Re: [obm-l] Divisibilidade, pedido de esclarecimento

[Anderson Torres]

Em seg., 4 de mar. de 2024 às 09:53, Pedro José  escreveu:
>
> Bom dia!
> Mas provar que ocorrendo as duas está certo, não é o que foi pedido.

Não foi isso que ele fez. Ele demonstrou que ambas as expressões são
equivalentes a r==7s (mod17).
Portanto, ambas são equivalentes entre si.

> Pode ser que ocorrendo as duas esteja OK e também que haja pelo menos um 
> caso, que dá certo para a primeira assertiva e não ocorre para a segunda ou 
> pode ter pelo menos um caso que ocorra para a segunda e não ocorra para 
> primeira, já é suficiente para furar.
> O certo é:
> supor (i) e mostrar que ocorre(ii) e depois provar a volta, supor (ii) e 
> mostrar que ocorre (i).

Essa é uma das maneiras de se demonstrar equivalências, não a única.
A bem da verdade, você simplesmente reverteu a ida para provar a volta
- bastava mostrar que cada implicação era reversível para assim
economizar duas linhas.

> (i) 9r + 5s | 17. 17s + 17r | 17 (iii) logo 4*(i)-2(iii) ==>  2r - 14s | 17 
> (iv).
> Como 17s! 17 (v); (1v)+ (v) ==> 2r+3s | 17. Provada a ida. 17
> 2r +3s |17 (ii) . Mas 17r + 17 s | 17 (iii). (iii)- 4*(i) ==> 9r +5s | 17 
> Provada a volta.
> logo 9r + 5s | 17 <=> 2r+ 3s | 17 C.Q.D.
>
>
> Cordialmente,
> PJMS
>
> Em sáb., 2 de mar. de 2024 às 12:37, Marcone Borges 
>  escreveu:
>>
>> Sendo r e s inteiros, mostre que 9r +5s divide 17 se, e somente se, 2r + 3s 
>> divide 17.
>> De 9r + 5s ==0(mod 17), assim como de 2r + 3s ==0(mod17), segue que
>> r==7s (mod17). Daí sai a resposta.
>> Ou podemos mostrar o que foi pedido usando 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s)
>> Mas, do ponto de vista de quem elaborou a questão, por que vincular essas 
>> expressões ao fato de que quando uma for um múltiplo de 17 a outra também 
>> será?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Divisibilidade, pedido de esclarecimento

[Anderson Torres]

Em sáb., 2 de mar. de 2024 às 15:28, Claudio Buffara
 escreveu:
>
> Isso só perguntando pra quem elaborou a questão.
> Mas a ideia pode ter surgido quando, ao manipular expressões desse tipo, a 
> pessoa notou que:
> 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s)
> e isso a fez pensar no enunciado.

Eu me lembro de ter visto expressões semelhantes com outros módulos
(primos, por que será?) faz muito tempo.
Para mim o mais interessante é descobrir equivalências.
Por exemplo, se Ax+By é múltiplo de 17, quem seria C tal que x-Cy é
múltiplo de 7? Isso é basicamente uma classe de equivalência.

Na verdade daria para fazer o contrário:
se C não é múltiplo de 17, então Kx+y é múltiplo de 17 se e somente se
(CK mod 17)x+(C mod 17)y também for.
Daí é só reduzir CK e C módulo 17.

Com isso dá para gerar problemas interessantes:

- Se x+10y é múltiplo de 17, então 9x+90y, ou 9x+5y, são múltiplos de
y (e vice-versa)
- Se x+10y é múltiplo de 17, então 2x+20y, ou 2x+3y, são múltiplos de
y (e vice-versa)

Logo,
- Se 9x+5y é múltiplo de 17, então 2x+3y é múltiplo de y (e vice-versa).

>
>
> On Sat, Mar 2, 2024 at 12:37 PM Marcone Borges  
> wrote:
>>
>> Sendo r e s inteiros, mostre que 9r +5s divide 17 se, e somente se, 2r + 3s 
>> divide 17.
>> De 9r + 5s ==0(mod 17), assim como de 2r + 3s ==0(mod17), segue que
>> r==7s (mod17). Daí sai a resposta.
>> Ou podemos mostrar o que foi pedido usando 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s)
>> Mas, do ponto de vista de quem elaborou a questão, por que vincular essas 
>> expressões ao fato de que quando uma for um múltiplo de 17 a outra também 
>> será?
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Divisibilidade, pedido de esclarecimento

[Pedro José]

Bom dia!
Mas provar que ocorrendo as duas está certo, não é o que foi pedido.
Pode ser que ocorrendo as duas esteja OK e também que haja pelo menos um
caso, que dá certo para a primeira assertiva e não ocorre para a segunda ou
pode ter pelo menos um caso que ocorra para a segunda e não ocorra para
primeira, já é suficiente para furar.
O certo é:
supor (i) e mostrar que ocorre(ii) e depois provar a volta, supor (ii) e
mostrar que ocorre (i).
(i) 9r + 5s | 17. 17s + 17r | 17 (iii) logo 4*(i)-2(iii) ==>  2r - 14s | 17
(iv).
Como 17s! 17 (v); (1v)+ (v) ==> 2r+3s | 17. Provada a ida. 17
2r +3s |17 (ii) . Mas 17r + 17 s | 17 (iii). (iii)- 4*(i) ==> 9r +5s | 17
Provada a volta.
logo 9r + 5s | 17 <=> 2r+ 3s | 17 C.Q.D.


Cordialmente,
PJMS

Em sáb., 2 de mar. de 2024 às 12:37, Marcone Borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Sendo r e s inteiros, mostre que 9r +5s divide 17 se, e somente se, 2r +
> 3s divide 17.
> De 9r + 5s ==0(mod 17), assim como de 2r + 3s ==0(mod17), segue que
> r==7s (mod17). Daí sai a resposta.
> Ou podemos mostrar o que foi pedido usando 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s)
> Mas, do ponto de vista de quem elaborou a questão, por que vincular essas
> expressões ao fato de que quando uma for um múltiplo de 17 a outra também
> será?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Divisibilidade, pedido de esclarecimento

[Claudio Buffara]

Isso só perguntando pra quem elaborou a questão.
Mas a ideia pode ter surgido quando, ao manipular expressões desse tipo, a
pessoa notou que:
9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s)
e isso a fez pensar no enunciado.


On Sat, Mar 2, 2024 at 12:37 PM Marcone Borges 
wrote:

> Sendo r e s inteiros, mostre que 9r +5s divide 17 se, e somente se, 2r +
> 3s divide 17.
> De 9r + 5s ==0(mod 17), assim como de 2r + 3s ==0(mod17), segue que
> r==7s (mod17). Daí sai a resposta.
> Ou podemos mostrar o que foi pedido usando 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s)
> Mas, do ponto de vista de quem elaborou a questão, por que vincular essas
> expressões ao fato de que quando uma for um múltiplo de 17 a outra também
> será?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Divisibilidade, pedido de esclarecimento

[Marcone Borges]

Sendo r e s inteiros, mostre que 9r +5s divide 17 se, e somente se, 2r + 3s 
divide 17.
De 9r + 5s ==0(mod 17), assim como de 2r + 3s ==0(mod17), segue que
r==7s (mod17). Daí sai a resposta.
Ou podemos mostrar o que foi pedido usando 9r + 5r +4(2r +3s) = 17(r + s)
Mas, do ponto de vista de quem elaborou a questão, por que vincular essas 
expressões ao fato de que quando uma for um múltiplo de 17 a outra também será?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Divisibilidade por 13 e 19

[Jeferson Almir]

Muito obrigado senhores!!

Em dom, 10 de fev de 2019 às 22:09, Artur Steiner <
artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:

> Há um critério que conheço, mas em termos práticos não serve pra nada. É
> melhor fazer a divisão.
>
> No caso de 13, vc toma 10 - 13 = -3 e, na representação decimal do número,
> substitui 10 por -3 e faz as contas. O número é divisível por 13 se, é
> somente se, o resultado for divisível por 13. Analogamente para 19. Vale
> qualquer que seja o número de algarismos.
>
> Por exemplo, o número 156. Calculamos 1 x (-3)^2 + 5 x (-3) + 6 = 0,
> divisível por 13. Logo, 156 é divisível por 13.
>
> Agora, 209. Obtemos 2 x (-9)^2 × 0 x (-9) + 9 = 162 + 9 = 171 = 9 x 19. E
> 209 é divisível por 19.
>
> É o mesmo processo dos famosos critérios de divisibilidade por 9 e por 11.
> E tem aquele semelhante para 3 porque 3^2 = 9.
>
> Pode ser provado pelas propriedades dos polinômios ou por congruências.
>
> Mas, no caso de 13, 19 e mesmo 7, em termos práticos, em nada facilita.
>
> Não sei se há um critério melhor.
>
>
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em dom, 10 de fev de 2019 20:56, Jeferson Almir  escreveu:
>
>> Considere um número de 4 algarismos da forma 70J7
>>
>> i) quais o valores de J para que o número seja divisível por 13 ?
>>
>> ii ) quais os valores de J para que o número seja divisível por 19 ?
>>
>> Uma vez que eu não faço ideia  quais são  os critérios de divisibilidade
>> por 13 e por 19, o algoritmo da divisão resolveria de alguma forma esse
>> problema ?? Ou existe outra forma de fazer sem usar o critério ???
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Divisibilidade por 13 e 19

[Artur Steiner]

Há um critério que conheço, mas em termos práticos não serve pra nada. É
melhor fazer a divisão.

No caso de 13, vc toma 10 - 13 = -3 e, na representação decimal do número,
substitui 10 por -3 e faz as contas. O número é divisível por 13 se, é
somente se, o resultado for divisível por 13. Analogamente para 19. Vale
qualquer que seja o número de algarismos.

Por exemplo, o número 156. Calculamos 1 x (-3)^2 + 5 x (-3) + 6 = 0,
divisível por 13. Logo, 156 é divisível por 13.

Agora, 209. Obtemos 2 x (-9)^2 × 0 x (-9) + 9 = 162 + 9 = 171 = 9 x 19. E
209 é divisível por 19.

É o mesmo processo dos famosos critérios de divisibilidade por 9 e por 11.
E tem aquele semelhante para 3 porque 3^2 = 9.

Pode ser provado pelas propriedades dos polinômios ou por congruências.

Mas, no caso de 13, 19 e mesmo 7, em termos práticos, em nada facilita.

Não sei se há um critério melhor.



Artur Costa Steiner

Em dom, 10 de fev de 2019 20:56, Jeferson Almir  Considere um número de 4 algarismos da forma 70J7
>
> i) quais o valores de J para que o número seja divisível por 13 ?
>
> ii ) quais os valores de J para que o número seja divisível por 19 ?
>
> Uma vez que eu não faço ideia  quais são  os critérios de divisibilidade
> por 13 e por 19, o algoritmo da divisão resolveria de alguma forma esse
> problema ?? Ou existe outra forma de fazer sem usar o critério ???
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Divisibilidade por 13 e 19

[Raphael Aureliano]

Boa noite!

Utiliza congruência.

70J7 deve ser congruente a 0 mod13, logo :

7007+J0 == 0 mod13

(7^2).13.11+J0== 0mod13

J0==0mod13 <=> J=0

De modo análogo para 19:


7007+J0 == 0 mod19

15+J0==0mod19 <=> J=8


Raphael Aureliano

Deck Officer | Full DPO
Naval Engineering Specialist
Maritime Law Specialist

+55 21 98247-0869


Em dom, 10 de fev de 2019 20:56, Jeferson Almir  Considere um número de 4 algarismos da forma 70J7
>
> i) quais o valores de J para que o número seja divisível por 13 ?
>
> ii ) quais os valores de J para que o número seja divisível por 19 ?
>
> Uma vez que eu não faço ideia  quais são  os critérios de divisibilidade
> por 13 e por 19, o algoritmo da divisão resolveria de alguma forma esse
> problema ?? Ou existe outra forma de fazer sem usar o critério ???
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Divisibilidade por 13 e 19

[Jeferson Almir]

Considere um número de 4 algarismos da forma 70J7

i) quais o valores de J para que o número seja divisível por 13 ?

ii ) quais os valores de J para que o número seja divisível por 19 ?

Uma vez que eu não faço ideia  quais são  os critérios de divisibilidade
por 13 e por 19, o algoritmo da divisão resolveria de alguma forma esse
problema ?? Ou existe outra forma de fazer sem usar o critério ???

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Claudio Buffara]

A soma é igual a:
1+1/2+1/3+ ...+1/480 - 3*(1+1/3+1/6+ ... +1/480) =
1+1/2+1/3+...+1/480 - (1+1/2+1/3+...+1/160) =
1/161+1/162+...+1/479+1/480
Agrupando pelas extremidades...
(1/161+1/480) + (1/162+1/479) + ... + (1/320+1/321) =
641/(161*480) + 641/(162*479) + ... + 641/(320*321) =
641*(1/(161*480) + 1/(162*479) + ... + 1/(320*321)) =
641*M/N, onde N = 161*162*...*480
Como 641 é primo, não é cancelado por nenhum fator de N.
Logo, o numerador desta fração é divisível por 641.

[]s,
Claudio.



