[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade e frações

[Pedro Júnior]

Desculpas, Cláudio. É isso mesmo, com "a" e "b" inteiros e positivos.

Obrigado pela brilhante solução.

Em ter, 27 de fev de 2024 01:41, Claudio Buffara 
escreveu:

> Deveria ser a e b inteiros positivos, não?
> Pois se forem inteiros sem restrição, então como 2022/2023 < 2022,5/2023,5
> < 2023/2024, bastaria tomar a sequência:
> a(n) = -20225*n  e  b(n) = -20235*n.
> Daí teríamos 2022/2023 < a(n)/b(n) < 2023/2024 e a sequência a(n)+b(n)
> seria ilimitada inferiormente.
>
> Assim, suponhamos que a e b sejam inteiros positivos.
> 2022/2023 < a/b < 2023/2024 implica que b > a+1, já que a sequência
> (n/(n+1)) é crescente.
> Além disso, usando razões e proporções, achamos que:
> 2022 < a/(b-a) < 2023 < b/(b-a) < 2024
> ==> para que a+b seja o menor possível, b-a deverá ser o menor possível.
> E o menor valor possível de b-a é 2.
> Usando frações equivalentes, dá pra escrever 4044/4046 < a/b < 4046/4048 e
> daí teríamos uma única fração a/b com b - a = 2.
> Seria a/b = 4045/4047 ==> a+b mínimo = 8092.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
>
> On Mon, Feb 26, 2024 at 10:12 PM Pedro Júnior 
> wrote:
>
>> Quem puder me ajudar, fixo grato.
>>
>> Sejam a e b dois números inteiros. Sabendo que 2022/2023 < a/b <
>> 2023/2024, determine o menos calor da soma a + b.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade e frações

[Claudio Buffara]

Deveria ser a e b inteiros positivos, não?
Pois se forem inteiros sem restrição, então como 2022/2023 < 2022,5/2023,5
< 2023/2024, bastaria tomar a sequência:
a(n) = -20225*n  e  b(n) = -20235*n.
Daí teríamos 2022/2023 < a(n)/b(n) < 2023/2024 e a sequência a(n)+b(n)
seria ilimitada inferiormente.

Assim, suponhamos que a e b sejam inteiros positivos.
2022/2023 < a/b < 2023/2024 implica que b > a+1, já que a sequência
(n/(n+1)) é crescente.
Além disso, usando razões e proporções, achamos que:
2022 < a/(b-a) < 2023 < b/(b-a) < 2024
==> para que a+b seja o menor possível, b-a deverá ser o menor possível.
E o menor valor possível de b-a é 2.
Usando frações equivalentes, dá pra escrever 4044/4046 < a/b < 4046/4048 e
daí teríamos uma única fração a/b com b - a = 2.
Seria a/b = 4045/4047 ==> a+b mínimo = 8092.

[]s,
Claudio.




On Mon, Feb 26, 2024 at 10:12 PM Pedro Júnior 
wrote:

> Quem puder me ajudar, fixo grato.
>
> Sejam a e b dois números inteiros. Sabendo que 2022/2023 < a/b <
> 2023/2024, determine o menos calor da soma a + b.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade e frações

[Alexandre Antunes]

Vejam se este caminho é uma possibilidade (sujeita a ajustes e correções.
Fiquem à vontade!)
2022/2023 < a/b < 2023/2024 (I)
2022/2023 < (a+b-b)/b < 2023/2024
2022/2023 < (a+b)/b-b/b < 2023/2024
2022/2023 < (a+b)/b-1 < 2023/2024
2022/2023 +1< (a+b)/b-1 +1 < 2023/2024+1
(2022+2023)/2023 < (a+b)/b < (2023+2024)/2024
4045/2023 < (a+b)/b < 4047/2024
1,999505... aprox 2 < (a+b)/b < 1.999505... approx 2
*2 < (a+b)/b < 2 => (a+b)/b = 2(II)*

De (I), tem-se que  2022/2023 = 0,999505... aprox 1 < a/b < 2023/2024 =
0,999505... aprox 1
*1 < a/b < 1 =>   a/b = 1  (III)*

Sendo a e b inteiros, de (II) e (III), pode-se concluir que a=b=-1 e
somando a+b = -2.

Atenciosamente,

Prof. Dsc. Alexandre Antunes
www alexandre antunes com br


Em seg., 26 de fev. de 2024 às 22:11, Pedro Júnior <
pedromatematic...@gmail.com> escreveu:

> Quem puder me ajudar, fixo grato.
>
> Sejam a e b dois números inteiros. Sabendo que 2022/2023 < a/b <
> 2023/2024, determine o menos calor da soma a + b.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade isoperimétrica

[Anderson Torres]

Em qui, 29 de ago de 2019 às 22:26, Eduardo Henrique
 escreveu:
>
> Olá pessoal, tudo bem?
>
> Alguém tem o artigo sobre desigualdade isoperimétrica que saiu na revista 
> matemática universitária em pdf para me enviar?
>
> O link no site deles está fora...

O Saldanha tem uma cópia na sua page pessoal. Be happy!

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/publ.html

>
> Att.
>
> Eduardo
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Desigualdade

[Vanderlei Nemitz]

Muito obrigado, Claudio!
Vou analisar com calma suas contas, mas a ideia parece muito elegante!

Em qua, 12 de set de 2018 11:21, Claudio Buffara 
escreveu:

> Com certeza dá. A questão é saber se há alguma fórmula ou algoritmo
> engenhoso pra fazer isso sem "ir somando até passar de 1".
> Uma ideia é calcular uma cota inferior e uma cota superior pra soma
> 1/(n-k) + 1/(n-k+1) + ... + 1/n.
> Por exemplo, sabemos que:
> 1/(n-k) + ... + 1/(n-1) + 1/n < log(n) - log(n-k-1) < 1/(n-k-1) + ... +
> 1/(n-2) + 1/(n-1)
> (pra ver isso, faça o gráfico)
> Isso implica que 1/(n-k-1) + ... + 1/(n-1) + 1/n > log(n) - log(n-k-1) +
> 1/n.
> Assim, é suficiente (mas não necessário) achar k tal que:
> log(n) - log(n-k-1) <= 1 <= log(n) - log(n-k-1) + 1/n ==>
> log(n/(n-k-1)) <= 1 <= log(n/(n-k-1)) + 1/n ==>
> n/(n-k-1) <= e <= n/(n-k-1) * e^(1/n) ==>
> n*(1 - e^(1/n-1)) - 1 <= k <= n*(1 - e^(-1)) - 1
>
> Por exemplo, se n = 100, a desigualdade acima fica:
> 100*(1 - e^(-0,99)) - 1 <= k <= 100*(1 - e^(-1)) - 1
> 61,84 <= k <= 62,21 ==> k = 62.
> E, de fato, 1/38 + ... + 1/100 = 0,9858 e 1/37 + ... + 1/100 = 1,0128
>
> Já, se n = 200, as cotas acima serão 125,0553 e 125,4241, de modo que não
> há nenhum k (inteiro) no intervalo.
> No entanto, 1/75 + ... + 1/200 < 1 < 1/74 + ... + 1/200, de modo que o k
> desejado é 125.
>
> De qualquer forma, vale a fórmula k = parte inteira de n*(1 - e^(-1)) - 1,
> pelo menos pra n = 2 (k = 0) e pra n >= 4.
> Pra n = 3, k = 1 (1/2 + 1/3 < 1 < 1 + 1/2 + 1/3), mas a fórmula dá k = 0.
>
> Se eu não errei nenhuma conta, acho que é isso.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Wed, Sep 12, 2018 at 9:57 AM Vanderlei Nemitz 
> wrote:
>
>> Bom dia!
>> É possível determinar, em função de n, o maior valor de k tal que 1/n +
>> 1/(n - 1) + 1/(n - 2) + ... + 1/(n - k) < 1, em que n é um inteiro maior do
>> que 1?
>>
>> Muito obrigado!
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Claudio Buffara]

Com certeza dá. A questão é saber se há alguma fórmula ou algoritmo
engenhoso pra fazer isso sem "ir somando até passar de 1".
Uma ideia é calcular uma cota inferior e uma cota superior pra soma
1/(n-k) + 1/(n-k+1) + ... + 1/n.
Por exemplo, sabemos que:
1/(n-k) + ... + 1/(n-1) + 1/n < log(n) - log(n-k-1) < 1/(n-k-1) + ... +
1/(n-2) + 1/(n-1)
(pra ver isso, faça o gráfico)
Isso implica que 1/(n-k-1) + ... + 1/(n-1) + 1/n > log(n) - log(n-k-1) +
1/n.
Assim, é suficiente (mas não necessário) achar k tal que:
log(n) - log(n-k-1) <= 1 <= log(n) - log(n-k-1) + 1/n ==>
log(n/(n-k-1)) <= 1 <= log(n/(n-k-1)) + 1/n ==>
n/(n-k-1) <= e <= n/(n-k-1) * e^(1/n) ==>
n*(1 - e^(1/n-1)) - 1 <= k <= n*(1 - e^(-1)) - 1

Por exemplo, se n = 100, a desigualdade acima fica:
100*(1 - e^(-0,99)) - 1 <= k <= 100*(1 - e^(-1)) - 1
61,84 <= k <= 62,21 ==> k = 62.
E, de fato, 1/38 + ... + 1/100 = 0,9858 e 1/37 + ... + 1/100 = 1,0128

Já, se n = 200, as cotas acima serão 125,0553 e 125,4241, de modo que não
há nenhum k (inteiro) no intervalo.
No entanto, 1/75 + ... + 1/200 < 1 < 1/74 + ... + 1/200, de modo que o k
desejado é 125.

De qualquer forma, vale a fórmula k = parte inteira de n*(1 - e^(-1)) - 1,
pelo menos pra n = 2 (k = 0) e pra n >= 4.
Pra n = 3, k = 1 (1/2 + 1/3 < 1 < 1 + 1/2 + 1/3), mas a fórmula dá k = 0.

Se eu não errei nenhuma conta, acho que é isso.

[]s,
Claudio.


On Wed, Sep 12, 2018 at 9:57 AM Vanderlei Nemitz 
wrote:

> Bom dia!
> É possível determinar, em função de n, o maior valor de k tal que 1/n +
> 1/(n - 1) + 1/(n - 2) + ... + 1/(n - k) < 1, em que n é um inteiro maior do
> que 1?
>
> Muito obrigado!
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade com potências

[Douglas Oliveira de Lima]

Valeu Ralph, thanks.

Douglas Oliveira.

Em dom, 29 de abr de 2018 16:49, Ralph Teixeira 
escreveu:

> Que tal assim:
>
> POR BAIXO (BEM folgado): Como 3^3=27<32=2^5, temos
> 3^100<(3^3)^34<(2^5)^34=2^170. Portanto
> 3^100+2^100<2^170+2^100<2^170+2^170=2^171<2^200=4^100.
> POR CIMA (mais apertado!): Como 3^7=2187>2^11=2048, temos
> 3^100=9.(3^98)>9.(2^154)>(2^3).(2^154)=2^157. Somando 2^100, ficamos abaixo
> de 2.(2^157)=2^158=4^79.
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2018-04-29 13:09 GMT-03:00 Anderson Torres :
>
>> 2018-04-29 8:45 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
>> :
>> > Prove que 4^79<2^100+3^100<4^100, usando matemática elementar.
>> >
>>
>> O desejo de trapacear isso com log é muito forte :)
>>
>> Isso equivale a mostrar que
>>
>> 2^158-2^100<3^100<2^200-2^100
>>
>> Ou
>>
>> (2^58-1)*2^100<3^100<(2^100-1)*2^100
>>
>> Ou talvez
>>
>> 2^58 < (3/2)^100+1 < 2^100
>>
>> Daqui, tenho poucas ideias para a desigualdade mais à esquerda...
>>
>> > Douglas Oliveira.
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade com potências

[Ralph Teixeira]

Que tal assim:

POR BAIXO (BEM folgado): Como 3^3=27<32=2^5, temos
3^100<(3^3)^34<(2^5)^34=2^170. Portanto
3^100+2^100<2^170+2^100<2^170+2^170=2^171<2^200=4^100.
POR CIMA (mais apertado!): Como 3^7=2187>2^11=2048, temos
3^100=9.(3^98)>9.(2^154)>(2^3).(2^154)=2^157. Somando 2^100, ficamos abaixo
de 2.(2^157)=2^158=4^79.

Abraco, Ralph.

2018-04-29 13:09 GMT-03:00 Anderson Torres :

> 2018-04-29 8:45 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
> :
> > Prove que 4^79<2^100+3^100<4^100, usando matemática elementar.
> >
>
> O desejo de trapacear isso com log é muito forte :)
>
> Isso equivale a mostrar que
>
> 2^158-2^100<3^100<2^200-2^100
>
> Ou
>
> (2^58-1)*2^100<3^100<(2^100-1)*2^100
>
> Ou talvez
>
> 2^58 < (3/2)^100+1 < 2^100
>
> Daqui, tenho poucas ideias para a desigualdade mais à esquerda...
>
> > Douglas Oliveira.
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
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> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade com potências

[Anderson Torres]

2018-04-29 8:45 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima
:
> Prove que 4^79<2^100+3^100<4^100, usando matemática elementar.
>

O desejo de trapacear isso com log é muito forte :)

Isso equivale a mostrar que

2^158-2^100<3^100<2^200-2^100

Ou

(2^58-1)*2^100<3^100<(2^100-1)*2^100

Ou talvez

2^58 < (3/2)^100+1 < 2^100

Daqui, tenho poucas ideias para a desigualdade mais à esquerda...

> Douglas Oliveira.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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Re: [obm-l] Desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Eu, quase que por acaso, achei uma solução de quem nem todos gostamArtur Costa Steiner Em 19 de abr de 2018 11:15, Pedro José  escreveu:Bom dia!É muito legal o problema.Se você ordenar em crescente, os termos de ordem ímpar serão positivos e os de par serão negativos.Só |p1| > |p2|, se tiverem mais de dois elementos. então 1/p1 + 1p2 <0Mas os demais 1/p3 + 1/p4 > 0 e assim por diante e acabam fazendo o número positivo.Se só tiverem dois elementos. |p1| < |p2| e 1/p1 + 1/p2 > 0.Mas daí a provar.Saudações,PJMSEm 17 de abril de 2018 09:20, Artur Steiner  escreveu:É isso mesmo.Artur Costa SteinerEm Ter, 17 de abr de 2018 08:04, Douglas Oliveira de Lima  escreveu:Nao entendi esse a_k Produto. por exemplo se fossem a_1, a_2 e a_3, entao seria 1/a_1[(a_3)^2-(a_1)^2][(a_2)^2-(a_1)^2] +1/a_2[(a_3)^2-(a_2)^2][(a_1)^2-(a_2)^2]+1/a_3[(a_2)^2-(a_3)^2][(a_1)^2-(a_3)^2], é maior que zero , é isso?Douglas Oliveira.Em ter, 17 de abr de 2018 00:49, Artur Costa Steiner  escreveu:Sejam a_1, a_n  números positivos, distintos dois a dois, e, para k = 1, ... n, definamos

p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2) 

Mostre que 1/p_1 ... + 1/p_n > 0

Artur



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 acredita-se estar livre de perigo.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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 acredita-se estar livre de perigo.


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 acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Pedro José]

Bom dia!

É muito legal o problema.
Se você ordenar em crescente, os termos de ordem ímpar serão positivos e os
de par serão negativos.
Só |p1| > |p2|, se tiverem mais de dois elementos. então 1/p1 + 1p2 <0
Mas os demais 1/p3 + 1/p4 > 0 e assim por diante e acabam fazendo o número
positivo.
Se só tiverem dois elementos. |p1| < |p2| e 1/p1 + 1/p2 > 0.
Mas daí a provar.

