Re: [obm-l] Equacao funcional.
f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2
y=0
f(x^2)=f(f(x))
f(x)=0
f(x^2+y)+f(-y)=2f(0)+2y^2
y=0
f(0)=f(x^2)
x^2=0
x=0 e raiz
f(0)=0
f(1)=1
f(x^2+x)+f(f(x)-x)=2ff(x)+2x^2
f(4)+f(f(2)-2)=2ff(2)+8
f(2)+f(f(1)-1)=2ff(1)+2
f(2)=4
f(4)=4+2f(4)
f(4)=-4
f(3)+f(f(2)+1)=2ff(2)+2
f(3)+f(5)=-6
f(y)+f(-y)=2y^2
f(-1)=1
1+f(3)=4
f(3)=-3
f(5)=-3
f(6)=-4
f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2
f(7)+1=-8+18
f(7)=9
f(8)=0
f(9)=41
f(10)=4
f(11)+162-41=4
f(11)=-117
e so encontrar varios pontos, plotar e encontrar as funções que se adaptam
melhor aos pontos.
2014-08-26 22:42 GMT-03:00 Jeferson Almir jefersonram...@gmail.com:
Aproveitando o momento alguém poderia me ajudar nessa questão??
Determine todas as funções contínuas que projeta três termos sucessivos de
uma progressão aritmética em três termos de uma progressão geométrica.
Desde já agradeço qualquer ajuda.
Em 26 de agosto de 2014 07:40, Douglas Oliveira de Lima
profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:
Espetaculo, muito obrigado!!
Em 26 de agosto de 2014 05:26, g...@impa.br escreveu:
Caro Douglas,
Fazendo y=f(x): f(x^2+f(x))+f(0)=2f(f(x))+2f(x)^2.
Fazendo y=-x^2: f(0)+f(f(x)+x^2)=2f(f(x))+2x^4.
Comparando, temos f(x)^2=x^4, donde, para todo x, f(x)=x^2 ou
f(x)=-x^2. Em particular, f(0)=0. Fazendo então x=0 temos f(y)+f(-y)=2y^2,
mas f(y) e f(-y) pertencem a {y^2, -y^2}, donde necessariamente
f(y)=f(-y)=y^2. Assim, f(x)=x^2 para todo x real.
Abraços,
Gugu
Quoting Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com:
Caos amigos preciso de uma ajuda na seguinte questão, desde ja
agradeço!!
Problema: Se f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2 para todos x,t
pertencentes
aos reais, determinar todas as funções f:R-R.
Douglas Oliveira.
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Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Equacao funcional.
Caro Douglas,
Fazendo y=f(x): f(x^2+f(x))+f(0)=2f(f(x))+2f(x)^2.
Fazendo y=-x^2: f(0)+f(f(x)+x^2)=2f(f(x))+2x^4.
Comparando, temos f(x)^2=x^4, donde, para todo x, f(x)=x^2 ou
f(x)=-x^2. Em particular, f(0)=0. Fazendo então x=0 temos
f(y)+f(-y)=2y^2, mas f(y) e f(-y) pertencem a {y^2, -y^2}, donde
necessariamente f(y)=f(-y)=y^2. Assim, f(x)=x^2 para todo x real.
Abraços,
Gugu
Quoting Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com:
Caos amigos preciso de uma ajuda na seguinte questão, desde ja agradeço!!
Problema: Se f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2 para todos x,t pertencentes
aos reais, determinar todas as funções f:R-R.
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Re: [obm-l] Equacao funcional.
Espetaculo, muito obrigado!!
Em 26 de agosto de 2014 05:26, g...@impa.br escreveu:
Caro Douglas,
Fazendo y=f(x): f(x^2+f(x))+f(0)=2f(f(x))+2f(x)^2.
Fazendo y=-x^2: f(0)+f(f(x)+x^2)=2f(f(x))+2x^4.
Comparando, temos f(x)^2=x^4, donde, para todo x, f(x)=x^2 ou
f(x)=-x^2. Em particular, f(0)=0. Fazendo então x=0 temos f(y)+f(-y)=2y^2,
mas f(y) e f(-y) pertencem a {y^2, -y^2}, donde necessariamente
f(y)=f(-y)=y^2. Assim, f(x)=x^2 para todo x real.
Abraços,
Gugu
Quoting Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com:
Caos amigos preciso de uma ajuda na seguinte questão, desde ja agradeço!!
Problema: Se f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2 para todos x,t
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Re: [obm-l] Equacao funcional.
Aproveitando o momento alguém poderia me ajudar nessa questão??
Determine todas as funções contínuas que projeta três termos sucessivos de
uma progressão aritmética em três termos de uma progressão geométrica.
Desde já agradeço qualquer ajuda.
Em 26 de agosto de 2014 07:40, Douglas Oliveira de Lima
profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:
Espetaculo, muito obrigado!!
Em 26 de agosto de 2014 05:26, g...@impa.br escreveu:
Caro Douglas,
Fazendo y=f(x): f(x^2+f(x))+f(0)=2f(f(x))+2f(x)^2.
Fazendo y=-x^2: f(0)+f(f(x)+x^2)=2f(f(x))+2x^4.
Comparando, temos f(x)^2=x^4, donde, para todo x, f(x)=x^2 ou
f(x)=-x^2. Em particular, f(0)=0. Fazendo então x=0 temos f(y)+f(-y)=2y^2,
mas f(y) e f(-y) pertencem a {y^2, -y^2}, donde necessariamente
f(y)=f(-y)=y^2. Assim, f(x)=x^2 para todo x real.
Abraços,
Gugu
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[obm-l] Equacao funcional.
Caos amigos preciso de uma ajuda na seguinte questão, desde ja agradeço!! Problema: Se f(x^2+y)+f(f(x)-y)=2f(f(x))+2y^2 para todos x,t pertencentes aos reais, determinar todas as funções f:R-R. Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] equacao exponencial
Sauda,c~oes, Pediram a minha ajuda no problema abaixo. Se sair truncado para alguns, o problema é: O número de pontos comuns aos gráficos das funções definidas por $y=e^x$ e $y= - \ln |x|$, $x\neq0$, é: Como vocês sempre têm uns comentários espertos que me escapam, aguardo suas respostas. O email veio com a resposta, que cortei. Agora um pedido meu: gostaria de ter as respostas, não somente o número delas. Um Maple qualquer dá isso. Obrigado. Abs, Luís Caro Luis, Gostaria de sua ajuda para a seguinte questão: O número de pontos comuns aos gráficos das funções definidas por e , , é: a) . b) . c) . d) . e) nenhuma das anteriores. RESPOSTA: ??
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm -l] Re: [obm-l] Uma demostracao interess ante - equacao do 3o grau e o último teo rema de fermat.
caiu no provao de 2000:raiz de 2 elevado a raiz de 2 é racional ou irracional?Ja vi na lista,achei q tinha entendido,mas agora tento localizar a explicação e nao consigo From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. Date: Thu, 23 Apr 2009 14:20:34 -0300 Muito Obrigado pela resposta Bouskela (posso te chamar assim?), adorei o livro, há muitas coisas interessantes nele. Grande Abraço, João Victor Date: Tue, 21 Apr 2009 10:30:22 -0700 From: bousk...@ymail.com Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá! Lamento não ter respondido antes... Felizmente, o caso particular x^3 + y^3 = z^3 do chamado Último Teorema de Fermat é muito simples. Veja, por exemplo, o item 10.1 - El caso p=3 no livro Teoría de Números do Carlos Ivorra Castillo ( http://www.uv.es/ivorra/Libros/Numeros.pdf ). Saudações, AB bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com --- Em ter, 14/4/09, Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br escreveu: De: Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 14 de Abril de 2009, 21:18 Preciso de ajuda para resolver um problema do sigma test. Tenho que provar que nao há solução inteira para a equacao x³ + y³ = z³, para x,y,z diferentes de 0. Sem que Andrew Wiles já fez muito mais provanto o último teorema (ou conjectura) de Fermat provando que não há solução inteira para a equação x^n + y^n = z^n, mas não achei nenhuma demonstração e pelo que pesquisei ela tem mais de 200 páginas. Algém conseguiria me provar, de uma forma simples, esse problema? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Turbine seu Messenger com emoticons! Clique já, é GRÁTIS! _ Messenger 2009: Instale já! http://download.live.com
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último te orema de fermat.
Olá Marcone, suponha que sqrt(2)^sqrt(2) sera racional.. logo: sqrt(2)^sqrt(2) = p/q elevando a sqrt(2), temos: [sqrt(2)^sqrt(2)]^sqrt(2) = (p/q)^(sqrt(2)) mas [sqrt(2)^sqrt(2)]^sqrt(2) = sqrt(2)^(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)^2 = 2 assim: (p/q)^(sqrt(2)) = 2 humm... nao estou conseguindo achar a contradicao.. preciso pensar mais.. hehehe mas tenho que sair agora.. tento novamente de noite.. mas acho q o caminho eh esse.. abraços, Salhab 2009/4/23 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com caiu no provao de 2000:raiz de 2 elevado a raiz de 2 é racional ou irracional?Ja vi na lista,achei q tinha entendido,mas agora tento localizar a explicação e nao consigo -- From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. Date: Thu, 23 Apr 2009 14:20:34 -0300 Muito Obrigado pela resposta Bouskela (posso te chamar assim?), adorei o livro, há muitas coisas interessantes nele. Grande Abraço, João Victor -- Date: Tue, 21 Apr 2009 10:30:22 -0700 From: bousk...@ymail.com Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá! Lamento não ter respondido antes... Felizmente, o caso particular x^3 + y^3 = z^3 do chamado Último Teorema de Fermat é muito simples. Veja, por exemplo, o item 10.1 - El caso p=3 no livro Teoría de Números do Carlos Ivorra Castillo ( http://www.uv.es/ivorra/Libros/Numeros.pdf ). Saudações, AB bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com --- Em *ter, 14/4/09, Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br*escreveu: De: Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 14 de Abril de 2009, 21:18 Preciso de ajuda para resolver um problema do sigma test. Tenho que provar que nao há solução inteira para a equacao x³ + y³ = z³, para x,y,z diferentes de 0. Sem que Andrew Wiles já fez muito mais provanto o último teorema (ou conjectura) de Fermat provando que não há solução inteira para a equação x^n + y^n = z^n, mas não achei nenhuma demonstração e pelo que pesquisei ela tem mais de 200 páginas. Algém conseguiria me provar, de uma forma simples, esse problema? -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes -- Turbine seu Messenger com emoticons! Clique já, é GRÁTIS! -- Imagem de exibição animada? Só com o novo Messenger. Baixe agora!http://download.live.com
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm- l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fe rmat.
Olá! O Vidal (grande Vidal!) me ensinou o seguinte teorema: Teorema de Gelfond-Schneider: SE “a” e “b” são números algébricos E “b” é irracional, ENTÃO a^b é transcendente (portanto, irracional). Aí é só fazer o caso particular: a=b=sqrt(2) ... algébricos ( x^2=2 ) e irracionais (é óbvio!). Logo, sqrt(2)^sqrt(2) é transcendente (não-algébrico), portanto, irracional. Sds., Albert bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com --- Em seg, 27/4/09, Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com escreveu: De: Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 27 de Abril de 2009, 18:52 Olá Marcone, suponha que sqrt(2)^sqrt(2) sera racional.. logo: sqrt(2)^sqrt(2) = p/q elevando a sqrt(2), temos: [sqrt(2)^sqrt(2)]^sqrt(2) = (p/q)^(sqrt(2)) mas [sqrt(2)^sqrt(2)]^sqrt(2) = sqrt(2)^(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)^2 = 2 assim: (p/q)^(sqrt(2)) = 2 humm... nao estou conseguindo achar a contradicao.. preciso pensar mais.. hehehe mas tenho que sair agora.. tento novamente de noite.. mas acho q o caminho eh esse.. abraços, Salhab 2009/4/23 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com caiu no provao de 2000:raiz de 2 elevado a raiz de 2 é racional ou irracional?Ja vi na lista,achei q tinha entendido,mas agora tento localizar a explicação e nao consigo From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. Date: Thu, 23 Apr 2009 14:20:34 -0300 Muito Obrigado pela resposta Bouskela (posso te chamar assim?), adorei o livro, há muitas coisas interessantes nele. Grande Abraço, João Victor Date: Tue, 21 Apr 2009 10:30:22 -0700 From: bousk...@ymail.com Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá! Lamento não ter respondido antes... Felizmente, o caso particular x^3 + y^3 = z^3 do chamado Último Teorema de Fermat é muito simples. Veja, por exemplo, o item 10.1 - El caso p=3 no livro Teoría de Números do Carlos Ivorra Castillo ( http://www.uv.es/ivorra/Libros/Numeros.pdf ). Saudações, AB bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com --- Em ter, 14/4/09, Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br escreveu: De: Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 14 de Abril de 2009, 21:18 Preciso de ajuda para resolver um problema do sigma test. Tenho que provar que nao há solução inteira para a equacao x³ + y³ = z³, para x,y,z diferentes de 0. Sem que Andrew Wiles já fez muito mais provanto o último teorema (ou conjectura) de Fermat provando que não há solução inteira para a equação x^n + y^n = z^n, mas não achei nenhuma demonstração e pelo que pesquisei ela tem mais de 200 páginas. Algém conseguiria me provar, de uma forma simples, esse problema? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Turbine seu Messenger com emoticons! Clique já, é GRÁTIS! Imagem de exibição animada? Só com o novo Messenger. Baixe agora! Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demo stracao interessante - equacao do 3o gra u e o último teorema de fermat.