On Mon, Oct 8, 2018 at 6:50 PM Daniel Quevedo  wrote:

> Alguém conseguiu fazer?
>
> Em seg, 1 de out de 2018 às 10:37, Daniel Quevedo 
> escreveu:
>
>> Foi mal Cláudio d fato é -2/480 ... como digitei do celular sem querer
>> esbarrei no número errado.
>> Quanto ao fim da mensagem, o e-mail escreve automaticamente, vou
>> consertar isso quando estiver no PC, nem reparei rs
>>
>> Em seg, 1 de out de 2018 às 10:23, Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Bom dia! Tenho uma dúvida: por que, em toda questão que você posta, está
>>> escrito embaixo "Fiscal: Daniel Quevedo" ?
>>>
>>> Outra dúvida: a última parcela é mesmo -1/480 ou será que é -2/480?
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>>
>>>
>>> On Mon, Oct 1, 2018 at 9:20 AM Daniel Quevedo 
>>> wrote:
>>>
 Se p é q são inteiros positivos tais que
 P/q = 1 + 1/2 - 2/3 +1/4 + 1/5 - 2/6 + ... + 1/478 + 1/479 - 1/480

 Podemos afirmar que p é divisível por:
 A) 239
 B) 257
 C) 373
 D) 419
 E) 641

 R: a
 --
 Fiscal: Daniel Quevedo

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>
>
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Daniel Quevedo]

Alguém conseguiu fazer?

Em seg, 1 de out de 2018 às 10:37, Daniel Quevedo 
escreveu:

> Foi mal Cláudio d fato é -2/480 ... como digitei do celular sem querer
> esbarrei no número errado.
> Quanto ao fim da mensagem, o e-mail escreve automaticamente, vou consertar
> isso quando estiver no PC, nem reparei rs
>
> Em seg, 1 de out de 2018 às 10:23, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Bom dia! Tenho uma dúvida: por que, em toda questão que você posta, está
>> escrito embaixo "Fiscal: Daniel Quevedo" ?
>>
>> Outra dúvida: a última parcela é mesmo -1/480 ou será que é -2/480?
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>>
>>
>> On Mon, Oct 1, 2018 at 9:20 AM Daniel Quevedo 
>> wrote:
>>
>>> Se p é q são inteiros positivos tais que
>>> P/q = 1 + 1/2 - 2/3 +1/4 + 1/5 - 2/6 + ... + 1/478 + 1/479 - 1/480
>>>
>>> Podemos afirmar que p é divisível por:
>>> A) 239
>>> B) 257
>>> C) 373
>>> D) 419
>>> E) 641
>>>
>>> R: a
>>> --
>>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>


-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Daniel Quevedo]

Foi mal Cláudio d fato é -2/480 ... como digitei do celular sem querer
esbarrei no número errado.
Quanto ao fim da mensagem, o e-mail escreve automaticamente, vou consertar
isso quando estiver no PC, nem reparei rs

Em seg, 1 de out de 2018 às 10:23, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Bom dia! Tenho uma dúvida: por que, em toda questão que você posta, está
> escrito embaixo "Fiscal: Daniel Quevedo" ?
>
> Outra dúvida: a última parcela é mesmo -1/480 ou será que é -2/480?
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> On Mon, Oct 1, 2018 at 9:20 AM Daniel Quevedo  wrote:
>
>> Se p é q são inteiros positivos tais que
>> P/q = 1 + 1/2 - 2/3 +1/4 + 1/5 - 2/6 + ... + 1/478 + 1/479 - 1/480
>>
>> Podemos afirmar que p é divisível por:
>> A) 239
>> B) 257
>> C) 373
>> D) 419
>> E) 641
>>
>> R: a
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Claudio Buffara]

Bom dia! Tenho uma dúvida: por que, em toda questão que você posta, está
escrito embaixo "Fiscal: Daniel Quevedo" ?

Outra dúvida: a última parcela é mesmo -1/480 ou será que é -2/480?

[]s,
Claudio.



On Mon, Oct 1, 2018 at 9:20 AM Daniel Quevedo  wrote:

> Se p é q são inteiros positivos tais que
> P/q = 1 + 1/2 - 2/3 +1/4 + 1/5 - 2/6 + ... + 1/478 + 1/479 - 1/480
>
> Podemos afirmar que p é divisível por:
> A) 239
> B) 257
> C) 373
> D) 419
> E) 641
>
> R: a
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Divisibilidade

[Daniel Quevedo]

Se p é q são inteiros positivos tais que
P/q = 1 + 1/2 - 2/3 +1/4 + 1/5 - 2/6 + ... + 1/478 + 1/479 - 1/480

Podemos afirmar que p é divisível por:
A) 239
B) 257
C) 373
D) 419
E) 641

R: a
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Olson]

Se fizer por esse método, fica bem fácil. É só dividir 1992/8640, achar
o resto, fazer a diferença entre 8640 e o resto e adicionar esse resultado
no número 1992

Em sex, 25 de mai de 2018 21:22, Otávio Araújo 
escreveu:

> É só calcular o menor inteiro maior ou igual a 1992/8640.
>
> Em sex, 25 de mai de 2018 20:08, Daniel Quevedo 
> escreveu:
>
>> Se N= 1992abcd é divisível por 8640 então N/8640 é igual a:
>>
>> R: 2306
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Otávio Araújo]

É só calcular o menor inteiro maior ou igual a 1992/8640.

Em sex, 25 de mai de 2018 20:08, Daniel Quevedo 
escreveu:

> Se N= 1992abcd é divisível por 8640 então N/8640 é igual a:
>
> R: 2306
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Divisibilidade

[Daniel Quevedo]

Se N= 1992abcd é divisível por 8640 então N/8640 é igual a:

R: 2306
-- 
Fiscal: Daniel Quevedo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Divisibilidade.

[Douglas Oliveira de Lima]

Ola amigos, preciso de uma ajuda aqui, eu vi um teorema ja faz tempo(
alguns anos), gostaria de uma ajuda para prova-lo.

Seja N o número dado e verificar se N é divisível por um número primo .


Passo 1. Se p terminar em 3, 7 ou 9, multiplique p, respectivamente, por 7,
3 e 9, subtraia de 1 e divida a diferença por 10. Se p terminar em 1,
subtraia p de 1 e divida a diferença por 10. Ambos os quocientes vamos
designar por y.


Passo 2. Multiplique y pelo último algarismo de N e subtraia de N sem o
último algari smo. Se a diferença for grande, de tal maneira que não seja
possível reconhecer facilmente se é divisível por  p, repete-se o processo
até que seja possível reconhecer facilmente a divisão por p.

Observação: Se o último algarismo da diferença vezes y for maior que a
diferença, encerra-se o processo, e verifica se a diferença é divisível por
p.


Douglas Oliveira

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade Simultânea (Reformulada)

[Israel Meireles Chrisostomo]

Sim sim eu me confundi desculpe gente!

Em 24 de outubro de 2016 10:44, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
>
> Israel,
>
> é n+1 | m^2 + 1 e m+1 | n^2 + 1 e não o contrário.
>
> Esse problema parece carne de pescoço.
>
> Saudações,
> PJMS.
>
>
> Em 22 de outubro de 2016 13:54, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Opa desculpa errei de novo, mas talvez esse seja um caminho
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:18, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Essa questão está baseado no fato de que se b divide a então divide
>>> qualquer combinação linear de a
>>>
>>> Em 21 de outubro de 2016 22:18, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1)
 o que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)

 Em 21 de outubro de 2016 22:17, Israel Meireles Chrisostomo <
 israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> corrigindo de novo para ficar mais claro:
> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))=m²>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1)
> o que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:15, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))=m²>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1)
>> o que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:12, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Opa troquei foi mal
>>>
>>> Em 21 de outubro de 2016 22:09, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-(m+1))=m²>>(n²+1)|m²-1

 E também
 (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-(n+1))=n²>>(m²+1)|(n²-1)
 Mas se (m²+1)|n²-1então  m²+1<=n²-1>>  m²<=n²-2 o que é absurdo

 Em 21 de outubro de 2016 22:07, Israel Meireles Chrisostomo <
 israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Opa desculpa
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:02, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> absurdo pois (n²+1)|m²
>>
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:01, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-m)=m²>>(n²+1)|m²
>>> E também
>>> (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-n)=n²>>(m²+1)|n²
>>>  Mas se (m²+1)|n²então  m²+1<=n²>>  m²<=n²-1 o que é absurdo
>>>
>>>
>>> Em 18 de outubro de 2016 13:19, Richard Vilhena <
>>> ragnarok.liv...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Depois da observação do Esdras, novamente solicito uma ajuda:

 "É possível encontrar inteiros m > 1, n > 1, tal que (n + 1)|(m
 2 + 1) e simultaneamente (m + 1)|(n2 + 1) ?"

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>>
>>
>

>>>
>>
>

>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade Simultânea (Reformulada)

[Pedro José]

Bom dia!

Israel,

é n+1 | m^2 + 1 e m+1 | n^2 + 1 e não o contrário.

Esse problema parece carne de pescoço.

Saudações,
PJMS.


Em 22 de outubro de 2016 13:54, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Opa desculpa errei de novo, mas talvez esse seja um caminho
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:18, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Essa questão está baseado no fato de que se b divide a então divide
>> qualquer combinação linear de a
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:18, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1)
>>> o que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)
>>>
>>> Em 21 de outubro de 2016 22:17, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 corrigindo de novo para ficar mais claro:
 (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))=m²>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1)
 o que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)

 Em 21 de outubro de 2016 22:15, Israel Meireles Chrisostomo <
 israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))=m²>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1)
> o que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:12, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Opa troquei foi mal
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:09, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-(m+1))=m²>>(n²+1)|m²-1
>>>
>>> E também
>>> (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-(n+1))=n²>>(m²+1)|(n²-1)
>>> Mas se (m²+1)|n²-1então  m²+1<=n²-1>>  m²<=n²-2 o que é absurdo
>>>
>>> Em 21 de outubro de 2016 22:07, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Opa desculpa

 Em 21 de outubro de 2016 22:02, Israel Meireles Chrisostomo <
 israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> absurdo pois (n²+1)|m²
>
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:01, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-m)=m²>>(n²+1)|m²
>> E também
>> (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-n)=n²>>(m²+1)|n²
>>  Mas se (m²+1)|n²então  m²+1<=n²>>  m²<=n²-1 o que é absurdo
>>
>>
>> Em 18 de outubro de 2016 13:19, Richard Vilhena <
>> ragnarok.liv...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Depois da observação do Esdras, novamente solicito uma ajuda:
>>>
>>> "É possível encontrar inteiros m > 1, n > 1, tal que (n + 1)|(m2 +
>>> 1) e simultaneamente (m + 1)|(n2 + 1) ?"
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>

>>>
>>
>

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>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade Simultânea (Reformulada)

[Israel Meireles Chrisostomo]

Opa desculpa errei de novo, mas talvez esse seja um caminho

Em 21 de outubro de 2016 22:18, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Essa questão está baseado no fato de que se b divide a então divide
> qualquer combinação linear de a
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:18, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1) o
>> que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:17, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> corrigindo de novo para ficar mais claro:
>>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))=m²>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1)
>>> o que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)
>>>
>>> Em 21 de outubro de 2016 22:15, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))=m²>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1)
 o que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)

 Em 21 de outubro de 2016 22:12, Israel Meireles Chrisostomo <
 israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Opa troquei foi mal
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:09, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-(m+1))=m²>>(n²+1)|m²-1
>>
>> E também
>> (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-(n+1))=n²>>(m²+1)|(n²-1)
>> Mas se (m²+1)|n²-1então  m²+1<=n²-1>>  m²<=n²-2 o que é absurdo
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:07, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Opa desculpa
>>>
>>> Em 21 de outubro de 2016 22:02, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 absurdo pois (n²+1)|m²


 Em 21 de outubro de 2016 22:01, Israel Meireles Chrisostomo <
 israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-m)=m²>>(n²+1)|m²
> E também
> (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-n)=n²>>(m²+1)|n²
>  Mas se (m²+1)|n²então  m²+1<=n²>>  m²<=n²-1 o que é absurdo
>
>
> Em 18 de outubro de 2016 13:19, Richard Vilhena <
> ragnarok.liv...@gmail.com> escreveu:
>
>> Depois da observação do Esdras, novamente solicito uma ajuda:
>>
>> "É possível encontrar inteiros m > 1, n > 1, tal que (n + 1)|(m2 +
>> 1) e simultaneamente (m + 1)|(n2 + 1) ?"
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>

>>>
>>
>

>>>
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade Simultânea (Reformulada)

[Israel Meireles Chrisostomo]

Essa questão está baseado no fato de que se b divide a então divide
qualquer combinação linear de a

Em 21 de outubro de 2016 22:18, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1) o
> que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:17, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> corrigindo de novo para ficar mais claro:
>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))=m²>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1)
>> o que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:15, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))=m²>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1)
>>> o que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)
>>>
>>> Em 21 de outubro de 2016 22:12, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Opa troquei foi mal

 Em 21 de outubro de 2016 22:09, Israel Meireles Chrisostomo <
 israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-(m+1))=m²>>(n²+1)|m²-1
>
> E também
> (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-(n+1))=n²>>(m²+1)|(n²-1)
> Mas se (m²+1)|n²-1então  m²+1<=n²-1>>  m²<=n²-2 o que é absurdo
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:07, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Opa desculpa
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:02, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> absurdo pois (n²+1)|m²
>>>
>>>
>>> Em 21 de outubro de 2016 22:01, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-m)=m²>>(n²+1)|m²
 E também
 (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-n)=n²>>(m²+1)|n²
  Mas se (m²+1)|n²então  m²+1<=n²>>  m²<=n²-1 o que é absurdo


