[obm-l] Questao de aritmetica(há erros na solução?)
Mostre que exiiste uma correspondencia biunivoca entre pares de primos gemeos e e numeros n tais que n^2 - 1 tem 4 divisores. Tentei assim:n^2 - 1 = (n+1)(n-1) tem 4 divisores se,e somente se,(n+1) é primo e (n-1) tambem é primo.Vejamos:um numero tem 4 divisores quando ele é um produto de dois primos ou quando é umcubo de um primo.Se p1 e p2 são primos gemeos,então podemos escrever(para certos naturais n) p1 = (n+1) e p2 = (n-1),então (n+1)(n-1)=n^2-1=p1.p2 tem 4 divisores.Por sua vez,considerando que p^3,p primo,tem 4 divisores,note que n^2 - 1 = (n+1)(n-1) = p^3 = (n+1) = p^2 e (n-1) = p,mas se (n+1) = p^2,então(n+1) não é primo então (n+1) e (n-1) não são primos gemeos.Portanto,se p1=n+1 e p2=n-1 são primos gemeos,então n^2 - 1 que tem 4 divisores. PS: João Maldonado mostrou aqui que n^2 - 1 = m^3 apenas para n = 3 e m = 2.
[obm-l] Questao de probabilidade interessante
Na lista de probabilidade que o meu professor passou, uma questao em especial me chamou a atencao: Um terreno de 500m(eixo x)x200m (eixo z) comprimento tem 100.000 de eucaliptos plantados aleatoriamente. Considere um eucalipto como sendo um cilindro fino de altura h extremamente grande e raio R=10cm. para um observador passando na rua paralelamente ao eixo x, qual a probabilidade dele enxergar o outro lado do terreno, ou seja, observar uma brexa (buraco) sem eucaliptos, com pelo menos 20cm de largura? Considere que o observador so enxerga retas luminosas paralelas ao eixo z. Como faco isso? []`sJoao
Re: [obm-l] Questao de probabilidade interessante
O problema me parece bem dificil! Estamos supondo que dois eucaliptos nao
podem se intersectar? Entao a distribuicao de probabilidade dos valores de
x serah uma doideira quase impossivel de calcular... Note-se que as
coordenadas x_1, x_2, ..., x_{10} NAO SAO independentes -- e mesmo que
fossem, ainda seria um problema BEM interessante!
Depois mostra para a gente a solucao apresentada -- estou curioso.
Abraco,
Ralph
2012/9/2 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Na lista de probabilidade que o meu professor passou, uma questao em
especial me chamou a atencao:
Um terreno de 500m(eixo x)x200m (eixo z) comprimento tem 100.000 de
eucaliptos plantados aleatoriamente. Considere um eucalipto como sendo um
cilindro fino de altura h extremamente grande e raio R=10cm. para um
observador passando na rua paralelamente ao eixo x, qual a probabilidade
dele enxergar o outro lado do terreno, ou seja, observar uma brexa (buraco)
sem eucaliptos, com pelo menos 20cm de largura? Considere que o observador
so enxerga retas luminosas paralelas ao eixo z.
Como faco isso?
[]`s
Joao
RE: [obm-l] Questao de probabilidade interessante
Eu acho que o fino pressupoe (ou apenas aproxima) a possibilidade dos
eucaliptos se interseptarem ( eles ocupam 3.14% do terreno somente, talvez nao
de uma aproximacao muito diferente do resultado real)
Mas mesmo assim, como seria se fosse desse modo?
[]`sJoao
Date: Sun, 2 Sep 2012 18:06:16 -0300
Subject: Re: [obm-l] Questao de probabilidade interessante
From: ralp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
O problema me parece bem dificil! Estamos supondo que dois eucaliptos nao podem
se intersectar? Entao a distribuicao de probabilidade dos valores de x serah
uma doideira quase impossivel de calcular... Note-se que as coordenadas x_1,
x_2, ..., x_{10} NAO SAO independentes -- e mesmo que fossem, ainda seria
um problema BEM interessante!
Depois mostra para a gente a solucao apresentada -- estou curioso. Abraco,
Ralph
2012/9/2 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Na lista de probabilidade que o meu professor passou, uma questao em especial
me chamou a atencao:
Um terreno de 500m(eixo x)x200m (eixo z) comprimento tem 100.000 de eucaliptos
plantados aleatoriamente. Considere um eucalipto como sendo um cilindro fino de
altura h extremamente grande e raio R=10cm. para um observador passando na rua
paralelamente ao eixo x, qual a probabilidade dele enxergar o outro lado do
terreno, ou seja, observar uma brexa (buraco) sem eucaliptos, com pelo menos
20cm de largura? Considere que o observador so enxerga retas luminosas
paralelas ao eixo z.
Como faco isso?
[]`sJoao
RE: [obm-l] Questao de probabilidade interessante
Poe interessante nisso, nao sei nem por onde comecar, haha :/Sempre tem uns
doidao desses ai na lista :)
To em recesso escolar até semana que vem Ralph, quando eu voltar de aula eu
mando a resolucao (isso se ele resolver ne! a maioria dos problemas nivel imo
que ele passa é só desafio mesmo, e eu tenho que vir contar com a ajuda de
voces para resolver :)[]`sJoao
Date: Sun, 2 Sep 2012 18:06:16 -0300
Subject: Re: [obm-l] Questao de probabilidade interessante
From: ralp...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
O problema me parece bem dificil! Estamos supondo que dois eucaliptos nao podem
se intersectar? Entao a distribuicao de probabilidade dos valores de x serah
uma doideira quase impossivel de calcular... Note-se que as coordenadas x_1,
x_2, ..., x_{10} NAO SAO independentes -- e mesmo que fossem, ainda seria
um problema BEM interessante!
Depois mostra para a gente a solucao apresentada -- estou curioso. Abraco,
Ralph
2012/9/2 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Na lista de probabilidade que o meu professor passou, uma questao em especial
me chamou a atencao:
Um terreno de 500m(eixo x)x200m (eixo z) comprimento tem 100.000 de eucaliptos
plantados aleatoriamente. Considere um eucalipto como sendo um cilindro fino de
altura h extremamente grande e raio R=10cm. para um observador passando na rua
paralelamente ao eixo x, qual a probabilidade dele enxergar o outro lado do
terreno, ou seja, observar uma brexa (buraco) sem eucaliptos, com pelo menos
20cm de largura? Considere que o observador so enxerga retas luminosas
paralelas ao eixo z.
Como faco isso?
[]`sJoao
RE: [obm-l] Questao de probabilidade interessante
Olha, provavelmente meu pensamento está errado, pois é um caminho bem simplificado.Os eucaliptos irão ocupar aproximadamente 3,14% do terreno. O problema se resume a calcular qual a probabilidade de uma faixa de 20 cm x 200m = 40m² não conter nenhum eucalipto.Essa faixa corresponde a 40/100.000=0,04% do terreno.Aí você define 2 grupos:-Faixa livre (0,04%)-Resto (99,96%) -Qual a probabilidade do primeiro eucalipto ir para o Resto?R:99,96% Agora a área do resto é diminuida em 0,0314. -Qual a probabilidade do primeiro e do segundo eucalipto irem para o Resto?R:Seria a interseção da probabilidade do primeiro com a do segundo.A do primeiro é de 99,96% a do segundo seria dada pela área livre do Resto dividida pela área livre total: (99.960 - 0,0314)/(100.000-0,0314)=99,959%Portanto a probabilidade do primeiro e do segundo irem para o Resto é de 99,96%*99,9599%...Denotando a área que um eucalipto ocupa por A teremos que a probabilidade de nenhum dos 100.000 eucaliptos estarem na faixa livre será de:(99.960)/(100.000) * (99.960-A)(100.000-A) * (99.960-2A)/(100.000-2A) *.* (99.960-100.000A)(100.000-100.000A) Não sei se esse modelo de probabilidade se encaixa ao problema, ou se eu devia ter usado o princípio da inclusão-exclusão, mas foi o que me pareceu correto, apesar de não ser pratico fazer essa conta...Bem, espero ter ajudado, apesar de parecer não tido.Boa noite.From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Questao de probabilidade interessante Date: Sun, 2 Sep 2012 15:51:22 -0300 Na lista de probabilidade que o meu professor passou, uma questao em especial me chamou a atencao: Um terreno de 500m(eixo x)x200m (eixo z) comprimento tem 100.000 de eucaliptos plantados aleatoriamente. Considere um eucalipto como sendo um cilindro fino de altura h extremamente grande e raio R=10cm. para um observador passando na rua paralelamente ao eixo x, qual a probabilidade dele enxergar o outro lado do terreno, ou seja, observar uma brexa (buraco) sem eucaliptos, com pelo menos 20cm de largura? Considere que o observador so enxerga retas luminosas paralelas ao eixo z. Como faco isso? []`sJoao
[obm-l] questao de geometria plana!!
Original Message SUBJECT: (sem assunto) DATE: Sun, 09 Oct 2011 20:39:43 -0300 FROM: douglas.olive...@grupoolimpo.com.br TO: Olá Boa noite a todos, gostaria de uma ajuda pra uma resolução da seguinte questão: Dado um paralelogramo ABCD com lado AB=3 e AD=2, e o ângulo entre esses lados de 60 graus, inscreve-se nesse paralelogramo um retângulo de dimensões a e b tal que ab=1, determinar a razão a/b. Att, Douglas Oliveira obs(Não tenho o gabarito desta questao, e minha solução esta muito grande)
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Engraçado é que ele deu um modo bem interessante de colocar uma decisão em uma máquina. Hogwarts? Isto é digno de um John Constantine! Em 18/10/11, Lucas Prado Meloluca...@dcc.ufba.br escreveu: 2011/10/17 Willy George Amaral Petrenko wgapetre...@gmail.com Obviamente eu só vou querer usar essa estratégia se eu não sei como foram escolhidos os números. Sim, parece mágica, e não, eu não estudei em Hogwarts :) Nossa, isso é lindo! Será que é possível encontrar f(x) em função de P(receber x) de modo a garantir vitória com chances maiores que 50%? (Interessante que essa estratégia corresponda à intuição de que quanto maior for o número, mais sensato é decidir ficar). -- []'s Lucas -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Nossa, isso é lindo! Será que é possível encontrar f(x) em função de P(receber x) de modo a garantir vitória com chances maiores que 50%? (Interessante que essa estratégia corresponda à intuição de que quanto maior for o número, mais sensato é decidir ficar). -- []'s Lucas Na solução eu usei a notação P (receber x) como sendo a probabilidade de receber o maior número depois que eles já foram sorteados, o que é 50%. E essa estratégia garante vitória superior a 50%, se f for estritamente crescente. Mas eu imagino que vc queira encontrar f em função da distribuição usada para sortear os números. Bem, se eu sei essa distribuição, basta calcular a mediana e trocar sempre que meu número for menor que ela. O que no fundo é escolher f(x)= 0, se x mediana 1 se x= mediana Mas não precisa pensar nessa f para chegar a essa conclusão. Trocar se eu recebi menor que a mediana é bem intuitivo.
[obm-l] questao 9 a 8 já foi
Olá joão a questao número 9, usa o conceito e baricentro de um triângulo, que sai fácil, pois vai perceber que f((a+b+c)/3) vai estar sempre acima da ordenada do baricentro formado pelo triângulo constuido pelos pontos (a,f(a)), (b,f(b)), (c,f(c)) pois a concavidade esta para baixo , ok um rande abraco : Douglas Oliveira!! On Tue, 18 Oct 2011 00:50:03 -0200, João Maldonado wrote: Boa Tarde, O site rumo ao ITA oferece várias provas para treinamento IME/ITA (mas infelizmente sem resoluções =D) Não consegui fazer a questão 8 e nove, alguém pode me ajudar? Questão 8 Resolva a equação x² - 2ax +1 - a = (a² + x - 1)^(1/2) (soluções reais) e determine os valores de a para que essas soluções existam. Questão 9 Prove que para uma função f(x) de concavidade para baixo, a função da média é maior ou igual à média das funções, isto é: f((a+b+c)/3)=(f(a)+f(b)+f(c))/3 O link está abaixo para visualisar melhor http://www.rumoaoita.com/site/attachments/044_simulado_2006_1.pdf [1] []'s João Links: -- [1] http://www.rumoaoita.com/site/attachments/044_simulado_2006_1.pdf
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Ralph, obrigado pela explicacao - a tua solucao ficou bem clara agora (achei genial a forma como tu imaginou o sapo equivalente). Eu pensei um pouco mais e achei uma solucao que ao meu ver eh um pouco mais simples (acredito que ela tambem esteja correta). A mosca vive em dois casos 1) O sapo estah faminto **e** a sexta mosca nao eh comida 2) O sapo nao estah faminto **e** a sexta mosca nao eh comida -- note que essa probabilidade eh 1 pois o sapo nao vai tentar comer a mosca Formalizando esses dois fatos vamos ter que P = P(faminto) * 1/2 + P(nao faminto) * 1 Agora, para o sapo estar faminto ele tem que ter comido 0, 1 ou 2 moscas. Portanto essa probabilidade vai ser P(faminto) = C(5,0)*(1/2)^5 + C(5,1)*(1/2)^5 + C(5,2)*(1/2)^5 = 1/2 Substituindo, temos que P = 1/2 * 1/2 + 1/2 * 1 = 1/4 + 1/2 = 3/4 = 0.75 Um abraco, Rafael. 2011/10/15 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Eu devia ter frisado melhor, que minha solucao imagina um sapo que estah **SEMPRE FAMINTO** (que eh equivalente ao original, como expliquei na outra mensagem). Por isso uso a cumulativa, X=3. Na sua solucao, temos que consertar um par de coisas: i) Se eu entendi o que consegue escapar significa, entao os eventos nao sao excludentes. Entao tem que subtrair a probabilidade do sapo comer 3 moscas *E* a mosca escapar. ii) Se seguirmos aa risca o enunciado original, onde o sapo para de comer moscas quando chega em 3, entao a distribuicao nao eh exatamente binomial -- a distribuicao binomial supoe independencia de experimentos, o que deixa de ser verdade quando o sapo estah saciado. Para consertar isso, o jeito eh mudar o sapo para um que nao para de comer -- foi o que eu fiz na minha solucao -- mas ai temos de considerar 3, 4 ou 5 moscas comidas em 5. Entao ficaria: Pr(sexta mosca viver)=S+Pr(mosca escapar)-S.Pr(mosca escapar) onde S=B(3;5,0.5)+B(4;5,0.5)+B(5;5,0.5)=1/2. Note como usei que a 6a mosca escapar eh independente do que aconteceu nas 5 primeiras na hora de calcular o termo a ser subtraido. A ideia eh que este escapar eh soh a capacidade do sapo pegar ou nao a mosca, nao incluindo a escapada quando o sapo estah saciado. Abraco, Ralph 2011/10/15 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Olá Pessoal, Eu raciocinei da seguinte forma: A sexta mosca vai viver se o sapo já comeu 3 moscas *ou* se ela conseguir escapar. Portanto isso seria a probabilidade de 3 sucessos em 5 tentativas (o sapo comendo 3 moscas das 5 que passaram) mais a probabilidade de a sexta mosca escapar. Assim: Pr(sexta mosca viver) = B(3; 5, 0.5) + Pr(mosca escapar) = [C(5, 3) * 0.5^3 * 0.5^2] + 0.5 = 0.8125 Ralph, eu tenho duas dúvidas quanto ao item (ii): (1) Porque a binomial é cumulativa e (2) porque voce usou X=3 (pelo que entendi do problema, o sapo *nunca* come mais de 3 moscas)? Abracos, Rafael 2011/10/13 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Entendi o enunciado assim: um sapo, *quando faminto*, tem 50% de chance de comer uma mosca que passe por perto dele. Ele só deixa de estar faminto após comer 3 moscas -- depois da 3a, é 0% de chance de ele comer a mosca. Digo isso porque, tecnicamente, não é verdade que uma mosca tenha 50/50 de chance de escapar, pois isto depende de quando a mosca chega. Bom, então imagino primeiro um sapo que está sempre faminto... Há duas hipóteses excludentes para a 6a mosca escapar: i) O sapo decide não comê-la: p1=50% ii) O sapo decide comê-la, mas ele já comeu PELO MENOS 3 antes: p2=(Pr(X=3)).50% onde X é o número de moscas que este sapo decidiu comer dentre as 5 primeiras (que seria uma distribuição binomial cumulativa). Ou seja: Pr(X=3)=C(5,3).(1/2)^5+C(5,4).(1/2)^5+C(5,5).(1/2)^5=1/2 (Faz sentido pela simetria do problema: das 5 primeiras, a probabilidade de ele comer 0,1 ou 2 moscas é idêntica à probabilidade de ele comer 3,4 ou 5 moscas.) Então no fim das contas: Pr(6a mosca escapar)=1/2+1/4=3/4=75% Abraço, Ralph 2011/10/13 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
[obm-l] Re: [obm-l] questao 9 a 8 já foi
A definição de concavidade para baixo mais fácil é a seguinte: f((a+b)/2) =(f(a)+f(b))/2 Ou melhor, 2f(a+b) =f(2a)+f(2b) Vamos ver como ficaria uma substituição esperta: 4f(a+b+c+d) =f(2a+2b)+f(2c+2d) = f(4a)+f(4b)+f(4c)+f(4d) Agora, que tal fazer d tal que d=(a+b+c)/3? Assim, 3d=(a+b+c), a+b+c+d=4d, e na manha do dia: 4f(4d) = f(4a)+f(4b)+f(4c)+f(4d) 3f(4d) = f(4a)+f(4b)+f(4c) 3f((4a+4b+4c)/3) = f(4a)+f(4b)+f(4c) Troca 4a por 3a, o que dá? 3f(a+b+c) = f(3a)+f(3b)+f(3c) Feito! Em 18/10/11, douglas.olive...@grupoolimpo.com.brdouglas.olive...@grupoolimpo.com.br escreveu: Olá joão a questao número 9, usa o conceito e baricentro de um triângulo, que sai fácil, pois vai perceber que f((a+b+c)/3) vai estar sempre acima da ordenada do baricentro formado pelo triângulo constuido pelos pontos (a,f(a)), (b,f(b)), (c,f(c)) pois a concavidade esta para baixo , ok um rande abraco : Douglas Oliveira!! On Tue, 18 Oct 2011 00:50:03 -0200, João Maldonado wrote: Boa Tarde, O site rumo ao ITA oferece várias provas para treinamento IME/ITA (mas infelizmente sem resoluções =D) Não consegui fazer a questão 8 e nove, alguém pode me ajudar? Questão 8 Resolva a equação x² - 2ax +1 - a = (a² + x - 1)^(1/2) (soluções reais) e determine os valores de a para que essas soluções existam. Questão 9 Prove que para uma função f(x) de concavidade para baixo, a função da média é maior ou igual à média das funções, isto é: f((a+b+c)/3)=(f(a)+f(b)+f(c))/3 O link está abaixo para visualisar melhor http://www.rumoaoita.com/site/attachments/044_simulado_2006_1.pdf [1] []'s João Links: -- [1] http://www.rumoaoita.com/site/attachments/044_simulado_2006_1.pdf -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
