[obm-l] Re: [obm-l] Números primos

[Anderson Torres]

Em qua, 4 de out de 2023 15:49, carlos h Souza 
escreveu:

> Boa tarde,
>
> Para fins didáticos é mais fácil encontrar os números primos em forma de
> fatoração numérica ou usar o Crivo de Eratóstenes ?
>


Fatoração, de longe.

Os primos são definidos precisamente como "os infatoráveis".

Já o crivo de Eratóstenes é um algoritmo de classificação em massa.

Pensa da seguinte forma: para verificar se um número N é primo, o que é
mais natural:
- tentar dividir em k partes iguais, para todos os k pequenos;
- escrever todos os números de 1 a N num papel e ir furando o papel de
acordo com uma regra mágica?



> Obrigados a todos.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Números primos

[Claudio Buffara]

Fatoração, com certeza.  Por exemplo, diga pra garotada analisar os números
de 2 a 100 e determinar quais podem ser expressos como produto de números
naturais menores.  Como dica, pra facilitar o trabalho, diga pra eles
consultarem a tabuada (e também pra observarem que, na tabuada, nem todos
os números aparecem como resultado de alguma multiplicação).  Acho que
essa é uma boa motivação pra definição de número primo.
As dificuldades encontradas por eles nesta tarefa podem motivar a busca de
uma forma sistemática (um algoritmo) pra determinar os números primos na
sequência de números naturais. Esse seria o crivo de Eratóstenes, cuja
descoberta poderia ser guiada por perguntas e dicas pertinentes.

Outra forma de motivar a definição de primo é representar o natural N (N =
1, 2, 3, ...) por N bolinhas, que devem ser dispostas num arranjo
retangular com 2 ou mais linhas (ou colunas).  Para alguns valores de N,
isso será impossível.  Estes são os números primos.
Numa digressão, faça a garotada determinar pra quais N as bolinhas podem
ser particionadas em pares (conjuntos com 2 elementos)... daí o nome.
Há vários probleminhas interessantes que podem ser resolvidos com esta
representação dos números - o do jovem Gauss, por exemplo, ou o da soma dos
ímpares consecutivos, ou determinar pra quais N o arranjo pode ter o mesmo
número de linhas e de colunas.

[]s,
Claudio.


On Wed, Oct 4, 2023 at 3:49 PM carlos h Souza  wrote:

> Boa tarde,
>
> Para fins didáticos é mais fácil encontrar os números primos em forma de
> fatoração numérica ou usar o Crivo de Eratóstenes ?
>
> Obrigados a todos.
>
> --
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> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Números de tentativas

[Ralph Costa Teixeira]

Hm, primeiro precisamos deixar o enunciado mais preciso:

i) Eu preciso apenas DESCOBRIR a senha, ou preciso INSERI-LA no dispositivo?
ii) O dispositivo avisa quando a gente acerta a senha totalmente (acho que
o usual seria "sim")? Ou apenas diz "não"/"quase"?
iii) "Coincidente" significa digito correto na posição correta, ou apenas
"aparece em algum lugar da senha"?
iv) A priori, a senha pode ter dígitos repetidos (acho que o usual seria
"sim")?
v) A senha seria um CONJUNTO de 3 dígitos, ou a ordem importa (acho que o
usual seria "ordem importa")?

Para uma cota inferior (usualmente bem ruinzinha), tem uma ideia que
funciona em vários problemas deste tipo: qualquer algoritmo vai pegar uma
sequência de respostas do dispositivo (digamos, Q="quase", N="nao" e
A="acertou!") e traduzir isso numa possivel senha. Em outras palavras, por
mais complexo que seja o algoritmo, no final das contas ele "gera" uma
grande tabela, algo assim:

Se as respostas forem QQNQNQA, a senha vai ser 127;
Se as respostas forem NNQQNA, a senha vai ser 889;
...
e assim por diante. Por isso, se o número de sequências de letras for MENOR
que o número possivel de senhas, não tem como o algoritmo funcionar
GARANTIDAMENTE -- haverá senhas fora da tabela (ou sequências que levam a
mais de uma senha, evidenciando a falha do algoritmo nesses casos)!

Para ser um pouco mais concreto, vou supor 10^3 possíveis senhas (dígitos
ordenados, com repetição). Vou provar que, neste caso, um algoritmo com 9
tentativas NUNCA descobre a senha -- tem que ser pelo menos 10.

Duas outras observações interessantes:
a) Obviamente, se em algum momento seu algoritmo chega em A, PARE, você
achou a senha correta e **nenhuma das tentativas seguintes te
providencia nenhuma informação adicional**. Se você inventar um algoritmo
doido que continua tentando coisas depois do A, eu posso fazê-lo ficar MAIS
EFICIENTE retirando os passos adicionais; ou seja, fazendo todas as
sequências com terminarem nesse A;
b) Por outro lado, vou supor que você TEM QUE INSERIR a senha correta; ou
seja todas as sequências da sua "tabela" terminam em "A".

Assim, o número MÁXIMO de sequências de letras na sua tabela seria:
Comprimento 1: 1 sequência (a saber, "A")
Comprimento 2: 2 sequências (NA e QA)
Comprimento 3: 4 sequências (NNA, NQA, QNA, QQA)
...
Comprimento 9: 2^8=256 sequências
Total: 511 sequências ("máximo" pois, dependendo do algoritmo, talvez
algumas nunca ocorram). Como são 1000 possíveis senhas, é impossível seu
algoritmo distingui-las todas!



On Mon, Dec 13, 2021 at 10:00 AM Jeferson Almir 
wrote:

> Amigos peço ajuda nessa questão.
>
> Tem uma senha de 3 digitos
> (Qualquer digito  de 0 a 9)
> E nos temos um dispositivo
> Que compara a senha
> Com um número que escolhemos
> E retorna não se tem todos os digitos diferentes da senha
> E retorna quase se tem pelo menos 1 digito coincidente com a senha
> Qual é o menor numero de tentativas que precisamos usar esse dispositivo
> tal que podemos descobrir a senha com certeza, independente de qual ela
> seja?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Números de tentativas

[Anderson Torres]

Em seg., 13 de dez. de 2021 às 10:00, Jeferson Almir
 escreveu:
>
> Amigos peço ajuda nessa questão.
>
> Tem uma senha de 3 digitos
> (Qualquer digito  de 0 a 9)
> E nos temos um dispositivo
> Que compara a senha
> Com um número que escolhemos
> E retorna não se tem todos os digitos diferentes da senha
> E retorna quase se tem pelo menos 1 digito coincidente com a senha
> Qual é o menor numero de tentativas que precisamos usar esse dispositivo tal 
> que podemos descobrir a senha com certeza, independente de qual ela seja?

Por ora eu vou fazer uma tentativa.

Se fosse uma senha de um dígito, temos 10 tentativas.

Se fossem dois, bem, vamos pensar um pouco. Inicialmente não sei o que
fazer, vou simplesmente chutar AB

1. A máquina diz "acertou 2". 1 tentativa
2. A máquina diz "acertou 1". Aqui reduzimos o conjunto de tentativas
em 18 (A?- 9 tentativas; B? -  9 tentativas)
3. A máquina diz "acertou 0". Aqui piora: 9*9=81 tentativas sobrando.

No caso mais desfavorável, em 5 tentativas dá para limpar o conjunto.

Claro, isso não prova nada ainda.

>
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[obm-l] Re: [obm-l] "números biquadrados"

[Anderson Torres]

Em qui, 12 de ago de 2021 21:17, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> 1233 = 12^2 + 33^2
> Em uma prova da bom nível 2, o número 1233 foi apresentado como
> "biquadrado" e foi pedido outro número biquadrado
> Eu pensei
> A^2+ B^2 = 100A + B
> A^2 - 100A + B^2 - B = 0
> Seriam dois valores para A cuja soma é 100, então se um deles é 12 o outro
> é 88
> Observei que 8833 = 88^2 + 33^2
> Se não fosse dado o 1233, daria para calcular os dois números...
> Como resolver A^2 + B^2 = 100A + B, com A e B inteiros positivos?
>

A^2 - 100A + B^2 - B = 0

4A^2 - 2*100*2A + 4B^2 - 2*2B = 0

(2A)^2 - 2*100*2A + 100^2 + (2B)^2 - 2*2B +1 = 100^2+1

(2A-100)^2+(2B-1)^2 = 10001

Agora é calcular mecanicamente todas as possibilidades para A e B.



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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos e equações

[Prof. Douglas Oliveira]

Opa mestre Claudio, muito obrigado, gostei da solução.

Douglas Oliveira

Em qua, 17 de jun de 2020 17:00, Claudio Buffara 
escreveu:

> Aquele 1+i sugere que se forme uma equação em z, onde z = (1+i)/raiz(2) *
> x, ou seja, cujas raízes sejam as da equação original giradas de 45 graus
> no sentido anti-horário e sem coeficientes complexos.
> z = (1+i)/raiz(2) * x ==> x = (1-i)/raiz(2) * z
> Assim, x^4 + 4(1+i)x + 1 = 0 ==> -z^4 + 4*raiz(2)*z + 1 = 0
> Consideremos f(z) = z^4 - 4*raiz(2)*z - 1  (multiplicar os coeficientes
> por -1 não altera as raízes).
> f(-1) = 4*raiz(2) > 0
> f(0) = -1 < 0
> f(raiz(2)) = -5 < 0
> f(2) =15 - 8*raiz(2) > 0 ==> f tem (pelo menos) duas raízes reais: uma
> entre -1 e 0 e outra entre raiz(2) e 2.
> Mas f'(z) = 4z^3 - 4*raiz(2) ==> f'(z) < 0 para z < 2^(1/6) (logo, para z
> < 0) e f'(z) > 0 para z > 2^(1/6) (logo, para z > raiz(2)), de modo que
> estas são as únicas raízes reais de f.
> Se duas das raízes da equação original, ao serem giradas de 45 graus no
> sentido anti-horário, se tornam reais, então aquelas raízes estavam na reta
> Im(z) = -Re(z).
> Além disso, como, após giradas, uma se tornou negativa e a outra positiva,
> isso significa que a primeira está no 2o quadrante e a segunda no 4o
> quadrante.
>
> Dadas as magnitudes das raízes giradas (a primeira entre -1 e 0 e a
> segunda maior do que raiz(2)), também concluímos que a soma delas está no
> 4o quadrante, ou seja, é da forma p*(1-i), com p > 0.
> Além disso, o produto delas é da forma (1/q)*i, com q > 0.
>
> Chame as outras duas raízes da equação original de a e b.
> Então, como a soma das raízes é zero, vale a+b = -p(1-i) = p(-1+i): um
> ponto do 2o quadrante sobre a reta Im(z) = -Re(z)   (1)
> Como o produto das raízes é 1, vale a*b = -q*i, um ponto do eixo
> imaginário negativo
> A localização do produto a*b implica que a/|a| e b/|b| são números
> complexos (de módulo unitário) e simétricos em relação à reta Im(z) =
> -Re(z)   (2)
> (1) e (2) implicam que a e b têm o mesmo módulo R
>
> (2) também implica que, sobre a e b:
> OU ambos pertencem ao 2o quadrante
> OU um deles pertence ao 1o e o outro ao 3o quadrante
> OU ambos pertencem ao 4o quadrante.
>
> De cara dá pra eliminar a última alternativa, já que isso implicaria que
> a+b pertence ao 4o quadrante, o que não é o caso.
>
> Resta eliminar a 1a alternativa.
> Assim, suponhamos que a e b pertencem ao 2o quadrante.
>
> Neste caso, a+b = p(-1+i) ==> |a+b| = p*raiz(2) > R*raiz(2) ==> 2*p^2 >
> 2*R^2
> E também, de qualquer jeito, ab = -qi ==> q = R^2
>
> Da equação, também sabemos que ab + ac + ad + bc + bd + cd = 0 ==>
> ab + cd + (a+b)(c+d) = 0 ==>
> -q*i + (1/q)*i + p(-1+i)*p*(1-i) = 0 ==>
> 1/q - q + 2p^2 = 0
> 1/q - q + 2R^2 < 0 ==>
> 1/R^2 - R^2 + 2*R^2 < 1/R^2 + < 0 ==> contradição ==> a e b não pertencem
> ao 2o quadrante.
>
> Logo, temos que concluir que, sobre as outras duas raízes, que uma
> pertence ao 1o e a outra ao 3o quadrante.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Wed, Jun 17, 2020 at 9:01 AM Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>
>> Olá, gostaria de uma ajuda para localizar as raízes da
>> equação x^4+4(1+i)x+1=0, saber em qual quadrante estão, joguei no MAPLE e
>> percebi que existe uma em cada quadrante.
>>
>> Mas não consigo achar uma saída.
>>
>> Obrigado.
>> Douglas Oliveira
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Números complexos e equações

[Claudio Buffara]

Aquele 1+i sugere que se forme uma equação em z, onde z = (1+i)/raiz(2) *
x, ou seja, cujas raízes sejam as da equação original giradas de 45 graus
no sentido anti-horário e sem coeficientes complexos.
z = (1+i)/raiz(2) * x ==> x = (1-i)/raiz(2) * z
Assim, x^4 + 4(1+i)x + 1 = 0 ==> -z^4 + 4*raiz(2)*z + 1 = 0
Consideremos f(z) = z^4 - 4*raiz(2)*z - 1  (multiplicar os coeficientes por
-1 não altera as raízes).
f(-1) = 4*raiz(2) > 0
f(0) = -1 < 0
f(raiz(2)) = -5 < 0
f(2) =15 - 8*raiz(2) > 0 ==> f tem (pelo menos) duas raízes reais: uma
entre -1 e 0 e outra entre raiz(2) e 2.
Mas f'(z) = 4z^3 - 4*raiz(2) ==> f'(z) < 0 para z < 2^(1/6) (logo, para z <
0) e f'(z) > 0 para z > 2^(1/6) (logo, para z > raiz(2)), de modo que estas
são as únicas raízes reais de f.
Se duas das raízes da equação original, ao serem giradas de 45 graus no
sentido anti-horário, se tornam reais, então aquelas raízes estavam na reta
Im(z) = -Re(z).
Além disso, como, após giradas, uma se tornou negativa e a outra positiva,
isso significa que a primeira está no 2o quadrante e a segunda no 4o
quadrante.

Dadas as magnitudes das raízes giradas (a primeira entre -1 e 0 e a segunda
maior do que raiz(2)), também concluímos que a soma delas está no 4o
quadrante, ou seja, é da forma p*(1-i), com p > 0.
Além disso, o produto delas é da forma (1/q)*i, com q > 0.

Chame as outras duas raízes da equação original de a e b.
Então, como a soma das raízes é zero, vale a+b = -p(1-i) = p(-1+i): um
ponto do 2o quadrante sobre a reta Im(z) = -Re(z)   (1)
Como o produto das raízes é 1, vale a*b = -q*i, um ponto do eixo imaginário
negativo
A localização do produto a*b implica que a/|a| e b/|b| são números
complexos (de módulo unitário) e simétricos em relação à reta Im(z) =
-Re(z)   (2)
(1) e (2) implicam que a e b têm o mesmo módulo R

(2) também implica que, sobre a e b:
OU ambos pertencem ao 2o quadrante
OU um deles pertence ao 1o e o outro ao 3o quadrante
OU ambos pertencem ao 4o quadrante.

De cara dá pra eliminar a última alternativa, já que isso implicaria que
a+b pertence ao 4o quadrante, o que não é o caso.

Resta eliminar a 1a alternativa.
Assim, suponhamos que a e b pertencem ao 2o quadrante.

Neste caso, a+b = p(-1+i) ==> |a+b| = p*raiz(2) > R*raiz(2) ==> 2*p^2 >
2*R^2
E também, de qualquer jeito, ab = -qi ==> q = R^2

Da equação, também sabemos que ab + ac + ad + bc + bd + cd = 0 ==>
ab + cd + (a+b)(c+d) = 0 ==>
-q*i + (1/q)*i + p(-1+i)*p*(1-i) = 0 ==>
1/q - q + 2p^2 = 0
1/q - q + 2R^2 < 0 ==>
1/R^2 - R^2 + 2*R^2 < 1/R^2 + < 0 ==> contradição ==> a e b não pertencem
ao 2o quadrante.

Logo, temos que concluir que, sobre as outras duas raízes, que uma pertence
ao 1o e a outra ao 3o quadrante.

[]s,
Claudio.


On Wed, Jun 17, 2020 at 9:01 AM Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:

> Olá, gostaria de uma ajuda para localizar as raízes da
> equação x^4+4(1+i)x+1=0, saber em qual quadrante estão, joguei no MAPLE e
> percebi que existe uma em cada quadrante.
>
> Mas não consigo achar uma saída.
>
> Obrigado.
> Douglas Oliveira
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números eficientes

[Claudio Buffara]

"Se x é eficiente então x(x-1) é múltiplo de 1000" : bela sacada!

On Fri, Aug 30, 2019 at 4:09 PM Luiz Gustavo Alves Brandão <
luizbg...@gmail.com> wrote:

> Se x é eficiente então x(x-1) é múltiplo de 1000. Como x e x-1 são
> coprimos, um deles é 8A e o outro é 125B, com A e B inteiros e B ímpar.
> Sendo assim, só é preciso testar B = 1, 3, 5 e 7, que nos fornece os
> números eficientes 376 e 625.
> Qualquer erro só avisarem...
>
> Em sex, 30 de ago de 2019 às 14:52, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Achar estes números com uma planilha deve ser mais rápido do que fazer a
>> análise usando congruências.
>>
>> On Fri, Aug 30, 2019 at 2:01 PM Carlos Monteiro <
>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Um número x de 3 algarismos é dito eficiente se os 3 últimos algarismos
>>> de x^2 são os mesmos algarismos de x e na mesma ordem. Encontre todos os
>>> números eficientes.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números eficientes

[Luiz Gustavo Alves Brandão]

Se x é eficiente então x(x-1) é múltiplo de 1000. Como x e x-1 são
coprimos, um deles é 8A e o outro é 125B, com A e B inteiros e B ímpar.
Sendo assim, só é preciso testar B = 1, 3, 5 e 7, que nos fornece os
números eficientes 376 e 625.
Qualquer erro só avisarem...

Em sex, 30 de ago de 2019 às 14:52, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> Achar estes números com uma planilha deve ser mais rápido do que fazer a
> análise usando congruências.
>
> On Fri, Aug 30, 2019 at 2:01 PM Carlos Monteiro <
> cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:
>
>> Um número x de 3 algarismos é dito eficiente se os 3 últimos algarismos
>> de x^2 são os mesmos algarismos de x e na mesma ordem. Encontre todos os
>> números eficientes.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Números eficientes

[Claudio Buffara]

Achar estes números com uma planilha deve ser mais rápido do que fazer a
análise usando congruências.

On Fri, Aug 30, 2019 at 2:01 PM Carlos Monteiro <
cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:

> Um número x de 3 algarismos é dito eficiente se os 3 últimos algarismos de
> x^2 são os mesmos algarismos de x e na mesma ordem. Encontre todos os
> números eficientes.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos

[Anderson Torres]

Em qui, 29 de ago de 2019 às 12:42, Carlos Monteiro
 escreveu:
>
> Valeu!
> Tem alguma motivação para a congruência mod 6?
>

Seis é um número muito bom para testar congruências de primos, pois no
conjunto 1,2,3,4,5,6 apenas 1 e 5 são primos com 6. Em outras
palavras, primos são números da forma 6K+-1.

>
> Em qui, 29 de ago de 2019 12:12, Ralph Teixeira  escreveu:
>>
>> Resposta curta: 3, 7 e 13 servem.
>>
>> Resposta longa:
>> Sejam p1> porque então a soma seria par.
>> Afirmo que p1=3. De fato, caso contrário, todos eles deixariam resto 1 ou -1 
>> (hm, eu devia dizer 5, mas vou escrever -1 mesmo) na divisão por 6. Mas 
>> então seus quadrados deixariam resto 1 na divisão por 6, e a soma dos 
>> quadrados deixaria resto 3, absurdo.
>> Note que p2 e p3 têm que deixar o mesmo resto (1 ou -1) na divisão por 6 
>> (caso contrário, p2+p3=6a+1+6b-1 seria divisível por 6, então 3+p2+p3 seria 
>> divisível por 3).
>> Então a gente quer coisas do tipo {3,6a+1,6b+1} ou {3,6a-1,6b-1}. Isto me 
>> leva a tentar
>> {3,5,11} -- soma 19, soma dos quadrados 155; Quebrei a cara.
>> {3,7,13} -- soma 23, soma dos quadrados 227. Ambos primos! Funcionou!
>>
>> Abraço, Ralph.
>>
>> On Thu, Aug 29, 2019 at 11:35 AM Carlos Monteiro 
>>  wrote:
>>>
>>> Encontre três números primos distintos dois a dois tais que sua soma e a 
>>> soma dos seus quadrados são números primos também.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos

[Ralph Teixeira]

Exato, 6 é um número pequeno com "muitos" divisores, então é um bom ponto
de partida...

