  


  


  


  


 
 



  


  


  


  

  
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 acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Esdras Muniz Mota
Graduando em Matemática Bacharelado
Universidade Federal do Ceará

Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto


--

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 acredita-se estar livre de perigo.   
-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Esdras Muniz]

Use o seguinte fato:
se a,b pertencem aos inteiros positivos, |a²-b²|=2*min{a,b}+1.
A²=y²+4x
B²=x²+y+2
4x=A²-y²=2y+1
y+2=B²-x²=2x+1
então
y=2x-1/2
y=2x-1
então
2x-1=y=2x-1/2  elevando ao quadrado fica:
4x²-4x+1=y²=4x²-2y+1/4  somando 4x:
(2x)²+1=A²=(2x+1)²-2x+1/4
isto nos dá um absurdo, pois o roximo quadrado depois de(2x)² é (2x+1)².


Em 17 de setembro de 2013 15:33, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Prove que não existem inteiros positivos x,y tais que x^2 + y + 2 e 4x +
 y^2
 são ambos quadrados perfeitos

 Eu peço uma dica para essa.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Esdras Muniz Mota
Graduando em Matemática Bacharelado
Universidade Federal do Ceará

Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Aritmética

[marcone augusto araújo borges]

Prove que não existem inteiros positivos x,y tais que x^2 + y + 2 e 4x + y^2são 
ambos quadrados perfeitos
Eu peço uma dica para essa. 



 
 



  


  


  


  


 
 



  


  


  


  

  
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Aritmética

[marcone augusto araújo borges]

Mostre que existe uma correspondencia biunivoca entre pares de primos gemeos e 
os numeros n tais que n^2 - 1 possui 4 divisores.
 
  

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[terence thirteen]

2012/10/25 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com:
 Mostre que existe uma correspondencia biunivoca entre pares de primos gemeos
 e os numeros n tais que n^2 - 1 possui 4 divisores.

(n-1)(n+1)

Se n for ímpar, n=2k+1, 2k(2k+2)=4k(k+1) terá mais de 4 divisores:
1,2,4 e os divisores de k e os de k+1.

Logo n é par, e teremos os divisores de 2k-1 e 2k+1.

Cada um deles, 2k-1 e 2k+1, contribui com 1 e ele mesmo no total de
divisores. Como queremos exatos 4, estes são os máximos. Logo 2k-1 e
2k+1 são primos, e como distam 2, acabou !






-- 
/**/
神が祝福

Torres

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética(ajuda)

[terence thirteen]

Em 9 de outubro de 2012 00:23, marcone augusto araújo borges
marconeborge...@hotmail.com escreveu:
 Mostre que a soma de todos os números naturais menores ou iguais a n divide
 o seu produto se,e somente se,
 n+1 é composto.

Se n=2k: k(2k+1) divide (2k)!. Se 2k+1 for primo, isto é claramente falso.

Se n=2k+1: (2k+1)(k+1) divide (2k+2)! é verdadeiro, e 2k+2 é composto.

-- 
/**/
神が祝福

Torres

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Aritmética(ajuda)

[marcone augusto araújo borges]

Mostre que a soma de todos os números naturais menores ou iguais a n divide o 
seu produto se,e somente se,n+1 é composto. 

[obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/4/16 Carlos Nehab carlos.ne...@gmail.com:
 2) Solução
 X = 0,3737...  Y = 0,7373...
 Na primeira base r1:
 (r1^2-1).X = 3r1+7
 (r1^2-1).Y = 7r1+3
 Somando, (r1^2-1)(X+Y) = 10(r1+1), ou seja,
 (r1-1)(X+Y)=10    (A)
 Dai já sabemos que r1-1 = 1, 2, 5 ou 10. Mas r1  7, logo r1 = 11 e X + Y =
 1
Hum, X e Y são frações, certo? Porque então você insiste que X+Y seja
inteiro (única razão que eu vi para que r1 - 1 divida 10) ? Nesse caso
até que dá certo, mas sei lá, podia ser que X+Y = 1/2 (mas teria
talvez que mudar a expressão na base r2)

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Carlos Nehab]

Caramba, Bernardo!

Você tem toda razão...  Obrigado pela correção!
De fato, então, talvez o único eventual mérito tenha sido obter as equações
(r1-1)(X+Y) = 10 e
(r2-1)(X+Y) = 7,
mais diretamente.
Daí, segue-se a solução dos colegas...,
Mais uma vez obrigado!
Abraços,
Nehab

Em 16/04/2012 03:20, Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu:

2012/4/16 Carlos Nehabcarlos.ne...@gmail.com:

2) Solução
X = 0,3737...  Y = 0,7373...
Na primeira base r1:
(r1^2-1).X = 3r1+7
(r1^2-1).Y = 7r1+3
Somando, (r1^2-1)(X+Y) = 10(r1+1), ou seja,
(r1-1)(X+Y)=10(A)
Dai já sabemos que r1-1 = 1, 2, 5 ou 10. Mas r1  7, logo r1 = 11 e X + Y =
1

Hum, X e Y são frações, certo? Porque então você insiste que X+Y seja
inteiro (única razão que eu vi para que r1 - 1 divida 10) ? Nesse caso
até que dá certo, mas sei lá, podia ser que X+Y = 1/2 (mas teria
talvez que mudar a expressão na base r2)

Abraços,


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Eduardo Wilner]

A idéia seria repetir para a base r2 e eliminar X+Y (ou f1+f2 como no original) 
entre as duas equações, ficando com a diofantina  em r1 e r2...

[  ]'s

--- Em seg, 16/4/12, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com 
escreveu:

De: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Segunda-feira, 16 de Abril de 2012, 3:20

2012/4/16 Carlos Nehab carlos.ne...@gmail.com:
 2) Solução
 X = 0,3737...  Y = 0,7373...
 Na primeira base r1:
 (r1^2-1).X = 3r1+7
 (r1^2-1).Y = 7r1+3
 Somando, (r1^2-1)(X+Y) = 10(r1+1), ou seja,
 (r1-1)(X+Y)=10    (A)
 Dai já sabemos que r1-1 = 1, 2, 5 ou 10. Mas r1  7, logo r1 = 11 e X + Y =
 1
Hum, X e Y são frações, certo? Porque então você insiste que X+Y seja
inteiro (única razão que eu vi para que r1 - 1 divida 10) ? Nesse caso
até que dá certo, mas sei lá, podia ser que X+Y = 1/2 (mas teria
talvez que mudar a expressão na base r2)

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] aritmética

[Jefferson Franca]

Um aluno muito curioso e estudioso(tomara!) me deu esta questão durante uma 
aula semana passada e tentei, tentei e nada!
Será que alguém pode dar um ajuda aí?
Em
uma base R1 uma fração F1 se escreve como 0,373737... enquanto que uma
fração F2 é escrita como0,737373 . Em outra base R2, a fração F1 é escrita como 
0,252525...  e a fração F2 como 0,525252...A soma R1 + R2 no sistema de
numeração decimal é:
a)
24   b)
22  c) 21   d)
20    e) 19

[obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Pedro Nascimento]

Passando pra base decimal temos:

(I) f1=3*r1^(-1)+7*r1^(-2)+3*r1^(-3)+7*r1^(-4)+...