*Aproveitando o momento probabilistico vejamos tem este problema que estive pensando e nao consegui: Voce esta em um programa de auditorio. O apresentador tem dois envelope cada um com um numero dentro (numeros diferentes). Voce escolhe um envelope, abre e ve o numero 173. Ele te pergunta:voce gostaria de trocar o seu envelope por este outro ou nao? Ao final se o envelope que voce esolher tiver o maior numero voce ganha R$1.000.000.000,00 !!! E ai voce quer trocar ou nao? Em outras palavras, existe uma estrategia que ele possa adotar para este jogo que te de uma probabilidade estritamente maior que 1/2 de vencer? * Eu vi certa vez a solução para esse problema e demorei um pouco pra aceitar. Coisas que vou assumir: *O programa escolheu dois números aleatórios, regidos por uma distribuição que eu não conheço, mas que nunca gera 2 números iguais. (ou eu poderia assumir que se os números forem iguais ganha o jogador) *Os números já foram determinados e escritos nos envelopes antes de eu escolher (ou seja não existe essa história de distribuição regida a questões de meta-jogo, conforme dito pelo Lucas ) *Eu vou escolher um dos envelopes uniformemente, ou seja eu tenho 1/2 de chance de receber o maior número na minha mão e 1/2 de receber o menor. * Vou calcular a minha probabilidade antes de abrir o envelope, ou seja, vou definir minha estratégia, escolher meu envelope e seguir minha estratégia. Isso é importante porque parece que o enunciado pede pra vc escolher a estratégia depois de ter o número, o que eu não farei. Agora eu vou escolher uma função que seja uma função de probabilidade acumulada estritamente cresente (nada a ver com a função com que foram escolhidos os números do jogo, que eu não tenho a menor ideia). Ou seja eu vou entrar no auditório munido de uma função f tal que: * f seja estritamente crescente, ou seja xy == f(x) f(y) *[f ser função de probabilidade acumulada já significa que ela é crescente, mas eu quero que seja estritamente]* * f(-infinito) = 0 * f(+infinito) = 1 Por exemplo, f = (e^x)/2, se x=0 1- (e^-x)/2, se x0 Agora à estratégia: Após receber meu número x, eu fico com o envelope com probabilidade f(x) e troco com probabilidade 1 - f(x). Prova de que a estratégia funciona: Sejam x y os números nos envelopes (que já foram determinados antes de eu escolher meu envelope). A minha chance de ganhar seguindo esse estratégia será: P(receber x)*P(decidir ficar) + P(receber y)*P(decidir trocar) = 1/2 * f(x) + 1/2 * (1 - f(y)) = 1/2 +(f(x) - f(y))/2, e como f é estritamente crescente e xy, temos que f(x) - f(y) 0 e portanto a minha probabilidade de ganhar é superior a 1/2! Considerações: Essa estratégia tem chance superior a 50% antes de eu escolher meu envelope. Após eu receber meu número, a minha chance muda para algo que eu não sei. A minha função pode ser qualquer coisa (dentro do estipulado), e todas elas funcionarão independente de como foram escolhidos os números. Obviamente dependendo de qual foi a distribuição escolhida pelo jogo, eu terei f boas e ruins (que darão probabilidades grandes ou bem próximas de 50%). Por exemplo se eu sei que os números são inteiros, eu vou querer uma função que só muda nos inteiros, e permanece constante em [n,n+1). Ou se eu sei que o jogo sempre escolhe números entre 0 e 1, eu farei uma f tal que f(1) = 1 e f(0) = 0. A função que usei como exemplo só seria boa se os números estivessem próximos de 0, visto que ela se aproxima dos estremos muito rapidamente. Obviamente eu só vou querer usar essa estratégia se eu não sei como foram escolhidos os números. Sim, parece mágica, e não, eu não estudei em Hogwarts :)
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
2011/10/17 Willy George Amaral Petrenko wgapetre...@gmail.com Obviamente eu só vou querer usar essa estratégia se eu não sei como foram escolhidos os números. Sim, parece mágica, e não, eu não estudei em Hogwarts :) Nossa, isso é lindo! Será que é possível encontrar f(x) em função de P(receber x) de modo a garantir vitória com chances maiores que 50%? (Interessante que essa estratégia corresponda à intuição de que quanto maior for o número, mais sensato é decidir ficar). -- []'s Lucas
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Para mim, falta alguma especie de hipotese na distribuicao de probabilidade a priori dos numeros nos envelopes -- nem que seja uma chutada inventada da minha cabeca. Por outro lado, reconheco que estou pensando no problema mais simples -- olho a distribuicao de probabilidade a priori, calculo a probabilidade do outro envelope ser maior que 173 (dado que este eh 173, se for o caso), decido. Deve haver raciocinios mais espertos que eu nao estou tentando fazer, ou maneiras espertas de estimar esta a priori baseado em que sabemos de programas de auditorio. (Por exemplo: sabendo o que eu sei de programas de auditorio, aposto que todos os numeros nos envelopes sao positivos; e nunca vi um numero com mais de 9 algarismos num envelope, entao eu eliminaria estes da minha distribuicao de probabilidade.) Abraco, Ralph 2011/10/16 Jeferson Almir jefersonram...@gmail.com Aproveitando o momento probabilistico vejamos tem este problema que estive pensando e nao consegui: Voce esta em um programa de auditorio. O apresentador tem dois envelope cada um com um numero dentro (numeros diferentes). Voce escolhe um envelope, abre e ve o numero 173. Ele te pergunta:voce gostaria de trocar o seu envelope por este outro ou nao? Ao final se o envelope que voce esolher tiver o maior numero voce ganha R$1.000.000.000,00 !!! E ai voce quer trocar ou nao? Em outras palavras, existe uma estrategia que ele possa adotar para este jogo que te de uma probabilidade estritamente maior que 1/2 de vencer? Em 15 de outubro de 2011 15:24, Ralph Teixeira ralp...@gmail.comescreveu: Eu devia ter frisado melhor, que minha solucao imagina um sapo que estah **SEMPRE FAMINTO** (que eh equivalente ao original, como expliquei na outra mensagem). Por isso uso a cumulativa, X=3. Na sua solucao, temos que consertar um par de coisas: i) Se eu entendi o que consegue escapar significa, entao os eventos nao sao excludentes. Entao tem que subtrair a probabilidade do sapo comer 3 moscas *E* a mosca escapar. ii) Se seguirmos aa risca o enunciado original, onde o sapo para de comer moscas quando chega em 3, entao a distribuicao nao eh exatamente binomial -- a distribuicao binomial supoe independencia de experimentos, o que deixa de ser verdade quando o sapo estah saciado. Para consertar isso, o jeito eh mudar o sapo para um que nao para de comer -- foi o que eu fiz na minha solucao -- mas ai temos de considerar 3, 4 ou 5 moscas comidas em 5. Entao ficaria: Pr(sexta mosca viver)=S+Pr(mosca escapar)-S.Pr(mosca escapar) onde S=B(3;5,0.5)+B(4;5,0.5)+B(5;5,0.5)=1/2. Note como usei que a 6a mosca escapar eh independente do que aconteceu nas 5 primeiras na hora de calcular o termo a ser subtraido. A ideia eh que este escapar eh soh a capacidade do sapo pegar ou nao a mosca, nao incluindo a escapada quando o sapo estah saciado. Abraco, Ralph 2011/10/15 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Olá Pessoal, Eu raciocinei da seguinte forma: A sexta mosca vai viver se o sapo já comeu 3 moscas *ou* se ela conseguir escapar. Portanto isso seria a probabilidade de 3 sucessos em 5 tentativas (o sapo comendo 3 moscas das 5 que passaram) mais a probabilidade de a sexta mosca escapar. Assim: Pr(sexta mosca viver) = B(3; 5, 0.5) + Pr(mosca escapar) = [C(5, 3) * 0.5^3 * 0.5^2] + 0.5 = 0.8125 Ralph, eu tenho duas dúvidas quanto ao item (ii): (1) Porque a binomial é cumulativa e (2) porque voce usou X=3 (pelo que entendi do problema, o sapo *nunca* come mais de 3 moscas)? Abracos, Rafael 2011/10/13 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Entendi o enunciado assim: um sapo, *quando faminto*, tem 50% de chance de comer uma mosca que passe por perto dele. Ele só deixa de estar faminto após comer 3 moscas -- depois da 3a, é 0% de chance de ele comer a mosca. Digo isso porque, tecnicamente, não é verdade que uma mosca tenha 50/50 de chance de escapar, pois isto depende de quando a mosca chega. Bom, então imagino primeiro um sapo que está sempre faminto... Há duas hipóteses excludentes para a 6a mosca escapar: i) O sapo decide não comê-la: p1=50% ii) O sapo decide comê-la, mas ele já comeu PELO MENOS 3 antes: p2=(Pr(X=3)).50% onde X é o número de moscas que este sapo decidiu comer dentre as 5 primeiras (que seria uma distribuição binomial cumulativa). Ou seja: Pr(X=3)=C(5,3).(1/2)^5+C(5,4).(1/2)^5+C(5,5).(1/2)^5=1/2 (Faz sentido pela simetria do problema: das 5 primeiras, a probabilidade de ele comer 0,1 ou 2 moscas é idêntica à probabilidade de ele comer 3,4 ou 5 moscas.) Então no fim das contas: Pr(6a mosca escapar)=1/2+1/4=3/4=75% Abraço, Ralph 2011/10/13 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Em 16/10/11, Ralph Teixeiraralp...@gmail.com escreveu: Para mim, falta alguma especie de hipotese na distribuicao de probabilidade a priori dos numeros nos envelopes -- nem que seja uma chutada inventada da minha cabeca. Este é um problema chato. Faltam informações - e entra o feeling de jogador no meio. Por outro lado, reconheco que estou pensando no problema mais simples -- olho a distribuicao de probabilidade a priori, calculo a probabilidade do outro envelope ser maior que 173 (dado que este eh 173, se for o caso), decido. Deve haver raciocinios mais espertos que eu nao estou tentando fazer, ou maneiras espertas de estimar esta a priori baseado em que sabemos de programas de auditorio. Sabendo, ou tendo uma ideia, da distribuição de probabilidade, dá pra estimar. (Por exemplo: sabendo o que eu sei de programas de auditorio, aposto que todos os numeros nos envelopes sao positivos; e nunca vi um numero com mais de 9 algarismos num envelope, entao eu eliminaria estes da minha distribuicao de probabilidade.) Nove dígitos Cara isto é grande demais! Vendo o número 173, eu chutaria no máximo 4 dígitos e no mínimo dois. E uma distribuição que fosse 'puxada' pra 3 dígitos, algo perto de 600 (ou menos confusamente: de 100 a 10.000, em que quanto mais próximo de 600 maior é a probabilidade). Puro chute, claro. Mas já da pra ter uma ideia... Abraco, Ralph 2011/10/16 Jeferson Almir jefersonram...@gmail.com Aproveitando o momento probabilistico vejamos tem este problema que estive pensando e nao consegui: Voce esta em um programa de auditorio. O apresentador tem dois envelope cada um com um numero dentro (numeros diferentes). Voce escolhe um envelope, abre e ve o numero 173. Ele te pergunta:voce gostaria de trocar o seu envelope por este outro ou nao? Ao final se o envelope que voce esolher tiver o maior numero voce ganha R$1.000.000.000,00 !!! E ai voce quer trocar ou nao? Em outras palavras, existe uma estrategia que ele possa adotar para este jogo que te de uma probabilidade estritamente maior que 1/2 de vencer? Em 15 de outubro de 2011 15:24, Ralph Teixeira ralp...@gmail.comescreveu: Eu devia ter frisado melhor, que minha solucao imagina um sapo que estah **SEMPRE FAMINTO** (que eh equivalente ao original, como expliquei na outra mensagem). Por isso uso a cumulativa, X=3. Na sua solucao, temos que consertar um par de coisas: i) Se eu entendi o que consegue escapar significa, entao os eventos nao sao excludentes. Entao tem que subtrair a probabilidade do sapo comer 3 moscas *E* a mosca escapar. ii) Se seguirmos aa risca o enunciado original, onde o sapo para de comer moscas quando chega em 3, entao a distribuicao nao eh exatamente binomial -- a distribuicao binomial supoe independencia de experimentos, o que deixa de ser verdade quando o sapo estah saciado. Para consertar isso, o jeito eh mudar o sapo para um que nao para de comer -- foi o que eu fiz na minha solucao -- mas ai temos de considerar 3, 4 ou 5 moscas comidas em 5. Entao ficaria: Pr(sexta mosca viver)=S+Pr(mosca escapar)-S.Pr(mosca escapar) onde S=B(3;5,0.5)+B(4;5,0.5)+B(5;5,0.5)=1/2. Note como usei que a 6a mosca escapar eh independente do que aconteceu nas 5 primeiras na hora de calcular o termo a ser subtraido. A ideia eh que este escapar eh soh a capacidade do sapo pegar ou nao a mosca, nao incluindo a escapada quando o sapo estah saciado. Abraco, Ralph 2011/10/15 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Olá Pessoal, Eu raciocinei da seguinte forma: A sexta mosca vai viver se o sapo já comeu 3 moscas *ou* se ela conseguir escapar. Portanto isso seria a probabilidade de 3 sucessos em 5 tentativas (o sapo comendo 3 moscas das 5 que passaram) mais a probabilidade de a sexta mosca escapar. Assim: Pr(sexta mosca viver) = B(3; 5, 0.5) + Pr(mosca escapar) = [C(5, 3) * 0.5^3 * 0.5^2] + 0.5 = 0.8125 Ralph, eu tenho duas dúvidas quanto ao item (ii): (1) Porque a binomial é cumulativa e (2) porque voce usou X=3 (pelo que entendi do problema, o sapo *nunca* come mais de 3 moscas)? Abracos, Rafael 2011/10/13 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Entendi o enunciado assim: um sapo, *quando faminto*, tem 50% de chance de comer uma mosca que passe por perto dele. Ele só deixa de estar faminto após comer 3 moscas -- depois da 3a, é 0% de chance de ele comer a mosca. Digo isso porque, tecnicamente, não é verdade que uma mosca tenha 50/50 de chance de escapar, pois isto depende de quando a mosca chega. Bom, então imagino primeiro um sapo que está sempre faminto... Há duas hipóteses excludentes para a 6a mosca escapar: i) O sapo decide não comê-la: p1=50% ii) O sapo decide comê-la, mas ele já comeu PELO MENOS 3 antes: p2=(Pr(X=3)).50% onde X é o número de moscas que este sapo decidiu comer dentre as 5 primeiras (que seria uma distribuição binomial cumulativa). Ou seja: Pr(X=3)=C(5,3).(1/2)^5+C(5,4).(1/2)^5+C(5,5).(1/2)^5=1/2
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
2011/10/16 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Para mim, falta alguma especie de hipotese na distribuicao de probabilidade a priori dos numeros nos envelopes -- nem que seja uma chutada inventada da minha cabeca. Por outro lado, reconheco que estou pensando no problema mais simples -- olho a distribuicao de probabilidade a priori, calculo a probabilidade do outro envelope ser maior que 173 (dado que este eh 173, se for o caso), decido. Deve haver raciocinios mais espertos que eu nao estou tentando fazer, ou maneiras espertas de estimar esta a priori baseado em que sabemos de programas de auditorio. (Por exemplo: sabendo o que eu sei de programas de auditorio, aposto que todos os numeros nos envelopes sao positivos; e nunca vi um numero com mais de 9 algarismos num envelope, entao eu eliminaria estes da minha distribuicao de probabilidade.) Bem, o jogo se resume a escolher a alternativa que lhe trará maiores ganhos sem que haja quaisquer razões convincentes pra escolher dentre uma e outra. Claro que é possível fazer este tipo de análise que você está falando, mas mesmo que exista uma regra para a geração do outro número, esta não pode ser conhecida e esta pode ser regida por questões meta-jogo (como, por exemplo, que a variável aleatória dará preferência a não premiação, ou a premiação, conforme os efeitos dramáticos desejados). Assim sendo, o melhor para vencer o jogo é escolher aleatoriamente uma das alternativas (jogue uma moeda pra decidir) pois não há qualquer estratégia que elimine suas chances de 50% de ganhar. -- []'s Lucas
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Olá Pessoal, Eu raciocinei da seguinte forma: A sexta mosca vai viver se o sapo já comeu 3 moscas *ou* se ela conseguir escapar. Portanto isso seria a probabilidade de 3 sucessos em 5 tentativas (o sapo comendo 3 moscas das 5 que passaram) mais a probabilidade de a sexta mosca escapar. Assim: Pr(sexta mosca viver) = B(3; 5, 0.5) + Pr(mosca escapar) = [C(5, 3) * 0.5^3 * 0.5^2] + 0.5 = 0.8125 Ralph, eu tenho duas dúvidas quanto ao item (ii): (1) Porque a binomial é cumulativa e (2) porque voce usou X=3 (pelo que entendi do problema, o sapo *nunca* come mais de 3 moscas)? Abracos, Rafael 2011/10/13 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Entendi o enunciado assim: um sapo, *quando faminto*, tem 50% de chance de comer uma mosca que passe por perto dele. Ele só deixa de estar faminto após comer 3 moscas -- depois da 3a, é 0% de chance de ele comer a mosca. Digo isso porque, tecnicamente, não é verdade que uma mosca tenha 50/50 de chance de escapar, pois isto depende de quando a mosca chega. Bom, então imagino primeiro um sapo que está sempre faminto... Há duas hipóteses excludentes para a 6a mosca escapar: i) O sapo decide não comê-la: p1=50% ii) O sapo decide comê-la, mas ele já comeu PELO MENOS 3 antes: p2=(Pr(X=3)).50% onde X é o número de moscas que este sapo decidiu comer dentre as 5 primeiras (que seria uma distribuição binomial cumulativa). Ou seja: Pr(X=3)=C(5,3).(1/2)^5+C(5,4).(1/2)^5+C(5,5).(1/2)^5=1/2 (Faz sentido pela simetria do problema: das 5 primeiras, a probabilidade de ele comer 0,1 ou 2 moscas é idêntica à probabilidade de ele comer 3,4 ou 5 moscas.) Então no fim das contas: Pr(6a mosca escapar)=1/2+1/4=3/4=75% Abraço, Ralph 2011/10/13 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Eu devia ter frisado melhor, que minha solucao imagina um sapo que estah **SEMPRE FAMINTO** (que eh equivalente ao original, como expliquei na outra mensagem). Por isso uso a cumulativa, X=3. Na sua solucao, temos que consertar um par de coisas: i) Se eu entendi o que consegue escapar significa, entao os eventos nao sao excludentes. Entao tem que subtrair a probabilidade do sapo comer 3 moscas *E* a mosca escapar. ii) Se seguirmos aa risca o enunciado original, onde o sapo para de comer moscas quando chega em 3, entao a distribuicao nao eh exatamente binomial -- a distribuicao binomial supoe independencia de experimentos, o que deixa de ser verdade quando o sapo estah saciado. Para consertar isso, o jeito eh mudar o sapo para um que nao para de comer -- foi o que eu fiz na minha solucao -- mas ai temos de considerar 3, 4 ou 5 moscas comidas em 5. Entao ficaria: Pr(sexta mosca viver)=S+Pr(mosca escapar)-S.Pr(mosca escapar) onde S=B(3;5,0.5)+B(4;5,0.5)+B(5;5,0.5)=1/2. Note como usei que a 6a mosca escapar eh independente do que aconteceu nas 5 primeiras na hora de calcular o termo a ser subtraido. A ideia eh que este escapar eh soh a capacidade do sapo pegar ou nao a mosca, nao incluindo a escapada quando o sapo estah saciado. Abraco, Ralph 2011/10/15 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Olá Pessoal, Eu raciocinei da seguinte forma: A sexta mosca vai viver se o sapo já comeu 3 moscas *ou* se ela conseguir escapar. Portanto isso seria a probabilidade de 3 sucessos em 5 tentativas (o sapo comendo 3 moscas das 5 que passaram) mais a probabilidade de a sexta mosca escapar. Assim: Pr(sexta mosca viver) = B(3; 5, 0.5) + Pr(mosca escapar) = [C(5, 3) * 0.5^3 * 0.5^2] + 0.5 = 0.8125 Ralph, eu tenho duas dúvidas quanto ao item (ii): (1) Porque a binomial é cumulativa e (2) porque voce usou X=3 (pelo que entendi do problema, o sapo *nunca* come mais de 3 moscas)? Abracos, Rafael 2011/10/13 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Entendi o enunciado assim: um sapo, *quando faminto*, tem 50% de chance de comer uma mosca que passe por perto dele. Ele só deixa de estar faminto após comer 3 moscas -- depois da 3a, é 0% de chance de ele comer a mosca. Digo isso porque, tecnicamente, não é verdade que uma mosca tenha 50/50 de chance de escapar, pois isto depende de quando a mosca chega. Bom, então imagino primeiro um sapo que está sempre faminto... Há duas hipóteses excludentes para a 6a mosca escapar: i) O sapo decide não comê-la: p1=50% ii) O sapo decide comê-la, mas ele já comeu PELO MENOS 3 antes: p2=(Pr(X=3)).50% onde X é o número de moscas que este sapo decidiu comer dentre as 5 primeiras (que seria uma distribuição binomial cumulativa). Ou seja: Pr(X=3)=C(5,3).(1/2)^5+C(5,4).(1/2)^5+C(5,5).