Claro, a gente podia continuar analisando o problema e achando mais e mais
restrições (módulo 12... módulo 15... módulo 120...)... Mas, em algum
momento, você tem que partir para tentar uns números e ver o que acontece,
senão não fecha nunca. :D

On Thu, Aug 29, 2019 at 1:02 PM Claudio Buffara 
wrote:

> Acho que apenas o fato de que, apesar de existirem 6 restos possíveis ao
> se dividir um inteiro por 6, os primos maiores que 3 deixam apenas resto 1
> ou resto 5 (== -1).
>
>
> On Thu, Aug 29, 2019 at 12:42 PM Carlos Monteiro <
> cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:
>
>> Valeu!
>> Tem alguma motivação para a congruência mod 6?
>>
>>
>> Em qui, 29 de ago de 2019 12:12, Ralph Teixeira 
>> escreveu:
>>
>>> Resposta curta: 3, 7 e 13 servem.
>>>
>>> Resposta longa:
>>> Sejam p1>> p1=2, porque então a soma seria par.
>>> Afirmo que p1=3. De fato, caso contrário, todos eles deixariam resto 1
>>> ou -1 (hm, eu devia dizer 5, mas vou escrever -1 mesmo) na divisão por 6.
>>> Mas então seus quadrados deixariam resto 1 na divisão por 6, e a soma dos
>>> quadrados deixaria resto 3, absurdo.
>>> Note que p2 e p3 têm que deixar o mesmo resto (1 ou -1) na divisão por 6
>>> (caso contrário, p2+p3=6a+1+6b-1 seria divisível por 6, então 3+p2+p3 seria
>>> divisível por 3).
>>> Então a gente quer coisas do tipo {3,6a+1,6b+1} ou {3,6a-1,6b-1}. Isto
>>> me leva a tentar
>>> {3,5,11} -- soma 19, soma dos quadrados 155; Quebrei a cara.
>>> {3,7,13} -- soma 23, soma dos quadrados 227. Ambos primos! Funcionou!
>>>
>>> Abraço, Ralph.
>>>
>>> On Thu, Aug 29, 2019 at 11:35 AM Carlos Monteiro <
>>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:
>>>
 Encontre três números primos distintos dois a dois tais que sua soma e
 a soma dos seus quadrados são números primos também.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos

[Claudio Buffara]

Acho que apenas o fato de que, apesar de existirem 6 restos possíveis ao se
dividir um inteiro por 6, os primos maiores que 3 deixam apenas resto 1 ou
resto 5 (== -1).


On Thu, Aug 29, 2019 at 12:42 PM Carlos Monteiro <
cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:

> Valeu!
> Tem alguma motivação para a congruência mod 6?
>
>
> Em qui, 29 de ago de 2019 12:12, Ralph Teixeira 
> escreveu:
>
>> Resposta curta: 3, 7 e 13 servem.
>>
>> Resposta longa:
>> Sejam p1> porque então a soma seria par.
>> Afirmo que p1=3. De fato, caso contrário, todos eles deixariam resto 1 ou
>> -1 (hm, eu devia dizer 5, mas vou escrever -1 mesmo) na divisão por 6. Mas
>> então seus quadrados deixariam resto 1 na divisão por 6, e a soma dos
>> quadrados deixaria resto 3, absurdo.
>> Note que p2 e p3 têm que deixar o mesmo resto (1 ou -1) na divisão por 6
>> (caso contrário, p2+p3=6a+1+6b-1 seria divisível por 6, então 3+p2+p3 seria
>> divisível por 3).
>> Então a gente quer coisas do tipo {3,6a+1,6b+1} ou {3,6a-1,6b-1}. Isto me
>> leva a tentar
>> {3,5,11} -- soma 19, soma dos quadrados 155; Quebrei a cara.
>> {3,7,13} -- soma 23, soma dos quadrados 227. Ambos primos! Funcionou!
>>
>> Abraço, Ralph.
>>
>> On Thu, Aug 29, 2019 at 11:35 AM Carlos Monteiro <
>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Encontre três números primos distintos dois a dois tais que sua soma e a
>>> soma dos seus quadrados são números primos também.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos

[Carlos Monteiro]

Valeu!
Tem alguma motivação para a congruência mod 6?


Em qui, 29 de ago de 2019 12:12, Ralph Teixeira 
escreveu:

> Resposta curta: 3, 7 e 13 servem.
>
> Resposta longa:
> Sejam p1 porque então a soma seria par.
> Afirmo que p1=3. De fato, caso contrário, todos eles deixariam resto 1 ou
> -1 (hm, eu devia dizer 5, mas vou escrever -1 mesmo) na divisão por 6. Mas
> então seus quadrados deixariam resto 1 na divisão por 6, e a soma dos
> quadrados deixaria resto 3, absurdo.
> Note que p2 e p3 têm que deixar o mesmo resto (1 ou -1) na divisão por 6
> (caso contrário, p2+p3=6a+1+6b-1 seria divisível por 6, então 3+p2+p3 seria
> divisível por 3).
> Então a gente quer coisas do tipo {3,6a+1,6b+1} ou {3,6a-1,6b-1}. Isto me
> leva a tentar
> {3,5,11} -- soma 19, soma dos quadrados 155; Quebrei a cara.
> {3,7,13} -- soma 23, soma dos quadrados 227. Ambos primos! Funcionou!
>
> Abraço, Ralph.
>
> On Thu, Aug 29, 2019 at 11:35 AM Carlos Monteiro <
> cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:
>
>> Encontre três números primos distintos dois a dois tais que sua soma e a
>> soma dos seus quadrados são números primos também.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Números primos

[Ralph Teixeira]

Resposta curta: 3, 7 e 13 servem.

Resposta longa:
Sejam p1 wrote:

> Encontre três números primos distintos dois a dois tais que sua soma e a
> soma dos seus quadrados são números primos também.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos

[Pedro José]

Boa noite!
Bruno,
Grato pela a ajuda.
Foi o que pensei.
Portanto, o enunciado não está legal.
Deveria ser dos quatro menores primos. Para excluir o 113. Nem sei se tem
outros fatores. Mas agora, confirmei 2, 3, 5, 29 e 113 e ainda podem
existir mais.
Saudações,
PJMS

Em Sáb, 9 de jun de 2018 16:34, Bruno Visnadi 
escreveu:

> 15^(4k + 3) = 98 (mod 113), para todo k inteiro. E 15^15 = 3 (mod 4)
> Então, 15^(15^15) + 15 = 98 + 15 = 0 mod (113), isto é, 113 divide
> 15^(15^15) + 15.
>
> Em 9 de junho de 2018 15:55, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> Alguém poderia dizer se 113 divide ou não 15^(15^15) +15?
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>> Em Sex, 8 de jun de 2018 15:41, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>>
>>> Ajudem-me.
>>> p=113 ==> Fi(113) = 112
>>>
>>> 15^(15^15) = 15^b onde b = 15^15 mod 112.
>>> 15^15= 15 mod 112.
>>> 15^(15^15)= 15^(k.112+15)= (15^112)^k*15^15=15^15 mod 113
>>> 15^(15^15-1)= 15^14= -1 mod 13
>>> logo 113 também divide 15^(15^15) + 15.
>>> 113 é primo.
>>> O enunciado deveria ser dos 4 menores fatores primos de...
>>>
>>> Ou está errado que 113 | 15^(15^15)+15
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>>
>>> Em 8 de junho de 2018 15:27, Pedro José  escreveu:
>>>
 Boa tarde!
 Já tinha corrigido.
 Mas não consigo vislumbrar, por que só existem esses 4 primos: 2, 3, 5
 e 29.

 Em 8 de junho de 2018 14:24, Otávio Araújo 
 escreveu:

> O número 15^(15^15 - 1) + 1 é par, logo não pode ser da forma 29^k
>
> Em sex, 8 de jun de 2018 2:21 PM, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> Não tive tempo de corrigir.
>> Seja a= 15^15
>> p | 15(15^(a-1) +1); Não subtrai 1 de 15^15, na primeira feita,
>> quando coloquei 15 em evidência.
>>
>> p<>3 e p<>5 ==> 15^(a-1) = -1 mod p
>> p=7 ==> 15^(a-1) = 1; p=7 não atende.
>> b=a mod(p-1) ==> 15^(a-1)=15^(b-1) mod p
>> p=11 ==> b= a = 5 mod 10 15^a= 15^5 mod11
>> 15^(a-1)=15^4= 3 mod11. p=11 não atende.
>> p=13 ==> b= 15^15=3 mod 12 ==> 15^(a-1)=15^2= 4 mod13; p=13 não
>> atende.
>> p=17 ==> b= 15^15 = 15 mod 16 ==> 15(a-1)=15^14<>-1 mod17, pois, 15^4
>> = -1 e 4 não divide 14; p=17 não atende.
>> p=19 ==> b= 15^15=9 mod18 ==> 15^(a-1) = 15^8 = 5 mod 19; p=19 não
>> atende
>> p=23 ==> b= 15^15=1 mod22 ==> 15(a-1) = 1 mod 23; p=23 não atende
>> p=29 ==> b= 15^15 = 15 mod 28 ==>15^(a-1) = 15^14= -1 mod29.
>>
>> O outro primo é 29.
>>
>> Porém, se não há a dica que só tem mais um fator primo, boiaria.
>> Agora, o objetivo é procurar uma forma de mostrar que 15^(15^15 - 1) + 1 
>> =
>> 29^k, com k natural.
>>
>> Saudações,
>> PJMS.
>>
>> Em 7 de junho de 2018 23:31, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa noite.
>>> Desconsiderar.
>>> Está errado.
>>>
>>> Em Qui, 7 de jun de 2018 23:10, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
 Boa noite!
 p| 15(15^(15^15)+1) então:
 15^(15^15) = -1 mod p.

 Como 15^(p-1) =1 mod p
 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1).
 Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não
 pensei como mostrar, sem a dica do enunciado.
 Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado.
 Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende.
 Para p=11, 15^15=5 mod10
 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende.
 Até chegar a p=31.
 15^15= 15 mod 30
 15^15 = ? mod 31
 15^2=8 mod 31
 15^4 =64=2 mod 31
 14^8=4 mod 31
 15^14=8*2*4=2 mod  31.
 15^15= -1 mod 31.
 Então o outro primo é 31.
 Saudações,
 PJMS.

 Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo 
 escreveu:

> A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é:
> R: 39
>
> Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência
> temos os fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 
> tbm é
> fator.
> Minha dificuldade é descobrir o terceiro
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>


>>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos

[Bruno Visnadi]

15^(4k + 3) = 98 (mod 113), para todo k inteiro. E 15^15 = 3 (mod 4)
Então, 15^(15^15) + 15 = 98 + 15 = 0 mod (113), isto é, 113 divide
15^(15^15) + 15.

Em 9 de junho de 2018 15:55, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
> Alguém poderia dizer se 113 divide ou não 15^(15^15) +15?
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em Sex, 8 de jun de 2018 15:41, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa tarde!
>>
>> Ajudem-me.
>> p=113 ==> Fi(113) = 112
>>
>> 15^(15^15) = 15^b onde b = 15^15 mod 112.
>> 15^15= 15 mod 112.
>> 15^(15^15)= 15^(k.112+15)= (15^112)^k*15^15=15^15 mod 113
>> 15^(15^15-1)= 15^14= -1 mod 13
>> logo 113 também divide 15^(15^15) + 15.
>> 113 é primo.
>> O enunciado deveria ser dos 4 menores fatores primos de...
>>
>> Ou está errado que 113 | 15^(15^15)+15
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>> Em 8 de junho de 2018 15:27, Pedro José  escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>> Já tinha corrigido.
>>> Mas não consigo vislumbrar, por que só existem esses 4 primos: 2, 3, 5 e
>>> 29.
>>>
>>> Em 8 de junho de 2018 14:24, Otávio Araújo 
>>> escreveu:
>>>
 O número 15^(15^15 - 1) + 1 é par, logo não pode ser da forma 29^k

 Em sex, 8 de jun de 2018 2:21 PM, Pedro José 
 escreveu:

> Boa tarde!
> Não tive tempo de corrigir.
> Seja a= 15^15
> p | 15(15^(a-1) +1); Não subtrai 1 de 15^15, na primeira feita, quando
> coloquei 15 em evidência.
>
> p<>3 e p<>5 ==> 15^(a-1) = -1 mod p
> p=7 ==> 15^(a-1) = 1; p=7 não atende.
> b=a mod(p-1) ==> 15^(a-1)=15^(b-1) mod p
> p=11 ==> b= a = 5 mod 10 15^a= 15^5 mod11
> 15^(a-1)=15^4= 3 mod11. p=11 não atende.
> p=13 ==> b= 15^15=3 mod 12 ==> 15^(a-1)=15^2= 4 mod13; p=13 não atende.
> p=17 ==> b= 15^15 = 15 mod 16 ==> 15(a-1)=15^14<>-1 mod17, pois, 15^4
> = -1 e 4 não divide 14; p=17 não atende.
> p=19 ==> b= 15^15=9 mod18 ==> 15^(a-1) = 15^8 = 5 mod 19; p=19 não
> atende
> p=23 ==> b= 15^15=1 mod22 ==> 15(a-1) = 1 mod 23; p=23 não atende
> p=29 ==> b= 15^15 = 15 mod 28 ==>15^(a-1) = 15^14= -1 mod29.
>
> O outro primo é 29.
>
> Porém, se não há a dica que só tem mais um fator primo, boiaria.
> Agora, o objetivo é procurar uma forma de mostrar que 15^(15^15 - 1) + 1 =
> 29^k, com k natural.
>
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em 7 de junho de 2018 23:31, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa noite.
>> Desconsiderar.
>> Está errado.
>>
>> Em Qui, 7 de jun de 2018 23:10, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa noite!
>>> p| 15(15^(15^15)+1) então:
>>> 15^(15^15) = -1 mod p.
>>>
>>> Como 15^(p-1) =1 mod p
>>> 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1).
>>> Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei
>>> como mostrar, sem a dica do enunciado.
>>> Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado.
>>> Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende.
>>> Para p=11, 15^15=5 mod10
>>> 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende.
>>> Até chegar a p=31.
>>> 15^15= 15 mod 30
>>> 15^15 = ? mod 31
>>> 15^2=8 mod 31
>>> 15^4 =64=2 mod 31
>>> 14^8=4 mod 31
>>> 15^14=8*2*4=2 mod  31.
>>> 15^15= -1 mod 31.
>>> Então o outro primo é 31.
>>> Saudações,
>>> PJMS.
>>>
>>> Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo 
>>> escreveu:
>>>
 A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é:
 R: 39

 Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos
 os fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é 
 fator.
 Minha dificuldade é descobrir o terceiro
 --
 Fiscal: Daniel Quevedo

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
>>>
>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos

[Pedro José]

Boa tarde!
Alguém poderia dizer se 113 divide ou não 15^(15^15) +15?

Saudações,
PJMS


Em Sex, 8 de jun de 2018 15:41, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
>
> Ajudem-me.
> p=113 ==> Fi(113) = 112
>
> 15^(15^15) = 15^b onde b = 15^15 mod 112.
> 15^15= 15 mod 112.
> 15^(15^15)= 15^(k.112+15)= (15^112)^k*15^15=15^15 mod 113
> 15^(15^15-1)= 15^14= -1 mod 13
> logo 113 também divide 15^(15^15) + 15.
> 113 é primo.
> O enunciado deveria ser dos 4 menores fatores primos de...
>
> Ou está errado que 113 | 15^(15^15)+15
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em 8 de junho de 2018 15:27, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> Já tinha corrigido.
>> Mas não consigo vislumbrar, por que só existem esses 4 primos: 2, 3, 5 e
>> 29.
>>
>> Em 8 de junho de 2018 14:24, Otávio Araújo 
>> escreveu:
>>
>>> O número 15^(15^15 - 1) + 1 é par, logo não pode ser da forma 29^k
>>>
>>> Em sex, 8 de jun de 2018 2:21 PM, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
 Boa tarde!
 Não tive tempo de corrigir.
 Seja a= 15^15
 p | 15(15^(a-1) +1); Não subtrai 1 de 15^15, na primeira feita, quando
 coloquei 15 em evidência.

 p<>3 e p<>5 ==> 15^(a-1) = -1 mod p
 p=7 ==> 15^(a-1) = 1; p=7 não atende.
 b=a mod(p-1) ==> 15^(a-1)=15^(b-1) mod p
 p=11 ==> b= a = 5 mod 10 15^a= 15^5 mod11
 15^(a-1)=15^4= 3 mod11. p=11 não atende.
 p=13 ==> b= 15^15=3 mod 12 ==> 15^(a-1)=15^2= 4 mod13; p=13 não atende.
 p=17 ==> b= 15^15 = 15 mod 16 ==> 15(a-1)=15^14<>-1 mod17, pois, 15^4 =
 -1 e 4 não divide 14; p=17 não atende.
 p=19 ==> b= 15^15=9 mod18 ==> 15^(a-1) = 15^8 = 5 mod 19; p=19 não
 atende
 p=23 ==> b= 15^15=1 mod22 ==> 15(a-1) = 1 mod 23; p=23 não atende
 p=29 ==> b= 15^15 = 15 mod 28 ==>15^(a-1) = 15^14= -1 mod29.

 O outro primo é 29.

 Porém, se não há a dica que só tem mais um fator primo, boiaria. Agora,
 o objetivo é procurar uma forma de mostrar que 15^(15^15 - 1) + 1 = 29^k,
 com k natural.

 Saudações,
 PJMS.

 Em 7 de junho de 2018 23:31, Pedro José  escreveu:

> Boa noite.
> Desconsiderar.
> Está errado.
>
> Em Qui, 7 de jun de 2018 23:10, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa noite!
>> p| 15(15^(15^15)+1) então:
>> 15^(15^15) = -1 mod p.
>>
>> Como 15^(p-1) =1 mod p
>> 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1).
>> Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei
>> como mostrar, sem a dica do enunciado.
>> Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado.
>> Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende.
>> Para p=11, 15^15=5 mod10
>> 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende.
>> Até chegar a p=31.
>> 15^15= 15 mod 30
>> 15^15 = ? mod 31
>> 15^2=8 mod 31
>> 15^4 =64=2 mod 31
>> 14^8=4 mod 31
>> 15^14=8*2*4=2 mod  31.
>> 15^15= -1 mod 31.
>> Então o outro primo é 31.
>> Saudações,
>> PJMS.
>>
>> Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo 
>> escreveu:
>>
>>> A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é:
>>> R: 39
>>>
>>> Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos
>>> os fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é 
>>> fator.
>>> Minha dificuldade é descobrir o terceiro
>>> --
>>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos

[Pedro José]

Boa tarde!

Ajudem-me.
p=113 ==> Fi(113) = 112

15^(15^15) = 15^b onde b = 15^15 mod 112.
15^15= 15 mod 112.
15^(15^15)= 15^(k.112+15)= (15^112)^k*15^15=15^15 mod 113
15^(15^15-1)= 15^14= -1 mod 13
logo 113 também divide 15^(15^15) + 15.
113 é primo.
O enunciado deveria ser dos 4 menores fatores primos de...

Ou está errado que 113 | 15^(15^15)+15

Saudações,
PJMS


Em 8 de junho de 2018 15:27, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
> Já tinha corrigido.
> Mas não consigo vislumbrar, por que só existem esses 4 primos: 2, 3, 5 e
> 29.
>
> Em 8 de junho de 2018 14:24, Otávio Araújo 
> escreveu:
>
>> O número 15^(15^15 - 1) + 1 é par, logo não pode ser da forma 29^k
>>
>> Em sex, 8 de jun de 2018 2:21 PM, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>> Não tive tempo de corrigir.
>>> Seja a= 15^15
>>> p | 15(15^(a-1) +1); Não subtrai 1 de 15^15, na primeira feita, quando
>>> coloquei 15 em evidência.
>>>
>>> p<>3 e p<>5 ==> 15^(a-1) = -1 mod p
>>> p=7 ==> 15^(a-1) = 1; p=7 não atende.
>>> b=a mod(p-1) ==> 15^(a-1)=15^(b-1) mod p
>>> p=11 ==> b= a = 5 mod 10 15^a= 15^5 mod11
>>> 15^(a-1)=15^4= 3 mod11. p=11 não atende.
>>> p=13 ==> b= 15^15=3 mod 12 ==> 15^(a-1)=15^2= 4 mod13; p=13 não atende.
>>> p=17 ==> b= 15^15 = 15 mod 16 ==> 15(a-1)=15^14<>-1 mod17, pois, 15^4 =
>>> -1 e 4 não divide 14; p=17 não atende.
>>> p=19 ==> b= 15^15=9 mod18 ==> 15^(a-1) = 15^8 = 5 mod 19; p=19 não atende
>>> p=23 ==> b= 15^15=1 mod22 ==> 15(a-1) = 1 mod 23; p=23 não atende
>>> p=29 ==> b= 15^15 = 15 mod 28 ==>15^(a-1) = 15^14= -1 mod29.
>>>
>>> O outro primo é 29.
>>>
>>> Porém, se não há a dica que só tem mais um fator primo, boiaria. Agora,
>>> o objetivo é procurar uma forma de mostrar que 15^(15^15 - 1) + 1 = 29^k,
>>> com k natural.
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS.
>>>
>>> Em 7 de junho de 2018 23:31, Pedro José  escreveu:
>>>
 Boa noite.
 Desconsiderar.
 Está errado.

 Em Qui, 7 de jun de 2018 23:10, Pedro José 
 escreveu:

> Boa noite!
> p| 15(15^(15^15)+1) então:
> 15^(15^15) = -1 mod p.
>
> Como 15^(p-1) =1 mod p
> 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1).
> Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei
> como mostrar, sem a dica do enunciado.
> Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado.
> Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende.
> Para p=11, 15^15=5 mod10
> 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende.
> Até chegar a p=31.
> 15^15= 15 mod 30
> 15^15 = ? mod 31
> 15^2=8 mod 31
> 15^4 =64=2 mod 31
> 14^8=4 mod 31
> 15^14=8*2*4=2 mod  31.
> 15^15= -1 mod 31.
> Então o outro primo é 31.
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo 
> escreveu:
>
>> A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é:
>> R: 39
>>
>> Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos
>> os fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é 
>> fator.
>> Minha dificuldade é descobrir o terceiro
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos

[Pedro José]

Boa tarde!
Já tinha corrigido.
Mas não consigo vislumbrar, por que só existem esses 4 primos: 2, 3, 5 e 29.