(II) f2=7*r1^(-1)+3*r1^(-2)+7*r1^(-3)+3*r1^(-4)+...

(III) f1=2*r2^(-1)+5*r2^(-2)+2*r2^(-3)+5*r2^(-4)+...

(IV) f2=5*r2^(-1)+2*r2^(-2)+5*r2^(-3)+2*r2^(-4)+...

Somando as equacoes (I) e (II) :

(f2+f1)/10=  r1^-1   +r1^-2  +r1^-3  +r1^-4+...

Somando (III) e (IV):

(f2+f1)/7=r2^-1  +r2^-2  +r2^-3  +r2^-4+...

Assim, como o lado direito das duas equacoes eh uma PG infinita, temos:

(f2+f1)/10=r1^(-1)/(1 - r1^(-1))=1/(r1 - 1)

(f2+f1)/7=r2^(-1)/(1 - r2^(-1))=1/(r2 - 1)

Igualando:

10/( r1 - 1 )=7/(r2 - 2)
10*r2 - 20 =7*r1 - 7

10*r2 - 7*r1 = 13

Como r2 e r1 sao inteiros, resolvendo a equacao diofantina :

r2=7*n + 2
r1=10*n + 1

Tem a restricao de a base R1 ser maior que 7 ( pois aparece o digito 7) e a
base R2 ser maior q 5, logo n=1.

Pelas opcoes do enunciado fazendo n=1, r2=9 e r1=11 , logo : R1+R2=20

Acho q eh isso...
Abracos,
 Pedro.


Em 15 de abril de 2012 18:39, Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.brescreveu:

 Um aluno muito curioso e estudioso(tomara!) me deu esta questão durante
 uma aula semana passada e tentei, tentei e nada!
 Será que alguém pode dar um ajuda aí?
 Em uma base R1 uma fração F1 se escreve como 0,373737... enquanto que uma
 fração F2 é escrita como0,737373 . Em outra base R2, a fração F1 é
 escrita como 0,252525...  e a fração F2 como 0,525252...A soma R1 + R2 no
 sistema de numeração decimal é:
 a) 24   b) 22  c) 21   d) 20e) 19

Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[J. R. Smolka]

Abordei o problema com o mesmo método que você Pedro, mas encontrei uma 
divergência quando chegamos nesta expressão:


10/( r1 - 1 )=7/(r2 - 1) == 10*r2 - 10 =7*r1 - 7 == 10*r2 - 7*r1 = 3

O que leva o resultado para r1 = 11 e r2 = 8, logo r1 + r2 = 19 
(alternativa E)


[ ]'s

*J. R. Smolka*

P.S.: No primeiro passo, quando você usou a expressão passando pra base 
decimal, o correto seria dizer que você está expandindo f1 e f2 nos 
seus polinômios equivalentes nas bases r1 e r2.


/Em 15/04/2012 19:26, Pedro Nascimento escreveu:/

Passando pra base decimal temos:

(I) f1=3*r1^(-1)+7*r1^(-2)+3*r1^(-3)+7*r1^(-4)+...

(II) f2=7*r1^(-1)+3*r1^(-2)+7*r1^(-3)+3*r1^(-4)+...

(III) f1=2*r2^(-1)+5*r2^(-2)+2*r2^(-3)+5*r2^(-4)+...

(IV) f2=5*r2^(-1)+2*r2^(-2)+5*r2^(-3)+2*r2^(-4)+...

Somando as equacoes (I) e (II) :

(f2+f1)/10=  r1^-1   +r1^-2  +r1^-3  +r1^-4+...

Somando (III) e (IV):

(f2+f1)/7=r2^-1  +r2^-2  +r2^-3  +r2^-4+...

Assim, como o lado direito das duas equacoes eh uma PG infinita, temos:

(f2+f1)/10=r1^(-1)/(1 - r1^(-1))=1/(r1 - 1)

(f2+f1)/7=r2^(-1)/(1 - r2^(-1))=1/(r2 - 1)

Igualando:

10/( r1 - 1 )=7/(r2 - 2)
10*r2 - 20 =7*r1 - 7

10*r2 - 7*r1 = 13

Como r2 e r1 sao inteiros, resolvendo a equacao diofantina :

r2=7*n + 2
r1=10*n + 1

Tem a restricao de a base R1 ser maior que 7 ( pois aparece o digito 
7) e a base R2 ser maior q 5, logo n=1.


Pelas opcoes do enunciado fazendo n=1, r2=9 e r1=11 , logo : R1+R2=20

Acho q eh isso...
Abracos,
 Pedro.


Em 15 de abril de 2012 18:39, Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br 
mailto:jeffma...@yahoo.com.br escreveu:


Um aluno muito curioso e estudioso(tomara!) me deu esta questão
durante uma aula semana passada e tentei, tentei e nada!
Será que alguém pode dar um ajuda aí?
Em uma base R1 uma fração F1se escreve como 0,373737...enquanto
que uma fração F2é escrita como0,737373 . Em outra base R2, a
fração F1é escrita como 0,252525... e a fração F2como 0,525252...A
soma R1 + R2no sistema de numeração decimal é:
a) 24b) 22c) 21d) 20e) 19

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Eduardo Wilner]

Acho que houve algum engano pois encontrei 

10*r2 - 7*r1 = 3  --  r2 =(7*r1 + 3)/10  --  r1=11 , r2=8   --  r1+r2=19.

[ ]'s

--- Em dom, 15/4/12, Pedro Nascimento pedromn...@gmail.com escreveu:

De: Pedro Nascimento pedromn...@gmail.com
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Domingo, 15 de Abril de 2012, 19:26


Passando pra base decimal temos:
(I) f1=3*r1^(-1)+7*r1^(-2)+3*r1^(-3)+7*r1^(-4)+...
(II) f2=7*r1^(-1)+3*r1^(-2)+7*r1^(-3)+3*r1^(-4)+...

(III) f1=2*r2^(-1)+5*r2^(-2)+2*r2^(-3)+5*r2^(-4)+...
(IV) f2=5*r2^(-1)+2*r2^(-2)+5*r2^(-3)+2*r2^(-4)+...
Somando as equacoes (I) e (II) :
(f2+f1)/10=  r1^-1   +r1^-2  +r1^-3  +r1^-4+...