(1/2)^5=1/2 (Faz sentido pela simetria do problema: das 5 primeiras, a probabilidade de ele comer 0,1 ou 2 moscas é idêntica à probabilidade de ele comer 3,4 ou 5 moscas.) Então no fim das contas: Pr(6a mosca escapar)=1/2+1/4=3/4=75% Abraço, Ralph 2011/10/13 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Aproveitando o momento probabilistico vejamos tem este problema que estive pensando e nao consegui: Voce esta em um programa de auditorio. O apresentador tem dois envelope cada um com um numero dentro (numeros diferentes). Voce escolhe um envelope, abre e ve o numero 173. Ele te pergunta:voce gostaria de trocar o seu envelope por este outro ou nao? Ao final se o envelope que voce esolher tiver o maior numero voce ganha R$1.000.000.000,00 !!! E ai voce quer trocar ou nao? Em outras palavras, existe uma estrategia que ele possa adotar para este jogo que te de uma probabilidade estritamente maior que 1/2 de vencer? Em 15 de outubro de 2011 15:24, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Eu devia ter frisado melhor, que minha solucao imagina um sapo que estah **SEMPRE FAMINTO** (que eh equivalente ao original, como expliquei na outra mensagem). Por isso uso a cumulativa, X=3. Na sua solucao, temos que consertar um par de coisas: i) Se eu entendi o que consegue escapar significa, entao os eventos nao sao excludentes. Entao tem que subtrair a probabilidade do sapo comer 3 moscas *E* a mosca escapar. ii) Se seguirmos aa risca o enunciado original, onde o sapo para de comer moscas quando chega em 3, entao a distribuicao nao eh exatamente binomial -- a distribuicao binomial supoe independencia de experimentos, o que deixa de ser verdade quando o sapo estah saciado. Para consertar isso, o jeito eh mudar o sapo para um que nao para de comer -- foi o que eu fiz na minha solucao -- mas ai temos de considerar 3, 4 ou 5 moscas comidas em 5. Entao ficaria: Pr(sexta mosca viver)=S+Pr(mosca escapar)-S.Pr(mosca escapar) onde S=B(3;5,0.5)+B(4;5,0.5)+B(5;5,0.5)=1/2. Note como usei que a 6a mosca escapar eh independente do que aconteceu nas 5 primeiras na hora de calcular o termo a ser subtraido. A ideia eh que este escapar eh soh a capacidade do sapo pegar ou nao a mosca, nao incluindo a escapada quando o sapo estah saciado. Abraco, Ralph 2011/10/15 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Olá Pessoal, Eu raciocinei da seguinte forma: A sexta mosca vai viver se o sapo já comeu 3 moscas *ou* se ela conseguir escapar. Portanto isso seria a probabilidade de 3 sucessos em 5 tentativas (o sapo comendo 3 moscas das 5 que passaram) mais a probabilidade de a sexta mosca escapar. Assim: Pr(sexta mosca viver) = B(3; 5, 0.5) + Pr(mosca escapar) = [C(5, 3) * 0.5^3 * 0.5^2] + 0.5 = 0.8125 Ralph, eu tenho duas dúvidas quanto ao item (ii): (1) Porque a binomial é cumulativa e (2) porque voce usou X=3 (pelo que entendi do problema, o sapo *nunca* come mais de 3 moscas)? Abracos, Rafael 2011/10/13 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Entendi o enunciado assim: um sapo, *quando faminto*, tem 50% de chance de comer uma mosca que passe por perto dele. Ele só deixa de estar faminto após comer 3 moscas -- depois da 3a, é 0% de chance de ele comer a mosca. Digo isso porque, tecnicamente, não é verdade que uma mosca tenha 50/50 de chance de escapar, pois isto depende de quando a mosca chega. Bom, então imagino primeiro um sapo que está sempre faminto... Há duas hipóteses excludentes para a 6a mosca escapar: i) O sapo decide não comê-la: p1=50% ii) O sapo decide comê-la, mas ele já comeu PELO MENOS 3 antes: p2=(Pr(X=3)).50% onde X é o número de moscas que este sapo decidiu comer dentre as 5 primeiras (que seria uma distribuição binomial cumulativa). Ou seja: Pr(X=3)=C(5,3).(1/2)^5+C(5,4).(1/2)^5+C(5,5).(1/2)^5=1/2 (Faz sentido pela simetria do problema: das 5 primeiras, a probabilidade de ele comer 0,1 ou 2 moscas é idêntica à probabilidade de ele comer 3,4 ou 5 moscas.) Então no fim das contas: Pr(6a mosca escapar)=1/2+1/4=3/4=75% Abraço, Ralph 2011/10/13 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
[obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
RE: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Cara eu pensei assim:Divida o problema em 3 casos: o sapo come 1 mosca das cinco primeiras moscas; o sapo come duas das cinco primeiras; o sapo come três das cinco primeiras.i) Se o sapo comer 1 das cinco primeiras, então há cinco opções para a mosca comida, e a probabilidade de cada mosca escapar será 1/2 e a da comida, 1/2 . Então, a probabilidadeda sexta mosca escapar será 1/2 vezes as probabilidades anteriores : 5.(1/2)^6ii) Se o sapo comer 2 das cinco primeiras, então há C(5,2)=10 opções para a escolha das moscas comidas, e analogamente ao caso anterior a resposta será 10.(1/2)^6iii) Se o sapo comer 3 das cinco primeiras. Nesse caso, há mais uma divisão dos casos: a) Se a 3º mosca comida é a 5º:as probabilidades das moscas que escapam é 1/2 e a das comidas, 1/2. Há C(5,3)=10 opções para escolher as moscas comidas : 10.(1/2)^5. Depois disso, a probabilidade da sexta escapar será 1, pois o sapo não comerá mais de 3 moscas por dia = 1.10.(1/2)^5 b) Se a 3º mosca comida é a 4º, o processo será análogo : C(4,3).(1/2)^4. Depois disso a probabilidade das duas seguintes fugirem será 1 =1.1 4.(1/2)^4 c) Se a 3º mosca comida é a 3º, analogamente obtemos (1/2)^3. Então, a probabilidade da sexta mosca sobreviver será 5/64 + 10/64 + 10/32+ 4/16 + 1/8 = 59/64=92,2%Espero que eu esteja coerente.Date: Thu, 13 Oct 2011 07:43:14 -0400 Subject: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca From: rcforte.profissio...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Entendi o enunciado assim: um sapo, *quando faminto*, tem 50% de chance de comer uma mosca que passe por perto dele. Ele só deixa de estar faminto após comer 3 moscas -- depois da 3a, é 0% de chance de ele comer a mosca. Digo isso porque, tecnicamente, não é verdade que uma mosca tenha 50/50 de chance de escapar, pois isto depende de quando a mosca chega. Bom, então imagino primeiro um sapo que está sempre faminto... Há duas hipóteses excludentes para a 6a mosca escapar: i) O sapo decide não comê-la: p1=50% ii) O sapo decide comê-la, mas ele já comeu PELO MENOS 3 antes: p2=(Pr(X=3)).50% onde X é o número de moscas que este sapo decidiu comer dentre as 5 primeiras (que seria uma distribuição binomial cumulativa). Ou seja: Pr(X=3)=C(5,3).(1/2)^5+C(5,4).(1/2)^5+C(5,5).(1/2)^5=1/2 (Faz sentido pela simetria do problema: das 5 primeiras, a probabilidade de ele comer 0,1 ou 2 moscas é idêntica à probabilidade de ele comer 3,4 ou 5 moscas.) Então no fim das contas: Pr(6a mosca escapar)=1/2+1/4=3/4=75% Abraço, Ralph 2011/10/13 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Oi, Luan. Sua solução funciona, mas tem que consertar dois pontinhos: o) Faltou o caso 0 das 5 primeiras, o que adiciona mais 1/64 na sua resposta. iii) Por outro lado, o número de casos em (iii) é menor, pois você já fixou uma mosca comida em cada subcaso. Seria: iiia) Há apenas C(4,2)=6 casos, já que você já definiu que a 3a mosca comida é a 5a. iiib) Há apenas C(3,2)=3 casos (a 3a mosca comida tem de ser a 4a). iiic) Um caso apenas, como você disse. Então a soma do caso (iii) é 6/32+3/16+1/8=16/32 Juntando tudo: 1/64+5/64+10/64+16/32=75% Abraço, Ralph 2011/10/13 Luan Gabriel luan_gabrie...@hotmail.com Cara eu pensei assim: Divida o problema em 3 casos: o sapo come 1 mosca das cinco primeiras moscas; o sapo come duas das cinco primeiras; o sapo come três das cinco primeiras. i) Se o sapo comer 1 das cinco primeiras, então há cinco opções para a mosca comida, e a probabilidade de cada mosca escapar será 1/2 e a da comida, 1/2 . Então, a probabilidade da sexta mosca escapar será 1/2 vezes as probabilidades anteriores : 5.(1/2)^6 ii) Se o sapo comer 2 das cinco primeiras, então há C(5,2)=10 opções para a escolha das moscas comidas, e analogamente ao caso anterior a resposta será 10.(1/2)^6 iii) Se o sapo comer 3 das cinco primeiras. Nesse caso, há mais uma divisão dos casos: a) Se a 3º mosca comida é a 5º:as probabilidades das moscas que escapam é 1/2 e a das comidas, 1/2. Há C(5,3)=10 opções para escolher as moscas comidas : 10.(1/2)^5. Depois disso, a probabilidade da sexta escapar será 1, pois o sapo não comerá mais de 3 moscas por dia = 1.10.(1/2)^5 b) Se a 3º mosca comida é a 4º, o processo será análogo : C(4,3).(1/2)^4. Depois disso a probabilidade das duas seguintes fugirem será 1 =1.1 4.(1/2)^4 c) Se a 3º mosca comida é a 3º, analogamente obtemos (1/2)^3. Então, a probabilidade da sexta mosca sobreviver será 5/64 + 10/64 + 10/32+ 4/16 + 1/8 = 59/64=92,2% Espero que eu esteja coerente. -- Date: Thu, 13 Oct 2011 07:43:14 -0400 Subject: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca From: rcforte.profissio...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
2011/10/13 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com: Juntando tudo: 1/64+5/64+10/64+16/32=75% E como dá 75%, eu fico pensando se não tem outra solução... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa Abraço, Ralph Date: Thu, 13 Oct 2011 07:43:14 -0400 Subject: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca From: rcforte.profissio...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Ralph, obrigado, a segunda parte eu consertei,mas esqueci do caso 0 das cinco primeiras. A sua foi muito mais elegante hehe. Mas só fiquei em dúvida quanto a uma coisa: quando o sapo decide comê-la, ele não tinha que ter comido menos de 3 moscas ?Se ele comeu pleo menos 3, ele sempre teria que decidir não comê-la,não? Mas foi muito melhor enxergar duas situações excludentes apenas =] Date: Thu, 13 Oct 2011 10:34:19 -0300 Subject: Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi, Luan. Sua solução funciona, mas tem que consertar dois pontinhos: o) Faltou o caso 0 das 5 primeiras, o que adiciona mais 1/64 na sua resposta. iii) Por outro lado, o número de casos em (iii) é menor, pois você já fixou uma mosca comida em cada subcaso. Seria: iiia) Há apenas C(4,2)=6 casos, já que você já definiu que a 3a mosca comida é a 5a.iiib) Há apenas C(3,2)=3 casos (a 3a mosca comida tem de ser a 4a).iiic) Um caso apenas, como você disse. Então a soma do caso (iii) é 6/32+3/16+1/8=16/32 Juntando tudo:1/64+5/64+10/64+16/32=75% Abraço,Ralph 2011/10/13 Luan Gabriel luan_gabrie...@hotmail.com Cara eu pensei assim:Divida o problema em 3 casos: o sapo come 1 mosca das cinco primeiras moscas; o sapo come duas das cinco primeiras; o sapo come três das cinco primeiras.i) Se o sapo comer 1 das cinco primeiras, então há cinco opções para a mosca comida, e a probabilidade de cada mosca escapar será 1/2 e a da comida, 1/2 . Então, a probabilidade da sexta mosca escapar será 1/2 vezes as probabilidades anteriores : 5.(1/2)^6ii) Se o sapo comer 2 das cinco primeiras, então há C(5,2)=10 opções para a escolha das moscas comidas, e analogamente ao caso anterior a resposta será 10.(1/2)^6 iii) Se o sapo comer 3 das cinco primeiras. Nesse caso, há mais uma divisão dos casos: a) Se a 3º mosca comida é a 5º:as probabilidades das moscas que escapam é 1/2 e a das comidas, 1/2. Há C(5,3)=10 opções para escolher as moscas comidas : 10.(1/2)^5. Depois disso, a probabilidade da sexta escapar será 1, pois o sapo não comerá mais de 3 moscas por dia = 1.10.(1/2)^5 b) Se a 3º mosca comida é a 4º, o processo será análogo : C(4,3).(1/2)^4. Depois disso a probabilidade das duas seguintes fugirem será 1 =1.1 4.(1/2)^4 c) Se a 3º mosca comida é a 3º, analogamente obtemos (1/2)^3. Então, a probabilidade da sexta mosca sobreviver será 5/64 + 10/64 + 10/32+ 4/16 + 1/8 = 59/64=92,2%Espero que eu esteja coerente.Date: Thu, 13 Oct 2011 07:43:14 -0400 Subject: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca From: rcforte.profissio...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Oi, Luan. Pois é, tem dois sapos aqui que parecem ser distintos: i) O sapo do problema; após comer 3 moscas, ele nunca mais decide nada, pois está satisfeito. ii) O meu sapo. Ele sempre **decide** comer uma mosca com 50% de chance -- mas, se ele já comeu 3, ele desiste de comer a mosca, DEPOIS de ter tomado a decisão. Na prática, esses sapos são equivalentes, por isso que eu prefiro o sapo (ii) -- na minha solução, sempre que eu escrevo comeu, pense decidiu comer (mesmo que ele desista em seguida). Então a 6a mosca escapa em duas hipóteses: a) Se meu sapo decide não comê-la ou b) Se meu sapo decide comê-la, mas já tinha decidido comer pelo menos 3 antes. Abraço, Ralph 2011/10/13 Luan Gabriel luan_gabrie...@hotmail.com Ralph, obrigado, a segunda parte eu consertei,mas esqueci do caso 0 das cinco primeiras. A sua foi muito mais elegante hehe. Mas só fiquei em dúvida quanto a uma coisa: quando o sapo decide comê-la, ele não tinha que ter comido menos de 3 moscas ?Se ele comeu pleo menos 3, ele sempre teria que decidir não comê-la,não? Mas foi muito melhor enxergar duas situações excludentes apenas =] -- Date: Thu, 13 Oct 2011 10:34:19 -0300 Subject: Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi, Luan. Sua solução funciona, mas tem que consertar dois pontinhos: o) Faltou o caso 0 das 5 primeiras, o que adiciona mais 1/64 na sua resposta. iii) Por outro lado, o número de casos em (iii) é menor, pois você já fixou uma mosca comida em cada subcaso. Seria: iiia) Há apenas C(4,2)=6 casos, já que você já definiu que a 3a mosca comida é a 5a. iiib) Há apenas C(3,2)=3 casos (a 3a mosca comida tem de ser a 4a). iiic) Um caso apenas, como você disse. Então a soma do caso (iii) é 6/32+3/16+1/8=16/32 Juntando tudo: 1/64+5/64+10/64+16/32=75% Abraço, Ralph 2011/10/13 Luan Gabriel luan_gabrie...@hotmail.com Cara eu pensei assim: Divida o problema em 3 casos: o sapo come 1 mosca das cinco primeiras moscas; o sapo come duas das cinco primeiras; o sapo come três das cinco primeiras. i) Se o sapo comer 1 das cinco primeiras, então há cinco opções para a mosca comida, e a probabilidade de cada mosca escapar será 1/2 e a da comida, 1/2 . Então, a probabilidade da sexta mosca escapar será 1/2 vezes as probabilidades anteriores : 5.(1/2)^6 ii) Se o sapo comer 2 das cinco primeiras, então há C(5,2)=10 opções para a escolha das moscas comidas, e analogamente ao caso anterior a resposta será 10.(1/2)^6 iii) Se o sapo comer 3 das cinco primeiras. Nesse caso, há mais uma divisão dos casos: a) Se a 3º mosca comida é a 5º:as probabilidades das moscas que escapam é 1/2 e a das comidas, 1/2. Há C(5,3)=10 opções para escolher as moscas comidas : 10.(1/2)^5. Depois disso, a probabilidade da sexta escapar será 1, pois o sapo não comerá mais de 3 moscas por dia = 1.10.(1/2)^5 b) Se a 3º mosca comida é a 4º, o processo será análogo : C(4,3).(1/2)^4. Depois disso a probabilidade das duas seguintes fugirem será 1 =1.1 4.(1/2)^4 c) Se a 3º mosca comida é a 3º, analogamente obtemos (1/2)^3. Então, a probabilidade da sexta mosca sobreviver será 5/64 + 10/64 + 10/32+ 4/16 + 1/8 = 59/64=92,2% Espero que eu esteja coerente. -- Date: Thu, 13 Oct 2011 07:43:14 -0400 Subject: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca From: rcforte.profissio...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
RE: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Foi mal, errei no finalzinho : Se a 3º mosca comida é a 5º que passa, então há C(4,2)=6 opções para a escolha das duas anteriores, e as probabilidades são todas 1/2 : 6.(1/2)^5.Se a 3º mosca é a 4º, então há C(3,2)=3 opções de escolha das anteriores, e as probabilidades são todas 1/2 : 3.(1/2)^4Se a 3º mosca é a 3º, então a probabilidade será (1/2)^3 Assim a resposta seria 5/64+10/64+6/32+3/16+1/8 = 47/64 =73,4% (a formatação do texto anterior veio td junto,n sei pq)
RE: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Olá RalphNa verdade eu interpretei assim: Um sapo come apenas 3 moscas por dia, se ele ainda não comeu as 3 e uma mosca passa perto do sapo, é de 50% a chance dela sobreviver e 50% de virar alimento. Caso o sapo já tenha comido as 3 moscas é de 0% a chance dela virar alimento, ela sempre vai escapar. (Bom até aí a gente tem a mesma opinião) O que não entendi foi aii) O sapo decide comê-la, mas ele já comeu PELO MENOS 3 antes Não sei se dá para ele comer mais de 3 moscas por dia (claro, interpretando que toda a ação aconteceu no mesmo dia). Neste caso ficaria 1) Se ele comeu 0 moscas:Probabilidade de ele ter comido 0 mosca: (1/2)^5 . C(5, 0)Probabilidade de ele escapar: (1/2) 2) Se ele comeu 1 mosca:Probabilidade de ele ter comido 1 mosca: (1/2)^5 . C(5, 1)Probabilidade de ele escapar: (1/2) 3) Se ele comeu 2 moscas:Probabilidade de ele ter comido 2 moscas: (1/2)^5 . C(5, 2)Probabilidade de ele ser escapar: (1/2) 4) Se ele comeu 3 moscas:Probabilidade de ele ter comido 3 moscas: (1/2)^5 . C(5, 3)Probabilidade de ele ser escapar: 1 P = 9/16 Mas para este acontecimeto, ao achar a probabilidade DA MOSCA SER COMIDA, temos que o caso 4 se iguala a 0, e a P fica 4/16, que somando a primeira probabilidade temos 13/16 que é diferente de 1 Ainda não sei se isso é possível, já que ou ela é comida ou não.Se não for, aonde eu errei? []'sJoão Date: Thu, 13 Oct 2011 10:23:24 -0300 Subject: Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Entendi o enunciado assim: um sapo, *quando faminto*, tem 50% de chance de comer uma mosca que passe por perto dele. Ele só deixa de estar faminto após comer 3 moscas -- depois da 3a, é 0% de chance de ele comer a mosca. Digo isso porque, tecnicamente, não é verdade que uma mosca tenha 50/50 de chance de escapar, pois isto depende de quando a mosca chega. Bom, então imagino primeiro um sapo que está sempre faminto... Há duas hipóteses excludentes para a 6a mosca escapar:i) O sapo decide não comê-la: p1=50%ii) O sapo decide comê-la, mas ele já comeu PELO MENOS 3 antes: p2=(Pr(X=3)).50% onde X é o número de moscas que este sapo decidiu comer dentre as 5 primeiras (que seria uma distribuição binomial cumulativa). Ou seja:Pr(X=3)=C(5,3).(1/2)^5+C(5,4).(1/2)^5+C(5,5).(1/2)^5=1/2 (Faz sentido pela simetria do problema: das 5 primeiras, a probabilidade de ele comer 0,1 ou 2 moscas é idêntica à probabilidade de ele comer 3,4 ou 5 moscas.) Então no fim das contas: Pr(6a mosca escapar)=1/2+1/4=3/4=75% Abraço, Ralph 2011/10/13 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
RE: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