 Em 18 de outubro de 2016 13:19, Richard Vilhena <
 ragnarok.liv...@gmail.com> escreveu:

> Depois da observação do Esdras, novamente solicito uma ajuda:
>
> "É possível encontrar inteiros m > 1, n > 1, tal que (n + 1)|(m2 +
> 1) e simultaneamente (m + 1)|(n2 + 1) ?"
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



>>>
>>
>

>>>
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade Simultânea (Reformulada)

[Israel Meireles Chrisostomo]

corrigindo de novo para ficar mais claro:
(n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))=m²>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1) o
que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)

Em 21 de outubro de 2016 22:15, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))=m²>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1)
> o que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:12, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Opa troquei foi mal
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:09, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-(m+1))=m²>>(n²+1)|m²-1
>>>
>>> E também
>>> (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-(n+1))=n²>>(m²+1)|(n²-1)
>>> Mas se (m²+1)|n²-1então  m²+1<=n²-1>>  m²<=n²-2 o que é absurdo
>>>
>>> Em 21 de outubro de 2016 22:07, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Opa desculpa

 Em 21 de outubro de 2016 22:02, Israel Meireles Chrisostomo <
 israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> absurdo pois (n²+1)|m²
>
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:01, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-m)=m²>>(n²+1)|m²
>> E também
>> (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-n)=n²>>(m²+1)|n²
>>  Mas se (m²+1)|n²então  m²+1<=n²>>  m²<=n²-1 o que é absurdo
>>
>>
>> Em 18 de outubro de 2016 13:19, Richard Vilhena <
>> ragnarok.liv...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Depois da observação do Esdras, novamente solicito uma ajuda:
>>>
>>> "É possível encontrar inteiros m > 1, n > 1, tal que (n + 1)|(m2 +
>>> 1) e simultaneamente (m + 1)|(n2 + 1) ?"
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>

>>>
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade Simultânea (Reformulada)

[Israel Meireles Chrisostomo]

(n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1) o
que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)

Em 21 de outubro de 2016 22:17, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> corrigindo de novo para ficar mais claro:
> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))=m²>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1)
> o que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:15, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(-m(m+1)+(m+1)(m-1))=m²>>(n²+1)|-(m+1)>>(n²+1)|(m+1)
>> o que é absurdo pois (m + 1)|(n² + 1)
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:12, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Opa troquei foi mal
>>>
>>> Em 21 de outubro de 2016 22:09, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-(m+1))=m²>>(n²+1)|m²-1

 E também
 (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-(n+1))=n²>>(m²+1)|(n²-1)
 Mas se (m²+1)|n²-1então  m²+1<=n²-1>>  m²<=n²-2 o que é absurdo

 Em 21 de outubro de 2016 22:07, Israel Meireles Chrisostomo <
 israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Opa desculpa
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:02, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> absurdo pois (n²+1)|m²
>>
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:01, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-m)=m²>>(n²+1)|m²
>>> E também
>>> (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-n)=n²>>(m²+1)|n²
>>>  Mas se (m²+1)|n²então  m²+1<=n²>>  m²<=n²-1 o que é absurdo
>>>
>>>
>>> Em 18 de outubro de 2016 13:19, Richard Vilhena <
>>> ragnarok.liv...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Depois da observação do Esdras, novamente solicito uma ajuda:

 "É possível encontrar inteiros m > 1, n > 1, tal que (n + 1)|(m2 +
 1) e simultaneamente (m + 1)|(n2 + 1) ?"

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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>>
>>
>

>>>
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade Simultânea (Reformulada)

[Israel Meireles Chrisostomo]

Opa troquei foi mal

Em 21 de outubro de 2016 22:09, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-(m+1))=m²>>(n²+1)|m²-1
>
> E também
> (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-(n+1))=n²>>(m²+1)|(n²-1)
> Mas se (m²+1)|n²-1então  m²+1<=n²-1>>  m²<=n²-2 o que é absurdo
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:07, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Opa desculpa
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:02, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> absurdo pois (n²+1)|m²
>>>
>>>
>>> Em 21 de outubro de 2016 22:01, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-m)=m²>>(n²+1)|m²
 E também
 (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-n)=n²>>(m²+1)|n²
  Mas se (m²+1)|n²então  m²+1<=n²>>  m²<=n²-1 o que é absurdo


 Em 18 de outubro de 2016 13:19, Richard Vilhena <
 ragnarok.liv...@gmail.com> escreveu:

> Depois da observação do Esdras, novamente solicito uma ajuda:
>
> "É possível encontrar inteiros m > 1, n > 1, tal que (n + 1)|(m2 + 1)
> e simultaneamente (m + 1)|(n2 + 1) ?"
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



>>>
>>
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade Simultânea (Reformulada)

[Israel Meireles Chrisostomo]

(n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-(m+1))=m²>>(n²+1)|m²-1

E também
(m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-(n+1))=n²>>(m²+1)|(n²-1)
Mas se (m²+1)|n²-1então  m²+1<=n²-1>>  m²<=n²-2 o que é absurdo

Em 21 de outubro de 2016 22:07, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Opa desculpa
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:02, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> absurdo pois (n²+1)|m²
>>
>>
>> Em 21 de outubro de 2016 22:01, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-m)=m²>>(n²+1)|m²
>>> E também
>>> (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-n)=n²>>(m²+1)|n²
>>>  Mas se (m²+1)|n²então  m²+1<=n²>>  m²<=n²-1 o que é absurdo
>>>
>>>
>>> Em 18 de outubro de 2016 13:19, Richard Vilhena <
>>> ragnarok.liv...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Depois da observação do Esdras, novamente solicito uma ajuda:

 "É possível encontrar inteiros m > 1, n > 1, tal que (n + 1)|(m2 + 1)
 e simultaneamente (m + 1)|(n2 + 1) ?"

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>>
>>
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade Simultânea (Reformulada)

[Israel Meireles Chrisostomo]

Opa desculpa

Em 21 de outubro de 2016 22:02, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> absurdo pois (n²+1)|m²
>
>
> Em 21 de outubro de 2016 22:01, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-m)=m²>>(n²+1)|m²
>> E também
>> (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-n)=n²>>(m²+1)|n²
>>  Mas se (m²+1)|n²então  m²+1<=n²>>  m²<=n²-1 o que é absurdo
>>
>>
>> Em 18 de outubro de 2016 13:19, Richard Vilhena <
>> ragnarok.liv...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Depois da observação do Esdras, novamente solicito uma ajuda:
>>>
>>> "É possível encontrar inteiros m > 1, n > 1, tal que (n + 1)|(m2 + 1) e
>>> simultaneamente (m + 1)|(n2 + 1) ?"
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>

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[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade Simultânea (Reformulada)

[Israel Meireles Chrisostomo]

absurdo pois (n²+1)|m²


Em 21 de outubro de 2016 22:01, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> (n²+1)|(m+1)>>(n²+1)|(m(m+1)-m)=m²>>(n²+1)|m²
> E também
> (m²+1)|(n+1)>>(m²+1)|(n(n+1)-n)=n²>>(m²+1)|n²
>  Mas se (m²+1)|n²então  m²+1<=n²>>  m²<=n²-1 o que é absurdo
>
>
> Em 18 de outubro de 2016 13:19, Richard Vilhena  > escreveu:
>
>> Depois da observação do Esdras, novamente solicito uma ajuda:
>>
>> "É possível encontrar inteiros m > 1, n > 1, tal que (n + 1)|(m2 + 1) e
>> simultaneamente (m + 1)|(n2 + 1) ?"
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>

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[obm-l] Divisibilidade Simultânea (Reformulada)

[Richard Vilhena]

Depois da observação do Esdras, novamente solicito uma ajuda:

"É possível encontrar inteiros m > 1, n > 1, tal que (n + 1)|(m2 + 1) e
simultaneamente (m + 1)|(n2 + 1) ?"

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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Re: [obm-l] Divisibilidade Simultânea

[Carlos Watanabe]

Já tentou m=1 e n=1?Att,Carlos


  De: Richard Vilhena <ragnarok.liv...@gmail.com>
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
 Enviadas: Segunda-feira, 17 de Outubro de 2016 21:33
 Assunto: [obm-l] Divisibilidade Simultânea
   
Gostaria que uma ajuda. Obrigado!
É possível encontrar inteiros m > 0, n > 0, tal que (n + 1)|(m2 + 1) e 
simultaneamente (m + 1)|(n2 + 1) ?

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-- 
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RE: [obm-l] Divisibilidade Simultânea

[Esdras Muniz]

Sim, m = n =1.

-Mensagem Original-
De: "Richard Vilhena" <ragnarok.liv...@gmail.com>
Enviada em: ‎17/‎10/‎2016 20:41
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] Divisibilidade Simultânea

Gostaria que uma ajuda. Obrigado!


É possível encontrar inteiros m > 0, n > 0, tal que (n + 1)|(m2 + 1) e 
simultaneamente (m + 1)|(n2 + 1) ?


-- 
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[obm-l] Divisibilidade Simultânea

[Richard Vilhena]

Gostaria que uma ajuda. Obrigado!

É possível encontrar inteiros m > 0, n > 0, tal que (n + 1)|(m2 + 1) e
simultaneamente (m + 1)|(n2 + 1) ?

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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Re: [obm-l] divisibilidade

[Pedro José]

Bom dia!

Se a e b fossem inteiros positivos, aí era fácil deduzir que haveria um a
mínimo.
Inclusive se a < 0 ==> a/2 > a.

Mas o pensamento do Douglas é legal, vou pegar uma carona.

Seja x =(36a+b) (6b+a) com a e b inteiros.


É fácil provar que : x<> 1 e x<> 4 ==> x >= 8.

Existe um x mínimo. Sejam ao e bo um par que acarrete xmin, ou seja, xmin =
(36ao+bo) (36bo+ao)

Logo ao/2 e bo2 ==> x = xmin/4; como xmin=2^k e k>=3 ==> x=x^(k-2) e também
é potência de 2.

Mas x < xmin, absurdo.


Saudações,
PJMS



Em 10 de outubro de 2016 19:58, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Olá Marcone, eu acredito que chamar a de 2^m e b de 2^n é uma solução
> particular, logo acho que você poderia escrever
> a=r.2^m e b=s.2^n com m e n sendo ímpares e tentar uma solução que com
> certeza você vai conseguir.
>
> Agora uma outra solução pode ser a seguinte:
> Vamos considerar que exista uma solução contradizendo o enunciado,
> portanto, vamos tomar a<=b sendo "a" o menor possível.
> E como você já disse cada uma das expressões 36a+b e 36b+a são potências
> de 2 , logo 4 divide a e 4 divide b, assim a/2 e b/2
> é a nossa menor solução possível, com a/2
> Abraços
>
> Douglas Oliveira.
>
> Em 10 de outubro de 2016 17:17, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Mostre que, para quaisquer a e b inteiros, o produto (36a + b)(36b + a)
>> não pode ser uma potência de base 2.
>>
>>
>> a e b são pares e ainda mais: são potências de base 2, certo?
>>
>> se a = b, 37 divide o tal produto, então a diferente de b
>>
>> Considerando a = 2^m e b = 2^n e fatorando a expressão lé de cima,
>> encontramos um fator ímpar.
>>
>> Gostaria de saber se esse caminho é correto ou que alguém mostrasse uma
>> solução diferente.
>>
>> Desde já agradeço.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
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[obm-l] divisibilidade

[marcone augusto araújo borges]

Mostre que, para quaisquer a e b inteiros, o produto (36a + b)(36b + a) não 
pode ser uma potência de base 2.


a e b são pares e ainda mais: são potências de base 2, certo?

se a = b, 37 divide o tal produto, então a diferente de b

Considerando a = 2^m e b = 2^n e fatorando a expressão lé de cima, encontramos 
um fator ímpar.

Gostaria de saber se esse caminho é correto ou que alguém mostrasse uma solução 
diferente.

Desde já agradeço.

-- 
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Re: [obm-l] divisibilidade

[Jefferson Franca]

Muito obrigado. Tentei separar os números de outra forma, talvez por isso não 
tenha enxergado outro caminho. Vacilo!Novamente obrigado Esdras.AttJefferson 


 Em Quarta-feira, 8 de Abril de 2015 16:24, Esdras Muniz 
esdrasmunizm...@gmail.com escreveu:
   

 999+1999000=11998999 =12x10⁶-1001=12x10⁶+3000-4000+1=(3000-1)(4000+1).
Em 8 de abril de 2015 12:04, Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br escreveu:

Fiquei boa parte da madrugada tentando desvendar esse santo mistério: Mostre 
que o número 999+ 1999000 não é primo, ou seja, é composto.Será que alguém 
sabe como resolver esse problema interessante?AttJefferson
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.



-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará



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Re: [obm-l] divisibilidade

[Esdras Muniz]

999+1999000=11998999 =12x10⁶-1001=12x10⁶+3000-4000+1=(3000-1)(4000+1).