Saudações,
PJMS

Em 17 de abril de 2018 09:20, Artur Steiner 
escreveu:

> É isso mesmo.
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em Ter, 17 de abr de 2018 08:04, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Nao entendi esse a_k Produto.
>>
>> por exemplo se fossem a_1, a_2 e a_3, entao seria 1/a_1[(a_3)^2-(a_1)^2][
>> (a_2)^2-(a_1)^2] +1/a_2[(a_3)^2-(a_2)^2][(a_1)^2-(a_2)^2]+
>> 1/a_3[(a_2)^2-(a_3)^2][(a_1)^2-(a_3)^2], é maior que zero , é isso?
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>> Em ter, 17 de abr de 2018 00:49, Artur Costa Steiner <
>> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Sejam a_1, a_n  números positivos, distintos dois a dois, e, para k
>>> = 1, ... n, definamos
>>>
>>> p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2)
>>>
>>> Mostre que 1/p_1 ... + 1/p_n > 0
>>>
>>> Artur
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Artur Steiner]

É isso mesmo.

Artur Costa Steiner

Em Ter, 17 de abr de 2018 08:04, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Nao entendi esse a_k Produto.
>
> por exemplo se fossem a_1, a_2 e a_3, entao seria 
> 1/a_1[(a_3)^2-(a_1)^2][(a_2)^2-(a_1)^2]
> +1/a_2[(a_3)^2-(a_2)^2][(a_1)^2-(a_2)^2]+1/a_3[(a_2)^2-(a_3)^2][(a_1)^2-(a_3)^2],
> é maior que zero , é isso?
>
> Douglas Oliveira.
>
> Em ter, 17 de abr de 2018 00:49, Artur Costa Steiner <
> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:
>
>> Sejam a_1, a_n  números positivos, distintos dois a dois, e, para k
>> = 1, ... n, definamos
>>
>> p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2)
>>
>> Mostre que 1/p_1 ... + 1/p_n > 0
>>
>> Artur
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Douglas Oliveira de Lima]

Nao entendi esse a_k Produto.

por exemplo se fossem a_1, a_2 e a_3, entao seria
1/a_1[(a_3)^2-(a_1)^2][(a_2)^2-(a_1)^2]
+1/a_2[(a_3)^2-(a_2)^2][(a_1)^2-(a_2)^2]+1/a_3[(a_2)^2-(a_3)^2][(a_1)^2-(a_3)^2],
é maior que zero , é isso?

Douglas Oliveira.

Em ter, 17 de abr de 2018 00:49, Artur Costa Steiner <
artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:

> Sejam a_1, a_n  números positivos, distintos dois a dois, e, para k =
> 1, ... n, definamos
>
> p_k = a_k Produto (j = 1, n, j <> k) ((a_j)^2) - (a_k)^2)
>
> Mostre que 1/p_1 ... + 1/p_n > 0
>
> Artur
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Douglas Oliveira de Lima]

A_1=3

Em 28 de mai de 2017 12:44 PM, "Esdras Muniz" 
escreveu:

> Se vc colocar a1 igual a 0, 1 ou 2 vai ver queisso não é verdade. Acho que
> é verdade se |a1|>e.
>
> Em 28 de mai de 2017 11:58, "Douglas Oliveira de Lima" <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
> Então amigos, eu tive uma idéia mas não estou conseguindo concluir, vamos
> lá:
>
> Montei uma sequência e fiz a_1=3, e assim 
> [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3
> se, e somente se,
> [3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<(3^2)/2, portanto a_2=(3^2)/2, e assim
> sucessivamente escrevi a sequência
> a_n=(a_(n-1)^2)/n, e usei um "leminha" para resolver, que é (a_n)^2>n+1, e
> assim sai fácil, só não consegui escrever
> a prova desse lema.
>
> Mas com ele sai bem facil, pois se  (a_n)^2>n+1, então (a_n)>(n+1)^(1/2),
> logo  (a_(n-1)^2)/n>(n+1)^(1/2), ou seja,
> a_(n-1)>n^(1/2)(n+1)^(1/4), ., 
> a_1>[2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...,
> e como a_1=3, está provado.
>
> Peço a ajuda de vocÊs para provar o lema.
>
>  Lema:
> Considere a sequência a_n=(a_(n-1)^2)/n, onde a_1=3 então (a_n)^2>n+1.
>
>
>
> Douglas Oliveira
>
>
>
>
> Em 27 de maio de 2017 18:10, Esdras Muniz 
> escreveu:
>
>> Solução muito boa.
>>
>> Em 27 de mai de 2017 00:37, "Gabriel Tostes" 
>> escreveu:
>>
>>> Tira ln, esse produto vai ser:
>>> Sum{n>=1} ln(n+1)/(2^n) = M
>>>
>>> Bora escrever M de outro jeito:
>>>
>>> M= ln(2) + [ln(3)-ln(2)]/2 + [ln(4)-ln(3)]/2^2 + ...
>>>
>>> M= Sum{n>=1} (ln(n+1)-ln(n))/2^(n-1)
>>>
>>> Como ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)<1/n
>>>
>>> M=2} 1/n.2^(n-1) = L + ln(2)
>>>
>>> Para achar L considere:
>>> 1/(1-x)= 1+x^2+x^3+...
>>>
>>> Integrando essa expressao temos que -(1/x).ln(1-x)= 1+x/2+x^2/3+...
>>> Substituindo x=1/2 achamos que L=2ln(2)-1
>>> E entao
>>> M< 3ln(2)-1 < ln(3)
>>>
>>>  E o produto pedido inicialmente eh menor que 3
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Sent from my iPad
>>> > On May 26, 2017, at 9:47 PM, Douglas Oliveira de Lima <
>>> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>>> >
>>> > Como posso fazer essa daqui:
>>> >
>>> > [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3
>>> >
>>> > Grande abraço a todos
>>> >
>>> > DouglasOliveira
>>> >
>>> > --
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Esdras Muniz]

Se vc colocar a1 igual a 0, 1 ou 2 vai ver queisso não é verdade. Acho que
é verdade se |a1|>e.

Em 28 de mai de 2017 11:58, "Douglas Oliveira de Lima" <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

Então amigos, eu tive uma idéia mas não estou conseguindo concluir, vamos
lá:

Montei uma sequência e fiz a_1=3, e assim
[2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3
se, e somente se,
[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<(3^2)/2, portanto a_2=(3^2)/2, e assim
sucessivamente escrevi a sequência
a_n=(a_(n-1)^2)/n, e usei um "leminha" para resolver, que é (a_n)^2>n+1, e
assim sai fácil, só não consegui escrever
a prova desse lema.

Mas com ele sai bem facil, pois se  (a_n)^2>n+1, então (a_n)>(n+1)^(1/2),
logo  (a_(n-1)^2)/n>(n+1)^(1/2), ou seja,
a_(n-1)>n^(1/2)(n+1)^(1/4), .,
a_1>[2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...,
e como a_1=3, está provado.

Peço a ajuda de vocÊs para provar o lema.

 Lema:
Considere a sequência a_n=(a_(n-1)^2)/n, onde a_1=3 então (a_n)^2>n+1.



Douglas Oliveira




Em 27 de maio de 2017 18:10, Esdras Muniz 
escreveu:

> Solução muito boa.
>
> Em 27 de mai de 2017 00:37, "Gabriel Tostes" 
> escreveu:
>
>> Tira ln, esse produto vai ser:
>> Sum{n>=1} ln(n+1)/(2^n) = M
>>
>> Bora escrever M de outro jeito:
>>
>> M= ln(2) + [ln(3)-ln(2)]/2 + [ln(4)-ln(3)]/2^2 + ...
>>
>> M= Sum{n>=1} (ln(n+1)-ln(n))/2^(n-1)
>>
>> Como ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)<1/n
>>
>> M=2} 1/n.2^(n-1) = L + ln(2)
>>
>> Para achar L considere:
>> 1/(1-x)= 1+x^2+x^3+...
>>
>> Integrando essa expressao temos que -(1/x).ln(1-x)= 1+x/2+x^2/3+...
>> Substituindo x=1/2 achamos que L=2ln(2)-1
>> E entao
>> M< 3ln(2)-1 < ln(3)
>>
>>  E o produto pedido inicialmente eh menor que 3
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> Sent from my iPad
>> > On May 26, 2017, at 9:47 PM, Douglas Oliveira de Lima <
>> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>> >
>> > Como posso fazer essa daqui:
>> >
>> > [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3
>> >
>> > Grande abraço a todos
>> >
>> > DouglasOliveira
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>


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acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Douglas Oliveira de Lima]

Então amigos, eu tive uma idéia mas não estou conseguindo concluir, vamos
lá:

Montei uma sequência e fiz a_1=3, e assim
[2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3
se, e somente se,
[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<(3^2)/2, portanto a_2=(3^2)/2, e assim
sucessivamente escrevi a sequência
a_n=(a_(n-1)^2)/n, e usei um "leminha" para resolver, que é (a_n)^2>n+1, e
assim sai fácil, só não consegui escrever
a prova desse lema.

Mas com ele sai bem facil, pois se  (a_n)^2>n+1, então (a_n)>(n+1)^(1/2),
logo  (a_(n-1)^2)/n>(n+1)^(1/2), ou seja,
a_(n-1)>n^(1/2)(n+1)^(1/4), .,
a_1>[2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...,
e como a_1=3, está provado.

Peço a ajuda de vocÊs para provar o lema.

 Lema:
Considere a sequência a_n=(a_(n-1)^2)/n, onde a_1=3 então (a_n)^2>n+1.



Douglas Oliveira




Em 27 de maio de 2017 18:10, Esdras Muniz 
escreveu:

> Solução muito boa.
>
> Em 27 de mai de 2017 00:37, "Gabriel Tostes" 
> escreveu:
>
>> Tira ln, esse produto vai ser:
>> Sum{n>=1} ln(n+1)/(2^n) = M
>>
>> Bora escrever M de outro jeito:
>>
>> M= ln(2) + [ln(3)-ln(2)]/2 + [ln(4)-ln(3)]/2^2 + ...
>>
>> M= Sum{n>=1} (ln(n+1)-ln(n))/2^(n-1)
>>
>> Como ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)<1/n
>>
>> M=2} 1/n.2^(n-1) = L + ln(2)
>>
>> Para achar L considere:
>> 1/(1-x)= 1+x^2+x^3+...
>>
>> Integrando essa expressao temos que -(1/x).ln(1-x)= 1+x/2+x^2/3+...
>> Substituindo x=1/2 achamos que L=2ln(2)-1
>> E entao
>> M< 3ln(2)-1 < ln(3)
>>
>>  E o produto pedido inicialmente eh menor que 3
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> Sent from my iPad
>> > On May 26, 2017, at 9:47 PM, Douglas Oliveira de Lima <
>> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>> >
>> > Como posso fazer essa daqui:
>> >
>> > [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3
>> >
>> > Grande abraço a todos
>> >
>> > DouglasOliveira
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Esdras Muniz]

Solução muito boa.

Em 27 de mai de 2017 00:37, "Gabriel Tostes"  escreveu:

> Tira ln, esse produto vai ser:
> Sum{n>=1} ln(n+1)/(2^n) = M
>
> Bora escrever M de outro jeito:
>
> M= ln(2) + [ln(3)-ln(2)]/2 + [ln(4)-ln(3)]/2^2 + ...
>
> M= Sum{n>=1} (ln(n+1)-ln(n))/2^(n-1)
>
> Como ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)<1/n
>
> M=2} 1/n.2^(n-1) = L + ln(2)
>
> Para achar L considere:
> 1/(1-x)= 1+x^2+x^3+...
>
> Integrando essa expressao temos que -(1/x).ln(1-x)= 1+x/2+x^2/3+...
> Substituindo x=1/2 achamos que L=2ln(2)-1
> E entao
> M< 3ln(2)-1 < ln(3)
>
>  E o produto pedido inicialmente eh menor que 3
>
>
>
>
>
>
>
>
> Sent from my iPad
> > On May 26, 2017, at 9:47 PM, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
> >
> > Como posso fazer essa daqui:
> >
> > [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3
> >
> > Grande abraço a todos
> >
> > DouglasOliveira
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade

[Gabriel Tostes]

Tira ln, esse produto vai ser: 
Sum{n>=1} ln(n+1)/(2^n) = M

Bora escrever M de outro jeito:

M= ln(2) + [ln(3)-ln(2)]/2 + [ln(4)-ln(3)]/2^2 + ...

M= Sum{n>=1} (ln(n+1)-ln(n))/2^(n-1)

Como ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)<1/n

M=2} 1/n.2^(n-1) = L + ln(2)

Para achar L considere:
1/(1-x)= 1+x^2+x^3+...

Integrando essa expressao temos que -(1/x).ln(1-x)= 1+x/2+x^2/3+...
Substituindo x=1/2 achamos que L=2ln(2)-1
E entao
M< 3ln(2)-1 < ln(3)

 E o produto pedido inicialmente eh menor que 3








Sent from my iPad
> On May 26, 2017, at 9:47 PM, Douglas Oliveira de Lima 
>  wrote:
> 
> Como posso fazer essa daqui:
> 
> [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3
> 
> Grande abraço a todos
> 
> DouglasOliveira
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] desigualdade

[Pedro José]

Não acerto uma,
 e z/(z+x)<1 (não z/(z+x)<0,5)  ==> x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) < 2.

Em 8 de maio de 2017 10:16, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
>
> sendo x< y < z, a afirmação que fizera é errônea: o que dará a maior soma
> é x , y = x+1 e z= y+1 = x+2
>
> Mas vale ainda:
>
> x/(x+y) < 0,5, y/(y+z) < 0,5 e z/(z+x)<0,5 ==> x/(x+y) + y/ (y+z) +
> z/(z+x) < 2.
>
> Saudações.
>
> Em 8 de maio de 2017 02:19, Esdras Muniz 
> escreveu:
>
>> Se vc faz S(x,y,z)=x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x). S>x/(x+y+z) + y/
>> (x+y+z) + z/(z+y+x)=1.
>>
>> Por outro lado, se vc toma x=1; n=n e z= 1/n, fica:
>> S(n)=1/(n+1)+n/(n+1)+(1/n)/(1+1/n) e se vc faz n tender para o infinito,
>> S(n) tende para 1.
>>
>> Em 7 de maio de 2017 23:58, Anderson Torres > > escreveu:
>>
>>> x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x)
>>>
>>> 1/(1+y/x) + 1/ (1+z/y) + 1/(1+x/z)
>>>
>>> 1/(1+A) + 1/ (1+B) + 1/(1+C) com ABC=1
>>>
>>> talvez dê para prosseguir
>>>
>>>
>>>
>>> Em 2 de maio de 2017 14:21, Pedro José  escreveu:
>>> > Se pelo menos dois números forem iguais é fácil mostrar que a soma
>>> dará 1,5
>>> > <= 2.
>>> >
>>> > Para x, y e z diferentes, vamos supor x < y >> soma é x
>>> > , y = x+1 e z= y+1 = x+2
>>> >
>>> > teremos: x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2)
>>> >
>>> > é fácil ver que x/(2x+1) < 0,5 e y/(2y+1) < 0,5 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1
>>> <1
>>> >
>>> > (2z-2)/z = 2 -2/z, como x,y,z >0 e x < y < z ==> z>=3 ==> (2z-2)/z > 1
>>> ==>
>>> > z/(2z-2) <1 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) < 2
>>> >
>>> > x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) <= x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) ==>
>>> x/(x+y) +
>>> > y/ (y+z) + z/(z+x) < 2.
>>> >
>>> > O sinal de desigualdade deve estar invertido.
>>> >
>>> > Saudações,
>>> > PJMS
>>> >
>>> > Em 30 de abril de 2017 21:32, Gabriel Tostes 
>>> escreveu:
>>> >>
>>> >> Nem vi a condição de q era positivo, de fato n vale.
>>> >>
>>> >> Sent from my iPad
>>> >>
>>> >> On Apr 30, 2017, at 3:53 PM, Douglas Oliveira de Lima
>>> >>  wrote:
>>> >>
>>> >> Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não
>>> >> basta substituir x+y=a,Â
>>> >> x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário"Â
>>> x/(x+y) +
>>> >> y/ (y+z) + z/(z+x) <= 2.
>>> >> A não ser que seja outra questão como por exemplo:
>>> >> (x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo.
>>> >>
>>> >> Grande abraço
>>> >>
>>> >> Douglas Oliveira.
>>> >>
>>> >> Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges
>>> >>  escreveu:
>>> >>>
>>> >>> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) +
>>> >>> z/(z+x) > = 2
>>> >>>
>>> >>>
>>> >>> --
>>> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> >>> acredita-se estar livre de perigo.
>>> >>
>>> >>
>>> >>
>>> >> --
>>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>>> >>
>>> >>
>>> >> --
>>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>>> >
>>> >
>>> >
>>> > --
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
>>
>>
>>
>> --
>> Esdras Muniz Mota
>> Mestrando em Matemática
>> Universidade Federal do Ceará
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] desigualdade

[Pedro José]

Bom dia!

sendo x< y < z, a afirmação que fizera é errônea: o que dará a maior soma é
x , y = x+1 e z= y+1 = x+2

Mas vale ainda:

x/(x+y) < 0,5, y/(y+z) < 0,5 e z/(z+x)<0,5 ==> x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x)
< 2.

