[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Pedro José]

Boa tarde!
Fiz lambança.
a>b ==> Existe x>0 : a=b+x
Sej k>0 : ka=k(b+x)=kb+kx>kb
a>b, multiplicando-se ambos os lados por 1/b : a/b>1.
Saudações,
PJMS

Em Sex, 7 de set de 2018 13:15, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
> Realmente é difícil limitar qual o ferramental que pode ser usado.
> a>b ==> Existe x>0: a=×+r(i)
> seja k >0
> a*k= k*(x+r)=k*x+kr>k*x
> a>b, multiplicando-se ambis os lados por 1/b temos: a/b>1.
> Mas mesmo assim, podia se questionar a demonstração de (i) e também a da
> propriedade distributiva.
> Aí, não tenho a menor ideia de como fazê-las.
> Saudações,
> PJMS
>
> Em Qui, 6 de set de 2018 01:06, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>
>> On Wed, Sep 5, 2018 at 7:17 PM Israel Meireles Chrisostomo
>>  wrote:
>> > Olá pessoal, como posso provar que se a,b,c,d, são positivos e se a>b,
>> c>d então ac>bd
>>
>> Oi Israel, Pedro, Luciano, e demais colegas da lista,
>>
>> quais são os resultados que você pode usar para demonstrar isso?
>> Positivos quer dizer reais, eu imagino, mas dependendo de como você
>> define / constrói os reais, a forma de responder (e entender) esta
>> questão é diferente.  Por exemplo, todas as manipulações "algébricas"
>> (do tipo "a > b => a/b > 1") já podem pedir uma demonstração das
>> mesmas... Tudo depende do que você assume / admite como conhecido.
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Pedro José]

Boa tarde!
Realmente é difícil limitar qual o ferramental que pode ser usado.
a>b ==> Existe x>0: a=×+r(i)
seja k >0
a*k= k*(x+r)=k*x+kr>k*x
a>b, multiplicando-se ambis os lados por 1/b temos: a/b>1.
Mas mesmo assim, podia se questionar a demonstração de (i) e também a da
propriedade distributiva.
Aí, não tenho a menor ideia de como fazê-las.
Saudações,
PJMS

Em Qui, 6 de set de 2018 01:06, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> On Wed, Sep 5, 2018 at 7:17 PM Israel Meireles Chrisostomo
>  wrote:
> > Olá pessoal, como posso provar que se a,b,c,d, são positivos e se a>b,
> c>d então ac>bd
>
> Oi Israel, Pedro, Luciano, e demais colegas da lista,
>
> quais são os resultados que você pode usar para demonstrar isso?
> Positivos quer dizer reais, eu imagino, mas dependendo de como você
> define / constrói os reais, a forma de responder (e entender) esta
> questão é diferente.  Por exemplo, todas as manipulações "algébricas"
> (do tipo "a > b => a/b > 1") já podem pedir uma demonstração das
> mesmas... Tudo depende do que você assume / admite como conhecido.
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

On Wed, Sep 5, 2018 at 7:17 PM Israel Meireles Chrisostomo
 wrote:
> Olá pessoal, como posso provar que se a,b,c,d, são positivos e se a>b, c>d 
> então ac>bd

Oi Israel, Pedro, Luciano, e demais colegas da lista,

quais são os resultados que você pode usar para demonstrar isso?
Positivos quer dizer reais, eu imagino, mas dependendo de como você
define / constrói os reais, a forma de responder (e entender) esta
questão é diferente.  Por exemplo, todas as manipulações "algébricas"
(do tipo "a > b => a/b > 1") já podem pedir uma demonstração das
mesmas... Tudo depende do que você assume / admite como conhecido.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Israel Meireles Chrisostomo]

muito obrigado pedro

Em qua, 5 de set de 2018 às 19:31, Pedro José 
escreveu:

> Boa noite!
>
> a/b>1 e 0 a/b >d/c (i)
> Como bc>0, multiplicando-se ambos os lados de (i) por bc temos ac>bd.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em qua, 5 de set de 2018 às 19:17, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá pessoal, como posso provar que se a,b,c,d, são positivos e se a>b,
>> c>d então ac>bd
>>
>> --
>> Israel Meireles Chrisostomo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



-- 
Israel Meireles Chrisostomo

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Pedro José]

Boa noite!

a/b>1 e 0 a/b >d/c (i)
Como bc>0, multiplicando-se ambos os lados de (i) por bc temos ac>bd.

Saudações,
PJMS

Em qua, 5 de set de 2018 às 19:17, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Olá pessoal, como posso provar que se a,b,c,d, são positivos e se a>b, c>d
> então ac>bd
>
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética dos restos

[Otávio Araújo]

Essa da ordem foi desleixo meu mesmo k

Em dom, 20 de mai de 2018 15:12, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
> O jeito de resolver é esse mesmo.
> A única ressalva é quanto a ordem de 3 mod 1000.
> Quando é potência prefiro achar primeiro a ordem da base.
> 3^4=1 mod 10
> 3^4=8*10+1.
> 3^a=1 mod 1000==> 3^a=1 mod 10 então 4|a.
> (3^4)^x=(8*10+1)^ x para x > 1 temos que as únicas parcelas <>0 mod 1000
> são:
> Cx,2 *8^2*10^2 + Cx,1*8*10 +1
> No caso para que seja 1 mod 1000, basta que Cx,1*8*10=0 mod 1000, pois,
> garante que o anterior também será.
> Portanto o menor x é 25.
> Então a ordem de 3 mod 1000 É 4*25=100.
> Saudações,
> PJMS
>
> Em Sáb, 19 de mai de 2018 20:58, Otávio Araújo 
> escreveu:
>
>> Tipo, se eu tivesse notado logo no começo que 100 é a ordem de 3 módulo
>> 1000 logo de cara 
>>
>> Em sáb, 19 de mai de 2018 20:43, Otávio Araújo 
>> escreveu:
>>
>>> Acredito que deva ter forma mais elegante de fazer, mas de qualquer
>>> forma está aí uma solução
>>>
>>> Em sáb, 19 de mai de 2018 20:31, Otávio Araújo <
>>> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Vejamos: 2002^2001 = 2^2001 mód 400 = 2x 16^500 mód 400 (tô no celular
 e não tem sinal de congruência kkk).
 Analisemos 16^n módulo 400:
 16^1 =16
 16^2 = 256
 16^3= 4096 = 96 mód 400
 16^4= 96 x16 mód 400 =1536 mód 400 = -64 mód 400
 16^5 = -64 x16 mód 400 = -1024 mód 400 = 176 mód 400
 16^6 = 16 x 176 mód 400=
 2816 mód400 = 16 mód 400
 Bingo, 16^n tem periodo 5 módulo 400,  daí temos 16^500 =176 mód 400 ->
 2x16^500= 352 mód 400

 E o kiko? O kiko vem do teorema de Euler : 2003^fi(1000) = 1 mód 1000 ->
 2003^400= 1 mód 1000.

 Daí, como 2002^2001 = 352 mód 400
 Teremos 2003^(2002^2001) = 2003^352 mód 1000 = 3^352 mód 1000
  3^5 =243
 3^10 = 243 x 243 = 59049 = 49 mód 1000
 3^20= 49 x 49 mód 1000 = 2401 mód 1000 = 401 mód 1000
 3^40 = 401 x 401 mód 1000 = 160801 mód 1000 = 801 mód 1000
 3^80 = 801 x 801 mód 1000 = 641601 mód 1000 = 601 mód 1000
 3^100= 601 x 401 mód 1000 = 241001 mód 1000 = 1 mód 1000
 Oba! 3^100=1 mód 1000, logo 3^352 = 3^52 mód 1000

 Mas

 3^50=(3^40)x(3^10) =801x49 mód 1000 =39249 mód 1000 = 249 mód 1000
 E daí
 3^52 = 249 x 9 mód 1000 = 2241 mód 1000 = 241 mód 1000

 Ou seja, concluimos que os últimos três algarismos de 2003^(2002^2001)
 são 241, e a soma deles é 2+4+1 = 7. Ufa!

>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética dos restos

[Pedro José]

Boa tarde!
O jeito de resolver é esse mesmo.
A única ressalva é quanto a ordem de 3 mod 1000.
Quando é potência prefiro achar primeiro a ordem da base.
3^4=1 mod 10
3^4=8*10+1.
3^a=1 mod 1000==> 3^a=1 mod 10 então 4|a.
(3^4)^x=(8*10+1)^ x para x > 1 temos que as únicas parcelas <>0 mod 1000
são:
Cx,2 *8^2*10^2 + Cx,1*8*10 +1
No caso para que seja 1 mod 1000, basta que Cx,1*8*10=0 mod 1000, pois,
garante que o anterior também será.
Portanto o menor x é 25.
Então a ordem de 3 mod 1000 É 4*25=100.
Saudações,
PJMS

Em Sáb, 19 de mai de 2018 20:58, Otávio Araújo 
escreveu:

> Tipo, se eu tivesse notado logo no começo que 100 é a ordem de 3 módulo
> 1000 logo de cara 
>
> Em sáb, 19 de mai de 2018 20:43, Otávio Araújo 
> escreveu:
>
>> Acredito que deva ter forma mais elegante de fazer, mas de qualquer forma
>> está aí uma solução
>>
>> Em sáb, 19 de mai de 2018 20:31, Otávio Araújo 
>> escreveu:
>>
>>> Vejamos: 2002^2001 = 2^2001 mód 400 = 2x 16^500 mód 400 (tô no celular e
>>> não tem sinal de congruência kkk).
>>> Analisemos 16^n módulo 400:
>>> 16^1 =16
>>> 16^2 = 256
>>> 16^3= 4096 = 96 mód 400
>>> 16^4= 96 x16 mód 400 =1536 mód 400 = -64 mód 400
>>> 16^5 = -64 x16 mód 400 = -1024 mód 400 = 176 mód 400
>>> 16^6 = 16 x 176 mód 400=
>>> 2816 mód400 = 16 mód 400
>>> Bingo, 16^n tem periodo 5 módulo 400,  daí temos 16^500 =176 mód 400 ->
>>> 2x16^500= 352 mód 400
>>>
>>> E o kiko? O kiko vem do teorema de Euler : 2003^fi(1000) = 1 mód 1000 ->
>>> 2003^400= 1 mód 1000.
>>>
>>> Daí, como 2002^2001 = 352 mód 400
>>> Teremos 2003^(2002^2001) = 2003^352 mód 1000 = 3^352 mód 1000
>>>  3^5 =243
>>> 3^10 = 243 x 243 = 59049 = 49 mód 1000
>>> 3^20= 49 x 49 mód 1000 = 2401 mód 1000 = 401 mód 1000
>>> 3^40 = 401 x 401 mód 1000 = 160801 mód 1000 = 801 mód 1000
>>> 3^80 = 801 x 801 mód 1000 = 641601 mód 1000 = 601 mód 1000
>>> 3^100= 601 x 401 mód 1000 = 241001 mód 1000 = 1 mód 1000
>>> Oba! 3^100=1 mód 1000, logo 3^352 = 3^52 mód 1000
>>>
>>> Mas
>>>
>>> 3^50=(3^40)x(3^10) =801x49 mód 1000 =39249 mód 1000 = 249 mód 1000
>>> E daí
>>> 3^52 = 249 x 9 mód 1000 = 2241 mód 1000 = 241 mód 1000
>>>
>>> Ou seja, concluimos que os últimos três algarismos de 2003^(2002^2001)
>>> são 241, e a soma deles é 2+4+1 = 7. Ufa!
>>>