Interessante voltarem nesse assunto, pq curiosamente hj estava lendo um livro do elon de forma despretenciosa (meu professor de matematico e suas historias), um livro ateh entao dedicado a professores do ensino medio, alunos da graduacao (ou ateh do proprio ensino medio) que gostam de matemática. mas eis que me surge o então: Teorema de Gelfond Schneider de forma muito interessante, vejamos: Um problema interessante que muitos devem ter visto no ensino medio eh: quantas raizes tem a equacao 2^x = x^2? Quem jah teve a oportunidade de vê-lo sabe que é um problema bem interessante e que suas solucoes óbvias são: x=2 e x=4, mas o interessante é que quando desenhamos o gráfico dessas funções percebemos que existe uma outra raiz negativa (desenhem). E em geral nos perguntamos como achá-la, depois de um tempo percebemos que o problema não nos pede as solições e sim quantas são as raízes. Bem aqueles que gostam de matemática no mínimo devem ficar intrigados para saber como achar essa raiz de forma analítica (lembremos que no ensino médio não vemos soluções numéricas) e mesmo que tenhamos visto sempre é interessante tentar ter uma idéia algébrica para resolvê-lo, mas aonde quero chegar? Através do Teorema podemos mostrar que não existe solução algébrica para essa equação, vejamos: Primeiro mostramos que x não pode ser racional: se x = -p/q (lembre que pelo grafico sabe-se que x eh negativo) então: 2^(-p/q) = (-p/q)^2 = p^(2q) * 2^p = q^(2p) Quando p é impar temos um número impar de 2 do lado direito enquanto na esquerda temos um número par, absurdo. Se p é par como sempre podemos considerar p/q irredutivel entao q é ímpar assim o lado direito é divisível por 2 mas o esquerdo não, também absurdo. Assim x é irracional. Se existisse solução algébrica, teríamos 2 e x algébricos (sendo x irracional), assim por Gelfonde Schneider: 2^x é transendente. Por outro lado obviamente x^2 é algébrico, absurdo. Assim não existe solução algébrica. Muito legal isso. Tinha até esquecido desse problema. O livro tem várias coisas interessantes, deve ter na internet sei lah. É isso. Abraçs Date: Mon, 27 Apr 2009 13:52:18 -0700 From: bousk...@ymail.com Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá! O Vidal (grande Vidal!) me ensinou o seguinte teorema: Teorema de Gelfond-Schneider: SE “a” e “b” são números algébricos E “b” é irracional, ENTÃO a^b é transcendente (portanto, irracional). Aí é só fazer o caso particular: a=b=sqrt(2) ... algébricos ( x^2=2 ) e irracionais (é óbvio!). Logo, sqrt(2)^sqrt(2) é transcendente (não-algébrico), portanto, irracional. Sds., Albert bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com --- Em seg, 27/4/09, Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com escreveu: De: Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 27 de Abril de 2009, 18:52 Olá Marcone, suponha que sqrt(2)^sqrt(2) sera racional.. logo: sqrt(2)^sqrt(2) = p/q elevando a sqrt(2), temos: [sqrt(2)^sqrt(2)]^sqrt(2) = (p/q)^(sqrt(2)) mas [sqrt(2)^sqrt(2)]^sqrt(2) = sqrt(2)^(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)^2 = 2 assim: (p/q)^(sqrt(2)) = 2 humm... nao estou conseguindo achar a contradicao.. preciso pensar mais.. hehehe mas tenho que sair agora.. tento novamente de noite.. mas acho q o caminho eh esse.. abraços, Salhab 2009/4/23 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com caiu no provao de 2000:raiz de 2 elevado a raiz de 2 é racional ou irracional?Ja vi na lista,achei q tinha entendido,mas agora tento localizar a explicação e nao consigo From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. Date: Thu, 23 Apr 2009 14:20:34 -0300 Muito Obrigado pela resposta Bouskela (posso te chamar assim?), adorei o livro, há muitas coisas interessantes nele. Grande Abraço, João Victor Date: Tue, 21 Apr 2009 10:30:22 -0700 From: bousk...@ymail.com Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá! Lamento não ter respondido antes... Felizmente, o caso particular x^3 + y^3 = z^3 do chamado Último Teorema de Fermat é muito simples. Veja, por exemplo, o item 10.1 - El caso p=3 no livro Teoría de Números do Carlos Ivorra Castillo ( http://www.uv.es/ivorra/Libros/Numeros.pdf ). Saudações, AB bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com --- Em ter, 14/4/09, Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br escreveu: De: Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último
[obm-l] Re: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao d o 3o grau e o último teorema de fermat.
Olá! Lamento não ter respondido antes... Felizmente, o caso particular x^3 + y^3 = z^3 do chamado Último Teorema de Fermat é muito simples. Veja, por exemplo, o item 10.1 - El caso p=3 no livro Teoría de Números do Carlos Ivorra Castillo ( http://www.uv.es/ivorra/Libros/Numeros.pdf ). Saudações, AB bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com --- Em ter, 14/4/09, Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br escreveu: De: Joao Maldonado joao_maldonad...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o último teorema de fermat. Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 14 de Abril de 2009, 21:18 Preciso de ajuda para resolver um problema do sigma test. Tenho que provar que nao há solução inteira para a equacao x³ + y³ = z³, para x,y,z diferentes de 0. Sem que Andrew Wiles já fez muito mais provanto o último teorema (ou conjectura) de Fermat provando que não há solução inteira para a equação x^n + y^n = z^n, mas não achei nenhuma demonstração e pelo que pesquisei ela tem mais de 200 páginas. Algém conseguiria me provar, de uma forma simples, esse problema? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o úl timo teorema de fermat.
Preciso de ajuda para resolver um problema do sigma test. Tenho que provar que nao há solução inteira para a equacao x³ + y³ = z³, para x,y,z diferentes de 0. Sem que Andrew Wiles já fez muito mais provanto o último teorema (ou conjectura) de Fermat provando que não há solução inteira para a equação x^n + y^n = z^n, mas não achei nenhuma demonstração e pelo que pesquisei ela tem mais de 200 páginas. Algém conseguiria me provar, de uma forma simples, esse problema? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] equacao funcional
Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy) para todo x e y positivos. Mostre que f é uma funcao constante. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
RE: [obm-l] equacao funcional
DESCULPEM nÂO Vi A RESTRIÇÂO Date: Thu, 20 Dec 2007 03:38:09 -0800From: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] equacao funcionalTo: obm-l@mat.puc-rio.br Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy) para todo x e y positivos. Mostre que f é uma funcao constante. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! _ Conheça o Windows Live Spaces, a rede de relacionamentos do Messenger! http://www.amigosdomessenger.com.br/
RE: [obm-l] equacao funcional
Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy) para todo x e y positivos. Mostre que f é uma funcao constante. Suponhamos que f é não constante; Assim existe algum x nos reais, digamos x_1, tal que f(x_1) é diferente de f(x_2), x_2 também nos reais e x_1 diferente de x_2. Assim f(x_1+x_2) = f(x_1*x_2); f(x_1+0) = f(0*0) , isto é f(x_1) = f(0). f(x_2+0) = f(x_2*0), que nos dá f(x_2) = f(0) O que nos mostra que f(x_1) = f(x_2). O que é absurdo pois supomos que f é não constante. Logo, concluímos que f é função constante. Anselmo :-) _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
Re: [obm-l] equacao funcional
Note que para todo t = 2, podemos encontrar um s real positivo tal que t = s + 1/s = (s^2+1)/s. Com efeito, s^2 - ts + 1 = 0, onde o discriminante é t^2 - 4. Daí tiramos que f(t) = f(s + 1/s) = f(1) para t = 2. Para todo t, 1 t 2, encontramos s, 1 s (t) 2, tal que s^2 = t. Assim f(t) = f(s*s) = f(s+s (2) ) = f(1). Finalmente, para 0 t 1, f(t) = f(1*t) = f(1 + t) = f(1). Bruno 2007/12/20, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED]: Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy) para todo x e y positivos. Mostre que f é uma funcao constante. -- Abra sua conta no Yahoo! Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o único sem limite de espaço para armazenamento! -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: [EMAIL PROTECTED] skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] equacao funcional
como f(x+y)=f(xy), fazendo x=1
f(y+1)=f(y)
assim se provarmos que f(t) é constante para t pertencente a (0,1] acaba.
da propriedade acima tambem temos tambem que f(nx)=f(x) e f(n+x)=f(x) para x
real positivo e n natural.
seja r um irracional e b natural, temos que
f(br)=f(r)
e tambem temos que
f( br )= f( [br] + {br} )=f( [br]{br} )=f( {br} ) pois [br] é natural..
onde [br] é o menor inteiro maior ou igual a br e {br} é a parte
fracionaria.
assim f( {br} ) = f(r)
Pelo teorema de Kronecker temos que {br} é denso em (0,1) logo, como f( {br}
) = f(r) para b natural, temos que f(x) é constante para x pertencente a
(0,1).
Como f(1)=f(1/2+ 1/2)=f(1/4) acabou.
espero que esteja correto.
Abraços,
Felipe Diniz
On Dec 20, 2007 10:57 AM, Anselmo Alves de Sousa [EMAIL PROTECTED]
wrote:
DESCULPEM nÂO Vi A RESTRIÇÂO
--
Date: Thu, 20 Dec 2007 03:38:09 -0800
From: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] equacao funcional
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy)
para todo x e y positivos. Mostre que f é uma funcao constante.
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RES: [obm-l] equacao funcional
Nesta prova, não foi implicitamente admitida a continuidae de f?
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Felipe Diniz
Enviada em: quinta-feira, 20 de dezembro de 2007 13:24
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] equacao funcional
como f(x+y)=f(xy), fazendo x=1
f(y+1)=f(y)
assim se provarmos que f(t) é constante para t pertencente a (0,1] acaba.
da propriedade acima tambem temos tambem que f(nx)=f(x) e f(n+x)=f(x) para x
real positivo e n natural.
seja r um irracional e b natural, temos que
f(br)=f(r)
e tambem temos que
f( br )= f( [br] + {br} )=f( [br]{br} )=f( {br} ) pois [br] é natural.. onde
[br] é o menor inteiro maior ou igual a br e {br} é a parte fracionaria.
assim f( {br} ) = f(r)
Pelo teorema de Kronecker temos que {br} é denso em (0,1) logo, como f( {br} )
= f(r) para b natural, temos que f(x) é constante para x pertencente a (0,1).
Como f(1)=f(1/2+ 1/2)=f(1/4) acabou.
espero que esteja correto.
Abraços,
Felipe Diniz
On Dec 20, 2007 10:57 AM, Anselmo Alves de Sousa [EMAIL PROTECTED]
mailto:[EMAIL PROTECTED] wrote:
DESCULPEM nÂO Vi A RESTRIÇÂO
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Date: Thu, 20 Dec 2007 03:38:09 -0800
From: [EMAIL PROTECTED]mailto:[EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] equacao funcional
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Re: [obm-l] Equacao parametrica
x^2+y^2=e^2t 2t=ln(x^2+y^2) t=arctgy/x y/x=tgln(x^2+y^2)^1/2 On 11/28/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá será que alguém poderia me dizer que curva no R^2 tem equações paramétricas assim: x(t) = e^t*cos t e y(t) = e^t*sin t. E tb como que eu deduzo a equação paramétrica de uma espiral? Grato. -- Abra sua conta no Yahoo! Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o único sem limite de espaço para armazenamento!
[obm-l] Equacao parametrica
Olá será que alguém poderia me dizer que curva no R^2 tem equações paramétricas assim: x(t) = e^t*cos t e y(t) = e^t*sin t. E tb como que eu deduzo a equação paramétrica de uma espiral? Grato. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
Re: [obm-l] Equacao parametrica
y´=e^t*sent+e^t*cost=y+x y´=y+x solução da homogenea y´=y dy/y=dx lny=x+c y(x)=c1e^x soluçao da particular x^2+y^2=(e^t)^2 e^t=rq(x^2+y^2) t=1/2 ln(x^2+y^2)=arctg(y/x) On 11/28/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá será que alguém poderia me dizer que curva no R^2 tem equações paramétricas assim: x(t) = e^t*cos t e y(t) = e^t*sin t. E tb como que eu deduzo a equação paramétrica de uma espiral? Grato. -- Abra sua conta no Yahoo! Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o único sem limite de espaço para armazenamento!
Re: [obm-l] Re: [obm-l] 1 Equacao 2 incognitas - o menor nao existe...
Ola' pessoal, pois vamos tambem meter o bedelho...:-) Nem acho que tenha sido intencional a ma' formulacao da questao. Me parece mais uma distracao do examinador (faltou dizer que x e y eram inteiros), e, caso eu dependesse dessa questao para qualquer coisa, nao teria a menor duvida em sapecar a letra D (x=115 , y=43). Certamente que, depois da prova, argumentaria com o professor que a questao deveria ser anulada, mas meu ponto estaria garantido... E nada como relembrar duas frases oportunas: A interpretacao faz parte da questao A corda sempre arrebenta do lado mais fraco Na falta de consenso, adivinhe quem e' o lado mais fraco...hehehe []'s Rogerio Ponce Palmerim Soares [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola pessoal, como a discussao esta boa, vou arriscar uma opiniao: um aluno deve ser treinado para ser absolutamente rigoroso ao resolver problemas de matematica, mas ao mesmo tempo, deve saber restringir o conjunto-solucao de acordo com as circunstancias que envolvem o problema. Assim eh na vida real, todo engenheiro sabe disso. Grandes empresas modernas exigem este tipo de postura e maleabilidade por parte de seus executivos. Numa prova de concurso, igualmente, as alternativas fazem parte das questoes, sao, por assim dizer, as circunstancias que envolvem o problema propriamente dito, e, portanto, devem sempre ser levadas em consideracao - pelo menos na hora de escolher a resposta :). Este tipo de questao que testa nao apenas o conhecimento livresco, mas tambem a capacidade de adaptacao aas diversas circunstancias (por mais inusitadas que sejam) esta sendo cada vez mais comum em concursos e vestibulares. Restringir o conjunto solucao por meio das alternativas nao eh algo incomum em questoes de concurso. Poucas questoes de regra de tres composta, por exemplo, entram em detalhes como: suponha que as galinhas comem exatamente a mesma quantidade de racao por dia, etc. O mesmo acontece com questoes de analise combinatoria, isto é, as alternativas funcionam para estringir as respostas e deixar subentendido o conjunto-solucao. A Fundaçao Carlos Chagas eh um exemplo disso. Posso estar enganado, mas acredito que o examinador elaborou a questao dessa forma incompleta, intencionalmente. Neste sentido, eu nao diria que a questao esta mal formulada, mas que que eh uma questao maliciosa, no bom sentido. E todo professor deve treinar seus alunos para encararem este tipo de questao, mesmo porque a vida vai exigir essa atitude deles... Um abraco, Palmerim Em 19/09/07, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, Em princípio, concordo com o Nehab.. a questão está um tanto quanto mal formulada, e do jeito que diz ali, não parece haver um menor. No entanto, existe uma outra possível interpretação.. Acho que o que questão está pedindo é um típico caso de multiplicador de lagrange: minimizar f(x,y) = x+y, sujeito a 1935x = 5175y. - Leandro. Dada a igualdade 1935x = 5175y , onde x0 e y0, o menor valor que a variável x pode assumir e o menor valor que a variável y pode assumir, de modo que seja verdadeira a igualdade, têm soma igual a: a) 155 b) 156 c) 157 d) 158 e) 159 Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais.