Em 8 de abril de 2015 12:04, Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br
escreveu:

 Fiquei boa parte da madrugada tentando desvendar esse santo mistério:
 Mostre que o número 999+ 1999000 não é primo, ou seja, é composto.
 Será que alguém sabe como resolver esse problema interessante?
 Att
 Jefferson

 --
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-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

-- 
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[obm-l] divisibilidade

[Jefferson Franca]

Fiquei boa parte da madrugada tentando desvendar esse santo mistério: Mostre 
que o número 999+ 1999000 não é primo, ou seja, é composto.Será que alguém 
sabe como resolver esse problema interessante?AttJefferson
-- 
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[obm-l] Divisibilidade

[marcone augusto araújo borges]

Mostrar que,se m e n são inteiros tais que 1999 divide m^2 + n^2, então 1999 
divide m e n
Daria pra fazer isso usando o fato de que 1999 é primo e, além disso, da forma 
4k + 3 e portanto não podeser escrito como soma de dois quadrados?
Eu li o seguinte : Seja p primo e n natural.Se for verdade que n.p pode ser 
escrito como soma de 2 quadradosentão o mesmo é verdade para pO diabo é que a 
demostração do lema acima eu achei complexa e não entendi bem.  

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[obm-l] Divisibilidade

[marcone augusto araújo borges]

Eu agradeço ao Pedro e ao Bernardo pelas intervenções.Na página 58 da Eureka 29 
tem uma solução bem interssanteda questão ``Determne todos os inteiros positivs 
k tais que existeminteiros positivos x,y,z com (x^2 + y^2 + z^2)/xyz = k´´  
  
-- 
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Re: [obm-l] Divisibilidade

[Pedro José]

Boa noite!
A mim não tem que gradecer. Dei a maior derrapada. Lamento.
Saudações,
PJMS


Em 16 de agosto de 2014 17:57, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Eu agradeço ao Pedro e ao Bernardo pelas intervenções.
 Na página 58 da Eureka 29 tem uma solução bem interssante
 da questão ``Determne todos os inteiros positivs k tais que existem
 inteiros positivos x,y,z com (x^2 + y^2 + z^2)/xyz = k´´

 --
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[obm-l] Divisibilidade

[marcone augusto araújo borges]

Sejam 2n+1 e 3n+1 ambos quadrados perfeitos.Mostre que n é divisível por 40
 
 



  


  


  


  


 
 



  


  


  


  


vou mostrar como pensei e,ainda que esteja certo,peço que alguem mostre,por 
gentileza,outra abordagem
n é par pois para n impar teriamos 2n +1 = 4k+3,e um quadrado não é dessa 
forma,entao 3n+1 é imparcomo 2n+1 e 3n+1 sao quadrados impares,deixam resto 1 
quando divididos por 8,entao n = (3n+1) - (2n+1),diferença desses quadrados,é 
multiplo de 8 (1)Por outro lado, a soma desses quadrados,5n +2,deixa resto 2 
quando dividida por 5,o que ocorre apenas se cada um desses quadrados for da 
forma 5K +1,dai,a diferençadeles é um multiplo de 5,entao n é multiplo de 5  
(2)De (1) e de (2) segue que n é multiplo de 40
 
  
-- 
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Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência)

[Artur Costa Steiner]

O Bernardo já mostrou que m + n é múltiplo de 3. Resta mostrar que é também 
múltiplo de 8. Pelo mesmo raciocínio, mn = -1 (mod 8). Para que isto seja 
possível, um dos números m e n tem que ser congruente a 1 módulo 8 e, o outro, 
congruente a -1. Logo, m + n = 1 + (-1) = 0 (mod 8), ou seja,  m + n é múltiplo 
de 8

Artur Costa Steiner

Em 10/07/2013, às 22:17, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Sejam m e n dois números naturais tais que mn + 1 é multiplo de 24.
 Mostre que m + n tambem é múltiplo de 24.
 
 Se possivel,gostaria que alguem resolvesse por congruencia.Obrigado.
 
 -- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência)

[Lucas Prado Melo]

2013/7/11 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com

 O Bernardo já mostrou que m + n é múltiplo de 3. Resta mostrar que é
 também múltiplo de 8. Pelo mesmo raciocínio, mn = -1 (mod 8). Para que isto
 seja possível, um dos números m e n tem que ser congruente a 1 módulo 8 e,
 o outro, congruente a -1. Logo, m + n = 1 + (-1) = 0 (mod 8), ou seja,  m +
 n é múltiplo de 8

 m poderia ser 3 e n ser 5.

3*5 = 15 = 16 - 1 = -1 (mod 8)

-- 
[]'s
Lucas

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Divisibilidade(congruência)

[marcone augusto araújo borges]

Sejam m e n dois números naturais tais que mn + 1 é multiplo de 24.
 
 



  


  


  


  


 
 



  


  


  


  

Mostre que m + n tambem é múltiplo de 24.
Se possivel,gostaria que alguem resolvesse por congruencia.Obrigado.
  
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência)

[Eduardo Wilner]

A formulação não está correta; contra-exemplo : m=3 e n= 9

[ ]'s





 De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br 
Enviadas: Quarta-feira, 10 de Julho de 2013 22:17
Assunto: [obm-l] Divisibilidade(congruência)
 


 
Sejam m e n dois números naturais tais que mn + 1 é multiplo de 24.
Mostre que m + n tambem é múltiplo de 24.

Se possivel,gostaria que alguem resolvesse por congruencia.Obrigado.
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência)

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/7/11 Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br

 A formulação não está correta; contra-exemplo : m=3 e n= 9

3*9 = 27, mais um, 28. Não vejo problema.

 De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br
 Enviadas: Quarta-feira, 10 de Julho de 2013 22:17
 Assunto: [obm-l] Divisibilidade(congruência)

 Sejam m e n dois números naturais tais que mn + 1 é multiplo de 24.
 Mostre que m + n tambem é múltiplo de 24.

 Se possivel,gostaria que alguem resolvesse por congruencia.Obrigado.

Vou mostrar a parte divisível por 3, você faz a por 8: como 3
divide mn + 1, temos que nem m nem n são divisíveis por 3, logo valem
1 ou 2 módulo 3. Mas note que se m*n = -1 mod 3, então não pode
ocorrer m=n mod 3 (porque então m*n seria 1 mod 3). Assim, m = 1, n =
2, ou o contrário. Logo, m+n = 1+2 = 0 mod 3.

--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência)

[Eduardo Wilner]

Desculpem, desconsiderem ; confundí 24 com 14 (deve ser o sono às duas da 
madruga...)

Boa noite



 


A formulação não está correta; contra-exemplo : m=3 e n= 9

[ ]'s





 De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br 
Enviadas: Quarta-feira, 10 de Julho de 2013 22:17
Assunto: [obm-l] Divisibilidade(congruência)
 


 
Sejam m e n dois números naturais tais que mn + 1 é multiplo de 24.
Mostre que m + n tambem é múltiplo de 24.

Se possivel,gostaria que alguem resolvesse por congruencia.Obrigado.
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/4/18 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
 Mostrar que  m = n^5 - n é divisível por 30

 Alguém resolveria por indução?
Manda um binômio de Newton em (n+1)^5, e pela hipótese de indução,
resta mostrar que

C(5,1) n + C(5,2)n^2 + C(5,3)n^3 + C(5,4)n^4 é divisível por 30.
Explicitando isso daí, você obtém:

5(n + 2n^2 + 2n^3 + n^4), que é divisível por 5 (claro!) e por 2
(número par de termos de mesma paridade que n). Pra ver módulo 3,
Fermat nele, n^3 == n, logo o treco vira

5(n + 2n^2 + 2n + n^2) = 5(3n + 3n^3), e fim.
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)

[Mauricio de Araujo]

fatorando: n5-n = n(n4-1) = n(n2+1)(n+1)(n-1)...

temos 3 números consecutivos = multiplo de 2 e 3

note agora que n(n4-1) é ´multiplo de 5 pois:

ou n é múltiplo de 5 ou
n4-1 mas n4-1 é múltiplo de 5 sempre que n não o for... use
congruencia...

n=1 (mod5) = n4=1(mod5);
n=2(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5);
n=3(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5);
n=4(mod5) = n4=1(mod5)...

Logo n5-n é múltiplo de 2, 3 e 5 ou seja, múltiplo de 30

CQD.


2013/4/18 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

 Mostrar que  m = n^5 - n é divisível por 30

 Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3.
 Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das
 unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de 10,e ai
 acaba.
 Fui tentar por indução também e ai complicou.
 Alguém resolveria por indução?


 --
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-- 
Abraços

oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
*momentos excepcionais pedem ações excepcionais.*
*A primeira vez é sempre a última chance.*

-- 
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)

[Nehab]

Oi, Mauricio,

Apenas uma obs para evitar congruências (em seu argumento de 
divisibilidade por 5) e, assim, tornar a questão accessível para quem 
não aprendeu este conteúdo:


A partir de sua fatoração n(n^4 - 1), por exemplo, eu usaria o seguinte 
argumento:


- O último algarismo de n^4 possui periodicidade 1, 2 ou 4, qqs o último 
algarismo final de n (fácil de mostrar para a garotada através de uma 
tabelinha)...
- Tais potências (expoente 4) sempre terminarão em 1, 5 ou 6; logo, se n 
não terminar em 5, tal último algarismo, menos 1 será 5...


Este tipo de argumento resolve vários problemas olímpicos mais simples 
de forma mais intuitiva.


Abraços
Nehab

On 18/04/2013 14:00, Mauricio de Araujo wrote:

fatorando: n5-n = n(n4-1) = n(n2+1)(n+1)(n-1)...

temos 3 números consecutivos = multiplo de 2 e 3

note agora que n(n4-1) é ´multiplo de 5 pois:

ou n é múltiplo de 5 ou
n4-1 mas n4-1 é múltiplo de 5 sempre que n não o for... use 
congruencia...


n=1 (mod5) = n4=1(mod5);
n=2(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5);
n=3(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5);
n=4(mod5) = n4=1(mod5)...

Logo n5-n é múltiplo de 2, 3 e 5 ou seja, múltiplo de 30

CQD.


2013/4/18 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com 
mailto:marconeborge...@hotmail.com


Mostrar que  m = n^5 - n é divisível por 30
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Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3.
Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das
unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de
10,e ai acaba.
Fui tentar por indução também e ai complicou.
Alguém resolveria por indução?

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--
Abraços

oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
/momentos excepcionais pedem ações excepcionais./
/A primeira vez é sempre a última chance./

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo. 



--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)

[Artur Costa Steiner]

m = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)

Como n - 1, n e  n + 1 são inteiros consecutivos, pelo menos um deles é par e 
um deles é divisível por 3. Logo, m é divisível por 6.

Se n for múltiplo de 5, m também é. Se não for, 5 é um primo que não divide n. 
Logo, pelo pequeno teorema de Fermat, temos novamente que m é divisível por 5. 

Assim, m é divisível  por 30.

Abraços.

Artur Costa Steiner

Em 18/04/2013, às 11:40, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Mostrar que  m = n^5 - n é divisível por 30
 
 Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3.
 Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das
 unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de 10,e ai acaba.
 Fui tentar por indução também e ai complicou.
 Alguém resolveria por indução?
   
 
 -- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)

[Ralph Teixeira]

Ou, para evitar totalmente congruências e coisas assim, note que
n^2+1=(n+2)(n-2)+5. Então:

n^5-n=(n-1)n(n+1)(n^2+1)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)

O primeiro termo tem 5 números consecutivos, então é divisível por 2, 3 e
5. O segundo tem 3 números consecutivos e aquele fator 5, então também é.

Abraço,
Ralph


2013/4/18 Nehab carlos.ne...@gmail.com

  Oi, Mauricio,

 Apenas uma obs para evitar congruências (em seu argumento de
 divisibilidade por 5) e, assim, tornar a questão accessível para quem não
 aprendeu este conteúdo:

 A partir de sua fatoração n(n^4 - 1), por exemplo, eu usaria o seguinte
 argumento:

 - O último algarismo de n^4 possui periodicidade 1, 2 ou 4, qqs o último
 algarismo final de n (fácil de mostrar para a garotada através de uma
 tabelinha)...
 - Tais potências (expoente 4) sempre terminarão em 1, 5 ou 6; logo, se n
 não terminar em 5, tal último algarismo, menos 1 será 5...

 Este tipo de argumento resolve vários problemas olímpicos mais simples de
 forma mais intuitiva.

 Abraços
 Nehab

 On 18/04/2013 14:00, Mauricio de Araujo wrote:

  fatorando: n5-n = n(n4-1) = n(n2+1)(n+1)(n-1)...

  temos 3 números consecutivos = multiplo de 2 e 3

  note agora que n(n4-1) é ´multiplo de 5 pois:

  ou n é múltiplo de 5 ou
 n4-1 mas n4-1 é múltiplo de 5 sempre que n não o for... use
 congruencia...

  n=1 (mod5) = n4=1(mod5);
 n=2(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5);
 n=3(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5);
 n=4(mod5) = n4=1(mod5)...

  Logo n5-n é múltiplo de 2, 3 e 5 ou seja, múltiplo de 30

  CQD.


 2013/4/18 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

  Mostrar que  m = n^5 - n é divisível por 30

  Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3.
 Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das
 unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de 10,e ai
 acaba.
 Fui tentar por indução também e ai complicou.
 Alguém resolveria por indução?


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  --
  Abraços

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 *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.*
  *A primeira vez é sempre a última chance.*

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)

[Mauricio de Araujo]

Tens razão, Carlos!

à propósito, queria te parabenizar pelo material referente a médias e
desigualdades que está no scribd e que encontrei recentemente... muito
didático.

Grande abraço.