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética dos restos

[Otávio Araújo]

Tipo, se eu tivesse notado logo no começo que 100 é a ordem de 3 módulo
1000 logo de cara 

Em sáb, 19 de mai de 2018 20:43, Otávio Araújo 
escreveu:

> Acredito que deva ter forma mais elegante de fazer, mas de qualquer forma
> está aí uma solução
>
> Em sáb, 19 de mai de 2018 20:31, Otávio Araújo 
> escreveu:
>
>> Vejamos: 2002^2001 = 2^2001 mód 400 = 2x 16^500 mód 400 (tô no celular e
>> não tem sinal de congruência kkk).
>> Analisemos 16^n módulo 400:
>> 16^1 =16
>> 16^2 = 256
>> 16^3= 4096 = 96 mód 400
>> 16^4= 96 x16 mód 400 =1536 mód 400 = -64 mód 400
>> 16^5 = -64 x16 mód 400 = -1024 mód 400 = 176 mód 400
>> 16^6 = 16 x 176 mód 400=
>> 2816 mód400 = 16 mód 400
>> Bingo, 16^n tem periodo 5 módulo 400,  daí temos 16^500 =176 mód 400 ->
>> 2x16^500= 352 mód 400
>>
>> E o kiko? O kiko vem do teorema de Euler : 2003^fi(1000) = 1 mód 1000 ->
>> 2003^400= 1 mód 1000.
>>
>> Daí, como 2002^2001 = 352 mód 400
>> Teremos 2003^(2002^2001) = 2003^352 mód 1000 = 3^352 mód 1000
>>  3^5 =243
>> 3^10 = 243 x 243 = 59049 = 49 mód 1000
>> 3^20= 49 x 49 mód 1000 = 2401 mód 1000 = 401 mód 1000
>> 3^40 = 401 x 401 mód 1000 = 160801 mód 1000 = 801 mód 1000
>> 3^80 = 801 x 801 mód 1000 = 641601 mód 1000 = 601 mód 1000
>> 3^100= 601 x 401 mód 1000 = 241001 mód 1000 = 1 mód 1000
>> Oba! 3^100=1 mód 1000, logo 3^352 = 3^52 mód 1000
>>
>> Mas
>>
>> 3^50=(3^40)x(3^10) =801x49 mód 1000 =39249 mód 1000 = 249 mód 1000
>> E daí
>> 3^52 = 249 x 9 mód 1000 = 2241 mód 1000 = 241 mód 1000
>>
>> Ou seja, concluimos que os últimos três algarismos de 2003^(2002^2001)
>> são 241, e a soma deles é 2+4+1 = 7. Ufa!
>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética dos restos

[Otávio Araújo]

Acredito que deva ter forma mais elegante de fazer, mas de qualquer forma
está aí uma solução

Em sáb, 19 de mai de 2018 20:31, Otávio Araújo 
escreveu:

> Vejamos: 2002^2001 = 2^2001 mód 400 = 2x 16^500 mód 400 (tô no celular e
> não tem sinal de congruência kkk).
> Analisemos 16^n módulo 400:
> 16^1 =16
> 16^2 = 256
> 16^3= 4096 = 96 mód 400
> 16^4= 96 x16 mód 400 =1536 mód 400 = -64 mód 400
> 16^5 = -64 x16 mód 400 = -1024 mód 400 = 176 mód 400
> 16^6 = 16 x 176 mód 400=
> 2816 mód400 = 16 mód 400
> Bingo, 16^n tem periodo 5 módulo 400,  daí temos 16^500 =176 mód 400 ->
> 2x16^500= 352 mód 400
>
> E o kiko? O kiko vem do teorema de Euler : 2003^fi(1000) = 1 mód 1000 ->
> 2003^400= 1 mód 1000.
>
> Daí, como 2002^2001 = 352 mód 400
> Teremos 2003^(2002^2001) = 2003^352 mód 1000 = 3^352 mód 1000
>  3^5 =243
> 3^10 = 243 x 243 = 59049 = 49 mód 1000
> 3^20= 49 x 49 mód 1000 = 2401 mód 1000 = 401 mód 1000
> 3^40 = 401 x 401 mód 1000 = 160801 mód 1000 = 801 mód 1000
> 3^80 = 801 x 801 mód 1000 = 641601 mód 1000 = 601 mód 1000
> 3^100= 601 x 401 mód 1000 = 241001 mód 1000 = 1 mód 1000
> Oba! 3^100=1 mód 1000, logo 3^352 = 3^52 mód 1000
>
> Mas
>
> 3^50=(3^40)x(3^10) =801x49 mód 1000 =39249 mód 1000 = 249 mód 1000
> E daí
> 3^52 = 249 x 9 mód 1000 = 2241 mód 1000 = 241 mód 1000
>
> Ou seja, concluimos que os últimos três algarismos de 2003^(2002^2001) são
> 241, e a soma deles é 2+4+1 = 7. Ufa!
>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética dos restos

[Otávio Araújo]

Vejamos: 2002^2001 = 2^2001 mód 400 = 2x 16^500 mód 400 (tô no celular e
não tem sinal de congruência kkk).
Analisemos 16^n módulo 400:
16^1 =16
16^2 = 256
16^3= 4096 = 96 mód 400
16^4= 96 x16 mód 400 =1536 mód 400 = -64 mód 400
16^5 = -64 x16 mód 400 = -1024 mód 400 = 176 mód 400
16^6 = 16 x 176 mód 400=
2816 mód400 = 16 mód 400
Bingo, 16^n tem periodo 5 módulo 400,  daí temos 16^500 =176 mód 400 ->
2x16^500= 352 mód 400

E o kiko? O kiko vem do teorema de Euler : 2003^fi(1000) = 1 mód 1000 ->
2003^400= 1 mód 1000.

Daí, como 2002^2001 = 352 mód 400
Teremos 2003^(2002^2001) = 2003^352 mód 1000 = 3^352 mód 1000
 3^5 =243
3^10 = 243 x 243 = 59049 = 49 mód 1000
3^20= 49 x 49 mód 1000 = 2401 mód 1000 = 401 mód 1000
3^40 = 401 x 401 mód 1000 = 160801 mód 1000 = 801 mód 1000
3^80 = 801 x 801 mód 1000 = 641601 mód 1000 = 601 mód 1000
3^100= 601 x 401 mód 1000 = 241001 mód 1000 = 1 mód 1000
Oba! 3^100=1 mód 1000, logo 3^352 = 3^52 mód 1000

Mas

3^50=(3^40)x(3^10) =801x49 mód 1000 =39249 mód 1000 = 249 mód 1000
E daí
3^52 = 249 x 9 mód 1000 = 2241 mód 1000 = 241 mód 1000

Ou seja, concluimos que os últimos três algarismos de 2003^(2002^2001) são
241, e a soma deles é 2+4+1 = 7. Ufa!

>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Ralph Teixeira]

Suponho que naturais aqui sejam {1,2,3,...}

Eu faria no braço mesmo. No que se segue, leia vírgulas como "ou":

mn+1 | 24
mn+1 = 2,3,4,6,8,12,24
mn = 1,2,3,5,7,11,23

Como todos esses são primos (exceto 1... mas não faz diferença) teremos
{m,n} ={1,1},{1,2},...

Então m+n=1+1,1+2,...,1+23, que são os divisores de 24 de novo.

Abraço, Ralph.

2018-02-05 9:45 GMT-02:00 Pedro Júnior :

> Sejam m e n números naturais. Prove que
>
> mn + 1 | 24 =
> >
> m + n | 24
> 
> .
>
> Agradecido.
>
> --
>
> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
>
> Professor de Matemática
>
> Geo João Pessoa – PB
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética modular

[Pedro José]

Boa noite!

Não saiu a figura (https://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_totient_function)
caso não consiga visualizar e até por propósito, o certo teria sido citar a
fonte da figura.:

.[image: Imagem inline 1]
onde p é primo e p divide n

Em 21 de novembro de 2017 20:08, Pedro José  escreveu:

> Boa noite!
>
> a)
>
> (300,1001) = 1.
> 1001 = 7*11*13; então φ (1001) = 6*10*12 = 720. Para um caso geral, [image:
> {\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}]
> onde p é primo e p divide n.
>
> 300^3000 = 300^ (4*720 + 120) =  300^120  mod 1001. Não adiantou nada, o
> resto 120 é grande.
>
> Tem de ir para o braço.
>
> 300^1 = 300 mod 1001
> 300^2 = 911= -90 mod 1001
> 300^3 = -90 *300 = 27 mod 1001
> 300^4 = 27*300 = 92 mod 1001
> 300^5 = 92*1001 = 573 mod 1001  Note que poderíamos também
> 300^5 = 300^2 * 300 ^3 = -90*27, fica mais fácil usar quando os números
> forem menores.
> 300^6 = 573*300 = 729 mod 1001
> 300^7 = -272*300 = 482 mod 1001
> 300^8 = 482*300 = 456 mod 1001
> 300^9= 456*300 = 664 mod 1001
> 300^10 = -337*300 = 1 mod 1001
>
> então 300^120 = (300^10)^12 = 1 mod 1001 ==> 3000^300-1=0 mod1001; então o
> resto é zero.
>
> b)
>
> (7,143) = 1
> 143 = 11*13 ==> φ (143) = 10*12=120 então 7^120 = 1 mod 143.
> logo 7^120 -1 = 0 mod 1001, novamente o resto é zero.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em 21 de novembro de 2017 14:49, Pedro Luchiari 
> escreveu:
>
>> Senhores,
>> Estou fazendo uns problemas e gostaria que mais alguém resolvesse pra eu
>> confirmar minha resposta:
>>
>> Encontre os restos da divis ̃oes de:
>>
>> a) 3003000 − 1 por 1001
>>
>> b) 7120 − 1 por 143
>>
>> Valeu!
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética modular

[Pedro José]

Boa noite!

a)

(300,1001) = 1.
1001 = 7*11*13; então φ (1001) = 6*10*12 = 720. Para um caso geral, [image:
{\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}]
onde p é primo e p divide n.

300^3000 = 300^ (4*720 + 120) =  300^120  mod 1001. Não adiantou nada, o
resto 120 é grande.

Tem de ir para o braço.

300^1 = 300 mod 1001
300^2 = 911= -90 mod 1001
300^3 = -90 *300 = 27 mod 1001
300^4 = 27*300 = 92 mod 1001
300^5 = 92*1001 = 573 mod 1001  Note que poderíamos também
300^5 = 300^2 * 300 ^3 = -90*27, fica mais fácil usar quando os números
forem menores.
300^6 = 573*300 = 729 mod 1001
300^7 = -272*300 = 482 mod 1001
300^8 = 482*300 = 456 mod 1001
300^9= 456*300 = 664 mod 1001
300^10 = -337*300 = 1 mod 1001

então 300^120 = (300^10)^12 = 1 mod 1001 ==> 3000^300-1=0 mod1001; então o
resto é zero.

b)

(7,143) = 1
143 = 11*13 ==> φ (143) = 10*12=120 então 7^120 = 1 mod 143.
logo 7^120 -1 = 0 mod 1001, novamente o resto é zero.