[obm-l] Equacao 2º grau Nova Formula
Ola pessoal, Encontrei um pequeno livro de 1934 onde o autor deduz uma formula alternativa para a solucao da equacao do segundo grau. Achei que seria util passar para pdf e divulga-lo na internet. Quem se interessar, pode baixa-lo em: Nova Formula 2º Grau.http://www.fileden.com/files/2007/9/9/1420074/NovaFormula2%25C2%25B0Grau.pdf Palmerim
Re: [obm-l] Equacao 2º grau Nova Formula
Poderia verificar se há algum erro no link? Não estou conseguindo acessar aqui. Abraços. On 9/9/07, Palmerim Soares [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola pessoal, Encontrei um pequeno livro de 1934 onde o autor deduz uma formula alternativa para a solucao da equacao do segundo grau. Achei que seria util passar para pdf e divulga-lo na internet. Quem se interessar, pode baixa-lo em: Nova Formula 2º Grau.http://www.fileden.com/files/2007/9/9/1420074/NovaFormula2%25C2%25B0Grau.pdf Palmerim
Re: [obm-l] Equacao 2º grau Nova Formula
Oi Joao, Estou conseguindo abrir sem problemas. Acabei de testar o endereco abaixo: http://www.fileden.com/files/2007/9/9/1420074/NovaFormula2%C2%B0Grau.pdf Palmerim Em 09/09/07, João Júnior [EMAIL PROTECTED] escreveu: Poderia verificar se há algum erro no link? Não estou conseguindo acessar aqui. Abraços. On 9/9/07, Palmerim Soares [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola pessoal, Encontrei um pequeno livro de 1934 onde o autor deduz uma formula alternativa para a solucao da equacao do segundo grau. Achei que seria util passar para pdf e divulga-lo na internet. Quem se interessar, pode baixa-lo em: Nova Formula 2º Grau.http://www.fileden.com/files/2007/9/9/1420074/NovaFormula2%25C2%25B0Grau.pdf Palmerim
Re: [obm-l] Equacao 2º grau Nova Formula
Copie o endereço e cole diretamente no campo de endereco do seu navegador. Em 09/09/07, João Júnior [EMAIL PROTECTED] escreveu: Poderia verificar se há algum erro no link? Não estou conseguindo acessar aqui. Abraços. On 9/9/07, Palmerim Soares [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola pessoal, Encontrei um pequeno livro de 1934 onde o autor deduz uma formula alternativa para a solucao da equacao do segundo grau. Achei que seria util passar para pdf e divulga-lo na internet. Quem se interessar, pode baixa-lo em: Nova Formula 2º Grau.http://www.fileden.com/files/2007/9/9/1420074/NovaFormula2%25C2%25B0Grau.pdf Palmerim
Re: [obm-l] Equacao 2º grau Nova Formula
tb não consigo acessar Em 09/09/07, João Júnior [EMAIL PROTECTED] escreveu: Poderia verificar se há algum erro no link? Não estou conseguindo acessar aqui. Abraços. On 9/9/07, Palmerim Soares [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola pessoal, Encontrei um pequeno livro de 1934 onde o autor deduz uma formula alternativa para a solucao da equacao do segundo grau. Achei que seria util passar para pdf e divulga-lo na internet. Quem se interessar, pode baixa-lo em: Nova Formula 2º Grau.http://www.fileden.com/files/2007/9/9/1420074/NovaFormula2%25C2%25B0Grau.pdf Palmerim
Re: [obm-l] Equacao 2º grau Nova Formula
Estou conseguindo abrir sem problemas, mas se alguem nao conseguir, avise-me que envio diretamente. Palmerim Em 09/09/07, Marcelo Costa [EMAIL PROTECTED] escreveu: tb não consigo acessar Em 09/09/07, João Júnior [EMAIL PROTECTED] escreveu: Poderia verificar se há algum erro no link? Não estou conseguindo acessar aqui. Abraços. On 9/9/07, Palmerim Soares [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola pessoal, Encontrei um pequeno livro de 1934 onde o autor deduz uma formula alternativa para a solucao da equacao do segundo grau. Achei que seria util passar para pdf e divulga-lo na internet. Quem se interessar, pode baixa-lo em: Nova Formula 2º Grau.http://www.fileden.com/files/2007/9/9/1420074/NovaFormula2%25C2%25B0Grau.pdf Palmerim
Res: [obm-l] Equacao funcional II
Olá Shine, obrigado pelo esclarecimento. Contudo, ainda tenho algumas dúvidas. Como que eu construo f nos inteiros? Como eu acho f(2) , f(3), f(5)... tentei aqui, mas num consegui não. E tb por que definiu-se f(p_n) = p_(n-1) p/ n par ; 1/p_(n+1) p/ n impar? O que lhe chamou a atenção pra provar que f é multiplicativa? Grato. - Mensagem original De: Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 25 de Julho de 2007 19:00:30 Assunto: Re: [obm-l] Equacao funcional II Oi Klaus, O fato central que mostra que a função só precisa ser definida nos primos é que a função é multiplicativa, ou seja, que f(xy) = f(x)f(y) (o que foi feito no artigo). Assim, no seu exemplo, f(4) = f(2).f(2), e precisamos só definir f(2), e 2 é primo. Mas permita-me dar um argumento tentativamente mais convincente. Primeiro, vou provar que só precisamos definir f nos inteiros: como f é de Q+ em Q+, então só precisamos definir f(x), com x = m/n, m, n inteiros positivos (note que Q+ é o conjunto dos racionais positivos). Note que nx = m, e como f é multiplicativa f(m) = f(n)f(x) = f(x) = f(m)/f(n). Por exemplo, f(3/7) = f(3)/f(7). Assim, encontrados os valores da função em Z+, encontramos os valores da função em Q+. Agora, os primos. Primeiro, note que f(1) = f(1)f(1) e, sendo f de Q+ em Q+, f(1) = 1 (note que f só assume valores racionais positivos, logo f(x) não pode ser igual a zero). Agora, note que todo inteiro maior do que 1 pode ser escrito como produto de primos. Por exemplo, 6000 = 2^4 . 3 . 5^3. Aí, como f é multiplicativa, f(n) é igual ao produto da f dos primos de sua fatoração. No nosso exemplo, f(6000) = (f(2))^4 . f(3) . (f(5))^3. Observe também que f(mnp) = f(m)f(np) = f(m)f(n)f(p), ou seja, uma função multiplicativa a é para mais de dois fatores também (a demonstração formal disso é por indução sobre a quantidade de fatores, mas tenho certeza de que você consegue enxergá-la). Bom, talvez a sua dúvida seja por que a função é multiplicativa. Para isso, faça x = 1 para ver que f(f(y)) = f(1)/y e, sendo f(1) diferente de zero, f(f(y)) é uma função bijetora e, portanto, f também é bijetora, em particular injetora (a demonstração da injetividade é bem rápida: f(x) = f(y) = f(f(x)) = f(f(y)) = f(1)/x = f(1)/y = x = y). Agora, note que f(f(xy)) = f(1)/xy (é só trocar x por 1 e y por xy) e f(f(x)f(y)) = f(f(x))/y = f(1)/xy (troque x por f(x) e lembre que f(f(x)) = f(1)/x). Logo f(f(xy)) = f(f(x)f(y)) e, sendo f injetora, f(xy) = f(x)f(y). []'s Shine - Original Message From: Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, July 25, 2007 5:54:36 PM Subject: [obm-l] Equacao funcional II No site da obm. http://www.obm.org.br/frameset-eureka.htm tem um artigo sobre equações funcionais do Eduardo Tengan. Nele tem um problema assim: Seja Q+ o conjunto dos racionais postivos. Construa uma função f: Q+--Q+ tal que f(xf(y))=f(x)/y, para todo x,y E Q+. Tem a solução logo abaixo, só no final ele diz assim Assim, basta construir a função para os inteiros positivos. Mais ainda, basta defini-la para os primos. Por quê? e outra, se eu quisesse saber por exemplo f(4) não daria. Ele só definiu para os primos. Grato. Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais. Need a vacation? Get great deals to amazing places on Yahoo! Travel. Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. http://www.flickr.com.br/
[obm-l] Equacao funcional II
No site da obm. http://www.obm.org.br/frameset-eureka.htm tem um artigo sobre equações funcionais do Eduardo Tengan. Nele tem um problema assim: Seja Q+ o conjunto dos racionais postivos. Construa uma função f: Q+--Q+ tal que f(xf(y))=f(x)/y, para todo x,y E Q+. Tem a solução logo abaixo, só no final ele diz assim Assim, basta construir a função para os inteiros positivos. Mais ainda, basta defini-la para os primos. Por quê? e outra, se eu quisesse saber por exemplo f(4) não daria. Ele só definiu para os primos. Grato. Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. http://www.flickr.com.br/
Re: [obm-l] Equacao funcional II
Oi Klaus, O fato central que mostra que a função só precisa ser definida nos primos é que a função é multiplicativa, ou seja, que f(xy) = f(x)f(y) (o que foi feito no artigo). Assim, no seu exemplo, f(4) = f(2).f(2), e precisamos só definir f(2), e 2 é primo. Mas permita-me dar um argumento tentativamente mais convincente. Primeiro, vou provar que só precisamos definir f nos inteiros: como f é de Q+ em Q+, então só precisamos definir f(x), com x = m/n, m, n inteiros positivos (note que Q+ é o conjunto dos racionais positivos). Note que nx = m, e como f é multiplicativa f(m) = f(n)f(x) = f(x) = f(m)/f(n). Por exemplo, f(3/7) = f(3)/f(7). Assim, encontrados os valores da função em Z+, encontramos os valores da função em Q+. Agora, os primos. Primeiro, note que f(1) = f(1)f(1) e, sendo f de Q+ em Q+, f(1) = 1 (note que f só assume valores racionais positivos, logo f(x) não pode ser igual a zero). Agora, note que todo inteiro maior do que 1 pode ser escrito como produto de primos. Por exemplo, 6000 = 2^4 . 3 . 5^3. Aí, como f é multiplicativa, f(n) é igual ao produto da f dos primos de sua fatoração. No nosso exemplo, f(6000) = (f(2))^4 . f(3) . (f(5))^3. Observe também que f(mnp) = f(m)f(np) = f(m)f(n)f(p), ou seja, uma função multiplicativa a é para mais de dois fatores também (a demonstração formal disso é por indução sobre a quantidade de fatores, mas tenho certeza de que você consegue enxergá-la). Bom, talvez a sua dúvida seja por que a função é multiplicativa. Para isso, faça x = 1 para ver que f(f(y)) = f(1)/y e, sendo f(1) diferente de zero, f(f(y)) é uma função bijetora e, portanto, f também é bijetora, em particular injetora (a demonstração da injetividade é bem rápida: f(x) = f(y) = f(f(x)) = f(f(y)) = f(1)/x = f(1)/y = x = y). Agora, note que f(f(xy)) = f(1)/xy (é só trocar x por 1 e y por xy) e f(f(x)f(y)) = f(f(x))/y = f(1)/xy (troque x por f(x) e lembre que f(f(x)) = f(1)/x). Logo f(f(xy)) = f(f(x)f(y)) e, sendo f injetora, f(xy) = f(x)f(y). []'s Shine - Original Message From: Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, July 25, 2007 5:54:36 PM Subject: [obm-l] Equacao funcional II No site da obm. http://www.obm.org.br/frameset-eureka.htm tem um artigo sobre equações funcionais do Eduardo Tengan. Nele tem um problema assim: Seja Q+ o conjunto dos racionais postivos. Construa uma função f: Q+--Q+ tal que f(xf(y))=f(x)/y, para todo x,y E Q+. Tem a solução logo abaixo, só no final ele diz assim Assim, basta construir a função para os inteiros positivos. Mais ainda, basta defini-la para os primos. Por quê? e outra, se eu quisesse saber por exemplo f(4) não daria. Ele só definiu para os primos. Grato. Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais. Building a website is a piece of cake. Yahoo! Small Business gives you all the tools to get online. http://smallbusiness.yahoo.com/webhosting
Re:[obm-l] eQuaCao
De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Fri, 20 Oct 2006 20:35:18 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] eQuaCao x^4 + x^3 -1 = 0 se a,b sao 2 raizes da eq acima, mostre q ab eh uma raiz positiva da equacao abaixo x^6 + x^4 + x^3 - x^2 - 1 = 0 alguem sabe fazer isso de uma maneira interessante(sem meter um monte de conta..? Eu não. Mas com um monte de contas fica assim... f(x) = x^4+x^3-1 == f'(x) = x^2(4x+3) == f'(x) 0 se x -3/4 e f'(x) 0 se x -3/4e x 0. f(-2) = 7; f(-1) = -2; f(0) = -1; f(1) = 1 == f(x) possui apenas duas raízes reais, uma entre -2 e -1 e outra entre 0 e 1. As outras duas raízes são complexas conjugadas. Logo, se o produto de duas raízes de f(x) for positivo, estas raízes serão justamente as raízes complexas. Vamos chamá-las de u+iv e u-iv e o seu produto de k = u^2+v^2. x^4+x^3-1 = 0 == x+1 = 1/x^3u+1+iv = 1/(u+iv)^3 (i)u+1-iv = 1/(u-iv)^3 (ii)Multiplicando (i) e (ii): (u+1)^2+v^2 = 1/(u^2+v^2)^2 == k+2u+1 = 1/k^3 ==u = (1-k^3-k^4)/(2k^3) (iii)Somando (i) e (ii) (e usando a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2))2u+2 = 1/(u+iv)^3 + 1/(u-iv)^3 == 2u+2 = ((u+iv)^3 + (u-iv)^3)/k^3 == 2u+2 = 2u(u^2+2iuv-v^2-u^2-v^2+u^2-2iuv-v^2)/k^3 ==u+1 = u(2u^2-2v^2-k)/k^3 (iv)Subtraindo (ii) de (i) (e usando a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2))2iv = 1/(u+iv)^3 - 1/(u-iv)^3 == 2iv = ((u-iv)^3 - (u+iv)^3)/k^3 == 2iv = -2iv(u^2-2iuv-v^2+u^2+v^2+u^2+2iuv-v^2)/k^3 == -1 = (2u^2-2v^2+k)/k^3 == -1-2/k^2 = (2u^2-2v^2-k)/k^3 (v) Substituindo (v) em (iv): u+1 = -u(1+2/k^2) == u = -k^2/(2(k^2+1)) (vi) Igualando (iii) e (iv): -k^2/(2(k^2+1)) = (1-k^3-k^4)/(2k^3) == k^5 = (k^4+k^3-1)(k^2+1) = k^6+k^5-k^2+k^4+k^3-1 == k^6 + k^4 + k^3 - k^2 - 1 = 0 De onde você tirou esse problema? []s, Claudio.