Em 8 de junho de 2018 14:24, Otávio Araújo 
escreveu:

> O número 15^(15^15 - 1) + 1 é par, logo não pode ser da forma 29^k
>
> Em sex, 8 de jun de 2018 2:21 PM, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> Não tive tempo de corrigir.
>> Seja a= 15^15
>> p | 15(15^(a-1) +1); Não subtrai 1 de 15^15, na primeira feita, quando
>> coloquei 15 em evidência.
>>
>> p<>3 e p<>5 ==> 15^(a-1) = -1 mod p
>> p=7 ==> 15^(a-1) = 1; p=7 não atende.
>> b=a mod(p-1) ==> 15^(a-1)=15^(b-1) mod p
>> p=11 ==> b= a = 5 mod 10 15^a= 15^5 mod11
>> 15^(a-1)=15^4= 3 mod11. p=11 não atende.
>> p=13 ==> b= 15^15=3 mod 12 ==> 15^(a-1)=15^2= 4 mod13; p=13 não atende.
>> p=17 ==> b= 15^15 = 15 mod 16 ==> 15(a-1)=15^14<>-1 mod17, pois, 15^4 =
>> -1 e 4 não divide 14; p=17 não atende.
>> p=19 ==> b= 15^15=9 mod18 ==> 15^(a-1) = 15^8 = 5 mod 19; p=19 não atende
>> p=23 ==> b= 15^15=1 mod22 ==> 15(a-1) = 1 mod 23; p=23 não atende
>> p=29 ==> b= 15^15 = 15 mod 28 ==>15^(a-1) = 15^14= -1 mod29.
>>
>> O outro primo é 29.
>>
>> Porém, se não há a dica que só tem mais um fator primo, boiaria. Agora, o
>> objetivo é procurar uma forma de mostrar que 15^(15^15 - 1) + 1 = 29^k, com
>> k natural.
>>
>> Saudações,
>> PJMS.
>>
>> Em 7 de junho de 2018 23:31, Pedro José  escreveu:
>>
>>> Boa noite.
>>> Desconsiderar.
>>> Está errado.
>>>
>>> Em Qui, 7 de jun de 2018 23:10, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
 Boa noite!
 p| 15(15^(15^15)+1) então:
 15^(15^15) = -1 mod p.

 Como 15^(p-1) =1 mod p
 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1).
 Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei
 como mostrar, sem a dica do enunciado.
 Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado.
 Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende.
 Para p=11, 15^15=5 mod10
 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende.
 Até chegar a p=31.
 15^15= 15 mod 30
 15^15 = ? mod 31
 15^2=8 mod 31
 15^4 =64=2 mod 31
 14^8=4 mod 31
 15^14=8*2*4=2 mod  31.
 15^15= -1 mod 31.
 Então o outro primo é 31.
 Saudações,
 PJMS.

 Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo 
 escreveu:

> A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é:
> R: 39
>
> Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos os
> fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é fator.
> Minha dificuldade é descobrir o terceiro
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Números primos

[Pedro José]

Boa tarde!
Já falei besteira de novo.
2 | (15^(15^15-1) +1)

Saudações,
PJMS

Em 8 de junho de 2018 14:10, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
> Não tive tempo de corrigir.
> Seja a= 15^15
> p | 15(15^(a-1) +1); Não subtrai 1 de 15^15, na primeira feita, quando
> coloquei 15 em evidência.
>
> p<>3 e p<>5 ==> 15^(a-1) = -1 mod p
> p=7 ==> 15^(a-1) = 1; p=7 não atende.
> b=a mod(p-1) ==> 15^(a-1)=15^(b-1) mod p
> p=11 ==> b= a = 5 mod 10 15^a= 15^5 mod11
> 15^(a-1)=15^4= 3 mod11. p=11 não atende.
> p=13 ==> b= 15^15=3 mod 12 ==> 15^(a-1)=15^2= 4 mod13; p=13 não atende.
> p=17 ==> b= 15^15 = 15 mod 16 ==> 15(a-1)=15^14<>-1 mod17, pois, 15^4 = -1
> e 4 não divide 14; p=17 não atende.
> p=19 ==> b= 15^15=9 mod18 ==> 15^(a-1) = 15^8 = 5 mod 19; p=19 não atende
> p=23 ==> b= 15^15=1 mod22 ==> 15(a-1) = 1 mod 23; p=23 não atende
> p=29 ==> b= 15^15 = 15 mod 28 ==>15^(a-1) = 15^14= -1 mod29.
>
> O outro primo é 29.
>
> Porém, se não há a dica que só tem mais um fator primo, boiaria. Agora, o
> objetivo é procurar uma forma de mostrar que 15^(15^15 - 1) + 1 = 29^k, com
> k natural.
>
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em 7 de junho de 2018 23:31, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa noite.
>> Desconsiderar.
>> Está errado.
>>
>> Em Qui, 7 de jun de 2018 23:10, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa noite!
>>> p| 15(15^(15^15)+1) então:
>>> 15^(15^15) = -1 mod p.
>>>
>>> Como 15^(p-1) =1 mod p
>>> 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1).
>>> Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei
>>> como mostrar, sem a dica do enunciado.
>>> Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado.
>>> Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende.
>>> Para p=11, 15^15=5 mod10
>>> 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende.
>>> Até chegar a p=31.
>>> 15^15= 15 mod 30
>>> 15^15 = ? mod 31
>>> 15^2=8 mod 31
>>> 15^4 =64=2 mod 31
>>> 14^8=4 mod 31
>>> 15^14=8*2*4=2 mod  31.
>>> 15^15= -1 mod 31.
>>> Então o outro primo é 31.
>>> Saudações,
>>> PJMS.
>>>
>>> Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo 
>>> escreveu:
>>>
 A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é:
 R: 39

 Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos os
 fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é fator.
 Minha dificuldade é descobrir o terceiro
 --
 Fiscal: Daniel Quevedo

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números primos

[Otávio Araújo]

O número 15^(15^15 - 1) + 1 é par, logo não pode ser da forma 29^k

Em sex, 8 de jun de 2018 2:21 PM, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
> Não tive tempo de corrigir.
> Seja a= 15^15
> p | 15(15^(a-1) +1); Não subtrai 1 de 15^15, na primeira feita, quando
> coloquei 15 em evidência.
>
> p<>3 e p<>5 ==> 15^(a-1) = -1 mod p
> p=7 ==> 15^(a-1) = 1; p=7 não atende.
> b=a mod(p-1) ==> 15^(a-1)=15^(b-1) mod p
> p=11 ==> b= a = 5 mod 10 15^a= 15^5 mod11
> 15^(a-1)=15^4= 3 mod11. p=11 não atende.
> p=13 ==> b= 15^15=3 mod 12 ==> 15^(a-1)=15^2= 4 mod13; p=13 não atende.
> p=17 ==> b= 15^15 = 15 mod 16 ==> 15(a-1)=15^14<>-1 mod17, pois, 15^4 = -1
> e 4 não divide 14; p=17 não atende.
> p=19 ==> b= 15^15=9 mod18 ==> 15^(a-1) = 15^8 = 5 mod 19; p=19 não atende
> p=23 ==> b= 15^15=1 mod22 ==> 15(a-1) = 1 mod 23; p=23 não atende
> p=29 ==> b= 15^15 = 15 mod 28 ==>15^(a-1) = 15^14= -1 mod29.
>
> O outro primo é 29.
>
> Porém, se não há a dica que só tem mais um fator primo, boiaria. Agora, o
> objetivo é procurar uma forma de mostrar que 15^(15^15 - 1) + 1 = 29^k, com
> k natural.
>
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em 7 de junho de 2018 23:31, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa noite.
>> Desconsiderar.
>> Está errado.
>>
>> Em Qui, 7 de jun de 2018 23:10, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa noite!
>>> p| 15(15^(15^15)+1) então:
>>> 15^(15^15) = -1 mod p.
>>>
>>> Como 15^(p-1) =1 mod p
>>> 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1).
>>> Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei
>>> como mostrar, sem a dica do enunciado.
>>> Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado.
>>> Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende.
>>> Para p=11, 15^15=5 mod10
>>> 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende.
>>> Até chegar a p=31.
>>> 15^15= 15 mod 30
>>> 15^15 = ? mod 31
>>> 15^2=8 mod 31
>>> 15^4 =64=2 mod 31
>>> 14^8=4 mod 31
>>> 15^14=8*2*4=2 mod  31.
>>> 15^15= -1 mod 31.
>>> Então o outro primo é 31.
>>> Saudações,
>>> PJMS.
>>>
>>> Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo 
>>> escreveu:
>>>
 A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é:
 R: 39

 Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos os
 fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é fator.
 Minha dificuldade é descobrir o terceiro
 --
 Fiscal: Daniel Quevedo

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Números primos

[Pedro José]

Boa tarde!
Não tive tempo de corrigir.
Seja a= 15^15
p | 15(15^(a-1) +1); Não subtrai 1 de 15^15, na primeira feita, quando
coloquei 15 em evidência.

p<>3 e p<>5 ==> 15^(a-1) = -1 mod p
p=7 ==> 15^(a-1) = 1; p=7 não atende.
b=a mod(p-1) ==> 15^(a-1)=15^(b-1) mod p
p=11 ==> b= a = 5 mod 10 15^a= 15^5 mod11
15^(a-1)=15^4= 3 mod11. p=11 não atende.
p=13 ==> b= 15^15=3 mod 12 ==> 15^(a-1)=15^2= 4 mod13; p=13 não atende.
p=17 ==> b= 15^15 = 15 mod 16 ==> 15(a-1)=15^14<>-1 mod17, pois, 15^4 = -1
e 4 não divide 14; p=17 não atende.
p=19 ==> b= 15^15=9 mod18 ==> 15^(a-1) = 15^8 = 5 mod 19; p=19 não atende
p=23 ==> b= 15^15=1 mod22 ==> 15(a-1) = 1 mod 23; p=23 não atende
p=29 ==> b= 15^15 = 15 mod 28 ==>15^(a-1) = 15^14= -1 mod29.

O outro primo é 29.

Porém, se não há a dica que só tem mais um fator primo, boiaria. Agora, o
objetivo é procurar uma forma de mostrar que 15^(15^15 - 1) + 1 = 29^k, com
k natural.

Saudações,
PJMS.

Em 7 de junho de 2018 23:31, Pedro José  escreveu:

> Boa noite.
> Desconsiderar.
> Está errado.
>
> Em Qui, 7 de jun de 2018 23:10, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa noite!
>> p| 15(15^(15^15)+1) então:
>> 15^(15^15) = -1 mod p.
>>
>> Como 15^(p-1) =1 mod p
>> 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1).
>> Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei como
>> mostrar, sem a dica do enunciado.
>> Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado.
>> Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende.
>> Para p=11, 15^15=5 mod10
>> 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende.
>> Até chegar a p=31.
>> 15^15= 15 mod 30
>> 15^15 = ? mod 31
>> 15^2=8 mod 31
>> 15^4 =64=2 mod 31
>> 14^8=4 mod 31
>> 15^14=8*2*4=2 mod  31.
>> 15^15= -1 mod 31.
>> Então o outro primo é 31.
>> Saudações,
>> PJMS.
>>
>> Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo 
>> escreveu:
>>
>>> A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é:
>>> R: 39
>>>
>>> Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos os
>>> fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é fator.
>>> Minha dificuldade é descobrir o terceiro
>>> --
>>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Números primos

[Pedro José]

Boa noite.
Desconsiderar.
Está errado.

Em Qui, 7 de jun de 2018 23:10, Pedro José  escreveu:

> Boa noite!
> p| 15(15^(15^15)+1) então:
> 15^(15^15) = -1 mod p.
>
> Como 15^(p-1) =1 mod p
> 15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1).
> Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei como
> mostrar, sem a dica do enunciado.
> Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado.
> Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende.
> Para p=11, 15^15=5 mod10
> 15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende.
> Até chegar a p=31.
> 15^15= 15 mod 30
> 15^15 = ? mod 31
> 15^2=8 mod 31
> 15^4 =64=2 mod 31
> 14^8=4 mod 31
> 15^14=8*2*4=2 mod  31.
> 15^15= -1 mod 31.
> Então o outro primo é 31.
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo 
> escreveu:
>
>> A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é:
>> R: 39
>>
>> Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos os
>> fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é fator.
>> Minha dificuldade é descobrir o terceiro
>> --
>> Fiscal: Daniel Quevedo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Números primos

[Pedro José]

Boa noite!
p| 15(15^(15^15)+1) então:
15^(15^15) = -1 mod p.

Como 15^(p-1) =1 mod p
15^(15^15) = 15^a, onde a=15^15 mod(p-1).
Como o problema da a dica de que são apenas 4 primos.isso não pensei como
mostrar, sem a dica do enunciado.
Aí, você começa com p=7 e continua até achar o primo desejado.
Para p=7 da de cara:15^(15^15)=1 mod7, não atende.
Para p=11, 15^15=5 mod10
15^(15^15)=15^5=1 mod 11, não atende.
Até chegar a p=31.
15^15= 15 mod 30
15^15 = ? mod 31
15^2=8 mod 31
15^4 =64=2 mod 31
14^8=4 mod 31
15^14=8*2*4=2 mod  31.
15^15= -1 mod 31.
Então o outro primo é 31.
Saudações,
PJMS.

Em Qui, 7 de jun de 2018 18:27, Daniel Quevedo 
escreveu:

> A soma dos 4 fatores primos distintos do número 15^(15^15) + 15 é:
> R: 39
>
> Pergunta: dá pra saber rápido q se colocarmos 15 em evidência temos os
> fatores 3 e 5. Como a soma de dois ímpares é sempre par, o 2 tbm é fator.
> Minha dificuldade é descobrir o terceiro
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números triangulares

[Israel Meireles Chrisostomo]

ao invés de "se é quadrado perfeito" eu quis dizer elevando ao quadrado

Em 10 de agosto de 2017 11:51, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Só uma pequena correção o número u procurado é u=t(2+(u-3)/2)-t((u-3)/2)
>
> Em 10 de agosto de 2017 11:45, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Não acho que não errei a solução é essa mesmo
>>
>> Em 10 de agosto de 2017 11:44, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Ops acho que errei na verdade era 3k+6, mas aí  problema pode ser
>>> resolvido da mesma forma
>>>
>>> Em 10 de agosto de 2017 11:38, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Seja u esse quadrado ímpar múltiplo de 3.Não sei talvez partindo da
 observação que um número ímpar multiplo de 3 está na forma 6k+3, se é
 quadrado perfeito, como u=(6k+3)² =9(4j²+4j+1)
 daí então (o²+o)/2-(m²+m)/2=(6k+3)²  >>>  
 (o-m)(o+m)+o-m=2(6k+3)²>>>(o-m)(o+m+1)=2(6j+3)²
  escreva o-m=2  e  o+m+1=(6j+3)² , então,  e daí então  m=((6j+3)²-3)/2
 isto é claramente um inteiro pois 6j+3 é ímpar, por outro lado
 o=2+((6j+3)²-3)/2 então teremos que t(2+((6j+3)²-3)/2) -t(((6j+3)²-3)/2) ou
 seja u=t(2+u)-t(u) é o número procurado.

 Em 9 de agosto de 2017 23:53, Carlos Gomes 
 escreveu:

> Não é uma pegadinha...são dois problemas completamente diferentes! O
> resultado deve ser verdadeiro para números triangulares não consecutivos,
> mas NECESSARIAMENTE a condição de serem não consecutivos precisa ser
> explicita no enunciado, caso contrário a solução é a do Israel. Mas é
> interessante no caso não consecutivo...vamos tentar...
>
> Em 9 de agosto de 2017 22:48, Bruno Visnadi <
> brunovisnadida...@gmail.com> escreveu:
>
>> Ainda assim, todo número natural ímpar é a diferença de dois números
>> triangulares não consecutivos. O problema é uma 'pegadinha', mesmo!
>>
>> Em 9 de agosto de 2017 22:40, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Se ele tivesse dito triangulares não consecutivos, aí talvez o
>>> problema ficaria mais interessante.
>>>
>>> Em 9 de agosto de 2017 22:32, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Esse problema foi formulado de modo a enganar o leitor, ao se
 colocar muitos detalhes que nos confundem.Talvez o autor do problema 
 tenha
 encontrado uma relação mais complexa, mas como o problema está muito
 abrangente, o problema se resolve facilmente por essa observação.

 Em 9 de agosto de 2017 22:19, Israel Meireles Chrisostomo <
 israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> A diferença t(n+1)-t(n)=(n+1)(n+2)/2-n(n+1)/2=n+1  qualquer
> número natural maior do que 0 é a diferença de dois números 
> triangulares
>
> Em 9 de agosto de 2017 21:23, Pedro Chaves 
> escreveu:
>
>> Caros Colegas,
>> Seja N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} o conjunto dos números naturais.
>> Chamamos de número triangular a qualquer número obtido pela
>> expressão  t(n) = n.(n+1) / 2, sendo n um natural qualquer.
>> Como podemos provar que o quadrado de qualquer número natural
>> ímpar, múltiplo de 3, é a diferença entre dois números triangulares?
>> Abraços do Pedro Chaves.
>> 
>> ---
>>
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>> acredita-se estar livre de perigo.
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> acredita-se estar livre de perigo.
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[Israel Meireles Chrisostomo]

Não acho que não errei a solução é essa mesmo

Em 10 de agosto de 2017 11:44, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Ops acho que errei na verdade era 3k+6, mas aí  problema pode ser
> resolvido da mesma forma
>
> Em 10 de agosto de 2017 11:38, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Seja u esse quadrado ímpar múltiplo de 3.Não sei talvez partindo da
>> observação que um número ímpar multiplo de 3 está na forma 6k+3, se é
>> quadrado perfeito, como u=(6k+3)² =9(4j²+4j+1)
>> daí então (o²+o)/2-(m²+m)/2=(6k+3)²  >>>  
>> (o-m)(o+m)+o-m=2(6k+3)²>>>(o-m)(o+m+1)=2(6j+3)²
>>  escreva o-m=2  e  o+m+1=(6j+3)² , então,  e daí então  m=((6j+3)²-3)/2
>> isto é claramente um inteiro pois 6j+3 é ímpar, por outro lado
>> o=2+((6j+3)²-3)/2 então teremos que t(2+((6j+3)²-3)/2) -t(((6j+3)²-3)/2) ou
>> seja u=t(2+u)-t(u) é o número procurado.
>>
>> Em 9 de agosto de 2017 23:53, Carlos Gomes 
>> escreveu:
>>
>>> Não é uma pegadinha...são dois problemas completamente diferentes! O
>>> resultado deve ser verdadeiro para números triangulares não consecutivos,
>>> mas NECESSARIAMENTE a condição de serem não consecutivos precisa ser
>>> explicita no enunciado, caso contrário a solução é a do Israel. Mas é
>>> interessante no caso não consecutivo...vamos tentar...
>>>
>>> Em 9 de agosto de 2017 22:48, Bruno Visnadi >> > escreveu:
>>>
 Ainda assim, todo número natural ímpar é a diferença de dois números
 triangulares não consecutivos. O problema é uma 'pegadinha', mesmo!

 Em 9 de agosto de 2017 22:40, Israel Meireles Chrisostomo <
 israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Se ele tivesse dito triangulares não consecutivos, aí talvez o
> problema ficaria mais interessante.
>
> Em 9 de agosto de 2017 22:32, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Esse problema foi formulado de modo a enganar o leitor, ao se colocar
>> muitos detalhes que nos confundem.Talvez o autor do problema tenha
>> encontrado uma relação mais complexa, mas como o problema está muito
>> abrangente, o problema se resolve facilmente por essa observação.
>>
>> Em 9 de agosto de 2017 22:19, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> A diferença t(n+1)-t(n)=(n+1)(n+2)/2-n(n+1)/2=n+1  qualquer número
>>> natural maior do que 0 é a diferença de dois números triangulares
>>>
>>> Em 9 de agosto de 2017 21:23, Pedro Chaves 
>>> escreveu:
>>>
 Caros Colegas,
 Seja N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} o conjunto dos números naturais.
 Chamamos de número triangular a qualquer número obtido pela
 expressão  t(n) = n.(n+1) / 2, sendo n um natural qualquer.
 Como podemos provar que o quadrado de qualquer número natural
 ímpar, múltiplo de 3, é a diferença entre dois números triangulares?
 Abraços do Pedro Chaves.
 