2013/4/18 Nehab carlos.ne...@gmail.com

  Oi, Mauricio,

 Apenas uma obs para evitar congruências (em seu argumento de
 divisibilidade por 5) e, assim, tornar a questão accessível para quem não
 aprendeu este conteúdo:

 A partir de sua fatoração n(n^4 - 1), por exemplo, eu usaria o seguinte
 argumento:

 - O último algarismo de n^4 possui periodicidade 1, 2 ou 4, qqs o último
 algarismo final de n (fácil de mostrar para a garotada através de uma
 tabelinha)...
 - Tais potências (expoente 4) sempre terminarão em 1, 5 ou 6; logo, se n
 não terminar em 5, tal último algarismo, menos 1 será 5...

 Este tipo de argumento resolve vários problemas olímpicos mais simples de
 forma mais intuitiva.

 Abraços
 Nehab

 On 18/04/2013 14:00, Mauricio de Araujo wrote:

  fatorando: n5-n = n(n4-1) = n(n2+1)(n+1)(n-1)...

  temos 3 números consecutivos = multiplo de 2 e 3

  note agora que n(n4-1) é ´multiplo de 5 pois:

  ou n é múltiplo de 5 ou
 n4-1 mas n4-1 é múltiplo de 5 sempre que n não o for... use
 congruencia...

  n=1 (mod5) = n4=1(mod5);
 n=2(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5);
 n=3(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5);
 n=4(mod5) = n4=1(mod5)...

  Logo n5-n é múltiplo de 2, 3 e 5 ou seja, múltiplo de 30

  CQD.


 2013/4/18 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

  Mostrar que  m = n^5 - n é divisível por 30

  Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3.
 Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das
 unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de 10,e ai
 acaba.
 Fui tentar por indução também e ai complicou.
 Alguém resolveria por indução?


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[obm-l] Divisibilidade(agradecendo)

[marcone augusto araújo borges]

Mesmo para uma questão considerada simples,vcs da lista sempre têm algo 
interessante para mostrar,uma abordagem diferente.Obrigado mais uma vez.
  
-- 
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)

[Nehab]

Ora, ora,

Seu comentário me deixa muito, mas muito feliz.  Mas eu achei que eu 
estava bem escondidinho!
Na verdade, há centenas de materiais disponíveis para a turma mais 
afiada, mas pouquíssimo material para você motivar a gurizada.
E foi essa a intenção do referido texto e é também a de outros textos 
que eu não publiquei.

E, hoje, ando um pouco preguiçoso, pois meu maior barato é curtir netos.
Mas mais uma meia dúzia de incentivos desses publico tudo e ainda 
escrevo mais ! Hahaha.


Grande abraço,
Nehab


On 18/04/2013 16:27, Mauricio de Araujo wrote:

Tens razão, Carlos!

à propósito, queria te parabenizar pelo material referente a médias e 
desigualdades que está no scribd e que encontrei recentemente... muito 
didático.


Grande abraço.


2013/4/18 Nehab carlos.ne...@gmail.com mailto:carlos.ne...@gmail.com

Oi, Mauricio,

Apenas uma obs para evitar congruências (em seu argumento de
divisibilidade por 5) e, assim, tornar a questão accessível para
quem não aprendeu este conteúdo:

A partir de sua fatoração n(n^4 - 1), por exemplo, eu usaria o
seguinte argumento:

- O último algarismo de n^4 possui periodicidade 1, 2 ou 4, qqs o
último algarismo final de n (fácil de mostrar para a garotada
através de uma tabelinha)...
- Tais potências (expoente 4) sempre terminarão em 1, 5 ou 6;
logo, se n não terminar em 5, tal último algarismo, menos 1 será 5...

Este tipo de argumento resolve vários problemas olímpicos mais
simples de forma mais intuitiva.

Abraços
Nehab

On 18/04/2013 14:00, Mauricio de Araujo wrote:

fatorando: n5-n = n(n4-1) = n(n2+1)(n+1)(n-1)...

temos 3 números consecutivos = multiplo de 2 e 3

note agora que n(n4-1) é ´multiplo de 5 pois:

ou n é múltiplo de 5 ou
n4-1 mas n4-1 é múltiplo de 5 sempre que n não o for... use
congruencia...

n=1 (mod5) = n4=1(mod5);
n=2(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5);
n=3(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5);
n=4(mod5) = n4=1(mod5)...

Logo n5-n é múltiplo de 2, 3 e 5 ou seja, múltiplo de 30

CQD.


2013/4/18 marcone augusto araújo borges
marconeborge...@hotmail.com mailto:marconeborge...@hotmail.com

Mostrar que  m = n^5 - n é divisível por 30
[Upload Photo to Facebook]
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[Google+]
[Twitt]
[Send by Gmail]

Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3.
Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das
unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo
de 10,e ai acaba.
Fui tentar por indução também e ai complicou.
Alguém resolveria por indução?

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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(questão simples)

[faraujocosta]

Como faço para conseguir esse material?

Enviado via iPhone

Em 18/04/2013, às 22:18, Nehab carlos.ne...@gmail.com escreveu:

 Ora, ora,
 
 Seu comentário me deixa muito, mas muito feliz.  Mas eu achei que eu estava 
 bem escondidinho!
 Na verdade, há centenas de materiais disponíveis para a turma mais afiada, 
 mas pouquíssimo material para você motivar a gurizada.
 E foi essa a intenção do referido texto e é também a de outros textos que 
 eu não publiquei.
 E, hoje, ando um pouco preguiçoso, pois meu maior barato é curtir netos.
 Mas mais uma meia dúzia de incentivos desses publico tudo e ainda escrevo 
 mais ! Hahaha.
 
 Grande abraço,
 Nehab
 
 
 On 18/04/2013 16:27, Mauricio de Araujo wrote:
 Tens razão, Carlos! 
 
 à propósito, queria te parabenizar pelo material referente a médias e 
 desigualdades que está no scribd e que encontrei recentemente... muito 
 didático.
 
 Grande abraço.
 
 
 2013/4/18 Nehab carlos.ne...@gmail.com
 Oi, Mauricio,
 
 Apenas uma obs para evitar congruências (em seu argumento de 
 divisibilidade por 5) e, assim, tornar a questão accessível para quem 
 não aprendeu este conteúdo:
 
 A partir de sua fatoração n(n^4 - 1), por exemplo, eu usaria o seguinte 
 argumento:
 
 - O último algarismo de n^4 possui periodicidade 1, 2 ou 4, qqs o último 
 algarismo final de n (fácil de mostrar para a garotada através de uma 
 tabelinha)...
 - Tais potências (expoente 4) sempre terminarão em 1, 5 ou 6; logo, se n 
 não terminar em 5, tal último algarismo, menos 1 será 5...
 
 Este tipo de argumento resolve vários problemas olímpicos mais simples de 
 forma mais intuitiva.
 
 Abraços
 Nehab 
 
 On 18/04/2013 14:00, Mauricio de Araujo wrote:
 fatorando: n5-n = n(n4-1) = n(n2+1)(n+1)(n-1)...
 
 temos 3 números consecutivos = multiplo de 2 e 3
 
 note agora que n(n4-1) é ´multiplo de 5 pois:
 
 ou n é múltiplo de 5 ou
 n4-1 mas n4-1 é múltiplo de 5 sempre que n não o for... use 
 congruencia...
 
 n=1 (mod5) = n4=1(mod5);
 n=2(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5);
 n=3(mod5) = n2=-1(mod5) = n4=1(mod5);
 n=4(mod5) = n4=1(mod5)...
 
 Logo n5-n é múltiplo de 2, 3 e 5 ou seja, múltiplo de 30
 
 CQD.
 
 
 2013/4/18 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
 Mostrar que  m = n^5 - n é divisível por 30
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3.
 Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das
 unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de 10,e ai 
 acaba.
 Fui tentar por indução também e ai complicou.
 Alguém resolveria por indução?
 Â Â 
 
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 acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 
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 A primeira vez é sempre a última chance.
 
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[obm-l] RE: [obm-l] Divisibilidade e Congruências

[marcone augusto araújo borges]

Sobre a primeira questao,os quadrados perfeitos sao da forma 4k ou 4k + 1Note 
que 144...4 = 10^n + 4*11...1.(n zeros na primeira parcela e n 1`s na 
segunda)Para n = 2 e n = 3 temos 144 e 1444,respectivamente,quadrados 
perfeitosPara n  3,temos que 144...4 = 1000*10^(n-3) + 4*11...1 = 
4*(250*10^(n-3) + 11...1) = xSuponha que x seja um quadrado perfeito.Então y =  
250*10^(n-3) + 11...1 é tambem quadrado perfeitoObserve que a primeira parcela 
de y(para n  3) é um múltiplo de 4 e a segunda, é um múltiplo de 4 mais 3,pois 
11...111 = 11...100((n-2) 1`s) + 8 + 3,ou seja,y = 4k + 3,daivem uma 
contradição com o fato de que um quadrado perfeito é da forma 4k ou 4k + 
1.Portanto,para n 3,x=144...4 não é quadrado perfeito.Abraço,Marcone. 
 From: athos...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Divisibilidade e Congruências
Date: Thu, 30 Aug 2012 01:39:38 +





Bem, tenho estudado algumas matérias sozinho, e não estou obtendo muito 
sucesso. Graças as meu fracasso, vou começar a mandar questões frequentemente, 
espero que gostem e que me ajudem. Ai vai:
1)Mostre que entre os números da forma:14, 144, 1444, 1, ... , 1444...444os 
únicos quadrados perfeitos são: 144=12² e 1444=38²
2)Encontrar todos os números N de três dígitos em representação decimal, tais 
que N é divisível por 11 e além disso N/11 é igual à soma dos quadrados dos 
dígitos de N.
3)Seja f: N-N uma função tal que:(a) f(1)=0(b) f(2n)= 2n+1(c) 
f(2n+1)=2f(n)Ache uma fórmula não recursiva para f(x)

Obrigado pela atenção, Boa noiteAtt. Athos Cotta Couto  
  

[obm-l] Divisibilidade e Congruências

[Athos Couto]

Bem, tenho estudado algumas matérias sozinho, e não estou obtendo muito 
sucesso. Graças as meu fracasso, vou começar a mandar questões frequentemente, 
espero que gostem e que me ajudem. Ai vai:
1)Mostre que entre os números da forma:14, 144, 1444, 1, ... , 1444...444os 
únicos quadrados perfeitos são: 144=12² e 1444=38²
2)Encontrar todos os números N de três dígitos em representação decimal, tais 
que N é divisível por 11 e além disso N/11 é igual à soma dos quadrados dos 
dígitos de N.
3)Seja f: N-N uma função tal que:(a) f(1)=0(b) f(2n)= 2n+1(c) 
f(2n+1)=2f(n)Ache uma fórmula não recursiva para f(x)

Obrigado pela atenção, Boa noiteAtt. Athos Cotta Couto  
  

RE: [obm-l] divisibilidade(3)

[marcone augusto araújo borges]

Tentei fazer somando e subtraindo termos iguais,mas não consegui.
O colega Douglas,da lista, fez por congruência,ótimo.Mas eu gostaria de 
resolver seguindo sua sugestão,pois não chegamos a ver congruência ainda.
 

 Date: Tue, 21 Aug 2012 15:39:54 -0400
 Subject: Re: [obm-l] divisibilidade(3)
 From: bernardo...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 2012/8/21 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com:
  Mostre,para todo n E N,que
 
  notação: a exp b significa´ a elevado a b´
  a² -a + 1 divide a exp (2n+1) + (a-1) exp (n+2)
 Recorrencia!
 
 Mostre que vale para n=0 (facil!) e depois use que
 x | cx + d = x | d
 para simplificar (voce vai ter que somar e subtrair termos iguais para
 poder fatorar o a^2 - a + 1.
 
 Abracos,
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
  

[obm-l] divisibilidade(3)

[marcone augusto araújo borges]

Mostre,para todo n E N,que

  notação: a exp b significa´ a elevado a b´
a² -a + 1 divide a exp (2n+1) + (a-1) exp (n+2)
  

Re: [obm-l] divisibilidade(3)

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/8/21 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com:
 Mostre,para todo n E N,que

 notação: a exp b significa´ a elevado a b´
 a² -a + 1 divide a exp (2n+1) + (a-1) exp (n+2)
Recorrencia!

Mostre que vale para n=0 (facil!) e depois use que
x | cx + d = x | d
para simplificar (voce vai ter que somar e subtrair termos iguais para
poder fatorar o a^2 - a + 1.

Abracos,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] divisibilidade(3)

[douglas . oliveira]

  

Bom usando congruência, teremos a^2=a-1 mod (aˆ2-a+1), e
substituindo fica


(a^2n).a+(a-1)^(n+2)=[(a-1)^n].a+(a-1)^(n+2)=[(a-1)^n][a+(a-1)^2]=[(a-1)^n](a^2-a+1)
logo como ele é fator sempre será divisível. 

Valeu  

Abs Douglas
Oliveira 

On Tue, 21 Aug 2012 16:43:04 +, marcone augusto araújo
borges wrote: 

 Mostre,para todo n E N,que
 notação: a exp b
significa´ a elevado a b´
 a² -a + 1 divide a exp (2n+1) + (a-1) exp
(n+2)

  

[obm-l] Divisibilidade(2)

[marcone augusto araújo borges]

1)para que valores de a(naturais)

a) a-2 divide a³ + 4?

b) a+3 divide a³- 3?