Somando (III) e (IV):
(f2+f1)/7=r2^-1  +r2^-2  +r2^-3  +r2^-4+...
Assim, como o lado direito das duas equacoes eh uma PG infinita, temos:

(f2+f1)/10=r1^(-1)/(1 - r1^(-1))=1/(r1 - 1)
(f2+f1)/7=r2^(-1)/(1 - r2^(-1))=1/(r2 - 1)
Igualando:
10/( r1 - 1 )=7/(r2 - 2)10*r2 - 20 =7*r1 - 7

10*r2 - 7*r1 = 13
Como r2 e r1 sao inteiros, resolvendo a equacao diofantina :
r2=7*n + 2r1=10*n + 1
Tem a restricao de a base R1 ser maior que 7 ( pois aparece o digito 7) e a 
base R2 ser maior q 5, logo n=1.

Pelas opcoes do enunciado fazendo n=1, r2=9 e r1=11 , logo : R1+R2=20
Acho q eh isso...Abracos, Pedro.

Em 15 de abril de 2012 18:39, Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br 
escreveu:

Um aluno muito curioso e estudioso(tomara!) me deu esta questão durante uma 
aula semana passada e tentei, tentei e nada!
Será que alguém pode dar um ajuda aí?
















Em
uma base R1 uma fração F1 se escreve como 0,373737... enquanto que uma
fração F2 é escrita como0,737373 . Em outra base R2, a fração F1 é escrita como 
0,252525...  e a fração F2 como 0,525252...A soma R1 + R2 no sistema de
numeração decimal é:

a)
24   b)
22  c) 21   d)
20   
e) 19

Re: [obm-l] aritmética

[Carlos Nehab]

Oi, Jefferson,

Eu faria assim...

1) Explicação preliminar:
Se A = 0,4545...  (1)
é uma dízima na base 10,
usualmente sugiro aos alunos para ajeitar as coisas, multiplicando, 
neste caso, X por 100...

100.A = 45,4545...  (2)
Subtraindo (2) - (1) obtemos
99X = 45 = 4.10+5,
Em outra base b o que fozemos éequivalente a:
(b^2-1).X = 4b+5

2) Solução
X = 0,3737...  Y = 0,7373...
Na primeira base r1:
(r1^2-1).X = 3r1+7
(r1^2-1).Y = 7r1+3
Somando, (r1^2-1)(X+Y) = 10(r1+1), ou seja,
(r1-1)(X+Y)=10(A)
Dai já sabemos que r1-1 = 1, 2, 5 ou 10. Mas r1  7, logo r1 = 11 e X + 
Y = 1

(nem precisamos dos dados da outra base)
Usando os dados na outra base r2 obteríamos
(r2-1)(X+Y) = 7(B)
o que nos leva a r2 -1 =1 ou 7, mas r2 6  logo r2 = 8 e X+Y =1

Fazendo as continhas podemos obter X e Y que, valem X = 1/3 e Y = 2/3

Abraços
Nehab


Em 15/04/2012 18:39, Jefferson Franca escreveu:
Um aluno muito curioso e estudioso(tomara!) me deu esta questão 
durante uma aula semana passada e tentei, tentei e nada!

Será que alguém pode dar um ajuda aí?
Em uma base R1 uma fração F1se escreve como 0,373737...enquanto que 
uma fração F2é escrita como0,737373 . Em outra base R2, a fração F1é 
escrita como 0,252525... e a fração F2como 0,525252...A soma R1 + R2no 
sistema de numeração decimal é:

a) 24b) 22c) 21d) 20e) 19

Re: [obm-l] aritmética

[Carlos Nehab]

Jefferson, apenas uma obs complementar:
Eu pensei que o problema desejava X+Y e não r1+r2. Logo a informação da 
segunda base é, obviamente, essencial, e não desnecessária como eu sugeri.

Abraços,
Nehab


Em 15/04/2012 23:17, Carlos Nehab escreveu:

Oi, Jefferson,

Eu faria assim...

1) Explicação preliminar:
Se A = 0,4545...  (1)
é uma dízima na base 10,
usualmente sugiro aos alunos para ajeitar as coisas, multiplicando, 
neste caso, X por 100...

100.A = 45,4545...  (2)
Subtraindo (2) - (1) obtemos
99X = 45 = 4.10+5,
Em outra base b o que fozemos éequivalente a:
(b^2-1).X = 4b+5

2) Solução
X = 0,3737...  Y = 0,7373...
Na primeira base r1:
(r1^2-1).X = 3r1+7
(r1^2-1).Y = 7r1+3
Somando, (r1^2-1)(X+Y) = 10(r1+1), ou seja,
(r1-1)(X+Y)=10(A)
Dai já sabemos que r1-1 = 1, 2, 5 ou 10. Mas r1  7, logo r1 = 11 e X 
+ Y = 1

(nem precisamos dos dados da outra base)
Usando os dados na outra base r2 obteríamos
(r2-1)(X+Y) = 7(B)
o que nos leva a r2 -1 =1 ou 7, mas r2 6  logo r2 = 8 e X+Y =1

Fazendo as continhas podemos obter X e Y que, valem X = 1/3 e Y = 2/3

Abraços
Nehab


Em 15/04/2012 18:39, Jefferson Franca escreveu:
Um aluno muito curioso e estudioso(tomara!) me deu esta questão 
durante uma aula semana passada e tentei, tentei e nada!

Será que alguém pode dar um ajuda aí?
Em uma base R1 uma fração F1se escreve como 0,373737...enquanto que 
uma fração F2é escrita como0,737373 . Em outra base R2, a fração F1é 
escrita como 0,252525... e a fração F2como 0,525252...A soma R1 + 
R2no sistema de numeração decimal é:

a) 24b) 22c) 21d) 20e) 19

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Pedro Nascimento]

Eh , acabei escrevendo certo em cima, na hora de copiar pra baixo saiu
7/(r2 -2) ao inves de 7/(r2 -1).

Em 15 de abril de 2012 22:45, J. R. Smolka smo...@terra.com.br escreveu:

  Abordei o problema com o mesmo método que você Pedro, mas encontrei uma
 divergência quando chegamos nesta expressão:

 10/( r1 - 1 )=7/(r2 - 1) == 10*r2 - 10 =7*r1 - 7 == 10*r2 - 7*r1 = 3

 O que leva o resultado para r1 = 11 e r2 = 8, logo r1 + r2 = 19
 (alternativa E)

 [ ]'s

  *J. R. Smolka*

 P.S.: No primeiro passo, quando você usou a expressão passando pra base
 decimal, o correto seria dizer que você está expandindo f1 e f2 nos seus
 polinômios equivalentes nas bases r1 e r2.

 *Em 15/04/2012 19:26, Pedro Nascimento escreveu:*

 Passando pra base decimal temos:

  (I) f1=3*r1^(-1)+7*r1^(-2)+3*r1^(-3)+7*r1^(-4)+...