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>>>
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>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>>
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números triangulares

[Israel Meireles Chrisostomo]

Só uma pequena correção o número u procurado é u=t(2+(u-3)/2)-t((u-3)/2)

Em 10 de agosto de 2017 11:45, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Não acho que não errei a solução é essa mesmo
>
> Em 10 de agosto de 2017 11:44, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Ops acho que errei na verdade era 3k+6, mas aí  problema pode ser
>> resolvido da mesma forma
>>
>> Em 10 de agosto de 2017 11:38, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Seja u esse quadrado ímpar múltiplo de 3.Não sei talvez partindo da
>>> observação que um número ímpar multiplo de 3 está na forma 6k+3, se é
>>> quadrado perfeito, como u=(6k+3)² =9(4j²+4j+1)
>>> daí então (o²+o)/2-(m²+m)/2=(6k+3)²  >>>  
>>> (o-m)(o+m)+o-m=2(6k+3)²>>>(o-m)(o+m+1)=2(6j+3)²
>>>  escreva o-m=2  e  o+m+1=(6j+3)² , então,  e daí então  m=((6j+3)²-3)/2
>>> isto é claramente um inteiro pois 6j+3 é ímpar, por outro lado
>>> o=2+((6j+3)²-3)/2 então teremos que t(2+((6j+3)²-3)/2) -t(((6j+3)²-3)/2) ou
>>> seja u=t(2+u)-t(u) é o número procurado.
>>>
>>> Em 9 de agosto de 2017 23:53, Carlos Gomes 
>>> escreveu:
>>>
 Não é uma pegadinha...são dois problemas completamente diferentes! O
 resultado deve ser verdadeiro para números triangulares não consecutivos,
 mas NECESSARIAMENTE a condição de serem não consecutivos precisa ser
 explicita no enunciado, caso contrário a solução é a do Israel. Mas é
 interessante no caso não consecutivo...vamos tentar...

 Em 9 de agosto de 2017 22:48, Bruno Visnadi <
 brunovisnadida...@gmail.com> escreveu:

> Ainda assim, todo número natural ímpar é a diferença de dois números
> triangulares não consecutivos. O problema é uma 'pegadinha', mesmo!
>
> Em 9 de agosto de 2017 22:40, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Se ele tivesse dito triangulares não consecutivos, aí talvez o
>> problema ficaria mais interessante.
>>
>> Em 9 de agosto de 2017 22:32, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Esse problema foi formulado de modo a enganar o leitor, ao se
>>> colocar muitos detalhes que nos confundem.Talvez o autor do problema 
>>> tenha
>>> encontrado uma relação mais complexa, mas como o problema está muito
>>> abrangente, o problema se resolve facilmente por essa observação.
>>>
>>> Em 9 de agosto de 2017 22:19, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 A diferença t(n+1)-t(n)=(n+1)(n+2)/2-n(n+1)/2=n+1  qualquer número
 natural maior do que 0 é a diferença de dois números triangulares

 Em 9 de agosto de 2017 21:23, Pedro Chaves 
 escreveu:

> Caros Colegas,
> Seja N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} o conjunto dos números naturais.
> Chamamos de número triangular a qualquer número obtido pela
> expressão  t(n) = n.(n+1) / 2, sendo n um natural qualquer.
> Como podemos provar que o quadrado de qualquer número natural
> ímpar, múltiplo de 3, é a diferença entre dois números triangulares?
> Abraços do Pedro Chaves.
> 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números triangulares

[Israel Meireles Chrisostomo]

Ops acho que errei na verdade era 3k+6, mas aí  problema pode ser resolvido
da mesma forma

Em 10 de agosto de 2017 11:38, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Seja u esse quadrado ímpar múltiplo de 3.Não sei talvez partindo da
> observação que um número ímpar multiplo de 3 está na forma 6k+3, se é
> quadrado perfeito, como u=(6k+3)² =9(4j²+4j+1)
> daí então (o²+o)/2-(m²+m)/2=(6k+3)²  >>>  
> (o-m)(o+m)+o-m=2(6k+3)²>>>(o-m)(o+m+1)=2(6j+3)²
>  escreva o-m=2  e  o+m+1=(6j+3)² , então,  e daí então  m=((6j+3)²-3)/2
> isto é claramente um inteiro pois 6j+3 é ímpar, por outro lado
> o=2+((6j+3)²-3)/2 então teremos que t(2+((6j+3)²-3)/2) -t(((6j+3)²-3)/2) ou
> seja u=t(2+u)-t(u) é o número procurado.
>
> Em 9 de agosto de 2017 23:53, Carlos Gomes  escreveu:
>
>> Não é uma pegadinha...são dois problemas completamente diferentes! O
>> resultado deve ser verdadeiro para números triangulares não consecutivos,
>> mas NECESSARIAMENTE a condição de serem não consecutivos precisa ser
>> explicita no enunciado, caso contrário a solução é a do Israel. Mas é
>> interessante no caso não consecutivo...vamos tentar...
>>
>> Em 9 de agosto de 2017 22:48, Bruno Visnadi 
>> escreveu:
>>
>>> Ainda assim, todo número natural ímpar é a diferença de dois números
>>> triangulares não consecutivos. O problema é uma 'pegadinha', mesmo!
>>>
>>> Em 9 de agosto de 2017 22:40, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Se ele tivesse dito triangulares não consecutivos, aí talvez o problema
 ficaria mais interessante.

 Em 9 de agosto de 2017 22:32, Israel Meireles Chrisostomo <
 israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Esse problema foi formulado de modo a enganar o leitor, ao se colocar
> muitos detalhes que nos confundem.Talvez o autor do problema tenha
> encontrado uma relação mais complexa, mas como o problema está muito
> abrangente, o problema se resolve facilmente por essa observação.
>
> Em 9 de agosto de 2017 22:19, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> A diferença t(n+1)-t(n)=(n+1)(n+2)/2-n(n+1)/2=n+1  qualquer número
>> natural maior do que 0 é a diferença de dois números triangulares
>>
>> Em 9 de agosto de 2017 21:23, Pedro Chaves 
>> escreveu:
>>
>>> Caros Colegas,
>>> Seja N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} o conjunto dos números naturais.
>>> Chamamos de número triangular a qualquer número obtido pela
>>> expressão  t(n) = n.(n+1) / 2, sendo n um natural qualquer.
>>> Como podemos provar que o quadrado de qualquer número natural ímpar,
>>> múltiplo de 3, é a diferença entre dois números triangulares?
>>> Abraços do Pedro Chaves.
>>> 
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
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>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
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>
> --
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números triangulares

[Israel Meireles Chrisostomo]

Seja u esse quadrado ímpar múltiplo de 3.Não sei talvez partindo da
observação que um número ímpar multiplo de 3 está na forma 6k+3, se é
quadrado perfeito, como u=(6k+3)² =9(4j²+4j+1)
daí então (o²+o)/2-(m²+m)/2=(6k+3)²  >>>
 (o-m)(o+m)+o-m=2(6k+3)²>>>(o-m)(o+m+1)=2(6j+3)²  escreva o-m=2  e
 o+m+1=(6j+3)² , então,  e daí então  m=((6j+3)²-3)/2 isto é claramente um
inteiro pois 6j+3 é ímpar, por outro lado o=2+((6j+3)²-3)/2 então teremos
que t(2+((6j+3)²-3)/2) -t(((6j+3)²-3)/2) ou seja u=t(2+u)-t(u) é o número
procurado.

Em 9 de agosto de 2017 23:53, Carlos Gomes  escreveu:

> Não é uma pegadinha...são dois problemas completamente diferentes! O
> resultado deve ser verdadeiro para números triangulares não consecutivos,
> mas NECESSARIAMENTE a condição de serem não consecutivos precisa ser
> explicita no enunciado, caso contrário a solução é a do Israel. Mas é
> interessante no caso não consecutivo...vamos tentar...
>
> Em 9 de agosto de 2017 22:48, Bruno Visnadi 
> escreveu:
>
>> Ainda assim, todo número natural ímpar é a diferença de dois números
>> triangulares não consecutivos. O problema é uma 'pegadinha', mesmo!
>>
>> Em 9 de agosto de 2017 22:40, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Se ele tivesse dito triangulares não consecutivos, aí talvez o problema
>>> ficaria mais interessante.
>>>
>>> Em 9 de agosto de 2017 22:32, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Esse problema foi formulado de modo a enganar o leitor, ao se colocar
 muitos detalhes que nos confundem.Talvez o autor do problema tenha
 encontrado uma relação mais complexa, mas como o problema está muito
 abrangente, o problema se resolve facilmente por essa observação.

 Em 9 de agosto de 2017 22:19, Israel Meireles Chrisostomo <
 israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> A diferença t(n+1)-t(n)=(n+1)(n+2)/2-n(n+1)/2=n+1  qualquer número
> natural maior do que 0 é a diferença de dois números triangulares
>
> Em 9 de agosto de 2017 21:23, Pedro Chaves 
> escreveu:
>
>> Caros Colegas,
>> Seja N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} o conjunto dos números naturais.
>> Chamamos de número triangular a qualquer número obtido pela expressão
>>  t(n) = n.(n+1) / 2, sendo n um natural qualquer.
>> Como podemos provar que o quadrado de qualquer número natural ímpar,
>> múltiplo de 3, é a diferença entre dois números triangulares?
>> Abraços do Pedro Chaves.
>> 
>> ---
>>
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
>
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>



 --
 Israel Meireles Chrisostomo

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>>>
>>>
>>> --
>>> Israel Meireles Chrisostomo
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>



-- 
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números triangulares

[Carlos Gomes]

Não é uma pegadinha...são dois problemas completamente diferentes! O
resultado deve ser verdadeiro para números triangulares não consecutivos,
mas NECESSARIAMENTE a condição de serem não consecutivos precisa ser
explicita no enunciado, caso contrário a solução é a do Israel. Mas é
interessante no caso não consecutivo...vamos tentar...

Em 9 de agosto de 2017 22:48, Bruno Visnadi 
escreveu:

> Ainda assim, todo número natural ímpar é a diferença de dois números
> triangulares não consecutivos. O problema é uma 'pegadinha', mesmo!
>
> Em 9 de agosto de 2017 22:40, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Se ele tivesse dito triangulares não consecutivos, aí talvez o problema
>> ficaria mais interessante.
>>
>> Em 9 de agosto de 2017 22:32, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Esse problema foi formulado de modo a enganar o leitor, ao se colocar
>>> muitos detalhes que nos confundem.Talvez o autor do problema tenha
>>> encontrado uma relação mais complexa, mas como o problema está muito
>>> abrangente, o problema se resolve facilmente por essa observação.
>>>
>>> Em 9 de agosto de 2017 22:19, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 A diferença t(n+1)-t(n)=(n+1)(n+2)/2-n(n+1)/2=n+1  qualquer número
 natural maior do que 0 é a diferença de dois números triangulares

 Em 9 de agosto de 2017 21:23, Pedro Chaves 
 escreveu:

> Caros Colegas,
> Seja N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} o conjunto dos números naturais.
> Chamamos de número triangular a qualquer número obtido pela expressão
>  t(n) = n.(n+1) / 2, sendo n um natural qualquer.
> Como podemos provar que o quadrado de qualquer número natural ímpar,
> múltiplo de 3, é a diferença entre dois números triangulares?
> Abraços do Pedro Chaves.
> 
> ---
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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 Israel Meireles Chrisostomo

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>> acredita-se estar livre de perigo.
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números triangulares

[Carlos Gomes]

Isso mesmo Israel...eu estava exatamente tentando isso aqui!

Em 9 de agosto de 2017 22:40, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Se ele tivesse dito triangulares não consecutivos, aí talvez o problema
> ficaria mais interessante.
>
> Em 9 de agosto de 2017 22:32, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Esse problema foi formulado de modo a enganar o leitor, ao se colocar
>> muitos detalhes que nos confundem.Talvez o autor do problema tenha
>> encontrado uma relação mais complexa, mas como o problema está muito
>> abrangente, o problema se resolve facilmente por essa observação.
>>
>> Em 9 de agosto de 2017 22:19, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> A diferença t(n+1)-t(n)=(n+1)(n+2)/2-n(n+1)/2=n+1  qualquer número
>>> natural maior do que 0 é a diferença de dois números triangulares
>>>
>>> Em 9 de agosto de 2017 21:23, Pedro Chaves 
>>> escreveu:
>>>
 Caros Colegas,
 Seja N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} o conjunto dos números naturais.
 Chamamos de número triangular a qualquer número obtido pela expressão
  t(n) = n.(n+1) / 2, sendo n um natural qualquer.
 Como podemos provar que o quadrado de qualquer número natural ímpar,
 múltiplo de 3, é a diferença entre dois números triangulares?
 Abraços do Pedro Chaves.
 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números triangulares

[Bruno Visnadi]

Ainda assim, todo número natural ímpar é a diferença de dois números
triangulares não consecutivos. O problema é uma 'pegadinha', mesmo!

Em 9 de agosto de 2017 22:40, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Se ele tivesse dito triangulares não consecutivos, aí talvez o problema
> ficaria mais interessante.
>
> Em 9 de agosto de 2017 22:32, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Esse problema foi formulado de modo a enganar o leitor, ao se colocar
>> muitos detalhes que nos confundem.Talvez o autor do problema tenha
>> encontrado uma relação mais complexa, mas como o problema está muito
>> abrangente, o problema se resolve facilmente por essa observação.
>>
>> Em 9 de agosto de 2017 22:19, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> A diferença t(n+1)-t(n)=(n+1)(n+2)/2-n(n+1)/2=n+1  qualquer número
>>> natural maior do que 0 é a diferença de dois números triangulares
>>>
>>> Em 9 de agosto de 2017 21:23, Pedro Chaves 
>>> escreveu:
>>>
 Caros Colegas,
 Seja N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} o conjunto dos números naturais.
 Chamamos de número triangular a qualquer número obtido pela expressão
  t(n) = n.(n+1) / 2, sendo n um natural qualquer.
 Como podemos provar que o quadrado de qualquer número natural ímpar,
 múltiplo de 3, é a diferença entre dois números triangulares?
 Abraços do Pedro Chaves.
 
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[obm-l] Re: [obm-l] Números triangulares

[Israel Meireles Chrisostomo]

Obrigado Carlos Gomes

Em 9 de agosto de 2017 22:40, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Se ele tivesse dito triangulares não consecutivos, aí talvez o problema
> ficaria mais interessante.
>
> Em 9 de agosto de 2017 22:32, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Esse problema foi formulado de modo a enganar o leitor, ao se colocar
>> muitos detalhes que nos confundem.Talvez o autor do problema tenha
>> encontrado uma relação mais complexa, mas como o problema está muito
>> abrangente, o problema se resolve facilmente por essa observação.
>>
>> Em 9 de agosto de 2017 22:19, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> A diferença t(n+1)-t(n)=(n+1)(n+2)/2-n(n+1)/2=n+1  qualquer número
>>> natural maior do que 0 é a diferença de dois números triangulares
>>>
>>> Em 9 de agosto de 2017 21:23, Pedro Chaves 
>>> escreveu:
>>>
 Caros Colegas,
 Seja N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} o conjunto dos números naturais.
 Chamamos de número triangular a qualquer número obtido pela expressão
  t(n) = n.(n+1) / 2, sendo n um natural qualquer.
 Como podemos provar que o quadrado de qualquer número natural ímpar,
 múltiplo de 3, é a diferença entre dois números triangulares?
 Abraços do Pedro Chaves.
 
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[obm-l] Re: [obm-l] Números triangulares

[Israel Meireles Chrisostomo]

Se ele tivesse dito triangulares não consecutivos, aí talvez o problema
ficaria mais interessante.

Em 9 de agosto de 2017 22:32, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Esse problema foi formulado de modo a enganar o leitor, ao se colocar
> muitos detalhes que nos confundem.Talvez o autor do problema tenha
> encontrado uma relação mais complexa, mas como o problema está muito
> abrangente, o problema se resolve facilmente por essa observação.
>
> Em 9 de agosto de 2017 22:19, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> A diferença t(n+1)-t(n)=(n+1)(n+2)/2-n(n+1)/2=n+1  qualquer número
>> natural maior do que 0 é a diferença de dois números triangulares
>>
>> Em 9 de agosto de 2017 21:23, Pedro Chaves 
>> escreveu:
>>
>>> Caros Colegas,
>>> Seja N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} o conjunto dos números naturais.
>>> Chamamos de número triangular a qualquer número obtido pela expressão
>>>  t(n) = n.(n+1) / 2, sendo n um natural qualquer.
>>> Como podemos provar que o quadrado de qualquer número natural ímpar,
>>> múltiplo de 3, é a diferença entre dois números triangulares?
>>> Abraços do Pedro Chaves.
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[obm-l] Re: [obm-l] Números triangulares

[Israel Meireles Chrisostomo]

Esse problema foi formulado de modo a enganar o leitor, ao se colocar
muitos detalhes que nos confundem.Talvez o autor do problema tenha
encontrado uma relação mais complexa, mas como o problema está muito
abrangente, o problema se resolve facilmente por essa observação.

Em 9 de agosto de 2017 22:19, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> A diferença t(n+1)-t(n)=(n+1)(n+2)/2-n(n+1)/2=n+1  qualquer número
> natural maior do que 0 é a diferença de dois números triangulares
>
> Em 9 de agosto de 2017 21:23, Pedro Chaves 
> escreveu:
>
>> Caros Colegas,
>> Seja N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} o conjunto dos números naturais.
>> Chamamos de número triangular a qualquer número obtido pela expressão
>>  t(n) = n.(n+1) / 2, sendo n um natural qualquer.
>> Como podemos provar que o quadrado de qualquer número natural ímpar,
>> múltiplo de 3, é a diferença entre dois números triangulares?
>> Abraços do Pedro Chaves.
>> 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números triangulares

[Carlos Gomes]

Ótima solução Israel...

Em 9 de agosto de 2017 22:19, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> A diferença t(n+1)-t(n)=(n+1)(n+2)/2-n(n+1)/2=n+1  qualquer número
> natural maior do que 0 é a diferença de dois números triangulares
>
> Em 9 de agosto de 2017 21:23, Pedro Chaves 
> escreveu:
>
>> Caros Colegas,
>> Seja N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} o conjunto dos números naturais.
>> Chamamos de número triangular a qualquer número obtido pela expressão
>>  t(n) = n.(n+1) / 2, sendo n um natural qualquer.
>> Como podemos provar que o quadrado de qualquer número natural ímpar,
>> múltiplo de 3, é a diferença entre dois números triangulares?
>> Abraços do Pedro Chaves.
>> 
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[obm-l] Re: [obm-l] Números triangulares

[Israel Meireles Chrisostomo]

A diferença t(n+1)-t(n)=(n+1)(n+2)/2-n(n+1)/2=n+1  qualquer número natural
maior do que 0 é a diferença de dois números triangulares

Em 9 de agosto de 2017 21:23, Pedro Chaves  escreveu:

> Caros Colegas,
> Seja N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} o conjunto dos números naturais.
> Chamamos de número triangular a qualquer número obtido pela expressão
>  t(n) = n.(n+1) / 2, sendo n um natural qualquer.
> Como podemos provar que o quadrado de qualquer número natural ímpar,
> múltiplo de 3, é a diferença entre dois números triangulares?
> Abraços do Pedro Chaves.
> 
> ---
>
>
>
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>



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Israel Meireles Chrisostomo

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números inteiros

[Mauricio de Araujo]

​Bernardo, acho que esta solução se complica por conta da imposição de
termos os valores das incógnitas A, B, C e D menores ou iguais a 5... Acho
que fica mais fácil usando a função abaixo:

f(x) = (x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8) ^4

e então descobrindo o valor do coeficiente de x^27...​

Resposta: 56 soluções.

Em 24 de janeiro de 2016 22:50, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> 2016-01-24 22:30 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges
> :
> > Determinar o número de soluções inteiras da equação a + b + c + d = 27
> > onde cada variável toma valores entre 3 e 8
>
> Faça a = A + 3, idem para B, C, D. Isso dá
>
> A+B+C+D = 27 - 4*3 = 15, onde A,B,C,D estão entre 0 e 5. Daqui em
> diante, o argumento de separar pedras (os 15 totais) com pauzinhos
> (para escolher quantas vão para A,B,C ou D) mata.
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>



-- 

Abraços,
oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ

[obm-l] Re: [obm-l] Números inteiros

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2016-01-24 22:30 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges
:
> Determinar o número de soluções inteiras da equação a + b + c + d = 27
> onde cada variável toma valores entre 3 e 8

Faça a = A + 3, idem para B, C, D. Isso dá

A+B+C+D = 27 - 4*3 = 15, onde A,B,C,D estão entre 0 e 5. Daqui em
diante, o argumento de separar pedras (os 15 totais) com pauzinhos
(para escolher quantas vão para A,B,C ou D) mata.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Re: [obm-l] Números inteiros

[Fred Costa Milhome]

Quero sair da lista obm-l

Enviado pelo meu Windows Phone

De: Bernardo Freitas Paulo da Costa
Enviada em: 24/01/2016 22:56
Para: Lista de E-mails da OBM
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Números inteiros

2016-01-24 22:30 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges
<marconeborge...@hotmail.com>:
> Determinar o número de soluções inteiras da equação a + b + c + d = 27
> onde cada variável toma valores entre 3 e 8

Faça a = A + 3, idem para B, C, D. Isso dá

A+B+C+D = 27 - 4*3 = 15, onde A,B,C,D estão entre 0 e 5. Daqui em
diante, o argumento de separar pedras (os 15 totais) com pauzinhos
(para escolher quantas vão para A,B,C ou D) mata.

Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] números especiais OMERJ 2015

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2015-10-15 21:43 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa
:
> 2015-10-15 16:42 GMT-03:00 Luís :
>> Sauda,c~oes,
>>
>> Um número é dito especial se ele tem dois ou mais algarismos
>> e é múltiplo da soma dos seus algarismos. Por exemplo, 12 é
>> especial pois é múltiplo de 1 + 2 = 3.
>>
>> a) encontre três números especiais consecutivos;
>
> Não pensei em nada muito especial, mas se x = ab com dois dígitos
> ímpares, a soma é par.
> Logo, para 1b, 3b, 5b, 7b e 9b não precisa testar se os números são
> especiais ou não, pois é impossível haver três consecutivos, já que a
> cada dois um não é. Logo restam os números da forma 2b, 4b, 6b e 8b
> (com dois dígitos). Daí em diante um pouco de força bruta acha três
> consecutivos.
>
>> b) encontre quatro números especiais consecutivos.
>
> Ainda não achei estes. Acredito que tenha que usar divisibilidade por
> 3 e 4; eu não usei por 3 no caso anterior porque acabou sendo mais
> fácil a força bruta mesmo.

Achei. Divisibilidade mesmo. Vou dar uma dica: escreva o primeiro
número dos quatro na forma (10x + b), e introduza s = soma dos dígitos
de x. Há alguns casos a tratar, mas "aposte na sorte" e nos casos que
"têm mais": suponha que não ocorre vai-um. Com isso, escreva as
condições de divisibilidade, e mostre que (10x - s) tem que ser bem
especial.

Problema muito bonito!

Abraços
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Re: [obm-l] números especiais OMERJ 2015

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2015-10-15 16:42 GMT-03:00 Luís :
> Sauda,c~oes,
>
> Um número é dito especial se ele tem dois ou mais algarismos
> e é múltiplo da soma dos seus algarismos. Por exemplo, 12 é
> especial pois é múltiplo de 1 + 2 = 3.
>
> a) encontre três números especiais consecutivos;

Não pensei em nada muito especial, mas se x = ab com dois dígitos
ímpares, a soma é par.
Logo, para 1b, 3b, 5b, 7b e 9b não precisa testar se os números são
especiais ou não, pois é impossível haver três consecutivos, já que a
cada dois um não é. Logo restam os números da forma 2b, 4b, 6b e 8b
(com dois dígitos). Daí em diante um pouco de força bruta acha três
consecutivos.

> b) encontre quatro números especiais consecutivos.

Ainda não achei estes. Acredito que tenha que usar divisibilidade por
3 e 4; eu não usei por 3 no caso anterior porque acabou sendo mais
fácil a força bruta mesmo.
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] números especiais OMERJ 2015

[Matheus Secco]

Um exemplo com quatro é 510, 511, 512, 513

2015-10-15 21:43 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com>:

> 2015-10-15 16:42 GMT-03:00 Luís :
> > Sauda,c~oes,
> >
> > Um número é dito especial se ele tem dois ou mais algarismos
> > e é múltiplo da soma dos seus algarismos. Por exemplo, 12 é
> > especial pois é múltiplo de 1 + 2 = 3.
> >
> > a) encontre três números especiais consecutivos;
>
> Não pensei em nada muito especial, mas se x = ab com dois dígitos
> ímpares, a soma é par.
> Logo, para 1b, 3b, 5b, 7b e 9b não precisa testar se os números são
> especiais ou não, pois é impossível haver três consecutivos, já que a
> cada dois um não é. Logo restam os números da forma 2b, 4b, 6b e 8b
> (com dois dígitos). Daí em diante um pouco de força bruta acha três
> consecutivos.
>
> > b) encontre quatro números especiais consecutivos.
>
> Ainda não achei estes. Acredito que tenha que usar divisibilidade por
> 3 e 4; eu não usei por 3 no caso anterior porque acabou sendo mais
> fácil a força bruta mesmo.
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
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>
>
> =
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> =
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[obm-l] Re: [obm-l] Números complexos

[Willy George Amaral Petrenko]

Vc quer uma dica ou a solução?

Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a ver
com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária na
igualdade acima, o 1 morre.

Se quiser a solução responde.

2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro do
 Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números complexos:

 *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e C,
 respectivamente, demonstre que *

 *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)*

 *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os vértices
 do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 – z3)/(z3 – z1) +
 1 = 0.*

 Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde
 utilizar a identidade sugerida.

 Obrigado,

 Vanderlei

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos

[Vanderlei Nemitz]

Willy, se não for incomodar, poste a solução. Preciso desse resultado para
prosseguir.

Muito obrigado pela ajuda!

Vanderlei

Em 8 de setembro de 2014 12:24, Willy George Amaral Petrenko 
wgapetre...@gmail.com escreveu:

 Vc quer uma dica ou a solução?

 Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a ver
 com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária na
 igualdade acima, o 1 morre.

 Se quiser a solução responde.

 2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro do
 Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números complexos:

 *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e
 C, respectivamente, demonstre que *

 *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)*

 *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os vértices
 do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 – z3)/(z3 – z1) +
 1 = 0.*

 Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde
 utilizar a identidade sugerida.

 Obrigado,

 Vanderlei

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos

[Willy George Amaral Petrenko]

A = z1; B = z2; C = z3

(z1-z2) é o vetor correspondente ao lado c. (z1-z2)/(z1-z3) é um complexo
que tem argumento igual ao ângulo Â. Então pela igualdade:

(z1-z2)/(z1-z3) + (z2-z3)/(z1-z3) + 1 = Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3)/(z
1-z3)} = 0 = |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen  =  |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C = |(z1
-z2)| * sen  =  |(z2-z3)| * sen C = c senA = a senC = a/senA = c/senC.
cqd

2014-09-08 12:31 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Willy, se não for incomodar, poste a solução. Preciso desse resultado para
 prosseguir.

 Muito obrigado pela ajuda!

 Vanderlei

 Em 8 de setembro de 2014 12:24, Willy George Amaral Petrenko 
 wgapetre...@gmail.com escreveu:

 Vc quer uma dica ou a solução?

 Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a ver
 com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária na
 igualdade acima, o 1 morre.

 Se quiser a solução responde.

 2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro do
 Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números complexos:

 *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e
 C, respectivamente, demonstre que *

 *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)*

 *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os vértices
 do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 – z3)/(z3 – z1) +
 1 = 0.*

 Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde
 utilizar a identidade sugerida.

 Obrigado,

 Vanderlei

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos

[Vanderlei Nemitz]

Valeu, Willy! Só não ficou muito clara a seguinte passagem:

 Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3)/(z1-z3)} = 0 = |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen Â
 =  |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C

Como que a soma nula transformou-se em uma igualdade?

Obrigado!


Em 8 de setembro de 2014 13:07, Willy George Amaral Petrenko 
wgapetre...@gmail.com escreveu:

 A = z1; B = z2; C = z3

 (z1-z2) é o vetor correspondente ao lado c. (z1-z2)/(z1-z3) é um complexo
 que tem argumento igual ao ângulo Â. Então pela igualdade:

 (z1-z2)/(z1-z3) + (z2-z3)/(z1-z3) + 1 = Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3
 )/(z1-z3)} = 0 = |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen  =  |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C
 = |(z1-z2)| * sen  =  |(z2-z3)| * sen C = c senA = a senC = a/senA =
 c/senC. cqd

 2014-09-08 12:31 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Willy, se não for incomodar, poste a solução. Preciso desse resultado para
 prosseguir.

 Muito obrigado pela ajuda!

 Vanderlei

 Em 8 de setembro de 2014 12:24, Willy George Amaral Petrenko 
 wgapetre...@gmail.com escreveu:

 Vc quer uma dica ou a solução?

 Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a
 ver com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária
 na igualdade acima, o 1 morre.

 Se quiser a solução responde.

 2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro
 do Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números 
 complexos:

 *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e
 C, respectivamente, demonstre que *

 *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)*

 *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os
 vértices do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 –
 z3)/(z3 – z1) + 1 = 0.*

 Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde
 utilizar a identidade sugerida.

 Obrigado,

 Vanderlei

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos

[Willy George Amaral Petrenko]

Ah sim, eu fui um pouco descuidado com o sinal _ o que quer dizer que eu
errei :( mas a ideia está certa:)

Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3)/(z1-z3)} = 0 = Im{(z1-z2)/(z1-z3)} = Im{(z
3-z2)/(z1-z3)}

Aqui só se pode afirmar que Im{(z1-z2)/(z1-z3)} = |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen
Â, dependendo da orientação do triângulo (ou seja, dependendo se o complexo
z1-z2 tem argumento maior do que o complexo z1-z3). Caso contrário seria
..sen - Â. Mas aí vc repara que independente da orientação, ambos Im{(z1
-z2)/(z1-z3)} e Im{(z3-z2)/(z1-z3)} tem o mesmo sinal. Daí, tendo em vista
que sen (- Â) = - sen Â, segue o raciocínio normalmente.

2014-09-08 22:15 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Valeu, Willy! Só não ficou muito clara a seguinte passagem:

  Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3)/(z1-z3)} = 0 = |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen
 Â  =  |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C

 Como que a soma nula transformou-se em uma igualdade?

 Obrigado!


 Em 8 de setembro de 2014 13:07, Willy George Amaral Petrenko 
 wgapetre...@gmail.com escreveu:

 A = z1; B = z2; C = z3

 (z1-z2) é o vetor correspondente ao lado c. (z1-z2)/(z1-z3) é um
 complexo que tem argumento igual ao ângulo Â. Então pela igualdade:

 (z1-z2)/(z1-z3) + (z2-z3)/(z1-z3) + 1 = Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3
 )/(z1-z3)} = 0 = |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen  =  |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C
 = |(z1-z2)| * sen  =  |(z2-z3)| * sen C = c senA = a senC = a/senA =
 c/senC. cqd

 2014-09-08 12:31 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Willy, se não for incomodar, poste a solução. Preciso desse resultado
 para prosseguir.

 Muito obrigado pela ajuda!

 Vanderlei

 Em 8 de setembro de 2014 12:24, Willy George Amaral Petrenko 
 wgapetre...@gmail.com escreveu:

 Vc quer uma dica ou a solução?

 Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a
 ver com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária
 na igualdade acima, o 1 morre.

 Se quiser a solução responde.

 2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro
 do Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números 
 complexos:

 *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B
 e C, respectivamente, demonstre que *

 *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)*

 *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os
 vértices do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 –
 z3)/(z3 – z1) + 1 = 0.*

 Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e
 onde utilizar a identidade sugerida.

 Obrigado,

 Vanderlei

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Inteiros

[Pedro José]

Bom dia!

Sempre deixo uma sujeirinha.

Onde: Assim x = 2k(2n+2k) = 4k(n+1) Assim qualquer múltiplo de 4 pode ser
escrito como a diferença de dois quadrados de interios.

Corrigir: Assim x = 2k(2n+2k) = 4k(n+*k*) Assim qualquer múltiplo de 4 pode
ser escrito como a diferença de dois quadrados de interios.

Realmente atribuindo-se 1 a k. Cobrimos qualquer múltiplo de 4.


Em 14 de maio de 2014 01:46, jamil silva wowels...@gmail.com escreveu:

 Muito bom seu argumento, PJMS. Obrigado !


 Em 13 de maio de 2014 15:25, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Boa tarde!

 Sejam dois inteiros  consecutivos,  n e n + 1.

 Portanto seus quadrados são: n^2 e n^2 + 2n + 1.

 Fazendo a diferença entre o maior e o menor temos : 2n +1. Portanto,
 qualquer inteiro ímpar pode ser escrito como a diferença de dois quadrados
 de inteiros.

 Escolhando dois inteiros aleatótios, n e n + h.

 Temos que x = (n+h)^2 - n^2 == x = 2nh+h^2 = h(2n+h)
 h Ɛ  2Z+1 == x  Ɛ  2Z+1 (não nos interessa, pois, já vimos que qualquer
 inteiro ímpar pode ser igualado a uma diferença de dois quadrados de
 inteiros.

 Sendo assim, resta h Ɛ  2Z == Ǝ k Ɛ  2Z | h = 2k.

 Assim x = 2k(2n+2k) = 4k(n+1) Assim qualquer múltiplo de 4 pode ser
 escrito como a diferença de dois quadrados de interios.

 Porém, um inteiro par que não divida 4, não pode ser escrito como a
 diferença de quadrados de dois inteiros.

 R: { x Ɛ  2Z  | x = 2m, m Ɛ  2Z+1}

 Saudações

 PJMS.







 Em 13 de maio de 2014 12:25, Listeiro 037 
 listeiro_...@yahoo.com.brescreveu:

  Em Tue, 13 May 2014 11:18:29 -0300
 jamil silva wowels...@gmail.com escreveu:

  Que tipo de número inteiro não é a diferença de quadrados inteiros
 ?
 


 Números da forma 2k, com k ímpar?


 --
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 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =



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[obm-l] Re: [obm-l] Números Inteiros

[Pedro José]

Boa tarde!

Sejam dois inteiros  consecutivos,  n e n + 1.

Portanto seus quadrados são: n^2 e n^2 + 2n + 1.

Fazendo a diferença entre o maior e o menor temos : 2n +1. Portanto,
qualquer inteiro ímpar pode ser escrito como a diferença de dois quadrados
de inteiros.

Escolhando dois inteiros aleatótios, n e n + h.

Temos que x = (n+h)^2 - n^2 == x = 2nh+h^2 = h(2n+h)
h Ɛ  2Z+1 == x  Ɛ  2Z+1 (não nos interessa, pois, já vimos que qualquer
inteiro ímpar pode ser igualado a uma diferença de dois quadrados de
inteiros.

Sendo assim, resta h Ɛ  2Z == Ǝ k Ɛ  2Z | h = 2k.

Assim x = 2k(2n+2k) = 4k(n+1) Assim qualquer múltiplo de 4 pode ser escrito
como a diferença de dois quadrados de interios.

Porém, um inteiro par que não divida 4, não pode ser escrito como a
diferença de quadrados de dois inteiros.

R: { x Ɛ  2Z  | x = 2m, m Ɛ  2Z+1}

Saudações

PJMS.







Em 13 de maio de 2014 12:25, Listeiro 037 listeiro_...@yahoo.com.brescreveu:

 Em Tue, 13 May 2014 11:18:29 -0300
 jamil silva wowels...@gmail.com escreveu:

  Que tipo de número inteiro não é a diferença de quadrados inteiros ?
 


 Números da forma 2k, com k ímpar?


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 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Inteiros

[jamil silva]

Muito bom seu argumento, PJMS. Obrigado !


Em 13 de maio de 2014 15:25, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Boa tarde!

 Sejam dois inteiros  consecutivos,  n e n + 1.

 Portanto seus quadrados são: n^2 e n^2 + 2n + 1.

 Fazendo a diferença entre o maior e o menor temos : 2n +1. Portanto,
 qualquer inteiro ímpar pode ser escrito como a diferença de dois quadrados
 de inteiros.

 Escolhando dois inteiros aleatótios, n e n + h.

 Temos que x = (n+h)^2 - n^2 == x = 2nh+h^2 = h(2n+h)
 h Ɛ  2Z+1 == x  Ɛ  2Z+1 (não nos interessa, pois, já vimos que qualquer
 inteiro ímpar pode ser igualado a uma diferença de dois quadrados de
 inteiros.

 Sendo assim, resta h Ɛ  2Z == Ǝ k Ɛ  2Z | h = 2k.

 Assim x = 2k(2n+2k) = 4k(n+1) Assim qualquer múltiplo de 4 pode ser
 escrito como a diferença de dois quadrados de interios.

 Porém, um inteiro par que não divida 4, não pode ser escrito como a
 diferença de quadrados de dois inteiros.

 R: { x Ɛ  2Z  | x = 2m, m Ɛ  2Z+1}

 Saudações

 PJMS.







 Em 13 de maio de 2014 12:25, Listeiro 037 listeiro_...@yahoo.com.brescreveu:

 Em Tue, 13 May 2014 11:18:29 -0300
 jamil silva wowels...@gmail.com escreveu:

  Que tipo de número inteiro não é a diferença de quadrados inteiros ?
 


 Números da forma 2k, com k ímpar?


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  acredita-se estar livre de perigo.


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 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] números biquadrados

[marcone augusto araújo borges]

E se não fosse dado um número daria para achar os dois?

Date: Sun, 20 Oct 2013 19:12:55 -0200
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] números biquadrados
From: pacini.bo...@globo.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Como o enunciado pede para determinar um outro e que 
a.(100-a) = b.(b-1) , teremos  para a = 12 e b = 33 , dados no enunciado a 
seguinte distribuição :12 x88 = 33x32 .

Observe que  a igualdade é satisfeita  também para a = 88 e b = 33; ou seja o 
número é 8833.
absPacini




Em 20 de outubro de 2013 08:49, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:




12^2 + 33^2 = 1233




 
 



  


  


  


  


 
 



  


  


  


  

Caiu em uma prova da obm: dado o número biquadrado acima,determinar 
outro.
100a + b = a^2 + b^2 (*)Fazendo b = 33,se não me engano,achamos a = 12 ou a = 
88.
Minha pergunta é : como resolver (*)? 
--

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 acredita-se estar livre de perigo.   
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[obm-l] Re: [obm-l] números biquadrados

[Pacini Bores]

Como o enunciado pede para determinar um outro e que

a.(100-a) = b.(b-1) , teremos  para a = 12 e b = 33 , dados no enunciado a
seguinte
distribuição :12 x88 = 33x32 .

Observe que  a igualdade é satisfeita  também para a = 88 e b = 33; ou seja
o número é 8833.

abs
Pacini




Em 20 de outubro de 2013 08:49, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 12^2 + 33^2 = 1233

 Caiu em uma prova da obm: dado o número biquadrado
 acima,determinar outro.

 100a + b = a^2 + b^2 (*)
 Fazendo b = 33,se não me engano,achamos a = 12 ou a = 88.
 Minha pergunta é : como resolver (*)?

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[obm-l] Re: [obm-l] Números inteiros

[Ralph Teixeira]

xy-143x-143y=0
(x-143)(y-143)=143^2=11^2.13^2

Olhando os divisores daquele numero a direita, sai.

Abraco,
   Ralph


2013/9/10 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

 Encontre todos os inteiros positivos x e y tais que 1/x + 1/y = 1/143

 Eu encontrei y = x^2/(x -143) - x e deu pra ver que
 x = 144 e y = 144*143 satisfaz.Mas foi só.
 Alguém ajuda?


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[obm-l] Re: [obm-l] Números com algarismos decrescentes.

[terence thirteen]

Todos eles são descendentes de 9876543210, no sentido que basta apagar seis
dígitos quaisquer deste numerão. A resposta então passa a ser 'dez escolhe
quatro'.

Outra forma mais imediata ainda é ver que você está apenas perguntando
quantos subconjuntos de quatro elementos distintos existem, de um conjunto
com dez (os algarismos de 0 a 9). Depois de escolher qualquer um destes
conjuntos, basta ordenar decrescentemente.


Em 13 de julho de 2013 12:20, Mauricio de Araujo 
mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 Quantos são os números de 4 algarismos nos quais cada algarismo é
 estritamente menor do que aquele que o precede?

 Por exemplo, 6432 é um desses números. Já 8665 não é...

 Os alunos, em geral, tentam resolver este problema abrindo-o em casos...
 mas existe uma solução mais imediata e elegante...

 --
 Abraços

 oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
 *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.*
 *Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios.*

 --
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-- 
/**/
神が祝福

Torres

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] números

[Mauricio barbosa]

Obrigado pela resposta!
Talvez possa me ajudar com uma outra questão.  Preciso comparar essa
quantidade de zeros com a quantidade de zeros dessa sequência, mas com
os números na base 60.  Poderia usar o mesmo raciocínio que você me
indicou, mas como passar o número 999...999 para a base 60 se não
temos a quantidade de algarismos?

Abç!!

Em 21 de agosto de 2012 17:39,  douglas.olive...@grupoolimpo.com.br escreveu:
 Vamos calcular os que possuem 0 na unidade, são exatamente são os números de
 10 à 9...90 ou seja os números a esquerda do zero variam de

 1 à 999...99 (n-1) noves o que nos dá 999...999 (n-1) noves números  que
 dá pra escrever com a idéia  dos repunits como [10^(n-1)-1]

 Agora vamos calcular a quantidade de números que possuem zero na casa das
 dezenas, 10 possibilidades a direita do zero e os números a esquerda variam
 de

 1 a 999...999 (n-2) noves , logo (10^1)[10^(n-2)-1].

 Agora os que possuem zero na centena, temos 10x10 possibilidades a direita
 do zero e os numeros da esquerda variam de

 1 a 999...999 (n-3) noves , logo (10^2)[10^(n-3)-1].

 Pronto e assim sucessivamente até que calcularemos a última quantidade que
 seriam o números da forma 9099...999 temos 9 possibiidades

 a esquerda do zero e e os numeros a direita teremos [10^(n-2)][10^1)-1].

 Somando todas as quantidades teremos

 [10ˆ(n-1)+10ˆ(n-1)+10ˆ(n-1)+10ˆ(n-1)+...+10ˆ(n-1)+10ˆ(n-1)]
 -(1+10ˆ1+10^2+10^3+...+10^n-2}

 onde a primeira parcela existem n-1 potências de 10 e a segunda vira soma
 dos termos de uma PG arrumando fica

 (n-1)[10ˆ(n-1)]-[10ˆ(n-1)-1]/9 que é a resposta final!! valeu um abraco.

 Douglas Oliveira!!



 On Tue, 21 Aug 2012 13:29:21 -0300, Mauricio barbosa wrote:

 Alguém pode me ajudar com a seguinte questão:

 Contar o número de zeros que aparecem nos números de 1 a 999...999  (n
 algarismos ).

 Obrigado!!!