Saudações.

Em 8 de maio de 2017 02:19, Esdras Muniz 
escreveu:

> Se vc faz S(x,y,z)=x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x). S>x/(x+y+z) + y/ (x+y+z)
> + z/(z+y+x)=1.
>
> Por outro lado, se vc toma x=1; n=n e z= 1/n, fica:
> S(n)=1/(n+1)+n/(n+1)+(1/n)/(1+1/n) e se vc faz n tender para o infinito,
> S(n) tende para 1.
>
> Em 7 de maio de 2017 23:58, Anderson Torres 
> escreveu:
>
>> x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x)
>>
>> 1/(1+y/x) + 1/ (1+z/y) + 1/(1+x/z)
>>
>> 1/(1+A) + 1/ (1+B) + 1/(1+C) com ABC=1
>>
>> talvez dê para prosseguir
>>
>>
>>
>> Em 2 de maio de 2017 14:21, Pedro José  escreveu:
>> > Se pelo menos dois números forem iguais é fácil mostrar que a soma dará
>> 1,5
>> > <= 2.
>> >
>> > Para x, y e z diferentes, vamos supor x < y > é x
>> > , y = x+1 e z= y+1 = x+2
>> >
>> > teremos: x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2)
>> >
>> > é fácil ver que x/(2x+1) < 0,5 e y/(2y+1) < 0,5 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1
>> <1
>> >
>> > (2z-2)/z = 2 -2/z, como x,y,z >0 e x < y < z ==> z>=3 ==> (2z-2)/z > 1
>> ==>
>> > z/(2z-2) <1 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) < 2
>> >
>> > x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) <= x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) ==>
>> x/(x+y) +
>> > y/ (y+z) + z/(z+x) < 2.
>> >
>> > O sinal de desigualdade deve estar invertido.
>> >
>> > Saudações,
>> > PJMS
>> >
>> > Em 30 de abril de 2017 21:32, Gabriel Tostes 
>> escreveu:
>> >>
>> >> Nem vi a condição de q era positivo, de fato n vale.
>> >>
>> >> Sent from my iPad
>> >>
>> >> On Apr 30, 2017, at 3:53 PM, Douglas Oliveira de Lima
>> >>  wrote:
>> >>
>> >> Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não
>> >> basta substituir x+y=a,Â
>> >> x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário" x/(x+y)
>> +
>> >> y/ (y+z) + z/(z+x) <= 2.
>> >> A não ser que seja outra questão como por exemplo:
>> >> (x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo.
>> >>
>> >> Grande abraço
>> >>
>> >> Douglas Oliveira.
>> >>
>> >> Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges
>> >>  escreveu:
>> >>>
>> >>> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) +
>> >>> z/(z+x) > = 2
>> >>>
>> >>>
>> >>> --
>> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >>> acredita-se estar livre de perigo.
>> >>
>> >>
>> >>
>> >> --
>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>> >>
>> >>
>> >> --
>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> >> acredita-se estar livre de perigo.
>> >
>> >
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>
>
> --
> Esdras Muniz Mota
> Mestrando em Matemática
> Universidade Federal do Ceará
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] desigualdade

[Esdras Muniz]

Se vc faz S(x,y,z)=x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x). S>x/(x+y+z) + y/ (x+y+z) +
z/(z+y+x)=1.

Por outro lado, se vc toma x=1; n=n e z= 1/n, fica:
S(n)=1/(n+1)+n/(n+1)+(1/n)/(1+1/n) e se vc faz n tender para o infinito,
S(n) tende para 1.

Em 7 de maio de 2017 23:58, Anderson Torres 
escreveu:

> x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x)
>
> 1/(1+y/x) + 1/ (1+z/y) + 1/(1+x/z)
>
> 1/(1+A) + 1/ (1+B) + 1/(1+C) com ABC=1
>
> talvez dê para prosseguir
>
>
>
> Em 2 de maio de 2017 14:21, Pedro José  escreveu:
> > Se pelo menos dois números forem iguais é fácil mostrar que a soma dará
> 1,5
> > <= 2.
> >
> > Para x, y e z diferentes, vamos supor x < y  é x
> > , y = x+1 e z= y+1 = x+2
> >
> > teremos: x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2)
> >
> > é fácil ver que x/(2x+1) < 0,5 e y/(2y+1) < 0,5 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1 <1
> >
> > (2z-2)/z = 2 -2/z, como x,y,z >0 e x < y < z ==> z>=3 ==> (2z-2)/z > 1
> ==>
> > z/(2z-2) <1 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) < 2
> >
> > x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) <= x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) ==>
> x/(x+y) +
> > y/ (y+z) + z/(z+x) < 2.
> >
> > O sinal de desigualdade deve estar invertido.
> >
> > Saudações,
> > PJMS
> >
> > Em 30 de abril de 2017 21:32, Gabriel Tostes 
> escreveu:
> >>
> >> Nem vi a condição de q era positivo, de fato n vale.
> >>
> >> Sent from my iPad
> >>
> >> On Apr 30, 2017, at 3:53 PM, Douglas Oliveira de Lima
> >>  wrote:
> >>
> >> Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não
> >> basta substituir x+y=a,Â
> >> x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário" x/(x+y) +
> >> y/ (y+z) + z/(z+x) <= 2.
> >> A não ser que seja outra questão como por exemplo:
> >> (x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo.
> >>
> >> Grande abraço
> >>
> >> Douglas Oliveira.
> >>
> >> Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges
> >>  escreveu:
> >>>
> >>> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) +
> >>> z/(z+x) > = 2
> >>>
> >>>
> >>> --
> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
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> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
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> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
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> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
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> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] desigualdade

[Anderson Torres]

x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x)

1/(1+y/x) + 1/ (1+z/y) + 1/(1+x/z)

1/(1+A) + 1/ (1+B) + 1/(1+C) com ABC=1

talvez dê para prosseguir



Em 2 de maio de 2017 14:21, Pedro José  escreveu:
> Se pelo menos dois números forem iguais é fácil mostrar que a soma dará 1,5
> <= 2.
>
> Para x, y e z diferentes, vamos supor x < y  , y = x+1 e z= y+1 = x+2
>
> teremos: x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2)
>
> é fácil ver que x/(2x+1) < 0,5 e y/(2y+1) < 0,5 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1 <1
>
> (2z-2)/z = 2 -2/z, como x,y,z >0 e x < y < z ==> z>=3 ==> (2z-2)/z > 1 ==>
> z/(2z-2) <1 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) < 2
>
> x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) <= x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) ==> x/(x+y) +
> y/ (y+z) + z/(z+x) < 2.
>
> O sinal de desigualdade deve estar invertido.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em 30 de abril de 2017 21:32, Gabriel Tostes  escreveu:
>>
>> Nem vi a condição de q era positivo, de fato n vale.
>>
>> Sent from my iPad
>>
>> On Apr 30, 2017, at 3:53 PM, Douglas Oliveira de Lima
>>  wrote:
>>
>> Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não
>> basta substituir x+y=a,Â
>> x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário" x/(x+y) +
>> y/ (y+z) + z/(z+x) <= 2.
>> A não ser que seja outra questão como por exemplo:
>> (x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo.
>>
>> Grande abraço
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>> Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges
>>  escreveu:
>>>
>>> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) +
>>> z/(z+x) > = 2
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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> acredita-se estar livre de perigo.

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] desigualdade

[Pedro José]

Se pelo menos dois números forem iguais é fácil mostrar que a soma dará 1,5
<= 2.

Para x, y e z diferentes, vamos supor x < y  x/(2x+1) + y/(2y+1 <1

(2z-2)/z = 2 -2/z, como x,y,z >0 e x < y < z ==> z>=3 ==> (2z-2)/z > 1 ==>
z/(2z-2) <1 ==> x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) < 2

x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) <= x/(2x+1) + y/(2y+1) + z/(2z-2) ==> x/(x+y)
+ y/ (y+z) + z/(z+x) < 2.

O sinal de desigualdade deve estar invertido.

Saudações,
PJMS

Em 30 de abril de 2017 21:32, Gabriel Tostes  escreveu:

> Nem vi a condição de q era positivo, de fato n vale.
>
> Sent from my iPad
>
> On Apr 30, 2017, at 3:53 PM, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>
> Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não
> basta substituir x+y=a,Â
> x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário" x/(x+y) +
> y/ (y+z) + z/(z+x) <= 2.
> A não ser que seja outra questão como por exemplo:
> (x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo.
>
> Grande abraço
>
> Douglas Oliveira.
>
> Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) +
>> z/(z+x) > = 2
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] desigualdade

[Gabriel Tostes]

Nem vi a condição de q era positivo, de fato n vale.

Sent from my iPad

> On Apr 30, 2017, at 3:53 PM, Douglas Oliveira de Lima 
>  wrote:
> 
> Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não basta 
> substituir x+y=a, 
> x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário" x/(x+y) + y/ 
> (y+z) + z/(z+x) <= 2.
> A não ser que seja outra questão como por exemplo:
> (x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo.
> 
> Grande abraço
> 
> Douglas Oliveira.
> 
> Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges 
>  escreveu:
>> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) > 
>> = 2
>> 
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] desigualdade

[Douglas Oliveira de Lima]

Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não basta
substituir x+y=a,
x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário" x/(x+y) + y/
(y+z) + z/(z+x) <= 2.
A não ser que seja outra questão como por exemplo:
(x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo.

Grande abraço

Douglas Oliveira.

Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) >
> = 2
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] desigualdade

[Gabriel Tostes]

X+y=a x+z=b y+z=c so fazer essa substituicao

Sent from my iPad

> On Apr 30, 2017, at 10:46 AM, marcone augusto araújo borges 
>  wrote:
> 
> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) > = 2
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade.

[Douglas Oliveira de Lima]

Muitissimo obrigado Carlos , era isso mesmo, pois nos livros eles realmente
usam para provar a convexidade.
Em 25 de jun de 2016 23:46, "Carlos Gomes"  escreveu:

> Olá Douglas,
>
> Na maioria dos livros essa desigualdade é usada para definir uma função
> convexa, ou seja, uma função f:[x,y] -->R que satisfaz a condição
> f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] é, por definição convexa.
>
> No entanto se a função f:[x,y] --> possuir derivada segunda no intervalo
> (x,y), então pode-se mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E
> [0,1]  se, e somente se f ''(a)>=0, para todo a E [x,y].
>
> Talvez seja isso que vc quer: supondo que f ''(a)>=0, para todo a E
> [x,y], mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1]. SE for vc
> faz assim:
>
> Determina a fórmula de Taylor de f em torno de x e de y: sendo
> z=ty+(1-t)x, com t E [0,1] um ponto genérico do intervalo [x,y], segue que
>
> f(x)=f(z)+f'(z)(x-z)+1/2.f ''(c_1)(x-z)^2, com c_1 E [x,z]
> f(y)=f(z)+f'(z)(y-z)+1/2.f ''(c_2)(y-z)^2, com c_2 E [x,z]
>
> multiplicando a primeira por (1-t), a segunda por t a adicionando membro a
> membro, segue que
>
> tf(y)+(1-t)f(x)=f(z)+R  (Faça as contas para conferir!)
>
> onde R:=1/2(1-t).f ''(c_1)(x-z)^2+1/2.t.f ''(c_2)(y-z)^2>=0, pois (1-t), t
> e f '' são >=0.
>
> Assim,
>
> tf(y)+(1-t)f(x)=f(z)+R>=f(z)=f(ty+(1-t)x)
>
> ou seja, f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1].
>
> Abraço, Cgomes.
>
>
>
>
> Em 25 de junho de 2016 20:55, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá amigos preciso de ajuda na seguinte questão:
>>
>> Mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] e f sendo convexa.
>>
>> Obs: Não usar geometria.
>>
>> Agradeço a ajuda.
>>
>> Douglas Oliveira
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade.

[Carlos Gomes]

Olá Douglas,

Na maioria dos livros essa desigualdade é usada para definir uma função
convexa, ou seja, uma função f:[x,y] -->R que satisfaz a condição
f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] é, por definição convexa.

No entanto se a função f:[x,y] --> possuir derivada segunda no intervalo
(x,y), então pode-se mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1]
se, e somente se f ''(a)>=0, para todo a E [x,y].

Talvez seja isso que vc quer: supondo que f ''(a)>=0, para todo a E [x,y],
mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1]. SE for vc faz
assim:

Determina a fórmula de Taylor de f em torno de x e de y: sendo z=ty+(1-t)x,
com t E [0,1] um ponto genérico do intervalo [x,y], segue que

f(x)=f(z)+f'(z)(x-z)+1/2.f ''(c_1)(x-z)^2, com c_1 E [x,z]
f(y)=f(z)+f'(z)(y-z)+1/2.f ''(c_2)(y-z)^2, com c_2 E [x,z]

multiplicando a primeira por (1-t), a segunda por t a adicionando membro a
membro, segue que

tf(y)+(1-t)f(x)=f(z)+R  (Faça as contas para conferir!)

onde R:=1/2(1-t).f ''(c_1)(x-z)^2+1/2.t.f ''(c_2)(y-z)^2>=0, pois (1-t), t
e f '' são >=0.

Assim,

tf(y)+(1-t)f(x)=f(z)+R>=f(z)=f(ty+(1-t)x)

ou seja, f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1].

Abraço, Cgomes.




Em 25 de junho de 2016 20:55, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Olá amigos preciso de ajuda na seguinte questão:
>
> Mostrar que f(ty+(1-t)x)<=tf(y)+(1-t)f(x) com t E [0,1] e f sendo convexa.
>
> Obs: Não usar geometria.
>
> Agradeço a ajuda.
>
> Douglas Oliveira
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade, limitante inferior

[Israel Meireles Chrisostomo]

Caramba Ralph, muito inteligente sua colocação.

Em 14 de março de 2016 17:42, Ralph Teixeira  escreveu:

> O mesmo epsilon para todas as escolhas positivas das variaveis? Acho que
> nao.
>
> Seja F(x,y,z,a,b,c)=ax+by+cz restrita ao dominio definido por {xy+xz+yz=1;
> ab+ac+bc=1}. Note que F eh continua.
>
> Agora, dado eps>0, tome k>0 tal que F(k,1/k,0, k, 0, 1/k) = k^2 (note que o ponto que eu peguei estah no dominio). Como F eh continua,
> entao existe uma vizinhanca do ponto (k,1/k,0,k,0,1/k) onde F nessa vizinhanca devem existir pontos com todas as coordenadas positivas
> que ainda satisfazem as restricoes.
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2016-03-14 14:52 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com>:
>
>> Olá pessoal,
>> Seja xy+xz+yz=1 e x'y'+x'z'+y'z'=1, com cada variável sendo positiva, é
>> possível mostrar que existe épsilon>0 tal que x'x+y'y+z'z>épsilon?Em caso
>> positivo, alguém poderia me ajudar?A questão que estou resolvendo não é bem
>> essa mas estou dependendo disso para que minha demonstração esteja
>> correta...
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade, limitante inferior

[Ralph Teixeira]

O mesmo epsilon para todas as escolhas positivas das variaveis? Acho que
nao.