  (II) f2=7*r1^(-1)+3*r1^(-2)+7*r1^(-3)+3*r1^(-4)+...

  (III) f1=2*r2^(-1)+5*r2^(-2)+2*r2^(-3)+5*r2^(-4)+...

  (IV) f2=5*r2^(-1)+2*r2^(-2)+5*r2^(-3)+2*r2^(-4)+...

  Somando as equacoes (I) e (II) :

  (f2+f1)/10=  r1^-1   +r1^-2  +r1^-3  +r1^-4+...

  Somando (III) e (IV):

  (f2+f1)/7=r2^-1  +r2^-2  +r2^-3  +r2^-4+...

  Assim, como o lado direito das duas equacoes eh uma PG infinita, temos:

  (f2+f1)/10=r1^(-1)/(1 - r1^(-1))=1/(r1 - 1)

  (f2+f1)/7=r2^(-1)/(1 - r2^(-1))=1/(r2 - 1)

  Igualando:

  10/( r1 - 1 )=7/(r2 - 2)
 10*r2 - 20 =7*r1 - 7

  10*r2 - 7*r1 = 13

  Como r2 e r1 sao inteiros, resolvendo a equacao diofantina :

  r2=7*n + 2
 r1=10*n + 1

  Tem a restricao de a base R1 ser maior que 7 ( pois aparece o digito 7)
 e a base R2 ser maior q 5, logo n=1.

  Pelas opcoes do enunciado fazendo n=1, r2=9 e r1=11 , logo : R1+R2=20

  Acho q eh isso...
 Abracos,
  Pedro.


  Em 15 de abril de 2012 18:39, Jefferson Franca 
 jeffma...@yahoo.com.brescreveu:

  Um aluno muito curioso e estudioso(tomara!) me deu esta questão durante
 uma aula semana passada e tentei, tentei e nada!
 Será que alguém pode dar um ajuda aí?
  Em uma base R1 uma fração F1 se escreve como 0,373737... enquanto que
 uma fração F2 é escrita como0,737373 . Em outra base R2, a fração F1 é
 escrita como 0,252525...  e a fração F2 como 0,525252...A soma R1 + R2 no
 sistema de numeração decimal é:
 a) 24   b) 22  c) 21   d) 20e) 19

[obm-l] ARITMÉTICA BINÁRIA!

[Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis]

Ok! Pessoal! Simpatizava com o seguinte raciocínio Como a chance de ter 
escolhido uma das malas ruins no início é bastante alta, é muito melhor trocar 
de mala, pois é quase certo que a única mala não eliminada é a boa. Agora, e 
quanto ao problema das quatro portas, qual o bizú?
 
O 68030 tem três linhas para arbitragem de barramento, versus apenas duas no 
80386. Suponha que a arbitragem de barramento gaste um ciclo e que uma 
transferência de dados gaste quatro. Se a taxa do relógio, velocidade interna e 
todos os outros fatores fossem os mesmos, qual máquina seria mais rápida, e por 
quanto? (Taí, uma pergunta capciosa!)
 
Agora, voltando a tabuada binária, voces sabiam que...podemos utilizar os dedos 
para realizar multiplicações entre os números de 6 a 10 ou mesmo a tabuada dos 
nove...(Isso não é brincadeira!)
 
 
Divirtam-se!  

[obm-l] Re:[Spam] [obm-l] Aritmética dos I nteiros

[fgb1]

Caro amigo, deificilmente irá conseguir uma cópia desse livro por aqui.
A lista possui muitos autores e todos sabem que copiar livro é crime.
Na fnac e interciência vc encontra exemplares. Caso não tenha é possível 
encomendá-lo.

Abç
De:[EMAIL PROTECTED]

Para:obm-l@mat.puc-rio.br

Cópia:

Data:Wed, 28 Mar 2007 22:45:58 -0300 (ART)

Assunto:[Spam] [obm-l] Aritmética dos Inteiros

 Solicito aos amigos ajuda para conseguir uma cópia do livro do Edgard de 
 Alencar Filho, Aritmética dos Inteiros pois, a referente obra, é de díficil 
 obtenção e, é uma importante referência no estudo da aritmética superior.

 Quem puder me ajudar a conseguir uma cópia por favor retorne este e-mail.

 Obrigado.
__
Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger
http://br.messenger.yahoo.com/


E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente.
Para alterar a categoria classificada, visite o Terra Mail


Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra.
Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 28/03/2007 / Versão: 5.1.00/4994
Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/


Fábio Bernardo
[EMAIL PROTECTED]
Tel. 2676-6854

[obm-l] Aritmética dos Inteiros

[Paulo Rodrigues]

Solicito aos amigos ajuda para conseguir uma cópia do livro do Edgard de 
Alencar Filho, Aritmética dos Inteiros pois, a referente obra, é de díficil 
obtenção e, é uma importante referência no estudo da aritmética superior.
   
  Quem puder me ajudar a conseguir uma cópia por favor retorne este e-mail.
   
  Obrigado.

 __
Fale com seus amigos  de graça com o novo Yahoo! Messenger 
http://br.messenger.yahoo.com/ 

[obm-l] Aritmética Progressiva

[Ilídio Leite]

olá, Marcio...

obrigado pela resposta...
provavelmente amanhã (segunda) passarei pelo sebo e olharei melhor o livro, se possível...
qualqre coisa te aviso...



abraços,
Ilídio Leite

[obm-l] Aritmética Progressiva

[Ilídio Leite]

olá...

alguém conhece o livro Aritmética Progressiva, de Antônio Trajano?
achei um exemplar num sebo mas estava encapado, não pude folheá-lo.


abraços a todos,
Ilídio Leite

Re: [obm-l] Aritmética Progressiva

[Marcio M Rocha]

Ilídio Leite escreveu:


olá...
 
alguém conhece o livro Aritmética Progressiva, de Antônio Trajano?

achei um exemplar num sebo mas estava encapado, não pude folheá-lo.
 
 
abraços a todos,

Ilídio Leite


Caro Ilídio,

Eu tinha um exemplar deste livro. Fiquei muito empolgado quando comprei 
porque o Elon (que ele me desculpe a intimidade) fala sempre muito bem 
deste livro. Bem, entrei em contato com o próprio Elon falando sobre o 
livro e coisa e tal e aí veio o balde de água fria: minha edição não era 
a que ele usara, ou seja, o exemplar que estava comigo já havia sofrido 
alterações e reduções. Havia comprado gato por lebre.


Se você conseguir uma permissão para dar uma olhada no interior do 
livro, procure se consta a definição de proporcionalidade. Se constar, 
compre o livro (e depois vou tentar uma cópia contigo!), caso contrário, 
não creio que o investimento valha a pena, mas aí é contigo.