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =





=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] números

[João Maldonado]

Sendo um número com n algarismos
Podemos chamar de zero de unidade,  o zero que aparece nos algarismos da 
unidade, zero de dezena, o zero que aparece no algarismo das dezenas...
Zero de unidade:
Temos9.10.10.10.10.10.10.1 = 9.10^(n-2) (9 possibilidades para o primeiro 
dígito, já que não pode ser 0, dez para o segundo, dez para o terceiro, e assim 
vai, até que o último tem que ser o próprio zero)
Zero de dezena9.10.10.10.10.10.1.10 = 9.10^(n-2)
Zero de centena9.10.10.10.10.1.10.10 = 9.10^(n-2)
E assim vai até o zero no algarismo n-1
logo temos (n-1).9.10^(n-2) zeros em um número com n algarismos
De 1 até 10^n-1 temos
Sum[(x-1).9.10^(x-2), {x, 1, n}]
Sendo S(n) = 0 + 1.9.10º + 2.9.10¹ + 3.9.10² + 4.9.10³ +... + 
(n-1).9.10^(n-2)K(n) = 1.10º + 2.10¹ + 3.10² =...(n-1).10^(n-2)K(n+1) = K(n) + 
n.10^(n-1)
10K(n+1) = 10K(n) + n.10^nK(n+2) = K(n+1) + (n+1).10^nSubtraindo
K(n+2) = 11K(n+1) - 10K(n) + 10^nLogo 10K(n+1) = 110K( n) - 100K(n-1) + 
10^nSubtraindo
K(n+2) = 21K(n+1) - 120K(n) + 100K(n-1)
x³-21x²+120x-100 = 0x = 1, 10 ou 10Logo K(x) = a.1 + (bx + c).10^xSabemos 
queK(1) = 0K(2) = 1K(3) = 21
a+10(b+c) = 0a + 100(2b+c) = 1a + 1000(3b+c) = 21
K(x) = 1/81 + (x/90 -1/81).(10^x)S(x) = x.10^(x-1) - (10^x-1)/9
[]'sJoão

[]'sJoão
 Date: Tue, 21 Aug 2012 13:29:21 -0300
 Subject: [obm-l] números
 From: oliho...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 Alguém pode me ajudar com a seguinte questão:
 
 Contar o número de zeros que aparecem nos números de 1 a 999...999  (n
 algarismos ).
 
 Obrigado!!!
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
  

[obm-l] Re: [obm-l] Números primos e soma de quadrados

[Tiago]

Dica: use um argumento de contagem. Para isso, calcule primeiro quantos
quadrados existem mod p.

On Sat, Mar 3, 2012 at 11:26 PM, Vitor Alves vitor__r...@hotmail.comwrote:

  Prove  q para todo primo p existem x e y inteiros tais que p|x²+y²+1.
 Desde já obrigado!




-- 
Tiago J. Fonseca
http://legauss.blogspot.com

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Números inteiros

[Johann Dirichlet]

Talvez a pergunta dele tenha sido
Determine o numero de soloçoes de 1/x + 1/y = 1/1998 com x e y
inteiros positivos.

E é fácil:

(x+y)*1998 = xy
1998x-xy+1998y=0
x(1998-y)+1998y-1998^2=-1998^2
x(1998-y)+1998(y-1998)=-1998^2
(1998-y)(x-1998)=-1998^2
(1998-y)(1998-x)=1998^2


Em 22/09/11, João Maldonadojoao_maldona...@hotmail.com escreveu:



 1) É impossível que  1/x +  1/y seja maior que 2 né?
 2)   4m²   +m(4n  -49) + 4n²  - 49n = 0
 delta  = 2401 + 392 n - 48 n   ²
 delta=0,  -4=n=12Testando  achamos( 6,10)(10,6)
 []'s
 João

 From: marconeborge...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Números inteiros
 Date: Thu, 22 Sep 2011 21:23:47 +








 1) Determine o numero de soloçoes de 1/x + 1/y = 1998 com x e y inteiros
 positivos.



 2) Se m e n sao naturais tais que (m + n)/(m^2 + mn + n^2) = 4/49,determinar
 m + n



 Agradeço a quem puder ajudar.



 Abraço,



 Marcone.
   


-- 
/**/
神が祝福

Torres

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Números inteiros

[João Maldonado]

1) É impossível que  1/x +  1/y seja maior que 2 né?
2)   4m²   +m(4n  -49) + 4n²  - 49n = 0
delta  = 2401 + 392 n - 48 n   ²
delta=0,  -4=n=12Testando  achamos( 6,10)(10,6)
[]'s
João

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Números inteiros
Date: Thu, 22 Sep 2011 21:23:47 +








1) Determine o numero de soloçoes de 1/x + 1/y = 1998 com x e y inteiros 
positivos.

 

2) Se m e n sao naturais tais que (m + n)/(m^2 + mn + n^2) = 4/49,determinar m 
+ n

 

Agradeço a quem puder ajudar.

 

Abraço,

 

Marcone.  

  

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Primos

[Carlos Nehab]

Bolas,

Esqueci de dizer que M é o N descartado seu último algarismo...
Desculpem-me.

Nehab


Em 5/8/2011 23:02, Carlos Nehab escreveu:

Oi, Regis,

Não lembro do referido email, mas a propriedade a seguir (cuja 
demonstração será um bom exercício para satisfazer sua curiosidade) o 
ajude, no caso de divisibilidade por primos maiores que 5. Embora haja 
critérios outros de divisibilidade (por exemplo por 7 ou 11) acho que 
você vai gostar...


Abraços e bom proveito,
Nehab


Notação: a | b indica a divide b.

Se p é primo, determine inicialmente q, o menor múltiplo positivo de p 
terminado em 1 ou 9 (se p = 17, por exemplo, q = 51).
Naturalmente sempre existirá tal q (um primo impar tem que terminar em 
1, 3, 7 ou 9).


Caso 1.
Se o último dígito de q é 1, então,
p | N  sss p |  (M -  a.r) , onde a é o número que sobra de q quando 
tiramos o 1 (no caso de 17, o 5);


Caso 2.
Se o último dígito de q é 9, então,
p | N  sss p |  [M +  (a+1).r] , onde a é o número que sobra de q 
quando tiramos o 9;


Usando recorrentemente esta propriedade para ir diminuindo o 
dividendo...voce tem ai um procedimento interessante e facilmente 
programável,


Tabelinha
Indicamos nesta ordem, o primo p, o valor de q,  o valor de a e a 
pro­priedade...


pq  a(p | N) sss p divide...
---
7211M - 2r
11  111M - r
13  393M + (3+1)r   = M + 4r
17  515M - 5r
23  696M + (6+1)r  = M + 7r
29  292M + (2+1)r = M + 3r
31  313M - 3r
37  111  11  M - 11r
41  414M - 4r
43  129  12  M + 13r
47  141  14  M  - 14r
etc
===

Em 3/8/2011 15:12, regis barros escreveu:


Boa Tarde Pessoal

Gostaria algum material sobre criterio de divisibilidade que nesta 
lista mandou algum tempo atrás sobre o assunto e do qual não estou 
encontrando o email com o link sobre o assunto.


Regis Godoy Barros

Graduado em Licenciatura em Fisica - IFSP

Graduando em Licenciatura em Matemática - UNICAMP

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Primos

[Carlos Nehab]

Oi, Regis,

Não lembro do referido email, mas a propriedade a seguir (cuja 
demonstração será um bom exercício para satisfazer sua curiosidade) o 
ajude, no caso de divisibilidade por primos maiores que 5. Embora haja 
critérios outros de divisibilidade (por exemplo por 7 ou 11) acho que 
você vai gostar...


Abraços e bom proveito,
Nehab


Notação: a | b indica a divide b.

Se p é primo, determine inicialmente q, o menor múltiplo positivo de p 
terminado em 1 ou 9 (se p = 17, por exemplo, q = 51).
Naturalmente sempre existirá tal q (um primo impar tem que terminar em 
1, 3, 7 ou 9).


Caso 1.
Se o último dígito de q é 1, então,
p | N  sss p |  (M -  a.r) , onde a é o número que sobra de q quando 
tiramos o 1 (no caso de 17, o 5);


Caso 2.
Se o último dígito de q é 9, então,
p | N  sss p |  [M +  (a+1).r] , onde a é o número que sobra de q quando 
tiramos o 9;


Usando recorrentemente esta propriedade para ir diminuindo o 
dividendo...voce tem ai um procedimento interessante e facilmente 
programável,


Tabelinha
Indicamos nesta ordem, o primo p, o valor de q,  o valor de a e a 
pro­priedade...


pq  a(p | N) sss p divide...
---
7211M - 2r
11  111M - r
13  393M + (3+1)r   = M + 4r
17  515M - 5r
23  696M + (6+1)r  = M + 7r
29  292M + (2+1)r = M + 3r
31  313M - 3r
37  111  11  M - 11r
41  414M - 4r
43  129  12  M + 13r
47  141  14  M  - 14r
etc
===

Em 3/8/2011 15:12, regis barros escreveu:


Boa Tarde Pessoal

Gostaria algum material sobre criterio de divisibilidade que nesta 
lista mandou algum tempo atrás sobre o assunto e do qual não estou 
encontrando o email com o link sobre o assunto.


Regis Godoy Barros

Graduado em Licenciatura em Fisica - IFSP

Graduando em Licenciatura em Matemática - UNICAMP

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Primos

[Johann Dirichlet]

Bem, eu conheço um assim:

Como estudo de caso, seja 7 o primo que estamos pesquisando.

1 - Encontre um divisor da forma M*10+1. No caso, 7*3=21, M=2.

2 - A cada passo, faça isto aqui:
2a - Arranque o último dígito, e duplique-o (M=2, e 7*3=2*10+1);
2b - Subtraia do restante do número.

Por exemplo, 1001 é múltiplo de 7?

1001 = 100-2=98 = 9-2*8=-7, OK, pois 7 é múltiplo!

Encontrar divisores da forma 10K+1 é fácil, basta olhar a tabuada.

Em 03/08/11, regis barrosregisgbar...@yahoo.com.br escreveu:
 Boa Tarde Pessoal
 Gostaria algum material sobre criterio de divisibilidade que nesta lista
 mandou algum tempo atrás sobre o assunto e do qual não estou encontrando o
 email com o link sobre o assunto.

 Regis Godoy BarrosGraduado em Licenciatura em Fisica - IFSPGraduando em
 Licenciatura em Matemática - UNICAMP




-- 
/**/
神が祝福

Torres

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Primos

[Marcus Aurelio Gonçalves Rodrigues]

Determine os números inteiros positivos cujos únicos divisores primos são 7
e 11 e que possuem exatamente 15 divisores positivos diferentes de 1

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Primos

[Johann Dirichlet]

7^a*11^b têm 16 divisores no total.
(a+1)(b+1)=16

Liste as possibilidades e finalize!


Em 04/08/11, Marcus Aurelio Gonçalves
Rodriguesmarcusaureli...@globo.com escreveu:
 Determine os números inteiros positivos cujos únicos divisores primos são 7
 e 11 e que possuem exatamente 15 divisores positivos diferentes de 1



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神が祝福

Torres

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Números Primos

[regis barros]

Boa Tarde Pessoal
Gostaria algum material sobre criterio de divisibilidade que nesta lista mandou 
algum tempo atrás sobre o assunto e do qual não estou encontrando o email com o 
link sobre o assunto.

Regis Godoy BarrosGraduado em Licenciatura em Fisica - IFSPGraduando em 
Licenciatura em Matemática - UNICAMP
 

[obm-l] Re: [obm-l] Números inteiros

[Ralph Teixeira]

Eh fiquei tambem com a impressao que, em geral, ac eh bem maior que a+c em
modulo.

Vejamos como formalizar isto. Primeiro vou me livrar de uns casos pequenos
(que soh vi serem necessarios depois que terminei o problema :P):

CASO 0: Se um deles for 0 (digamos a=0)
Entao -2=b+c, que tem uma infinidade de solucoes. Assim, temos as inumeras
solucoes do tipo (0,n,-2-n) com n inteiro, e suas permutacoes.

CASO 1: Se um deles for 1 (digamos a=1).
Entao bc-2=b+c+1, isto eh, (b-1)(c-1)=4. Temos entao
{b-1,c-1}={2,2},{-2,-2},{1,4} ou {-1,-4}. Daqui vem as solucoes novas:
(1,3,3), (1,-1,-1), (1,2,5) -- e permutacoes.

CASO 2: Se um deles for -1 (digamos a=-1)
Entao -bc-2=-1+b+c
bc+b+c+1=0
(b+1)(c+1)=0
Entao b=-1 ou c=-1. Assim temos as solucoes do tipo (-1,-1,n) e permutacoes.

Acho que agora jah dah para fazer o caso geral, onde vou supor que todos
sao, em modulo, maiores que 2. Mas os sinais atrapalham, entao vou
subdividir em mais casos:

CASO 3: Todos positivos (digamos a=b=c=2).
a(bc-1)=b+c+2 (como bc-10, a=2 e c=b)
2(bc-1)=2b+2
bc-1=b+1
b(c-1)=2
Que nao dah muitas opcoes Como b=c=2, soh fica a opcao b=c=2!
Em suma, achamos apenas a resposta (2,2,2).

CASO 4: Dois positivos, um negativo (digamos a=b=2 mas c=-2)
Entao troco (a,b,c) por (A,B,-C) para ficar com A,B,C positivos. Fica:
-ABC-2=A+B-C
ABC+A+B=C-2
Mas ABC+A+B=4C+2+2, entao:
C-2=4C+4
C=-2 (impossivel)

CASO 5: Dois negativos, um positivo (digamos a=2 e -2=b=c)
Troco (a,b,c) por (A,-B,-C). Fica:
ABC-2=A-B-C
ABC+B+C=A+2
Mas ABC+B+C=4A+2+2, entao:
A+2=4A+4
3A=-2 (impossivel)

CASO 6: Todos negativos (digamos, 0c=b=a)
Troco (a,b,c) por (-A,-B,-C) (com A=B=C)
-ABC-2=-A-B-C
A(BC-1)=B+C-2
Como BC-10, A=2 e C=B, vem:
2(BC-1)=2B-2
BC-1=B-1
B(C-1)=0 (impossivel, pois B,C=2)



Resumindo tudo, as solucoes sao:
(0,n,-2-n), (-1,-1,n), (1,3,3), (1,2,5), (2,2,2) e permutacoes.

Abraco,
 Ralph

2011/6/27 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

  Achar todas as soluções inteiras da equação abc - 2 = a + b + c .

É fácil achar algumas soluções.Como (2,2,2) ou (3,3,1),por exemplo.
Isolando b,obtemos b=(a+c+2)/(ac - 1),a impressão que dá é que em geral
 o módulo de ac é maior que o módulo de a+c,
 o módulo do denominador é maior que o módulo do numerador e b não é
 inteiro.
Tentei uma maneira de restringir ao máximo os possíveis valores de a e
 c,mas...emperrei.
Obrigado a quem puder ajudar.

[obm-l] Re: [obm-l] Números inteiros

[Ralph Teixeira]

1) Suponho n natural. Como 28n^2+1 eh impar e tem que ser quadrado perfeito,
escrevo

28n^2+1=(2k-1)^2 (com k inteiro)
7n^2=k^2-k=k(k-1)

(Note que a expressao toda eh 2+2(2k-1)=4k; entao nosso objetivo eh mostrar
que k eh quadrado perfeito)

Leminha: Como k e k-1 sao primos entre si, um deles eh um quadrado perfeito,
o outro eh 7 vezes um quadrado perfeito.
Provinha: Um dos fatores k e k-1 nao eh divisivel por 7, o outro eh. Seja 7A
o divisivel por 7, e B o outro.
Temos n^2=AB com A e B primos entre si. Entao A e B sao quadrados perfeitos
(Se p eh um fator de A, entao p tem de ser fator de n. Mas entao p aparece
do lado esquerdo um numero par de vezes (em n^2).
Como A e B sao primos entre si, p nao aparece em B -- entao p aparece um
numero par de vezes em A.
Todo fator primo de A aparece um numero par de vezes em A? Entao, A eh um
quadrado perfeito. Idem para B.)

Caso 1: k=a^2, k-1=7b^2 -- entao a expressao eh k=a^2, acabou.
Caso 2: k=7a^2, k-1=b^2. Entao 7a^2-b^2=1, isto eh, 7a^2=b^2+1. Mas isto eh
impossivel: b^2=(0 ou 1) mod 4, enquanto 7a^2=(0 ou 3) mod 4.

2) Este eh o Problema 1 da IMO 1986 (Polonia). Eu lembro... :)
Um jeito de fazer eh olhar tudo mod 16. Os quadrados perfeitos mod 16 sao
0,1,4,9. Vou escrever tudo mod 16, e vou botar = ao inves de pertence:
2d-1={0,1,4,9} implica em 2d={1,2,5,10}, isto eh, 2d={2,10}, e d={1,5,9,13}.
Respectivamente, viria 5d-1={4,8,12,1}. Soh os dois das pontas podem ser
quadrados perfeitos, isto eh, d={1,13}.
Mas entao 13d-1={12,8}, e nenhum deles eh quadrado perfeito mod 16.

3) (x+1)(x^2+1)=2^y. Entao ambos x+1 e x^2+1 tem de ser potencias de 2.
Como 2^y e x^2+1 sao positivos, x+1 tambem terah de ser positivo, isto eh, x
eh um inteiro nao-negativo.
CASO 1: x+1=1, dah x=0, entao y=0. (x,y)=(0,0) serve.
CASO 2: x+1=2, dah x=1, entao y=2. (x,y)=(1,2) serve.
CASO 3: x+1 eh divisivel por 4. Entao (x^2+1)=(x+1)(x-1)+2=2 (mod 4)...
Assim, os unicos jeitos de x^2+1 ser potencia de 2 sao:

-- x^2+1=1, isto eh, x=0, que jah foi.
-- x^2+1=2, isto eh, x=1, que jah foi.

Abraco, Ralph


2011/6/21 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

  1) Prove que se 2+2raiz(28n^2 + 1) é um inteiro,então é um quadrado
 perfeito.

 2) Mostre que não existe um natural d tal que os nùmeros 2d - 1,5d - 1 e
 13d - 1 sejam quadrados perfeitos.

 3) Encontre todas as soluções de 1 + x +x^2 + x^3 = 2^y em inteiros x e y

 Agradeço antecipadamente a quem puder ajudar.

[obm-l] RE: [obm-l] Números Inteiros

[João Maldonado]

Ollá
Fazendo n = (10a+b), temos - (10a+b) - ab = 12
Substituindo de b=0 para b=9 -
b=0  10a = 12b=1  9a = 11b=2  8a = 10b=3  7a = 9b=4  6a = 8b=5  5a 
= 7b=6  4a = 6b=7  3a = 5b=8  2a = 4, solução 28b=9  1a = 3, solucão 39


Logo temos 2 soluções, 28 (28-16 = 12) e 39 (39-27=12)
[]'sJoão
Date: Sun, 29 May 2011 09:35:00 -0300
Subject: [obm-l] Números Inteiros
From: pedromatematic...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

10ª Questão da Olimpíada Campinense de Matemática - 2011 - Realizada em 28 de 
Maio de 2011.

10. Qual da quantidade de números inteiros positivos de dois algarismos tais 
que a diferença entre o número e o produto seja 12.

-- 


Pedro Jerônimo S. de O.
Júnior

Professor
de Matemática

Geo João Pessoa
– PB 


  

[obm-l] RE: [obm-l] Números Inteiros

[Letícia e Felipe]

10a+b-ab = 12
a(10-b) = 12-b

Então, veja que 10-b | 12-b = 10-b | 12-b -(10-b) = 10-b | 2
Logo, temos 2 possibilidades: b = 9 ou b = 8

Para b = 9, temos a = 3 e para b = 8, a = 2

Portanto, a quantidade de números inteiros positivos de dois algarismos tais 
que a diferença entre o número e o produto seja 12 é 2. 



Date: Sun, 29 May 2011 09:35:00 -0300
Subject: [obm-l] Números Inteiros
From: pedromatematic...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

10ª Questão da Olimpíada Campinense de Matemática - 2011 - Realizada em 28 de 
Maio de 2011.

10. Qual da quantidade de números inteiros positivos de dois algarismos tais 
que a diferença entre o número e o produto seja 12.

-- 


Pedro Jerônimo S. de O.
Júnior

Professor
de Matemática

Geo João Pessoa
– PB 


  

[obm-l] RE: [obm-l] Números Inteiros

[LEANDRO L RECOVA]

Pedro,
 
Eu pensei assim: Seja x o numero que voce quer determinar. Ja que x tem dois 
algarismos, entao, x  e da forma ab:
 
x = 10a + b, com a,b numeros naturais com a entre 1 e 9 e b entre 0 e 9.
 
Eu fiquei em duvida na redacao da questao e entendi que que voce quer 
determinar a diferenca entre x e o produto dos algarismos a e b. Se nao for 
esse caso, me corrija.
 
Entao, queremos determinar o numero de inteiros positivos de dois algarismos 
tais que x-ab=12. Ou seja,
 
(10a + b) - ab = 12
 
Isolando a, temos: a=(12-b)/(10-b). 
 
Para que isso esteja bem definido temos que ter b  10. Entao, voce tem que 
testar os numeros de 0 a 9 e ver quais te dao um valor de a inteiro. 
 
As possibilidades sao: b=8, a=2 portanto x=28, e b=9, a=3, portanto x=39. Dessa 
forma voce tem somente dois numeros que satisfazem a condicao do problema. 
 
Observe que 28-(8.2)=28-16=12 e 39-(9.3)=39-27=12. 
 