João, Acho que você errou na contagem do caso 4. Você está contando a probabilidade da mosca escapar, logo o caso 4 é um caso importante, já que a mesma será 1. Mas a contagem da probabilidade do sapo ter comido 3 moscas é a seguinte: 1) A terceira mosca comida é a 5º. Então a probabilidade será C(4,2).(1/2)^52) A terceira mosca comida é a 4º : C(3,2).(1/2)^43) A terceira mosca comida é a 3º : C(2,2).(1/2)^3 Essa diferença aconteçe porque quando chega na terceira mosca,a probailidade das moscas seguintes , tanto a 6º como a 5º ou a 4º se igualam a 1. From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca Date: Thu, 13 Oct 2011 12:28:33 -0300 Olá RalphNa verdade eu interpretei assim: Um sapo come apenas 3 moscas por dia, se ele ainda não comeu as 3 e uma mosca passa perto do sapo, é de 50% a chance dela sobreviver e 50% de virar alimento. Caso o sapo já tenha comido as 3 moscas é de 0% a chance dela virar alimento, ela sempre vai escapar. (Bom até aí a gente tem a mesma opinião) O que não entendi foi aii) O sapo decide comê-la, mas ele já comeu PELO MENOS 3 antes Não sei se dá para ele comer mais de 3 moscas por dia (claro, interpretando que toda a ação aconteceu no mesmo dia). Neste caso ficaria 1) Se ele comeu 0 moscas:Probabilidade de ele ter comido 0 mosca: (1/2)^5 . C(5, 0)Probabilidade de ele escapar: (1/2) 2) Se ele comeu 1 mosca:Probabilidade de ele ter comido 1 mosca: (1/2)^5 . C(5, 1)Probabilidade de ele escapar: (1/2) 3) Se ele comeu 2 moscas:Probabilidade de ele ter comido 2 moscas: (1/2)^5 . C(5, 2)Probabilidade de ele ser escapar: (1/2) 4) Se ele comeu 3 moscas:Probabilidade de ele ter comido 3 moscas: (1/2)^5 . C(5, 3)Probabilidade de ele ser escapar: 1 P = 9/16 Mas para este acontecimeto, ao achar a probabilidade DA MOSCA SER COMIDA, temos que o caso 4 se iguala a 0, e a P fica 4/16, que somando a primeira probabilidade temos 13/16 que é diferente de 1 Ainda não sei se isso é possível, já que ou ela é comida ou não.Se não for, aonde eu errei? []'sJoão Date: Thu, 13 Oct 2011 10:23:24 -0300 Subject: Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Entendi o enunciado assim: um sapo, *quando faminto*, tem 50% de chance de comer uma mosca que passe por perto dele. Ele só deixa de estar faminto após comer 3 moscas -- depois da 3a, é 0% de chance de ele comer a mosca. Digo isso porque, tecnicamente, não é verdade que uma mosca tenha 50/50 de chance de escapar, pois isto depende de quando a mosca chega. Bom, então imagino primeiro um sapo que está sempre faminto... Há duas hipóteses excludentes para a 6a mosca escapar:i) O sapo decide não comê-la: p1=50%ii) O sapo decide comê-la, mas ele já comeu PELO MENOS 3 antes: p2=(Pr(X=3)).50% onde X é o número de moscas que este sapo decidiu comer dentre as 5 primeiras (que seria uma distribuição binomial cumulativa). Ou seja:Pr(X=3)=C(5,3).(1/2)^5+C(5,4).(1/2)^5+C(5,5).(1/2)^5=1/2 (Faz sentido pela simetria do problema: das 5 primeiras, a probabilidade de ele comer 0,1 ou 2 moscas é idêntica à probabilidade de ele comer 3,4 ou 5 moscas.) Então no fim das contas: Pr(6a mosca escapar)=1/2+1/4=3/4=75% Abraço, Ralph 2011/10/13 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
RE: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca
Realmente :) Agora que fui me dar contaNo caso que aa primeira, a segunda e a terceira são comidas, a proabilidade da quarta, quinta e sexta serem comidas é 0, e eu estava contando como 1/2 Assim o resultado dá mesmo 75% Valeu Luan []'sJoão From: luan_gabrie...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca Date: Thu, 13 Oct 2011 23:44:51 +0300 João, Acho que você errou na contagem do caso 4. Você está contando a probabilidade da mosca escapar, logo o caso 4 é um caso importante, já que a mesma será 1. Mas a contagem da probabilidade do sapo ter comido 3 moscas é a seguinte: 1) A terceira mosca comida é a 5º. Então a probabilidade será C(4,2).(1/2)^52) A terceira mosca comida é a 4º : C(3,2).(1/2)^43) A terceira mosca comida é a 3º : C(2,2).(1/2)^3 Essa diferença aconteçe porque quando chega na terceira mosca,a probailidade das moscas seguintes , tanto a 6º como a 5º ou a 4º se igualam a 1. From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca Date: Thu, 13 Oct 2011 12:28:33 -0300 Olá RalphNa verdade eu interpretei assim: Um sapo come apenas 3 moscas por dia, se ele ainda não comeu as 3 e uma mosca passa perto do sapo, é de 50% a chance dela sobreviver e 50% de virar alimento. Caso o sapo já tenha comido as 3 moscas é de 0% a chance dela virar alimento, ela sempre vai escapar. (Bom até aí a gente tem a mesma opinião) O que não entendi foi aii) O sapo decide comê-la, mas ele já comeu PELO MENOS 3 antes Não sei se dá para ele comer mais de 3 moscas por dia (claro, interpretando que toda a ação aconteceu no mesmo dia). Neste caso ficaria 1) Se ele comeu 0 moscas:Probabilidade de ele ter comido 0 mosca: (1/2)^5 . C(5, 0)Probabilidade de ele escapar: (1/2) 2) Se ele comeu 1 mosca:Probabilidade de ele ter comido 1 mosca: (1/2)^5 . C(5, 1)Probabilidade de ele escapar: (1/2) 3) Se ele comeu 2 moscas:Probabilidade de ele ter comido 2 moscas: (1/2)^5 . C(5, 2)Probabilidade de ele ser escapar: (1/2) 4) Se ele comeu 3 moscas:Probabilidade de ele ter comido 3 moscas: (1/2)^5 . C(5, 3)Probabilidade de ele ser escapar: 1 P = 9/16 Mas para este acontecimeto, ao achar a probabilidade DA MOSCA SER COMIDA, temos que o caso 4 se iguala a 0, e a P fica 4/16, que somando a primeira probabilidade temos 13/16 que é diferente de 1 Ainda não sei se isso é possível, já que ou ela é comida ou não.Se não for, aonde eu errei? []'sJoão Date: Thu, 13 Oct 2011 10:23:24 -0300 Subject: Re: [obm-l] Questao de probabilidade: o sapo e a mosca From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Entendi o enunciado assim: um sapo, *quando faminto*, tem 50% de chance de comer uma mosca que passe por perto dele. Ele só deixa de estar faminto após comer 3 moscas -- depois da 3a, é 0% de chance de ele comer a mosca. Digo isso porque, tecnicamente, não é verdade que uma mosca tenha 50/50 de chance de escapar, pois isto depende de quando a mosca chega. Bom, então imagino primeiro um sapo que está sempre faminto... Há duas hipóteses excludentes para a 6a mosca escapar:i) O sapo decide não comê-la: p1=50%ii) O sapo decide comê-la, mas ele já comeu PELO MENOS 3 antes: p2=(Pr(X=3)).50% onde X é o número de moscas que este sapo decidiu comer dentre as 5 primeiras (que seria uma distribuição binomial cumulativa). Ou seja:Pr(X=3)=C(5,3).(1/2)^5+C(5,4).(1/2)^5+C(5,5).(1/2)^5=1/2 (Faz sentido pela simetria do problema: das 5 primeiras, a probabilidade de ele comer 0,1 ou 2 moscas é idêntica à probabilidade de ele comer 3,4 ou 5 moscas.) Então no fim das contas: Pr(6a mosca escapar)=1/2+1/4=3/4=75% Abraço, Ralph 2011/10/13 Rafael Forte rcforte.profissio...@gmail.com Uma mosca passando próxima a um sapo tem 50% de chances de escapar e 50% de virar alimento do sapo. Mas o sapo come apenas 3 moscas por dia. Qual é a probabilidade da sexta mosca a passar próxima ao sapo sobreviver? Abracos, Rafael
RE: [obm-l] questao de geometria plana
opa desculpe joão , era pra saber o maior valor dessa razao !!! On Sun, 9 Oct 2011 21:16:59 -0300, João Maldonado wrote: Existem vários restângulos que é possível se inscrever no paralelogramo :) Não existe uma só razão a/b []'s João - Date: Sun, 9 Oct 2011 20:42:39 -0300 From: douglas.olive...@grupoolimpo.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] questao de geometria plana Olá Boa noite a todos, gostaria de uma ajuda pra uma resolução da seguinte questão: Dado um paralelogramo ABCD com lado AB=3 e AD=2, e o ângulo entre esses lados de 60 graus, inscreve-se nesse paralelogramo um retângulo de dimensões a e b, determinar a razão a/b. Att, Douglas Oliveira obs(Não tenho o gabarito desta questao, e minha solução esta muito grande)
[obm-l] questao de geometria plana
Olá Boa noite a todos, gostaria de uma ajuda pra uma resolução da seguinte questão: Dado um paralelogramo ABCD com lado AB=3 e AD=2, e o ângulo entre esses lados de 60 graus, inscreve-se nesse paralelogramo um retângulo de dimensões a e b, determinar a razão a/b. Att, Douglas Oliveira obs(Não tenho o gabarito desta questao, e minha solução esta muito grande)
RE: [obm-l] questao de geometria plana
Existem vários restângulos que é possível se inscrever no paralelogramo :) Não existe uma só razão a/b []'sJoão Date: Sun, 9 Oct 2011 20:42:39 -0300 From: douglas.olive...@grupoolimpo.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] questao de geometria plana Olá Boa noite a todos, gostaria de uma ajuda pra uma resolução da seguinte questão: Dado um paralelogramo ABCD com lado AB=3 e AD=2, e o ângulo entre esses lados de 60 graus, inscreve-se nesse paralelogramo um retângulo de dimensões a e b, determinar a razão a/b. Att, Douglas Oliveira obs(Não tenho o gabarito desta questao, e minha solução esta muito grande)
RE: [obm-l] questao da obm 2011
Na verdade são d a OBM de 2009 As respostas estão no próprio site, vá em provas e gabaritos, vai achar a resposta com resolução Mas vou postar aqui a minha.O1 e O2 centros. TN = RN = PN = SM = MT = MQPQ/3MN/3,5 /RS/4MN base média do trapézio, a razão das 2 áreas vale (PQ+MN)/(MN+RS) = ( 3+3,5)/(4+3,5) = 13/15 21 A reta que une os centros contém o segmento de menor distância, logo esse vale (3^2 + 1)^(1/2) - 3 = sqrt(10) - 3 []'sJoão Date: Sun, 3 Jul 2011 22:25:10 -0700 From: faraujoco...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] questao da obm 2011 To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá, Estou tentando uma solução para a questao 20 da obm 2011,nivel 3. Eis a questao: 20.Os círculos C1 e C2, de raios 3 e 4, respectivamente, são tangentes externamente em T.As tangentes externas comuns tocam C1 em P e Q e C2 em R e S. A tangente interna comum em T corta as tangentes externas nos pontos M e N, como mostra a figura. A razão entre as áreas dos quadriláteros MNPQ e MNRS é: Há tambem uma figura, mas facilmente podemos achá-la esta na eureka 32. E nesta mesma ediçao da eureka estou com duvidas na questao 21 do nivel 2. 21.Em uma folha quadriculada em que cada quadrado tem lado 2cm, são desenhados dois círculos como na figura ao lado. A distância mínima entre os dois círculos mede: Por favor alguem pode me ajudar? Desde já agradeço. Felipe... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] questao da obm 2011
Olá, Estou tentando uma solução para a questao 20 da obm 2011,nivel 3. Eis a questao: 20.Os círculos C1 e C2, de raios 3 e 4, respectivamente, são tangentes externamente em T.As tangentes externas comuns tocam C1 em P e Q e C2 em R e S. A tangente interna comum em T corta as tangentes externas nos pontos M e N, como mostra a figura. A razão entre as áreas dos quadriláteros MNPQ e MNRS é: Há tambem uma figura, mas facilmente podemos achá-la esta na eureka 32. E nesta mesma ediçao da eureka estou com duvidas na questao 21 do nivel 2. 21.Em uma folha quadriculada em que cada quadrado tem lado 2cm, são desenhados dois círculos como na figura ao lado. A distância mínima entre os dois círculos mede: Por favor alguem pode me ajudar? Desde já agradeço. Felipe... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] questao
Olá, companheiros!Eis a questão: Num triângulo ABC, A = 120º, B = 20º e C = 40º. A ceviana AD é tal que BAD mede 20º. A bissetriz interna de B intersecta AD no ponto E. Determine a medida do ângulo DCE. Apliquei dois teoremas dos senos, um teorema da bissetriz, prostaférese, arco duplo e sacanagem até chegar em 10º. Alguém tem uma solução menos trigonométrica?Um abraço!Grego
[obm-l] Re: [obm-l] questao
Seja F o ponto de CD tal que a reta AF é perpendicular a reta BE. Ou seja a prolongação de BE intersecta a AF em M tal que AMB=90. Então o triângulo AFB é isósceles (AB=BF). Também FAB=80 e portanto CAF=40, e como ACD também é 40 então: CF=AF . (1) Como BM é mediatriz de AF então EF=EA, mas como EAF=60, então o triângulo AFE é equilátero, ou seja: EF=AF ..(2) Observe as equações (1) e (2): em conclusão CF=FE, então FCE=FEC, e como EFD=20 então finalmente FCE=10. Desculpe o portunhol, mas se algum passo não tiver ficado claro, me avise. Abraços Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Sat, 9 Apr 2011 14:27:33 -0700 (PDT) Asunto : [obm-l] questao Olá, companheiros!Eis a questão: Num triângulo ABC, A = 120º, B = 20º e C = 40º. A ceviana AD é tal que BAD mede 20º. A bissetriz interna de B intersecta AD no ponto E. Determine a medida do ângulo DCE. Apliquei dois teoremas dos senos, um teorema da bissetriz, prostaférese, arco duplo e sacanagem até chegar em 10º. Alguém tem uma solução menos trigonométrica?Um abraço!Grego __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] questao
Colossal!Super obrigado!Um abraço!Grego --- Em sáb, 9/4/11, Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe escreveu: De: Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] questao Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 9 de Abril de 2011, 20:13 Seja F o ponto de CD tal que a reta AF é perpendicular a reta BE. Ou seja a prolongação de BE intersecta a AF em M tal que AMB=90. Então o triângulo AFB é isósceles (AB=BF). Também FAB=80 e portanto CAF=40, e como ACD também é 40 então: CF=AF . (1) Como BM é mediatriz de AF então EF=EA, mas como EAF=60, então o triângulo AFE é equilátero, ou seja: EF=AF ..(2) Observe as equações (1) e (2): em conclusão CF=FE, então FCE=FEC, e como EFD=20 então finalmente FCE=10. Desculpe o portunhol, mas se algum passo não tiver ficado claro, me avise. Abraços Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Sat, 9 Apr 2011 14:27:33 -0700 (PDT) Asunto : [obm-l] questao Olá, companheiros!Eis a questão: Num triângulo ABC, A = 120º, B = 20º e C = 40º. A ceviana AD é tal que BAD mede 20º. A bissetriz interna de B intersecta AD no ponto E. Determine a medida do ângulo DCE. Apliquei dois teoremas dos senos, um teorema da bissetriz, prostaférese, arco duplo e sacanagem até chegar em 10º. Alguém tem uma solução menos trigonométrica?Um abraço!Grego __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] questao estranha
De onde veio esta quetão? -Mensagem Original- From: Ralph Teixeira Sent: Thursday, April 07, 2011 5:06 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] questao estranha Eu também não gosto da questão por motivos de linguagem. Em primeiro lugar, como o pessoal já falou, interceptar não é um termo preciso neste contexto (ou pelo menos não é uma convenção comum). Como o João já disse, se fosse intersectar (ter interseção), II é F; mas se for intersectar transversalmente (este é um termo preciso), II é V. (Lembro que o Elon ODEIA quando alguém confunde interceptar com intersectar...:) :) ) Enxergo um outro problema: retas coincidentes são paralelas? Interpretando que *não*, alguém podia dizer que III é F, pois as duas retas paralelas à terceira poderiam ser coincidentes. Mas aí o problema de linguagem piora: alguém pode retrucar que retas coincidentes não seriam duas retas, mas uma só. Então III passa a ser V de novo. Argh. :( Abraço, Ralph 2011/4/7 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Como eu tinha dito, nesta interpretação a afirmação é falsa. Você interpretou interceptar como sendo um tangenciar (note que as retastangenciartam o plano). Caso você interprete tangenciar como sendo uma secante de R3, e não uma tangente, daí a afirmação é verdadeira. Só disse isso pois não há nenhuma alternativa com a 2 somente falsa, a questão é confusa. Ainda sim, temos um rpoblema. Se todas as alternativas forem verdadeiras, a alternativa 4 é V, se 1 é V, temos 3 e 5 V Date: Thu, 7 Apr 2011 07:49:25 +0200 Subject: Re: [obm-l] questao estranha From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Eu acho que a II é falsa. Exemplo: Retas x=0=y e x=0, y=1. Elas são paralelas por estarem contidas no plano x=0 e não se tocarem. Uma delas está contida no plano y=0, a outra não. Mas isso é mais uma questão de (falta de) definição... Para mim, interceptar = interseção não vazia, o que é o caso. Enfim... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2011/4/7 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Na verdade o conceito de retas paralelas em R3 é diferente do usual: Duas retas são paralelas SE 1) pertencem ao mesmo plano e 2) não se encontram Um plano é uma superfície 2d infinita I) V - podemos traçar um só plano entre um ponto e uma reta. No plano somente uma reta passa pelo ponto e é paralela à outra II) V (?) - Interpretando interceptar como passar dentro de sendo diferente a tangenciar ou conter, é verdade , já que o plano teria que formar um ângulo 0 com a reta e como o plano é infinito, tocaria a outra. Interpretando interceptar como sendo um possível tangenciar, falso III) V (óbvio) IV) V - Pense assim. Temos uma reta, traçamos um plano perpendicular a esta. Planos paralelos à reta t~em que ser automaticamente perpendiculares ao primeiro plano. Logo a intersecção destes planos também é perp. com o primeiro e consequentementte paralela à reta. Alternativa A []'s João From: sswai...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] questao estranha Date: Wed, 6 Apr 2011 22:42:14 + Considere as quatro sentencas a seguir: (I) Por um ponto do espaco, nao pertencente a uma reta, pode-se tracar uma só paralela a essa reta. (II) Dadas duas retas paralelas, todo plano que intercepta uma delas intercepta a outra. (III) Duas retas, paralelas a uma terceira, sao paralelas entre si. (IV) Toda reta paralela a dois planos que se cortam é paralela a interseçãoao deles. Assinale a alternativa correta. (a) Todas as senten¸cas s˜ao verdadeiras. (b) Todas as senten¸cas s˜ao falsas. (c) As senten¸cas (I) e (III) s˜ao falsas. (d) As senten¸cas (I) e (II) s˜ao verdadeiras. (e) As senten¸cas (I) e (II) s˜ao falsas. Estive tentando fazer esta questao e acho que as alternativas nao batem. o que vcs acham? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] questao estranha
são aceitas geometrias não-euclidianas? From: sswai...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] questao estranha Date: Wed, 6 Apr 2011 22:42:14 + Considere as quatro sentencas a seguir: (I) Por um ponto do espaco, nao pertencente a uma reta, pode-se tracar uma só paralela a essa reta. (II) Dadas duas retas paralelas, todo plano que intercepta uma delas intercepta a outra. (III) Duas retas, paralelas a uma terceira, sao paralelas entre si. (IV) Toda reta paralela a dois planos que se cortam é paralela a interseçãoao deles. Assinale a alternativa correta. (a) Todas as senten¸cas s˜ao verdadeiras. (b) Todas as senten¸cas s˜ao falsas. (c) As senten¸cas (I) e (III) s˜ao falsas. (d) As senten¸cas (I) e (II) s˜ao verdadeiras. (e) As senten¸cas (I) e (II) s˜ao falsas. Estive tentando fazer esta questao e acho que as alternativas nao batem. o que vcs acham?