Abraços,

Márcio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Aritmética

[Faelccmm]

Em uma mensagem de 04/05/05 14:34:06 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:


01.O excesso de gordura no organismo é nocivo à saúde. Considere uma pessoa, com massa corporal estável, que deseje perder gordura, sem alterar sua dieta alimentar. Para essa pessoa, um dispêndio energético de 9 kcal em atividades físicas corresponde à perda de 1 g de gordura corporal.

Para perder 6,0 kg de gordura, o tempo, em minutos, que ela necessita dedicar a atividades físicas, despendendo, em média, 12 kcal/min, corresponde a:

a) 2,0 × 102 b) 4,5 × 103 c) 8,0 × 104 d) 6,0 × 105

 

 

 

02.Uma pista de corrida com 7,5 km de extensão tem a forma de uma curva circular fechada. Um ciclista é capaz de fazer o percurso completo em 20 minutos, enquanto um corredor o faz em meia hora. Considere que o ciclista e o corredor partam do mesmo ponto A da pista, no mesmo instante, ambos mantendo velocidades constantes ao longo de todo o percurso, porém deslocando-se em sentidos contrários.O tempo mínimo necessário, em minutos, para que ambos voltem a se encontrar é igual a:

 a) 10 b) 12 c) 13 d) 15

 

 

03.Três operários foram contratados para executar uma tarefa pela qual receberiam, juntos, a importância total de R$180,00. Um deles trabalhou cinco dias; o segundo, quatro; o último, três.

Supondo-se que cada um tenha recebido a mesma quantia por dia de trabalho, o valor pago ao que trabalhou menos dias foi:

a) R$ 15,00 b) R$ 30,00 c) R$ 45,00 d) R$ 60,00



1) 

9 Kcal / 1 g = x Kcal / 6000 g
x = 54000 Kcal

12 Kcal / 1 min = 54000 Kcal / y min
y = 4500 min = 4,5*10^3 min 

2) 

velocidade do ciclista (V[1]) = 7,5 km / 20 min = 7500 m / 20 min = 375 m / min
velocidade do corredor (V[2] = 7,5 km / 30 min = 7500 m / 30 min = 250 m / min

t*(v[1] + v[2]) = 7500
t = 7500 / (375 + 250)
t = 7500 / 625
t = 12 minutos

3) 

a + b + c = 180 

a/5 = b/4 = c/3 = (a + b + c) / (5 + 4 + 3) = 180 / 12 = 15

a = 5*15 = 75
b = 4*15 = 60
c = 3*15 = 45

O que trabalhou menos dias (3 dias) foi o c e lhe foi pago 45 reais 


[]`s
Rafael

Re: [obm-l] Aritmética

[saulo nilson]

4) 1/2*1/6=1/12
abraçco, saulo.

On 5/7/05, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Em uma mensagem de 04/05/05 14:34:06 Hora padrão leste da Am. Sul,
 [EMAIL PROTECTED] escreveu:
 
 
 01.O excesso de gordura no organismo é nocivo à saúde. Considere uma pessoa,
 com massa corporal estável, que deseje perder gordura, sem alterar sua dieta
 alimentar. Para essa pessoa, um dispêndio energético de 9 kcal em atividades
 físicas corresponde à perda de 1 g de gordura corporal.
 
 Para perder 6,0 kg de gordura, o tempo, em minutos, que ela necessita
 dedicar a atividades físicas, despendendo, em média, 12 kcal/min,
 corresponde a:
 
 a) 2,0 × 102b) 4,5 × 103 c) 8,0 × 104   
   d) 6,0 × 105
 
 
 
 
 
 
 
 02.Uma pista de corrida com 7,5 km de extensão tem a forma de uma curva
 circular fechada. Um ciclista é capaz de fazer o percurso completo em 20
 minutos, enquanto um corredor o faz em meia hora. Considere que o ciclista e
 o corredor partam do mesmo ponto A da pista, no mesmo instante, ambos
 mantendo velocidades constantes ao longo de todo o percurso, porém
 deslocando-se em sentidos contrários.O tempo mínimo necessário, em minutos,
 para que ambos voltem a se encontrar é igual a:
 
  a) 10  b) 12c) 13 d) 15
 
 
 
 
 
 03.Três operários foram contratados para executar uma tarefa pela qual
 receberiam, juntos, a importância total de R$180,00. Um deles trabalhou
 cinco dias; o segundo, quatro; o último, três.
 
 Supondo-se que cada um tenha recebido a mesma quantia por dia de trabalho, o
 valor pago ao que trabalhou menos dias foi:
 
 a) R$ 15,00 b) R$ 30,00c) R$ 45,00d) R$ 60,00
 
 
 
 1) 
 
 9 Kcal / 1 g = x Kcal / 6000 g
 x = 54000 Kcal
 
 12 Kcal / 1 min = 54000 Kcal / y min
 y = 4500 min = 4,5*10^3 min 
 
 2) 
 
 velocidade do ciclista (V[1]) =  7,5 km / 20 min = 7500 m / 20 min = 375 m /
 min
 velocidade do corredor (V[2] =  7,5 km / 30 min = 7500 m / 30 min = 250 m /
 min
 
 t*(v[1] + v[2]) = 7500
 t = 7500 / (375 + 250)
 t = 7500 / 625
 t = 12 minutos
 
 3) 
 
 a + b + c = 180 
 
 a/5 = b/4 = c/3 = (a + b + c) / (5 + 4 + 3) = 180 / 12 = 15
 
 a = 5*15 = 75
 b = 4*15 = 60
 c = 3*15 = 45
 
 O que trabalhou menos dias (3 dias) foi o c e lhe foi pago 45 reais 
 
 
 []`s
 Rafael

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re:[Desejados] [obm-l] Aritmética

[fgb1]

De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Wed, 4 May 2005 14:32:14 -0300




Assunto:
[Desejados] [obm-l] Aritmética

 Não sei se alguem já fez a última. Aí vai:


2/3 3/5  5/9
x  7/8  4

2/3x=3/5.8/7.5/9.1/4

x = 7


01.O excesso de gordura no organismo é nocivo à saúde. Considere uma pessoa, com massa corporal estável, que deseje perder gordura, sem alterar sua dieta alimentar. Para essa pessoa, um dispêndio energético de 9 kcal em atividades físicas corresponde à perda de 1 g de gordura corporal.
Para perder 6,0 kg de gordura, o tempo, em minutos, que ela necessita dedicar a atividades físicas, despendendo, em média, 12 kcal/min, corresponde a:
a) 2,0 × 102  b) 4,5 × 103 c) 8,0 × 104 d) 6,0 × 105