Re: [obm-l] eQuaCao
Este problema e um classico. Ja vi ele numa das listas de preparacao que eu usava para a OBM, e ela ja chegou a cair na USAMO (a olimpiada estadunidense de matematica)Bem, outro modo de fazer e o seguinte: x^4+x^3+0x^2+0x-1 = 0Se a,b,c,d sao as raizes, sabemos quea+b+c+d=-1ab+ac+ad+bc+bd+cd=0abc+abd+acd+bcd=0abcd= -1Agora, temos que calcular o polinomio cujas raizes sao ab,ac,ad,bc,bd,cd Para tal, temops que calcular todas as somas, todos os produtos 2 a 2 somados, todos os produtos 3 a 3 somados, ..., o produto de todos.Bem, vamos lá!ab+ac+ad+bc+bd+cd=0abac+abad+abbc+abbd+abcd +acad+acbc+acbd+accd+adbc+adbd+adcd+bcbd+bccd+bdcd= a^2bc+a^2bd+ab^2c+ab^2d+abcd +a^2cd+abc^2+abcd+ac^2d +abcd+abd^2+acd^2 +b^2cd+bc^2d +bcd^2= Em 23/10/06, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Fri, 20 Oct 2006 20:35:18 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] eQuaCao x^4 + x^3 -1 = 0 se a,b sao 2 raizes da eq acima, mostre q ab eh uma raiz positiva da equacao abaixo x^6 + x^4 + x^3 - x^2 - 1 = 0 alguem sabe fazer isso de uma maneira interessante(sem meter um monte de conta..? Eu não. Mas com um monte de contas fica assim... f(x) = x^4+x^3-1 == f'(x) = x^2(4x+3) == f'(x) 0 se x -3/4 e f'(x) 0 se x -3/4e x 0. f(-2) = 7; f(-1) = -2; f(0) = -1; f(1) = 1 == f(x) possui apenas duas raízes reais, uma entre -2 e -1 e outra entre 0 e 1. As outras duas raízes são complexas conjugadas. Logo, se o produto de duas raízes de f(x) for positivo, estas raízes serão justamente as raízes complexas. Vamos chamá-las de u+iv e u-iv e o seu produto de k = u^2+v^2. x^4+x^3-1 = 0 == x+1 = 1/x^3u+1+iv = 1/(u+iv)^3 (i)u+1-iv = 1/(u-iv)^3 (ii)Multiplicando (i) e (ii): (u+1)^2+v^2 = 1/(u^2+v^2)^2 == k+2u+1 = 1/k^3 ==u = (1-k^3-k^4)/(2k^3) (iii)Somando (i) e (ii) (e usando a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2))2u+2 = 1/(u+iv)^3 + 1/(u-iv)^3 == 2u+2 = ((u+iv)^3 + (u-iv)^3)/k^3 == 2u+2 = 2u(u^2+2iuv-v^2-u^2-v^2+u^2-2iuv-v^2)/k^3 ==u+1 = u(2u^2-2v^2-k)/k^3 (iv)Subtraindo (ii) de (i) (e usando a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2))2iv = 1/(u+iv)^3 - 1/(u-iv)^3 == 2iv = ((u-iv)^3 - (u+iv)^3)/k^3 == 2iv = -2iv(u^2-2iuv-v^2+u^2+v^2+u^2+2iuv-v^2)/k^3 == -1 = (2u^2-2v^2+k)/k^3 == -1-2/k^2 = (2u^2-2v^2-k)/k^3 (v) Substituindo (v) em (iv): u+1 = -u(1+2/k^2) == u = -k^2/(2(k^2+1)) (vi) Igualando (iii) e (iv): -k^2/(2(k^2+1)) = (1-k^3-k^4)/(2k^3) == k^5 = (k^4+k^3-1)(k^2+1) = k^6+k^5-k^2+k^4+k^3-1 == k^6 + k^4 + k^3 - k^2 - 1 = 0 De onde você tirou esse problema? []s, Claudio. -- Ideas are bulletproof.V
Re:[obm-l] Equacao
Aqui vai uma solução razoavelmente feia... Suponhamos que a equação tenha solução (x,y). Como n = 3, temos que x^n - y^n = 2^3 - 1^3 = 7 4 == k = 3. 2 aparece com o mesmo expoentena decomposição de x e y pois, caso contrário, dividindo x e y por 2^m (m = menor expoente), ficaríamos com: 2^(k-m) = diferença entre um número par e um ímpar == 2^(k-m)= 1 necessariamente == k = m == (x/2^m)^n - (y/2^m)^n = 1 == sem solução, pois n = 3 == contradição Assim, podemos supor que x e y são ambos ímpares. x^n - y^n = (x - y)(x^(n-1) + x^(n-2)y + ... + y^(n-1)) = 2^k == x - y = 2^r com r = 1, pois x - y é par e positivo e o 2o. termo é uma soma de n parcelas ímpares e igual a 2^(k-r) == n é par Suponhamos que n = 2^p*b, onde p = 1 eb é ímpar. Se b 1, então, como x^n - y^n é múltiplo de x^(b-1) + x^(b-1)y + ... + xy^(b-2) + y^(b-1) = soma de um número ímpar de parcelas ímpares = ímpar (e maior do que 1) == contradição, pois isso também divide 2^(k-r) == b = 1 e, portanto, n = 2^p. x^(2^p) - y^(2^p) = 2^k == (x-y)(x+y)(x^2+y^2)...(x^(2^(p-1))+y^(2^(p-1))) = 2^k == x-y = 2^r e x+y = 2^s (1 = r s) == x = 2^r*(2^(s-r) + 1) e y = 2^r*(2^(s-r) - 1) == x e y são pares == contradição Conclusão: a equação não possui soluções inteiras positivas. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 2 Aug 2006 19:30:32 + (GMT) Assunto: [obm-l] Equacao Sejam k ,n inteiros positivos com n2. Mostre que a equacao x^n-y^n=2^k. Nao possui solucao inteira positiva (x,y). Yahoo! SearchMúsica para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
[obm-l] Equacao
Sejam k ,n inteiros positivos com n2. Mostre que a equacao x^n-y^n=2^k. Nao possui solucao inteira positiva (x,y). Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
[obm-l] Equacao exponencial simples
Como resolver, de forma simples, a equacao 3^(x/2) + 1 = 2^x ? x/2 x3 + 1 = 2Abrao a todos.Ronald. Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
Re: [obm-l] equacao
(a+b)^2 = a^2+b^2 +2ab vc vai encontrar aplicaçoes para esta relaçao em muitos tipos de exercicios para o resto da sua vida, desde integrais, a exercicios de fisica, a trigonometria, a fisica, muita coisa mesmo. On 2/5/06, elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote: olá pessoal, alguem conhece a relação que se segue?numa equação: a^2 + b^2 = S (soma) + 2* P (produto). se alguem conhece, me diga como usa-la.___Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. http://br.yahoo.com/homepageset.html=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
[obm-l] equacao
olá pessoal, alguem conhece a relação que se segue? numa equação: a^2 + b^2 = S (soma) + 2* P (produto). se alguem conhece, me diga como usa-la. ___ Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. http://br.yahoo.com/homepageset.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Equacao trigonometrica
Como resolvo cos(x) . cos(5x) . cos(7x) = [sqrt(3)]/3 (tangente de 30º) ??? Obrigado.-- I G O RJesus ama você.
[obm-l] Equacao
Mostre que a equacao x2 + 4 = y3 tem exactamente duas soluções inteiras positivas. Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis.Instale o discador agora!
Re: [obm-l] equacao
Eu acho que o único jeito é aproximando raizes por polinomio de taylor. Mas desconheco qualquer outro modo de resolver. Alias, já ouvi falar que esse tipo de equação, assim como: sen(x) + x = a, e^x + x + ln(x) = 2, e equações desses tipos, não possuem solução algébrica. Um abraço, Marcelo - Original Message - From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, October 31, 2005 4:34 PM Subject: RES: [obm-l] equacao Se vc souber como, me ensine. Eu nao sei. E nao eh brincadeira nao. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Akira Kaneda Enviada em: segunda-feira, 31 de outubro de 2005 05:57 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] equacao --- Danilo Nascimento [EMAIL PROTECTED] escreveu: 3^x=4x como resolvo. Me parece que usando as propriedades dos logaritmos da pra resolver ... . ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] equacao
--- Danilo Nascimento [EMAIL PROTECTED] escreveu: 3^x=4x como resolvo. Me parece que usando as propriedades dos logaritmos da pra resolver ... . ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] equacao
Eu nao sei como resolver isto analiticamente por meio de funcoes elementares. Mas se definirmos f(x)= 3^x - 4x para x em R, entao f'(x) = (3^x)*(ln(3) - 4 e f''(x) = (3^x)*(ln(3)^2, de modo que f'' eh estritamente positiva e f, portanto, eh convexa em R. f' se anula apenas em x* = (ln(4/ln(3)))/(ln(3)) =~ 1,176253485, o qual eh o ponto de minimo global de f em R. Neste ponto, f(x*) =~ -1,064057035 0. Considerando que f eh continua, que f(x) - oo quando x - oo ou - oo e que soh hah um ponto de minimo relativo, segue-se que f tem 2 raizes, uma menor e outra maior que x*. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Akira Kaneda Enviada em: segunda-feira, 31 de outubro de 2005 05:57 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] equacao --- Danilo Nascimento [EMAIL PROTECTED] escreveu: 3^x=4x como resolvo. Me parece que usando as propriedades dos logaritmos da pra resolver ... . ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] equacao
Se vc souber como, me ensine. Eu nao sei. E nao eh brincadeira nao. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Akira Kaneda Enviada em: segunda-feira, 31 de outubro de 2005 05:57 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] equacao --- Danilo Nascimento [EMAIL PROTECTED] escreveu: 3^x=4x como resolvo. Me parece que usando as propriedades dos logaritmos da pra resolver ... . ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] equacao
3^x=4x como resolvo. Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada vocêacumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe!
[obm-l] equacao
Determine o conjunto solucao d (x+y)k = xy sendo x e y inteiros positivose k um numero primo Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada vocêacumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe!
Re:[obm-l] equacao
Seja d = mdc(x,y). Então x = dz e y = dw, com mdc(z,w) = 1. A equação fica (z + w)k = dzw. k não pode dividir z pois z = km == (km + w)k = dkmw == km + w = dmw == w = m(dw - k) == m divide w == contradição, pois z (e portanto m) é primo com w Da mesma forma, vemos que k não pode dividir w. Logo, k divide d == d = kn == (z + w)k = knzw == z + w = nzw == 1/w + 1/z = n = inteiro positivo Como z ew são inteiros positivos, 1/z + 1/w = 2. Se z =w = 1, então x = y = d == 2dk = d^2 == d = 2k == uma solução é (2k,2k). Se z 1 ou w 1, então 1/z + 1/w = n = 1 == z = w = 2 e d = k == de novo obtemos a solução (2k,2k). Logo, a única solução é (2k,2k). De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 26 Oct 2005 11:28:09 + (GMT) Assunto: [obm-l] equacao Determine o conjunto solucao d (x+y)k = xy sendo x e y inteiros positivose k um numero primo Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada vocêacumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe!
Re:[obm-l] equacao
Na verdare, por tentativa (e muitos erros) e' possivel tambem outras solucoes: zk - zw = -wk = z = -wk/(k-w) Logo, se k = (w+1) entao z = -w(w+1) Por simetria, se k = (z+1) entao w = -z(z+1) Abraco, sergio On Wed, 26 Oct 2005, claudio.buffara wrote: Seja d = mdc(x,y). Então x = dz e y = dw, com mdc(z,w) = 1. A equação fica (z + w)k = dzw. k não pode dividir z pois z = km == (km + w)k = dkmw == km + w = dmw == w = m(dw - k) == m divide w == contradição, pois z (e portanto m) é primo com w Da mesma forma, vemos que k não pode dividir w. Logo, k divide d == d = kn == (z + w)k = knzw == z + w = nzw == 1/w + 1/z = n = inteiro positivo Como z e w são inteiros positivos, 1/z + 1/w = 2. Se z = w = 1, então x = y = d == 2dk = d^2 == d = 2k == uma solução é (2k,2k). Se z 1 ou w 1, então 1/z + 1/w = n = 1 == z = w = 2 e d = k == de novo obtemos a solução (2k,2k). Logo, a única solução é (2k,2k). De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Wed, 26 Oct 2005 11:28:09 + (GMT) Assunto:[obm-l] equacao Determine o conjunto solucao d (x+y)k = xy sendo x e y inteiros positivos e k um numero primo Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] equacao
Duas soluções para essa questão, bem como as
soluções de todas as questões da prova de matemática do IME desse ano podem ser
encontradas por exemplo no site do Ponto de Ensino (onde eu
trabalho):
www.pensi.com.br
Uma solução possível é: Como k eh primo, xy
multiplo de k = x ou y multiplo de k.
Se x=ak, a inteiro, temos substituindo na
equacao que y=ak/(a-1). Como y eh inteiro e mdc(a,a-1)=1, deve-se ter a-1
dividindo k. Sendo k primo, isso dá a-1 em {-k,-1,k,1} que dá a em {1-k, 0, 1+k,
2} e substituindo em x=ak e y=ak/(a-1) vc acha 4 soluções. Trocando x com y
(i.e, fazendo y=ak) vc acha mais duas.
É interessante notar que essa questão
já tinha aparecido antes na olimpíada de matemática do Estado do Rio de Janeiro
de 1998 (por acaso foi uma prova que eu fiz como aluno, por isso lembrei
:)).
Abraços,
Marcio
- Original Message -
From:
Danilo Nascimento
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, October 26, 2005 9:28
AM
Subject: [obm-l] equacao
Determine o conjunto solucao d (x+y)k = xy sendo x e y inteiros
positivose k um numero primo
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Re:[obm-l] equacao
Eu supuz que k é um primo fixo dado. De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 26 Oct 2005 12:20:17 -0200 (BRST) Assunto: Re:[obm-l] equacao Na verdare, por tentativa (e muitos erros) e' possivel tambem outras solucoes: zk - zw = -wk = z = -wk/(k-w) Logo, se k = (w+1) entao z = -w(w+1) Por simetria, se k = (z+1) entao w = -z(z+1) Abraco, sergio On Wed, 26 Oct 2005, claudio.buffara wrote: Seja d = mdc(x,y). Então x = dz e y = dw, com mdc(z,w) = 1. A equação fica (z + w)k = dzw. k não pode dividir z pois z = km == (km + w)k = dkmw == km + w = dmw == w = m(dw - k) == m divide w == contradição, pois z (e portanto m) é primo com w Da mesma forma, vemos que k não pode dividir w. Logo, k divide d == d = kn == (z + w)k = knzw == z + w = nzw == 1/w + 1/z = n = inteiro positivo Como z e w são inteiros positivos, 1/z + 1/w = 2. Se z = w = 1, então x = y = d == 2dk = d^2 == d = 2k == uma solução é (2k,2k). Se z 1 ou w 1, então 1/z + 1/w = n = 1 == z = w = 2 e d = k == de novo obtemos a solução (2k,2k). Logo, a única solução é (2k,2k). De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Wed, 26 Oct 2005 11:28:09 + (GMT) Assunto:[obm-l] equacao Determine o conjunto solucao d (x+y)k = xy sendo x e y inteiros positivos e k um numero primo Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Re:[obm-l] equacao
Mesmo assim, ainda temos as soluções:
(k^2+k, k+1) e (k-k^2, k-1) e suas simétricas.