Seja F(x,y,z,a,b,c)=ax+by+cz restrita ao dominio definido por {xy+xz+yz=1;
ab+ac+bc=1}. Note que F eh continua.

Agora, dado eps>0, tome k>0 tal que F(k,1/k,0, k, 0, 1/k) = k^2:

> Olá pessoal,
> Seja xy+xz+yz=1 e x'y'+x'z'+y'z'=1, com cada variável sendo positiva, é
> possível mostrar que existe épsilon>0 tal que x'x+y'y+z'z>épsilon?Em caso
> positivo, alguém poderia me ajudar?A questão que estou resolvendo não é bem
> essa mas estou dependendo disso para que minha demonstração esteja
> correta...
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade, limitante inferior

[Israel Meireles Chrisostomo]

Eu disse todos positivos

Em 14 de março de 2016 15:08, Sávio Ribas  escreveu:

> x=y=z=1/sqrt(3) e x'=y'=z'=-1/sqrt(3) => xx'+yy'+zz'=-1, falso
> Em 14/03/2016 15:01, "Israel Meireles Chrisostomo" <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá pessoal,
>> Seja xy+xz+yz=1 e x'y'+x'z'+y'z'=1, com cada variável sendo positiva, é
>> possível mostrar que existe épsilon>0 tal que x'x+y'y+z'z>épsilon?Em caso
>> positivo, alguém poderia me ajudar?A questão que estou resolvendo não é bem
>> essa mas estou dependendo disso para que minha demonstração esteja
>> correta...
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade, limitante inferior

[Sávio Ribas]

x=y=z=1/sqrt(3) e x'=y'=z'=-1/sqrt(3) => xx'+yy'+zz'=-1, falso
Em 14/03/2016 15:01, "Israel Meireles Chrisostomo" <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Olá pessoal,
> Seja xy+xz+yz=1 e x'y'+x'z'+y'z'=1, com cada variável sendo positiva, é
> possível mostrar que existe épsilon>0 tal que x'x+y'y+z'z>épsilon?Em caso
> positivo, alguém poderia me ajudar?A questão que estou resolvendo não é bem
> essa mas estou dependendo disso para que minha demonstração esteja
> correta...
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdade de giroux

[Anderson Torres]

Em 10 de dezembro de 2015 14:03, Israel Meireles Chrisostomo
 escreveu:
> Estava lendo sobre a desigualdade de giroux e me surgiu uma dúvida:existe o
> análogo a desigualdade de giroux para funções côncovas?Ou seja, que se prova
> para funções convexas se estende para funções côncovas-trocando o sinal da
> desigualdade é claro?Alguém tem uma prova da desigualdade de Giroux?

Sim, basta trocar o sinal para uma côncava.

Me passa o enunciado!

>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Desigualdade

[Esdras Muniz]

Suponha spdg a>=d>=c. Daí, pela desigualdade do rearranjo, temos:
a(a^2/bc)+b(b^2/ac)+c(c^2/ab)>=(1/3)(a+b+c)(a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab).
Daí vc usa MA>=MG pra mostrar que (a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab)>=3. E acaba :)

-Mensagem Original-
De: "marcone augusto araújo borges" 
Enviada em: ‎08/‎10/‎2015 18:03
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" 
Assunto: [obm-l] Desigualdade

Sejam a, b e c números reais positivos.Mostre que
a^3/bc + b^3/ac + c^3/ab > = a + b + c

-- 
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Re: [obm-l] Desigualdade

[Pacini Bores]

Qual é a desigualdade ?

Pacini

Em 14 de junho de 2015 20:39, Israel Meireles Chrisostomo 
israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Olá estou resolvendo uma desigualdade e preciso usar a desigualdade do
 rearranjo, e para isso preciso supor algumas coisas sem perda de
 generalidade, por exemplo:
 eu posso supor sem perda de generalidade que z=x=y, certo?
 Mas eu posso supor sem perda de generalidade ou pelo menos com alguma
 perda de generalidade mas sem entrar em contradição que
 z=x=y e que z/(x+z)(y+z)=x/(y+x)(z+z)=y/(y+z)(x+y), isto é. há alguma
 contradição em supor as duas desigualdades triplas ao mesmo tempo?
 Ah só para constar, se eu trocar as ordens das variáveis não altera a
 desigualdade que estou querendo provar...

 --
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Re: [obm-l] Desigualdade

[Israel Meireles Chrisostomo]

Eu quero provar que
sqrt[ z²/(x+z)(y+z) ]+sqrt[ x²/(x+y)(x+z)]+sqrt[ y²/(y+z)(x+y) ] =  sqrt[
xy/(x+z)(y+z) ]+sqrt[ yz/(x+y)(x+z)]+sqrt[ xz/(y+z)(x+y) ]

Em 14 de junho de 2015 21:23, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com
escreveu:

 Qual é a desigualdade ?

 Pacini

 Em 14 de junho de 2015 20:39, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Olá estou resolvendo uma desigualdade e preciso usar a desigualdade do
 rearranjo, e para isso preciso supor algumas coisas sem perda de
 generalidade, por exemplo:
 eu posso supor sem perda de generalidade que z=x=y, certo?
 Mas eu posso supor sem perda de generalidade ou pelo menos com alguma
 perda de generalidade mas sem entrar em contradição que
 z=x=y e que z/(x+z)(y+z)=x/(y+x)(z+z)=y/(y+z)(x+y), isto é. há alguma
 contradição em supor as duas desigualdades triplas ao mesmo tempo?
 Ah só para constar, se eu trocar as ordens das variáveis não altera a
 desigualdade que estou querendo provar...

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Re: [obm-l] Desigualdade

[Israel Meireles Chrisostomo]

Na verdade vou aproveitar esse tópico para perguntar outra coisa, eu posso
supor sem perda de generalidade que:
(x/z+1)(y/z+1)=(z/x+1)(z/y+1);(x/y+1)(z/y+1)=(y/x+1)(y/z+1);(y/x+1)(z/x+1)=(x/y+1)(x/z+1);
a desigualdade é a mesma, há alguma contradição nessas desigualdades?

Em 14 de junho de 2015 21:40, Israel Meireles Chrisostomo 
israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Eu quero provar que
 sqrt[ z²/(x+z)(y+z) ]+sqrt[ x²/(x+y)(x+z)]+sqrt[ y²/(y+z)(x+y) ] =  sqrt[
 xy/(x+z)(y+z) ]+sqrt[ yz/(x+y)(x+z)]+sqrt[ xz/(y+z)(x+y) ]

 Em 14 de junho de 2015 21:23, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com
 escreveu:

 Qual é a desigualdade ?

 Pacini

 Em 14 de junho de 2015 20:39, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Olá estou resolvendo uma desigualdade e preciso usar a desigualdade do
 rearranjo, e para isso preciso supor algumas coisas sem perda de
 generalidade, por exemplo:
 eu posso supor sem perda de generalidade que z=x=y, certo?
 Mas eu posso supor sem perda de generalidade ou pelo menos com alguma
 perda de generalidade mas sem entrar em contradição que
 z=x=y e que z/(x+z)(y+z)=x/(y+x)(z+z)=y/(y+z)(x+y), isto é. há
 alguma contradição em supor as duas desigualdades triplas ao mesmo tempo?
 Ah só para constar, se eu trocar as ordens das variáveis não altera a
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Re: [obm-l] Desigualdade

[Israel Meireles Chrisostomo]

pode deixar já vi que não posso supor isso, ainda mais querer que essas
suposições não limitem o problema, mesmo vlw


Em 14 de junho de 2015 23:30, Israel Meireles Chrisostomo 
israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Na verdade vou aproveitar esse tópico para perguntar outra coisa, eu posso
 supor sem perda de generalidade que:

 (x/z+1)(y/z+1)=(z/x+1)(z/y+1);(x/y+1)(z/y+1)=(y/x+1)(y/z+1);(y/x+1)(z/x+1)=(x/y+1)(x/z+1);
 a desigualdade é a mesma, há alguma contradição nessas desigualdades?

 Em 14 de junho de 2015 21:40, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Eu quero provar que
 sqrt[ z²/(x+z)(y+z) ]+sqrt[ x²/(x+y)(x+z)]+sqrt[ y²/(y+z)(x+y) ] =
  sqrt[ xy/(x+z)(y+z) ]+sqrt[ yz/(x+y)(x+z)]+sqrt[ xz/(y+z)(x+y) ]

 Em 14 de junho de 2015 21:23, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com
 escreveu:

 Qual é a desigualdade ?

 Pacini

 Em 14 de junho de 2015 20:39, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 Olá estou resolvendo uma desigualdade e preciso usar a desigualdade do
 rearranjo, e para isso preciso supor algumas coisas sem perda de
 generalidade, por exemplo:
 eu posso supor sem perda de generalidade que z=x=y, certo?
 Mas eu posso supor sem perda de generalidade ou pelo menos com alguma
 perda de generalidade mas sem entrar em contradição que
 z=x=y e que z/(x+z)(y+z)=x/(y+x)(z+z)=y/(y+z)(x+y), isto é. há
 alguma contradição em supor as duas desigualdades triplas ao mesmo tempo?
 Ah só para constar, se eu trocar as ordens das variáveis não altera a
 desigualdade que estou querendo provar...

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Re: [obm-l] Desigualdade

[gugu]

C(n,k+1)=n(n-1)...(n-k)/(k+1)!=n^(k+1)/(k+1)!.
Quoting Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com:


Alguém tem uma demonstração da desigualdade C(n,k+1) = n^(k+1) / (k+1)! de
preferência que não envolva indução hehehe

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Re: [obm-l] Desigualdade

[Israel Meireles Chrisostomo]

De fato, era isso mesmo que eu tinha feito, obrigado gugu

Em 4 de maio de 2015 22:55, g...@impa.br escreveu:

 C(n,k+1)=n(n-1)...(n-k)/(k+1)!=n^(k+1)/(k+1)!.
 Quoting Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com:

  Alguém tem uma demonstração da desigualdade C(n,k+1) = n^(k+1) / (k+1)!
 de
 preferência que não envolva indução hehehe

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[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade(indução?)

[Pedro José]

Bom dia!

Deve ser para m,n naturais. m=-1 e n=-1 == 2^-4 = 1, falso.

Para m e n não nulos temos:


a e b positivos a=b == log 2 a =  log 2 b

2^(m+n-2)  = m.n == m+n-2 = log2 m +log 2 n

m -1 = log2 m; m=1 == 0 = 0, atende.

m-1 - log2 m é monótona crescente para m=2. Pois f(m) = m-1 - log2 m == f
'(m) = 1 -1/ (m. ln2) e ln(2)  0,5.

Pelo mesmo motivo:

n-1 = log2 n; m.=1

então m+n -2 = log2 m +log 2 n == 2^(m+n-2) = m.n

Para m ou n nulos é fácil 2^(x) =0, verdade.

Saudações.


Em 31 de março de 2015 09:09, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Prove que 2^(m+n-2)  = m.n se m e n são inteiros.
 Alguém ajuda?

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Re: [obm-l] Desigualdade

[Manoel P G Neto Neto]

a, b, c são distintos.
 

 Em Quarta-feira, 18 de Fevereiro de 2015 23:03, Bernardo Freitas Paulo da 
Costa bernardo...@gmail.com escreveu:
   

 2015-02-18 11:21 GMT-02:00 Manoel P G Neto Neto buniakov...@yahoo.com.br:
 Caros
 Gostaria de receber uma dica sobre
 a demonstração da desigualdade:

 a^-1+b^-1+c^-1(a^8+b^8+c^8)/a^3b^3c^3
 a, b, c positivos, distintos.

Bunching (também conhecida como Muirhead). Ah, sim, é =, claro (se
a=b=c=1, dá 3 dos dois lados)

 Usei a desigualdade entre as médias, mas não
 consegui.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
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Re: [obm-l] Desigualdade

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2015-02-18 11:21 GMT-02:00 Manoel P G Neto Neto buniakov...@yahoo.com.br:
 Caros
 Gostaria de receber uma dica sobre
 a demonstração da desigualdade:

 a^-1+b^-1+c^-1(a^8+b^8+c^8)/a^3b^3c^3
 a, b, c positivos, distintos.

Bunching (também conhecida como Muirhead). Ah, sim, é =, claro (se
a=b=c=1, dá 3 dos dois lados)

 Usei a desigualdade entre as médias, mas não
 consegui.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
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Re: [obm-l] Desigualdade

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2015-01-15 17:32 GMT-02:00 Carlos Yuzo Shine cysh...@yahoo.com:
 Outra maneira, partindo de e^x  1 + x *para todo x  0* (é, aqui parece que
 precisa de pelo menos um pouco de Cálculo),

Não... enfim, precisa de Análise, mas deixando isso de lado:

exp(x) = lim_{n - infinito} (1 + 1/n)^(nx)

Ora, pelo fórmula do binômio (1 + a)^b = 1 + ab + a^2 * Comb(b, 2 a 2)
+ ...  1 + ab
Logo exp(x) = lim (1 + 1/n * nx) = 1 + x

 é

 e^x = (e^(x/2))^2  (1 + x/2)^2 = 1 + x + x^2/4.

 Aqui, aplicamos a desigualdade acima com x/2 no lugar do x.

Fantástico. Isso explica inclusive porque a questão está com um x^2/4
e não x^2/2 (que quem sabe Cálculo poderia usar).

 []'s
 Shine

Aliás, continuando a minha idéia até o segundo termo:

exp(x) = lim (1 + 1/n * nx + (1/n)^2 * (nx * (nx - 1))/2) = lim (1 +
x + x*(x - 1/n)/2) = 1 + x + x^2/2

Então, sei lá qual a razão profunda do x^2/4...
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Re: [obm-l] Desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Definamos f(x) = e^x - (1 + x + (x^2)/4), x = 0. Então

f'(x) = e^x - 1 - x/2

Como e^x = 1 + x + x^2/(2!) + x^3/(3!), para x = 0 temos que e^x = 1 + x. 
Assim,

f'(x)  x - x/2 = x/2 = 0 para x = 0, com igualdade sse x = 0. Logo, f é 
estritamente crescente em [0, oo) e, em razão disto, f(x) = f(0) = 0 para x = 
0, com igualdade sse x = 0.

Disto concluímos que e^x  1 + x +(x^2)/4  para x  0. Se x = 0, temos 
igualdade. 

Artur Costa Steiner

 Em 14/01/2015, às 11:58, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu:
 
 Pessoal, alguém sabe como mostrar que e^x  1 + x + (x^2)/4, para todo x  0?
 
 Muito obrigado!
 
 Vanderlei
 
 -- 
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Re: [obm-l] Desigualdade

[Ralph Teixeira]

Se voce nao quiser usar Taylor, pode fazer assim (que no fundo no fundo eh
Taylor disfarcado):

Seja f(x)=e^x-1-x-x^2/4. Note que f'(x)=e^x-1-x/2 e f''(x)=e^x-1/2

Como f''(x)0 para todo x0, temos que f'(x) eh crescente em (0,+Inf). Como
f'(0)=0, isto significa que f'(x)0 em (0,+Inf).

Entao f(x) eh crescente em (0,+Inf). Como f(0)=0, entao f(x)0 para x0.

Abraco, Ralph.

2015-01-14 11:58 GMT-02:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Pessoal, alguém sabe como mostrar que e^x  1 + x + (x^2)/4, para todo x 
 0?

 Muito obrigado!

 Vanderlei

 --
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Re: [obm-l] Desigualdade

[Vanderlei Nemitz]

Muito obrigado a todos, ficou muito claro!

Vanderlei

Em 15 de janeiro de 2015 14:44, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 Se voce nao quiser usar Taylor, pode fazer assim (que no fundo no fundo eh
 Taylor disfarcado):

 Seja f(x)=e^x-1-x-x^2/4. Note que f'(x)=e^x-1-x/2 e f''(x)=e^x-1/2

 Como f''(x)0 para todo x0, temos que f'(x) eh crescente em (0,+Inf).
 Como f'(0)=0, isto significa que f'(x)0 em (0,+Inf).