Saudações,
PJMS

Em 21 de novembro de 2017 14:49, Pedro Luchiari 
escreveu:

> Senhores,
> Estou fazendo uns problemas e gostaria que mais alguém resolvesse pra eu
> confirmar minha resposta:
>
> Encontre os restos da divis ̃oes de:
>
> a) 3003000 − 1 por 1001
>
> b) 7120 − 1 por 143
>
> Valeu!
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Pedro José]

Realmente, só se n for primo.
É mais complicado do que o previsto.

Saudações,
PJMS

Em 13 de outubro de 2016 21:12, Ralph Teixeira  escreveu:

> Hm, devagar -- por exemplo (4,2)=6 nao eh multiplo de 4.
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2016-10-13 17:25 GMT-03:00 Pedro José :
>
>> Boa tarde!
>>
>> Basta que p seja diferente de 0 ou n, para n<>0.
>>
>> (n,p) = n! / (p!. (n-p)!),
>>
>> Portanto, só há como tirar o fator n do n! se p! = n! ou (n-p)! = n! ==>
>> p = 0 ou p = n.
>>
>> Se n=0 (0,0) =1 que também não é múltiplo de zero.
>>
>> Saudações,
>> PJMS.
>>
>> Em 13 de outubro de 2016 10:27, marcone augusto araújo borges <
>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>
>>> Obrigado. Em que condições, o binomial (n,p)  é múltiplo de n?
>>>
>>> --
>>> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br  em nome
>>> de Esdras Muniz 
>>> *Enviado:* quinta-feira, 13 de outubro de 2016 02:31
>>> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
>>> *Assunto:* [obm-l] Re: [obm-l] aritmética
>>>
>>> E = (13-1)^99 + (13+1)^99 congruente a {(99)x13 - 1} + {(99)x13 + 1}(mod
>>> 13²)  (usando binômio de Newton).
>>> Então fica:
>>> E congruente a 39 (mod 13²).
>>>
>>> Em 12 de outubro de 2016 23:10, marcone augusto araújo borges <
>>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>>
>>>> Determine o resto da divisão de 12^99 + 14^99 por 169
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esdras Muniz Mota
>>> Mestrando em Matemática
>>> Universidade Federal do Ceará
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Ralph Teixeira]

Hm, devagar -- por exemplo (4,2)=6 nao eh multiplo de 4.

Abraco, Ralph.

2016-10-13 17:25 GMT-03:00 Pedro José :

> Boa tarde!
>
> Basta que p seja diferente de 0 ou n, para n<>0.
>
> (n,p) = n! / (p!. (n-p)!),
>
> Portanto, só há como tirar o fator n do n! se p! = n! ou (n-p)! = n! ==> p
> = 0 ou p = n.
>
> Se n=0 (0,0) =1 que também não é múltiplo de zero.
>
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em 13 de outubro de 2016 10:27, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Obrigado. Em que condições, o binomial (n,p)  é múltiplo de n?
>>
>> --
>> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br  em nome de
>> Esdras Muniz 
>> *Enviado:* quinta-feira, 13 de outubro de 2016 02:31
>> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
>> *Assunto:* [obm-l] Re: [obm-l] aritmética
>>
>> E = (13-1)^99 + (13+1)^99 congruente a {(99)x13 - 1} + {(99)x13 + 1}(mod
>> 13²)  (usando binômio de Newton).
>> Então fica:
>> E congruente a 39 (mod 13²).
>>
>> Em 12 de outubro de 2016 23:10, marcone augusto araújo borges <
>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>
>>> Determine o resto da divisão de 12^99 + 14^99 por 169
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>>
>> --
>> Esdras Muniz Mota
>> Mestrando em Matemática
>> Universidade Federal do Ceará
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Pedro José]

Boa tarde!

Basta que p seja diferente de 0 ou n, para n<>0.

(n,p) = n! / (p!. (n-p)!),

Portanto, só há como tirar o fator n do n! se p! = n! ou (n-p)! = n! ==> p
= 0 ou p = n.

Se n=0 (0,0) =1 que também não é múltiplo de zero.

Saudações,
PJMS.

Em 13 de outubro de 2016 10:27, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Obrigado. Em que condições, o binomial (n,p)  é múltiplo de n?
>
> --
> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br  em nome de
> Esdras Muniz 
> *Enviado:* quinta-feira, 13 de outubro de 2016 02:31
> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Assunto:* [obm-l] Re: [obm-l] aritmética
>
> E = (13-1)^99 + (13+1)^99 congruente a {(99)x13 - 1} + {(99)x13 + 1}(mod
> 13²)  (usando binômio de Newton).
> Então fica:
> E congruente a 39 (mod 13²).
>
> Em 12 de outubro de 2016 23:10, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Determine o resto da divisão de 12^99 + 14^99 por 169
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
>
> --
> Esdras Muniz Mota
> Mestrando em Matemática
> Universidade Federal do Ceará
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[marcone augusto araújo borges]

Obrigado. Em que condições, o binomial (n,p)  é múltiplo de n?


De: owner-ob...@mat.puc-rio.br  em nome de Esdras 
Muniz 
Enviado: quinta-feira, 13 de outubro de 2016 02:31
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

E = (13-1)^99 + (13+1)^99 congruente a {(99)x13 - 1} + {(99)x13 + 1}(mod 13²)  
(usando binômio de Newton).
Então fica:
E congruente a 39 (mod 13²).

Em 12 de outubro de 2016 23:10, marcone augusto araújo borges 
mailto:marconeborge...@hotmail.com>> escreveu:

Determine o resto da divisão de 12^99 + 14^99 por 169

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.



--
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará



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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Esdras Muniz]

E = (13-1)^99 + (13+1)^99 congruente a {(99)x13 - 1} + {(99)x13 + 1}(mod
13²)  (usando binômio de Newton).
Então fica:
E congruente a 39 (mod 13²).

Em 12 de outubro de 2016 23:10, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Determine o resto da divisão de 12^99 + 14^99 por 169
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>



-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética modular

[Israel Meireles Chrisostomo]

Obrigado vinícius!

Em 3 de agosto de 2016 17:44, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> ah sim entendi
>
> Em 3 de agosto de 2016 17:43, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> ainda não entendi
>>
>> Em 3 de agosto de 2016 17:35, vinicius raimundo 
>> escreveu:
>>
>>> Acho que a idéia é a seguinte
>>>
>>> 6/2=1/2 . 6 ≡ 1/2 . 1 ≡ 1/2 (mod 5)
>>> Logo:
>>> 1/2≡6/2≡3 (mod 5)
>>>
>>> end
>>>
>>> Em quarta-feira, 3 de agosto de 2016, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Olá pessoal já estudei um pouco de congruências, mas não sei muito bem
 em como lidar com congruências fracionárias.Por exemplo, alguém poderia me
 explicar o pq da congruência abaixo?

 1/2≡6/2 ≡3(mod 5)

 Para falar a verdade não entendi absolutamente nada disso.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética modular

[Israel Meireles Chrisostomo]

ainda não entendi

Em 3 de agosto de 2016 17:35, vinicius raimundo 
escreveu:

> Acho que a idéia é a seguinte
>
> 6/2=1/2 . 6 ≡ 1/2 . 1 ≡ 1/2 (mod 5)
> Logo:
> 1/2≡6/2≡3 (mod 5)
>
> end
>
> Em quarta-feira, 3 de agosto de 2016, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá pessoal já estudei um pouco de congruências, mas não sei muito bem em
>> como lidar com congruências fracionárias.Por exemplo, alguém poderia me
>> explicar o pq da congruência abaixo?
>>
>> 1/2≡6/2 ≡3(mod 5)
>>
>> Para falar a verdade não entendi absolutamente nada disso.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética modular

[Israel Meireles Chrisostomo]

ah sim entendi

Em 3 de agosto de 2016 17:43, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> ainda não entendi
>
> Em 3 de agosto de 2016 17:35, vinicius raimundo 
> escreveu:
>
>> Acho que a idéia é a seguinte
>>
>> 6/2=1/2 . 6 ≡ 1/2 . 1 ≡ 1/2 (mod 5)
>> Logo:
>> 1/2≡6/2≡3 (mod 5)
>>
>> end
>>
>> Em quarta-feira, 3 de agosto de 2016, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Olá pessoal já estudei um pouco de congruências, mas não sei muito bem
>>> em como lidar com congruências fracionárias.Por exemplo, alguém poderia me
>>> explicar o pq da congruência abaixo?
>>>
>>> 1/2≡6/2 ≡3(mod 5)
>>>
>>> Para falar a verdade não entendi absolutamente nada disso.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética modular

[vinicius raimundo]

Acho que a idéia é a seguinte

6/2=1/2 . 6 ≡ 1/2 . 1 ≡ 1/2 (mod 5)
Logo:
1/2≡6/2≡3 (mod 5)

end

Em quarta-feira, 3 de agosto de 2016, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Olá pessoal já estudei um pouco de congruências, mas não sei muito bem em
> como lidar com congruências fracionárias.Por exemplo, alguém poderia me
> explicar o pq da congruência abaixo?
>
> 1/2≡6/2 ≡3(mod 5)
>
> Para falar a verdade não entendi absolutamente nada disso.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Pedro José]

Bom dia!

Não consegui algo que não fosse braçal. Porém com direcionamento.

Supondo o número como 10*A + B, temos que 0<= r < (A+B). Logo vamos começar
com as somas de A+ B em ordem decrescente pois apresentam maior
possibilidade de ter um resto elevado.

(i) A+B = 18 ==> r = 9, então já não é necessário procurar os números em
que A + B <=10. (aqui se elimina 63 números, e com 1 que já foi feito só
restam 34 números para análise)

(ii) A+B = 17 ==> A = 8 e B =9 ou A= 9 e B = 8 ==> r = 4 ou r = 13.. Logo
não precisamos procurar em números com
A + B  <= 14. (aqui eliminamos 89 números com o analisado em (i) e para os
dois analisados aqui só restam 7 números a serem analisados.)

A+ B = 16 ==> A=B= 8 ou A=7 e B= 9 ou A= 9 e B = 7, que darão r = 8 ou r =
15 0u r = 1. Portanto eliminamos todos os números que tenham A + B < 16.
Estão eliminados os restantes dos múmeros.

r = 15 e o número é 79.

Se conseguir uma solução mais elegante, vos envio.

Saudações,
PJMS





Em 30 de março de 2016 23:10, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> 2016-03-30 16:55 GMT-03:00 Pedro Júnior :
> > Qual o maior resto possível da divisão de um número de dois algarismos
> pela
> > soma de seus algarismos?
> 15.
>
> > Caso saibam de alguma fórmula ou teoria gostaria do link ou referência.
>
> Eu sei do meu computador. Segue uma lista dos pares (n, resto), cada
> vez que o resto fica maior do que os restos anteriores
>
> 11 1
> 14 4
> 19 9
> 49 10
> 68 12
> 79 15
> 299 19
> 689 22
> 799 24
> 3889 25
> 4898 26
> 5599 27
> 6698 28
> 7996 29
> 8798 30
> 9599 31
> 16999 33
> 18899 34
> 39899 37
> 4 39
> 89789 40
> 89998 42
> 98999 43
>
> Curiosamente, começa com os quadrados (1,4,9), depois tem uma
> "carreirinha" de 24-31, pula 32 = 2^5, 35, 36, 38 que são compostos,
> mas logo pula 41 que é primo. (já tinha pulado outros, mas você
> poderia imaginar que era um "defeito" de ter "muito poucos dígitos")
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2016-03-30 16:55 GMT-03:00 Pedro Júnior :
> Qual o maior resto possível da divisão de um número de dois algarismos pela
> soma de seus algarismos?
15.