- Original Message -
From:
claudio.buffara
To: obm-l
Sent: Wednesday, October 26, 2005 1:14
PM
Subject: Re:[obm-l] equacao
Eu supuz que k é um primo fixo dado.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
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Data:
Wed, 26 Oct 2005
12:20:17 -0200 (BRST)
Assunto:
Re:[obm-l]
equacao
Na verdare, por tentativa (e muitos erros)
e' possivel tambem outras solucoes:
zk - zw = -wk
= z = -wk/(k-w)
Logo, se k = (w+1) entao z = -w(w+1)
Por simetria, se k = (z+1) entao w = -z(z+1)
Abraco,
sergio
On Wed, 26 Oct 2005, claudio.buffara wrote:
Seja d = mdc(x,y). Então x = dz e y = dw, com mdc(z,w) =
1.
A equação fica (z + w)k = dzw.
k não pode dividir z pois z = km ==
(km + w)k = dkmw ==
km + w = dmw ==
w = m(dw - k) ==
m divide w ==
contradição, pois z (e portanto m) é primo com w
Da mesma forma, vemos que k não pode dividir w.
Logo, k divide d ==
d = kn ==
(z + w)k = knzw ==
z + w = nzw ==
1/w + 1/z = n = inteiro positivo
Como z e w são inteiros positivos, 1/z + 1/w = 2.
Se z = w = 1, então x = y = d == 2dk = d^2 == d = 2k
==
uma solução é (2k,2k).
Se z 1 ou w 1, então 1/z + 1/w = n = 1 ==
z = w = 2 e d = k ==
de novo obtemos a solução (2k,2k).
Logo, a única solução é (2k,2k).
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:Wed, 26 Oct 2005 11:28:09 + (GMT)
Assunto:[obm-l] equacao
Determine o conjunto solucao d (x+y)k = xy sendo x e y
inteiros positivos e k um numero primo
Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você
acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios!
Participe!
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: Re:[obm-l] equacao
É isso aí. Mancada minha! O melhor jeito é olhar e ver que a equação equivale a 1/x + 1/y = 1/k, que sendo x e y positivos, devemos ter x k == x = k + m, com m inteiro positivo e, portanto, 1/y = 1/k - 1/(k+m) = m/(k(k+m)) == y = k(k+m)/m == m divide k^2 e, como k é primo, m = 1, k ou k^2, o que dá origem as três soluções: (2k,2k)e mais as duas que você mencionou. Fica como um novo problema determinar em que ponto da minha pseudo-resolução abaixo eu "perdi" as outras duas soluções. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 26 Oct 2005 14:12:05 -0200 Assunto: Re: Re:[obm-l] equacao Mesmo assim, ainda temos as soluções: (k^2+k, k+1) e (k-k^2, k-1) e suas simétricas. - Original Message - From: claudio.buffara To: obm-l Sent: Wednesday, October 26, 2005 1:14 PM Subject: Re:[obm-l] equacao Eu supuz que k é um primo fixo dado. De: [EMAIL PROTECTED] Para: "obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 26 Oct 2005 12:20:17 -0200 (BRST) Assunto: Re:[obm-l] equacao Na verdare, por tentativa (e muitos erros) e' possivel tambem outras solucoes: zk - zw = -wk = z = -wk/(k-w) Logo, se k = (w+1) entao z = -w(w+1) Por simetria, se k = (z+1) entao w = -z(z+1) Abraco, sergio On Wed, 26 Oct 2005, claudio.buffara wrote: Seja d = mdc(x,y). Então x = dz e y = dw, com mdc(z,w) = 1. A equação fica (z + w)k = dzw. k não pode dividir z pois z = km == (km + w)k = dkmw == km + w = dmw == w = m(dw - k) == m divide w == contradição, pois z (e portanto m) é primo com w Da mesma forma, vemos que k não pode dividir w. Logo, k divide d == d = kn == (z + w)k = knzw == z + w = nzw == 1/w + 1/z = n = inteiro positivo Como z e w são inteiros positivos, 1/z + 1/w = 2. Se z = w = 1, então x = y = d == 2dk = d^2 == d = 2k == uma solução é (2k,2k). Se z 1 ou w 1, então 1/z + 1/w = n = 1 == z = w = 2 e d = k == de novo obtemos a solução (2k,2k). Logo, a única solução é (2k,2k). De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Wed, 26 Oct 2005 11:28:09 + (GMT) Assunto:[obm-l] equacao Determine o conjunto solucao d (x+y)k = xy sendo x e y inteiros positivos e k um numero primo Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe!
Re: [obm-l] Equacao diferencial
Esta equacao diferencial eh equivalente a y' - (q(x)/p(x)*y = f(x)/p(x). Assim, eh do tipo dy/dx + r(x)*y = s(x). No seu caso, r(x) = - q(x)/p(x) e s(x) = f(x)/p(x). A ideia para a resolucao deste tipo de equacao eh multiplicar ambos os mebros por uma funcao t(x), de modo a que no primeiro membro tenhamos d(t*y)/dx. Omitindo o argumento x para simplificar a notacao, devemos entao ter que t*dy/dx + t*r*y = t*dy/dx + y*dt/dx = t*r*y = y*dt/dx = t*r = dt/dx, admitindo-se que y nao seja identicamente nula. Assim, caimos na eq. de variaveis separaveis dt/t = r*dx que nos leva a que t = exp(integral(r*dx)) = exp(R), sendo R uma primitiva de r, admitindo-se que exista. Logo, a equacao original fica d(t*y)/dx = T*s = t*y = U, sendo U uma primitiva de T*s, admitindo-se que exista. Finalmente, y = U/t, definida para valores de x que nao anulem t. Na pratica, esta solucao bonitinha vai quase sempre dar umas integrais tao complicadas que nao se vai conseguir determinar as primitivas. Vemos que calculamos 2 primitivas, cada uma delas dando uma constante de integracao. Assim a solucao para y eh uma familia de funcoes dependendo de duas constantes. Foram dadas duas condicoes de contorno, de modo que vc vai obter um sistema com 2 equacoes e duas incognitas a determinar. Pode ser que haja mesmo uma unica solucao, mas esta afirmacao nao pode ser feita a priori, pois depende das funcoes envolvidas na equacao diferencial. Artur --- Tertuliano [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola a todos! Alguem poderia me ajudar nesta? Considere o seguinte problema de contorno: [p(x)y']'-q(x)y = f(x) y(0)=a, y(L)=b a, b e L sao constantes, p(x)0 e q(x)=0. Mostre que se o problema admite solucao entao ela eh unica. Grato, Tertuliano ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Yahoo! Music Unlimited Access over 1 million songs. Try it free. http://music.yahoo.com/unlimited/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao diferencial
Pensando bem, talvez de mesmo para garantir que a solucao eh unica. A primeira constante, k1, aparece na determinacao da primitiva de r, de modo que temos t = K1*exp(R), sendo K1 = exp(k1). A segunda constante, k2, aparece na determinacao da primiva de T*s, de modo que vamos chegar a y = (K1*U + K2)/t. Asiim, as condicoes de contorno levan a um sistema linear de 2 eqs. e 2 incognitas. Se as eqs. forem lineramente independentes, hah solucao unica. De uma conferida. Artur __ Yahoo! Mail - PC Magazine Editors' Choice 2005 http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Equacao diferencial
Ola a todos! Alguem poderia me ajudar nesta? Considere o seguinte problema de contorno: [p(x)y']'-q(x)y = f(x) y(0)=a, y(L)=b a, b e L sao constantes, p(x)0 e q(x)=0. Mostre que se o problema admite solucao entao ela eh unica. Grato, Tertuliano ___ Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Equacao
a)m cos x - (m+1) senx = m, m pertence a R b) Determine m de modo que essa equacao admita raizes x' e x" cuja diferenca seja pi/2 Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora!
Re: [obm-l] Equacao
Ola Danilo Parece que a) eh a proposta e b) a questao. Sendo assim, observa-se que x= multiplo de 2*pi e solucao, independente ded m, pois cox=1 e senx=0. Assim a outra solucao, diferindo de pi/2 desta, tem que ser tal que cosx=0 e senx=(+ ou -)1. A condicao com o sinal - leva a incompatilidade , portanto senx=1, e a equacao originalresume-se a -(m+1)=m ou m=-(0,5). []s --- Danilo Nascimento [EMAIL PROTECTED] escreveu: a)m cos x - (m+1) senx = m, m pertence a R b) Determine m de modo que essa equacao admita raizes x' e x cuja diferenca seja pi/2 - Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora! ___ Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora! www.yahoo.com.br/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] EQUACAO
Prove que existe x pertencente aos reais tal que x^3-1/(1+x^4) = 0 []'s Danilo__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: [obm-l] EQUACAO
Como é uma equação de ordem 7, equivalente a x^7+x^3-1=0, existe, no mínimo, uma solução pertencente aos reais. De fato, as raízes desta equação são: 0.747626 + 0.845386i 0.747626 - 0.845386i -0.871735 + 0.578713i -0.871735 - 0.578713i -0.307464 + 0.858094i -0.307464 - 0.858094i e 0.863146 Abraços, Aldo Danilo Nascimento wrote: Prove que existe x pertencente aos reais tal que x^3-1/(1+x^4) = 0 []'s Danilo __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] EQUACAO
Olá Coincidentemente eu estava fazendo lista de cálculo para a faculdade e encontrei o mesmo problema. Resolvi ele da seguinte forma: seja f(x)=x^7+x^3-1 f'(x)=7x^6+3x^2 f'(x)=0 7x^6+3x^2=0 x=0 com multiplicidade 2, logo, não é um limite relativo e tampouco existe limite relativo na f(x), e como f(x) é contínua em R, a equação admite exatamente uma solução real. Gostaria de saber se a justificativa é valida, Obrigado Maurizio Adroaldo Munhoz escreveu: Como é uma equação de ordem 7, equivalente a x^7+x^3-1=0, existe, no mínimo, uma solução pertencente aos reais. De fato, as raízes desta equação são: 0.747626 + 0.845386i 0.747626 - 0.845386i -0.871735 + 0.578713i -0.871735 - 0.578713i -0.307464 + 0.858094i -0.307464 - 0.858094i e 0.863146 Abraços, Aldo Danilo Nascimento wrote: Prove que existe x pertencente aos reais tal que x^3-1/(1+x^4) = 0 []'s Danilo __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] EQUACAO
x^3 - 1/(1 + x^4) = 0 x^3 = 1/(1 + x^4) (x^3)*(1 + x^4) = 1 (1 + x^4) 0, p/qualquer xER x^3 + x^7 = 1 x^7 = 1 - x^3 f(x) = x^7 g(x) = 1 - x^3 f(0) = 0 g(0) = 1 f(1) = 1 g(1) = 0 Portanto em algum lugar entre 0 e 1, temos f(x) = g(x), e portanto, para esse x, teremos x^7 = 1 - x^3 []s, Claudio Freitas Danilo Nascimento escreveu: Prove que existe x pertencente aos reais tal que x^3-1/(1+x^4) = 0 []'s Danilo __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra http://mail.terra.com.br/. Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 15/09/2005 / Versão: 4.4.00/4582 Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] EQUACAO
Seja f:[-1,1]-R x |-- f(x) = x^3-1/(1+x^4) Agora, 1) f é continua em [-1,1] 2) f(-1) =-1-1/2 = -3/2 0 3) f(1) =1- 1/2 = 1/20 Portanto, existeA em (-1,1) tal que f(A) = 0. []'s -- Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Data: Thu, 15 Sep 2005 19:00:28 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] EQUACAO Prove que existe x pertencente aos reais tal que x^3-1/(1+x^4) = 0 []'s Danilo __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: [obm-l] EQUACAO
caiu num simulado q fizJohann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] escreveu: Vou dar uma dica matadora:sen^2(j)+cos^2(j)=1Acho que mais que isso e praticamente resolver oproblema.P.S.: DE onde voce tirou esse?--- Danilo Nascimento <[EMAIL PROTECTED]>escreveu: Resolva a equacao: (1/x^2) + 1/(4-sqrt(3)x)^2 = 1 __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: [obm-l] EQUACAO
acho q o problema so admite solucao trigonometrica. Como Dirichlet mencionou. saulo nilson [EMAIL PROTECTED] escreveu: (1/x^2) + 1/(4-sqrt(3)x)^2 = 11/x^2=yy+y/(16-8raiz3+3)=1y=(19-8raiz3)/(20-8raiz3)x=2* [(5-2raiz3)/(19-8raiz3)]^1/2On 8/17/05, Danilo Nascimento <[EMAIL PROTECTED]>wrote: Resolva a equacao: (1/x^2) + 1/(4-sqrt(3)x)^2 = 1 __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] EQUACAO
Bem, este problema e no fundo uma equacao de quarto grau, e o modo mais limpo de resolve-lo foi o que eu mostrei. 1/x^2=y y+y/(16-8raiz3+3)=1 O que significam essas linhas? COnfesso que viajei na maionese... --- Danilo Nascimento [EMAIL PROTECTED] escreveu: acho q o problema so admite solucao trigonometrica. Como Dirichlet mencionou. saulo nilson [EMAIL PROTECTED] escreveu:(1/x^2) + 1/(4-sqrt(3)x)^2 = 1 1/x^2=y y+y/(16-8raiz3+3)=1 y=(19-8raiz3)/(20-8raiz3) x=2* [(5-2raiz3)/(19-8raiz3)]^1/2 On 8/17/05, Danilo Nascimento wrote: Resolva a equacao: (1/x^2) + 1/(4-sqrt(3)x)^2 = 1 __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] EQUACAO
Resolva a equacao: (1/x^2) + 1/(4-sqrt(3)x)^2 = 1__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: [obm-l] EQUACAO
Vou dar uma dica matadora: sen^2(j)+cos^2(j)=1 Acho que mais que isso e praticamente resolver o problema. P.S.: DE onde voce tirou esse? --- Danilo Nascimento [EMAIL PROTECTED] escreveu: Resolva a equacao: (1/x^2) + 1/(4-sqrt(3)x)^2 = 1 __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] EQUACAO
(1/x^2) + 1/(4-sqrt(3)x)^2 = 1 1/x^2=y y+y/(16-8raiz3+3)=1 y=(19-8raiz3)/(20-8raiz3) x=2* [(5-2raiz3)/(19-8raiz3)]^1/2 On 8/17/05, Danilo Nascimento [EMAIL PROTECTED] wrote: Resolva a equacao: (1/x^2) + 1/(4-sqrt(3)x)^2 = 1 __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] [1/2 OFF - Não Olímpico] Equacao E xponencial e Equacao Trigonometrica
Pessoal, Alguem pode, por favor, me ajudar nessas aqui...?? A primeira eu resolvi..mas não tenho certeza se está certa..e a segunda eu não consegui encontra uma solução... 1) e^4x - e^2x - e^2(x+1) + e^2 = 0 (e^2x)^2 - (e^x)^2 - (e^(x+1))^2 + e^2 = 0 [(e^2x)^2 - (e^(x+1))^2] + [e^2 - (e^x)^2] = 0 (e^2x + e^(x+1))(e^2x - e^(x+1)) + (e + e^x)(e - e^x) = 0 (e^2x + e*e^x)(e^2x - e*e^x) + (e + e^x)(e - e^x) = 0 (e^x)(e^x + e)(e^x)(e^x - e) + (e + e^x)(e - e^x) = 0 (e^2x)[(e^x + e)(e^x - e)] + [(e + e^x)(e - e^x)] = 0 (e^x + e)(e^x - e)[(e^2x) + 1] = 0 x=1 2) [(1-cos(x)^4)/(1-sen(x)^4)]*[(1+cotg(x)^2)/(1+tg(x)^2)] = 2/3 -- Os pontos não têm partes nem dimensões. Como podem combinar-se para formar uma reta? (J. A. Lindon) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] [1/2 OFF - Não Olímpico] Equ acao Exponencial e Equacao Trigonometrica
Olá Daniel 1)Um errinho de sinal escondeu mais uma raiz; x = 0. 2)Se você usar produtos notáveis (mais especificamente, difernça de quadrados), poderá fazer com que a equação fique só em função do quadrado de sen x, obtendo as raizes: mais ou menos (duplo sinal) de 2/sqrt5. []s Wilner --- Daniel S. Braz [EMAIL PROTECTED] escreveu: Pessoal, Alguem pode, por favor, me ajudar nessas aqui...?? A primeira eu resolvi..mas não tenho certeza se está certa..e a segunda eu não consegui encontra uma solução... 1) e^4x - e^2x - e^2(x+1) + e^2 = 0 (e^2x)^2 - (e^x)^2 - (e^(x+1))^2 + e^2 = 0 [(e^2x)^2 - (e^(x+1))^2] + [e^2 - (e^x)^2] = 0 (e^2x + e^(x+1))(e^2x - e^(x+1)) + (e + e^x)(e - e^x) = 0 (e^2x + e*e^x)(e^2x - e*e^x) + (e + e^x)(e - e^x) = 0 (e^x)(e^x + e)(e^x)(e^x - e) + (e + e^x)(e - e^x) = 0 (e^2x)[(e^x + e)(e^x - e)] + [(e + e^x)(e - e^x)] = 0 (e^x + e)(e^x - e)[(e^2x) + 1] = 0 x=1 2) [(1-cos(x)^4)/(1-sen(x)^4)]*[(1+cotg(x)^2)/(1+tg(x)^2)] = 2/3 -- Os pontos não têm partes nem dimensões. Como podem combinar-se para formar uma reta? (J. A. Lindon) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] equacao diofantina
Oi, Luís: Mediante uma mudança de variáveis essa equação se reduz a uma equação de Pell. A idéia é completar os quadrados em cada membro e multiplicar a equação resultante por uma constante apropriada a fim de obter algo da forma y^2 - ax^2 = b, onde a e b são inteiros e a é positivo e livre de quadrados. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 28 Mar 2005 20:30:52 + Assunto: [obm-l] equacao diofantina Sauda,c~oes, O problema abaixo foi proposto numa lista. []'s Luis Does anybody can give a (perhaps partial) recursive solution to the Diophantine equation (5a+1)a = (3b+7)b a1 = 3, b1 = 3, a2 = 31, b2 = 39 Best regards Nikolaos Dergiades = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] equacao diofantina
Oi Cláudio e amigos da lista.