 Entao f(x) eh crescente em (0,+Inf). Como f(0)=0, entao f(x)0 para x0.

 Abraco, Ralph.

 2015-01-14 11:58 GMT-02:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Pessoal, alguém sabe como mostrar que e^x  1 + x + (x^2)/4, para todo x
  0?

 Muito obrigado!

 Vanderlei

 --
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Re: [obm-l] Desigualdade

[Carlos Yuzo Shine]

Outra maneira, partindo de e^x  1 + x *para todo x  0* (é, aqui parece que 
precisa de pelo menos um pouco de Cálculo), ée^x = (e^(x/2))^2  (1 + x/2)^2 = 
1 + x + x^2/4.
Aqui, aplicamos a desigualdade acima com x/2 no lugar do x.
[]'sShine 

 On Thursday, January 15, 2015 3:44 PM, Vanderlei Nemitz 
vanderma...@gmail.com wrote:
   

 Muito obrigado a todos, ficou muito claro!
Vanderlei
Em 15 de janeiro de 2015 14:44, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

Se voce nao quiser usar Taylor, pode fazer assim (que no fundo no fundo eh 
Taylor disfarcado):
Seja f(x)=e^x-1-x-x^2/4. Note que f'(x)=e^x-1-x/2 e f''(x)=e^x-1/2
Como f''(x)0 para todo x0, temos que f'(x) eh crescente em (0,+Inf). Como 
f'(0)=0, isto significa que f'(x)0 em (0,+Inf).
Entao f(x) eh crescente em (0,+Inf). Como f(0)=0, entao f(x)0 para x0.
Abraco, Ralph.
2015-01-14 11:58 GMT-02:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

Pessoal, alguém sabe como mostrar que e^x  1 + x + (x^2)/4, para todo x  0?
Muito obrigado!
Vanderlei
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Re: [obm-l] Desigualdade

[Leonardo Borges Avelino]

Bom dia

Você pode tentar olhar pra expansão de e^x em Taylor.. e^x = 1 + x + x^2/2
+ x^3/6 + ... e notar que você tem um pedaço da expressão sua da direita
mais algo que será positivo

Abs

-- 
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RE: [obm-l] Desigualdade

[Celso Souza]

Compare o termo com a expansão de Taylor de e^x. Enviado do Yahoo Mail para iPhoneEm 14/01/2015 11:58:39, Vanderlei Nemitz<'vanderma...@gmail.com'> escreveu:Pessoal, alguém sabe como mostrar que e^x > 1 + x + (x^2)/4, para todo x > 0?Muito obrigado!Vanderlei
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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===

Re: [obm-l] Desigualdade

[Marcos Martinelli]

Considerando x,y,z  0:

Faça a = y/x, b = z/x e c = x/z (repare que abc = 1).

x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x) = 1/(1+a) + 1/(1+b) + 1/(1+c) = (3 + 2(a+b+c) +
(ab+ac+bc)) / (1 + (a+b+c) + (ab+ac+bc) + abc).

Nessa última expressão: S1 = a+b+c, S2 = ab+ac+bc. Lembrando que abc = 1,
vamos ter o seguinte:

x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x) = (3 + 2S1 + S2) / (2 + S1 + S2) = 2 - 3 +
2S1 + S2 = 4 + 2S1 + 2S2 - 0 = 1 + S2, que é uma desigualdade
verdadeira.


Em 30 de abril de 2014 11:02, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Para x,y e z positivos mostre que m = x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x)  = 2

 Se não errei em algo,usando H  = A e G  = A, acabei encontrando m  = 3/2
 H é média harmônica, A é média aritmética e G, média geométrica
 Alguém ajuda?

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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Desigualdade das médias

[Marcos Martinelli]

Lema 1) x + y + z = raiz (3 . (xy + yz + zx)) para quaisquer x, y e z
positivos.

Prova:

Sabemos que: (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0 [*a igualdade ocorre se
somente se x=y=z*]. Desenvolvendo, teremos: 2.(x^2 + y^2 + z^2) - 2xy - 2yz
- 2zx = 0 - x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx= 3xy + 3yz + 3zx - (x +
y + z)^2 = 3xy + 3yz + 3zx - x + y + z = raiz (3 . (xy + yz + zx)).

Já que xy + yz + zx = 1, teremos, necessariamente: x + y + z = raiz(3) [a
igualdade ocorrendo quando z=y=z=raiz(3)/3].

Lema 2) raiz ((xy + yz + zx)/3) = raiz(3) (xyz) para quaisquer x, y e z
positivos [raiz(3) quer dizer raiz cúbica].

Prova:

Da desigualdade das médias, temos: (xy + yz + zx)/3 = raiz(3) (x^2y^2z^2) [
*a igualdade ocorre se somente se x=y=z*] - raiz((xy + yz + zx)/3) =
raiz(raiz(3) (x^2y^2z^2)) = raiz(3) (xyz).

Já que xy + yz + zx = 1, teremos, necessariamente: raiz(3) (xyz) = 1 -
xyz = 1 [a igualdade ocorrendo quando z=y=z=1].

Então, nossa resposta é: x + y + z = raiz (3) e xyz = 1!


Em 16 de julho de 2013 00:01, João Maldonado
joao_maldona...@hotmail.comescreveu:

 (x-y)² + (y-z)² +(z-x)² = 2(x²+y²+z²-xy-yz-zx) = 0
 (x²+y²+z²-xy-yz-zx) =0
 (x+y+z)² =3(xy+yz+zx)=3
 (x+y+z)=3^(1/2)
 O valor máximo diverge, já que podemos ter x infinitamente grande
 satisfazendo o sistema, ex:
 x = 10^k, y=10^-k e z = 10^-k satisfaz para k0, faça k tender ao infinito
 e (x+y+z) tende ao infinito

 Divida por xyz:
 3/xyz = 1/x + 1/y + 1/z = 3/(xyz)^(1/3)  (desigualdade das médias)
 Daonde vem que xyz=1
 O limite inferior é zero: mais uma vez, com a solução  acima mencionada
 teríamos xyz = 10^-k, faça k tende ao infinito xyz tende a 0

 --
 From: marconeborge...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Desigualdade das médias
 Date: Tue, 16 Jul 2013 01:18:33 +


 Sejam x,y,z números positivos tais que 1  = xy + xz + yz  = 3.Determine
   o conjunto dos valores de xyz e de x+y+z.Peço ajuda e ja
 agradeço.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Desigualdade das médias

[João Maldonado]

(x-y)² + (y-z)² +(z-x)² = 2(x²+y²+z²-xy-yz-zx) = 0
(x²+y²+z²-xy-yz-zx) =0
(x+y+z)² =3(xy+yz+zx)=3
(x+y+z)=3^(1/2)
O valor máximo diverge, já que podemos ter x infinitamente grande satisfazendo 
o sistema, ex:
x = 10^k, y=10^-k e z = 10^-k satisfaz para k0, faça k tender ao infinito e 
(x+y+z) tende ao infinito

Divida por xyz:
3/xyz = 1/x + 1/y + 1/z = 3/(xyz)^(1/3)  (desigualdade das médias)
Daonde vem que xyz=1
O limite inferior é zero: mais uma vez, com a solução  acima mencionada 
teríamos xyz = 10^-k, faça k tende ao infinito xyz tende a 0 

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Desigualdade das médias
Date: Tue, 16 Jul 2013 01:18:33 +




Sejam x,y,z números positivos tais que 1  = xy + xz + yz  = 3.Determine
 
 



  


  


  


  


 
 



  


  


  


  

o conjunto dos valores de xyz e de x+y+z.Peço ajuda e ja agradeço.  
  
--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade envolvendo números primos

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/2/11 Artur Costa Steiner artur_stei...@yahoo.com:
 Seja (q(n)) = (2, 5, 11, 17...) a sequencia que enumera os primos de ordem 
 ímpar. Isto é, q(n) = primo de ordem 2n - 1.

 Mostre que, para todo k  1, a desigualdade q(n)  n^k ocorre para uma 
 infinidade de valores de n.
Vale usar o TNP?


-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade envolvendo números primos

[Artur Costa Steiner]

Vale usar tudo o que vc conhecer.

Abraços.

Artur Costa Steiner
Em 11/02/2013 12:59, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com escreveu:

 2013/2/11 Artur Costa Steiner artur_stei...@yahoo.com:
  Seja (q(n)) = (2, 5, 11, 17...) a sequencia que enumera os primos de
 ordem ímpar. Isto é, q(n) = primo de ordem 2n - 1.
 
  Mostre que, para todo k  1, a desigualdade q(n)  n^k ocorre para uma
 infinidade de valores de n.
 Vale usar o TNP?


 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

RE: [obm-l] Desigualdade(ajuda)

[João Maldonado]

Faça c' = -c
Temos a³ +b³ + c'³-3abc' 0
Mas pela fatoração de cardano
x³+y³+z³-3xyz = (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz)

Mas (x²+y²+z²-xy-xz-yz) = [(x-y)² + (y-z)² + (z-x)²)]/2  que é =0 para 
quaisquer reais x, y, z e 0 (a igualdade só vale quando x=y=z, logo teríamos 
a=b=-c, impossível, logo essa parcela é positiva

A segunda parcela (a+b-c) é positiva pela condição de existência de um triângulo

Logo a³+b³+3abc  c³

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Desigualdade(ajuda)
Date: Thu, 7 Feb 2013 02:28:49 +








Sejam a,b,c lados de um triângulo.Prove que a^3 + b^3 + 3abc  c^3
 
 

  

Re: [obm-l] Desigualdade(ajuda)

[terence thirteen]

Faz tempo que resolvi este! A dica é simples: escreva a=x+y, b=x+z, c=y+z
com x,y,z positivos, faça as contas e tenha fé!


Em 7 de fevereiro de 2013 00:28, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

  Sejam a,b,c lados de um triângulo.Prove que a^3 + b^3 + 3abc  c^3






-- 
/**/
神が祝福

Torres

Re: [obm-l] Desigualdade

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/2/5 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com:
 9(a^3 +b^3 + c^3)  = (a + b + c)^3
 Usando (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 +c^3 + 3(a + b)(a + c)(b+c),basta
 mostrar que 8(a^3 + b^3 + c^3)  = 3(a+b)(a+c)(b+c)
Está faltando uma carta na sua manga:
http://en.wikipedia.org/wiki/Muirhead%27s_inequality.
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Desigualdade

[João Maldonado]

Desigualdade das potências
Média cúbica = Média aritmética
[(a³ + b³ + c³)/3]^1/3 = (a + b + c)/3
eleva ao cubo a acabou 

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Desigualdade
Date: Tue, 5 Feb 2013 10:10:27 +








9(a^3 +b^3 + c^3)  = (a + b + c)^3
Usando (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 +c^3 + 3(a + b)(a + c)(b+c),basta 
mostrar que 8(a^3 + b^3 + c^3)  = 3(a+b)(a+c)(b+c)
Dai pra frente parece que andei em círculos
Conto com ajuda
Agradeço desde já.

  

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade associada a trinômios do 2o grau dados por f o f

[Artur Costa Steiner]

Grande Bernardo

Bom 2013. Para vc e todos os amigos da lista, que em 2013 o conjunto de suas 
realizações e de suas alegrias seja denso com medida infinita,

Uma sugestão para o problema: sendo g = fof, pense nos pontos a e b distintos 
tais que g(a) = g(b) e g(b) = g(a), atentando para o fato de que g é a 
composição de uma função com ela mesma.

Por exemplo, não existe nenhuma função de R em R tal que f(f(x)) = x^2 - 1996. 
Isto foi discutido aqui em 2003.

Abraços

Artur

Artur Costa Steiner

Em 06/01/2013, às 22:15, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com escreveu:

 2012/12/12 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
 Suponhamos que exista alguma função de R em R tal que, para todo x, 
 tenhamos f(f(x)) = ax^2 + bx + c, a não nulo, b e c reais. Mostre que (b 
 +1) (b - 3) ≤ 4ac.
 
 Eu consegui fazer para x^2 + c^2, e também no caso de mudanças afins
 g(x) = f(x + beta) + beta. Eu suspeito que x^2 - c^2 seja impossível,
 mas não bate com a sua condição... e eu não tenho uma demonstração.
 
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

=
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Triangular

[Julio César Saldaña]

Parece que faltou disser que AB=CD=1.

Nesse caso, sejam M, N e P   os pontos meios de BD, BC e AD respectivamente.
Então PM=MN=0.5 e NMP=60, então PN=1. Seja Q o ponto meio de CD, então PQ=AC/2
e QN=BD/2. Aplicando a desigualdade triangular no PQN:

PQ+QN = PN

então

AC/2+BD/2=0.5

AC+BD=1

Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Wed, 25 Apr 2012 04:42:06 +0300
Asunto : [obm-l] Desigualdade Triangular



Sejam AB e CD segmentos de comprimento.Se eles se intersectam em O e

m(AOC)=60º,mostre que AC+BD é maior ou igual a 1.

Desde já obrigado!!
		 	   		   


__
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http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Desigualdade Triangular

[marcone augusto araújo borges]

Faltou um detalhe ai no enunciado,não?
 



From: vitor__r...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Desigualdade Triangular
Date: Wed, 25 Apr 2012 04:42:06 +0300




Sejam AB e CD segmentos de comprimento.Se eles se intersectam em O e 
m(AOC)=60º,mostre que AC+BD é maior ou igual a 1.
Desde já obrigado!!
  

RE: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Triangular

[marcone augusto araújo borges]

PN = 0.5,certo?
Interessante a solução!

 

 From: saldana...@pucp.edu.pe
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 CC: 
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Triangular
 Date: Wed, 25 Apr 2012 07:31:13 -0500
 
 
 
 Parece que faltou disser que AB=CD=1.
 
 Nesse caso, sejam M, N e P os pontos meios de BD, BC e AD respectivamente.
 Então PM=MN=0.5 e NMP=60, então PN=1. Seja Q o ponto meio de CD, então 
 PQ=AC/2
 e QN=BD/2. Aplicando a desigualdade triangular no PQN:
 
 PQ+QN = PN
 
 então
 
 AC/2+BD/2=0.5
 
 AC+BD=1
 
 Julio Saldaña
 
 
 -- Mensaje original ---
 De : obm-l@mat.puc-rio.br
 Para : obm-l@mat.puc-rio.br
 Fecha : Wed, 25 Apr 2012 04:42:06 +0300
 Asunto : [obm-l] Desigualdade Triangular
 
 
 Sejam AB e CD segmentos de comprimento.Se eles se intersectam em O e
 m(AOC)=60º,mostre que AC+BD é maior ou igual a 1.
 Desde já obrigado!!
  
 
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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Triangular

[Julio César Saldaña]

é verdade, PN=0,5

obrigado pela correção

Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Wed, 25 Apr 2012 14:17:16 +
Asunto : RE: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Triangular


PN = 0.5,certo?
Interessante a solução!




From: saldana...@pucp.edu.pe
To: obm-l@mat.puc-rio.br
CC: 
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Triangular

Date: Wed, 25 Apr 2012 07:31:13 -0500



Parece que faltou disser que AB=CD=1.

Nesse caso, sejam M, N e P os pontos meios de BD, BC e AD respectivamente.
Então PM=MN=0.5 e NMP=60, então PN=1. Seja Q o ponto meio de CD, então PQ=AC/2
e QN=BD/2. Aplicando a desigualdade triangular no PQN:

PQ+QN = PN

então

AC/2+BD/2=0.5

AC+BD=1

Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Wed, 25 Apr 2012 04:42:06 +0300
Asunto : [obm-l] Desigualdade Triangular


Sejam AB e CD segmentos de comprimento.Se eles se intersectam em O e
m(AOC)=60º,mostre que AC+BD é maior ou igual a 1.
Desde já obrigado!!
 