02.Uma pista de corrida com 7,5 km de extensão tem a forma de uma curva circular fechada. Um ciclista é capaz de fazer o percurso completo em 20 minutos, enquanto um corredor o faz em meia hora. Considere que o ciclista e o corredor partam do mesmo ponto A da pista, no mesmo instante, ambos mantendo velocidades constantes ao longo de todo o percurso, porém deslocando-se em sentidos contrários.O tempo mínimo necessário, em minutos, para que ambos voltem a se encontrar é igual a:
 a) 10 b) 12 c) 13 d) 15


03.Três operários foram contratados para executar uma tarefa pela qual receberiam, juntos, a importância total de R$180,00. Um deles trabalhou cinco dias; o segundo, quatro; o último, três.
Supondo-se que cada um tenha recebido a mesma quantia por dia de trabalho, o valor pago ao que trabalhou menos dias foi:
a) R$ 15,00 b) R$ 30,00 c) R$ 45,00 d) R$ 60,00

04.Um prêmio da sena saiu para dois cartões, um da cidade A e outro da cidade B. Nesta última, o cartão era de 6 apostadores, tendo cada um contribuído com a mesma importância para a aposta. A fração do prêmio total, que cada apostador da cidade B receberá, é:
a) 1/6 b) 1/8 c) 1/9 d) 1/10 e) 1/12

05.Três grandezas X, Y e Z são tais que X é diretamente proporcional a Y é inversamente proporcional a Z.. Quando X vale 2/3 tem-se Y valendo 3/5 e Z valendo 9/5. Assim, se Y vale 7/8 e Z vale 1/4, X vale
a) 1/7 b) 2/7 c) 5/7 d) 7/2 e) 7




Alguém poderia me ajudar nestas questoes?


Agradeço desde de já.


Ary Queiiroz






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Fábio Bernardo
[EMAIL PROTECTED]
Tel. 2676-6854

Re: [obm-l] Aritmética

[Eduardo Wilner]

--- matduvidas48 [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 05.Três grandezas X, Y e Z são tais que X é
 diretamente proporcional a Y é inversamente
 proporcional a Z.. Quando X vale 2/3 tem-se Y
 valendo 3/5 e Z valendo 9/5. Assim, se Y vale 7/8 e
 Z vale 1/4, X vale
 a) 1/7  b) 2/7   c) 5/7 
   d) 7/2e) 7

  Deve haver algum engano, se vc. quis dizer X é
  diretamente proporcional a Y e(ou e Y é)
inversamente
 proporcional a Z.

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[obm-l] Aritmética

[matduvidas48]

01.O excesso de gordura no organismo é nocivo à saúde. Considere uma pessoa, com massa corporal estável, que deseje perder gordura, sem alterar sua dieta alimentar. Para essa pessoa, um dispêndio energético de 9 kcal em atividades físicas corresponde à perda de 1 g de gordura corporal.
Para perder 6,0 kg de gordura, o tempo, em minutos, que ela necessita dedicar a atividades físicas, despendendo, em média, 12 kcal/min, corresponde a:
a) 2,0 × 102  b) 4,5 × 103 c) 8,0 × 104 d) 6,0 × 105



02.Uma pista de corrida com 7,5 km de extensão tem a forma de uma curva circular fechada. Um ciclista é capaz de fazer o percurso completo em 20 minutos, enquanto um corredor o faz em meia hora. Considere que o ciclista e o corredor partam do mesmo ponto A da pista, no mesmo instante, ambos mantendo velocidades constantes ao longo de todo o percurso, porém deslocando-se em sentidos contrários.O tempo mínimo necessário, em minutos, para que ambos voltem a se encontrar é igual a:
 a) 10 b) 12 c) 13 d) 15


03.Três operários foram contratados para executar uma tarefa pela qual receberiam, juntos, a importância total de R$180,00. Um deles trabalhou cinco dias; o segundo, quatro; o último, três.
Supondo-se que cada um tenha recebido a mesma quantia por dia de trabalho, o valor pago ao que trabalhou menos dias foi:
a) R$ 15,00 b) R$ 30,00 c) R$ 45,00 d) R$ 60,00

04.Um prêmio da sena saiu para dois cartões, um da cidade A e outro da cidade B. Nesta última, o cartão era de 6 apostadores, tendo cada um contribuído com a mesma importância para a aposta. A fração do prêmio total, que cada apostador da cidade B receberá, é:
a) 1/6 b) 1/8 c) 1/9 d) 1/10 e) 1/12

05.Três grandezas X, Y e Z são tais que X é diretamente proporcional a Y é inversamente proporcional a Z.. Quando X vale 2/3 tem-se Y valendo 3/5 e Z valendo 9/5. Assim, se Y vale 7/8 e Z vale 1/4, X vale
a) 1/7 b) 2/7 c) 5/7 d) 7/2 e) 7




Alguém poderia me ajudar nestas questoes?


Agradeço desde de já.


Ary Queiiroz

Re: [obm-l] Aritmética

[Fábio Dias Moreira]

matduvidas48 said:
 [...]
 04.Um prêmio da sena saiu para dois cartões, um da cidade A e outro da
 cidade B. Nesta última, o cartão era de 6 apostadores, tendo cada um
 contribuído com a mesma importância para a aposta. A fração do prêmio
 total, que cada apostador da cidade B receberá, é: a) 1/6b) 1/8
   c) 1/9  d) 1/10  e) 1/12
 [...]

Cada cartão recebe metade do prêmio, cada apostador da cidade B recebe um
sexto deste dinheiro (pois são seis apostadores). Logo a resposta é
1/2*1/6 = 1/12.

[]s,

-- 
Fábio Dias Moreira


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[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Anthony Lee Worley]

acredito q seja 66 dias decorridos at q eles 
folguem pela segunda vez

  - Original Message - 
  From: 
  Gustavo 
  To: Olmpiada 
  Sent: Tuesday, April 12, 2005 11:53 
  PM
  Subject: [obm-l] Aritmtica
  
  J fiz uma "verso'" mais simples e agora pensei 
  neste, algum tem alguma sugesto ??
  
  Joo folga a cada 20 dias e Maria a cada 12 
  dias. Numa certa semana,Joo folgou na segunda-feira e Maria na 
  sexta-feira. A partir dessa sexta-feira em que Maria folgou, o nmero de 
  dias decorridos at que eles folguem no mesmo dia,pela segunda vez, ser 
  ?

[obm-l] Aritmética

[Gustavo]

J fiz uma "verso'" mais simples e agora pensei 
neste, algum tem alguma sugesto ??

Joo folga a cada 20 dias e Maria a cada 12 
dias. Numa certa semana,Joo folgou na segunda-feira e Maria na 
sexta-feira. A partir dessa sexta-feira em que Maria folgou, o nmero de 
dias decorridos at que eles folguem no mesmo dia,pela segunda vez, ser 
?

[obm-l] RES: [obm-l] Re:[obm-l] Aritmética

[Pedro Antonio Santoro Salomao]

Acho que o que ele está querendo entender é
o seguinte: coloque em ordem crescente os divisores positivos de n: 1, ., n.