Sem querer ser chato, mas sendo um pouco, há cuidados
a serem tomados ao usar Pell.
A equação de Pell generalizada x^2 - by^2 = c
normalmente é resolvida da seguinte maneira:
Antes de mais nada, vamos só pensar em soluções
inteiras positivas.
Primeiro, se c não é igual a 1, procura-se uma solução
minimal (x_0,y_0) da equação dada, no sentido que x_0
+ y_0\sqrt{b} é mínimo.
Depois, resolve-se a equação de Pell x^2 - by^2 = 1,
obtendo as infinitas soluções (x_k,y_k), k=1.
Geralmente, encontra-se (usando fração contínua, por
exemplo) uma solução minimal (x_1,y_1) e as outras são
obtidas da recorrência (x_1+y_1\sqrt{b})^n = x_n +
y_n\sqrt{b}, x_n, y_n inteiros.
Aí os pares (x,y) obtidos de
(x_0+y_0\sqrt{b})(x_n+y_n\sqrt{b}) = x + y\sqrt{b}
são soluções da equação original.
O problema é que quando c não é 1, esse procedimento
infelizmente *não* gera todas as raízes. Quando c=1,
aí sim temos todas as raízes.
Um exemplo é a equação x^2 - 10y^2 = 9. Ela admite
*três* soluções primitivas distintas: (7,2), (13,4) e
(57,18). A solução minimal de x^2 - 10y^2 = 1 é
(19,6), maior que ambos (7,2) e (13,4). Assim, (13,4)
não poderia ser gerada por (7,2).
Para achar todas as soluções, temos que achar *todas*
as soluções primitivas (x_0;y_0) da equação original.
Veja mais em
http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html
Mais tarde eu vou pensar nessa equação diofantina.
[]'s
Shine
--- claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Oi, Luís:
Mediante uma mudança de variáveis essa equação se
reduz a uma equação de Pell. A idéia é completar os
quadrados em cada membro e multiplicar a equação
resultante por uma constante apropriada a fim de
obter algo da forma y^2 - ax^2 = b, onde a e b são
inteiros e a é positivo e livre de quadrados.
[]s,
Claudio.
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
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Data:Mon, 28 Mar 2005 20:30:52 +
Assunto:[obm-l] equacao diofantina
Sauda,c~oes,
O problema abaixo foi proposto numa lista.
[]'s
Luis
Does anybody can give a (perhaps partial)
recursive solution to
the Diophantine equation (5a+1)a = (3b+7)b
a1 = 3, b1 = 3, a2 = 31, b2 = 39
Best regards
Nikolaos Dergiades
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e
usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
__
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] equacao diofantina
Sauda,c~oes, O problema abaixo foi proposto numa lista. []'s Luis Does anybody can give a (perhaps partial) recursive solution to the Diophantine equation (5a+1)a = (3b+7)b a1 = 3, b1 = 3, a2 = 31, b2 = 39 Best regards Nikolaos Dergiades = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] equacao....,
Pessoal, estou preso nesse aqui. Se puderem enviar solucoes ficarei grato. Determine as raizes reais da equacao x^3 + 2*a*x + 1/16 = -a + sqrt( (a^2) + (x) - (1/16) ) com 0 a 1/4 obrigado -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] equacao...
Pessoal, estou preso nesse aqui. Se puderem enviar solucoes ficarei grato. Determine as raizes reais da equacao x^3 + 2*a*x + 1/16 = -a + sqrt( (a^2) + (x) - (1/16) ) com 0 a 1/4 obrigado -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] equacao trigonometrica
Pessoal, to me batendo todo com esta aqui. 1) sen 2x - 4senx = 0, para 0 igual x igual 2Pi
Re: [obm-l] equacao trigonometrica
sen 2x - 4senx = 0, para 0 igual x igual 2Pi
sen 2x - 4senx = 0
2 senx.cosx - 4 sen x = 0
2senx (cosx - 2) = 0
Para a equação ser igual a zero.
Podemos ter (2.senx=0)* ou (cosx - 2=0)**, então
de (*)
2 senx = 0
senx = 0
para x = 0 ou x = pi
de (**)
cosx - 2 = 0
cosx = 2
O que não convém pois a imagem de cos x = [-1,1]
Logo...
S = {x pert aos R| x = 0 ou x = pi}
Acho que seja isso, pois verificando o resultado está OK!!!
Guilherme Teles [EMAIL PROTECTED] wrote:
Pessoal, to me batendo todo com esta aqui.
1) sen 2x - 4senx = 0, para 0 igual x igual 2PiYahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] equacao trigonometrica
Como o intervalo eh fechado aa direita, a resposta nao seria a que esta abaixo ?
S = {x pert aos R| x = 0,x = pi e x=2pi}
Em uma mensagem de 23/4/2004 08:56:54 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
sen 2x - 4senx = 0, para 0 igual x igual 2Pi
sen 2x - 4senx = 0
2 senx.cosx - 4 sen x = 0
2senx (cosx - 2) = 0
Para a equação ser igual a zero.
Podemos ter (2.senx=0)* ou (cosx - 2=0)**, então
de (*)
2 senx = 0
senx = 0
para x = 0 ou x = pi
de (**)
cosx - 2 = 0
cosx = 2
O que não convém pois a imagem de cos x = [-1,1]
Logo...
S = {x pert aos R| x = 0 ou x = pi}
Acho que seja isso, pois verificando o resultado está OK!!!
Guilherme Teles [EMAIL PROTECTED] wrote:
Pessoal, to me batendo todo com esta aqui.
1) sen 2x - 4senx = 0, para 0 igual x igual 2Pi
Re: [obm-l] Equacao polinomial
Com respeito à lista, e para que se evitem comentários infelizes como este, a resposta ao Márcio foi enviada em PVT. Minhas desculpas por qualquer incômodo acerca das dúvidas geradas pelo assunto. Obrigado aos que tiveram a *paciência* de explicar ao responder. Cordialmente, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Marcio Afonso A. Cohen [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, February 08, 2004 3:01 AM Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Prezado Rafael, Estou com a nitida impressao de que voce nao esta entendendo quase nada do que esta sendo discutido.. O Claudio esta totalmente correto, inclusive quando comenta seu erro. O problema é que a sua equacao não NECESSARIAMENTE precisa ser um binomio do tipo (x-a)^n. O enunciado não diz que as raizes sao distintas, mas tambem não GARANTE que elas sejam todas iguais. Leia com calma os emails anteriores para ver a solucao correta desse (classico) problema. Mais importante que isso, tente entender pq a sua solucao esta incorreta baseado nesses argumentos. Abracos, Marcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao polinomial
Olá Rafael. O fato de nada se dizer sobre a multiplicidade da raiz significa que ela NÂO é prezumível, ou seja, você não pode assumir que a multiplicidade seja 10. Também não é nada claro( até porque é falso ) que apenas o coeficiente -10 determine os demais. Quanto às médias, ó que posso dizer é que chamou-me a atenção o fato de ter sido nos dado o produto e a soma das raízes, no mais usei o que se chama de experiência matemática... Um abraço, frederico. From: Rafael [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Date: Sat, 7 Feb 2004 15:47:39 -0200 Frederico, A conclusão sobre a multiplicidade não ser simples foi tida a partir do momento que nada se disse sobre as raízes serem distintas. Ora, a regra de sinais de Descartes, conforme já comentei, assegura que os coeficientes alternam-se se há dez raízes reais positivas, e sabemos que se trata de uma equação de coeficientes 1, -10, ..., 1 cujas raízes são reais e positivas. Nada mais se diz sobre os coeficientes, logo nada os restringe. E, ao meu ver, o segundo coeficiente, -10, já nos garante que a solução para essa equação é única, pois, se considerarmos o desenvolvimento binomial, somente temos -10 para (x-1)^10. Se ainda não for convincente, gostaria de maiores detalhes sobre o meu erro, assim como de onde você partiu para calcular MA e MG das raízes, conhecendo-se, até então, somente a soma e o produto delas. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 10:24 AM Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Bom Rafael, embora a resposta que vc obteve esteja correta, seu argumento não me parece convincente. Afinal, você não teve subsídios para concluir que a raiz tinha multiplicidade 10... Observe que, pelas relações entre coef. e raízes, a soma das raízes vale 10 e o produto vale 1. Por hipótese e pelo Teor . Fund. da àlgebra, temos 10 raízes reais e positivas. Decoorre que a média aritmética das raízes ( MA ) é 1 e a média geométrica ( MG ) tb vale 1. Ora, como sabemos MG = MA e vale a igualdade se, e só se, todas as raízes são iguais. Portanto ~x=1 é uma raiz de multiplicidade 10. Um abraço, Frederico. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao polinomial
Cláudio, A equação proposta por você é interessantíssima. Pela regra de sinais de Descartes e do enunciado, sabemos que, se há dez raízes reais e positivas, todos os coeficientes de índice par são positivos e todos os de índice ímpar, negativos, admitindo-se que haja termos em x cujo exponte varia de 2 a 6. Assim: a_10 = 1 0, a_8 0, a_6 0, a_4 0, a_2 0, a_0 = 1 0 a_9 = -10 0, a_7 0, a_5 0, a_3 0, a_1 0 Como nada se diz quanto a serem raízes distintas, temos que (x-1)^10 = x^10 - 10x^9 + 45x^8 - 120x^7 + 210x^6 - 252x^5 + 210x^4 - 120x^3 + 45x^2 - 10x + 1. Logo, x = 1 é solução única, cuja multiplicidade é 10. Espero que esteja correto. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 1:43 AM Subject: [obm-l] Equacao polinomial Jah que problemas envolvendo raizes de polinomios estao entre os mais populares da lista, aqui vai um: Determine as raizes de: x^10 - 10*x^9 + a_8*x^8 + a_7*x^7 + ... + a_1*x + 1 = 0, sabendo que todas elas sao reais e positivas. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao polinomial
Bom Rafael, embora a resposta que vc obteve esteja correta, seu argumento não me parece convincente. Afinal, você não teve subsídios para concluir que a raiz tinha multiplicidade 10... Observe que, pelas relações entre coef. e raízes, a soma das raízes vale 10 e o produto vale 1. Por hipótese e pelo Teor . Fund. da àlgebra, temos 10 raízes reais e positivas. Decoorre que a média aritmética das raízes ( MA ) é 1 e a média geométrica ( MG ) tb vale 1. Ora, como sabemos MG = MA e vale a igualdade se, e só se, todas as raízes são iguais. Portanto ~x=1 é uma raiz de multiplicidade 10. Um abraço, Frederico. From: Rafael [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Date: Sat, 7 Feb 2004 05:08:22 -0200 Cláudio, A equação proposta por você é interessantíssima. Pela regra de sinais de Descartes e do enunciado, sabemos que, se há dez raízes reais e positivas, todos os coeficientes de índice par são positivos e todos os de índice ímpar, negativos, admitindo-se que haja termos em x cujo exponte varia de 2 a 6. Assim: a_10 = 1 0, a_8 0, a_6 0, a_4 0, a_2 0, a_0 = 1 0 a_9 = -10 0, a_7 0, a_5 0, a_3 0, a_1 0 Como nada se diz quanto a serem raízes distintas, temos que (x-1)^10 = x^10 - 10x^9 + 45x^8 - 120x^7 + 210x^6 - 252x^5 + 210x^4 - 120x^3 + 45x^2 - 10x + 1. Logo, x = 1 é solução única, cuja multiplicidade é 10. Espero que esteja correto. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 1:43 AM Subject: [obm-l] Equacao polinomial Jah que problemas envolvendo raizes de polinomios estao entre os mais populares da lista, aqui vai um: Determine as raizes de: x^10 - 10*x^9 + a_8*x^8 + a_7*x^7 + ... + a_1*x + 1 = 0, sabendo que todas elas sao reais e positivas. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao polinomial