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=

Re: [obm-l] Desigualdade com radicais

[Ralph Teixeira]

Tome a=x^n e b=y^n (com x e y positivos). Entao voce quer mostrar quea raiz 
n-esima de (x^n+y^n) eh menor que x+y, isto eh, que
x^n+y^n=(x+y)^n
Se voce abrir o lado direito pelo binomio de Newton, fica facil.
Serve assim?
Abraco,Ralph
2012/4/24 ennius enn...@bol.com.br: Prezados amigos da Lista: Como podemos 
provar que a raiz n-ésima de (a + b) é menor que soma das raízes n-ésimas de a 
e b? ( n é natural diferente de zero, a e b são números reais positivos.) 
Abraços! Ennius Lima 
= 
Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
=
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Desigualdade Triangular

[João Maldonado]

Considerando que o raio e um, temos que ac =1

Alem Disso bd maximo eh o diametro

[]s
Joao

From: vitor__r...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Desigualdade Triangular
Date: Wed, 25 Apr 2012 04:42:06 +0300






Sejam AB e CD segmentos de comprimento.Se eles se intersectam em O e 
m(AOC)=60º,mostre que AC+BD é maior ou igual a 1.
Desde já obrigado!!
  
  

Re: [obm-l] Desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Podemos também mostrar que, para todo n, o produto é  1/(sqrt(en).

Artur

Enviado via iPhone

Em 04/04/2012, às 20:03, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu:

 Como provar que (1.3.5.7...2n-1)/(2.4.6...2n) 1/sqrt(2n), para o caso n=50 
 (pergunta da minha prova)?
 
 Isso vale para qualquer inteiro maior que 1 ?
 
 
 []s
 Joao

Re: [obm-l] Desigualdade

[Artur Costa Steiner]

Alias,  1/sqrt(e n)

Artur Costa Steiner
Em 06/04/2012 08:25, Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com
escreveu:

 Podemos também mostrar que, para todo n, o produto é  1/(sqrt(en).

 Artur

 Enviado via iPhone

 Em 04/04/2012, às 20:03, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
 escreveu:

 Como provar que (1.3.5.7...2n-1)/(2.4.6...2n) 1/sqrt(2n), para o caso
 n=50 (pergunta da minha prova)?

 Isso vale para qualquer inteiro maior que 1 ?


 []s
 Joao

RE: [obm-l] Desigualdade

[João Maldonado]

Como podemos provar isso?
[]'sJoão

CC: obm-l@mat.puc-rio.br
From: steinerar...@gmail.com
Subject: Re: [obm-l] Desigualdade
Date: Fri, 6 Apr 2012 08:25:42 -0300
To: obm-l@mat.puc-rio.br



Podemos também mostrar que, para todo n, o produto é  1/(sqrt(en).
Artur

Enviado via iPhone
Em 04/04/2012, às 20:03, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu:




Como provar que (1.3.5.7...2n-1)/(2.4.6...2n) 1/sqrt(2n), para o caso n=50 
(pergunta da minha prova)?

Isso vale para qualquer inteiro maior que 1 ?


[]s
Joao
  
  

RE: [obm-l] Desigualdade

[marcone augusto araújo borges]

Uma solução bastante interessante
O victor sugeriu indução,um recurso excelente
Tenho a impressão de que a indução em certa situações pode esconder a ´´beleza´´
Por exemplo, a demonstração da fórmula da soma dos cubos,eu vi agumas maneiras  
mais ´´bonitas´´do que a indução.
 
Date: Thu, 5 Apr 2012 01:27:33 -0300
Subject: Re: [obm-l] Desigualdade
From: abrlw...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Ola' Joao,
a desigualdade vale para qualquer n0.

Sabemos que para qualquer k:
 (k+1)*(k-1) / (k*k)  1

Logo, para qualquer n inteiro positivo, temos:
1*3 / (2*2)   1
3*5 / (4*4)   1
5*7 / (6*6)   1
...
(2n-3)*(2n-1) / [(2n-2)*(2n-2)]  1

Alem disso, como (2n-1) / (2n)  1
também podemos escrever que
(2n-1) / (2n * 2n)  1 / (2n)

Multiplicando as inequacoes acima, vem:
{ [1*3*5*...*(2n-1)] ^ 2 } / { [2*4*6*...*(2n)] ^2 }   1/(2n)

FInalmente, aplicando raiz quadrada aos dois lados da expressao, obtemos:
[1*3*5*...*(2n-1)] / [2*4*6*...*(2n)]   1 / sqrt(2n)

[]'s
Rogerio Ponce




Em 4 de abril de 2012 20:03, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com 
escreveu:



Como provar que (1.3.5.7...2n-1)/(2.4.6...2n) 1/sqrt(2n), para o caso n=50 
(pergunta da minha prova)?

Isso vale para qualquer inteiro maior que 1 ?


[]s
Joao

  

Re: [obm-l] Desigualdade

[Rogerio Ponce]

Ola' Marcone,
quando da' para ser aplicada, a inducao e' uma otima ferramenta.
Mas, neste problema, eu nao vi como facilitar alguma coisa atraves da
inducao.

[]'s
Rogerio Ponce

Em 5 de abril de 2012 09:14, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

  Uma solução bastante interessante
 O victor sugeriu indução,um recurso excelente
 Tenho a impressão de que a indução em certa situações pode esconder a
 ´´beleza´´
 Por exemplo, a demonstração da fórmula da soma dos cubos,eu vi agumas
 maneiras  mais ´´bonitas´´do que a indução.

 Date: Thu, 5 Apr 2012 01:27:33 -0300
 Subject: Re: [obm-l] Desigualdade
 From: abrlw...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br

 Ola' Joao,
 a desigualdade vale para qualquer n0.

 Sabemos que para qualquer k:
  (k+1)*(k-1) / (k*k)  1

 Logo, para qualquer n inteiro positivo, temos:
 1*3 / (2*2)   1
 3*5 / (4*4)   1
 5*7 / (6*6)   1
 ...
 (2n-3)*(2n-1) / [(2n-2)*(2n-2)]  1

 Alem disso, como (2n-1) / (2n)  1
 também podemos escrever que
 (2n-1) / (2n * 2n)  1 / (2n)

 Multiplicando as inequacoes acima, vem:
 { [1*3*5*...*(2n-1)] ^ 2 } / { [2*4*6*...*(2n)] ^2 }   1/(2n)

 FInalmente, aplicando raiz quadrada aos dois lados da expressao, obtemos:
 [1*3*5*...*(2n-1)] / [2*4*6*...*(2n)]   1 / sqrt(2n)

 []'s
 Rogerio Ponce



  Em 4 de abril de 2012 20:03, João Maldonado 
 joao_maldona...@hotmail.comescreveu:

  Como provar que (1.3.5.7...2n-1)/(2.4.6...2n) 1/sqrt(2n), para o caso
 n=50 (pergunta da minha prova)?

 Isso vale para qualquer inteiro maior que 1 ?


 []s
 Joao

RE: [obm-l] Desigualdade

[João Maldonado]

Valeu Rogério, 
Estava tentaddo por indução e não saía nada :)Solução genial
[]'sJoão
Date: Thu, 5 Apr 2012 01:27:33 -0300
Subject: Re: [obm-l] Desigualdade
From: abrlw...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Ola' Joao,
a desigualdade vale para qualquer n0.

Sabemos que para qualquer k:
 (k+1)*(k-1) / (k*k)  1

Logo, para qualquer n inteiro positivo, temos:
1*3 / (2*2)   1
3*5 / (4*4)   1

5*7 / (6*6)   1
...
(2n-3)*(2n-1) / [(2n-2)*(2n-2)]  1

Alem disso, como (2n-1) / (2n)  1
também podemos escrever que
(2n-1) / (2n * 2n)  1 / (2n)

Multiplicando as inequacoes acima, vem:

{ [1*3*5*...*(2n-1)] ^ 2 } / { [2*4*6*...*(2n)] ^2 }   1/(2n)

FInalmente, aplicando raiz quadrada aos dois lados da expressao, obtemos:
[1*3*5*...*(2n-1)] / [2*4*6*...*(2n)]   1 / sqrt(2n)

[]'s

Rogerio Ponce


Em 4 de abril de 2012 20:03, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com 
escreveu:




Como provar que (1.3.5.7...2n-1)/(2.4.6...2n) 1/sqrt(2n), para o caso n=50 
(pergunta da minha prova)?

Isso vale para qualquer inteiro maior que 1 ?


[]s
Joao
  


  

RE: [obm-l] Desigualdade

[marcone augusto araújo borges]

Por indução
 
p(1) é verdadeira(1/2  1/raiz(2)).
suponha que [1*3*5...*(2n-1)]/[(2*4*6...*2n)] = p(n)  1/raiz(2) para algum n1
Devemos mostrar que p(n+1) =[1*3*5...*(2n-1)*(2n+1)]/[2*4*6...*2n*(2n 
+2)=p(n)[(2n+1)]/(2n+2)] é verdadeira.
como (2n+1)/(2n+2) = f(n)  1(e f(n)  0),então [f(n)]^2  1 (1)
p(n)   1/raiz(2n),por hipotese,então [p(n)]^2   1/2n (2)
Por (1) e (2),temos que [p(n)]^2*[f(n)]^2  1/2n
Como p(n)  0 e f(n)  0,então p(n)*f(n) = p(n+1)  raiz(1/2n)
Algum erro?
 
 

 



From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Desigualdade
Date: Thu, 5 Apr 2012 16:25:36 -0300





Valeu Rogério, 


Estava tentaddo por indução e não saía nada :)
Solução genial


[]'s
João





Date: Thu, 5 Apr 2012 01:27:33 -0300
Subject: Re: [obm-l] Desigualdade
From: abrlw...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Ola' Joao,
a desigualdade vale para qualquer n0.

Sabemos que para qualquer k:
 (k+1)*(k-1) / (k*k)  1

Logo, para qualquer n inteiro positivo, temos:
1*3 / (2*2)   1
3*5 / (4*4)   1
5*7 / (6*6)   1
...
(2n-3)*(2n-1) / [(2n-2)*(2n-2)]  1

Alem disso, como (2n-1) / (2n)  1
também podemos escrever que
(2n-1) / (2n * 2n)  1 / (2n)

Multiplicando as inequacoes acima, vem:
{ [1*3*5*...*(2n-1)] ^ 2 } / { [2*4*6*...*(2n)] ^2 }   1/(2n)

FInalmente, aplicando raiz quadrada aos dois lados da expressao, obtemos:
[1*3*5*...*(2n-1)] / [2*4*6*...*(2n)]   1 / sqrt(2n)

[]'s
Rogerio Ponce



Em 4 de abril de 2012 20:03, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com 
escreveu:



Como provar que (1.3.5.7...2n-1)/(2.4.6...2n) 1/sqrt(2n), para o caso n=50 
(pergunta da minha prova)?

Isso vale para qualquer inteiro maior que 1 ?


[]s
Joao

  

RE: [obm-l] Desigualdade

[marcone augusto araújo borges]

Saiu td cortado,não sei porque,vou fazer de novo
E já havia erro,sim.
 
 
 
: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Desigualdade
Date: Thu, 5 Apr 2012 23:03:17 +






Por indução
 
p(1) é verdadeira(1/2  1/raiz(2)).
suponha que [1*3*5...*(2n-1)]/[(2*4*6...*2n)] = p(n)  1/raiz(2) para algum n1
Devemos mostrar que p(n+1) =[1*3*5...*(2n-1)*(2n+1)]/[2*4*6...*2n*(2n 
+2)=p(n)[(2n+1)]/(2n+2)] é verdadeira.
como (2n+1)/(2n+2) = f(n)  1(e f(n)  0),então [f(n)]^2  1 (1)
p(n)   1/raiz(2n),por hipotese,então [p(n)]^2   1/2n (2)
Por (1) e (2),temos que [p(n)]^2*[f(n)]^2  1/2n
Como p(n)  0 e f(n)  0,então p(n)*f(n) = p(n+1)  raiz(1/2n)
Algum erro?
 
 

 




From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Desigualdade
Date: Thu, 5 Apr 2012 16:25:36 -0300




Valeu Rogério,  


Estava tentaddo por indução e não saía nada :)
Solução genial


[]'s
João





Date: Thu, 5 Apr 2012 01:27:33 -0300
Subject: Re: [obm-l] Desigualdade
From: abrlw...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Ola' Joao,
a desigualdade vale para qualquer n0.

Sabemos que para qualquer k:
 (k+1)*(k-1) / (k*k)  1

Logo, para qualquer n inteiro positivo, temos:
1*3 / (2*2)   1
3*5 / (4*4)   1
5*7 / (6*6)   1
...
(2n-3)*(2n-1) / [(2n-2)*(2n-2)]  1

Alem disso, como (2n-1) / (2n)  1
também podemos escrever que
(2n-1) / (2n * 2n)  1 / (2n)

Multiplicando as inequacoes acima, vem:
{ [1*3*5*...*(2n-1)] ^ 2 } / { [2*4*6*...*(2n)] ^2 }   1/(2n)

FInalmente, aplicando raiz quadrada aos dois lados da expressao, obtemos:
[1*3*5*...*(2n-1)] / [2*4*6*...*(2n)]   1 / sqrt(2n)

[]'s
Rogerio Ponce



Em 4 de abril de 2012 20:03, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com 
escreveu:



Como provar que (1.3.5.7...2n-1)/(2.4.6...2n) 1/sqrt(2n), para o caso n=50 
(pergunta da minha prova)?

Isso vale para qualquer inteiro maior que 1 ?


[]s
Joao

  

Re: [obm-l] Desigualdade

[Victor Hugo]

Indução...

On 04/04/2012, at 20:03, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com wrote:

 Como provar que (1.3.5.7...2n-1)/(2.4.6...2n) 1/sqrt(2n), para o caso n=50 
 (pergunta da minha prova)?
 
 Isso vale para qualquer inteiro maior que 1 ?
 
 
 []s
 Joao

Re: [obm-l] Desigualdade

[Rogerio Ponce]

Ola' Joao,
a desigualdade vale para qualquer n0.

Sabemos que para qualquer k:
 (k+1)*(k-1) / (k*k)  1

Logo, para qualquer n inteiro positivo, temos:
1*3 / (2*2)   1
3*5 / (4*4)   1
5*7 / (6*6)   1
...
(2n-3)*(2n-1) / [(2n-2)*(2n-2)]  1

Alem disso, como (2n-1) / (2n)  1
também podemos escrever que
(2n-1) / (2n * 2n)  1 / (2n)

Multiplicando as inequacoes acima, vem:
{ [1*3*5*...*(2n-1)] ^ 2 } / { [2*4*6*...*(2n)] ^2 }   1/(2n)

FInalmente, aplicando raiz quadrada aos dois lados da expressao, obtemos:
[1*3*5*...*(2n-1)] / [2*4*6*...*(2n)]   1 / sqrt(2n)

[]'s
Rogerio Ponce


Em 4 de abril de 2012 20:03, João Maldonado
joao_maldona...@hotmail.comescreveu:

 Como provar que (1.3.5.7...2n-1)/(2.4.6...2n) 1/sqrt(2n), para o caso
 n=50 (pergunta da minha prova)?

 Isso vale para qualquer inteiro maior que 1 ?


 []s
 Joao

Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

[Marcos Martinelli]

Bernardo, creio que, ao considerar as tangentes, podemos melhorar sim as
desigualdades. Tentei incrementar um pouco mais minha solução e demonstrei
as seguintes desigualdades:

n! = n^n (***) * raiz(n) / (e^((2*n^2-3*n+1)/(4*n))) = (**) n^n /
(e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n))) = (*) n^n / (e^(n-1)), para todo n natural e
maior ou igual a 1.

Nota 1: a desigualdade (*) é obtida a partir dos retângulos tradicionais. A
desigualdade (**) foi obtida a partir dos trapézios anteriormente
descritos. Apenas corrigindo um pequeno trecho do meu email anterior:

Mas tentei melhorar minha desigualdade. Sendo assim, tentei procurar
trapézios a partir dos vértices *[(t - 1,0), (t - 1,ln(t)-1/t), (t,0) e
(t,ln(t)]* *(t = 2)* (aqui a idéia foi considerar a reta tangente no ponto
*(t,ln(t))* à curva ln(t)).

Nota 2: a desigualdade (***) também segue dos trapézios acima mencionados,
mas procurando aproximar melhor o somatório de 1/(2t) (1 = t = n).

Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

[Marcos Martinelli]

Pequena correção:

n! = *(***)* n^n * raiz(n) / (e^((2*n^2-3*n+1)/(4*n))) = *(**)* n^n /
(e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n))) = *(*)* n^n / (e^(n-1)),

Os parênteses seguidos de asterisco procurar identificar as desigualdades
citadas no email anterior.

Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/3/25 Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com:
 Pequena correção:

 n! = (***) n^n * raiz(n) / (e^((2*n^2-3*n+1)/(4*n))) = (**) n^n /
 (e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n))) = (*) n^n / (e^(n-1)),

 Os parênteses seguidos de asterisco procurar identificar as desigualdades
 citadas no email anterior.
Oi Marcos,

Tenho algumas perguntas...

A primeira é que eu achei estranha a desigualdade (***) porque

n! = n^n * raiz(n) / (e^((2*n^2-3*n+1)/(4*n)))

é contrária à formula de Stirling que diz que n! ~ n^n raiz(2 pi n)
exp(-n), porque afinal teríamos

n^n raiz(2 pi n) exp(-n) ~ n^n raiz(n) / exp( (2*n^2-3*n+1)/(4*n) )
=
raiz(2 pi) ~ exp(n) * exp(-n/2) * exp(3/4) * exp(-1/4n) - infinito

Você tem certeza da fórmula? Talvez seja simplesmente 2n no
denominador da exponencial como antes, mas não tive tempo de seguir as
suas indicações.


A outra observação é que a tangente é, intuitivamente, pior do que os
trapézios. Certamente, ela dá uma aproximação por cima que é o que
você quer, mas veja que uma secante tem um erro que é no máximo
metade do erro da tangente, e o erro é zero, sobe, desce e volta a
zero, enquanto que a tangente o erro é zero, e só aumenta. Claro que
o erro é bem menor quando você está pertinho do ponto de tangência,
mas como você vai longe (distância 1, fixa, portanto) o que acaba
contando é o erro total.
Com uma ajuda do Maple, eu calculei as diferenças assimptoticas. Seja
I a integral certa entre t e t+1, T+ o seu trapézio maior do que a
integral, e formado pela tangente em t+1, e T- o trapézio formado
pela secante (t, log t) - (t+1, log t+1). Temos:

T+ - I ~ 1/6t^2 - 1/4t^3 + 3/10t^4 ...
I - T- ~ 1/12t^2 - 1/12t^3 + ...

Como é a soma dos T+ que vai dar o n!, para você provar que T+  I +
alguma coisa, você precisa calcular até o termo t^-3. No caso das
secantes, basta ir até o termo t^-2, porque como o termo seguinte é
negativo, dá T-  I - 1/12t^2. Claro que quanto mais longe você for na
aproximação da tangente, melhor será a aproximação que você vai obter.

E última curiosidade: você está estudando? Universidade?
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

[Marcos Martinelli]

Fala, Bernardo.

Existe um pequeno erro sim no meu denominador. Mas vou tentar esboçar aqui
as contas:

i) pelos trapézios (considerando n = 2): sum_{k=2}^{n} 1/2 . [(ln(t) -1/t)
+ ln(t)]  int_{1}^{n} ln(t) . dt. Após algumas contas, chegamos à seguinte
expressão: ln(n!)  n . ln(n) - n + 1 + 1/2 . sum_{k=2}^{n} 1/k (*)

ii) vamos considerar agora a função 1/t (t = 1) (novamente n = 2).
Pensando mais uma vez em trapézios, consideremos os seguintes vértices:
[(t,0), (t,1/t), (t+1,0), (t+1,1/(t+1))]. Podemos escrever: sum_{k=1}^{n-1}
1/2 . [1/k + 1/(k+1)]  int_{1}^{n}. Mais algumas contas depois, teremos:
1/2 . sum_{k=2}^{n} 1/k  ln(n)/2 - 1/4 + 1/(4n) (**)

Substituindo (**) em (*), teremos: n! = n^n . sqrt(n) / (exp((4n^2 - 3n
-1)/(4n))).

Quanto à segunda pergunta, sou formado em engenharia.

Abs.

Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/3/24 Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com:
 Bernardo,

 olhei para a função ln(t) (1 = t = n) e, tentei uma aproximação
 retangular a partir dos vértices [(t,0), (t,ln(t)), (t+1,0) e (t+1,ln(t+1)]
 para demonstrar a primeira desigualdade aqui proposta. Realmente funciona.

 Mas tentei melhorar minha desigualdade. Sendo assim, tentei procurar
 trapézios a partir dos vértices [(t,0), (t,ln(t)-1/t), (t+1,0) e
 (t+1,ln(t+1)] (aqui a idéia foi considerar a reta tangente no ponto
 (t+1,ln(t+1)) à curva ln(t)).

 Acabei desembocando na igualdade citada anteriormente.
Ah, ok!

Mas veja só: aproximar a integral da segunda forma me parece pior do
que a primeira que você fez, porque afinal de contas você está usando
um trapézio bem pior do que o primeiro caso, não? Desta forma, você
está incluindo um erro que eu acho desnecessário. Aliás, eu acabei de
fazer as contas, com os trapézios clássicos, você pode provar que

2.3700 ~ exp(1 - pi^2/72)  n! / ( n^n e^(-n) raiz(n) )  exp(1) ~ 2.718281828

e a constante certa é raiz(2 pi) ~ 2.506628274. (O limite superior
vem direto, o inferior dá um trabalhinho pra estimar os erros dos
trapézios e obter uma série convergente)

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
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Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

[terence thirteen]

Em 22 de março de 2012 00:24, João Maldonado
joao_maldona...@hotmail.com escreveu:
 Como posso provar que n!(n/3)^n

 Consegui uma prova pelo limite fundamental  (1+ 1/n)^n=e  quando n tende ao
 infinito mas queria algo mais simples  (um pif sem limite por exemplo)
 ,alguem pode me ajudar?

Acho que uma ideia seria demonstrar que para n grande vale o seguinte:
n+1  ((n+1)/3)^(n+1) / ((n/3)^n)

Aí o PIF seria multiplicando isso de 1 até N.

 []s
 Jooao



-- 
/**/
神が祝福

Torres

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Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/3/23 terence thirteen peterdirich...@gmail.com:
 Em 22 de março de 2012 00:24, João Maldonado
 joao_maldona...@hotmail.com escreveu:
 Como posso provar que n!(n/3)^n

 Consegui uma prova pelo limite fundamental  (1+ 1/n)^n=e  quando n tende ao
 infinito mas queria algo mais simples  (um pif sem limite por exemplo)
 ,alguem pode me ajudar?

 Acho que uma ideia seria demonstrar que para n grande vale o seguinte:
 n+1  ((n+1)/3)^(n+1) / ((n/3)^n)

 Aí o PIF seria multiplicando isso de 1 até N.
A idéia é essa, mas você não pode multiplicar de 1 até N, você prova
que é verdade para n= 1,2,3,4,5,6 na mão e depois acho que deve dar
certo.

(O limite do termo à esquerda deve ser algo como exp(qualquer coisa),
então talvez não vale para 1, como você mesmo disse, basta para n
grande, então você tem que provar a base do PIF para n logo antes de
ser grande. Aliás, isso é um bom começo prum paradoxo que eu
conheço...)

Abraços
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

[Marcos Martinelli]

Uma desigualdade um pouco mais forte (e com uma demonstração legal) seria a
seguinte:

(n!) = (n^n)/(e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n)))

Em 23 de março de 2012 15:21, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com escreveu:

 2012/3/23 terence thirteen peterdirich...@gmail.com:
  Em 22 de março de 2012 00:24, João Maldonado
  joao_maldona...@hotmail.com escreveu:
  Como posso provar que n!(n/3)^n
 
  Consegui uma prova pelo limite fundamental  (1+ 1/n)^n=e  quando n
 tende ao
  infinito mas queria algo mais simples  (um pif sem limite por exemplo)
  ,alguem pode me ajudar?
 
  Acho que uma ideia seria demonstrar que para n grande vale o seguinte:
  n+1  ((n+1)/3)^(n+1) / ((n/3)^n)
 
  Aí o PIF seria multiplicando isso de 1 até N.
 A idéia é essa, mas você não pode multiplicar de 1 até N, você prova
 que é verdade para n= 1,2,3,4,5,6 na mão e depois acho que deve dar
 certo.

 (O limite do termo à esquerda deve ser algo como exp(qualquer coisa),
 então talvez não vale para 1, como você mesmo disse, basta para n
 grande, então você tem que provar a base do PIF para n logo antes de
 ser grande. Aliás, isso é um bom começo prum paradoxo que eu
 conheço...)

 Abraços
 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa

 =
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Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/3/23 Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com:
 Uma desigualdade um pouco mais forte (e com uma demonstração legal) seria a
 seguinte:

 (n!) = (n^n)/(e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n)))

Bom, eu não vou dizer que é fácil, mas tem uma solução no braço que
leva uns 15 minutos pra escrever tudo, sem parar pra pensar. Minto,
tem que acertar a mão na hora de calcular log(1 + 1/n) = 1/n -
1/2n^2 + 1/3n^3 - resto, e ter coragem de dizer que o resto é mesmo
negativo (porque a série é alternada e decrescente para n = 2). E
depois, indução na veia.

Acho que o que vale a pena perguntar é: como alguém poderia achar uma
desigualdade dessa? Vale qualquer argumento, mas digamos assim:

Eu sei (enfim, o Stirling sabia) que n! ~ n^n / e^n * raiz(2 pi n). A
sua desigualdade não tem o termo raiz(n), logo com certeza ela é
verdadeira assintoticamente. Assim, se eu quisesse ter uma
desigualdade com e^(P(n)/Q(n)), eu sei que P(n)/Q(n) ~ (-n) é o único
candidato razoável. Como fazer para achar os outros termos do
polinômio?

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

[Arlane Manoel S Silva]

   Basta provar que (1+1/n)^n=3 para todo n (e não será necessário  
falar em limites). De fato, isto é equivalente a

  3n^n=(n+1)^n, que é equivalente a
  (n+1).(n/3)^n=((n+1)/3)^(n+1), e agora é usar o PIF.
   A.

Citando Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com:


Uma desigualdade um pouco mais forte (e com uma demonstração legal) seria a
seguinte:

(n!) = (n^n)/(e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n)))

Em 23 de março de 2012 15:21, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com escreveu:


2012/3/23 terence thirteen peterdirich...@gmail.com:
 Em 22 de março de 2012 00:24, João Maldonado
 joao_maldona...@hotmail.com escreveu:
 Como posso provar que n!(n/3)^n

 Consegui uma prova pelo limite fundamental  (1+ 1/n)^n=e  quando n
tende ao
 infinito mas queria algo mais simples  (um pif sem limite por exemplo)
 ,alguem pode me ajudar?

 Acho que uma ideia seria demonstrar que para n grande vale o seguinte:
 n+1  ((n+1)/3)^(n+1) / ((n/3)^n)

 Aí o PIF seria multiplicando isso de 1 até N.
A idéia é essa, mas você não pode multiplicar de 1 até N, você prova
que é verdade para n= 1,2,3,4,5,6 na mão e depois acho que deve dar
certo.

(O limite do termo à esquerda deve ser algo como exp(qualquer coisa),
então talvez não vale para 1, como você mesmo disse, basta para n
grande, então você tem que provar a base do PIF para n logo antes de
ser grande. Aliás, isso é um bom começo prum paradoxo que eu
conheço...)

Abraços
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=







--
Arlane Manoel S Silva
  Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática e Estatística-USP

=
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Desigualdade fatorial

[Marcos Martinelli]

Bernardo,

olhei para a função ln(t) (1 = t = n) e, tentei uma aproximação
retangular a partir dos vértices [(t,0), (t,ln(t)), (t+1,0) e (t+1,ln(t+1)]
para demonstrar a primeira desigualdade aqui proposta. Realmente funciona.

Mas tentei melhorar minha desigualdade. Sendo assim, tentei procurar
trapézios a partir dos vértices [(t,0), (t,ln(t)-1/t), (t+1,0) e
(t+1,ln(t+1)] (aqui a idéia foi considerar a reta tangente no ponto
(t+1,ln(t+1)) à curva ln(t)).

Acabei desembocando na igualdade citada anteriormente.

Abs.

Em 23 de março de 2012 17:53, Arlane Manoel S Silva ar...@usp.br escreveu:

   Basta provar que (1+1/n)^n=3 para todo n (e não será necessário falar
 em limites). De fato, isto é equivalente a
  3n^n=(n+1)^n, que é equivalente a
  (n+1).(n/3)^n=((n+1)/3)^(n+1)**, e agora é usar o PIF.
   A.

 Citando Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com:


 Uma desigualdade um pouco mais forte (e com uma demonstração legal) seria a
 seguinte:

 (n!) = (n^n)/(e^((2*n^2-3*n+1)/(2*n))**)

 Em 23 de março de 2012 15:21, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
 bernardo...@gmail.com escreveu:

 2012/3/23 terence thirteen peterdirich...@gmail.com:
  Em 22 de março de 2012 00:24, João Maldonado
  joao_maldona...@hotmail.com escreveu:
  Como posso provar que n!(n/3)^n
 
  Consegui uma prova pelo limite fundamental  (1+ 1/n)^n=e  quando n
 tende ao
  infinito mas queria algo mais simples  (um pif sem limite por exemplo)
  ,alguem pode me ajudar?
 
  Acho que uma ideia seria demonstrar que para n grande vale o seguinte:
  n+1  ((n+1)/3)^(n+1) / ((n/3)^n)
 
  Aí o PIF seria multiplicando isso de 1 até N.
 A idéia é essa, mas você não pode multiplicar de 1 até N, você prova
 que é verdade para n= 1,2,3,4,5,6 na mão e depois acho que deve dar
 certo.

 (O limite do termo à esquerda deve ser algo como exp(qualquer coisa),
 então talvez não vale para 1, como você mesmo disse, basta para n
 grande, então você tem que provar a base do PIF para n logo antes de
 ser grande. Aliás, isso é um bom começo prum paradoxo que eu
 conheço...)

 Abraços
 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa

 ==**==**
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~**obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 ==**==**
 =





 --
Arlane Manoel S Silva
  Departamento de Matemática Aplicada
 Instituto de Matemática e Estatística-USP


 ==**==**
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~**obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 ==**==**
 =

RE: [obm-l] Desigualdade

[lponce]

 
 On Seg 19/03/12 21:24 , João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
sent:
 a   bc/d 
  (a+c)/(b+d)  (bc/d  + c)/(b+d) = c/d 
  c  ad/b (a+c)/(b+d)  (a+ad/b)/(b+d) = a/b 
  []'s João 
-
 From: marconeborge...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Desigualdade
 Date: Mon, 19 Mar 2012 22:53:45 +
   Dados a,b,c,d  0 tais que a/b  c/d.Mostre que a/b  (a+c)/(b+d) 
c/d
 a/b  c/d - a/c  b/d
 somando 1=c/c ao primeiro membro e 1=d/d ao segundo membro da segunda
das desigualdades,temos que:
 (a+c)/c  (b+d/d) -(a+c)/(b+d)  c/d
 Seguindo um raciocinio semelhante,não consigo mostrar que a/b 
(a+c)/(b+d)
 Sei q posso fazê-lo mostrando que (a+c)/(b+d) - a/b  0,mas eu
queria outra ideia.
 Alguem pode ajudar?

RE: [obm-l] Desigualdade

[João Maldonado]

a   bc/d
(a+c)/(b+d)  (bc/d  + c)/(b+d) = c/d
c  ad/b(a+c)/(b+d)  (a+ad/b)/(b+d) = a/b
[]'sJoão
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Desigualdade
Date: Mon, 19 Mar 2012 22:53:45 +







Dados a,b,c,d  0 tais que a/b  c/d.Mostre que a/b  (a+c)/(b+d)  c/d

 

a/b  c/d - a/c  b/d

somando 1=c/c ao primeiro membro e 1=d/d ao segundo membro da segunda das 
desigualdades,temos que:

(a+c)/c  (b+d/d) -(a+c)/(b+d)  c/d

Seguindo um raciocinio semelhante,não consigo mostrar que a/b  (a+c)/(b+d)

Sei q posso fazê-lo mostrando que (a+c)/(b+d) - a/b  0,mas eu queria outra 
ideia.