Multiplique o primeiro com o último:
1.n=n, multiplique o segundo com o penúltimo: também vai dar n, e assim por
diante.

Repare que se d é o segundo menor divisor de
n, então n/d será o segundo maior divisor de n. Logo a multiplicação entre
esses dois números deve dar d*n/d=n, como você verificou. Se k é o terceiro
menor divisor de n, então n/k é o terceiro maior divisor de n, cujo produto
entre os dois é k*n/k=n. O raciocínio segue para os outros divisores. É por
isso que essa idéia sempre funciona.



Um abraço. Pedro.











De: owner-[EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-[EMAIL PROTECTED]] Em nome de claudio.buffara
Enviada em: Monday, October 04,
2004 9:01 PM
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Re:[obm-l]
Aritmética









Não ficou muito claro o que você quer demonstrar, mas uma observação
que talvez seja relevante é a seguinte:





se d divide n então n/d também divide n e, além disso, d*(n/d) = n.











[]s,





Claudio.












 
  
  De:
  
  
  owner-[EMAIL PROTECTED]
  
 





 
  
  Para:
  
  
  [EMAIL PROTECTED]
  
 







 
  
  Cópia:
  
  
  
  
 





 
  
  Data:
  
  
  Mon, 4
  Oct 2004 20:31:06 -0300
  
 







 
  
  Assunto:
  
  
  [obm-l]
  Aritmética
  
 





 
  
  
  
  
  
  
 




 Note:





 





 Os divisores de 10 são: 1, 2, 5, 10 . Note que
1.10=2.5





 





 Os divisores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Note que
1.12=2.6=3.4





 





 Os divisores de9 são: 1, 3, 9. Note que
3=sqrt(1.9) ok! isso é uma P.G.





 





 Já testei vários núeros e sempre acontece isso. Gostaria de
demonstrar mas não estou conseguindo.





 





 Desde já agradeço.





 





 

[obm-l] Re:[obm-l] Aritmética

[Osvaldo Mello Sponquiado]

 Note:
 
 Os divisores de 10 são:  1, 2, 5, 10 . Note que 
1.10=2.5
 
 Os divisores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Note que 
1.12=2.6=3.4
 
 Os divisores de 9 são: 1, 3, 9. Note que 3=sqrt
(1.9)  ok! isso é uma P.G.


Se você já conclui que a sequencia é uma P.G. não tem 
que demonstrar nada, é só olhar os termos 
equidistantes da P.G.

Atenciosamente,

Osvaldo Mello Sponquiado 
Engenharia Elétrica, 2ºano 
UNESP - Ilha Solteira

 
__
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

[obm-l] Aritmética

[Thiago]

Note:

Os divisores de 10 são: 1, 2, 5, 10 . Note 
que 1.10=2.5

Os divisores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Note que 
1.12=2.6=3.4

Os divisores de9 são: 1, 3, 9. Note que 
3=sqrt(1.9) ok! isso é uma P.G.

Já testei vários núeros e sempre acontece isso. 
Gostaria de demonstrar mas não estou conseguindo.

Desde já agradeço.

[obm-l] Re:[obm-l] Aritmética

[claudio.buffara]

Não ficou muito claro o que você quer demonstrar, mas uma observação que talvez seja relevante é a seguinte:
se d divide n então n/d também divide n e, além disso, d*(n/d) = n.

[]s,
Claudio.





De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
[EMAIL PROTECTED]




Cópia:





Data:
Mon, 4 Oct 2004 20:31:06 -0300




Assunto:
[obm-l] Aritmética









 Note:
 
 Os divisores de 10 são: 1, 2, 5, 10 . Note que 1.10=2.5
 
 Os divisores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Note que 1.12=2.6=3.4
 
 Os divisores de9 são: 1, 3, 9. Note que 3=sqrt(1.9) ok! isso é uma P.G.
 
 Já testei vários núeros e sempre acontece isso. Gostaria de demonstrar mas não estou conseguindo.
 
 Desde já agradeço.
 
 

[obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Gustavo]

Por onde (e como)começo minha pesquisa nos arquivos da lista para ter acesso
a resolução deste problema enviado por elton ?
- Original Message -
From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, June 10, 2004 2:38 PM
Subject: Re: [obm-l] aritmética


 Este problema ja foi respondido pouco depois de haver sido enviado pela
 primeira vez (esta ja eh a terceira). Consulte os arquivos.

 ==
 Mensagem  enviada  pelo  CIP  WebMAIL  - Nova Geração - v. 2.1
 CentroIn Internet Provider  http://www.centroin.com.br
 Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978
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 -- Original Message ---
 From: elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED]
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Sent: Thu, 10 Jun 2004 12:37:42 -0300 (ART)
 Subject: [obm-l] aritmética

  Um reservatório é alimentado por duas torneiras: a
  primeira dá 38 litros por minuto e a segunda, 47. A
  saída de água é por um orifício que deixa passar 21
  litros por minuto, deixando abertas as torneiras e o
  orifício, o reservatório se enche em 680 minutos. Qual
  é a sua capacidade?
 
  __
 
  Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail:
  http://br.surveys.yahoo.com/global_mail_survey_br
 
=
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 
=
 --- End of Original Message ---

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Faelccmm]

Va no endereco:

http://www.mail-archive.com/[EMAIL PROTECTED]/

e na *busca* digite parte do problema. Ex: *se enche em 680 minutos* e voce encontrara o mesmo.



Em uma mensagem de 13/6/2004 11:55:05 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:



Por onde (e como)começo minha pesquisa nos arquivos da lista para ter acesso
a resolução deste problema enviado por elton ?
- Original Message -
From: "Augusto Cesar de Oliveira Morgado" [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, June 10, 2004 2:38 PM
Subject: Re: [obm-l] aritmética


 Este problema ja foi respondido pouco depois de haver sido enviado pela
 primeira vez (esta ja eh a terceira). Consulte os arquivos.

 ==
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 -- Original Message ---
 From: elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED]
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Sent: Thu, 10 Jun 2004 12:37:42 -0300 (ART)
 Subject: [obm-l] aritmética

  Um reservatório é alimentado por duas torneiras: a
  primeira dá 38 litros por minuto e a segunda, 47. A
  saída de água é por um orifício que deixa passar 21
  litros por minuto, deixando abertas as torneiras e o
  orifício, o reservatório se enche em 680 minutos. Qual
  é a sua capacidade?
 
  

[obm-l] aritmética

[elton francisco ferreira]

Um reservatório é alimentado por duas torneiras: a
primeira dá 38 litros por minuto e a segunda, 47. A
saída de água é por um orifício que deixa passar 21
litros por minuto, deixando abertas as torneiras e o
orifício, o reservatório se enche em 680 minutos. Qual
é a sua capacidade?