Oi, Rafael: A sua resposta estah correta mas a justificativa nao eh valida. E o mais interessante nesse problema eh exatemente a justificativa... Um abraco, Claudio. on 07.02.04 05:08, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: Cláudio, A equação proposta por você é interessantíssima. Pela regra de sinais de Descartes e do enunciado, sabemos que, se há dez raízes reais e positivas, todos os coeficientes de índice par são positivos e todos os de índice ímpar, negativos, admitindo-se que haja termos em x cujo exponte varia de 2 a 6. Assim: a_10 = 1 0, a_8 0, a_6 0, a_4 0, a_2 0, a_0 = 1 0 a_9 = -10 0, a_7 0, a_5 0, a_3 0, a_1 0 Como nada se diz quanto a serem raízes distintas, temos que (x-1)^10 = x^10 - 10x^9 + 45x^8 - 120x^7 + 210x^6 - 252x^5 + 210x^4 - 120x^3 + 45x^2 - 10x + 1. Logo, x = 1 é solução única, cuja multiplicidade é 10. Espero que esteja correto. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 1:43 AM Subject: [obm-l] Equacao polinomial Jah que problemas envolvendo raizes de polinomios estao entre os mais populares da lista, aqui vai um: Determine as raizes de: x^10 - 10*x^9 + a_8*x^8 + a_7*x^7 + ... + a_1*x + 1 = 0, sabendo que todas elas sao reais e positivas. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao polinomial
Frederico, A conclusão sobre a multiplicidade não ser simples foi tida a partir do momento que nada se disse sobre as raízes serem distintas. Ora, a regra de sinais de Descartes, conforme já comentei, assegura que os coeficientes alternam-se se há dez raízes reais positivas, e sabemos que se trata de uma equação de coeficientes 1, -10, ..., 1 cujas raízes são reais e positivas. Nada mais se diz sobre os coeficientes, logo nada os restringe. E, ao meu ver, o segundo coeficiente, -10, já nos garante que a solução para essa equação é única, pois, se considerarmos o desenvolvimento binomial, somente temos -10 para (x-1)^10. Se ainda não for convincente, gostaria de maiores detalhes sobre o meu erro, assim como de onde você partiu para calcular MA e MG das raízes, conhecendo-se, até então, somente a soma e o produto delas. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 10:24 AM Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Bom Rafael, embora a resposta que vc obteve esteja correta, seu argumento não me parece convincente. Afinal, você não teve subsídios para concluir que a raiz tinha multiplicidade 10... Observe que, pelas relações entre coef. e raízes, a soma das raízes vale 10 e o produto vale 1. Por hipótese e pelo Teor . Fund. da àlgebra, temos 10 raízes reais e positivas. Decoorre que a média aritmética das raízes ( MA ) é 1 e a média geométrica ( MG ) tb vale 1. Ora, como sabemos MG = MA e vale a igualdade se, e só se, todas as raízes são iguais. Portanto ~x=1 é uma raiz de multiplicidade 10. Um abraço, Frederico. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao polinomial
Cláudio, Embora você diga ser inválida a minha justificativa, não diz o porquê. Suponho que você conheça a regra de sinais de Descartes. Conclui-se dela, a partir de raízes reais e positivas, que os sinais dos coeficientes alternam-se. Ora, se eles se alternam, o primeiro é 1, o segundo é 10 e o último é 1, não é difícil concluir que as condições anteriormente expostas são satisfeitas por (x-1)^10. Tão somente depois disso pôde-se discutir a multiplicidade. A menos que algo *prove* que só existe uma justificativa, não vejo por que mais de uma justificativa não possa estar correta. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 10:54 AM Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Oi, Rafael: A sua resposta estah correta mas a justificativa nao eh valida. E o mais interessante nesse problema eh exatemente a justificativa... Um abraco, Claudio. on 07.02.04 05:08, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: Cláudio, A equação proposta por você é interessantíssima. Pela regra de sinais de Descartes e do enunciado, sabemos que, se há dez raízes reais e positivas, todos os coeficientes de índice par são positivos e todos os de índice ímpar, negativos, admitindo-se que haja termos em x cujo exponte varia de 2 a 6. Assim: a_10 = 1 0, a_8 0, a_6 0, a_4 0, a_2 0, a_0 = 1 0 a_9 = -10 0, a_7 0, a_5 0, a_3 0, a_1 0 Como nada se diz quanto a serem raízes distintas, temos que (x-1)^10 = x^10 - 10x^9 + 45x^8 - 120x^7 + 210x^6 - 252x^5 + 210x^4 - 120x^3 + 45x^2 - 10x + 1. Logo, x = 1 é solução única, cuja multiplicidade é 10. Espero que esteja correto. Abraços, Rafael de A. Sampaio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao polinomial
Ola a todos, Se (x-1)^10 Vemos claramente que a multiplicidade de (x-1)^10 eh 10 de acordo com o TEOREMA DA DECOMPOSICAO, em que (x-1)^10 = (x-1)*(x-1)*...*(x-1) n-vezes com n=10 Entao: (x-1)^10 = (x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1) = 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 Quanto as medias acho que foi feito o seguinte: MG = (PRODUTORIO(r-raizes))^(1/r-raizes) MG = (PRODUTORIO(10-raizes))^(1/10) (TEOREMA FUNDAMENTAL DA ALGEBRA, COMO VC MESMO DISSE) Pelas relacoes de Girard: PRODUTORIO(10-raizes) = ((-1)^n)*(a_n) / (a_0) = 1/1 =1 MG = (PRODUTORIO(10-raizes))^(1/10) = 1^(1/10) = 1 - MA = (SOMATORIO(r-raizes)) / (r-raizes) Pelas relacoes de Girard novamente: SOMATORIO(10-raizes) = -(a_1 / a_0) = -(-1/1) = 1 MA = 1 / 1 = 1 Como MG = MA (satisfaz a desigualdade MG = MA estabelecendo a igualdade das raizes de um polinomio). Logo todas sao iguais !!! Eu nao sei muito bem quais as *restricoes* que o Claudio esta fazendo, no mais, ele pode se manifestar para dize-las. Em uma mensagem de 7/2/2004 15:58:49 Hor. de verão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Frederico, A conclusão sobre a multiplicidade não ser simples foi tida a partir do momento que nada se disse sobre as raízes serem distintas. Ora, a regra de sinais de Descartes, conforme já comentei, assegura que os coeficientes alternam-se se há dez raízes reais positivas, e sabemos que se trata de uma equação de coeficientes 1, -10, ..., 1 cujas raízes são reais e positivas. Nada mais se diz sobre os coeficientes, logo nada os restringe. E, ao meu ver, o segundo coeficiente, -10, já nos garante que a solução para essa equação é única, pois, se considerarmos o desenvolvimento binomial, somente temos -10 para (x-1)^10. Se ainda não for "convincente", gostaria de maiores detalhes sobre o meu erro, assim como de onde você partiu para calcular MA e MG das raízes, conhecendo-se, até então, somente a soma e o produto delas. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: "Frederico Reis Marques de Brito" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 10:24 AM Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Bom Rafael, embora a resposta que vc obteve esteja correta, seu argumento não me parece convincente. Afinal, você não teve subsídios para concluir que a raiz tinha multiplicidade 10... Observe que, pelas relações entre coef. e raízes, a soma das raízes vale 10 e o produto vale 1. Por hipótese e pelo Teor . Fund. da àlgebra, temos 10 raízes reais e positivas. Decoorre que a média aritmética das raízes ( MA ) é 1 e a média geométrica ( MG ) tb vale 1. Ora, como sabemos MG = MA e vale a igualdade se, e só se, todas as raízes são iguais. Portanto ~x=1 é uma raiz de multiplicidade 10. Um abraço, Frederico.
Re: [obm-l] Equacao polinomial
Creio que, em vez de x=0, você quis dizer x=1, não? Sobre as médias, obrigado pelo esclarecimento. Vou rever o TFA, pois não me lembrava. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 4:59 PM Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Ola a todos, Se (x-1)^10 Vemos claramente que a multiplicidade de (x-1)^10 eh 10 de acordo com o TEOREMA DA DECOMPOSICAO, em que (x-1)^10 = (x-1)*(x-1)*...*(x-1) n-vezes com n=10 Entao: (x-1)^10 = (x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1) = 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 Quanto as medias acho que foi feito o seguinte: MG = (PRODUTORIO(r-raizes))^(1/r-raizes) MG = (PRODUTORIO(10-raizes))^(1/10) (TEOREMA FUNDAMENTAL DA ALGEBRA, COMO VC MESMO DISSE) Pelas relacoes de Girard: PRODUTORIO(10-raizes) = ((-1)^n)*(a_n) / (a_0) = 1/1 =1 MG = (PRODUTORIO(10-raizes))^(1/10) = 1^(1/10) = 1 - MA = (SOMATORIO(r-raizes)) / (r-raizes) Pelas relacoes de Girard novamente: SOMATORIO(10-raizes) = -(a_1 / a_0) = -(-1/1) = 1 MA = 1 / 1 = 1 Como MG = MA (satisfaz a desigualdade MG = MA estabelecendo a igualdade das raizes de um polinomio). Logo todas sao iguais !!! Eu nao sei muito bem quais as *restricoes* que o Claudio esta fazendo, no mais, ele pode se manifestar para dize-las.
Re: [obm-l] Equacao polinomial
O curioso é que, revendo o TFA,as médias não decorrem dele, nem fazem parte dele, nem nada. Mas é um artifício interessante para se provar que todas as raízes são iguais a 1, visto que MA acaba por se igual aMG. - Original Message - From: Rafael To: OBM-L Sent: Saturday, February 07, 2004 5:17 PM Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Creio que, em vez de x=0, você quis dizer x=1, não? Sobre as médias, obrigado pelo esclarecimento. Vou rever o TFA, pois não me lembrava. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 4:59 PM Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Ola a todos, Se (x-1)^10 Vemos claramente que a multiplicidade de (x-1)^10 eh 10 de acordo com o TEOREMA DA DECOMPOSICAO, em que (x-1)^10 = (x-1)*(x-1)*...*(x-1) n-vezes com n=10 Entao: (x-1)^10 = (x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1)*(x-1) = 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 x= 0 Quanto as medias acho que foi feito o seguinte: MG = (PRODUTORIO(r-raizes))^(1/r-raizes) MG = (PRODUTORIO(10-raizes))^(1/10) (TEOREMA FUNDAMENTAL DA ALGEBRA, COMO VC MESMO DISSE) Pelas relacoes de Girard: PRODUTORIO(10-raizes) = ((-1)^n)*(a_n) / (a_0) = 1/1 =1 MG = (PRODUTORIO(10-raizes))^(1/10) = 1^(1/10) = 1 - MA = (SOMATORIO(r-raizes)) / (r-raizes) Pelas relacoes de Girard novamente: SOMATORIO(10-raizes) = -(a_1 / a_0) = -(-1/1) = 1 MA = 1 / 1 = 1 Como MG = MA (satisfaz a desigualdade MG = MA estabelecendo a igualdade das raizes de um polinomio). Logo todas sao iguais !!! Eu nao sei muito bem quais as *restricoes* que o Claudio esta fazendo, no mais, ele pode se manifestar para dize-las.