  

RE: [obm-l] Divisibilidade(2)

[João Maldonado]

(a³+4)/(a-2) = (a³-8+12)/(a-2) = (a²+2a+4) + 12/(a-2) = 12 tem que ser 
divisível por a-2 - a=3, 4, 5, 6, 8, 14
(a³-3)/(a+3) = (a³+27-30)/(a+3) = (a³-3a+9) -30/(a+3) - 30 tem que ser 
divisível por a+3 - a=0, 1, 2, 3, 7, 12
 
[]'s
João
 
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Divisibilidade(2)
Date: Thu, 16 Aug 2012 17:09:49 +





1)para que valores de a(naturais)

a) a-2 divide a³ + 4?

b) a+3 divide a³- 3?





  

Re: [obm-l] Divisibilidade(2)

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/8/16 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com:
 (a³+4)/(a-2) = (a³-8+12)/(a-2) = (a²+2a+4) + 12/(a-2) = 12 tem que ser
 divisível por a-2 - a=3, 4, 5, 6, 8, 14
 (a³-3)/(a+3) = (a³+27-30)/(a+3) = (a³-3a+9) -30/(a+3) - 30 tem que ser
 divisível por a+3 - a=0, 1, 2, 3, 7, 12
Nao esqueca que -1 divide 12, portanto a-2 = -1 = a = 1 tambem vai
servir. E as outras solucoes tambem, eh claro.
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Divisibilidade

[marcone augusto araújo borges]

Mostre q existem infinitos valores de n em N para s quais 8n^2 + 5 é divissível 
por 7 e por 11
Agradeço pela atenção.

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Tiago Miranda]

Eu fiz assim:

7|8n²+5 e 11|8n²+5 logo 77|8n²+5.
Assim, existem a natural (ou inteiro) tal que 77a=8n²+5, tomando a=1 temos
77=8n²+2
n=3 (é uma das possibilidades).
Assim, basta tomarmos n = 77k +3, com k natural (ou inteiro).
!
■
Sem mais.
sds,

Tiago Miranda



Em 15 de agosto de 2012 09:41, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

  Mostre q existem infinitos valores de n em N para s quais 8n^2 + 5 é
 divissível por 7 e por 11
 Agradeço pela atenção.

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Carlos Victor]

Olá Thiago ,

Pense assim :

43x+75y = 38x +76y  + 5x -y

Basta então mostrar que  5x-y é múltiplo de 19 .

5x-y = 5(5x-y) - 2(3x+7y) = 19x - 19y . Como  3x+7y =19k , temos que 43x+
75y também é .

Abraços

Carlos  Victor

Em 11 de maio de 2012 08:25, Thiago Bersch thiago_t...@hotmail.comescreveu:

  Mostre que se [image: 19|3x+7y] então [image: 19|43x+75y]

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Ricardo Teixeira]

Olá

Repare que 13a+11b=14a+14b-(a+3b). Como a+3b é divisível por 7, 13a+11b
também o será.

Teixeira!!

Em 11 de maio de 2012 12:33, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com escreveu:

 2012/5/11 Thiago Bersch thiago_t...@hotmail.com
  Mostre que se 19 | 3x + 7y então 19 | 43x + 75y
 Oi Thiago,

 todos esses problemas de divisibilidades mágicas usam duas coisas:
 - a | a * b para todo b inteiro
 - Se a | X, então ( a | Y = a | X+Y )

 Note que essa última implicação pode (e deve) ser usada com números
 negativos. Assim, se X = p + q, você pode usar Y = -q para deduzir que
 a | p. Daí, é só achar um jeito de ter a | -q, do mesmo jeito que no
 problema do 13 divide

 Bons estudos,
 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

[obm-l] Divisibilidade

[Thiago Bersch]

Mostre que se  então  

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/5/11 Thiago Bersch thiago_t...@hotmail.com
 Mostre que se 19 | 3x + 7y então 19 | 43x + 75y
Oi Thiago,

todos esses problemas de divisibilidades mágicas usam duas coisas:
- a | a * b para todo b inteiro
- Se a | X, então ( a | Y = a | X+Y )

Note que essa última implicação pode (e deve) ser usada com números
negativos. Assim, se X = p + q, você pode usar Y = -q para deduzir que
a | p. Daí, é só achar um jeito de ter a | -q, do mesmo jeito que no
problema do 13 divide

Bons estudos,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Divisibilidade

[marcone augusto araújo borges]

Note que 7 divide 14a + 14b.Como 7 divide (14a + 14b) - (13a + 11b) = a + 
3b,então
7 divide 13a + 11b. 
 



From: thiago_t...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Divisibilidade
Date: Sat, 5 May 2012 02:33:07 -0300




Mostre que se 7 | a + 3b ent˜ao | 13a + 11b

  

[obm-l] Divisibilidade

[Thiago Bersch]

Mostre que se 7 | a + 3b ent˜ao | 13a + 11b
  

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Pedro José]

Belo problema!
Estou andando em círculos.

Em 26/04/12, marcone augusto araújo
borgesmarconeborge...@hotmail.com escreveu:



Parece que sai por indução
 tambem.(vejam as sugestoes de Bernardo e Shine).
  Se agente mostra q vale para 4
 numeros(n=1),supomos q vale para 2^(n+1),
 mostramos q vale para 2^(n+2)
 Tomando 2^(n+2) numeros ,formamos 2 grupos de 2^(n+1) numeros...




 From: marconeborge...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Divisibilidade
 Date: Thu, 26 Apr 2012 13:44:11 +




 Prove que, entre 2^(n+1) números naturais quaisquer,existem 2^n números cuja
 soma é divisível por 2^n

 Eu sei que em uma divisão por 2^n existem 2^n  restos possíveis
 Se em 2^n divisões ocorressem 2^n restos iguais a r,a soma deles seria
 r*2^n,que é divisível por 2^n
 Não sei se conseguiria resolver por congruência,mas eu gostaria de ver uma
 solução por outro caminho.
 Obrigado pela atenção.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Divisibilidade

[marcone augusto araújo borges]

Prove que, entre 2^(n+1) números naturais quaisquer,existem 2^n números cuja 
soma é divisível por 2^n
 
Eu sei que em uma divisão por 2^n existem 2^n  restos possíveis
Se em 2^n divisões ocorressem 2^n restos iguais a r,a soma deles seria 
r*2^n,que é divisível por 2^n
Não sei se conseguiria resolver por congruência,mas eu gostaria de ver uma 
solução por outro caminho.
Obrigado pela atenção.

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/4/26 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com:
 Prove que, entre 2^(n+1) números naturais quaisquer,existem 2^n números cuja
 soma é divisível por 2^n

 Eu sei que em uma divisão por 2^n existem 2^n  restos possíveis
 Se em 2^n divisões ocorressem 2^n restos iguais a r,a soma deles seria
 r*2^n,que é divisível por 2^n
O problema dessa idéia é que você não tem certeza que dá pra fazer de
forma independente...

 Não sei se conseguiria resolver por congruência,mas eu gostaria de ver uma
 solução por outro caminho.
Bom, olhando a questão, parece ser um caso de recorrência. E é mesmo!
(enfim, funciona)

Mostre que é verdade para n = 1. Esse caso é fácil, mas já é a base de tudo...
Agora, tente ver como faz para n = 2. Você tem 8 números
(quaisquer!!!) e você tem que conseguir 4 cuja soma seja divisível por
4. Por indução, você sabe que para cada decomposição 8 = 4+4, você
consegue 2 vezes 2 números cuja soma é divisível por 2. Mas isso não
garante que é divisível por 4!! Podia dar 2 + 0... e aí? A dica é ver
que o caso n = 1 não é optimal...

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Carlos Yuzo Shine]

Pensa assim: entre três, há dois cuja soma é par. Então faça o seguinte 
algoritmo: escolha três caras quaisquer e tome os dois que têm soma par; 
coloque o que sobrou de volta (ficam 2^(n+1) - 2 números) e repita. Com isso, 
você consegue 2^n - 1 pares de números com soma par. Considere as somas: entre 
cada três, há duas somas cuja soma é par e você consegue 2^(n-1) - 1 pares de 
somas (ou seja, conjuntos com quatro elementos) cuja soma é múltipla de 4. Aí é 
só continuar.

[]'s
Shine

PS: Na verdade, é possível provar que entre 2n-1 números há n cuja soma é 
divisível por n. Mas isso é um pouco mais difícil de provar (o caso difícil é n 
primo).



 From: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Thursday, April 26, 2012 10:44 AM
Subject: [obm-l] Divisibilidade
 

 
Prove que, entre 2^(n+1) números naturais quaisquer,existem 2^n números cuja 
soma é divisível por 2^n
 
Eu sei que em uma divisão por 2^n existem 2^n  restos possíveis
Se em 2^n divisões ocorressem 2^n restos iguais a r,a soma deles seria 
r*2^n,que é divisível por 2^n
Não sei se conseguiria resolver por congruência,mas eu gostaria de ver uma 
solução por outro caminho.
Obrigado pela atenção.

RE: [obm-l] Divisibilidade

[marcone augusto araújo borges]

 Parece que sai por indução tambem.(vejam as 
sugestoes de Bernardo e Shine). 
 Se agente mostra q vale para 4 numeros(n=1),supomos q vale 
para 2^(n+1),
mostramos q vale para 2^(n+2)
Tomando 2^(n+2) numeros ,formamos 2 grupos de 2^(n+1) numeros...
 



From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Divisibilidade
Date: Thu, 26 Apr 2012 13:44:11 +




Prove que, entre 2^(n+1) números naturais quaisquer,existem 2^n números cuja 
soma é divisível por 2^n
 
Eu sei que em uma divisão por 2^n existem 2^n  restos possíveis
Se em 2^n divisões ocorressem 2^n restos iguais a r,a soma deles seria 
r*2^n,que é divisível por 2^n
Não sei se conseguiria resolver por congruência,mas eu gostaria de ver uma 
solução por outro caminho.
Obrigado pela atenção.
  

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Henrique Rennó]

Vi que para o expoente 4p:

p = 1: 99*101 = , pois temos 99 + 9900.
p = 2: 990099 = , pois temos 990099 + 99009900.
Seguindo o mesma lógica, todo número da forma 9900990099... multiplicado
por 101 resultará em um número da forma ... onde o número de
noves deste é igual a 2 vezes o número de noves do primeiro.

Como foram encontrados os outros restos?

2012/2/14 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

  Obrigado,eu tinha olhado errado o gabarito,q de fato dá letra D.
 Mas por q 10^(4p-1)=91(mod101)?

  --
 Date: Tue, 14 Feb 2012 09:38:53 -0300
 Subject: Re: [obm-l] Divisibilidade
 From: tarsise...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br


 Eu acho que você pode fazer assim

 Para p=1, temos
 1) 10^(4p) = 1 (mod 101)
 2) 10^(4p-1) = 91 (mod 101)
 3) 10^(4p-2) = -1 (mod 101)
 4) 10^(4p-3) = 10 (mod 101)

 Assim, de (3) tiramos que 10^(4p-2) +1 = 0 (mod 101) ou seja é divisível
 por 101.

 O que acaba nos levando a alternativa *D*. Uma vez que 4p -2 = 98 =
 4p=100 =p=25


 On Tue, Feb 14, 2012 at 8:40 AM, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com wrote:

  Sabemos q 10^n + 1 é múltiplo de 101 e n é um número de dois
 algarismos.Qual o maior valor possivel de n?

 a) 92   b) 94  c) 96  d) 98  e) 99

 101^n  é múltiplo de 101
 (100+1)^n  é múltiplo de 101
 100^n + 1 é múltiplo de 101,se n é impar
 10^202 + 1 é múltiplo de 101(para n=101) =10^202=-1(mod101)  (1)
 Por sua vez,10^2=-1(mod101)=10^110 = - 1(mod101)  (2)
 De (1) e de (2) vem: ...eu tava achando q ia dar 10^(202-110)=10^92...e n
 seria 92,q é a resposta do gabarito
 mas de (1) e (2) vem(?) 10^92=1(mod101) ou 10^92  - 1 é múltiplo de 101
 Estou enrolado.





-- 
Henrique

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Henrique Rennó]

Por que foram escolhidos os expoentes na forma 4p, 4p-1, 4p-2 e 4p-3?
Poderiam ser utilizadas para resolver o problema também, por exemplo, 3p,
3p-1, 3p-2 ou 2p, 2p-1 ou 5p, 5p-1, 5p-2, 5p-3, 5p-4 ou quaisquer outras?

2012/2/14 tarsis Esau tarsise...@gmail.com

 Eu acho que você pode fazer assim

 Para p=1, temos
 1) 10^(4p) = 1 (mod 101)
 2) 10^(4p-1) = 91 (mod 101)
 3) 10^(4p-2) = -1 (mod 101)
 4) 10^(4p-3) = 10 (mod 101)

 Assim, de (3) tiramos que 10^(4p-2) +1 = 0 (mod 101) ou seja é divisível
 por 101.

 O que acaba nos levando a alternativa *D*. Uma vez que 4p -2 = 98 =
 4p=100 =p=25



 On Tue, Feb 14, 2012 at 8:40 AM, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com wrote:

  Sabemos q 10^n + 1 é múltiplo de 101 e n é um número de dois
 algarismos.Qual o maior valor possivel de n?

 a) 92   b) 94  c) 96  d) 98  e) 99

 101^n  é múltiplo de 101
 (100+1)^n  é múltiplo de 101
 100^n + 1 é múltiplo de 101,se n é impar
 10^202 + 1 é múltiplo de 101(para n=101) =10^202=-1(mod101)  (1)
 Por sua vez,10^2=-1(mod101)=10^110 = - 1(mod101)  (2)
 De (1) e de (2) vem: ...eu tava achando q ia dar 10^(202-110)=10^92...e n
 seria 92,q é a resposta do gabarito
 mas de (1) e (2) vem(?) 10^92=1(mod101) ou 10^92  - 1 é múltiplo de 101
 Estou enrolado.