> Caso saibam de alguma fórmula ou teoria gostaria do link ou referência.

Eu sei do meu computador. Segue uma lista dos pares (n, resto), cada
vez que o resto fica maior do que os restos anteriores

11 1
14 4
19 9
49 10
68 12
79 15
299 19
689 22
799 24
3889 25
4898 26
5599 27
6698 28
7996 29
8798 30
9599 31
16999 33
18899 34
39899 37
4 39
89789 40
89998 42
98999 43

Curiosamente, começa com os quadrados (1,4,9), depois tem uma
"carreirinha" de 24-31, pula 32 = 2^5, 35, 36, 38 que são compostos,
mas logo pula 41 que é primo. (já tinha pulado outros, mas você
poderia imaginar que era um "defeito" de ter "muito poucos dígitos")

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Israel Meireles Chrisostomo]

Pelo pequeno teorema de Fermat sabe-se que se p é primo e mdc(p,a) então
 vale a^(p­-1)≡1mod(p).Para usarmos esse teorema, temos que garantir que
mdc(a,p)=1, mas note que p não divide a e também não divide b, pois se p
dividisse a, para dividir a soma a²+b² ,também deveria dividir b, mas isso
é absurdo pois se p divide a² e b² também divide a e b, logo p também
dividiria o mdc(a,b)=1, ou seja p dividiria 1, absurdo. Então pelo teorema
de Fermat temos
a^(p­-1)­≡b^(p­-1)≡1 (mod p) Equação i
Mas note que

a^(p­-1)=[a²]^((p­-1)/2) Equação ii
Substituindo Equação ii em i, temos
[a²]^((p­-1)/2)≡b^(p­-1)≡1 (mod p) Equação iii

E como a²+b²≡0 (mod p) segue que

a²≡-b² (mod p) ->(a²)^((p­-1)/2)≡(-b²)^((p­-1)/2) (mod
p) ->(a²)^((p­-1)/2)≡(-1)^((p­-1)/2).b^(p-1) (mod p) Equação iv
Usando a equação iv em equação ii, temos:

(-1)^((p­-1)/2).b^(p-1)≡b^(p­-1)≡1 (mod p) Equação v

Pela Equação v, o resto deve ser igual a +1, para que isso aconteça o
expoente tem que ser par, logo (p­-1)/2 é da forma 2k então p=4k+1


­

Em 8 de fevereiro de 2016 17:31, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Demonstre que se mdc(a,b) = 1, então todos os divisores primos ímpares
> de a^2 + b^2 são da forma 4k+1
>

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Willy George Amaral Petrenko]

Seja k um divisor impar de m e n. Observe que an + bm = akn' + bkm' = (an'
+ bm') * (a(k-1)n' - a(k-2)n'bm' +  - an b(k-2)m'+ b(k-1)m').

Bom, a partir daí vc preenche os detalhes. Só acrescento que há uma
exceção, quando a=b=1, n e m podem ter valores arbitrários e a soma dá
sempre 2 que é primo.

att

2015-10-25 0:52 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com>:

> Alguém poderia resolver?
>
> Sejam a, b, n, m inteiros positivos e suponha que a^n + b^m seja
> um número primo.Mostre que (n,m) = 1 ou (n,m) = 2^r, para algum
> r inteiro positivo.
> Desde já agradeço.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[saulo nilson]

2=11b-7a
1=11b/2-7a/2
1=rq(170/4)rq(b^2+a^2)/2(sen(u-k))
sen(u-k)=4/rq(170(b^2+a^2)) e uma equaçao que da infinitas respostas



2013/12/6 saulo nilson 

> 8(n^2-1)=(k-1)77
> n^2-1=i77
> k-1=i8
> n^2=i77+1
> (n-1)(n+1)=i77=7*11i
> n-1=7a
> n+1=11b
> 2=11b-7a
> e uma reta que da infinitos valores valores de a e b, pois e continua em
> reais.
>
>
>
>
>
>
> 2013/12/4 Pedro Júnior 
>
>> Olá pessoal gostaria de uma ajuda na reolução do problema:
>> 1) Mostre que existem infinitos valores de n (natural) para os quais 8n^2
>> + 5 ẽ divisível por 77.
>>
>> Desde já agradeço
>>
>> --
>>
>> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
>>
>> Professor de Matemática
>>
>> Geo João Pessoa – PB
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[saulo nilson]

8(n^2-1)=(k-1)77
n^2-1=i77
k-1=i8
n^2=i77+1
(n-1)(n+1)=i77=7*11i
n-1=7a
n+1=11b
2=11b-7a
e uma reta que da infinitos valores valores de a e b, pois e continua em
reais.






2013/12/4 Pedro Júnior 

> Olá pessoal gostaria de uma ajuda na reolução do problema:
> 1) Mostre que existem infinitos valores de n (natural) para os quais 8n^2
> + 5 ẽ divisível por 77.
>
> Desde já agradeço
>
> --
>
> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
>
> Professor de Matemática
>
> Geo João Pessoa – PB
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/12/4 Cassio Anderson Feitosa :
> Mas acredito que o outro raciocínio levou a todas as soluções.
É. Quando p é um número primo, uma equação do segundo grau n^2 = x
(mod p) ou tem duas raízes, ou não tem nenhuma (o único caso de raiz
única é n^2 = 0, mas isso é uma raiz "dupla"). No seu caso, para
mostrar que n^2 = x (mod p*q), você tem que mostrar que cada uma das
equações tem raiz, logo terá duas, e portanto ao fazer as combinações,
você obtém 4 raízes ao todo (mod p*q). Basta que haja uma para que
haja infinitas, mas se houver uma raíz mod (p*q) então você terá 4
(com multiplicidades, se for o caso). É um exercício legal calcular
quantas dessas equações n^2 == x (mod p*q) tem 4 soluções diferentes,
2 soluções duplas, 1 solução quádrupla (x = 0 apenas) e deduzir
quantas delas não têm !

>>> Em 4 de dezembro de 2013 13:50, Cassio Anderson Feitosa
>>>  escreveu:

 8n^2+5\equiv 0\pmod 77  é equivalente a 8n^2+5 == 0 mod 7e
 8n^2+5== 0 mod 11.

 Primeira parte: 8n² == 5 mod 11  <==> 8n^2 == 6mod 11
Aqui teve um errinho (e também mais embaixo) que me comeu um tempo...
de 8n^2 + 5 == 0, você esquece o sinal e faz 8n^2 == 5, (em vez de ==
-5) e depois você inverte o sinal 8n^2 == 6 e "acerta de novo".

Fora isso, certíssimo. Você poderia ter "invertido" 8 módulo 11 (8*7 =
56 == 1) e obter um pouco mais rápido 0 = 7*8n^2 + 7*5 == 56 n^2 + 35
== n^2 + 2 => n^2 == -2 == 9 mod 11. (O mesmo vale embaixo, onde 8 ==
1 mod 7 direto, 0 == 8n^2 + 5 == n^2 + 5 => n^2 == -5 == 2 == 9 mod 7)

 ==> 4n² == 3 mod
 11 <==> 3(4n²) == 9 mod 11 <==>  12n²==n²==9 mod 11 ===>n==3 ou n== -3
 mod 11, ou seja, n==3 ou n== 8 mod 11.

  Segunda parte: 8n² == 5 mod 7 <==> 8n^2 == 2mod 7 ==> 4n² == 1 mod 7
 <==> 2(4n²) == 2 mod 7 <==>  8n²==n²==2 mod 7. =>   n==3 ou n== -3 mod
 11, ou seja, n==3 ou n== 4 mod 7.

  Então, o sistema n == 3 mod 11 e n == 3 mod 7 "gera" uma solução.
  o sistema  n == 3 mod 11 e n == 4 mod 7 gera outra solução
 n == 8 mod 11 e n == 3 mod 7 outra solução
 n == 8 mod 11 e n == 4 mod 7 outra solução.


  Daí basta pegar cada sistema de duas congruências e resolver pelo
 Teorema chinês de Resto.

  Por exemplo, a solução pro primeiro sistema é n=77q + 3, q inteiro.

 --
 Cássio Anderson
 Graduando em Matemática - UFPB

-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Aritmética

[marcone augusto araújo borges]

Eu notei que 8.3^2 + 5  =  77Dai o resultado
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Aritmética 
Date: Fri, 6 Dec 2013 00:09:29 +




Olá,Pedro



 
 



  


  


  


  


 
 



  


  


  


  

mostrar que há infinitos n tais que 8n^2 + 5 é múltiplo de 77Note que 
para n = 77k + 3,temos 8n^2 + 5 = 77q
  
--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Cassio Anderson Feitosa]

Mas acredito que o outro raciocínio levou a todas as soluções.

Cássio Anderson
Graduando em Matemática - UFPB


Em 4 de dezembro de 2013 14:14, Cassio Anderson Feitosa <
cassiofeito...@gmail.com> escreveu:

> 8n² == 72 mod 77 >===> n² == 9 mod 77
>
> n == +- 3 mod 77 gera duas da soluções encontradas
>
> Cássio Anderson
> Graduando em Matemática - UFPB
>
>
> Em 4 de dezembro de 2013 13:59, Pedro Júnior 
> escreveu:
>
> Obrigado Cássio, mas não pensei que fosse tão complicado! (pelo menos pra
>> mim!)
>> Caso alguém consiga de uma forma diferente favor encaminhar.
>> Abç
>> Pedro Jr
>>
>>
>> Em 4 de dezembro de 2013 13:50, Cassio Anderson Feitosa <
>> cassiofeito...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> 8n^2+5\equiv 0\pmod 77  é equivalente a 8n^2+5 == 0 mod 7e
>>>  8n^2+5== 0 mod 11.
>>>
>>> Primeira parte: 8n² == 5 mod 11  <==> 8n^2 == 6mod 11 ==> 4n² == 3 mod
>>> 11 <==> 3(4n²) == 9 mod 11 <==>  12n²==n²==9 mod 11 ===>n==3 ou n== -3
>>> mod 11, ou seja, n==3 ou n== 8 mod 11.
>>>
>>>  Segunda parte: 8n² == 5 mod 7 <==> 8n^2 == 2mod 7 ==> 4n² == 1 mod 7
>>> <==> 2(4n²) == 2 mod 7 <==>  8n²==n²==2 mod 7. =>   n==3 ou n== -3 mod
>>> 11, ou seja, n==3 ou n== 4 mod 7.
>>>
>>>  Então, o sistema n == 3 mod 11 e n == 3 mod 7 "gera" uma solução.
>>>  o sistema  n == 3 mod 11 e n == 4 mod 7 gera outra solução
>>> n == 8 mod 11 e n == 3 mod 7 outra solução
>>> n == 8 mod 11 e n == 4 mod 7 outra solução.
>>>
>>>
>>>  Daí basta pegar cada sistema de duas congruências e resolver pelo
>>> Teorema chinês de Resto.
>>>
>>>  Por exemplo, a solução pro primeiro sistema é n=77q + 3, q inteiro.
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Cássio Anderson
>>> Graduando em Matemática - UFPB
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>>
>> --
>>
>> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
>>
>> Professor de Matemática
>>
>> Geo João Pessoa – PB
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Cassio Anderson Feitosa]