Saudacoes,
 
Leandro Recova
Los Angeles, EUA.

 


Date: Sun, 29 May 2011 09:35:00 -0300
Subject: [obm-l] Números Inteiros
From: pedromatematic...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

10ª Questão da Olimpíada Campinense de Matemática - 2011 - Realizada em 28 de 
Maio de 2011.

10. Qual da quantidade de números inteiros positivos de dois algarismos tais 
que a diferença entre o número e o produto seja 12.
-- 

Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
Professor de Matemática
Geo João Pessoa – PB 

  

[obm-l] Re: [obm-l] Números inteiros

[Ralph Teixeira]

Mexendo, temos:
(an-c)^2=b^2.n
n=((an-c)/b)^2

Se n eh inteiro, entao (an-c)/b eh racional. Portanto, n eh o quadrado
de um racional. Como n eh inteiro, serah quadrado perfeito.

Abraco, Ralph.

2011/1/9 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com:
 Considere a equação (a^2)(x^2) - (b^2 - 2ac)x + c^2 = 0,onde a,b,c são
 números inteiros positivos.
 Se n é um nùmero natural tal que p(n) = 0,mostre que n é um quadrado
 perfeito.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] Números inteiros

[marcone augusto araújo borges]

Perfeito!Obrigado.
 
 Date: Sun, 9 Jan 2011 16:44:01 -0200
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Números inteiros
 From: ralp...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 Mexendo, temos:
 (an-c)^2=b^2.n
 n=((an-c)/b)^2
 
 Se n eh inteiro, entao (an-c)/b eh racional. Portanto, n eh o quadrado
 de um racional. Como n eh inteiro, serah quadrado perfeito.
 
 Abraco, Ralph.
 
 2011/1/9 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com:
  Considere a equação (a^2)(x^2) - (b^2 - 2ac)x + c^2 = 0,onde a,b,c são
  números inteiros positivos.
  Se n é um nùmero natural tal que p(n) = 0,mostre que n é um quadrado
  perfeito.
 
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
  

[obm-l] Re: [obm-l] Números binomiais: igualdade

[Willy George do Amaral Petrenko]

Vou passar a idéia:

A recíproca é fácil provar.

Depois vc prova que variando p, n sobre p é estritamente crescente até um
certo valor (a metade), e a partir desse valor é estritamente decrescente
(na verdade 2k+1 sobre k = 2k+1 sobre k+1, mas esse caso particular
também satisfaz a propriedade).
Você faz isso observando a razão entre dois caras.

Com isso vc mostra que há no máximo 1 cara igual a n sobre p, e como vc
provou n sobre n-p = n sobre p ele é o único.



2010/11/18 Pedro Chaves brped...@hotmail.com

  Poderia algum colega provar a propriedade seguinte?

 Sendo p diferente de q, se os números binomiais n sobre p e n sobre q
 são iguais, então p + q = n.


 Desde já, muito obrigado.


 Pedro Chaves

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Transce ndentes + Combinatória

[Adalberto Dornelles]

Olá,

Em 24 de outubro de 2010 09:37, eduardo.fraga
eduardo.fr...@uol.com.brescreveu:

 Não seria necessário acrescentar os 4X3!X3! = 144 arranjos VCCCVV, VVCCCV,
 CVVVCC,CCVVVC ? o que daria um total de 144+72 = 216 arranjos distintos?
 Eduardo



Pois é...
Mas daí, se VCCCVV, as vogais não estariam juntas. Falta uma definição
mais precisa de juntas.

Adalberto




 --
 Em 21/10/2010 14:37, *Adalberto Dornelles  aadornell...@gmail.com *escreveu:

 Olá Luiz,
  Com vogais E consoantes juntas significa CCCVVV ou VVVCCC?
 então temos:
  ordenamentos de CCCVVV = 3! * 3! = 36 +
  ordenamentos de VVVCCC = 3! * 3! = 36 = 72
  Acho que é isso
 Adalberto
   Em 21 de outubro de 2010 10:16, Luiz Rodrigues 
 rodrigue...@gmail.comhttp://mce_host/compose?to=rodrigue...@gmail.com
  escreveu:

 Olá, pessoal!!!
 Tudo bem???
 Estou querendo saber quem provou que os números transcendentes são
 infinitos. Além disso, como descobrir, dentro dos reais, um número
 transcendente? É possível gerá-los?
 Outra coisa, estou com dificuldades num problema muito simples de
 combinatória: Quantos anagramas da palavra ESCOLA apresentam as
 vogais ou as consoantes juntas? Fiz pelo complementar mas acho que
 está errado...
 Alguém pode me ajudar???
 Um abração para todos.
 Luiz

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 = 


 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Transcendentes + Combinatória

[eduardo.fraga]

Não seria necessário acrescentar os 4X3!X3! = 144 arranjos VCCCVV, VVCCCV, CVVVCC,CCVVVC ? o que daria um total de 144+72 = 216 arranjos distintos?Eduardo 

Em 21/10/2010 14:37, Adalberto Dornelles  aadornell...@gmail.com  escreveu:Olá Luiz,


Com "vogais E consoantes juntas" significa CCCVVV ou VVVCCC?
então temos:

ordenamentos de CCCVVV = 3! * 3! = 36 +


ordenamentos de VVVCCC = 3! * 3! = 36 = 72


Acho que é isso
Adalberto



Em 21 de outubro de 2010 10:16, Luiz Rodrigues rodrigue...@gmail.com escreveu:
Olá, pessoal!!! Tudo bem??? Estou querendo saber quem provou que os números transcendentes são infinitos. Além disso, como descobrir, dentro dos reais, um número transcendente? É possível gerá-los? Outra coisa, estou com dificuldades num problema muito simples de combinatória: "Quantos anagramas da palavra ESCOLA apresentam as vogais ou as consoantes juntas?" Fiz pelo complementar mas acho que está errado... Alguém pode me ajudar??? Um abração para todos. Luiz  = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
 



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Números Transcendentes + Com binatória

[Paulo Santa Rita]

Olá Luiz e demais colegasdesta lista ... OBM-L,
1) Quem provou que os números transcendentes são infinitos ?
Cantor demonstrou diretamente que os *NÚMEROS ALGÉBRICOS* são enumeraveis. Como 
ele também havia demonstrado que os números reais não são enumeráveis, os reais 
não-algébricos, vale dizer, os NÚMEROS TRANSCENDENTES, não podem ser 
enumeráveis ( se fossem enumeráveis, os números reais, sendo a união disjunta 
de algébricos e transcendentes, seria enumerável ... ). Portanto, pode-se dizer 
que Cantor *DEMONSTROU INDIRETAMENTE* que existem infinitos números 
transcendentes.
Note que o conceito de número transcendente é caracterizado indiretamente, pois 
dizemos que um número é transcendente quandoele não é algébrico, isto é, nos 
tomamos o conceito bem estabelecido ( um número é algébrico quando ele é 
solução de umaequação algébrica com coeficientes inteiros ) de número algébrico 
para falar sôbre os transcendentes. Este procedimento, em Matemática, é 
tipicamente uma suave confissão de ignorância e desconhecimento ... Em verdade, 
criamos uma *sacola* e passamosa proceder assim : o que não é algébrico nós 
jogamos aqui. A verdade é que sabemos muito pouco sôbre estes números. Essa 
ignorância,inclusive, pode estar ligada a hipótese do contínuo, pois, quem sabe 
se neste ninho de gatos que são os numeros transcendentes não se escondeaquele 
famoso e tão procurado conjunto não-enumerável com cardinalidade inferior a dos 
reais ?
Os números transcendentes é uma terra de ninguém.
2) Como descobrir se um número real r é transcendente ? Demosntrando que r não 
é algébrico. Existem uns pouquíssimos e pobríssimos resultadosque servem para 
caracterizar algumas familias de transcendentes. Por exemplo :
TEOREMA DE GELFOND : Se A é um número algébrico não-nulo e diferente de 1 e B é 
um irracional, então A^B é transcendente.Do teorema acima concluimos, por 
exemplo, que raiz_2(2)^raiz_2(2) é transcendente ( raiz_2(2) = raiz quadrada 
de dois ). São também transcendentes:N^raiz2(2), onde N é um natural maior que 
1.
OBS : O resultado acima responde a uma das famosas perguntas elaboradas pelo 
Hilbert
TEOREMA DE LINDEMAN : e^A é transcendente para todo A algébrico não nulo  ( e= 
2,7 ... = número de Euler = base dos logaritmos naturias )
NUMEROS DE LIOUVILLE : Todo número A tal que para todo natural N existem p e q 
inteiros tais que modulo(A - (p/q) )   1/(q^N)  Um exemplo classico de numero 
de Liouville e :
A= (1/10) + (1/(10^2)) + (1/(10^6)) + ... + (1/(10^(N!))) + ...
Deve existir mais resultados parciais que não me ocorrem agora.
Nem todo todo número transcendente é número de Liouville, ou , melhor ainda, 
nenhuma das familias de numeros caracterizáveis pelos resultados acimaexaure 
todos os numeros trancendentes. É também importante destacar que o conceito de 
NUMERO TRANSCENDENTE esta atrelado ao conceito de númeroalgébrico, que, por sua 
vez, esta associado ao conceito de polinomio com coeficientes inteiros. Ora, 
existem diversos outros exemplos de corpos alem dosracionais e reais( e entre 
eles, por exemplo, A+B*raiz2(2), onde A e B são racionais, formam um corpo 
entre Q e R ). Portanto, é possivel extender o conceito de número 
transcendente para outros corpos, podendo-se falar em NUMERO TRANSCENDENTE 
SOBRE O CORPO TAL.
Em minha opinião, este imbricamento entre os conceitos de transcendente e 
algébrico, em que pese nos ter permitido ver pela primeira vez os 
transcendentes,é um obstaculo a ser vencido para uma melhor compreensão da 
eventual *estrutura* e *beleza* que há neste universo ( dos transcendentes ) 
dominio ... Talvezo estudo do que há nos transcendentes relativos a outros 
corpos ( incluindo uma olhada especial nos finitos )  poderia lançar alguma luz 
aqui. O que é certoé que a conceituação atual é pobre para abordar tais números 
e há muito o que descobrir aqui.
Note que ha muito outros conceitos ( por exemplo, número computável , conjunto 
magro, medida de um conjunto ) que podem ser aplicados a estas classesde 
números ( as classes caracterizadas pelos resultados acima ). Eu me lembro, por 
exemplo, que alguem ja associou a ideia de conjunto magroao conjunto dos 
números de Liouville ( acho que é que numeros de Liouville é complementar de um 
conjunto magro ou algo proximo disso ) 
Um Abraço a TodosPSR,62210100A15

 


 Date: Thu, 21 Oct 2010 10:16:53 -0200
 Subject: [obm-l] Números Transcendentes + Combinatória
 From: rodrigue...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 Olá, pessoal!!!
 Tudo bem???
 Estou querendo saber quem provou que os números transcendentes são
 infinitos. Além disso, como descobrir, dentro dos reais, um número
 transcendente? É possível gerá-los?
 Outra coisa, estou com dificuldades num problema muito simples de
 combinatória: Quantos anagramas da palavra ESCOLA apresentam as
 vogais ou as consoantes juntas? Fiz pelo complementar mas acho que
 está errado...
 Alguém pode me ajudar???
 Um abração para todos.
 Luiz
 
 

[obm-l] Re: [obm-l] Números Transcendentes + Combinatória

[Adalberto Dornelles]

Olá Luiz,


Com vogais E consoantes juntas significa CCCVVV ou VVVCCC?
então temos:
ordenamentos de CCCVVV = 3! * 3! = 36 +
ordenamentos de VVVCCC = 3! * 3! = 36 = 72

Acho que é isso
Adalberto


Em 21 de outubro de 2010 10:16, Luiz Rodrigues rodrigue...@gmail.comescreveu:

 Olá, pessoal!!!
 Tudo bem???
 Estou querendo saber quem provou que os números transcendentes são
 infinitos. Além disso, como descobrir, dentro dos reais, um número
 transcendente? É possível gerá-los?
 Outra coisa, estou com dificuldades num problema muito simples de
 combinatória: Quantos anagramas da palavra ESCOLA apresentam as
 vogais ou as consoantes juntas? Fiz pelo complementar mas acho que
 está errado...
 Alguém pode me ajudar???
 Um abração para todos.
 Luiz

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

[obm-l] Re: [obm-l] Números Transcendentes + Combinatória

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2010/10/21 Luiz Rodrigues rodrigue...@gmail.com:
 Olá, pessoal!!!
Oi Luiz,

 Tudo bem???
 Estou querendo saber quem provou que os números transcendentes são
 infinitos.
Quem provou que os números transcendentes são infinitos, se não me
falha a memória, foi Cantor, quando ele inventou a teoria dos
conjuntos (enfim, os rudimentos) da forma usada até hoje. E, com os
conceitos de enumerabilidade, resolveu várias questões interessantes,
inclusive esta.

 Além disso, como descobrir, dentro dos reais, um número
 transcendente?
Se a questão for seja r um real, será que r é transcendente, isso é
muito difícil. A maior chance é que sim, no seguinte sentido:
escolhendo um real aleatoriamente no intervalo [0,1], a probabilidade
de ele não ser transcendente é zero, com relação à medida usual. Isso
acontece pela mesma razão que existem infinitos transcendentes: os
algébricos são enumeráveis, e os reais não.

 É possível gerá-los?
A resposta mais fácil é não: se você considera gerá-los algo como
botar um computador para escrever todos, numa dada ordem, e ir lendo
em seqüência, isso é impossível, pois afinal eles são
não-enumeráveis. Se a questão for, simplesmente, gere uma infinidade
de transcendentes, isso é bem mais fácil, e inspirando-se dos números
de Liouville, você deve ser capaz de fazer uma seqüência infinita de
transcendentes. Dê uma olhada em
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_de_Liouville para ver o que eles são.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm -l] Números complexo s-Dúvida

[marcone augusto araújo borges]

Obrigado,Breno!
 


From: brenovieir...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Números complexos-Dúvida
Date: Thu, 14 Oct 2010 02:00:59 +




Da equação |z+v|=|z|+|v| podemos dizer |z|=|z+v|-|v|, logo, |z|=2sqrt(2).
Uma outra maneira de pensar o problema é considerando que |z+v| representa a 
distância de z ao ponto -v, logo a equação |z+v|=3sqrt(2) representa uma 
circunferência de centro em -1-i e raio 3sqrt2, o modulo mínimo de z equivale à 
distância mínima de um ponto da circunferência à origem do sistema de modo que 
tal distância vale R-|v|=3sqrt(2)-sqrt(2)=2sqrt(2).



From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Números complexos-Dúvida
Date: Thu, 14 Oct 2010 01:02:44 +



Considere o número complexo v=1+i.Se z é um número complexo tal que o módulo de 
(z+v) = 3*raiz(2),então qual o menor valor de módulo de z ?
 
  

[obm-l] RE: [obm-l] Números complexos-Dúvida

[Breno Vieira]

Da equação |z+v|=|z|+|v| podemos dizer |z|=|z+v|-|v|, logo, |z|=2sqrt(2).
Uma outra maneira de pensar o problema é considerando que |z+v| representa a 
distância de z ao ponto -v, logo a equação |z+v|=3sqrt(2) representa uma 
circunferência de centro em -1-i e raio 3sqrt2, o modulo mínimo de z equivale à 
distância mínima de um ponto da circunferência à origem do sistema de modo que 
tal distância vale R-|v|=3sqrt(2)-sqrt(2)=2sqrt(2).

From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Números complexos-Dúvida
Date: Thu, 14 Oct 2010 01:02:44 +








Considere o número complexo v=1+i.Se z é um número complexo tal que o módulo de 
(z+v) = 3*raiz(2),então qual o menor valor de módulo de z ?

 
  

[obm-l] Re: [obm-l] Números

[Johann Dirichlet]

O que voce quer dizer com fatores?
Se for fatores em geral, isso so acontece se ambos forem iguais.
Por exemplo, 18 e 12 tem o fator 3 em comum mas nao o fator 4.

Se forem fatores primos, fica mais interessante Por exemplo, ambos os
caras acima tem os fatores 2 e 3 em comum.


Em 18/08/10, luiz silvaluizfelipec...@yahoo.com.br escreveu:
 Pessoal,

 Dados a,b,u e v com mdc(a,b)=1 e mdc(u,v) =1,   ba e vu, quais as
 condições para que

 todos os fatores de bu-av , sejam fatores de bv-au ?

 Abs
 Felipe





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=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Números

[luiz silva]

HahahahVelu Nehab...
 
Que cegueira a minhajuro, não vi isso Essa foi boa
 
Abs
Felipe

--- Em qua, 2/6/10, Carlos Nehab ne...@infolink.com.br escreveu:


De: Carlos Nehab ne...@infolink.com.br
Assunto: Re: [obm-l] Números
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 2 de Junho de 2010, 19:07


Ué ...

4x^2 - 4xy + y^2 = (2x - y)^2 ... 
 Abraços,
Nehab


luiz silva escreveu: 





Pessoal,
 
Estou tentando resolver a seuinte equação diofantina, com x par, y e z ímpares 
e mdc(x,y,z)=1 :
 
z^2 = 4x^2 - 4xy + y^2
 
Alguém pode ajudar ? To pensando em usar o metodo das secantes racionais, para 
tentar parametrizar as soluções.
 
Abs
Felipe
  
= 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
= 


  

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Quadrados

[luiz silva]

Pessoal,
 
Tive uma pequena evolução, porém estou travando na hora de fazer a contagem. 
Alguém pode me ajudar (especificamente para números pares) :
 
Se x for par : 
  
x=2uv 
y=u2-v2 
z=u2+v2 
  
x2 = z2-y2 
  
x = 22ap1b...pkk 
u = 22a-1s 
  
O número s poderá ter os fatores p1.pk. Contando de quantas maneiras 
podemos “escrever” s, com um total de k primos, levando-se em consideração que 
um determinado primo poderá ser ou não fator de s, estaremos automaticamente 
determinando de quantas maneiras x2 pode ser escrito como uma diferença de 
quadrados, pois estaremos determinando as qdes de ys e zs possíveis.
  
Além disso, devemos contar os ternos pitagóricos primitivos onde temos algum 
divisor de x como solução, pois nesses casos teremos outras soluções, 
bastando-se multiplicar os números destes ternos pelo reultado da divisão de x 
por este divisor.
 
Aparentemente, este decomposição de um quadrado, como diferença de dois 
quadrados, para o caso par,´pode ser feita de finitas maneiras.
 
Abs
Felipe
--- Em sáb, 10/4/10, Johann Dirichlet peterdirich...@gmail.com escreveu:


De: Johann Dirichlet peterdirich...@gmail.com
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Números Quadrados
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sábado, 10 de Abril de 2010, 15:58


N=x^2-y^2=(x-y)(x+y)
Creio que daqui dá pra colocar algumas restrições na fatoração. Por exemplo, 
ambos os fatores devem ser de mesma paridade.


Em 9 de abril de 2010 09:42, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu:






Prezados,
 
Estou precisando de uma ajuda no seguinte problema :
 
De quantas maneiras um determinado número inteiros pode ser escrito como 
diferença de dois quadrados (inteiros tb)? Ou seja, De quantos ternos 
pitagóricos um número inteiro pode ser elemento, de modo que nunca seja o 
maior número do terno ?
 
 
 


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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Quadrados

[luiz silva]

Ola Pessoal,
 
Eu estava pensando: talvez possa trabalhar com os números impares da mesma 
forma, sendo eles a parte impar do número x. 

Abs
Felipe
--- Em qui, 15/4/10, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu:


De: luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Quadrados
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 15 de Abril de 2010, 10:58








Pessoal,
 
Tive uma pequena evolução, porém estou travando na hora de fazer a contagem. 
Alguém pode me ajudar (especificamente para números pares) :
 
Se x for par : 
  
x=2uv 
y=u2-v2 
z=u2+v2 
  
x2 = z2-y2 
  
x = 22ap1b...pkk 
u = 22a-1s 
  
O número s poderá ter os fatores p1.pk. Contando de quantas maneiras 
podemos “escrever” s, com um total de k primos, levando-se em consideração que 
um determinado primo poderá ser ou não fator de s, estaremos automaticamente 
determinando de quantas maneiras x2 pode ser escrito como uma diferença de 
quadrados, pois estaremos determinando as qdes de ys e zs possíveis. 
  
Além disso, devemos contar os ternos pitagóricos primitivos onde temos algum 
divisor de x como solução, pois nesses casos teremos outras soluções, 
bastando-se multiplicar os números destes ternos pelo reultado da divisão de x 
por este divisor.
  
Aparentemente, este decomposição de um quadrado, como diferença de dois 
quadrados, para o caso par,´pode ser feita de finitas maneiras. 
  
Abs 
Felipe 
--- Em sáb, 10/4/10, Johann Dirichlet peterdirich...@gmail.com escreveu:


De: Johann Dirichlet peterdirich...@gmail.com
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Números Quadrados
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sábado, 10 de Abril de 2010, 15:58


N=x^2-y^2=(x-y)(x+y)
Creio que daqui dá pra colocar algumas restrições na fatoração. Por exemplo, 
ambos os fatores devem ser de mesma paridade.


Em 9 de abril de 2010 09:42, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu:






Prezados,
 
Estou precisando de uma ajuda no seguinte problema :
 
De quantas maneiras um determinado número inteiros pode ser escrito como 
diferença de dois quadrados (inteiros tb)? Ou seja, De quantos ternos 
pitagóricos um número inteiro pode ser elemento, de modo que nunca seja o 
maior número do terno ?
 