-- 
Henrique

RE: [obm-l] Divisibilidade

[marcone augusto araújo borges]

4p-3 ´´equivale´´ a 4p+1(pois um multiplo de 4 mais 1 é sempre um multiplo de 4 
menos 3)
10^4p = 1(mod101)=(10^4p)*10 = 1*10=10^(4p+1) = 10(mod101)=10^(4p-3) = 
10(mod101)
4p - 2 ´´equivale´´ a 4p+2:10^4p = 1(mod101)=(10^4p)*100 = 
1*100(mod101)=10^(4p+2) = -1(mod101),pois
100 = -1(mod101)
O outro resto(91) pode ser encontrado com raciocinio semelhante
Espero ter respondido.  
 
 
  



Date: Wed, 15 Feb 2012 14:20:10 -0200
Subject: Re: [obm-l] Divisibilidade
From: henrique.re...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Vi que para o expoente 4p:


p = 1: 99*101 = , pois temos 99 + 9900.
p = 2: 990099 = , pois temos 990099 + 99009900.
Seguindo o mesma lógica, todo número da forma 9900990099... multiplicado por 
101 resultará em um número da forma ... onde o número de noves 
deste é igual a 2 vezes o número de noves do primeiro.


Como foram encontrados os outros restos?


2012/2/14 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com



Obrigado,eu tinha olhado errado o gabarito,q de fato dá letra D.
Mas por q 10^(4p-1)=91(mod101)?
 




Date: Tue, 14 Feb 2012 09:38:53 -0300
Subject: Re: [obm-l] Divisibilidade
From: tarsise...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br



Eu acho que você pode fazer assim

Para p=1, temos
1) 10^(4p) = 1 (mod 101)
2) 10^(4p-1) = 91 (mod 101)
3) 10^(4p-2) = -1 (mod 101)
4) 10^(4p-3) = 10 (mod 101)

Assim, de (3) tiramos que 10^(4p-2) +1 = 0 (mod 101) ou seja é divisível por 
101.

O que acaba nos levando a alternativa D. Uma vez que 4p -2 = 98 = 4p=100 =p=25



On Tue, Feb 14, 2012 at 8:40 AM, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com wrote:



Sabemos q 10^n + 1 é múltiplo de 101 e n é um número de dois algarismos.Qual o 
maior valor possivel de n?
 
a) 92   b) 94  c) 96  d) 98  e) 99
 
101^n  é múltiplo de 101
(100+1)^n  é múltiplo de 101
100^n + 1 é múltiplo de 101,se n é impar
10^202 + 1 é múltiplo de 101(para n=101) =10^202=-1(mod101)  (1)
Por sua vez,10^2=-1(mod101)=10^110 = - 1(mod101)  (2)
De (1) e de (2) vem: ...eu tava achando q ia dar 10^(202-110)=10^92...e n seria 
92,q é a resposta do gabarito
mas de (1) e (2) vem(?) 10^92=1(mod101) ou 10^92  - 1 é múltiplo de 101
Estou enrolado.




-- 
Henrique

  

RE: [obm-l] Divisibilidade

[marcone augusto araújo borges]

Acho q aqui é porque 1=10^4 = 1(mod101)=(10^4)^n = 1^n= 10^4n = 1(mod101)
Multitlicando os membros por 10,100,1000,respectivamente,encontramos 10^(4n+1) 
= ...,10^(4n+2) = ...,10^(4n+3)...
 



Date: Wed, 15 Feb 2012 16:42:51 -0200
Subject: Re: [obm-l] Divisibilidade
From: henrique.re...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Por que foram escolhidos os expoentes na forma 4p, 4p-1, 4p-2 e 4p-3? Poderiam 
ser utilizadas para resolver o problema também, por exemplo, 3p, 3p-1, 3p-2 ou 
2p, 2p-1 ou 5p, 5p-1, 5p-2, 5p-3, 5p-4 ou quaisquer outras?


2012/2/14 tarsis Esau tarsise...@gmail.com

Eu acho que você pode fazer assim

Para p=1, temos
1) 10^(4p) = 1 (mod 101)
2) 10^(4p-1) = 91 (mod 101)
3) 10^(4p-2) = -1 (mod 101)
4) 10^(4p-3) = 10 (mod 101)

Assim, de (3) tiramos que 10^(4p-2) +1 = 0 (mod 101) ou seja é divisível por 
101.

O que acaba nos levando a alternativa D. Uma vez que 4p -2 = 98 = 4p=100 =p=25





On Tue, Feb 14, 2012 at 8:40 AM, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com wrote:



Sabemos q 10^n + 1 é múltiplo de 101 e n é um número de dois algarismos.Qual o 
maior valor possivel de n?
 
a) 92   b) 94  c) 96  d) 98  e) 99
 
101^n  é múltiplo de 101
(100+1)^n  é múltiplo de 101
100^n + 1 é múltiplo de 101,se n é impar
10^202 + 1 é múltiplo de 101(para n=101) =10^202=-1(mod101)  (1)
Por sua vez,10^2=-1(mod101)=10^110 = - 1(mod101)  (2)
De (1) e de (2) vem: ...eu tava achando q ia dar 10^(202-110)=10^92...e n seria 
92,q é a resposta do gabarito
mas de (1) e (2) vem(?) 10^92=1(mod101) ou 10^92  - 1 é múltiplo de 101
Estou enrolado.




-- 
Henrique

  

[obm-l] Divisibilidade

[marcone augusto araújo borges]

Sabemos q 10^n + 1 é múltiplo de 101 e n é um número de dois algarismos.Qual o 
maior valor possivel de n?
 
a) 92   b) 94  c) 96  d) 98  e) 99
 
101^n  é múltiplo de 101
(100+1)^n  é múltiplo de 101
100^n + 1 é múltiplo de 101,se n é impar
10^202 + 1 é múltiplo de 101(para n=101) =10^202=-1(mod101)  (1)
Por sua vez,10^2=-1(mod101)=10^110 = - 1(mod101)  (2)
De (1) e de (2) vem: ...eu tava achando q ia dar 10^(202-110)=10^92...e n seria 
92,q é a resposta do gabarito
mas de (1) e (2) vem(?) 10^92=1(mod101) ou 10^92  - 1 é múltiplo de 101
Estou enrolado.   

Re: [obm-l] Divisibilidade

[tarsis Esau]

Eu acho que você pode fazer assim

Para p=1, temos
1) 10^(4p) = 1 (mod 101)
2) 10^(4p-1) = 91 (mod 101)
3) 10^(4p-2) = -1 (mod 101)
4) 10^(4p-3) = 10 (mod 101)

Assim, de (3) tiramos que 10^(4p-2) +1 = 0 (mod 101) ou seja é divisível
por 101.

O que acaba nos levando a alternativa *D*. Uma vez que 4p -2 = 98 = 4p=100
=p=25


On Tue, Feb 14, 2012 at 8:40 AM, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com wrote:

  Sabemos q 10^n + 1 é múltiplo de 101 e n é um número de dois
 algarismos.Qual o maior valor possivel de n?

 a) 92   b) 94  c) 96  d) 98  e) 99

 101^n  é múltiplo de 101
 (100+1)^n  é múltiplo de 101
 100^n + 1 é múltiplo de 101,se n é impar
 10^202 + 1 é múltiplo de 101(para n=101) =10^202=-1(mod101)  (1)
 Por sua vez,10^2=-1(mod101)=10^110 = - 1(mod101)  (2)
 De (1) e de (2) vem: ...eu tava achando q ia dar 10^(202-110)=10^92...e n
 seria 92,q é a resposta do gabarito
 mas de (1) e (2) vem(?) 10^92=1(mod101) ou 10^92  - 1 é múltiplo de 101
 Estou enrolado.

RE: [obm-l] Divisibilidade

[marcone augusto araújo borges]

Obrigado,eu tinha olhado errado o gabarito,q de fato dá letra D.
Mas por q 10^(4p-1)=91(mod101)?
 



Date: Tue, 14 Feb 2012 09:38:53 -0300
Subject: Re: [obm-l] Divisibilidade
From: tarsise...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Eu acho que você pode fazer assim

Para p=1, temos
1) 10^(4p) = 1 (mod 101)
2) 10^(4p-1) = 91 (mod 101)
3) 10^(4p-2) = -1 (mod 101)
4) 10^(4p-3) = 10 (mod 101)

Assim, de (3) tiramos que 10^(4p-2) +1 = 0 (mod 101) ou seja é divisível por 
101.

O que acaba nos levando a alternativa D. Uma vez que 4p -2 = 98 = 4p=100 =p=25



On Tue, Feb 14, 2012 at 8:40 AM, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com wrote:



Sabemos q 10^n + 1 é múltiplo de 101 e n é um número de dois algarismos.Qual o 
maior valor possivel de n?
 
a) 92   b) 94  c) 96  d) 98  e) 99
 
101^n  é múltiplo de 101
(100+1)^n  é múltiplo de 101
100^n + 1 é múltiplo de 101,se n é impar
10^202 + 1 é múltiplo de 101(para n=101) =10^202=-1(mod101)  (1)
Por sua vez,10^2=-1(mod101)=10^110 = - 1(mod101)  (2)
De (1) e de (2) vem: ...eu tava achando q ia dar 10^(202-110)=10^92...e n seria 
92,q é a resposta do gabarito
mas de (1) e (2) vem(?) 10^92=1(mod101) ou 10^92  - 1 é múltiplo de 101
Estou enrolado.

  

Re: [obm-l] Divisibilidade

[tarsis Esau]

Poderia colocar que 10^(4p-1)= -10 (mod 101) também.

Sabendo que qualquer expoente natural pode ser escrito da forma 4p, 4p - 1,
4p - 2, 4p - 3, para p natural maior que 1.

No problema induz-se que os restos repetem. Desse modo coloquei 91, ou
ficaria melhor -10.

Não sei se respondi a pergunta.


On Tue, Feb 14, 2012 at 10:16 AM, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com wrote:

  Obrigado,eu tinha olhado errado o gabarito,q de fato dá letra D.
 Mas por q 10^(4p-1)=91(mod101)?

  --
 Date: Tue, 14 Feb 2012 09:38:53 -0300
 Subject: Re: [obm-l] Divisibilidade
 From: tarsise...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br


 Eu acho que você pode fazer assim

 Para p=1, temos
 1) 10^(4p) = 1 (mod 101)
 2) 10^(4p-1) = 91 (mod 101)
 3) 10^(4p-2) = -1 (mod 101)
 4) 10^(4p-3) = 10 (mod 101)

 Assim, de (3) tiramos que 10^(4p-2) +1 = 0 (mod 101) ou seja é divisível
 por 101.

 O que acaba nos levando a alternativa *D*. Uma vez que 4p -2 = 98 =
 4p=100 =p=25


 On Tue, Feb 14, 2012 at 8:40 AM, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com wrote:

  Sabemos q 10^n + 1 é múltiplo de 101 e n é um número de dois
 algarismos.Qual o maior valor possivel de n?

 a) 92   b) 94  c) 96  d) 98  e) 99

 101^n  é múltiplo de 101
 (100+1)^n  é múltiplo de 101
 100^n + 1 é múltiplo de 101,se n é impar
 10^202 + 1 é múltiplo de 101(para n=101) =10^202=-1(mod101)  (1)
 Por sua vez,10^2=-1(mod101)=10^110 = - 1(mod101)  (2)
 De (1) e de (2) vem: ...eu tava achando q ia dar 10^(202-110)=10^92...e n
 seria 92,q é a resposta do gabarito
 mas de (1) e (2) vem(?) 10^92=1(mod101) ou 10^92  - 1 é múltiplo de 101
 Estou enrolado.

RE: [obm-l] Divisibilidade

[marcone augusto araújo borges]

Entendi perfeitamente
De 100^n=-1(mod101) eu poderia escrever 100^49=10^98=-1(mod101).
Valeu!
 



Date: Tue, 14 Feb 2012 16:20:32 -0300
Subject: Re: [obm-l] Divisibilidade
From: tarsise...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Poderia colocar que 10^(4p-1)= -10 (mod 101) também.

Sabendo que qualquer expoente natural pode ser escrito da forma 4p, 4p - 1, 4p 
- 2, 4p - 3, para p natural maior que 1. 

No problema induz-se que os restos repetem. Desse modo coloquei 91, ou ficaria 
melhor -10.

Não sei se respondi a pergunta.



On Tue, Feb 14, 2012 at 10:16 AM, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com wrote:



Obrigado,eu tinha olhado errado o gabarito,q de fato dá letra D.
Mas por q 10^(4p-1)=91(mod101)?
 




Date: Tue, 14 Feb 2012 09:38:53 -0300
Subject: Re: [obm-l] Divisibilidade
From: tarsise...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br




Eu acho que você pode fazer assim

Para p=1, temos
1) 10^(4p) = 1 (mod 101)
2) 10^(4p-1) = 91 (mod 101)
3) 10^(4p-2) = -1 (mod 101)
4) 10^(4p-3) = 10 (mod 101)

Assim, de (3) tiramos que 10^(4p-2) +1 = 0 (mod 101) ou seja é divisível por 
101.