[obm-l] Re: [obm-l] QUESTAO DE TRIANGULOS
Sobre o lado AC, construa um triângulo equilátero APC, sendo P um ponto externo ao triângulo ABC (os segmentos BP e AC devem se intersecar num ponto interior a AC). Dado que AP=AB e PAB=60+100=160, então APB=ABP=10. Então PBC=40-10=30 Os triângulos PCB e CAD são congruentes (iguais, caso LAL). então ADC=PBC=30, então BCD=40-30=10 Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Wed, 6 Apr 2011 09:10:29 -0700 (PDT) Asunto : [obm-l] QUESTAO DE TRIANGULOS Num triângulo ABC tem-se que o ângulo ABC é igual ao ângulo ACB que vale 40 graus . Prolongando-se o lado AB, no sentido de A para B, até um ponto D tal que AD igual a BC, a medida do ângulo BCD é igual a: Felipe Araujo Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] questao estranha
Como eu tinha dito, nesta interpretação a afirmação é falsa. Você interpretou interceptar como sendo um tangenciar (note que as retastangenciartam o plano). Caso você interprete tangenciar como sendo uma secante de R3, e não uma tangente, daí a afirmação é verdadeira. Só disse isso pois não há nenhuma alternativa com a 2 somente falsa, a questão é confusa. Ainda sim, temos um rpoblema. Se todas as alternativas forem verdadeiras, a alternativa 4 é V, se 1 é V, temos 3 e 5 V Date: Thu, 7 Apr 2011 07:49:25 +0200 Subject: Re: [obm-l] questao estranha From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Eu acho que a II é falsa. Exemplo: Retas x=0=y e x=0, y=1. Elas são paralelas por estarem contidas no plano x=0 e não se tocarem. Uma delas está contida no plano y=0, a outra não. Mas isso é mais uma questão de (falta de) definição... Para mim, interceptar = interseção não vazia, o que é o caso. Enfim... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2011/4/7 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Na verdade o conceito de retas paralelas em R3 é diferente do usual: Duas retas são paralelas SE 1) pertencem ao mesmo plano e 2) não se encontram Um plano é uma superfície 2d infinita I) V - podemos traçar um só plano entre um ponto e uma reta. No plano somente uma reta passa pelo ponto e é paralela à outra II) V (?) - Interpretando interceptar como passar dentro de sendo diferente a tangenciar ou conter, é verdade , já que o plano teria que formar um ângulo 0 com a reta e como o plano é infinito, tocaria a outra. Interpretando interceptar como sendo um possível tangenciar, falso III) V (óbvio) IV) V - Pense assim. Temos uma reta, traçamos um plano perpendicular a esta. Planos paralelos à reta t~em que ser automaticamente perpendiculares ao primeiro plano. Logo a intersecção destes planos também é perp. com o primeiro e consequentementte paralela à reta. Alternativa A []'s João From: sswai...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] questao estranha Date: Wed, 6 Apr 2011 22:42:14 + Considere as quatro sentencas a seguir: (I) Por um ponto do espaco, nao pertencente a uma reta, pode-se tracar uma só paralela a essa reta. (II) Dadas duas retas paralelas, todo plano que intercepta uma delas intercepta a outra. (III) Duas retas, paralelas a uma terceira, sao paralelas entre si. (IV) Toda reta paralela a dois planos que se cortam é paralela a interseçãoao deles. Assinale a alternativa correta. (a) Todas as senten¸cas s˜ao verdadeiras. (b) Todas as senten¸cas s˜ao falsas. (c) As senten¸cas (I) e (III) s˜ao falsas. (d) As senten¸cas (I) e (II) s˜ao verdadeiras. (e) As senten¸cas (I) e (II) s˜ao falsas. Estive tentando fazer esta questao e acho que as alternativas nao batem. o que vcs acham? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] questao estranha
Eu também não gosto da questão por motivos de linguagem. Em primeiro lugar, como o pessoal já falou, interceptar não é um termo preciso neste contexto (ou pelo menos não é uma convenção comum). Como o João já disse, se fosse intersectar (ter interseção), II é F; mas se for intersectar transversalmente (este é um termo preciso), II é V. (Lembro que o Elon ODEIA quando alguém confunde interceptar com intersectar...:) :) ) Enxergo um outro problema: retas coincidentes são paralelas? Interpretando que *não*, alguém podia dizer que III é F, pois as duas retas paralelas à terceira poderiam ser coincidentes. Mas aí o problema de linguagem piora: alguém pode retrucar que retas coincidentes não seriam duas retas, mas uma só. Então III passa a ser V de novo. Argh. :( Abraço, Ralph 2011/4/7 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Como eu tinha dito, nesta interpretação a afirmação é falsa. Você interpretou interceptar como sendo um tangenciar (note que as retastangenciartam o plano). Caso você interprete tangenciar como sendo uma secante de R3, e não uma tangente, daí a afirmação é verdadeira. Só disse isso pois não há nenhuma alternativa com a 2 somente falsa, a questão é confusa. Ainda sim, temos um rpoblema. Se todas as alternativas forem verdadeiras, a alternativa 4 é V, se 1 é V, temos 3 e 5 V Date: Thu, 7 Apr 2011 07:49:25 +0200 Subject: Re: [obm-l] questao estranha From: bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Eu acho que a II é falsa. Exemplo: Retas x=0=y e x=0, y=1. Elas são paralelas por estarem contidas no plano x=0 e não se tocarem. Uma delas está contida no plano y=0, a outra não. Mas isso é mais uma questão de (falta de) definição... Para mim, interceptar = interseção não vazia, o que é o caso. Enfim... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2011/4/7 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Na verdade o conceito de retas paralelas em R3 é diferente do usual: Duas retas são paralelas SE 1) pertencem ao mesmo plano e 2) não se encontram Um plano é uma superfície 2d infinita I) V - podemos traçar um só plano entre um ponto e uma reta. No plano somente uma reta passa pelo ponto e é paralela à outra II) V (?) - Interpretando interceptar como passar dentro de sendo diferente a tangenciar ou conter, é verdade , já que o plano teria que formar um ângulo 0 com a reta e como o plano é infinito, tocaria a outra. Interpretando interceptar como sendo um possível tangenciar, falso III) V (óbvio) IV) V - Pense assim. Temos uma reta, traçamos um plano perpendicular a esta. Planos paralelos à reta t~em que ser automaticamente perpendiculares ao primeiro plano. Logo a intersecção destes planos também é perp. com o primeiro e consequentementte paralela à reta. Alternativa A []'s João From: sswai...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] questao estranha Date: Wed, 6 Apr 2011 22:42:14 + Considere as quatro sentencas a seguir: (I) Por um ponto do espaco, nao pertencente a uma reta, pode-se tracar uma só paralela a essa reta. (II) Dadas duas retas paralelas, todo plano que intercepta uma delas intercepta a outra. (III) Duas retas, paralelas a uma terceira, sao paralelas entre si. (IV) Toda reta paralela a dois planos que se cortam é paralela a interseçãoao deles. Assinale a alternativa correta. (a) Todas as senten¸cas s˜ao verdadeiras. (b) Todas as senten¸cas s˜ao falsas. (c) As senten¸cas (I) e (III) s˜ao falsas. (d) As senten¸cas (I) e (II) s˜ao verdadeiras. (e) As senten¸cas (I) e (II) s˜ao falsas. Estive tentando fazer esta questao e acho que as alternativas nao batem. o que vcs acham? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] questao estranha
Considere as quatro sentencas a seguir: (I) Por um ponto do espaco, nao pertencente a uma reta, pode-se tracar uma só paralela a essa reta. (II) Dadas duas retas paralelas, todo plano que intercepta uma delas intercepta a outra. (III) Duas retas, paralelas a uma terceira, sao paralelas entre si. (IV) Toda reta paralela a dois planos que se cortam é paralela a interseçãoao deles. Assinale a alternativa correta. (a) Todas as senten¸cas s˜ao verdadeiras. (b) Todas as senten¸cas s˜ao falsas. (c) As senten¸cas (I) e (III) s˜ao falsas. (d) As senten¸cas (I) e (II) s˜ao verdadeiras. (e) As senten¸cas (I) e (II) s˜ao falsas. Estive tentando fazer esta questao e acho que as alternativas nao batem. o que vcs acham?
RE: [obm-l] questao estranha
Na verdade o conceito de retas paralelas em R3 é diferente do usual:Duas retas são paralelas SE 1) pertencem ao mesmo plano e 2) não se encontramUm plano é uma superfície 2d infinita I) V - podemos traçar um só plano entre um ponto e uma reta. No plano somente uma reta passa pelo ponto e é paralela à outraII) V (?) - Interpretando interceptar como passar dentro de sendo diferente a tangenciar ou conter, é verdade , já que o plano teria que formar um ângulo 0 com a reta e como o plano é infinito, tocaria a outra. Interpretando interceptar como sendo um possível tangenciar, falsoIII) V (óbvio)IV) V - Pense assim. Temos uma reta, traçamos um plano perpendicular a esta. Planos paralelos à reta t~em que ser automaticamente perpendiculares ao primeiro plano. Logo a intersecção destes planos também é perp. com o primeiro e consequentementte paralela à reta. Alternativa A []'sJoão From: sswai...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] questao estranha Date: Wed, 6 Apr 2011 22:42:14 + Considere as quatro sentencas a seguir: (I) Por um ponto do espaco, nao pertencente a uma reta, pode-se tracar uma só paralela a essa reta. (II) Dadas duas retas paralelas, todo plano que intercepta uma delas intercepta a outra. (III) Duas retas, paralelas a uma terceira, sao paralelas entre si. (IV) Toda reta paralela a dois planos que se cortam é paralela a interseçãoao deles. Assinale a alternativa correta. (a) Todas as senten¸cas s˜ao verdadeiras. (b) Todas as senten¸cas s˜ao falsas. (c) As senten¸cas (I) e (III) s˜ao falsas. (d) As senten¸cas (I) e (II) s˜ao verdadeiras. (e) As senten¸cas (I) e (II) s˜ao falsas. Estive tentando fazer esta questao e acho que as alternativas nao batem. o que vcs acham?
[obm-l] QUESTAO DE TRIANGULOS
Num triângulo ABC tem-se que o ângulo ABC é igual ao ângulo ACB que vale 40 graus . Prolongando-se o lado AB, no sentido de A para B, até um ponto D tal que AD igual a BC, a medida do ângulo BCD é igual a: Felipe Araujo Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] questao estranha
Eu acho que a II é falsa. Exemplo: Retas x=0=y e x=0, y=1. Elas são paralelas por estarem contidas no plano x=0 e não se tocarem. Uma delas está contida no plano y=0, a outra não. Mas isso é mais uma questão de (falta de) definição... Para mim, interceptar = interseção não vazia, o que é o caso. Enfim... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2011/4/7 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Na verdade o conceito de retas paralelas em R3 é diferente do usual: Duas retas são paralelas SE 1) pertencem ao mesmo plano e 2) não se encontram Um plano é uma superfície 2d infinita I) V - podemos traçar um só plano entre um ponto e uma reta. No plano somente uma reta passa pelo ponto e é paralela à outra II) V (?) - Interpretando interceptar como passar dentro de sendo diferente a tangenciar ou conter, é verdade , já que o plano teria que formar um ângulo 0 com a reta e como o plano é infinito, tocaria a outra. Interpretando interceptar como sendo um possível tangenciar, falso III) V (óbvio) IV) V - Pense assim. Temos uma reta, traçamos um plano perpendicular a esta. Planos paralelos à reta t~em que ser automaticamente perpendiculares ao primeiro plano. Logo a intersecção destes planos também é perp. com o primeiro e consequentementte paralela à reta. Alternativa A []'s João From: sswai...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] questao estranha Date: Wed, 6 Apr 2011 22:42:14 + Considere as quatro sentencas a seguir: (I) Por um ponto do espaco, nao pertencente a uma reta, pode-se tracar uma só paralela a essa reta. (II) Dadas duas retas paralelas, todo plano que intercepta uma delas intercepta a outra. (III) Duas retas, paralelas a uma terceira, sao paralelas entre si. (IV) Toda reta paralela a dois planos que se cortam é paralela a interseçãoao deles. Assinale a alternativa correta. (a) Todas as senten¸cas s˜ao verdadeiras. (b) Todas as senten¸cas s˜ao falsas. (c) As senten¸cas (I) e (III) s˜ao falsas. (d) As senten¸cas (I) e (II) s˜ao verdadeiras. (e) As senten¸cas (I) e (II) s˜ao falsas. Estive tentando fazer esta questao e acho que as alternativas nao batem. o que vcs acham? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questao combinatoria - Processo Seletivo do estado
Caramba, eu não pensava que ia suscitar um tal desabafo! Francisco, eu concordo em parte contigo. O que a gente aprende sozinho é muito melhor aprendido do que o que a gente aprende dos outros. E é uma pena que a tua escola (ou universidade? ou você já tá trabalhando?) não dê tanta liberdade pra tuas descobertas. Eu acho que você tava fazendo análise na reta, e talvez seja o melhor contra-exemplo para coisas que vale a pena ter alguém indicando o caminho. Afinal, porque raios todas funções não têm integral? Ou porquê o limite de funções analíticas não é nem contínuo (séries de Fourier) ? A história da matemática contém erros e acertos em grande quantidade, e vale a pena compreender o que foi dito, etc, e tal. É muito bom também fazer esses erros (não sempre) para entender porque a gente gostaria que fosse assim, mas não é. Mas justamente, existe uma grande chance de, estando sozinho, ficar preso nesse erro. E é nesse ponto que é muito bom ter um professor / livro / amigo para discutir, comentar, e aprender. Ainda mais que, quando a gente vai explicar o que a gente acabou de fazer (seja um exercício, seja um teorema), a gente naturalmente vai ser mais claro, rigoroso, e talvez pensar poxa, será que é sempre verdade o que eu achei que era óbvio?. E pra voltar ao tema da lista (e para dizer que foi graças a estar numa mesa discutindo com 4 outros estudantes de matemática que a palavra mágica fez click na minha cabeça e eu achei a solução), aí vai um probleminha que, sem ter visto nada de teoria antes dá pra entender muito bem, mas precisa de um tantinho de idéias... Você bota 2000 formigas num círculo de comprimento 1 (ok, as formigas são pontos sem comprimento). Dispostas como você quiser. Elas andam no círculo a 1m/s (são formigas turbinadas, o importante é que elas dariam a volta no círculo em 1s). O único problema é que elas não vão todas no mesmo sentido. E, obviamente, quando elas se encontram, elas mudam de direção, sem perder tempo nem velocidade (para os físicos, um choque elástico perfeito). Prove que 1000 segundos depois, as formigas estão na mesma posição que você as colocou no início. abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2010/3/9 Francisco Barreto fcostabarr...@gmail.com: Eu detesto ver solução de exercício antes de resolver (e não apenas tentar resolver) sozinho. Pra mim, eu não entendo NADA de verdade se eu não consigo fazer sozinho antes de alguém me dizer o que se passa. As soluções escondem processos mentais essenciais. Não dá pra ler e ter a mesma experiência de resolver sozinho. Por isso eu não gosto muito de aulas. Ah, e pra mim também vale muito mais saber resolver problemas com vários níveis de raciocínios, problemas que necessitam de insight, e a partir daí esbarrar na teoria, do que ficar avançando e avançando, mas sendo capaz apenas de poucas proezas com o que aprendeu. Falei e pronto. [], F = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questao combinatoria - Processo Seletivo do estado
Suas palavras são sábias Bernardo. Estou acompanhando a discussão desse problema, que com certeza é trivial para quase todos mas às vezes nos falta atenção para resolvê-lo. Concordo contigo ao contestar o Francisco, pois quando ele mandou o email afirmando que prefere descobrir sozinho as maravilhas da matemática eu me identifiquei com ele, mas afinal nós vivemos em sociedade e creio que o maior objetivo dessse grupo de discussões de problemas de matemática é justamente esse, a interação de várias mentes poderosas, como a sua, trabalhando para o bem-comum. Em 9 de março de 2010 05:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: Caramba, eu não pensava que ia suscitar um tal desabafo! Francisco, eu concordo em parte contigo. O que a gente aprende sozinho é muito melhor aprendido do que o que a gente aprende dos outros. E é uma pena que a tua escola (ou universidade? ou você já tá trabalhando?) não dê tanta liberdade pra tuas descobertas. Eu acho que você tava fazendo análise na reta, e talvez seja o melhor contra-exemplo para coisas que vale a pena ter alguém indicando o caminho. Afinal, porque raios todas funções não têm integral? Ou porquê o limite de funções analíticas não é nem contínuo (séries de Fourier) ? A história da matemática contém erros e acertos em grande quantidade, e vale a pena compreender o que foi dito, etc, e tal. É muito bom também fazer esses erros (não sempre) para entender porque a gente gostaria que fosse assim, mas não é. Mas justamente, existe uma grande chance de, estando sozinho, ficar preso nesse erro. E é nesse ponto que é muito bom ter um professor / livro / amigo para discutir, comentar, e aprender. Ainda mais que, quando a gente vai explicar o que a gente acabou de fazer (seja um exercício, seja um teorema), a gente naturalmente vai ser mais claro, rigoroso, e talvez pensar poxa, será que é sempre verdade o que eu achei que era óbvio?. E pra voltar ao tema da lista (e para dizer que foi graças a estar numa mesa discutindo com 4 outros estudantes de matemática que a palavra mágica fez click na minha cabeça e eu achei a solução), aí vai um probleminha que, sem ter visto nada de teoria antes dá pra entender muito bem, mas precisa de um tantinho de idéias... Você bota 2000 formigas num círculo de comprimento 1 (ok, as formigas são pontos sem comprimento). Dispostas como você quiser. Elas andam no círculo a 1m/s (são formigas turbinadas, o importante é que elas dariam a volta no círculo em 1s). O único problema é que elas não vão todas no mesmo sentido. E, obviamente, quando elas se encontram, elas mudam de direção, sem perder tempo nem velocidade (para os físicos, um choque elástico perfeito). Prove que 1000 segundos depois, as formigas estão na mesma posição que você as colocou no início. Deve ser interessante a resolução desse probleminha; estou super curioso para saber qual foi o livro que você o retirou, pois lá deve ter outros parecidos. Bernardo, se você já o resolveu dê pelo menos algumas dicas. Abraços! Simão Pedro. abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2010/3/9 Francisco Barreto fcostabarr...@gmail.com: Eu detesto ver solução de exercício antes de resolver (e não apenas tentar resolver) sozinho. Pra mim, eu não entendo NADA de verdade se eu não consigo fazer sozinho antes de alguém me dizer o que se passa. As soluções escondem processos mentais essenciais. Não dá pra ler e ter a mesma experiência de resolver sozinho. Por isso eu não gosto muito de aulas. Ah, e pra mim também vale muito mais saber resolver problemas com vários níveis de raciocínios, problemas que necessitam de insight, e a partir daí esbarrar na teoria, do que ficar avançando e avançando, mas sendo capaz apenas de poucas proezas com o que aprendeu. Falei e pronto. [], F = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Papa João Paulo II. Mãe do Verbo Encarnado, não desprezes a minha oração, mas ouve-me e atende-me com benevolência. Amém (Memorare). Simão Pedro Oliveira da Nóbrega. Tel.: (61) 32424059 / 81396696 Brasília DF.