8n² == 72 mod 77 >===> n² == 9 mod 77

n == +- 3 mod 77 gera duas da soluções encontradas

Cássio Anderson
Graduando em Matemática - UFPB


Em 4 de dezembro de 2013 13:59, Pedro Júnior
escreveu:

> Obrigado Cássio, mas não pensei que fosse tão complicado! (pelo menos pra
> mim!)
> Caso alguém consiga de uma forma diferente favor encaminhar.
> Abç
> Pedro Jr
>
>
> Em 4 de dezembro de 2013 13:50, Cassio Anderson Feitosa <
> cassiofeito...@gmail.com> escreveu:
>
>> 8n^2+5\equiv 0\pmod 77  é equivalente a 8n^2+5 == 0 mod 7e
>>  8n^2+5== 0 mod 11.
>>
>> Primeira parte: 8n² == 5 mod 11  <==> 8n^2 == 6mod 11 ==> 4n² == 3 mod 11
>> <==> 3(4n²) == 9 mod 11 <==>  12n²==n²==9 mod 11 ===>n==3 ou n== -3 mod
>> 11, ou seja, n==3 ou n== 8 mod 11.
>>
>>  Segunda parte: 8n² == 5 mod 7 <==> 8n^2 == 2mod 7 ==> 4n² == 1 mod 7
>> <==> 2(4n²) == 2 mod 7 <==>  8n²==n²==2 mod 7. =>   n==3 ou n== -3 mod
>> 11, ou seja, n==3 ou n== 4 mod 7.
>>
>>  Então, o sistema n == 3 mod 11 e n == 3 mod 7 "gera" uma solução.
>>  o sistema  n == 3 mod 11 e n == 4 mod 7 gera outra solução
>> n == 8 mod 11 e n == 3 mod 7 outra solução
>> n == 8 mod 11 e n == 4 mod 7 outra solução.
>>
>>
>>  Daí basta pegar cada sistema de duas congruências e resolver pelo
>> Teorema chinês de Resto.
>>
>>  Por exemplo, a solução pro primeiro sistema é n=77q + 3, q inteiro.
>>
>>
>>
>>
>> --
>> Cássio Anderson
>> Graduando em Matemática - UFPB
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
>
> --
>
> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
>
> Professor de Matemática
>
> Geo João Pessoa – PB
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Pedro Júnior]

Obrigado Cássio, mas não pensei que fosse tão complicado! (pelo menos pra
mim!)
Caso alguém consiga de uma forma diferente favor encaminhar.
Abç
Pedro Jr


Em 4 de dezembro de 2013 13:50, Cassio Anderson Feitosa <
cassiofeito...@gmail.com> escreveu:

> 8n^2+5\equiv 0\pmod 77  é equivalente a 8n^2+5 == 0 mod 7e8n^2+5==
> 0 mod 11.
>
> Primeira parte: 8n² == 5 mod 11  <==> 8n^2 == 6mod 11 ==> 4n² == 3 mod 11
> <==> 3(4n²) == 9 mod 11 <==>  12n²==n²==9 mod 11 ===>n==3 ou n== -3 mod
> 11, ou seja, n==3 ou n== 8 mod 11.
>
>  Segunda parte: 8n² == 5 mod 7 <==> 8n^2 == 2mod 7 ==> 4n² == 1 mod 7 <==>
> 2(4n²) == 2 mod 7 <==>  8n²==n²==2 mod 7. =>   n==3 ou n== -3 mod 11,
> ou seja, n==3 ou n== 4 mod 7.
>
>  Então, o sistema n == 3 mod 11 e n == 3 mod 7 "gera" uma solução.
>  o sistema  n == 3 mod 11 e n == 4 mod 7 gera outra solução
> n == 8 mod 11 e n == 3 mod 7 outra solução
> n == 8 mod 11 e n == 4 mod 7 outra solução.
>
>
>  Daí basta pegar cada sistema de duas congruências e resolver pelo Teorema
> chinês de Resto.
>
>  Por exemplo, a solução pro primeiro sistema é n=77q + 3, q inteiro.
>
>
>
>
> --
> Cássio Anderson
> Graduando em Matemática - UFPB
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.




-- 

Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

Professor de Matemática

Geo João Pessoa – PB

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Cassio Anderson Feitosa]

As soluções para as outras são n=77q+25,   n=77q+52 e n=77q+74, q inteiro.

Cássio Anderson
Graduando em Matemática - UFPB


Em 4 de dezembro de 2013 13:50, Cassio Anderson Feitosa <
cassiofeito...@gmail.com> escreveu:

> 8n^2+5\equiv 0\pmod 77  é equivalente a 8n^2+5 == 0 mod 7e8n^2+5==
> 0 mod 11.
>
> Primeira parte: 8n² == 5 mod 11  <==> 8n^2 == 6mod 11 ==> 4n² == 3 mod 11
> <==> 3(4n²) == 9 mod 11 <==>  12n²==n²==9 mod 11 ===>n==3 ou n== -3 mod
> 11, ou seja, n==3 ou n== 8 mod 11.
>
>  Segunda parte: 8n² == 5 mod 7 <==> 8n^2 == 2mod 7 ==> 4n² == 1 mod 7 <==>
> 2(4n²) == 2 mod 7 <==>  8n²==n²==2 mod 7. =>   n==3 ou n== -3 mod 11,
> ou seja, n==3 ou n== 4 mod 7.
>
>  Então, o sistema n == 3 mod 11 e n == 3 mod 7 "gera" uma solução.
>  o sistema  n == 3 mod 11 e n == 4 mod 7 gera outra solução
> n == 8 mod 11 e n == 3 mod 7 outra solução
> n == 8 mod 11 e n == 4 mod 7 outra solução.
>
>
>  Daí basta pegar cada sistema de duas congruências e resolver pelo Teorema
> chinês de Resto.
>
>  Por exemplo, a solução pro primeiro sistema é n=77q + 3, q inteiro.
>
>
>
>
> --
> Cássio Anderson
> Graduando em Matemática - UFPB
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Cassio Anderson Feitosa]

8n^2+5\equiv 0\pmod 77  é equivalente a 8n^2+5 == 0 mod 7e8n^2+5==
0 mod 11.

Primeira parte: 8n² == 5 mod 11  <==> 8n^2 == 6mod 11 ==> 4n² == 3 mod 11
<==> 3(4n²) == 9 mod 11 <==>  12n²==n²==9 mod 11 ===>n==3 ou n== -3 mod
11, ou seja, n==3 ou n== 8 mod 11.

 Segunda parte: 8n² == 5 mod 7 <==> 8n^2 == 2mod 7 ==> 4n² == 1 mod 7 <==>
2(4n²) == 2 mod 7 <==>  8n²==n²==2 mod 7. =>   n==3 ou n== -3 mod 11,
ou seja, n==3 ou n== 4 mod 7.

 Então, o sistema n == 3 mod 11 e n == 3 mod 7 "gera" uma solução.
 o sistema  n == 3 mod 11 e n == 4 mod 7 gera outra solução
n == 8 mod 11 e n == 3 mod 7 outra solução
n == 8 mod 11 e n == 4 mod 7 outra solução.


 Daí basta pegar cada sistema de duas congruências e resolver pelo Teorema
chinês de Resto.

 Por exemplo, a solução pro primeiro sistema é n=77q + 3, q inteiro.




-- 
Cássio Anderson
Graduando em Matemática - UFPB

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética não tão básica!

[Jefferson Franca]

Muito obrigado Saulo.
Jefferson



Em Quarta-feira, 27 de Novembro de 2013 12:01, marcone augusto araújo borges 
 escreveu:
 
Para o segundo,eu achei p = 31
p6  + 2 = 0(mod(p+2))
p6 + 2 = k(p+2)
Dividindo p6 + 2 por p+2, verifiquei que
k = (p6 + 2)/(p+2) = Q(p) + 66/(p+2)
como k é inteiro e Q(p)  também,temos que
(p+2) divide 66,então p = 31



Date: Tue, 26 Nov 2013 19:53:35 -0800
From: jeffma...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética não tão básica!
To: obm-l@mat.puc-rio.br


Obrigado Saulo



Em Terça-feira, 26 de Novembro de 2013 19:07, saulo nilson 
 escreveu:
 
p+a^2= x^2 numeros da forma quadratica ou cujo expoente e par maior que 2.
p+a^2=x^2n
p=(x^n-a)(x^n+a) absurdo pois p e primo



2013/11/25 Jefferson Franca 

Estudando surgiram algumas dúvidas. Diante disso, peço humildemente vossa 
ajuda. Eis as dúvidas:
>01. Mostre que para um determinado tipo de números a conjectura não é 
>verdadeira:'' Todo inteiro positivo pode ser escrito da forma p + a^2 , onde p 
>é um número primo ou 1 e a >= 0".
>02. Ache o número primo p que satisfaz p^6 + 3 =(côngruo)1 (mod p+2).
>Att
>Jefferson
>-- 
>Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>acredita-se estar livre de perigo. 

-- 
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-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética não tão básica!

[Jefferson Franca]

Perdão, mas não conseguir entender pq os números têm que ser quadrados 
perfeitos ou ter expoente maior que 2?
Vc poderia explicar melhor?
Obrigado
Jefferson



Em Terça-feira, 26 de Novembro de 2013 19:07, saulo nilson 
 escreveu:
 
p+a^2= x^2 numeros da forma quadratica ou cujo expoente e par maior que 2.
p+a^2=x^2n
p=(x^n-a)(x^n+a) absurdo pois p e primo



2013/11/25 Jefferson Franca 

Estudando surgiram algumas dúvidas. Diante disso, peço humildemente vossa 
ajuda. Eis as dúvidas:
>01. Mostre que para um determinado tipo de números a conjectura não é 
>verdadeira:'' Todo inteiro positivo pode ser escrito da forma p + a^2 , onde p 
>é um número primo ou 1 e a >= 0".
>02. Ache o número primo p que satisfaz p^6 + 3 =(côngruo)1 (mod p+2).
>Att
>Jefferson
>-- 
>Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>acredita-se estar livre de perigo. 

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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética não tão básica!

[marcone augusto araújo borges]

Para o segundo,eu achei p = 31p6  + 2 = 0(mod(p+2))
p6 + 2 = k(p+2)Dividindo p6 + 2 por p+2, verifiquei quek = (p6 + 2)/(p+2) = 
Q(p) + 66/(p+2)como k é inteiro e Q(p)  também,temos que(p+2) divide 66,então p 
= 31
Date: Tue, 26 Nov 2013 19:53:35 -0800
From: jeffma...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética não tão básica!
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Obrigado Saulo 
 
 Em Terça-feira, 26 de Novembro de 2013 19:07, saulo nilson 
 escreveu:
p+a^2= x^2 numeros da forma quadratica ou cujo expoente e par maior que 
2.p+a^2=x^2np=(x^n-a)(x^n+a) absurdo pois p e primo
2013/11/25 Jefferson Franca 
Estudando surgiram algumas dúvidas. Diante disso, peço humildemente vossa 
ajuda. Eis as dúvidas:
01. Mostre que para um determinado tipo de números a conjectura não é 
verdadeira:'' Todo inteiro positivo pode ser escrito da forma p + a^2 , onde p 
é um número primo ou 1 e a >= 0".02. Ache o número primo p que satisfaz p^6 + 3 
=(côngruo)1 (mod p+2).
AttJefferson--
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética não tão básica!