Re: [obm-l] Equacao polinomial
Rafael: Tudo o que voce escreveu na sua resposta original estah certo - a aplicacao da regra dos sinais com os coeficientes das potencias pares de x sendo positivos e das impares negativos - soh que nao justifica o fato de a solucao da equacao ser x = 1 com multiplicidade 10. A principio poderia haver alguma outra escolha para os coeficientes da equacao que fizesse com que ela tivesse raizes reais positivas nem todas iguais a 1. Atraves do uso da desigualdade MG = MA, o Frederico mostrou que isso nao pode acontecer. Um abraco, Claudio. on 07.02.04 15:30, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: Cláudio, Embora você diga ser inválida a minha justificativa, não diz o porquê. Suponho que você conheça a regra de sinais de Descartes. Conclui-se dela, a partir de raízes reais e positivas, que os sinais dos coeficientes alternam-se. Ora, se eles se alternam, o primeiro é 1, o segundo é 10 e o último é 1, não é difícil concluir que as condições anteriormente expostas são satisfeitas por (x-1)^10. Tão somente depois disso pôde-se discutir a multiplicidade. A menos que algo *prove* que só existe uma justificativa, não vejo por que mais de uma justificativa não possa estar correta. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 10:54 AM Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Oi, Rafael: A sua resposta estah correta mas a justificativa nao eh valida. E o mais interessante nesse problema eh exatemente a justificativa... Um abraco, Claudio. on 07.02.04 05:08, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: Cláudio, A equação proposta por você é interessantíssima. Pela regra de sinais de Descartes e do enunciado, sabemos que, se há dez raízes reais e positivas, todos os coeficientes de índice par são positivos e todos os de índice ímpar, negativos, admitindo-se que haja termos em x cujo exponte varia de 2 a 6. Assim: a_10 = 1 0, a_8 0, a_6 0, a_4 0, a_2 0, a_0 = 1 0 a_9 = -10 0, a_7 0, a_5 0, a_3 0, a_1 0 Como nada se diz quanto a serem raízes distintas, temos que (x-1)^10 = x^10 - 10x^9 + 45x^8 - 120x^7 + 210x^6 - 252x^5 + 210x^4 - 120x^3 + 45x^2 - 10x + 1. Logo, x = 1 é solução única, cuja multiplicidade é 10. Espero que esteja correto. Abraços, Rafael de A. Sampaio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao polinomial
Agora compreendo o que você quis dizer, Cláudio. Na verdade, como escrevi anteriormente, pensei que o fato de o coeficiente de x^9 ser -10 não permitisse outra possibilidade para todos os outros, quaisquer que fossem os desenvolvimentos de um binômio, estando, assim, provada a unicidade da solução e, por conseguinte, a sua multiplicidade. Em símbolos, a equação inicial poderia ser reescrita em F(x) = (x-r)^m*Q(x), sendo r uma raiz real positiva de multiplicidade m. Com os três coeficientes fornecidos, não há outra possibilidade a não ser F(x)=(x-1)^10 ao meu ver. No entanto, concordo que a demonstração feita pelo Frederico é bastante interessante e própria para o caso. Abraços, Rafae de A. Sampaio - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 6:08 PM Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Rafael: Tudo o que voce escreveu na sua resposta original estah certo - a aplicacao da regra dos sinais com os coeficientes das potencias pares de x sendo positivos e das impares negativos - soh que nao justifica o fato de a solucao da equacao ser x = 1 com multiplicidade 10. A principio poderia haver alguma outra escolha para os coeficientes da equacao que fizesse com que ela tivesse raizes reais positivas nem todas iguais a 1. Atraves do uso da desigualdade MG = MA, o Frederico mostrou que isso nao pode acontecer. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao polinomial
on 07.02.04 15:47, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: E, ao meu ver, o segundo coeficiente, -10, já nos garante que a solução para essa equação é única, pois, se considerarmos o desenvolvimento binomial, somente temos -10 para (x-1)^10. Isso nao eh verdade. Existe uma infinidade de polinomios monicos de grau 10 com raizes reais positivas e tais que o coeficiente de x^9 eh -10. O que garante que o polinomio eh realmente (x-1)^10 eh o fato de o termo independente ser 1 (dado que as raizes sao reais e positivas). Isso foi mostrado pelo Frederico mediante o uso da desigualdade MG = MA. Se ainda não for convincente, gostaria de maiores detalhes sobre o meu erro, assim como de onde você partiu para calcular MA e MG das raízes, conhecendo-se, até então, somente a soma e o produto delas. Ora! MG = raiz decima do produto e MA = soma dividida por 10. Assim, para se calcular a MG e MA das raizes, basta saber a soma e o produto delas. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equacao polinomial
Sim, Cláudio. Quanto às médias, já foi comentado. Mas o seu recorte do meu texto foi incompleto. Em e-mail anterior, já havia sido citada a mesma observação, tendo por base os três coeficientes iniciais. O fato é que, no triângulo de Pascal-Tartaglia, todos os coeficientes binomiais que iniciam ou terminam uma linha são 1. Isto é, 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ... Quando disse que conhecendo-se o coeficiente -10 não haveria outra possibilidade, a não ser (x-1)^10, parecia-me imediato os anteriores cujo valor é 1 estarem considerados. - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 6:56 PM Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial on 07.02.04 15:47, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: E, ao meu ver, o segundo coeficiente, -10, já nos garante que a solução para essa equação é única, pois, se considerarmos o desenvolvimento binomial, somente temos -10 para (x-1)^10. Isso nao eh verdade. Existe uma infinidade de polinomios monicos de grau 10 com raizes reais positivas e tais que o coeficiente de x^9 eh -10. O que garante que o polinomio eh realmente (x-1)^10 eh o fato de o termo independente ser 1 (dado que as raizes sao reais e positivas). Isso foi mostrado pelo Frederico mediante o uso da desigualdade MG = MA. Se ainda não for convincente, gostaria de maiores detalhes sobre o meu erro, assim como de onde você partiu para calcular MA e MG das raízes, conhecendo-se, até então, somente a soma e o produto delas. Ora! MG = raiz decima do produto e MA = soma dividida por 10. Assim, para se calcular a MG e MA das raizes, basta saber a soma e o produto delas. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Equacao polinomial
Jah que problemas envolvendo raizes de polinomios estao entre os mais populares da lista, aqui vai um: Determine as raizes de: x^10 - 10*x^9 + a_8*x^8 + a_7*x^7 + ... + a_1*x + 1 = 0, sabendo que todas elas sao reais e positivas. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] equacao
E ai pessoal da lista.Poxa fazia tempo q eu nao escrivia. Estive lendo o ultimo mathematical excalibur e achei uma questão qé interessante.no começo achava q seria facil resolver mas so consigui achar duas soluções e pelo q vi ela tem tres soluções..A questão é a seguinte: Resolva a equação x^3 - 3x = sqrt(x+2) Agradeço desde ja qualquer ajuda, Gabriel Guedes.
Re: [obm-l] equacao
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [Sunday 01 February 2004 16:28: [EMAIL PROTECTED]] E ai pessoal da lista.Poxa fazia tempo q eu nao escrivia. Estive lendo o ultimo mathematical excalibur e achei uma questão q é interessante.no começo achava q seria facil resolver mas so consigui achar duas soluções e pelo q vi ela tem tres soluções..A questão é a seguinte: Resolva a equação x^3 - 3x = sqrt(x+2) [...] Seja y = x-2. Então (y-2)^3 - 3(y-2) = sqrt(y). Tome t = sqrt(y), t = 0. Então t^2 = y e (t^2-2)^3 - 3(t^2-2) = t = t^6 - 6t^4 + 9t^2 - t - 2 = 0. Obviamente t = 2 é raiz. Logo (t - 2)(t^5 + 2t^4 - 2t^3 - 4t^2 + t + 1) = 0. Como o polinômio de quinto grau não tem raízes racionais, se ele for redutível, ele deve ser o produto de um polinômio de terceiro grau por um de segundo grau. Logo queremos resolver a identidade t^5 + 2t^4 - 2t^3 - 4t^2 + t + 1 = (t^2 + At + B)(t^3 + Ct^2 + Dt + E). Expandindo, uma das equações exige que BE = 1, logo, se B e E forem inteiros, então B = E = 1 ou B = E = -1. O primeiro caso não tem soluções inteiras, o segundo admite (a, c, d) = (1, 1, -2). Logo (t - 2)(t^2 + t - 1)(t^3 + t^2 - 2t - 1) = 0. É trivialmente fácil achar as raízes positivas dos dois primeiros fatores (lembre que estamos sob a restrição t = 0). Se P(x) = t^3 + t^2 - 2t - 1, como P(-2) = -1, P(-1) = 1, P(0) = -1, P(1) = -1, P(2) = 7, P tem três raízes reais a b c, com -2 a -1, -1 b 0 e 1 c 2. c é obviamente a única raiz positiva. Então as únicas raízes positivas em t são 2, (sqrt(5)-1)/2 e c. Então os possíveis valores de y são 4, (3-sqrt(5))/2 e c^2. Logo as soluções da equação original são 2, -(1+sqrt(5))/2 e c^2-2, onde c é a raiz positiva de c^3 + c^2 - 2c - 1 = 0. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAHXobalOQFrvzGQoRAmiDAKCcDIF79utiXTEj6EURI9/aCU/uSgCgy0NG JDJNCFywc3/5/ipdhVhtnAw= =uzet -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] equacao
Caro Gabriel,
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, toda
equação algébrica, de grau estritamente positivo, admite no campo complexo pelo
menos uma raiz. Uma equação cúbica, como x^3 - 3x = sqrt(x+2), possui três
raízes, considerando o campo complexo.Para esta equação, em especial,
teremos uma raizrealpositivae duas raízesreais
negativas.
x^3 - 3x = sqrt(x+2) = x^6 - 6x^4 +
9x^2 - x - 2 = 0
Pelo teorema das raízes racionais, temos as
seguintes possibilidades: +1, -1, +2, -2.
Por verificação, 2 é raiz. Verificando na
equação inicial, também é raiz.
Pelo teorema da decomposição,
x^6 - 6x^4 + 9x^2 - x - 2 = 0 = (x
- 2)(x^5 + 2x^4 - 2x^3 - 4x^2 + x + 1) = 0 =
= (x - 2)(x^2 + x - 1)(x^3 + x^2 -
2x - 1) = 0 =
= x = 2 ou
x^2 + x - 1 = 0 ou x^3 + x^2 - 2x - 1 = 0
x^2 + x - 1 = 0 = x =
[-1+sqrt(5)]/2 ou x = [-1-sqrt(5)]/2
Verificando tais raízes na equação
original, temos que x = [-1-sqrt(5)]/2 é raiz.
x^3 +x^2 - 2x - 1 = 0 pode ser
resolvida por Tartaglia, por exemplo. E, ao meu ver, o que é a parte mais
trabalhosa da questão.Mostrareiduas formas.
Fazendo x = z - 1/3 e definindo p e q para reduzirmos a equação cúbica
completa a uma reduzida da forma z^3 + pz = q, temos:
p = - 2 - 1^2/3 = - 2 - 1/3 = -
7/3
q = 1*(-2)/3 - 2*1^3/27 - (-1) = - 2/3 -
2/27 + 1 =7/27
E, agora, avaliam-se quais serão as raízes
por Q, R e D:
Q = 1/3*p = - 7/9
R = 1/2*q = 7/54
D = Q^3 + R^2 = - 343/729 +
49/2916 0
Por D 0, sabemos que há três raízes
reais e distintas.
As três raízes podem ser obtidas
por:
t = arccos(R/sqrt(-R^3))
x_1 = 2*sqrt(-Q)*cos(t/3)-1/3
x_2 =
2*sqrt(-Q)*cos((t+2*pi)/3)-1/3
x_3 =
2*sqrt(-Q)*cos((t+4*pi)/3)-1/3
Por Tartaglia, uma raiz da equação reduzida
z^3 - 7/3*z = 7/27 é
z = cbrt(q/2 + sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3) +
cbrt(q/2 - sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)
ou ainda, x = cbrt(q/2 + sqrt((q/2)^2 +
(p/3)^3) + cbrt(q/2 - sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3) - 1/3
Uma pergunta razoável: qual é o mais
indicado? Difícil dizer, pois ambos são trabalhosos. A primeira forma, no
entanto, com o auxílio de uma calculadora científica, é mais conveniente. Pelo
que calculei, as raízes aproximadas são 1,24697960372, -1,80193773580 e
-0,44504186791. Verificando na equação inicial, -0,44504186791 é
raiz.
Logo, o conjunto-verdade da equação inicial
é V = {[-1-sqrt(5)]/2 ; -0,44504186791 ;2}.
Ufa!!
Abraços,
Rafael de A. Sampaio
- Original Message -
From:
gabriel
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, February 01, 2004 4:28
PM
Subject: [obm-l] equacao
E ai pessoal da lista.Poxa fazia tempo q eu nao
escrivia.
Estive lendo o ultimo mathematical excalibur e
achei uma questão qé interessante.no começo achava q seria facil
resolver mas so consigui achar duas soluções e pelo q vi ela tem tres
soluções..A questão é a seguinte:
Resolva a equação
x^3 - 3x = sqrt(x+2)
Agradeço desde ja qualquer ajuda,
Gabriel
Guedes.
[obm-l] complexos/equacao trinomia
Resolva: ix² - 2x + sqtr(3) = 0 Obrigado. Até. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] complexos/equacao trinomia
Eu fiz aqui, mas como eu nao conferi, é bem provavel q esteja errado... vc tem: ix^2 -2x + sqrt(3)=0 Resolvendo a equaçao com baskara, tem-se: x=1+/- sqrt(1- i*sqrt(3)) Escrevendo-se o numero complexo 1- i*sqrt(3) na forma exponencial, temos: 1- i*sqrt(3) = 2*exp(5*i*pi/3) Substituindo esse número dentro da raiz, e extraindo a raíz, temos: x=1+/- sqrt(2)*exp(5*i*pi/6) Temos q: exp(5*i*pi/6) = -sqrt(3)/2 + i/2 Portanto temos as raízes: x1 = 1 - sqrt(6)/2 + i*sqrt(2)/2 x2 = 1 + sqrt(6)/2 - i*sqrt(2)/2 Creio q seja isso de qualquer forma,creio q o raciocino da questao está correto. Qualquer erro me corrijam! Até +. From: ax^2 [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] complexos/equacao trinomia Date: Mon, 17 Nov 2003 13:19:55 -0300 Resolva: ix² - 2x + sqtr(3) = 0 Obrigado. Até. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] complexos/equacao trinomia
i*x^2 - 2*x + sqrt 3 = 0 == x^2 - ( 2/i )*x + ( (sqrt3)/i ) = 0 ==
x^2 +2*i*x -1 = -1 + i*sqrt 3 == ( x + i )^2 = 2*cis 2*pi/3 + 2*k*pi ==
x = -i + sqrt 2 * cis(1/3 + k)*pi ==
S = { 1/2 + (sqrt(3/2) - 1)*i, -1/2 - ( sqrt(3/2) + 1 )*i }
Se não errei em alguma passagem, a resposta é S.
Não sei porque não tive coragem de aplicar Baskara...depois vejo.ax^2 [EMAIL PROTECTED] wrote:
Resolva:ix² - 2x + sqtr(3) = 0Obrigado.Até.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
Re: [obm-l] complexos/equacao trinomia
Epa! não tinha visto sua solução. foi mal..Gabriel Canale Gozzo [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu fiz aqui, mas como eu nao conferi, é bem provavel q esteja errado...vc tem:ix^2 -2x + sqrt(3)=0Resolvendo a equaçao com baskara, tem-se:x=1+/- sqrt(1- i*sqrt(3))Escrevendo-se o numero complexo 1- i*sqrt(3) na forma exponencial, temos:1- i*sqrt(3) = 2*exp(5*i*pi/3)Substituindo esse número dentro da raiz, e extraindo a raíz, temos:x=1+/- sqrt(2)*exp(5*i*pi/6)Temos q:exp(5*i*pi/6) = -sqrt(3)/2 + i/2Portanto temos as raízes:x1 = 1 - sqrt(6)/2 + i*sqrt(2)/2x2 = 1 + sqrt(6)/2 - i*sqrt(2)/2Creio q seja isso de qualquer forma,creio q o raciocino da questao está correto.Qualquer erro me corrijam!Até +.From: "ax^2" <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]To: <[EMAIL PROTECTED]>Subject: [obm-l] complexos/equacao trinomiaDate: Mon, 17 Nov 2003 13:19:55 -0300Resolva:ix² - 2x + sqtr(3) = 0Obrigado.Até.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=_MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