Re: [obm-l] Questao combinatoria - Processo Seletivo do estado
--- Em seg, 8/3/10, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: De: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com Assunto: Re: [obm-l] Questao combinatoria - Processo Seletivo do estado Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 8 de Março de 2010, 13:31 2010/3/8 João Luís joaolui...@uol.com.br Primeiramente, seria interessante que você explicasse qual é o raciocínio que usou para chegar ao seu cálculo 12! / (6!6!2!). Eu diria, ele usou a fórmula mágica para arranjos desordenados. E eu acho que ele acertou... se o problema fosse quantos jogos podem ser feitos, com dois times de 6 jogadores. Porque daí, você divide pelo fatorial do número de arranjos a formar para chegar na resposta certa. Porque nem a ordem das pessoas nos arranjos, nem a ordem dos arranjos em si importa. Daí que vem o 2!; os dois 6! vêm dos dois grupos de 6 pessoas. Repare que o enunciado, com uma historinha completamente sem relação (torneio e tal), induz a pensar que o que você vai contar são os jogos diferentes, e não os times... Eu particularmente acho muito ruim essa de ficar enrolando. É verdade que é importante saber o que se está pedindo, mas fazer de propósito um enunciado que induz a erro (e eu pensei isso a primeira vez que eu li, por isso acho que eu adivinhei a solução do Graciliano) não mede o real conhecimento matemático do candidato. (ok, pode ser que eles queiram medir outra coisa) A solução desse problema é bem simples: trata-se de escolher um time de 6 jogadores de um total de 12. Formado esse primeiro time, o segundo estará automaticamente formado também, uma vez que restam 6 jogadores (o outro time) depois de feita essa escolha. Observemos também que, nessa escolha, a ordem não determina nanhuma diferenciação entre os agrupamentos (times) formados, já que o time ABCDEF é obviamente o mesmo que DECBFA, por exemplo. Nessas condições, o número de agrupamentos possíveis é dado por C(12,6) = 924. Vou me meter agora a te dar um conselho; não me leve a mal, é construtivo, minha intenção é unicamente ajudar: esse problema é bem simples, como você viu. Creio que com um pouco mais de esforço você teria chegado à solução correta. lembre-se de que aprender matemática requer um esforço considerável para resolver exercícios. Eu concordo, em parte. Acho que matemática requer muito esforço sim, mas não (somente) para resolver exercícios. Eu diria, muito mais para compreender o que se está fazendo. Uma vez que você entende direito o que está escrito no problema, o que você gostaria de fazer, etc, etc, fica fácil. E em geral, se aprende vendo várias formas diferentes, várias situações, que fazem a cabeça trabalhar. E o método que é mais usado hoje em dia é fazendo 1 exercícios. Não vou dizer que é ruim, funciona bem, muitas vezes, mas só saber fazer um monte de exercícios tá longe de ser suficiente para que eu diga que alguém aprendeu matemática. (Em geral, esse caso não acontece, porque as pessoas acabam pegando a intuição e se liberando dos exercícios, mas eu já vi exemplos de máquinas de exercícios...) Um abraço, João Luís. abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Primeiramente muito obrigado pelas respostas e conselhos de todos. Primeiro respondendo o que o Joao me pediu que foi a explicação da minha solução(que o Bernardo explicitou mais vou colocar também): Quando utilizo C(12,6) para escolher na formação de um time, os seis jogadores restantes automaticamente formam o segundo time. Mas olhe a seguinte situação. Suponha que os 12 jogadores são ABCDEFGHIJKL. Ao escolher um time através da combinação contamos o seguinte time ABCDEF e os jogadores restantes GHIJKL como o segundo time. Porém também contamos a situação que escolhemos o time GHIJKL e os restantes ABCDEF como segundo time. Então essas situações que são iguais são contadas duas vezes, por esse motivo dividi a combinação por 2!. Esta explicação é identica a do Bernardo, por esse motivo eu não concordei com o gabarito da prova e discuti com alguns professores de minha cidade essa questão. Assim resolvi colocar a questão para ter uma opnião de pessoas mais experientes e estudas do que eu na área de matemática mesmo sendo uma questão, ao meu modo de ver fácil. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Questao combinatoria - Processo Seletivo do estado
Bom dia galera da lista. Me questionaram sobre uma questão de combinatoria deste processo seletivo do estado de são paulo e minha solução, que acho estar certa não bate com o gabarito, por esse motivo peço a analise de voces para saber se cometi algum equivoco. Desde já agradeço a atenção: 45. O professor de matemática decidiu ajudar o de educação física a fazer os times de vôlei para um torneio. Sua incumbência era a de formar times com um grupo de 12 estudantes. Sabendo-se que cada time de vôlei é formado por 6 jogadores, o professor de matemática propôs aos seus alunos que calculassem o total de times diferentes que poderiam ser formados com os estudantes do grupo. A resposta correta ao problema proposto pelo professor é: (A) 132. (B) 144. (C) 256. (D) 462. (E) 924. Minha solução: 12! / (6!6!2!)=462 alternativa D. Gabarito alternativa E. Graciliano. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] Questao combinatoria - Processo Seletivo do estado
Esqueci de escrever a palavra posição algumas vezes, primeira posição*, segunda posição*... Refiro-me a cada posição no time. Em 8 de março de 2010 10:49, Francisco Barreto fcostabarr...@gmail.comescreveu: Para a primeira temos 12 opções, para a segunda 11,... até que na sexta, temos 7 opções. Mas desta maneira estamos contando os times 6! vezes. Daí nós dividimos 12*11*10*..*7/6! para obter o resultado (repara que isto é igual a C(12,6)) [], F. Em 8 de março de 2010 09:36, Graciliano Antonio Damazo bissa_dam...@yahoo.com.br escreveu: Bom dia galera da lista. Me questionaram sobre uma questão de combinatoria deste processo seletivo do estado de são paulo e minha solução, que acho estar certa não bate com o gabarito, por esse motivo peço a analise de voces para saber se cometi algum equivoco. Desde já agradeço a atenção: 45. O professor de matemática decidiu ajudar o de educação física a fazer os times de vôlei para um torneio. Sua incumbência era a de formar times com um grupo de 12 estudantes. Sabendo-se que cada time de vôlei é formado por 6 jogadores, o professor de matemática propôs aos seus alunos que calculassem o total de times diferentes que poderiam ser formados com os estudantes do grupo. A resposta correta ao problema proposto pelo professor é: (A) 132. (B) 144. (C) 256. (D) 462. (E) 924. Minha solução: 12! / (6!6!2!)=462 alternativa D. Gabarito alternativa E. Graciliano. -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/- Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/- Músicahttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/- Esporteshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/
Re: [obm-l] Questao combinatoria - Processo Seletivo do estado
Primeiramente, seria interessante que você explicasse qual é o raciocínio que usou para chegar ao seu cálculo 12! / (6!6!2!). A solução desse problema é bem simples: trata-se de escolher um time de 6 jogadores de um total de 12. Formado esse primeiro time, o segundo estará automaticamente formado também, uma vez que restam 6 jogadores (o outro time) depois de feita essa escolha. Observemos também que, nessa escolha, a ordem não determina nanhuma diferenciação entre os agrupamentos (times) formados, já que o time ABCDEF é obviamente o mesmo que DECBFA, por exemplo. Nessas condições, o número de agrupamentos possíveis é dado por C(12,6) = 924. Vou me meter agora a te dar um conselho; não me leve a mal, é construtivo, minha intenção é unicamente ajudar: esse problema é bem simples, como você viu. Creio que com um pouco mais de esforço você teria chegado à solução correta. lembre-se de que aprender matemática requer um esforço considerável para resolver exercícios. Um abraço, João Luís. - Original Message - From: Graciliano Antonio Damazo To: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Graciliano Antonio Damazo Sent: Monday, March 08, 2010 9:36 AM Subject: [obm-l] Questao combinatoria - Processo Seletivo do estado Bom dia galera da lista. Me questionaram sobre uma questão de combinatoria deste processo seletivo do estado de são paulo e minha solução, que acho estar certa não bate com o gabarito, por esse motivo peço a analise de voces para saber se cometi algum equivoco. Desde já agradeço a atenção: 45. O professor de matemática decidiu ajudar o de educação física a fazer os times de vôlei para um torneio. Sua incumbência era a de formar times com um grupo de 12 estudantes. Sabendo-se que cada time de vôlei é formado por 6 jogadores, o professor de matemática propôs aos seus alunos que calculassem o total de times diferentes que poderiam ser formados com os estudantes do grupo. A resposta correta ao problema proposto pelo professor é: (A) 132. (B) 144. (C) 256. (D) 462. (E) 924. Minha solução: 12! / (6!6!2!)=462 alternativa D. Gabarito alternativa E. Graciliano. -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes
Re: [obm-l] Questao combinatoria - Processo Seletivo do estado
2010/3/8 João Luís joaolui...@uol.com.br Primeiramente, seria interessante que você explicasse qual é o raciocínio que usou para chegar ao seu cálculo 12! / (6!6!2!). Eu diria, ele usou a fórmula mágica para arranjos desordenados. E eu acho que ele acertou... se o problema fosse quantos jogos podem ser feitos, com dois times de 6 jogadores. Porque daí, você divide pelo fatorial do número de arranjos a formar para chegar na resposta certa. Porque nem a ordem das pessoas nos arranjos, nem a ordem dos arranjos em si importa. Daí que vem o 2!; os dois 6! vêm dos dois grupos de 6 pessoas. Repare que o enunciado, com uma historinha completamente sem relação (torneio e tal), induz a pensar que o que você vai contar são os jogos diferentes, e não os times... Eu particularmente acho muito ruim essa de ficar enrolando. É verdade que é importante saber o que se está pedindo, mas fazer de propósito um enunciado que induz a erro (e eu pensei isso a primeira vez que eu li, por isso acho que eu adivinhei a solução do Graciliano) não mede o real conhecimento matemático do candidato. (ok, pode ser que eles queiram medir outra coisa) A solução desse problema é bem simples: trata-se de escolher um time de 6 jogadores de um total de 12. Formado esse primeiro time, o segundo estará automaticamente formado também, uma vez que restam 6 jogadores (o outro time) depois de feita essa escolha. Observemos também que, nessa escolha, a ordem não determina nanhuma diferenciação entre os agrupamentos (times) formados, já que o time ABCDEF é obviamente o mesmo que DECBFA, por exemplo. Nessas condições, o número de agrupamentos possíveis é dado por C(12,6) = 924. Vou me meter agora a te dar um conselho; não me leve a mal, é construtivo, minha intenção é unicamente ajudar: esse problema é bem simples, como você viu. Creio que com um pouco mais de esforço você teria chegado à solução correta. lembre-se de que aprender matemática requer um esforço considerável para resolver exercícios. Eu concordo, em parte. Acho que matemática requer muito esforço sim, mas não (somente) para resolver exercícios. Eu diria, muito mais para compreender o que se está fazendo. Uma vez que você entende direito o que está escrito no problema, o que você gostaria de fazer, etc, etc, fica fácil. E em geral, se aprende vendo várias formas diferentes, várias situações, que fazem a cabeça trabalhar. E o método que é mais usado hoje em dia é fazendo 1 exercícios. Não vou dizer que é ruim, funciona bem, muitas vezes, mas só saber fazer um monte de exercícios tá longe de ser suficiente para que eu diga que alguém aprendeu matemática. (Em geral, esse caso não acontece, porque as pessoas acabam pegando a intuição e se liberando dos exercícios, mas eu já vi exemplos de máquinas de exercícios...) Um abraço, João Luís. abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questao combinatoria - Processo Seletivo do estado
Eu detesto ver solução de exercício antes de resolver (e não apenas tentar resolver) sozinho. Pra mim, eu não entendo NADA de verdade se eu não consigo fazer sozinho antes de alguém me dizer o que se passa. As soluções escondem processos mentais essenciais. Não dá pra ler e ter a mesma experiência de resolver sozinho. Por isso eu não gosto muito de aulas. Ah, e pra mim também vale muito mais saber resolver problemas com vários níveis de raciocínios, problemas que necessitam de insight, e a partir daí esbarrar na teoria, do que ficar avançando e avançando, mas sendo capaz apenas de poucas proezas com o que aprendeu. Falei e pronto. [], F Em 8 de março de 2010 13:31, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2010/3/8 João Luís joaolui...@uol.com.br Primeiramente, seria interessante que você explicasse qual é o raciocínio que usou para chegar ao seu cálculo 12! / (6!6!2!). Eu diria, ele usou a fórmula mágica para arranjos desordenados. E eu acho que ele acertou... se o problema fosse quantos jogos podem ser feitos, com dois times de 6 jogadores. Porque daí, você divide pelo fatorial do número de arranjos a formar para chegar na resposta certa. Porque nem a ordem das pessoas nos arranjos, nem a ordem dos arranjos em si importa. Daí que vem o 2!; os dois 6! vêm dos dois grupos de 6 pessoas. Repare que o enunciado, com uma historinha completamente sem relação (torneio e tal), induz a pensar que o que você vai contar são os jogos diferentes, e não os times... Eu particularmente acho muito ruim essa de ficar enrolando. É verdade que é importante saber o que se está pedindo, mas fazer de propósito um enunciado que induz a erro (e eu pensei isso a primeira vez que eu li, por isso acho que eu adivinhei a solução do Graciliano) não mede o real conhecimento matemático do candidato. (ok, pode ser que eles queiram medir outra coisa) A solução desse problema é bem simples: trata-se de escolher um time de 6 jogadores de um total de 12. Formado esse primeiro time, o segundo estará automaticamente formado também, uma vez que restam 6 jogadores (o outro time) depois de feita essa escolha. Observemos também que, nessa escolha, a ordem não determina nanhuma diferenciação entre os agrupamentos (times) formados, já que o time ABCDEF é obviamente o mesmo que DECBFA, por exemplo. Nessas condições, o número de agrupamentos possíveis é dado por C(12,6) = 924. Vou me meter agora a te dar um conselho; não me leve a mal, é construtivo, minha intenção é unicamente ajudar: esse problema é bem simples, como você viu. Creio que com um pouco mais de esforço você teria chegado à solução correta. lembre-se de que aprender matemática requer um esforço considerável para resolver exercícios. Eu concordo, em parte. Acho que matemática requer muito esforço sim, mas não (somente) para resolver exercícios. Eu diria, muito mais para compreender o que se está fazendo. Uma vez que você entende direito o que está escrito no problema, o que você gostaria de fazer, etc, etc, fica fácil. E em geral, se aprende vendo várias formas diferentes, várias situações, que fazem a cabeça trabalhar. E o método que é mais usado hoje em dia é fazendo 1 exercícios. Não vou dizer que é ruim, funciona bem, muitas vezes, mas só saber fazer um monte de exercícios tá longe de ser suficiente para que eu diga que alguém aprendeu matemática. (Em geral, esse caso não acontece, porque as pessoas acabam pegando a intuição e se liberando dos exercícios, mas eu já vi exemplos de máquinas de exercícios...) Um abraço, João Luís. abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questao combinatoria - Processo Seletivo do estado
Concordo com você, Bernardo, e te agradeço por enriquecer a minha colocação. Mas note, que eu não disse SOMENTE resolver exercícos... apenas disse que é necessário resolver exercícios, e para isso deve-se dispender um considerável esforço. Claro, uma questão que não abordei é a respeito da seleção desses exercícios; a meu ver, e creio que concorda comigo nisso, uma boa seleção de exercícos tem que atender a alguns quesitos, tais como: quantidade adequada, exercícios interessantes e sempre que possível (e sem apelações) contextualizados, procurar exercitar tanto a parte conceitual quanto a macânica e braçal da coisa, e por aí vai... Um abraço, João Luís. - Original Message - From: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, March 08, 2010 1:31 PM Subject: Re: [obm-l] Questao combinatoria - Processo Seletivo do estado 2010/3/8 João Luís joaolui...@uol.com.br Primeiramente, seria interessante que você explicasse qual é o raciocínio que usou para chegar ao seu cálculo 12! / (6!6!2!). Eu diria, ele usou a fórmula mágica para arranjos desordenados. E eu acho que ele acertou... se o problema fosse quantos jogos podem ser feitos, com dois times de 6 jogadores. Porque daí, você divide pelo fatorial do número de arranjos a formar para chegar na resposta certa. Porque nem a ordem das pessoas nos arranjos, nem a ordem dos arranjos em si importa. Daí que vem o 2!; os dois 6! vêm dos dois grupos de 6 pessoas. Repare que o enunciado, com uma historinha completamente sem relação (torneio e tal), induz a pensar que o que você vai contar são os jogos diferentes, e não os times... Eu particularmente acho muito ruim essa de ficar enrolando. É verdade que é importante saber o que se está pedindo, mas fazer de propósito um enunciado que induz a erro (e eu pensei isso a primeira vez que eu li, por isso acho que eu adivinhei a solução do Graciliano) não mede o real conhecimento matemático do candidato. (ok, pode ser que eles queiram medir outra coisa) A solução desse problema é bem simples: trata-se de escolher um time de 6 jogadores de um total de 12. Formado esse primeiro time, o segundo estará automaticamente formado também, uma vez que restam 6 jogadores (o outro time) depois de feita essa escolha. Observemos também que, nessa escolha, a ordem não determina nanhuma diferenciação entre os agrupamentos (times) formados, já que o time ABCDEF é obviamente o mesmo que DECBFA, por exemplo. Nessas condições, o número de agrupamentos possíveis é dado por C(12,6) = 924. Vou me meter agora a te dar um conselho; não me leve a mal, é construtivo, minha intenção é unicamente ajudar: esse problema é bem simples, como você viu. Creio que com um pouco mais de esforço você teria chegado à solução correta. lembre-se de que aprender matemática requer um esforço considerável para resolver exercícios. Eu concordo, em parte. Acho que matemática requer muito esforço sim, mas não (somente) para resolver exercícios. Eu diria, muito mais para compreender o que se está fazendo. Uma vez que você entende direito o que está escrito no problema, o que você gostaria de fazer, etc, etc, fica fácil. E em geral, se aprende vendo várias formas diferentes, várias situações, que fazem a cabeça trabalhar. E o método que é mais usado hoje em dia é fazendo 1 exercícios. Não vou dizer que é ruim, funciona bem, muitas vezes, mas só saber fazer um monte de exercícios tá longe de ser suficiente para que eu diga que alguém aprendeu matemática. (Em geral, esse caso não acontece, porque as pessoas acabam pegando a intuição e se liberando dos exercícios, mas eu já vi exemplos de máquinas de exercícios...) Um abraço, João Luís. abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Questao de um concurso
01. De um conjunto de n balas coloridas, das quais algumas sao verdes e as demais amarelas, observou-se que 24 das 30 primeiras eram amarelas. Em seguida,observou-se que 6 de cada 9 contadas eram amarelas. Se no total 70% ou mais das balas contadas eram amarelas, o valor maximo de n eh: a) 30 b) 35 c) 40 d) 84 e) 120 Pessoal gostaria da opiniao de voces, se possivel com a solucao, pois o gabarito eh letra A e nao concordo, desde jah agradeco. Aurimenes
Re: [obm-l] Questao de um concurso
Oi José...eu penso o seguinte: N° de amarelas = 0,7.n Mas N° de amarelas = 24 + 6/9.(n-3) assim., 24 + 6/9.(n-30) = 0,7.n 216+6n-180 =6,3.n 36 = 0,3.n n=120 assim o n° máximo é 120 Acho que é isso! Valeu, Cgomes - Original Message - From: Jose Aurimenes To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, June 04, 2008 8:47 AM Subject: [obm-l] Questao de um concurso 01. De um conjunto de n balas coloridas, das quais algumas sao verdes e as demais amarelas, observou-se que 24 das 30 primeiras eram amarelas. Em seguida,observou-se que 6 de cada 9 contadas eram amarelas. Se no total 70% ou mais das balas contadas eram amarelas, o valor maximo de n eh: a) 30 b) 35 c) 40 d) 84 e) 120 Pessoal gostaria da opiniao de voces, se possivel com a solucao, pois o gabarito eh letra A e nao concordo, desde jah agradeco. Aurimenes
Re: [obm-l] questao do cefet
Monte um sistema 3s + 5c = 84 2s + 2c = 52 resolvendo o sistema acima, vc encontrara os valores de S e C e, , Em 21/10/07, rcggomes [EMAIL PROTECTED] escreveu: caros colegas, Por favor me ajudem a resolver o seguinte problema: - Um grupo de voluntários vai distribuir sacolões e cobertores durante 3 semanas no mês de dezembro. Onde: Na 1ª semana 3 sacoloes e 5 cobertores por R$ 84,00 Na 2ª semana 2 sacoloes e 2 cobertores por R$ 52,00 Na 3ª semana 5 sacoloes e 1 cobertor por quantos Reais ? Grata Rita Gomes