 
 


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[obm-l] Re: [obm-l] Números Quadrados

[Johann Dirichlet]

N=x^2-y^2=(x-y)(x+y)
Creio que daqui dá pra colocar algumas restrições na fatoração. Por exemplo,
ambos os fatores devem ser de mesma paridade.

Em 9 de abril de 2010 09:42, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.brescreveu:

 Prezados,

 Estou precisando de uma ajuda no seguinte problema :

 De quantas maneiras um determinado número inteiros pode ser escrito como
 diferença de dois quadrados (inteiros tb)? Ou seja, De quantos ternos
 pitagóricos um número inteiro pode ser elemento, de modo que nunca seja o
 maior número do terno ?








-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Números Primos

[Leandro Lima]

Olá, Vitor!

A média aritmética de dois números primos pode ser um número primo!

Por exemplo: 
Dado a primo, (a + a)/2  = a; 
Ou, (7 + 3)/2 = 5;
Ou, (101 + 5)/2 = 53.

Mas, também pode a média aritmética entre dois primos não ser um primo.
Por exemplo: 

(5 + 7)/2 = 6;
Ou, (1001 + 3) = 52. 


  Abraço!
 Leandro. 





From: vitor alves 
Sent: Friday, April 09, 2010 8:00 AM
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Subject: [obm-l] Números Primos


Como provar que a média aritmética de dois números primos nunca é um número 
primo? 


Quer ver seus e-mails de todas as contas num lugar só? Junte todas elas no 
Hotmail. 

[obm-l] Re: [obm-l] Números Primos

[João Luís]

Pense que, se nenhum dos primos for 2, ambos serão ímpares...

Se um dos primos for o 2, então um será par e o outro ímpar.

O que acontece com a M.A. em cada um dos casos?

Espero ter ajudado,

João Luís.
 
  - Original Message - 
  From: vitor alves 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, April 09, 2010 8:00 AM
  Subject: [obm-l] Números Primos


  Como provar que a média aritmética de dois números primos nunca é um número 
primo? 

--
  Quer ver seus e-mails de todas as contas num lugar só? Junte todas elas no 
Hotmail. 

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] Números Primos

[vitor alves]

obrigado!!!
 


From: le.silvas.l...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Números Primos
Date: Fri, 9 Apr 2010 08:57:55 -0300




Olá, Vitor!
 
A média aritmética de dois números primos pode ser um número primo!
 
Por exemplo: 
Dado a primo, (a + a)/2  = a; 
Ou, (7 + 3)/2 = 5;
Ou, (101 + 5)/2 = 53.
 
Mas, também pode a média aritmética entre dois primos não ser um primo.
Por exemplo: 
 
(5 + 7)/2 = 6;
Ou, (1001 + 3) = 52. 
 
 
  Abraço!
 Leandro. 
 
 
 




From: vitor alves 
Sent: Friday, April 09, 2010 8:00 AM
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Subject: [obm-l] Números Primos

Como provar que a média aritmética de dois números primos nunca é um número 
primo? 


Quer ver seus e-mails de todas as contas num lugar só? Junte todas elas no 
Hotmail.   
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[obm-l] Re: [obm-l] Números, Teoria dos

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Diogo, você está estudando o quê neste momento? Bom, supondo um pouco,
aqui vão algumas dicas para você pensar :

2009/11/28 Diogo FN diog...@yahoo.com.br:
 Boa tarde Amigos da lista,

 Vocês podem me ajudar com a solução dessas questões?

 01. Mostre que existem infinitos valores inteiros m tais que (phi)(m) é
 quadrado perfeito.
Você sabe como calcular phi(m)? você conhece algum m tal que phi(m) é
um quadrado perfeito? (pense em pequenos números, deve dar) Você sabia
que phi(m*n) = phi(m)*phi(n) se m e n são primos entre si? Você sabe o
que acontece para phi(p^k)? Acho que aqui você já deve ter uma idéia
para a solução!

 02. Mostre que existem infinitos inteiros n tais que 7|n² + 2n - 10
Bom, esse é mais fácil : chame n^2 + 2n - 10 de P(n). P(n) é
periódica? Mas talvez o resto da divisão por 7 seja ! (Prove como !!)

 Por ora é só.

 Agradeço pela atenção,

 Diogo FN

Abraços aritméticos,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Números, Teoria dos

[Bruno França dos Reis]

2. Para fazer o 2, se não enxergar nada mágico, tem sempre a força bruta.
Vc repara que para 0 = x  7, tem-se:
(7k + x)^5 = (7k)^5 + K_1*(7k)^4 * x + ... + x^5 == x^5 (mod 7)
Veja que todas as parcelas, exceto a última, tem um fator 7 que vem do 7k.
Assim sendo, em mod 7 tem-se (7k+x)^5 == x^5.

Pronto. Sua soma vira:
1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + 5^5 + 6^5 + 0^5 +
1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + 5^5 + 6^5 + 0^5 +
...
1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5

Calcule então os valores de
1^5 mod 7
2^5 mod 7
3^5 mod 7
4^5 mod 7
5^5 mod 7
6^5 mod 7

E faça a soma.

Vc pode acelerar esse cálculo final notando que há exatamente 7 vezes a
parcela (1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + 5^5 + 6^5 + 0^5) na soma (uma para 1 -- 7,
outra para 8 .. 14, ..., a última para 43 .. 49, e 49 = 7*7), e que a soma
vira então

7 * (1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5 + 5^5 + 6^5 + 0^5) + 1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5

Portanto, a soma, em mod 7, vale
1^5 + 2^5 + 3^5 + 4^5

Agora vc só precisa calcular
1^5 mod 7 = 1
2^5 mod 7 = 8*4 mod 7 = 4 mod 7
3^5 mod 7 = 9*9*3 mod 7 = 2*2*3 mod 7 = 5 mod 7
4^5 mod 7 = (2^2)^5 mod 7 = (2^5)^2 mod 7 = 4^2 mod 7 = 2 mod 7

Sua soma é então
1 + 4 + 5 + 2 = 5 + 7 = 5 (mod 7)


Desculpe-me de qualquer erro em conta.

E o correto é *Por ora*.


Bruno

--
Bruno FRANÇA DOS REIS

msn: brunoreis...@hotmail.com
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e^(pi*i)+1=0


2009/10/2 Diogo FN diog...@yahoo.com.br

 Boa Noite, Amigos.
 Galera eu sei que já devo está ...
 MAs hoje o professor passou umas que... não saí do lugar...
 Vocês podem me ajudar?

 01. Mostre que 7x³ + 2 = y³ não possui soluções inteiras.
 02. Determine o resto da divisão de 1^5 + 2^5 + ... + 53^5 por 7.

 Por hora é só esses dois.
 Obrigado.

 --
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[obm-l] Re: [obm-l] Números, Teoria dos

[Bruno França dos Reis]

Para o primeiro, olhe para a equação mod 7. Se há um par (a,b) que
satisfaz a equação, então, necessariamente, satisfará a equação também em
mod 7. Se tiver alguém que satisfaz à equação mod 7, então esse cara é
candidato a solução da equação original. Se não tiver nenhum candidato,
então a equação original não tem solução.

7x^3 + 2 = y^3

mod 7:

2 = y^3 (mod 7)

Basta encontrar o conjunto dos resíduos cúbicos mod 7:

0^3 mod 7 = 0
1^3 mod 7 = 1
2^3 mod 7 = 1
3^3 mod 7 = 6
4^3 mod 7 = 1
5^3 mod 7 = 6
6^3 mod 7 = 6

Pronto, não existe nenhum y tal que y^3 deixe resto 2 numa divisão por 7.
Assim sendo, não há candidatos a solução da equação mod 7, logo a equação
original nao possui soluções inteiras.


Bruno




--
Bruno FRANÇA DOS REIS

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2009/10/2 Diogo FN diog...@yahoo.com.br

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[obm-l] Re: [obm-l] Números, Teoria dos

[luiz silva]

Ola Diogo,
 
1) 7x3=y3-2
 
y3 deixa resto 0, 1 ou 6 qdo dividido por 7. Assim, y3-2 nao é divisível por 7.
 
O outro ainda vou tentar .
 
Abs
Felipe

--- Em qui, 1/10/09, Diogo FN diog...@yahoo.com.br escreveu:


De: Diogo FN diog...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] Números, Teoria dos
Para: OBM obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 1 de Outubro de 2009, 21:27






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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] números irracionais

[Albert Bouskela]

Olá!

O enunciado deve ser o seguinte:

Mostre que existem dois números, a e b, irracionais e algébricos, tais
que a^b seja racional.

A condição de que a e b sejam algébricos serve para evitar as soluções
triviais, tais como: a=e; b=ln(2) -- a^b=2 (racional)

Solução:
1) Suponha que sqrt(2)^sqrt(2) seja racional (não é!), daí: a=sqrt(2);
b=sqrt(2) -- a^b=sqrt(2)^sqrt(2) que, por hipótese, é racional.
2) Suponha, agora, que sqrt(2)^sqrt(2) seja irracional (como, de fato, o
é!), daí: a=sqrt(2)^sqrt(2); b=sqrt(2) -- a^b=2 (racional).

Sds.,
Albert Bouskela
bousk...@msn.com

 -Original Message-
 From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br]
 On Behalf Of fabrici...@usp.br
 Sent: Tuesday, August 25, 2009 10:57 PM
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] números irracionais
 
 Esse exercício é fantástico. Só não sei se o ID (índice de
 discriminação) foi bom.
 
 
 On 24.Aug.2009, at 00:05 , Rafael Assato Ando wrote:
 
  Se não me engano, o problema pedia para provar que existem a e b,
  irracionais, tais que a^b é racional, não?
 
  Bom, sqrt(2) é irracional.
  Digamos que a gente não sabe se sqrt(2)^sqrt(2) é racional ou
  irracional
  (pois não espera-se que um vestibulando saiba).
 
  Se sqrt(2)^sqrt(2) for irracional, então a = sqrt(2)^sqrt(2) e b =
  sqrt(2)
  satisfazem a^b racional (a^b = 2, pelo item a).
  Se sqrt(2)^sqrt(2) for racional, então a = b = sqrt(2) satisfaz a^b
  racional.
 
  A propósito, sqrt(2)^sqrt(2) é irracional...
 
  2009/8/23 Joâo Gabriel Preturlan jgpretur...@uol.com.br
 
   *Olá, colegas...*
 
  * *
 
  *Gostaria de ajuda com o item b) seguinte problema da FUVEST do
  ano de
  1981... Mesmo não precisando de ajuda para o item a) vou colocar o
  problema
  todo...*
 
  * *
 
  *a)**Calcule o valor de x = (sqrt{2}^sqrt{2})^sqrt{2}
  (Evidentemente, x = 2).*
 
  *b)**Mostre que existem dois números irracionais a e b tais
  que a^b é
  irracional.*
 
  * *
 
  *Muito Grato pela ajuda!*
 
  *[]’s *
 
  * *
 
  * *
 
  *João Gabriel Preturlan*
 
  *(19) 9294 - 2467*
 
  * *
 
  A Palavra de Deus até os Confins da Terra!
 
  Acesse: www.assembleia.org.br
 
 
 
 
 
 
  --
  Rafael
 
 
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 ===
 ==


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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] números irracionais

[fabrici...@usp.br]

Esse exercício é fantástico. Só não sei se o ID (índice de  
discriminação) foi bom.



On 24.Aug.2009, at 00:05 , Rafael Assato Ando wrote:


Se não me engano, o problema pedia para provar que existem a e b,
irracionais, tais que a^b é racional, não?

Bom, sqrt(2) é irracional.
Digamos que a gente não sabe se sqrt(2)^sqrt(2) é racional ou  
irracional

(pois não espera-se que um vestibulando saiba).

Se sqrt(2)^sqrt(2) for irracional, então a = sqrt(2)^sqrt(2) e b =  
sqrt(2)

satisfazem a^b racional (a^b = 2, pelo item a).
Se sqrt(2)^sqrt(2) for racional, então a = b = sqrt(2) satisfaz a^b
racional.

A propósito, sqrt(2)^sqrt(2) é irracional...

2009/8/23 Joâo Gabriel Preturlan jgpretur...@uol.com.br


 *Olá, colegas...*

* *

*Gostaria de ajuda com o item b) seguinte problema da FUVEST do  
ano de
1981... Mesmo não precisando de ajuda para o item a) vou colocar o  
problema

todo...*

* *

*a)**Calcule o valor de x = (sqrt{2}^sqrt{2})^sqrt{2}
(Evidentemente, x = 2).*

*b)**Mostre que existem dois números irracionais a e b tais  
que a^b é

irracional.*

* *

*Muito Grato pela ajuda!*

*[]’s *

* *

* *

*João Gabriel Preturlan*

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Rafael



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[obm-l] Re: [obm-l] números irracionais

[Rafael Assato Ando]

Se não me engano, o problema pedia para provar que existem a e b,
irracionais, tais que a^b é racional, não?

Bom, sqrt(2) é irracional.
Digamos que a gente não sabe se sqrt(2)^sqrt(2) é racional ou irracional
(pois não espera-se que um vestibulando saiba).

Se sqrt(2)^sqrt(2) for irracional, então a = sqrt(2)^sqrt(2) e b = sqrt(2)
satisfazem a^b racional (a^b = 2, pelo item a).
Se sqrt(2)^sqrt(2) for racional, então a = b = sqrt(2) satisfaz a^b
racional.

A propósito, sqrt(2)^sqrt(2) é irracional...

2009/8/23 Joâo Gabriel Preturlan jgpretur...@uol.com.br

  *Olá, colegas...*

 * *

 *Gostaria de ajuda com o item b) seguinte problema da FUVEST do ano de
 1981... Mesmo não precisando de ajuda para o item a) vou colocar o problema
 todo...*

 * *

 *a)**Calcule o valor de x = (sqrt{2}^sqrt{2})^sqrt{2}
 (Evidentemente, x = 2).*

 *b)**Mostre que existem dois números irracionais a e b tais que a^b é
 irracional.*

 * *

 *Muito Grato pela ajuda!*

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Rafael

[obm-l] RE: [obm-l] Números (em especial para o Ralph)

[Paulo Santa Rita]

Ola Marcone e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Para quem quer partir do zero, o livro abaixo e interessante :

1) 
http://www.impa.br/opencms/pt/publicacoes/colecao_matematica_universitaria/livro_introducao_a_teoria_dos_numeros/index.html

Veja tambem :
2) http://www.mat.unb.br/~maierr/tnotas.pdf

O livro abaixo seria um curso mais avancado, para voce estudar quando
ja tiver aprendido as coisas basicas dos link's 1) ou 2) acima :

3) http://www.uv.es/ivorra/Libros/Numeros.pdf

Um abraco a todos
PSR, 51604090944


 From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On
 Behalf Of marcone augusto araújo borges
 Sent: Saturday, April 04, 2009 12:44 AM
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Números (em especial para o Ralph)

 Peço ao Albert ou outro interessado em teoria dos numeros  para me indicar
 livros acessíveis a um iniciante,escrito em potugues,sobre o assunto,que me
 é de grande interesse.Ficarei muito grato a quem praticar tal
 gentileza.Aguardo.Obrigado.

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Números ( em especial para o Ralph)

[fabrici...@usp.br]

Me sinto no dever de informar aos que desconhecem a beleza da Teoria  
dos Números, que um ótimo ponto de partida é o livro Números: Uma  
introdução à Maatemática, de Francisco César Polcino Milies. Os  
requisitos para a compreensão do conteúdo do livro são apenas as  
quatro operações fundamentais, todo o restante é construído.


.


On Apr 4, 2009, at 13:30 , Albert Bouskela wrote:


Olá!

O que você quer é – infelizmente – muito difícil e temo que não  
exista: um bom livro sobre a Teoria dos Números (mesmo em outras  
línguas, que não o português). O porquê disto deve-se, eu acredito,  
à uma característica peculiar da Teoria dos Números: não ter um  
desenvolvimento contínuo e crescente. Veja, p.ex., o Cálculo:  
funções, daí limites, daí derivadas, daí integrais, daí equações  
diferenciais e por aí vai... Além disto, a Teoria dos Números não  
teve um nascedouro como o Cálculo (Newton), como a Geometria  
(Euclides), como a Teoria dos Conjuntos (Cantor) e, novamente, por  
aí vai...


É certo (será?), entretanto, que o começo da Teoria dos Números  
esteja no estudo das Equações Diofantinas. Sei lá o porquê, mas  
nenhum livro sobre a Teoria dos Números aborda, consistentemente,  
este tema. Lembro, aliás, que o 10º problema proposto por Hilbert,  
em 1900, procurava obter um algoritmo para resolver uma equação  
diofantina genérica (ou, pelo menos, determinar se esta equação  
possuía, ou não, solução) – sugiro que você estude como este  
problema (não) foi resolvido por Turing e Gödel.


Na verdade, a Teoria dos Números passou a permear toda a  
Matemática. Os avanços desta teoria foram espasmódicos e alguns  
deles muito recentes, como a demonstração do Último Teorema de  
Fermat e da Conjectura de Catalan.


Por todas estas dificuldades, e pelo seu caráter extremamente  
teórico (de aplicabilidade longe de ser direta ou imediata em  
outras ciências) e ainda pouco sistematizado, a Teoria dos Números  
é considerada por muitos (eu inclusive) a parte mais nobre da  
Matemática.


Outra particularidade desta teoria é que problemas básicos, lá da  
sua origem, ainda não foram resolvidos, p.ex., o da primalidade (a  
decomposição de um número em fatores primos através de um algoritmo  
eficiente, digo, rápido).


Então, como fazer? Sugiro a Internet: pesquise, vá garimpando,  
acompanhe os avanços... é como eu faço. Comece pelo seguinte site  
http://mathworld.wolfram.com/topics/NumberTheory.html e, logo,  
logo, você terá uma coleção de endereços que lhe ensinarão como  
andar pela Teoria dos Números.


Saudações,
AB
bousk...@gmail.com
bousk...@ymail.com

From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc- 
rio.br] On Behalf Of marcone augusto araújo borges

Sent: Saturday, April 04, 2009 12:44 AM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Números (em especial para o Ralph)

Peço ao Albert ou outro interessado em teoria dos numeros  para me  
indicar livros acessíveis a um iniciante,escrito em potugues,sobre  
o assunto,que me é de grande interesse.Ficarei muito grato a quem  
praticar tal gentileza.Aguardo.Obrigado.


Date: Fri, 3 Apr 2009 16:33:41 -0700
From: bousk...@ymail.com
Subject: [obm-l] Números (em especial para o Ralph)
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Olá a todos! Olá Ralph!

Para aqueles (como eu) que se divertem com as curiosidades da  
Teoria dos Números, sugiro que visitem o seguinte site: http:// 
www.stumbleupon.com/toolbar/#url=http%253A%252F%252Fwww.stetson.edu% 
252F%257Eefriedma%252Fnumbers.html .


Ralph,

Gostei muito daquele problema da soma, da soma, da soma dos  
algarismos de 50^50. Repare, entretanto, que o enunciado ficaria  
bem mais assombroso se fosse assim:


Considere “S” como sendo a soma de todos os algarismos de 770^770 .  
A soma de todos os algarismos de “S” é igual a “T”, e a soma de  
todos os algarismos de “T” é igual a “U”. Calcule o valor de “U”.


A resposta é a mesma: 7 .

Obs.: S = 6487 (como já estou velho, não consegui calcular de  
cabeça - usei uma HP 15C) ;  T = 25 ;  U = 7 .


Saudações,
AB
bousk...@gmail.com
bousk...@ymail.com


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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l ] Números (em especi al para o Ralph)

[Denisson]

http://www.sbm.org.br/nova/website/pageviews.php?secao=cmu8,idcol=112

Acho que atende as suas necessidades. Escrito em português, cobre o assunto
inicial e o melhor de tudo ainda está em circulação e custa só 20 reais :P



2009/4/4 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

  Peço ao Albert ou outro interessado em teoria dos numeros  para me indicar
 livros acessíveis a um iniciante,escrito em potugues,sobre o assunto,que me
 é de grande interesse.Ficarei muito grato a quem praticar tal
 gentileza.Aguardo.Obrigado.

 --
 Date: Fri, 3 Apr 2009 16:33:41 -0700
 From: bousk...@ymail.com
 Subject: [obm-l] Números (em especial para o Ralph)
 To: obm-l@mat.puc-rio.br


   Olá a todos! Olá Ralph!



 Para aqueles (como eu) que se divertem com as curiosidades da Teoria dos
 Números, sugiro que visitem o seguinte site:
 http://www.stumbleupon.com/toolbar/#url=http%253A%252F%252Fwww.stetson.edu%252F%257Eefriedma%252Fnumbers.html.



 Ralph,



 Gostei muito daquele problema da soma, da soma, da soma dos algarismos de
 50^50. Repare, entretanto, que o enunciado ficaria bem mais assombroso se
 fosse assim:



 Considere “S” como sendo a soma de todos os algarismos de 770^770 . A soma
 de todos os algarismos de “S” é igual a “T”, e a soma de todos os algarismos
 de “T” é igual a “U”. Calcule o valor de “U”.



 A resposta é a mesma: 7 .



 Obs.: S = 6487 (como já estou velho, não consegui calcular de cabeça -
 usei uma HP 15C) ;  T = 25 ;  U = 7 .



 Saudações,

 AB

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Denisson