__

Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail: 
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] aritmética

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

Este problema ja foi respondido pouco depois de haver sido enviado pela 
primeira vez (esta ja eh a terceira). Consulte os arquivos.

==
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-- Original Message ---
From: elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thu, 10 Jun 2004 12:37:42 -0300 (ART)
Subject: [obm-l] aritmética

 Um reservatório é alimentado por duas torneiras: a
 primeira dá 38 litros por minuto e a segunda, 47. A
 saída de água é por um orifício que deixa passar 21
 litros por minuto, deixando abertas as torneiras e o
 orifício, o reservatório se enche em 680 minutos. Qual
 é a sua capacidade?
 
 __
 
 Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail: 
 http://br.surveys.yahoo.com/global_mail_survey_br
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 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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--- End of Original Message ---

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] aritmética

[Faelccmm]

Elton,

Este problema pode tbem ser resolvido assim:

Em 1 minuto o reservatorio terah 38+47-21 = 64 litros. Em 640 minutos terah 680*64 = 43520 litros.

Por que voce nao envia estes problemas para a lista *ezatas* do yahoo ? Seria mais conveniente.



Em uma mensagem de 10/6/2004 13:40:05 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:


Este problema ja foi respondido pouco depois de haver sido enviado pela 
primeira vez (esta ja eh a terceira). Consulte os arquivos.

==
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From: elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thu, 10 Jun 2004 12:37:42 -0300 (ART)
Subject: [obm-l] aritmética

 Um reservatório é alimentado por duas torneiras: a
 primeira dá 38 litros por minuto e a segunda, 47. A
 saída de água é por um orifício que deixa passar 21
 litros por minuto, deixando abertas as torneiras e o
 orifício, o reservatório se enche em 680 minutos. Qual
 é a sua capacidade?
 
 

[obm-l] Aritmética

[aryqueirozq]

   Poderiam me ajudar nesta questão?

Um lojista está disposto a vender um tênis de três 
formas: 

I - R$100,00 à vista hoje
II - R$125,00 daqui a um mês
III - Duas parcelas de R$60,00, uma hoje e outra daqui 
a um mês.
Se você sabe que a inflação é de 30% ao mês e que 90% 
desta é repassado ao seu salário, qual é a melhor opção 
de compra?

   agradeço desde de já
 
__
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Aritmética

[Fábio Dias Moreira]

-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-
Hash: SHA1

aryqueirozq [EMAIL PROTECTED] said:
Poderiam me ajudar nesta questão?

 Um lojista está disposto a vender um tênis de três
 formas:

 I - R$100,00 à vista hoje
 II - R$125,00 daqui a um mês
 III - Duas parcelas de R$60,00, uma hoje e outra daqui
 a um mês.
 Se você sabe que a inflação é de 30% ao mês e que 90%
 desta é repassado ao seu salário, qual é a melhor opção
 de compra?
 [...]

Isso quer dizer que o dinheiro vale 27% ao mês.

Transportando todos os valores para a época atual:

I - 100 reais
II - 125/1,27 = 98,43 reais
III - 60 + 60/1,27 = 107,24 reais

A melhor opção é a II.

[]s,

- -- 
Fábio Dias Moreira
-BEGIN PGP SIGNATURE-
Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux)

iD8DBQFAwR2balOQFrvzGQoRAp1AAJ0SlQ1Qko5qtuyFK1MUELFCnqS2vACffms1
p1z0jZRbYibX462Zq9cSM88=
=b+bZ
-END PGP SIGNATURE-


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

[obm-l] Re:[obm-l] Aritmética

[Osvaldo]

 
Poderiam me ajudar nesta questão?
 
 Um lojista está disposto a vender um tênis de três 
 formas: 
 
 I - R$100,00 à vista hoje
 II - R$125,00 daqui a um mês
 III - Duas parcelas de R$60,00, uma hoje e outra 
daqui 
 a um mês.
 Se você sabe que a inflação é de 30% ao mês e que 
90% 
 desta é repassado ao seu salário, qual é a melhor 
opção 
 de compra?

Meu salario hj: x
Meu salario daqui um mes: x+x.90%.30%x=1,27x

Acredito que o criterio da melhor escolha seja sobrar 
o maior dinheiro apos feita a compra.

Vamos analisar as tres possibilidades:

I) Vou gastar 100,00, logo me sobrará C(1)=x-100

II) Vou gastar 125,00, logo me sobrará C(2)=1,27x-125

III)Vou gastar 60,00 hj e 60,00 daqui um mes,
me sobrando C(3)[(x-60)+(1,27x-60)]/2 = 1,135x-60 em 
media 

Acredito que devemos comparar C(1), C(2) e C(3), ou 
seja x-100, 1,27x-125 e  1,135x-60 que é o mesmo que 
compararmos (x-100)-x, (1,27x-125)-x e (1,135x-60)-x, 
ou seja, devemos comparar -100, (0,27x-25)-100 e 
(0,135x+40)-100 que é o mesmo que comparar 0; 0,27x-25 
e 0,135x+40

Bom daqui em diante acho que devemos fazer uma análise 
das 31=6 possibilidades comparativas, vamos la:

I) C(1)C(2)C(3)=00,27x-25 0,135x+40
assim teremos x95,60 e x481,50 contradiçao, logo é 
impossivel esta possibilidade.

II) C(1)C(3)C2)=00,135x+400,27x-25
assim teremos x-296,30 contradiçao, pois se supoe que 
o salario seja positivo :-)))

III) C(2)C(3)C(1)=0,27x-250,135x+400
x92,60

IV) C(2)C(1)C(3)=0,27x-2500,135x+40
assim teremos x negativo e x positivo, contradiçao de 
novo.

V) C(3)C(2)C(1)=0,135x+400,27x-250
x sera negativo novamente, contradiçao

e finalmente

VI) C(3)C(1)C(2)
0,135x+4000,27x-25
x0 e x92,60



Portanto se o salário for maior do que 92,60 a opção 
III será a mais favoravel ou a opçao II caso contrario.

Bom, nao sei se ta certo, mais de qualquer forma acho 
que te ajude de alguma forma... falou !!!




[Ao som de Combinação Letal - Cada um cada um]
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Atenciosamente,

Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
Osvaldo Mello Sponquiado 
Usuário de GNU/Linux


 
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[obm-l] aritmética I

[elton francisco ferreira]

1 - Numa divisão, o dividendo e o quociente, 8.
Encontre o divisor, sabendo que o resto é o maior
possível.




2 - A soma de dois números é 329. A divisão do maior
pelo menor dá quociente 13 e o resto o mairo possível.
Quais são esses números?

3 - Qual o número fica aumentado em 2093 unidades
quando acrenta-se a sua direita o número 14?

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