[obm-l] questao do cefet
caros colegas, Por favor me ajudem a resolver o seguinte problema: - Um grupo de voluntários vai distribuir sacolões e cobertores durante 3 semanas no mês de dezembro. Onde: Na 1ª semana 3 sacoloes e 5 cobertores por R$ 84,00 Na 2ª semana 2 sacoloes e 2 cobertores por R$ 52,00 Na 3ª semana 5 sacoloes e 1 cobertor por quantos Reais ? Grata Rita Gomes
RES: [obm-l] Questao de Logica
Gostei de seus argumentos. Tentando enteder melhor sua posição, consideremos um dragão (efetivamente, aqueles dragões que tem asas e poe fogo pelas narinas). Este tipo de dração não existe. Então, as seguintes afirmações são verdadeiras: Todo dragão é profundo conhecedor de teoria de medidas Todo dragão adora sorvete de chocolate. Todo dragão é presidente dos Estados Unidos (?) (Como o presidente dos Estados Unidos é o Bush, que existe, esta afirmação e logicamente correta?) Mas não é correto dizer que: Todo dragão é igual a raiz(5) Todo dragão é um passarinho. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Ralph Teixeira Enviada em: segunda-feira, 18 de junho de 2007 23:27 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: RE: [obm-l] Questao de Logica -Original Message- From: Ralph Teixeira Sent: Tue 6/12/2007 11:36 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Subject: RE: [obm-l] Questao de Logica Discordo do argumento da vacuidade; entre outras coisas, acho que seu aluno confundiu implicacao com a tese (isto eh, conclusao). como lim de x_n nao existe, este limite, por vacuidade, eh igual a qualquer coisa. Eu discordo desta afirmacao. Algo que nao existe NAO eh igual a qualquer coisa. O que se pode dizer eh, se algo que nao existe existisse, seria qualquer coisa. Argh, a frase acima ficou pessima. Vejamos: para todo A real, se A^2=-67, entao A=1 eh uma sentenca verdadeira. Note que eu nao disse que A=1, eu soh disse que *se* algum numero real *satisfizesse* a hipotese, ele seria 1 (assim como 2, 3 ou 4). A *implicacao* (a frase toda, do para ao 1 final) estah correta; mas ambas a hipotese e tese sao falsas! NAO CONCLUI-SE QUE A=1. No seu caso: Se x = lim x_n, entao x =1, a qual, por vacuidade, eh de fato verdadeira (vemos que a contrapositiva Se x eh diferente de 1, entao x nao eh limite de x_n eh verdadeira). Eh verdade, esta **implicacao** estah correta (por vacuidade, pois o tal limite nao existe, pela contrapositiva, tudo ok). Agora, daqui voce nao tira a tese x=1, pois a hipotese (limxn=x) simplesmente eh falsa (para qualquer x que voce botar ali). Voce tem uma implicacao verdadeira, mas nao tira conclusao alguma pois nao tem a veracidade da hipotese, entao nao conclui a veracidade da tese. Nao vale que x=1. Em suma: eh comum encontrar IMPLICACOES que sejam verdadeiras por vacuidade (qualquer uma da forma Se x pertence ao conjunto vazio, entao BLAH BLAH), mas nem toda SENTENCA eh verdadeira por vacuidade (x pertence ao conjunto vazio eh falsa). Eu sei que fui meio repetitivo, mas este tipo de argumento pode rapidamente degenerar numa discussao filosofica que eu tentei evitar... Espero ter conseguido ficar na logica (por enquanto). Abraco, Ralph Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] on behalf of Artur Costa Steiner Sent: Tue 6/12/2007 2:55 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Subject: [obm-l] Questao de Logica Alguns estudantes me pediram ajuda numa questao e eu acabei ficando em duvida. Tinham uma sequencia x_n de numeros reais, limitada em R, e pedia o exercicio que se provasse que lim x_n =1. Eles analisaram a sequencia e concluiram, corretamente, que esta, na realidade, era divergente. Um dos estudantes julgou que se deveria escrever que o enunciado estava errado e que não era possível provar o pedido, simplesmente porque a sequencia nao convergia e, portanto, nao tinha nenhum limite. Jah o outro julgou que, de fato, lim x_n =1 por vacuidade, baseado no seguinte argumento: como lim de x_n nao existe, este limite, por vacuidade, eh igual a qualquer coisa. Logo, ao se provar que x_n diverge, provou-se automaticamente (por vacuidade, eh claro), que lim x_n =1. Reforcou sua argumentacao com a seguinte afirmacao: Se x = lim x_n, entao x =1, a qual, por vacuidade, eh de fato verdadeira (vemos que a contrapositiva Se x eh diferente de 1, entao x nao eh limite de x_n eh verdadeira). Eu estou na duvida, embora me pareca muito artificial aceitar, mesmo por vacuidade, que lim x_n =1 quando x_n diverge. E isso coloca uma outra duvida: Se quisermos negar a afirmacao lim x_n =1, entao eu, de forma natural, diria Ou lim x_n existe e eh diferente de 1, ou este limite nao existe. Mas e acietarmos a vacuidade, a negacao seria simplesmente lim x_n existe e eh difrenete de 1. Realmente estou um tanto confuso, estava mais propenso a concordar com o 1o estudante, mas oa argumentos do outro tambem fazem sentido. Qual a opiniao de voces aqui na lista? Abarcos Artur
Re: [obm-l] Questao de Logica
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: O problema em si é interessante (e divertido!), mas fato é que, por falta de provas, o numero 2 e superprimo, pois é impossível provar o contrário. E essa é a definição de vacuosidade! Interessante. Em lógica booleana isso é conhecido com o nome de indução completa. Por exemplo, considere a lei de De Morgan que diz que: (a + b)' = a' . b' aqui + significa ou lógico e . significa e lógico. O apóstrofo ' significa negação. As variáveis a e b podem assumir valores 0 (FALSO) e 1 (VERDADEIRO). Então há 4 possibilidades: (0 + 0)' = 0'.0 ' == (0)' = 1.1 == 1 = 1 == OK (0 + 1)' = 0'.1' == (1)' = 1. 0 == 0 = 0 == OK (1 + 0)' = 1'.0' == (1)' = 0. 1 == 0 = 0 == OK (1 + 1)' = 1'.1 ' == (1)' = 0.0 == 0 = 0 == OK Como não existem outras possibilidades, o teorema está provado. No caso que Dirichlet colocou, a representação de 2 em bases maiores que 2 dá 2, em binário dá 10 que não pode ser permutado sem alterar o número (01 = 1) e em base 1 não há representação. Então 2 é superprimo, pois foram examinadas todas as possibilidades. [] Ronaldo. Mas quando se fala desta questao de prova, acho que é forçar a barra em falar de vacuosidade. De fato nao tem sentido falar de limite de coisas divergentes. Mas aí é uma questão teórica e não prática. Em 17/06/07, Davi de Melo Jorge Barbosa [EMAIL PROTECTED] escreveu: Prova por vacuidade eh o nome dado para uma das formas de provar uma proposicao do tipo A - B. Voce pode provar diretamente (supor que A eh verdade e ir fazendo contas para mostrar que B tambem eh), por contradicao etc... Provar por vacuidade eh quando voce estabelece que A eh falso. Logo, a proposicao A - B eh verdadeira, ou seja, voce provou ela sem utilizar o B (pouco importa se o B eh uma tautologia, uma contradicao ou se depende de outra coisa). Exemplo: Proposicao: Se |X| 0 entao X = 3. Como |X| = 0 para todo X, a afirmacao |X| 0 eh falsa, logo a proposicao eh verdadeira. On 6/15/07, Dênis Emanuel da Costa Vargas [EMAIL PROTECTED] wrote: Caro Artur desculpe a ignorância, mas o que é vacuidade ? abraços Dênis Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Alguns estudantes me pediram ajuda numa questao e eu acabei ficando em duvida. Tinham uma sequencia x_n de numeros reais, limitada em R, e pedia o exercicio que se provasse que lim x_n =1. Eles analisaram a sequencia e concluiram, corretamente, que esta, na realidade, era divergente. Um dos estudantes julgou que se deveria escrever que o enunciado estava errado e que não era possível provar o pedido, simplesmente porque a sequencia nao convergia e, portanto, nao tinha nenhum limite. Jah o outro julgou que, de fato, lim x_n =1 por vacuidade, baseado no seguinte argumento: como lim de x_n nao existe, este limite, por vacuidade, eh igual a qualquer coisa. Logo, ao se provar que x_n diverge, provou-se automaticamente (por vacuidade, eh claro), que lim x_n =1. Reforcou sua argumentacao com a seguinte afirmacao: Se x = lim x_n, entao x =1, a qual, por vacuidade, eh de fato verdadeira (vemos que a contrapositiva Se x eh diferente de 1, entao x nao eh limite de x_n eh verdadeira). Eu estou na duvida, embora me pareca muito artificial aceitar, mesmo por vacuidade, que lim x_n =1 quando x_n diverge. E isso coloca uma outra duvida: Se quisermos negar a afirmacao lim x_n =1, entao eu, de forma natural, diria Ou lim x_n existe e eh diferente de 1, ou este limite nao existe. Mas e acietarmos a vacuidade, a negacao seria simplesmente lim x_n existe e eh difrenete de 1. Realmente estou um tanto confuso, estava mais propenso a concordar com o 1o estudante, mas oa argumentos do outro tambem fazem sentido. Qual a opiniao de voces aqui na lista? Abarcos Artur = === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio. r/~nicolau/olimp/obm-l.html
RE: [obm-l] Questao de Logica
-Original Message- From: Ralph Teixeira Sent: Tue 6/12/2007 11:36 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Subject: RE: [obm-l] Questao de Logica Discordo do argumento da vacuidade; entre outras coisas, acho que seu aluno confundiu implicacao com a tese (isto eh, conclusao). como lim de x_n nao existe, este limite, por vacuidade, eh igual a qualquer coisa. Eu discordo desta afirmacao. Algo que nao existe NAO eh igual a qualquer coisa. O que se pode dizer eh, se algo que nao existe existisse, seria qualquer coisa. Argh, a frase acima ficou pessima. Vejamos: para todo A real, se A^2=-67, entao A=1 eh uma sentenca verdadeira. Note que eu nao disse que A=1, eu soh disse que *se* algum numero real *satisfizesse* a hipotese, ele seria 1 (assim como 2, 3 ou 4). A *implicacao* (a frase toda, do para ao 1 final) estah correta; mas ambas a hipotese e tese sao falsas! NAO CONCLUI-SE QUE A=1. No seu caso: Se x = lim x_n, entao x =1, a qual, por vacuidade, eh de fato verdadeira (vemos que a contrapositiva Se x eh diferente de 1, entao x nao eh limite de x_n eh verdadeira). Eh verdade, esta **implicacao** estah correta (por vacuidade, pois o tal limite nao existe, pela contrapositiva, tudo ok). Agora, daqui voce nao tira a tese x=1, pois a hipotese (limxn=x) simplesmente eh falsa (para qualquer x que voce botar ali). Voce tem uma implicacao verdadeira, mas nao tira conclusao alguma pois nao tem a veracidade da hipotese, entao nao conclui a veracidade da tese. Nao vale que x=1. Em suma: eh comum encontrar IMPLICACOES que sejam verdadeiras por vacuidade (qualquer uma da forma Se x pertence ao conjunto vazio, entao BLAH BLAH), mas nem toda SENTENCA eh verdadeira por vacuidade (x pertence ao conjunto vazio eh falsa). Eu sei que fui meio repetitivo, mas este tipo de argumento pode rapidamente degenerar numa discussao filosofica que eu tentei evitar... Espero ter conseguido ficar na logica (por enquanto). Abraco, Ralph Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] on behalf of Artur Costa Steiner Sent: Tue 6/12/2007 2:55 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Subject: [obm-l] Questao de Logica Alguns estudantes me pediram ajuda numa questao e eu acabei ficando em duvida. Tinham uma sequencia x_n de numeros reais, limitada em R, e pedia o exercicio que se provasse que lim x_n =1. Eles analisaram a sequencia e concluiram, corretamente, que esta, na realidade, era divergente. Um dos estudantes julgou que se deveria escrever que o enunciado estava errado e que não era possível provar o pedido, simplesmente porque a sequencia nao convergia e, portanto, nao tinha nenhum limite. Jah o outro julgou que, de fato, lim x_n =1 por vacuidade, baseado no seguinte argumento: como lim de x_n nao existe, este limite, por vacuidade, eh igual a qualquer coisa. Logo, ao se provar que x_n diverge, provou-se automaticamente (por vacuidade, eh claro), que lim x_n =1. Reforcou sua argumentacao com a seguinte afirmacao: Se x = lim x_n, entao x =1, a qual, por vacuidade, eh de fato verdadeira (vemos que a contrapositiva Se x eh diferente de 1, entao x nao eh limite de x_n eh verdadeira). Eu estou na duvida, embora me pareca muito artificial aceitar, mesmo por vacuidade, que lim x_n =1 quando x_n diverge. E isso coloca uma outra duvida: Se quisermos negar a afirmacao lim x_n =1, entao eu, de forma natural, diria Ou lim x_n existe e eh diferente de 1, ou este limite nao existe. Mas e acietarmos a vacuidade, a negacao seria simplesmente lim x_n existe e eh difrenete de 1. Realmente estou um tanto confuso, estava mais propenso a concordar com o 1o estudante, mas oa argumentos do outro tambem fazem sentido. Qual a opiniao de voces aqui na lista? Abarcos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questao de Logica
Prova por vacuidade eh o nome dado para uma das formas de provar uma proposicao do tipo A - B. Voce pode provar diretamente (supor que A eh verdade e ir fazendo contas para mostrar que B tambem eh), por contradicao etc... Provar por vacuidade eh quando voce estabelece que A eh falso. Logo, a proposicao A - B eh verdadeira, ou seja, voce provou ela sem utilizar o B (pouco importa se o B eh uma tautologia, uma contradicao ou se depende de outra coisa). Exemplo: Proposicao: Se |X| 0 entao X = 3. Como |X| = 0 para todo X, a afirmacao |X| 0 eh falsa, logo a proposicao eh verdadeira. On 6/15/07, Dênis Emanuel da Costa Vargas [EMAIL PROTECTED] wrote: Caro Artur desculpe a ignorância, mas o que é vacuidade ? abraços Dênis *Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]* escreveu: Alguns estudantes me pediram ajuda numa questao e eu acabei ficando em duvida. Tinham uma sequencia x_n de numeros reais, limitada em R, e pedia o exercicio que se provasse que lim x_n =1. Eles analisaram a sequencia e concluiram, corretamente, que esta, na realidade, era divergente. Um dos estudantes julgou que se deveria escrever que o enunciado estava errado e que não era possível provar o pedido, simplesmente porque a sequencia nao convergia e, portanto, nao tinha nenhum limite. Jah o outro julgou que, de fato, lim x_n =1 por vacuidade, baseado no seguinte argumento: como lim de x_n nao existe, este limite, por vacuidade, eh igual a qualquer coisa. Logo, ao se provar que x_n diverge, provou-se automaticamente (por vacuidade, eh claro), que lim x_n =1. Reforcou sua argumentacao com a seguinte afirmacao: Se x = lim x_n, entao x =1, a qual, por vacuidade, eh de fato verdadeira (vemos que a contrapositiva Se x eh diferente de 1, entao x nao eh limite de x_n eh verdadeira). Eu estou na duvida, embora me pareca muito artificial aceitar, mesmo por vacuidade, que lim x_n =1 quando x_n diverge. E isso coloca uma outra duvida: Se quisermos negar a afirmacao lim x_n =1, entao eu, de forma natural, diria Ou lim x_n existe e eh diferente de 1, ou este limite nao existe. Mas e acietarmos a vacuidade, a negacao seria simplesmente lim x_n existe e eh difrenete de 1. Realmente estou um tanto confuso, estava mais propenso a concordar com o 1o estudante, mas oa argumentos do outro tambem fazem sentido. Qual a opiniao de voces aqui na lista? Abarcos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html = -- Novo Yahoo! Cadê? http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso+ - Experimente uma nova busca.
Re: [obm-l] Questao de Logica
Só para constar, aprendi que prova por vacuidade é quando não há o que fazer para se prosseguir em determinado ponto. Para ser mais direto, é uma espécie de verdadeiro por falta de provas. Um exemplo é o seguinte problema da Ibero universitária: Um numero inteiro positivo primo e dito superprimo se ocorre o seguinte fenomeno: 1- Escreve-se o numero em uma base arbitraria. Por exemplo, 11 é(1011) na base 2. 2- Permuta-se os seus digitos, arbitrariamente. Por exemplo, do 11 se pode ir até o (1110)=14 Se o numero produzido ao final do processo for composto, para alguma destas escolhas arbitrárias de base e de permutacao, entao o numero nao e superprimo. Caso contrario, ele e superprimo. Determine todos os superprimos. O problema em si é interessante (e divertido!), mas fato é que, por falta de provas, o numero 2 e superprimo, pois é impossível provar o contrário. E essa é a definição de vacuosidade! Mas quando se fala desta questao de prova, acho que é forçar a barra em falar de vacuosidade. De fato nao tem sentido falar de limite de coisas divergentes. Mas aí é uma questão teórica e não prática. Em 17/06/07, Davi de Melo Jorge Barbosa [EMAIL PROTECTED] escreveu: Prova por vacuidade eh o nome dado para uma das formas de provar uma proposicao do tipo A - B. Voce pode provar diretamente (supor que A eh verdade e ir fazendo contas para mostrar que B tambem eh), por contradicao etc... Provar por vacuidade eh quando voce estabelece que A eh falso. Logo, a proposicao A - B eh verdadeira, ou seja, voce provou ela sem utilizar o B (pouco importa se o B eh uma tautologia, uma contradicao ou se depende de outra coisa). Exemplo: Proposicao: Se |X| 0 entao X = 3. Como |X| = 0 para todo X, a afirmacao |X| 0 eh falsa, logo a proposicao eh verdadeira. On 6/15/07, Dênis Emanuel da Costa Vargas [EMAIL PROTECTED] wrote: Caro Artur desculpe a ignorância, mas o que é vacuidade ? abraços Dênis *Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]* escreveu: Alguns estudantes me pediram ajuda numa questao e eu acabei ficando em duvida. Tinham uma sequencia x_n de numeros reais, limitada em R, e pedia o exercicio que se provasse que lim x_n =1. Eles analisaram a sequencia e concluiram, corretamente, que esta, na realidade, era divergente. Um dos estudantes julgou que se deveria escrever que o enunciado estava errado e que não era possível provar o pedido, simplesmente porque a sequencia nao convergia e, portanto, nao tinha nenhum limite. Jah o outro julgou que, de fato, lim x_n =1 por vacuidade, baseado no seguinte argumento: como lim de x_n nao existe, este limite, por vacuidade, eh igual a qualquer coisa. Logo, ao se provar que x_n diverge, provou-se automaticamente (por vacuidade, eh claro), que lim x_n =1. Reforcou sua argumentacao com a seguinte afirmacao: Se x = lim x_n, entao x =1, a qual, por vacuidade, eh de fato verdadeira (vemos que a contrapositiva Se x eh diferente de 1, entao x nao eh limite de x_n eh verdadeira). Eu estou na duvida, embora me pareca muito artificial aceitar, mesmo por vacuidade, que lim x_n =1 quando x_n diverge. E isso coloca uma outra duvida: Se quisermos negar a afirmacao lim x_n =1, entao eu, de forma natural, diria Ou lim x_n existe e eh diferente de 1, ou este limite nao existe. Mas e acietarmos a vacuidade, a negacao seria simplesmente lim x_n existe e eh difrenete de 1. Realmente estou um tanto confuso, estava mais propenso a concordar com o 1o estudante, mas oa argumentos do outro tambem fazem sentido. Qual a opiniao de voces aqui na lista? Abarcos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html = -- Novo Yahoo! Cadê? http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso+ - Experimente uma nova busca. -- Ideas are bulletproof. V
Re: [obm-l] Questao de Logica
Caro Artur desculpe a ignorância, mas o que é vacuidade ? abraços Dênis Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Alguns estudantes me pediram ajuda numa questao e eu acabei ficando em duvida. Tinham uma sequencia x_n de numeros reais, limitada em R, e pedia o exercicio que se provasse que lim x_n =1. Eles analisaram a sequencia e concluiram, corretamente, que esta, na realidade, era divergente. Um dos estudantes julgou que se deveria escrever que o enunciado estava errado e que não era possível provar o pedido, simplesmente porque a sequencia nao convergia e, portanto, nao tinha nenhum limite. Jah o outro julgou que, de fato, lim x_n =1 por vacuidade, baseado no seguinte argumento: como lim de x_n nao existe, este limite, por vacuidade, eh igual a qualquer coisa. Logo, ao se provar que x_n diverge, provou-se automaticamente (por vacuidade, eh claro), que lim x_n =1. Reforcou sua argumentacao com a seguinte afirmacao: Se x = lim x_n, entao x =1, a qual, por vacuidade, eh de fato verdadeira (vemos que a contrapositiva Se x eh diferente de 1, entao x nao eh limite de x_n eh verdadeira). Eu estou na duvida, embora me pareca muito artificial aceitar, mesmo por vacuidade, que lim x_n =1 quando x_n diverge. E isso coloca uma outra duvida: Se quisermos negar a afirmacao lim x_n =1, entao eu, de forma natural, diria Ou lim x_n existe e eh diferente de 1, ou este limite nao existe. Mas e acietarmos a vacuidade, a negacao seria simplesmente lim x_n existe e eh difrenete de 1. Realmente estou um tanto confuso, estava mais propenso a concordar com o 1o estudante, mas oa argumentos do outro tambem fazem sentido. Qual a opiniao de voces aqui na lista? Abarcos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
Re: [obm-l] Questao de Logica