Alguem pode ajudar?

 

  

RE: [obm-l] Desigualdade (Como provar?)

[Paulo Argolo]

Caros Colegas,

Não consegui ainda uma demonstração. Seria possível fazê-la por indução finita?

Abraços do Paulo.
-







 Date: Mon, 13 Jun 2011 22:49:41 +0200
 Subject: Re: [obm-l] Desigualdade (Como provar?)
 From: bernardo...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 2011/6/13 Paulo Argolo argolopa...@hotmail.com:
  Caros Colegas,
  Como podemos provar que, dados n numeros reais positivos (n1), nem todos 
  iguais, vale a desigualdade abaixo?
 
  S . S'  n^2 (S é a soma dos n números, S' é a soma dos inversos desses n 
  números.)
 
 Tente mostrar isso para n = 2, n = 3, expandindo tudo. Dá poucos
 termos, e daí acho que você vai ver como prova para n qualquer.
 
 Abraços,
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 = 
   
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Desigualdade (Como provar?)

[marcone augusto araújo borges]

Se x0,então x+(1/x)2.Veja q se x1, (x-1)^20.Dai,x^2-2x+10.Dividindo tudo 
por x(já q x0),temos x+(1/x)2.
(a+b)*(1/a + 1/b)=a/b + b/a + 1 + 12+1+1=2^2
Eu fiz com a,b e c;depois com a,b,c e d e funcionou,mas ai precisa formalizar.
Espero ter ajudado um pouco.
Abraços.
 
 

 From: argolopa...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: RE: [obm-l] Desigualdade (Como provar?)
 Date: Tue, 21 Jun 2011 11:34:43 +
 
 
 Caros Colegas,
 
 Não consegui ainda uma demonstração. Seria possível fazê-la por indução 
 finita?
 
 Abraços do Paulo.
 -
 
 
 
 
 
 
 
  Date: Mon, 13 Jun 2011 22:49:41 +0200
  Subject: Re: [obm-l] Desigualdade (Como provar?)
  From: bernardo...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
  
  2011/6/13 Paulo Argolo argolopa...@hotmail.com:
   Caros Colegas,
   Como podemos provar que, dados n numeros reais positivos (n1), nem todos 
   iguais, vale a desigualdade abaixo?
  
   S . S'  n^2 (S é a soma dos n números, S' é a soma dos inversos desses n 
   números.)
  
  Tente mostrar isso para n = 2, n = 3, expandindo tudo. Dá poucos
  termos, e daí acho que você vai ver como prova para n qualquer.
  
  Abraços,
  -- 
  Bernardo Freitas Paulo da Costa
  
  =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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RE: [obm-l] Desigualdade (Como provar?)

[marcone augusto araújo borges]

Onde tá escrito x1,o correto é x diferente de 1.
 



From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Desigualdade (Como provar?)
Date: Tue, 21 Jun 2011 12:34:21 +





Se x0,então x+(1/x)2.Veja q se x1, (x-1)^20.Dai,x^2-2x+10.Dividindo tudo 
por x(já q x0),temos x+(1/x)2.
(a+b)*(1/a + 1/b)=a/b + b/a + 1 + 12+1+1=2^2
Eu fiz com a,b e c;depois com a,b,c e d e funcionou,mas ai precisa formalizar.
Espero ter ajudado um pouco.
Abraços.
 
 

 From: argolopa...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: RE: [obm-l] Desigualdade (Como provar?)
 Date: Tue, 21 Jun 2011 11:34:43 +
 
 
 Caros Colegas,
 
 Não consegui ainda uma demonstração. Seria possível fazê-la por indução 
 finita?
 
 Abraços do Paulo.
 -
 
 
 
 
 
 
 
  Date: Mon, 13 Jun 2011 22:49:41 +0200
  Subject: Re: [obm-l] Desigualdade (Como provar?)
  From: bernardo...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
  
  2011/6/13 Paulo Argolo argolopa...@hotmail.com:
   Caros Colegas,
   Como podemos provar que, dados n numeros reais positivos (n1), nem todos 
   iguais, vale a desigualdade abaixo?
  
   S . S'  n^2 (S é a soma dos n números, S' é a soma dos inversos desses n 
   números.)
  
  Tente mostrar isso para n = 2, n = 3, expandindo tudo. Dá poucos
  termos, e daí acho que você vai ver como prova para n qualquer.
  
  Abraços,
  -- 
  Bernardo Freitas Paulo da Costa
  
  =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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 =
  

Re: [obm-l] Desigualdade (Como provar?)

[Carlos Nehab]

Oi, Paulo.

É simples e clássico.
Basta usar média aritmética = média geométrica em S e S'.

Abraços
Nehab

Em 21/6/2011 08:34, Paulo Argolo escreveu:

Caros Colegas,

Não consegui ainda uma demonstração. Seria possível fazê-la por indução finita?

Abraços do Paulo.
-








Date: Mon, 13 Jun 2011 22:49:41 +0200
Subject: Re: [obm-l] Desigualdade (Como provar?)
From: bernardo...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

2011/6/13 Paulo Argoloargolopa...@hotmail.com:

Caros Colegas,
Como podemos provar que, dados n numeros reais positivos (n1), nem todos 
iguais, vale a desigualdade abaixo?

S . S'  n^2 (S é a soma dos n números, S' é a soma dos inversos desses n 
números.)


Tente mostrar isso para n = 2, n = 3, expandindo tudo. Dá poucos
termos, e daí acho que você vai ver como prova para n qualquer.

Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
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Re: [obm-l] Desigualdade (Como provar?)

[Johann Dirichlet]

Você,Você,Você,Você,Você,Você,Você quer uma demo por PIF?
Bem, vou te dar a dica: prove de n para 2n, e depois de n para n-1.
Em 21/06/11, Carlos Nehabne...@infolink.com.br escreveu: Oi, Paulo. É 
simples e clássico. Basta usar média aritmética = média geométrica em S e 
S'. Abraços Nehab Em 21/6/2011 08:34, Paulo Argolo escreveu: Caros 
Colegas, Não consegui ainda uma demonstração. Seria possível fazê-la por 
indução finita? Abraços do Paulo. 
-
 Date: Mon, 13 Jun 2011 22:49:41 +0200 Subject: Re: [obm-l] Desigualdade 
(Como provar?) From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 
2011/6/13 Paulo Argoloargolopa...@hotmail.com: Caros Colegas, Como 
podemos provar que, dados n numeros reais positivos (n1), nem todos 
iguais, vale a desigualdade abaixo? S . S'  n^2 (S é a soma dos n 
números, S' é a soma dos inversos desses n números.) Tente mostrar 
isso para n = 2, n = 3, expandindo tudo. Dá poucos termos, e daí acho qu!
e você vai ver como prova para n qualquer. Abraços, -- Bernardo 
Freitas Paulo da Costa 
= 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
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-- /**/神が祝福
Torres
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Re: [obm-l] Desigualdade (Como provar?)

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2011/6/13 Paulo Argolo argolopa...@hotmail.com:
 Caros Colegas,
 Como podemos provar que, dados n numeros reais positivos (n1), nem todos 
 iguais, vale a desigualdade abaixo?

 S . S'  n^2  (S é a soma dos n números, S' é a soma dos inversos desses n 
 números.)

Tente mostrar isso para n = 2, n = 3, expandindo tudo. Dá poucos
termos, e daí acho que você vai ver como prova para n qualquer.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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RE: [obm-l] Desigualdade (Como provar?)

[Letícia Mattos]

Sabendo que a média aritmética é sempre maior ou igual a média harmônica, 
temos que 
 
S/n  n/S' 
 
O que nos dá S.S'  n²
 
att

 Date: Mon, 13 Jun 2011 22:49:41 +0200
 Subject: Re: [obm-l] Desigualdade (Como provar?)
 From: bernardo...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 2011/6/13 Paulo Argolo argolopa...@hotmail.com:
  Caros Colegas,
  Como podemos provar que, dados n numeros reais positivos (n1), nem todos 
  iguais, vale a desigualdade abaixo?
 
  S . S'  n^2  (S é a soma dos n números, S' é a soma dos inversos desses n 
  números.)
 
 Tente mostrar isso para n = 2, n = 3, expandindo tudo. Dá poucos
 termos, e daí acho que você vai ver como prova para n qualquer.
 
 Abraços,
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
 =
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 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
  

[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade das médias

[DadosDeDeus Blog]

Olá, Pedro!

No link
http://dadosdedeus.blogspot.com/2011/03/demonstracoes-da-desigualdade-ma-mg.html
vc
encontra duas demonstrações da última parte da desigualdade. A média
harmônica sai fácil daí...

Não deixe de consultar também
http://dadosdedeus.blogspot.com/2011/05/demonstracoes-matematicas-por-fisica.html
para
uma bela prva usando conceitos termodinâmicos.

Abraços!

Em 10 de junho de 2011 14:23, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu:


 Prezadíssimos Colegas da Lista,


 Como podemos provar que, dados n números reais positivos, nem todos iguais,
 com média harmônica H, média geométrica G, e média aritmética A, vale a
 dupla desigualdade HGA ?

 Muito obrigado pela atenção!
 Abraços!
 Pedro Chaves
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =




-- 
Al Marcos Valle
Instituto Militar de Engenharia - IME
http://dadosdedeus.blogspot.com

[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Fundamental da Aritmética

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2010/5/11 Marco Bivar marco.bi...@gmail.com:
 Caros,

 A seguinte conjectura poderá parecer um problema lógico-aritmético simples,
 mas depois de tê-la formulada e tentado, sem sucesso, prová-la, eu fiquei (e
 estou) bastante cético quanto à possibilidade de alguém possuir uma prova,
 ou pelo menos ter a técnica matematica necessária para a prova. Por isso
 mesmo, eu já considero este um problema em aberto, e que não é dos mais
 fáceis.

 (Conjectura) Desigualdade Fundamental da Aritmética. Sejam p_{n} e p_{n+1}
 dois números naturais primos consecutivos. A quantidade de números compostos
 entre p_{n} e p_{n+1} é menor ou igual à quantidade de números naturais
 primos anteriores a p_{n}.

Bom, como qualquer coisa que tenha a ver com a distribuição dos
números primos, vale a pena saber que

p_n ~ n*ln(n)

 Em símbolos:

 # ] p_{n}, p_{n+1} [  = # [p_{1}, p_{n} [, onde # é a cardinalidade do
 intervalo inteiro que o segue.

 Isto é, temos:

 p_{n+1} - p_{n} - 1  = n - 1   --   p_{n+1} - p_{n}  = n.

Hum, tem um erro aí, que é que você quer que # ] p_{n}, p_{n+1} [ =
n, e não que seja menor do que p_n - p_1, que é o comprimento do
intervalo [p_{1}, p_{n} [. Essa afirmação em símbolos é muito mais
fácil de mostrar, basta ver que

p_{n+1} - p_n = p_n - p_1 = p_n - 2 se e somente se p_{n+1} = 2*p_n - 2

o que é bem conhecido (existe um primo entre x e 2*x para todo x).

 Obs.: Se alguém conseguir demonstrar esta desigualdade, favor avisar a
 Todos.
Não entendi qual é a do todos com T maiúsculo, mas eu tenho uma
demonstração sim. Ela usa trocentas estimativas assintóticas de p_n ;
algumas bem recentes, inclusive. Por trás de tudo isso, há o estudo
dos zeros da função Zeta de Riemann, que vem dando resultados desde
que foi inventada (em particular, em 1896, para demonstrar o Teorema
dos Números Primos, que dá as primeiras estimativas acima).
Essencialmente, temos que

n[ ln(n) + ln(ln(n)) - 1 ] = p_n = n[ ln(n) + ln(ln(n)) - 0.9484 ]
para n suficientemente grande (tipo 4)

e depois, você calcula com um computador quanto vale p_{n+1} - p_n
para os outros n, e vê que dá certo também.
Aliás, usando um computador, você inclusive pode chutar que

[p_{n+1} - p_n ]/n  1/ln(x), o que é muito mais forte do que você
pediu, mas eu ainda não tenho idéia da demonstração. Mas acho que com
estimativas suficientemente poderosas, deve dar pra fazer, só ainda
não tive paciência de botar mais termos nas desigualdades ali em cima.

Além disso, indo procurar um pouco mais a fundo, dá pra ver que
existem teoremas que dizem que existe um número primo no conjunto [N,
N + N/(2 ln(N)^2)], ou seja, tomando N = p_n ~ n*ln(n), temos que
p_{n+1} - p_n é menor do que N/(2 ln(N)^2) ~ n * ln(n) / 2 (ln(n) +
ln(ln(n)))^2 que é menor do que n.

Abraços aritméticos,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Fundamental da Aritmética

[Marco Bivar]

Hum, tem um erro aí, que é que você quer que # ] p_{n}, p_{n+1} [ =
n, e não que seja menor do que p_n - p_1, que é o comprimento do
intervalo [p_{1}, p_{n} [.

Não há um erro. O intervalo #]p_{n},p_{n+1}[ é o mesmo que p_{n+1}-p_{n}-1,
que é quantidade de números compostos entre esses primos. O comprimento do
intervalo [p_{1},p_{n}[ é n-1. Então eu tenho p_{n+1}-p_{n}-1=n-1 (a
desigualdade que eu quero provar) que implica p_{n+1}-p_{n}=n.

Eu pessoalmente construi uma tabela com a verificação da desigualdade para
os 30.000 primeiros naturais primos. E é verdadeira.

Não entendi qual é a do todos com T maiúsculo,

Eu entendo perfeitamente, mas é que eu já considero este um problema de
difícil solução, que pode levar muito tempo até ser resolvido. Meu colega da
faculdade, por exemplo, observou que se esta desigualdade for válida para
todos os pares de números naturais primos consecutivos, demonstramos,
segundo ele, resultados importantes de Pomerance, etc., em só uma, duas
linhas de símbolos.

O T grande é para lembrar que você vai ser muito famoso (se provar esta
desigualdade).

Até.
---
MAB

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Fun damental da Aritmética

[Henrique Rennó]

2010/5/12 Marco Bivar marco.bi...@gmail.com

 Hum, tem um erro aí, que é que você quer que # ] p_{n}, p_{n+1} [ =
 n, e não que seja menor do que p_n - p_1, que é o comprimento do
 intervalo [p_{1}, p_{n} [.


O comprimento do intervalo ] p_{n}, p_{n+1} [ é p_{n+1}-p_{n}-1 como você
colocou, mas o comprimento do intervalo [p_{1}, p_{n} [ não é n-1 (que é a
quantidade de primos anteriores a p_{n}) e sim um número maior ou igual a
n-1 (sendo igual a n-1 apenas para p_{n} = 2 ou p_{n} = 3), já que n é um
índice para referenciar apenas os números primos e não todos os naturais.



 Não há um erro. O intervalo #]p_{n},p_{n+1}[ é o mesmo que p_{n+1}-p_{n}-1,
 que é quantidade de números compostos entre esses primos. O comprimento do
 intervalo [p_{1},p_{n}[ é n-1. Então eu tenho p_{n+1}-p_{n}-1=n-1 (a
 desigualdade que eu quero provar) que implica p_{n+1}-p_{n}=n.

 Eu pessoalmente construi uma tabela com a verificação da desigualdade para
 os 30.000 primeiros naturais primos. E é verdadeira.

 Não entendi qual é a do todos com T maiúsculo,

 Eu entendo perfeitamente, mas é que eu já considero este um problema de
 difícil solução, que pode levar muito tempo até ser resolvido. Meu colega da
 faculdade, por exemplo, observou que se esta desigualdade for válida para
 todos os pares de números naturais primos consecutivos, demonstramos,
 segundo ele, resultados importantes de Pomerance, etc., em só uma, duas
 linhas de símbolos.

 O T grande é para lembrar que você vai ser muito famoso (se provar esta
 desigualdade).

 Até.
 ---
 MAB




-- 
Henrique