O que acaba nos levando a alternativa D. Uma vez que 4p -2 = 98 = 4p=100 =p=25



On Tue, Feb 14, 2012 at 8:40 AM, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com wrote:



Sabemos q 10^n + 1 é múltiplo de 101 e n é um número de dois algarismos.Qual o 
maior valor possivel de n?
 
a) 92   b) 94  c) 96  d) 98  e) 99
 
101^n  é múltiplo de 101
(100+1)^n  é múltiplo de 101
100^n + 1 é múltiplo de 101,se n é impar
10^202 + 1 é múltiplo de 101(para n=101) =10^202=-1(mod101)  (1)
Por sua vez,10^2=-1(mod101)=10^110 = - 1(mod101)  (2)
De (1) e de (2) vem: ...eu tava achando q ia dar 10^(202-110)=10^92...e n seria 
92,q é a resposta do gabarito
mas de (1) e (2) vem(?) 10^92=1(mod101) ou 10^92  - 1 é múltiplo de 101
Estou enrolado.


  

[obm-l] Divisibilidade

[Kleber Bastos]

Olá Galera,

Estou com dúvida no seguitne problema:

*Sejam ab  inteiros positivos. Mostre que se o resto da divisão de a por b
é q então o resto da divisão de (2^a)-1 por (2^b)-1 é (2^q)-1.*


Att,
Kleber

Re: [obm-l] Divisibilidade

[Kleber Bastos]

Valeu!

Em 17 de agosto de 2011 22:38, Johann Dirichlet
peterdirich...@gmail.comescreveu:

 Basta demonstrar que (2^a)-(2^q) é múltiplo de  (2^b)-1.
 Assim, escreva a=bX+q, fatore e conclua!

 Em 17/08/11, Kleber Bastosklebe...@gmail.com escreveu:
  Olá Galera,
 
  Estou com dúvida no seguitne problema:
 
  *Sejam ab  inteiros positivos. Mostre que se o resto da divisão de a por
 b
  é q então o resto da divisão de (2^a)-1 por (2^b)-1 é (2^q)-1.*
 
 
  Att,
  Kleber
 


 --
 /**/
 神が祝福

 Torres

 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =




-- 
Kleber B. Bastos

Re: [obm-l] Divisibilidade por 13

[Carlos Nehab]

Oi, Olavo e Felipe,

Segue um resumo adaptado de http://www.egge.net/~savory/maths1.htm, 
escrito há muito tempo por mim e baseado nessa referência, que eu sugeri 
em e-mail anterior.


Seja N um inteiro, r seu último dígito e M o número formado pelos 
algarismos anteriores (por exemplo, se N = 3249, então r = 9 e M = 324).


a) Exemplo preliminar (divisibilidade 17)

Propriedade
17 | N se e somente se  17 | M - 5r

Exemplos

N = 2.343
17 | 2343   sss  17 | ( 234  - 5.3)   sss  17 | 219  sss
17 | 21 - 5x9   sss  17 |  -24;
logo, 2343 não é divisível por 17.

N = 15.912
17 | 15912   sss  17 | (1591 - 5.2)   sss   17 | 1581   sss
17 | (158 - 5.1)  sss 17 |  153  sss 17 | (15 - 5.3)  sss
17 | 0; logo, 17 | 15912.

b) Caso geral
Se p é primo, determine q, o menor múltiplo positivo de p terminado em 1 
ou 9 (se p = 17  então q = 51).


i) Se o último dígito de q = 1:

p | N  sss p |  M -  ar , onde a é o número que sobra de q quando 
tiramos o 1 (no caso de 17, o 5);


ii) Se o último dígito de q = 9:
p | N  sss p |  M +  (a+1) r , onde a é o número que sobra de q quando 
tiramos o 9;


c) Tabelinha
Veja a tabela abaixo, onde indicamos nesta ordem, o primo p, o valor de 
q,  o valor de a e a pro¬priedade...


pq  a   (p | N) sss p divide...
 7   21 1M - 2r
11   11 1M - r
13   39 3M + (3+1)r   = M + 4r
17   51 5M - 5r
23   69 6M + (6+1)r  = M + 7r
29   29 2M + (2+1)r = M + 3r
31   31 3M - 3r
37  11111M - 11r
41   41 4M - 4r
43  12912M + 13r
47  14114M - 14r
...

As demostrações são simples, mas qualquer dúvida escreva.

Abraços,
Nehab


Em 20/12/2010 09:35, Antonio Neto escreveu:
   Senhores, permitam meter a colher torta. Com a mesma notação do 
texto, um outro possível critério é: n = 10x + a é divisível por 13 
se, e somente se, x + 4a o for. Note que vc multiplica o algarismo 
final por -9, e eu por 4. Ahá!!! 4-(-9) = 13. Experimente também x + 
17a, etc... Há um livrinho russo, da Editora Mir, o exemplar que tenho 
está em espanhol, chamado Criterios de divisibilidad, acho que é do 
Vorobiov, mas não estou em casa agora. Divirta-se, abraços, olavo.


Antonio *Olavo* da Silva Neto





Date: Fri, 17 Dec 2010 11:54:57 -0200
From: ne...@infolink.com.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Divisibilidade por 13

Oi, Felipe,

Você vai gostar de
http://www.egge.net/~savory/maths1.htm 
http://www.egge.net/%7Esavory/maths1.htm


Seu caso é equivalente ao que o texto menciona. Procure perceber isto.

Abraços,
Nehab


Em 16/12/2010 23:55, Felipe Diniz escreveu:

n = 10x+a, a entre 0 e 9.

x-9a = 0 mod13
entao x=9a mod13

n= 10x+a = 91a = 13*7a = 0  mod 13

2010/12/16 marcone augusto araújo borges
marconeborge...@hotmail.com mailto:marconeborge...@hotmail.com

Dado um número,8281,por exemplo.Fazendo 828 - 9*1=819 e
repetindo o procedimento:81 - 9*9=0
zero é divisível por 13,logo8281 também é.
Para 867:86 - 9*7=23.
23 não é divisível por 13,logo 867 também não é.
Como provar que a regra é verdadeira?

[obm-l] Divisibilidade por 13

[Antonio Neto]

   Senhores, permitam meter a colher torta. Com a mesma notação do texto, um 
outro possível critério é: n = 10x + a é divisível por 13 se, e somente se, x + 
4a o for. Note que vc multiplica o algarismo final por -9, e eu por 4. Ahá!!! 
4-(-9) = 13. Experimente também x + 17a, etc... Há um livrinho russo, da 
Editora Mir, o exemplar que tenho está em espanhol, chamado Criterios de 
divisibilidad, acho que é do Vorobiov, mas não estou em casa agora. 
Divirta-se, abraços, olavo.


Antonio Olavo da Silva Neto


 



Date: Fri, 17 Dec 2010 11:54:57 -0200
From: ne...@infolink.com.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Divisibilidade por 13


Oi, Felipe,

Você vai gostar de 
http://www.egge.net/~savory/maths1.htm

Seu caso é equivalente ao que o texto menciona. Procure perceber isto.

Abraços,
Nehab


Em 16/12/2010 23:55, Felipe Diniz escreveu: 
n = 10x+a, a entre 0 e 9. 


x-9a = 0 mod13
entao x=9a mod13


n= 10x+a = 91a = 13*7a = 0  mod 13


2010/12/16 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com


Dado um número,8281,por exemplo.Fazendo 828 - 9*1=819 e repetindo o 
procedimento:81 - 9*9=0
zero é divisível por 13,logo8281 também é.
Para 867:86 - 9*7=23.
23 não é divisível por 13,logo 867 também não é.
Como provar que a regra é verdadeira?
 


  

Re: [obm-l] Divisibilidade por 13

[Carlos Nehab]

Oi, Felipe,

Você vai gostar de
http://www.egge.net/~savory/maths1.htm

Seu caso é equivalente ao que o texto menciona. Procure perceber isto.

Abraços,
Nehab


Em 16/12/2010 23:55, Felipe Diniz escreveu:

n = 10x+a, a entre 0 e 9.

x-9a = 0 mod13
entao x=9a mod13

n= 10x+a = 91a = 13*7a = 0  mod 13

2010/12/16 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com 
mailto:marconeborge...@hotmail.com


Dado um número,8281,por exemplo.Fazendo 828 - 9*1=819 e repetindo
o procedimento:81 - 9*9=0
zero é divisível por 13,logo8281 também é.
Para 867:86 - 9*7=23.
23 não é divisível por 13,logo 867 também não é.
Como provar que a regra é verdadeira?

[obm-l] Divisibilidade por 13

[marcone augusto araújo borges]

Dado um número,8281,por exemplo.Fazendo 828 - 9*1=819 e repetindo o 
procedimento:81 - 9*9=0
zero é divisível por 13,logo8281 também é.
Para 867:86 - 9*7=23.
23 não é divisível por 13,logo 867 também não é.
Como provar que a regra é verdadeira?
  

Re: [obm-l] Divisibilidade por 13

[Felipe Diniz]

n = 10x+a, a entre 0 e 9.

x-9a = 0 mod13
entao x=9a mod13

n= 10x+a = 91a = 13*7a = 0  mod 13

2010/12/16 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

  Dado um número,8281,por exemplo.Fazendo 828 - 9*1=819 e repetindo o
 procedimento:81 - 9*9=0
 zero é divisível por 13,logo8281 também é.
 Para 867:86 - 9*7=23.
 23 não é divisível por 13,logo 867 também não é.
 Como provar que a regra é verdadeira?

RE: [obm-l] Divisibilidade

[marcone augusto araújo borges]

Uma questão interessante.Gostaria muito de saber como resolvê-la.È muito 
complicada?
 


From: vitor__r...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Divisibilidade
Date: Fri, 28 May 2010 22:58:53 +0300



Questão da Olimpíada de  Mayo:
 
Encontrar todos os pares de inteiros positivos (a,b) tal que 8a+1 é 
divisível por b e 8b+1 é divisível por a.
WSe alguém tiver alguma sugestão como resolver por favor fique a 
vontade.Desde já obrigado,Vitor.
 



USE O MESSENGER DENTRO DO HOTMAIL SEM PRECISAR INSTALAR NADA. CLIQUE PARA VER 
COMO.   
_
NINGUÉM PRECISA SABER O QUE VOCÊ ESTÁ COMPRANDO. LEIA MAIS SOBRE ESSE ASSUNTO 
AQUI.
http://www.microsoft.com/brasil/windows/internet-explorer/features/browse-privately.aspx?tabid=1catid=1WT.mc_id=1590

[obm-l] Re: [obm-l] divisibilidade/equação

[luiz silva]

Vanderley,
 
Com isso vc provou que a equação 3m +  3n + 1= t2 (acho q foi vc quem enviou 
para a lista..não)  
não possui soluções inteiras,
 
pois t tem que ser impar (2k+1). Com isso, teremos 3m +  3n + 1= 4k2 + 4K +1,
 
3m +  3n = 4k2 + 4K=4k(k+1) . Como k ou k+1 é par, temos que 4k(k+1)=8a
 
8a = 3m +  3n .
 
E aí chegamos no questionamento respondido pelo Rafael.
 
Abs
Felipe
--- Em qua, 13/8/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu:

De: Rafael Ando [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 13 de Agosto de 2008, 18:00

3^a eh congruente a 1 ou 3 mod 8, entao 3^a+3^b eh congruente a 2, 4
ou 6 mod 8, e portanto nao eh multiplo de 8.

Essa eh a segunda parte daquela questao q tinha sido perguntada na
lista de como provar q 3^m + 3^n +1 = t^2 nao tem solucao inteira,
alias... Soh agora q fui ver...

On 8/13/08, Vandelei Nemitz [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Como provo que 8 não divide 3^a + 3^b, como a e b inteiros?

 Vanderlei



-- 
Rafael

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=



  Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua 
cara @ymail.com ou @rocketmail.com.
http://br.new.mail.yahoo.com/addresses

[obm-l] divisibilidade

[Vandelei Nemitz]

Como provo que 8 não divide 3^a + 3^b, como a e b inteiros?

Vanderlei

Re: [obm-l] divisibilidade

[Rafael Ando]

3^a eh congruente a 1 ou 3 mod 8, entao 3^a+3^b eh congruente a 2, 4
ou 6 mod 8, e portanto nao eh multiplo de 8.

Essa eh a segunda parte daquela questao q tinha sido perguntada na
lista de como provar q 3^m + 3^n +1 = t^2 nao tem solucao inteira,
alias... Soh agora q fui ver...

On 8/13/08, Vandelei Nemitz [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Como provo que 8 não divide 3^a + 3^b, como a e b inteiros?

 Vanderlei



-- 
Rafael

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Divisibilidade

[marcos hada]

Seja n pertencente ao Naturais , provar que para todo n 

3^n - 2² - 1 é divisil por 8 !!!


  Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua 
cara @ymail.com ou @rocketmail.com.
http://br.new.mail.yahoo.com/addresses

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RES: [obm-l] Divisibilidade

[Bouskela]

Olá!

Resolve-se, facilmente, por Indução Finita.

Sds.,
AB  

 
 

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] 
[mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de marcos hada
Enviada em: sexta-feira, 27 de junho de 2008 10:33
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Divisibilidade

Seja n pertencente ao Naturais , provar que para todo n 

3^n - 2² - 1 é divisil por 8 !!!


  Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um 
email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com.
http://br.new.mail.yahoo.com/addresses

===
==
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
===
==



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=