[Jefferson Franca]

Obrigado Saulo



Em Terça-feira, 26 de Novembro de 2013 19:07, saulo nilson 
 escreveu:
 
p+a^2= x^2 numeros da forma quadratica ou cujo expoente e par maior que 2.
p+a^2=x^2n
p=(x^n-a)(x^n+a) absurdo pois p e primo



2013/11/25 Jefferson Franca 

Estudando surgiram algumas dúvidas. Diante disso, peço humildemente vossa 
ajuda. Eis as dúvidas:
>01. Mostre que para um determinado tipo de números a conjectura não é 
>verdadeira:'' Todo inteiro positivo pode ser escrito da forma p + a^2 , onde p 
>é um número primo ou 1 e a >= 0".
>02. Ache o número primo p que satisfaz p^6 + 3 =(côngruo)1 (mod p+2).
>Att
>Jefferson
>-- 
>Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>acredita-se estar livre de perigo. 

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[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética não tão básica!

[saulo nilson]

p+a^2= x^2 numeros da forma quadratica ou cujo expoente e par maior que 2.
p+a^2=x^2n
p=(x^n-a)(x^n+a) absurdo pois p e primo


2013/11/25 Jefferson Franca 

> Estudando surgiram algumas dúvidas. Diante disso, peço humildemente vossa
> ajuda. Eis as dúvidas:
> 01. Mostre que para um determinado tipo de números a conjectura não é
> verdadeira:'' Todo inteiro positivo pode ser escrito da forma p + a^2 ,
> onde p é um número primo ou 1 e a >= 0".
> 02. Ache o número primo p que satisfaz p^6 + 3 =(côngruo)1 (mod p+2).
> Att
> Jefferson
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[saulo nilson]

x^2+y+2=b^2
y=b^2-x^2-2
4x + y^2=a^2
4x+(b^2-x^2-2)^2=a^2
4x+(b^2-x^2-2)^2=(d^2-x^2)^2
4x=(d^2-b^2+2)(d^2+b^2-2-2x^2)
2(d^2-b^2+2)x^2+4x-(d^4-(b^2-2)^2=0
delta=(16+8(d^2-b^2+2)(d^4-(b^2-2)^2)
x=(-4+-rq(16+8(d^2-b^2+2)(d^4-(b^2-2)^2)))/4
x=-1+rq(4+2(d^2-b^2+2)(d^4-(b^2-2)^2))=-1+rq2(2+(d^2-b^2+2)^2((d^2+b^2-2)))
absurdo pois
y=b^2-2-x^2
e x e funçao de (b^2-2)^3/2>b^2-2 logo se existe x>0, y sera <0


2013/9/17 marcone augusto araújo borges 

> Prove que não existem inteiros positivos x,y tais que x^2 + y + 2 e 4x +
> y^2
> são ambos quadrados perfeitos
>
> Eu peço uma dica para essa.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[marcone augusto araújo borges]

Valeu,Esdras!

From: esdrasmunizm...@gmail.com
Date: Thu, 19 Sep 2013 11:38:20 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Use o seguinte fato:se a,b pertencem aos inteiros positivos, 
|a²-b²|>=2*min{a,b}+1.A²=y²+4xB²=x²+y+24x=A²-y²>=2y+1y+2=B²-x²>=2x+1então

y<=2x-1/2y>=2x-1então 2x-1<=y<=2x-1/2  elevando ao quadrado 
fica:4x²-4x+1<=y²<=4x²-2y+1/4  somando 4x:(2x)²+1<=A²<=(2x+1)²-2x+1/4

isto nos dá um absurdo, pois o roximo quadrado depois de(2x)² é (2x+1)².

Em 17 de setembro de 2013 15:33, marcone augusto araújo borges 
 escreveu:





Prove que não existem inteiros positivos x,y tais que x^2 + y + 2 e 4x + y^2são 
ambos quadrados perfeitos
Eu peço uma dica para essa. 



 
 



  


  


  


  


 
 



  


  


  


  

  
--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Esdras Muniz Mota
Graduando em Matemática Bacharelado
Universidade Federal do Ceará

"Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto"


--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Esdras Muniz]

Use o seguinte fato:
se a,b pertencem aos inteiros positivos, |a²-b²|>=2*min{a,b}+1.
A²=y²+4x
B²=x²+y+2
4x=A²-y²>=2y+1
y+2=B²-x²>=2x+1
então
y<=2x-1/2
y>=2x-1
então
2x-1<=y<=2x-1/2  elevando ao quadrado fica:
4x²-4x+1<=y²<=4x²-2y+1/4  somando 4x:
(2x)²+1<=A²<=(2x+1)²-2x+1/4
isto nos dá um absurdo, pois o roximo quadrado depois de(2x)² é (2x+1)².


Em 17 de setembro de 2013 15:33, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Prove que não existem inteiros positivos x,y tais que x^2 + y + 2 e 4x +
> y^2
> são ambos quadrados perfeitos
>
> Eu peço uma dica para essa.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>



-- 
Esdras Muniz Mota
Graduando em Matemática Bacharelado
Universidade Federal do Ceará

"Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto"

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[terence thirteen]

2012/10/25 marcone augusto araújo borges :
> Mostre que existe uma correspondencia biunivoca entre pares de primos gemeos
> e os numeros n tais que n^2 - 1 possui 4 divisores.

(n-1)(n+1)

Se n for ímpar, n=2k+1, 2k(2k+2)=4k(k+1) terá mais de 4 divisores:
1,2,4 e os divisores de k e os de k+1.

Logo n é par, e teremos os divisores de 2k-1 e 2k+1.

Cada um deles, 2k-1 e 2k+1, contribui com 1 e ele mesmo no total de
divisores. Como queremos exatos 4, estes são os máximos. Logo 2k-1 e
2k+1 são primos, e como distam 2, acabou !

>
>



-- 
/**/
神が祝福

Torres

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética(ajuda)

[terence thirteen]

Em 9 de outubro de 2012 00:23, marcone augusto araújo borges
 escreveu:
> Mostre que a soma de todos os números naturais menores ou iguais a n divide
> o seu produto se,e somente se,
> n+1 é composto.

Se n=2k: k(2k+1) divide (2k)!. Se 2k+1 for primo, isto é claramente falso.

Se n=2k+1: (2k+1)(k+1) divide (2k+2)! é verdadeiro, e 2k+2 é composto.

-- 
/**/
神が祝福

Torres

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Eduardo Wilner]

A idéia seria repetir para a base r2 e eliminar X+Y (ou f1+f2 como no original) 
entre as duas equações, ficando com a diofantina  em r1 e r2...

[  ]'s

--- Em seg, 16/4/12, Bernardo Freitas Paulo da Costa  
escreveu:

De: Bernardo Freitas Paulo da Costa 
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Segunda-feira, 16 de Abril de 2012, 3:20

2012/4/16 Carlos Nehab :
> 2) Solução
> X = 0,3737...  Y = 0,7373...
> Na primeira base r1:
> (r1^2-1).X = 3r1+7
> (r1^2-1).Y = 7r1+3
> Somando, (r1^2-1)(X+Y) = 10(r1+1), ou seja,
> (r1-1)(X+Y)=10    (A)
> Dai já sabemos que r1-1 = 1, 2, 5 ou 10. Mas r1 > 7, logo r1 = 11 e X + Y =
> 1
Hum, X e Y são frações, certo? Porque então você insiste que X+Y seja
inteiro (única razão que eu vi para que r1 - 1 divida 10) ? Nesse caso
até que dá certo, mas sei lá, podia ser que X+Y = 1/2 (mas teria
talvez que mudar a expressão na base r2)

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Carlos Nehab]

Caramba, Bernardo!

Você tem toda razão...  Obrigado pela correção!
De fato, então, talvez o único eventual mérito tenha sido obter as equações
(r1-1)(X+Y) = 10 e
(r2-1)(X+Y) = 7,
mais diretamente.
Daí, segue-se a solução dos colegas...,
Mais uma vez obrigado!
Abraços,
Nehab

Em 16/04/2012 03:20, Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu:

2012/4/16 Carlos Nehab:

2) Solução
X = 0,3737...  Y = 0,7373...
Na primeira base r1:
(r1^2-1).X = 3r1+7
(r1^2-1).Y = 7r1+3
Somando, (r1^2-1)(X+Y) = 10(r1+1), ou seja,
(r1-1)(X+Y)=10(A)
Dai já sabemos que r1-1 = 1, 2, 5 ou 10. Mas r1>  7, logo r1 = 11 e X + Y =
1

Hum, X e Y são frações, certo? Porque então você insiste que X+Y seja
inteiro (única razão que eu vi para que r1 - 1 divida 10) ? Nesse caso
até que dá certo, mas sei lá, podia ser que X+Y = 1/2 (mas teria
talvez que mudar a expressão na base r2)

Abraços,


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/4/16 Carlos Nehab :
> 2) Solução
> X = 0,3737...  Y = 0,7373...
> Na primeira base r1:
> (r1^2-1).X = 3r1+7
> (r1^2-1).Y = 7r1+3
> Somando, (r1^2-1)(X+Y) = 10(r1+1), ou seja,
> (r1-1)(X+Y)=10    (A)
> Dai já sabemos que r1-1 = 1, 2, 5 ou 10. Mas r1 > 7, logo r1 = 11 e X + Y =
> 1
Hum, X e Y são frações, certo? Porque então você insiste que X+Y seja
inteiro (única razão que eu vi para que r1 - 1 divida 10) ? Nesse caso
até que dá certo, mas sei lá, podia ser que X+Y = 1/2 (mas teria
talvez que mudar a expressão na base r2)

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Pedro Nascimento]

Eh , acabei escrevendo certo em cima, na hora de copiar pra baixo saiu
7/(r2 -2) ao inves de 7/(r2 -1).

Em 15 de abril de 2012 22:45, J. R. Smolka  escreveu:

>  Abordei o problema com o mesmo método que você Pedro, mas encontrei uma
> divergência quando chegamos nesta expressão:
>
> 10/( r1 - 1 )=7/(r2 - 1) ==> 10*r2 - 10 =7*r1 - 7 ==> 10*r2 - 7*r1 = 3
>
> O que leva o resultado para r1 = 11 e r2 = 8, logo r1 + r2 = 19
> (alternativa E)
>
> [ ]'s
>
>  *J. R. Smolka*
>
> P.S.: No primeiro passo, quando você usou a expressão "passando pra base
> decimal", o correto seria dizer que você está expandindo f1 e f2 nos seus
> polinômios equivalentes nas bases r1 e r2.
>
> *Em 15/04/2012 19:26, Pedro Nascimento escreveu:*
>
> Passando pra base decimal temos:
>
>  (I) f1=3*r1^(-1)+7*r1^(-2)+3*r1^(-3)+7*r1^(-4)+...
>
>  (II) f2=7*r1^(-1)+3*r1^(-2)+7*r1^(-3)+3*r1^(-4)+...
>
>  (III) f1=2*r2^(-1)+5*r2^(-2)+2*r2^(-3)+5*r2^(-4)+...
>
>  (IV) f2=5*r2^(-1)+2*r2^(-2)+5*r2^(-3)+2*r2^(-4)+...
>
>  Somando as equacoes (I) e (II) :
>
>  (f2+f1)/10=  r1^-1   +r1^-2  +r1^-3  +r1^-4+...
>
>  Somando (III) e (IV):
>
>  (f2+f1)/7=r2^-1  +r2^-2  +r2^-3  +r2^-4+...
>
>  Assim, como o lado direito das duas equacoes eh uma PG infinita, temos:
>
>  (f2+f1)/10=r1^(-1)/(1 - r1^(-1))=1/(r1 - 1)
>
>  (f2+f1)/7=r2^(-1)/(1 - r2^(-1))=1/(r2 - 1)
>
>  Igualando:
>
>  10/( r1 - 1 )=7/(r2 - 2)
> 10*r2 - 20 =7*r1 - 7
>
>  10*r2 - 7*r1 = 13
>
>  Como r2 e r1 sao inteiros, resolvendo a equacao diofantina :
>
>  r2=7*n + 2
> r1=10*n + 1
>
>  Tem a restricao de a base R1 ser maior que 7 ( pois aparece o digito 7)
> e a base R2 ser maior q 5, logo n>=1.
>
>  Pelas opcoes do enunciado fazendo n=1, r2=9 e r1=11 , logo : R1+R2=20
>
>  Acho q eh isso...
> Abracos,
>  Pedro.
>
>
>  Em 15 de abril de 2012 18:39, Jefferson Franca 
> escreveu:
>
>>  Um aluno muito curioso e estudioso(tomara!) me deu esta questão durante
>> uma aula semana passada e tentei, tentei e nada!
>> Será que alguém pode dar um ajuda aí?
>>  Em uma base R1 uma fração F1 se escreve como 0,373737... enquanto que
>> uma fração F2 é escrita como0,737373 . Em outra base R2, a fração F1 é
>> escrita como 0,252525...  e a fração F2 como 0,525252...A soma R1 + R2 no
>> sistema de numeração decimal é:
>> a) 24   b) 22  c) 21   d) 20e) 19
>>
>
>
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Eduardo Wilner]

Acho que houve algum engano pois encontrei 

10*r2 - 7*r1 = 3  -->  r2 =(7*r1 + 3)/10  -->  r1=11 , r2=8   -->  r1+r2=19.

[ ]'s

--- Em dom, 15/4/12, Pedro Nascimento  escreveu:

De: Pedro Nascimento 
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Domingo, 15 de Abril de 2012, 19:26


Passando pra base decimal temos:
(I) f1=3*r1^(-1)+7*r1^(-2)+3*r1^(-3)+7*r1^(-4)+...
(II) f2=7*r1^(-1)+3*r1^(-2)+7*r1^(-3)+3*r1^(-4)+...

(III) f1=2*r2^(-1)+5*r2^(-2)+2*r2^(-3)+5*r2^(-4)+...
(IV) f2=5*r2^(-1)+2*r2^(-2)+5*r2^(-3)+2*r2^(-4)+...
Somando as equacoes (I) e (II) :
(f2+f1)/10=  r1^-1   +r1^-2  +r1^-3  +r1^-4+...

Somando (III) e (IV):
(f2+f1)/7=r2^-1  +r2^-2  +r2^-3  +r2^-4+...
Assim, como o lado direito das duas equacoes eh uma PG infinita, temos:

(f2+f1)/10=r1^(-1)/(1 - r1^(-1))=1/(r1 - 1)
(f2+f1)/7=r2^(-1)/(1 - r2^(-1))=1/(r2 - 1)
Igualando:
10/( r1 - 1 )=7/(r2 - 2)10*r2 - 20 =7*r1 - 7

10*r2 - 7*r1 = 13
Como r2 e r1 sao inteiros, resolvendo a equacao diofantina :
r2=7*n + 2r1=10*n + 1
Tem a restricao de a base R1 ser maior que 7 ( pois aparece o digito 7) e a 
base R2 ser maior q 5, logo n>=1.

Pelas opcoes do enunciado fazendo n=1, r2=9 e r1=11 , logo : R1+R2=20
Acho q eh isso...Abracos, Pedro.

Em 15 de abril de 2012 18:39, Jefferson Franca  
escreveu:

Um aluno muito curioso e estudioso(tomara!) me deu esta questão durante uma 
aula semana passada e tentei, tentei e nada!
Será que alguém pode dar um ajuda aí?
















Em
uma base R1 uma fração F1 se escreve como 0,373737... enquanto que uma
fração F2 é escrita como0,737373 . Em outra base R2, a fração F1 é escrita como 
0,252525...  e a fração F2 como 0,525252...A soma R1 + R2 no sistema de
numeração decimal é:

a)
24   b)
22  c) 21   d)
20   
e) 19

Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[J. R. Smolka]

Abordei o problema com o mesmo método que você Pedro, mas encontrei uma 
divergência quando chegamos nesta expressão:


10/( r1 - 1 )=7/(r2 - 1) ==> 10*r2 - 10 =7*r1 - 7 ==> 10*r2 - 7*r1 = 3

O que leva o resultado para r1 = 11 e r2 = 8, logo r1 + r2 = 19 
(alternativa E)


[ ]'s

*J. R. Smolka*

P.S.: No primeiro passo, quando você usou a expressão "passando pra base 
decimal", o correto seria dizer que você está expandindo f1 e f2 nos 
seus polinômios equivalentes nas bases r1 e r2.


/Em 15/04/2012 19:26, Pedro Nascimento escreveu:/

Passando pra base decimal temos:

(I) f1=3*r1^(-1)+7*r1^(-2)+3*r1^(-3)+7*r1^(-4)+...

(II) f2=7*r1^(-1)+3*r1^(-2)+7*r1^(-3)+3*r1^(-4)+...

(III) f1=2*r2^(-1)+5*r2^(-2)+2*r2^(-3)+5*r2^(-4)+...

(IV) f2=5*r2^(-1)+2*r2^(-2)+5*r2^(-3)+2*r2^(-4)+...

Somando as equacoes (I) e (II) :

(f2+f1)/10=  r1^-1   +r1^-2  +r1^-3  +r1^-4+...

Somando (III) e (IV):

(f2+f1)/7=r2^-1  +r2^-2  +r2^-3  +r2^-4+...

Assim, como o lado direito das duas equacoes eh uma PG infinita, temos:

(f2+f1)/10=r1^(-1)/(1 - r1^(-1))=1/(r1 - 1)

(f2+f1)/7=r2^(-1)/(1 - r2^(-1))=1/(r2 - 1)

Igualando:

10/( r1 - 1 )=7/(r2 - 2)
10*r2 - 20 =7*r1 - 7

10*r2 - 7*r1 = 13

Como r2 e r1 sao inteiros, resolvendo a equacao diofantina :

r2=7*n + 2
r1=10*n + 1

Tem a restricao de a base R1 ser maior que 7 ( pois aparece o digito 
7) e a base R2 ser maior q 5, logo n>=1.


Pelas opcoes do enunciado fazendo n=1, r2=9 e r1=11 , logo : R1+R2=20

Acho q eh isso...
Abracos,
 Pedro.


Em 15 de abril de 2012 18:39, Jefferson Franca > escreveu:


Um aluno muito curioso e estudioso(tomara!) me deu esta questão
durante uma aula semana passada e tentei, tentei e nada!
Será que alguém pode dar um ajuda aí?
Em uma base R1 uma fração F1se escreve como 0,373737...enquanto
que uma fração F2é escrita como0,737373 . Em outra base R2, a
fração F1é escrita como 0,252525... e a fração F2como 0,525252...A
soma R1 + R2no sistema de numeração decimal é:
a) 24b) 22c) 21d) 20e) 19

[obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Pedro Nascimento]

Passando pra base decimal temos:

(I) f1=3*r1^(-1)+7*r1^(-2)+3*r1^(-3)+7*r1^(-4)+...

(II) f2=7*r1^(-1)+3*r1^(-2)+7*r1^(-3)+3*r1^(-4)+...

(III) f1=2*r2^(-1)+5*r2^(-2)+2*r2^(-3)+5*r2^(-4)+...

(IV) f2=5*r2^(-1)+2*r2^(-2)+5*r2^(-3)+2*r2^(-4)+...

Somando as equacoes (I) e (II) :

(f2+f1)/10=  r1^-1   +r1^-2  +r1^-3  +r1^-4+...

Somando (III) e (IV):

(f2+f1)/7=r2^-1  +r2^-2  +r2^-3  +r2^-4+...

Assim, como o lado direito das duas equacoes eh uma PG infinita, temos:

(f2+f1)/10=r1^(-1)/(1 - r1^(-1))=1/(r1 - 1)

(f2+f1)/7=r2^(-1)/(1 - r2^(-1))=1/(r2 - 1)

Igualando:

10/( r1 - 1 )=7/(r2 - 2)
10*r2 - 20 =7*r1 - 7

10*r2 - 7*r1 = 13

Como r2 e r1 sao inteiros, resolvendo a equacao diofantina :

r2=7*n + 2
r1=10*n + 1

Tem a restricao de a base R1 ser maior que 7 ( pois aparece o digito 7) e a
base R2 ser maior q 5, logo n>=1.

Pelas opcoes do enunciado fazendo n=1, r2=9 e r1=11 , logo : R1+R2=20

Acho q eh isso...
Abracos,
 Pedro.


Em 15 de abril de 2012 18:39, Jefferson Franca escreveu:

> Um aluno muito curioso e estudioso(tomara!) me deu esta questão durante
> uma aula semana passada e tentei, tentei e nada!
> Será que alguém pode dar um ajuda aí?
> Em uma base R1 uma fração F1 se escreve como 0,373737... enquanto que uma
> fração F2 é escrita como0,737373 . Em outra base R2, a fração F1 é
> escrita como 0,252525...  e a fração F2 como 0,525252...A soma R1 + R2 no
> sistema de numeração decimal é:
> a) 24   b) 22  c) 21   d) 20e) 19
>

[obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Anthony Lee Worley]

acredito q seja 66 dias decorridos até q eles 
folguem pela segunda vez

  - Original Message - 
  From: 
  Gustavo 
  To: Olímpiada 
  Sent: Tuesday, April 12, 2005 11:53 
  PM
  Subject: [obm-l] Aritmética
  
  Já fiz uma "versão'" mais simples e agora pensei 
  neste, alguém tem alguma sugestão ??
   
  João folga a cada 20 dias e Maria a cada 12 
  dias. Numa  certa semana,João folgou na segunda-feira e Maria na 
  sexta-feira. A partir dessa sexta-feira em  que Maria folgou, o número de 
  dias decorridos até que eles folguem no mesmo dia,pela segunda vez, será 
  ?

[obm-l] Re:[obm-l] Aritmética

[Osvaldo Mello Sponquiado]

> Note:
> 
> Os divisores de 10 são:  1, 2, 5, 10 . Note que 
1.10=2.5
> 
> Os divisores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Note que 
1.12=2.6=3.4
> 
> Os divisores de 9 são: 1, 3, 9. Note que 3=sqrt
(1.9)  ok! isso é uma P.G.


Se você já conclui que a sequencia é uma P.G. não tem 
que demonstrar nada, é só olhar os termos 
equidistantes da P.G.

Atenciosamente,

Osvaldo Mello Sponquiado 
Engenharia Elétrica, 2ºano 
UNESP - Ilha Solteira

 
__
Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
AntiPop-up UOL - É grátis!
http://antipopup.uol.com.br/



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] RES: [obm-l] Re:[obm-l] Aritmética

[Pedro Antonio Santoro Salomao]

Acho que o que ele está querendo entender é
o seguinte: coloque em ordem crescente os divisores positivos de n: 1, ., n.

Multiplique o primeiro com o último:
1.n=n, multiplique o segundo com o penúltimo: também vai dar n, e assim por
diante.

Repare que se d é o segundo menor divisor de
n, então n/d será o segundo maior divisor de n. Logo a multiplicação entre
esses dois números deve dar d*n/d=n, como você verificou. Se k é o terceiro
menor divisor de n, então n/k é o terceiro maior divisor de n, cujo produto
entre os dois é k*n/k=n. O raciocínio segue para os outros divisores. É por
isso que essa idéia sempre funciona.

 

Um abraço. Pedro.

 









De: owner-[EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-[EMAIL PROTECTED]] Em nome de claudio.buffara
Enviada em: Monday, October 04,
2004 9:01 PM
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Re:[obm-l]
Aritmética



 





Não ficou muito claro o que você quer demonstrar, mas uma observação
que talvez seja relevante é a seguinte:





se d divide n então n/d também divide n e, além disso, d*(n/d) = n.





 





[]s,





Claudio.





 






 
  
  De:
  
  
  owner-[EMAIL PROTECTED]
  
 





 
  
  Para:
  
  
  [EMAIL PROTECTED]
  
 




 


 
  
  Cópia:
  
  
   
  
 





 
  
  Data:
  
  
  Mon, 4
  Oct 2004 20:31:06 -0300
  
 




 


 
  
  Assunto:
  
  
  [obm-l]
  Aritmética
  
 





 
  
   
  
  
   
  
 




> Note:





>  





> Os divisores de 10 são:  1, 2, 5, 10 . Note que
1.10=2.5





>  





> Os divisores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Note que
1.12=2.6=3.4





>  





> Os divisores de 9 são: 1, 3, 9. Note que
3=sqrt(1.9)  ok! isso é uma P.G.





>  





> Já testei vários núeros e sempre acontece isso. Gostaria de
demonstrar mas não estou conseguindo.





>  





> Desde já agradeço.





>  





>  

[obm-l] Re:[obm-l] Aritmética

[claudio.buffara]

Não ficou muito claro o que você quer demonstrar, mas uma observação que talvez seja relevante é a seguinte:
se d divide n então n/d também divide n e, além disso, d*(n/d) = n.
 
[]s,
Claudio.
 




De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
[EMAIL PROTECTED]




Cópia:





Data:
Mon, 4 Oct 2004 20:31:06 -0300




Assunto:
[obm-l] Aritmética




 
 



> Note:
>  
> Os divisores de 10 são:  1, 2, 5, 10 . Note que 1.10=2.5
>  
> Os divisores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Note que 1.12=2.6=3.4
>  
> Os divisores de 9 são: 1, 3, 9. Note que 3=sqrt(1.9)  ok! isso é uma P.G.
>  
> Já testei vários núeros e sempre acontece isso. Gostaria de demonstrar mas não estou conseguindo.
>  
> Desde já agradeço.
>  
>  

Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Faelccmm]

Va no endereco:

http://www.mail-archive.com/[EMAIL PROTECTED]/

e na *busca* digite parte do problema. Ex: *se enche em 680 minutos* e voce encontrara o mesmo.



Em uma mensagem de 13/6/2004 11:55:05 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:



Por onde (e como)começo minha pesquisa nos arquivos da lista para ter acesso
a resolução deste problema enviado por elton ?
- Original Message -
From: "Augusto Cesar de Oliveira Morgado" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Thursday, June 10, 2004 2:38 PM
Subject: Re: [obm-l] aritmética


> Este problema ja foi respondido pouco depois de haver sido enviado pela
> primeira vez (esta ja eh a terceira). Consulte os arquivos.
>
> ==
> Mensagem  enviada  pelo  CIP  WebMAIL  - Nova Geração - v. 2.1
> CentroIn Internet Provider  http://www.centroin.com.br
> Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331    Fax: (21) 2295-2978
> Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online
>
>
> -- Original Message ---
> From: elton francisco ferreira <[EMAIL PROTECTED]>
> To: [EMAIL PROTECTED]
> Sent: Thu, 10 Jun 2004 12:37:42 -0300 (ART)
> Subject: [obm-l] aritmética
>
> > Um reservatório é alimentado por duas torneiras: a
> > primeira dá 38 litros por minuto e a segunda, 47. A
> > saída de água é por um orifício que deixa passar 21
> > litros por minuto, deixando abertas as torneiras e o
> > orifício, o reservatório se enche em 680 minutos. Qual
> > é a sua capacidade?
> >
> > 

[obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Gustavo]

Por onde (e como)começo minha pesquisa nos arquivos da lista para ter acesso
a resolução deste problema enviado por elton ?
- Original Message -
From: "Augusto Cesar de Oliveira Morgado" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Thursday, June 10, 2004 2:38 PM
Subject: Re: [obm-l] aritmética


> Este problema ja foi respondido pouco depois de haver sido enviado pela
> primeira vez (esta ja eh a terceira). Consulte os arquivos.
>
> ==
> Mensagem  enviada  pelo  CIP  WebMAIL  - Nova Geração - v. 2.1
> CentroIn Internet Provider  http://www.centroin.com.br
> Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978
> Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online
>
>
> -- Original Message ---
> From: elton francisco ferreira <[EMAIL PROTECTED]>
> To: [EMAIL PROTECTED]
> Sent: Thu, 10 Jun 2004 12:37:42 -0300 (ART)
> Subject: [obm-l] aritmética
>
> > Um reservatório é alimentado por duas torneiras: a
> > primeira dá 38 litros por minuto e a segunda, 47. A
> > saída de água é por um orifício que deixa passar 21
> > litros por minuto, deixando abertas as torneiras e o
> > orifício, o reservatório se enche em 680 minutos. Qual
> > é a sua capacidade?
> >
> > __
> >
> > Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail:
> > http://br.surveys.yahoo.com/global_mail_survey_br
> >
=
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
=
> --- End of Original Message ---
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re:[obm-l] Aritmética

[Osvaldo]

> 
>Poderiam me ajudar nesta questão?
> 
> Um lojista está disposto a vender um tênis de três 
> formas: 
> 
> I - R$100,00 à vista hoje
> II - R$125,00 daqui a um mês
> III - Duas parcelas de R$60,00, uma hoje e outra 
daqui 
> a um mês.
> Se você sabe que a inflação é de 30% ao mês e que 
90% 
> desta é repassado ao seu salário, qual é a melhor 
opção 
> de compra?

Meu salario hj: x
Meu salario daqui um mes: x+x.90%.30%x=1,27x

Acredito que o criterio da melhor escolha seja sobrar 
o maior dinheiro apos feita a compra.

Vamos analisar as tres possibilidades:

I) Vou gastar 100,00, logo me sobrará C(1)=x-100

II) Vou gastar 125,00, logo me sobrará C(2)=1,27x-125

III)Vou gastar 60,00 hj e 60,00 daqui um mes,
me sobrando C(3)[(x-60)+(1,27x-60)]/2 = 1,135x-60 em 
media 

Acredito que devemos comparar C(1), C(2) e C(3), ou 
seja x-100, 1,27x-125 e  1,135x-60 que é o mesmo que 
compararmos (x-100)-x, (1,27x-125)-x e (1,135x-60)-x, 
ou seja, devemos comparar -100, (0,27x-25)-100 e 
(0,135x+40)-100 que é o mesmo que comparar 0; 0,27x-25 
e 0,135x+40

Bom daqui em diante acho que devemos fazer uma análise 
das 31=6 possibilidades comparativas, vamos la:

I) C(1)>C(2)>C(3)=>0>0,27x-25 >0,135x+40
assim teremos x<95,60 e x>481,50 contradiçao, logo é 
impossivel esta possibilidade.

II) C(1)>C(3)>C2)=>0>0,135x+40>0,27x-25
assim teremos x<-296,30 contradiçao, pois se supoe que 
o salario seja positivo :-)))

III) C(2)>C(3)>C(1)=>0,27x-25>0,135x+40>0
x>92,60

IV) C(2)>C(1)>C(3)=>0,27x-25>0>0,135x+40
assim teremos x negativo e x positivo, contradiçao de 
novo.

V) C(3)>C(2)>C(1)=>0,135x+40>0,27x-25>0
x sera negativo novamente, contradiçao

e finalmente

VI) C(3)>C(1)>C(2)
0,135x+40>0>0,27x-25
x>0 e x<92,60



Portanto se o salário for maior do que 92,60 a opção 
III será a mais favoravel ou a opçao II caso contrario.

Bom, nao sei se ta certo, mais de qualquer forma acho 
que te ajude de alguma forma... falou !!!




[Ao som de Combinação Letal - Cada um cada um]
___
___
> Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
> AntiPop-up UOL - É grátis!
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> 
> 
> 
> 
===
==
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e 
usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> 
===
==
> 

Atenciosamente,

Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
Osvaldo Mello Sponquiado 
Usuário de GNU/Linux


 
__
Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] aritmética I

[Fellipe Rossi]

a q.1 está esquisita.

2)
 x+y = 329
maior resto possivel numa divisão por y = y-1
Considerando x>y, x=13y+(y-1)
=>14y-1+y=329
=>15y=330,
Então y=22.
Logo, x=307.

3)
Supondo que o número é x.
Acrescentando 14 a sua direita, temos que o numero aumentara de 100 vezes +
14
ou seja, temos 100x+14 = x+2093
=> 99x=2079
=> x=21

Abraços

- Original Message -
From: "elton francisco ferreira" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Saturday, May 22, 2004 7:00 PM
Subject: [obm-l] aritmética I


> 1 - Numa divisão, o dividendo e o quociente, 8.
> Encontre o divisor, sabendo que o resto é o maior
> possível.
>
>
>
>
> 2 - A soma de dois números é 329. A divisão do maior
> pelo menor dá quociente 13 e o resto o mairo possível.
> Quais são esses números?
>
> 3 - Qual o número fica aumentado em 2093 unidades
> quando acrenta-se a sua direita o número 14?
>
> __
>
> Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
> http://br.download.yahoo.com/messenger/
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>
>


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] aritmética I

[Ariel de Silvio]

1)
D => dividendo
d => divisor
q => quociente
R => resto
 
Uma divisão euclidiana tem esse formato:
D = d.q + R
O resto máximo é sempre (d-1)
 
Entao
8 = d.8 + 7
d = 1/8
 
2) x + y = 329
sendo x > y
x = 13.y + (y - 1)
x = 14y - 1
329 - y = 14y - 1
330 = 15y
y = 22
 
x + 22 = 329
x = 307
S = {(307;22)}
 
 
---Original Message---
 

From: [EMAIL PROTECTED]
Date: 05/22/04 15:25:00
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] aritmética I
 
1 - Numa divisão, o dividendo e o quociente, 8.
Encontre o divisor, sabendo que o resto é o maior
possível.
 
 
 
 
2 - A soma de dois números é 329. A divisão do maior
pelo menor dá quociente 13 e o resto o mairo possível.
Quais são esses números?
 
3 - Qual o número fica aumentado em 2093 unidades
quando acrenta-se a sua direita o número 14?
 
__
 
Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
http://br.download.yahoo.com/messenger/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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