Mas repare que so' podemos dizer que o tal limite e' igual ou diferente de x se ele (o limite) existir. As entidades aqui sao matematicas, e nao figuras de linguagem. Claro que na linguagem comum , e no contexto do dia a dia podemos dizer que algo que nao existe e' obviamente diferente do meu cachorro Rex, que existe. Mas, matematicamente, algo que nao existe nao e' igual nem diferente a qualquer coisa, pois se nao existe, nao pode ser comparado... Exato, bem sacado. O que significa existir em matemática? Note que existir em matemática é diferente de existir no sentido físico ou linguístico. Podemos criar várias lógicas do ponto de vista matemático, todas elas rigorosas (a geometria plana e a eliptica são exemplos de lógicas rigorosas, com axiomas diferentes). Quais delas descrevem o meio físico? A resposta é que apenas a *experiência* pode revelar a realidade. Na época de Galileu e Newton todos achavam que o universo era Euclidiano e que as velocidades e os tempos eram absolutos (as transformações do grupo de Galileu presevavam distâncias e tempos). Mas adiante na história a experiência mostrou que não era bem assim. Que o espaço físico não era euclidiano (era riemanniano), as distâncias e tempos não eram preservados pelas transformações de mudanças de referencial e o grupo de Galileu deveria ser trocado pelo grupo de Lorentz. Mais adiante se verificou que o grupo de Loretz era um subgrupo do grupo de Poincaré, algo ainda mais geral e aplicável do ponto de vista físico ... Quando discutimos matemática, as referências físicas não devem influenciar o raciocínio lógico, pois a matemática é uma ciência pura, em princípio. Por outro lado evidentemente, se algo *não existe* do ponto de vista matemático, também não existirá do ponto de vista físico, pois foram entidades físicas (cérebros humanos, no caso) que produziram a matemática . Nenhuma outra forma de vida conhecida soube fazê-lo. Ronaldo. []'s Rogerio Ponce Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Alguns estudantes me pediram ajuda numa questao e eu acabei ficando em duvida. Tinham uma sequencia x_n de numeros reais, limitada em R, e pedia o exercicio que se provasse que lim x_n =1. Eles analisaram a sequencia e concluiram, corretamente, que esta, na realidade, era divergente. Um dos estudantes julgou que se deveria escrever que o enunciado estava errado e que não era possível provar o pedido, simplesmente porque a sequencia nao convergia e, portanto, nao tinha nenhum limite. Jah o outro julgou que, de fato, lim x_n =1 por vacuidade, baseado no seguinte argumento: como lim de x_n nao existe, este limite, por vacuidade, eh igual a qualquer coisa. Logo, ao se provar que x_n diverge, provou-se automaticamente (por vacuidade, eh claro), que lim x_n =1. Reforcou sua argumentacao com a seguinte afirmacao: Se x = lim x_n, entao x =1, a qual, por vacuidade, eh de fato verdadeira (vemos que a contrapositiva Se x eh diferente de 1, entao x nao eh limite de x_n eh verdadeira). Eu estou na duvida, embora me pareca muito artificial aceitar, mesmo por vacuidade, que lim x_n =1 quando x_n diverge. E isso coloca uma outra duvida: Se quisermos negar a afirmacao lim x_n =1, entao eu, de forma natural, diria Ou lim x_n existe e eh diferente de 1, ou este limite nao existe. Mas e acietarmos a vacuidade, a negacao seria simplesmente lim x_n existe e eh difrenete de 1. Realmente estou um tanto confuso, estava mais propenso a concordar com o 1o estudante, mas oa argumentos do outro tambem fazem sentido. Qual a opiniao de voces aqui na lista? Abarcos Artur = === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === = --- Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
Re: [obm-l] Questao de Logica
Ola Carissimo Prof Nicolau e demais colegas desta lista ... OBM-L, Na Manifestacao abaixo o Prof Nicolau usa a definicao usual de limite de uma sequencia para dirimir uma controversia, a priori, conceitual. Esta atitude e contemporanea e so lentamente foi sendo percebida pelos Matematicos do passado : que eventuais criticas ou fraquezas conceituais fossem respondidas ou abordadas COM BASE NA DEFINICAO MATEMATICA RIGOROSA e nao em consideracoes filosoficas mais ou menos volateis ou subjetivas. No link abaixo, no lado direito da página, ha um bom material neste sentido, inclusive com uma Introducao a Filosofia da Matematica pelo Prof Bertrand Russel : http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/traducoes/ Um Matematico define um objeto conceitual qualquer desde que a definicao seja UTIL e nos permita trabalhar naturalmente com ela. Ele nao define buscando a ESSENCIA ou ESTRUTURA ONTOLOGICA do objeto. Assim, o que devemos entender por LIM Xn e precisamente o que a definicao diz, nada mais e nada menos que isso ! Nos primordios do Calculo Diferencial, o uso intuitivo dos limites baseado no conceito de infinitesimos nao so tornava a nossa ciencia suscetivel a criticas filosoficas, sobretudo do Padre Berkeley, como conduzia a varias conclusoes erradas. A definicao atual, introduzida por Cauchy e chamada DEFINICAO ESTATICA, e adotada nao so porque e operacional e corresponde as nossas expectativas, mas tambem fortemente porque nos livra de muitas das criticas consistentes que aquele Padre fez ... Nos, Matematicos, DEFINIMOS porque a nossa definicao e util e nos permite chegar a resultados interessantes e nao com o objetivo de descrever a ESSENCIA ou ESTRUTURA ONTOLOGICA das coisas ! Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,0422,130607 Em 13/06/07, Nicolau C. Saldanha[EMAIL PROTECTED] escreveu: On Tue, Jun 12, 2007 at 02:55:04PM -0300, Artur Costa Steiner wrote: Alguns estudantes me pediram ajuda numa questao e eu acabei ficando em duvida. Tinham uma sequencia x_n de numeros reais, limitada em R, e pedia o exercicio que se provasse que lim x_n =1. Eles analisaram a sequencia e concluiram, corretamente, que esta, na realidade, era divergente. Um dos estudantes julgou que se deveria escrever que o enunciado estava errado e que não era possível provar o pedido, simplesmente porque a sequencia nao convergia e, portanto, nao tinha nenhum limite. Jah o outro julgou que, de fato, lim x_n =1 por vacuidade, baseado no seguinte argumento: como lim de x_n nao existe, este limite, por vacuidade, eh igual a qualquer coisa. Logo, ao se provar que x_n diverge, provou-se automaticamente (por vacuidade, eh claro), que lim x_n =1. Reforcou sua argumentacao com a seguinte afirmacao: Se x = lim x_n, entao x =1, a qual, por vacuidade, eh de fato verdadeira (vemos que a contrapositiva Se x eh diferente de 1, entao x nao eh limite de x_n eh verdadeira). Eu estou na duvida, embora me pareca muito artificial aceitar, mesmo por vacuidade, que lim x_n =1 quando x_n diverge. E isso coloca uma outra duvida: Se quisermos negar a afirmacao lim x_n =1, entao eu, de forma natural, diria Ou lim x_n existe e eh diferente de 1, ou este limite nao existe. Mas e acietarmos a vacuidade, a negacao seria simplesmente lim x_n existe e eh difrenete de 1. Realmente estou um tanto confuso, estava mais propenso a concordar com o 1o estudante, mas oa argumentos do outro tambem fazem sentido. Qual a opiniao de voces aqui na lista? A definição usual de limite de seqüência é a seguinte: lim x_n = L = Para todo e 0 existe N tq para todo n n N - |x_n - L| e Se você tomar uma seqüência divergente como por exemplo, x_n = (-1)^n então a condição é falsa para todo L, em particular para L = 1. De fato, existe e 0 (por exemplo e = 1) tal que para todo N existe n N (basta tomar n ímpar) para o qual |x_n - L| = e (de fato, |x_n - L| = 2 e = 1). O que o aluno observa é que a frase Para todo L (lim x_n = L - L = 1) é correta. Isto é verdade, mas a frase não é equivalente a lim x_n = 1 (como este exemplo ilustra). Também não é correto dizer que lim x_n = 1 vale por vacuidade. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Questao de Logica
Obrigado! Entao, no caso, a atitude logica eh, de fato, dizer que o enunciado estah equivocado e nao eh possivel provar o que se pede. Eh como se tivessem pedido para provar que existe um real x com x^2 = -1. E a negacao de lim x_n =1 eh, de fato, ou lim x_n existe e eh diferente de 1, ou lim x_n nao existe. OK? Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Nicolau C. Saldanha Enviada em: quarta-feira, 13 de junho de 2007 10:32 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Questao de Logica On Tue, Jun 12, 2007 at 02:55:04PM -0300, Artur Costa Steiner wrote: Alguns estudantes me pediram ajuda numa questao e eu acabei ficando em duvida. Tinham uma sequencia x_n de numeros reais, limitada em R, e pedia o exercicio que se provasse que lim x_n =1. Eles analisaram a sequencia e concluiram, corretamente, que esta, na realidade, era divergente. Um dos estudantes julgou que se deveria escrever que o enunciado estava errado e que não era possível provar o pedido, simplesmente porque a sequencia nao convergia e, portanto, nao tinha nenhum limite. Jah o outro julgou que, de fato, lim x_n =1 por vacuidade, baseado no seguinte argumento: como lim de x_n nao existe, este limite, por vacuidade, eh igual a qualquer coisa. Logo, ao se provar que x_n diverge, provou-se automaticamente (por vacuidade, eh claro), que lim x_n =1. Reforcou sua argumentacao com a seguinte afirmacao: Se x = lim x_n, entao x =1, a qual, por vacuidade, eh de fato verdadeira (vemos que a contrapositiva Se x eh diferente de 1, entao x nao eh limite de x_n eh verdadeira). Eu estou na duvida, embora me pareca muito artificial aceitar, mesmo por vacuidade, que lim x_n =1 quando x_n diverge. E isso coloca uma outra duvida: Se quisermos negar a afirmacao lim x_n =1, entao eu, de forma natural, diria Ou lim x_n existe e eh diferente de 1, ou este limite nao existe. Mas e acietarmos a vacuidade, a negacao seria simplesmente lim x_n existe e eh difrenete de 1. Realmente estou um tanto confuso, estava mais propenso a concordar com o 1o estudante, mas oa argumentos do outro tambem fazem sentido. Qual a opiniao de voces aqui na lista? A definição usual de limite de seqüência é a seguinte: lim x_n = L = Para todo e 0 existe N tq para todo n n N - |x_n - L| e Se você tomar uma seqüência divergente como por exemplo, x_n = (-1)^n então a condição é falsa para todo L, em particular para L = 1. De fato, existe e 0 (por exemplo e = 1) tal que para todo N existe n N (basta tomar n ímpar) para o qual |x_n - L| = e (de fato, |x_n - L| = 2 e = 1). O que o aluno observa é que a frase Para todo L (lim x_n = L - L = 1) é correta. Isto é verdade, mas a frase não é equivalente a lim x_n = 1 (como este exemplo ilustra). Também não é correto dizer que lim x_n = 1 vale por vacuidade. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questao de Logica
Tome por exemplo x_n= (-1)^n , é limitada mas não converge pra 1. na verdade X_n é uma sequencia divergente pois possui 2 subsequencias que convergem pra limites distintos , a saber , 1 e -1. O fato de x_n ser limitada sem uma hipotese adicional e sem conhecer mais detalhes sobre a sequencia é insuficiente pra afirmar que a mesma sequer converge, e convergir pra 1 é mais improvavel ainda. Abs. Rivaldo Ola' Artur, a argumentacao a favor do 2o aluno e', basicamente, considerar-se verdade que ... x nao eh limite de x_n , que, escrito de um modo mais formal, e' exatamente o mesmo que limite de x_n != x Mas repare que so' podemos dizer que o tal limite e' igual ou diferente de x se ele (o limite) existir. As entidades aqui sao matematicas, e nao figuras de linguagem. Claro que na linguagem comum , e no contexto do dia a dia podemos dizer que algo que nao existe e' obviamente diferente do meu cachorro Rex, que existe. Mas, matematicamente, algo que nao existe nao e' igual nem diferente a qualquer coisa, pois se nao existe, nao pode ser comparado... []'s Rogerio Ponce Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Alguns estudantes me pediram ajuda numa questao e eu acabei ficando em duvida. Tinham uma sequencia x_n de numeros reais, limitada em R, e pedia o exercicio que se provasse que lim x_n =1. Eles analisaram a sequencia e concluiram, corretamente, que esta, na realidade, era divergente. Um dos estudantes julgou que se deveria escrever que o enunciado estava errado e que não era possível provar o pedido, simplesmente porque a sequencia nao convergia e, portanto, nao tinha nenhum limite. Jah o outro julgou que, de fato, lim x_n =1 por vacuidade, baseado no seguinte argumento: como lim de x_n nao existe, este limite, por vacuidade, eh igual a qualquer coisa. Logo, ao se provar que x_n diverge, provou-se automaticamente (por vacuidade, eh claro), que lim x_n =1. Reforcou sua argumentacao com a seguinte afirmacao: Se x = lim x_n, entao x =1, a qual, por vacuidade, eh de fato verdadeira (vemos que a contrapositiva Se x eh diferente de 1, entao x nao eh limite de x_n eh verdadeira). Eu estou na duvida, embora me pareca muito artificial aceitar, mesmo por vacuidade, que lim x_n =1 quando x_n diverge. E isso coloca uma outra duvida: Se quisermos negar a afirmacao lim x_n =1, entao eu, de forma natural, diria Ou lim x_n existe e eh diferente de 1, ou este limite nao existe. Mas e acietarmos a vacuidade, a negacao seria simplesmente lim x_n existe e eh difrenete de 1. Realmente estou um tanto confuso, estava mais propenso a concordar com o 1o estudante, mas oa argumentos do outro tambem fazem sentido. Qual a opiniao de voces aqui na lista? Abarcos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questao de Logica
Oi Artur, qual era a sequencia? Ou os argumentos independem da sequencia? Isso não pode acontecer, pois se uma sequencia em x converge então o limite deve ser único em espaços completos. Acho o seu argumento o mais plausível: Ou lim x_n existe e eh diferente de 1, ou este limite nao existe. Provavelmente o argumento do estudante é equivalente a esse, embora não seja tão trivial enxergar isso do ponto de vista lógico. Acho que é preciso examinar os detalhes dos argumentos para ver o que está não-conforme nos argumentos dele. []s Ronaldo. Artur Costa Steiner wrote: Alguns estudantes me pediram ajuda numa questao e eu acabei ficando em duvida. Tinham uma sequencia x_n de numeros reais, limitada em R, e pedia o exercicio que se provasse que lim x_n =1. Eles analisaram a sequencia e concluiram, corretamente, que esta, na realidade, era divergente. Um dos estudantes julgou que se deveria escrever que o enunciado estava errado e que não era possível provar o pedido, simplesmente porque a sequencia nao convergia e, portanto, nao tinha nenhum limite. Jah o outro julgou que, de fato, lim x_n =1 por vacuidade, baseado no seguinte argumento: como lim de x_n nao existe, este limite, por vacuidade, eh igual a qualquer coisa. Logo, ao se provar que x_n diverge, provou-se automaticamente (por vacuidade, eh claro), que lim x_n =1. Reforcou sua argumentacao Eu estou na duvida, embora me pareca muito artificial aceitar, mesmo por vacuidade, que lim x_n =1 quando x_n diverge. E isso coloca uma outra duvida: Se quisermos negar a afirmacao lim x_n =1, entao eu, de forma natural, diria Ou lim x_n existe e eh diferente de 1, ou este limite nao existe. Mas e acietarmos a vacuidade, a negacao seria simplesmente lim x_n existe e eh difrenete de 1. Realmente estou um tanto confuso, estava mais propenso a concordar com o 1o estudante, mas oa argumentos do outro Abarcos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questao de Logica
Ola' Artur, a argumentacao a favor do 2o aluno e', basicamente, considerar-se verdade que ... x nao eh limite de x_n , que, escrito de um modo mais formal, e' exatamente o mesmo que limite de x_n != x Mas repare que so' podemos dizer que o tal limite e' igual ou diferente de x se ele (o limite) existir. As entidades aqui sao matematicas, e nao figuras de linguagem. Claro que na linguagem comum , e no contexto do dia a dia podemos dizer que algo que nao existe e' obviamente diferente do meu cachorro Rex, que existe. Mas, matematicamente, algo que nao existe nao e' igual nem diferente a qualquer coisa, pois se nao existe, nao pode ser comparado... []'s Rogerio Ponce Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Alguns estudantes me pediram ajuda numa questao e eu acabei ficando em duvida. Tinham uma sequencia x_n de numeros reais, limitada em R, e pedia o exercicio que se provasse que lim x_n =1. Eles analisaram a sequencia e concluiram, corretamente, que esta, na realidade, era divergente. Um dos estudantes julgou que se deveria escrever que o enunciado estava errado e que não era possível provar o pedido, simplesmente porque a sequencia nao convergia e, portanto, nao tinha nenhum limite. Jah o outro julgou que, de fato, lim x_n =1 por vacuidade, baseado no seguinte argumento: como lim de x_n nao existe, este limite, por vacuidade, eh igual a qualquer coisa. Logo, ao se provar que x_n diverge, provou-se automaticamente (por vacuidade, eh claro), que lim x_n =1. Reforcou sua argumentacao com a seguinte afirmacao: Se x = lim x_n, entao x =1, a qual, por vacuidade, eh de fato verdadeira (vemos que a contrapositiva Se x eh diferente de 1, entao x nao eh limite de x_n eh verdadeira). Eu estou na duvida, embora me pareca muito artificial aceitar, mesmo por vacuidade, que lim x_n =1 quando x_n diverge. E isso coloca uma outra duvida: Se quisermos negar a afirmacao lim x_n =1, entao eu, de forma natural, diria Ou lim x_n existe e eh diferente de 1, ou este limite nao existe. Mas e acietarmos a vacuidade, a negacao seria simplesmente lim x_n existe e eh difrenete de 1. Realmente estou um tanto confuso, estava mais propenso a concordar com o 1o estudante, mas oa argumentos do outro tambem fazem sentido. Qual a opiniao de voces aqui na lista? Abarcos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
[obm-l] Questao de triangulo (era: Ajuda URGENTE)
On Mon, Jan 22, 2007 at 04:34:36PM -0200, Marcelo Costa wrote: Em um triângulo ABC, tem-se que os ângulos ABC = ACB = 80º. Se P é um ponto sobre o lado AB tal que AP = BC, a medida do ângulo BPC é igual a: Trace um angulo de 20 graus com vertice A (em verde) e um ponto P qualquer em um dos lados do angulo. Use um compasso para obter segmentos PQ, QR, RC e CB (em vermelho), todos de mesmo comprimento, conforme a figura. Como APQ eh isosceles, AQP = QAP = 20 donde RPQ = 40. Como PQR eh isosceles, PRQ = RPQ = 40 donde CQR = 60. Como QRC eh isosceles, QCR = CQR = 60 donde BRC = 80. Como RCB eh isosceles, RBC = BRC = 80 donde temos a figura do enunciado. O triangulo CQP tambem eh isosceles. Como CQP = 160 temos QCP = CPQ = 10 donde BPC = 30. Note que a construcao eh toda especial para estes valores dos angulos. Se voce trocar no enunciado 80 por outro numero o problema fica impossivel de resolver com geometria elementar. A versao mais conhecida deste problema eh possivelmente a seguinte (as letras nao sao compativeis): Seja ABC um triângulo isósceles, de ângulo principal A = 20◦graus. Considere os pontos P e Q nos lados AB e AC, respectivamente, tais que BCP = 50◦graus e CBQ = 60◦graus. Encontre o valor do ângulo∠BQP. Este problema ja foi amplamente discutido, veja por exemplo a mensagem abaixo: http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg35068.html Um triangulo como este onde todos os angulos sao inteiros (em graus) eh chamado de triangulo adventicio. Jah se falou muito sobre este assunto na lista, procure nos arquivos. []s, N. 80.gif Description: GIF image
Re: [obm-l] QUESTAO
achei 10cm. - Original Message - From: arkon To: obm-l Sent: Thursday, January 18, 2007 10:29 AM Subject: [obm-l] QUESTAO Olá, pessoal. Fiquei na dúvida no resultado desta questão. Alguém poderia me dizer o resultado, por favor? Um copo cilindro tem 6 cm de altura e tem uma circunferência da base medindo 16 cm. Um inseto está do lado de fora do copo, a 1 cm do topo, enquanto, do lado de dentro, a 5 cm do topo, está uma gota de mel. A gota e o inseto encontram-se em geratrizes do cilindro que são simétricas em relação ao eixo do cilindro. A menor distância que o inseto deve andar para atingir a gota de mel é: |
[obm-l] QUESTAO
Olá, pessoal. Fiquei na dúvida no resultado desta questão. Alguém poderia me dizer o resultado, por favor? Um copo cilindro tem 6 cm de altura e tem uma circunferência da base medindo 16 cm. Um inseto está do lado de fora do copo, a 1 cm do topo, enquanto, do lado de dentro, a 5 cm do topo, está uma gota de mel. A gota e o inseto encontram-se em geratrizes do cilindro que são simétricas em relação ao eixo do cilindro. A menor distância que o inseto deve andar para atingir a gota de mel é: |
Re: [obm-l] Questao 2 da OBM-U 2006
Bem, apenas uma opinião sobre esta questão: A primeira parte (provar que basta considerar as potências de primo) é uma adaptação do Teorema Chinês dos Restos. Eu particularmente resolvi este problemna puramente na raça, sem usar nada além de teoria dos números. Mas após ler a mensagem no Mathlinks, fiquei curioso numa coisa: --O que é o Lema de Hensel e como ele pode ajudar nesta questão? claudio.buffara wrote: Seja R um anel comutativo com 1. Seja SL(R) o grupo das matrizes 2x2 com entradas em R e determinante igual a 1 . O problema pede que se calcule |SL(Z_n)|, com n inteiro = 2. A ideia eh provar que se m e n sao inteiros positivos primos entre si, entao: |SL(Z_mn)| = |SL(Z_m)||SL(Z_n)|. Sejam as funcoes: g:SL(Z) - SL(Z_mn) e h:SL(Z) - SL(Z_m) x SL(Z_n) dados por: g(X) = X mod mn e h(X) = (X mod m,X mod n) (ou seja, cada entrada de g(X) eh igual a entrada de X reduzida mod mn. Definicao analoga para cada componente de h(X)). Eh facil ver que g e h sao homomorfismos. Basta notar que, para todo n em N: i) se det(X) = 1, entao det(X) == 1 (mod n), e ii) XY mod n = (X mod n)(Y mod n). g eh claramente sobrejetor. h tambem eh, pois dadas A em SL(Z_m) e B em SL(Z_n), o TCR garante a existencia de X em SL(Z) tal que: X mod m = A e X mod n = B. X pertence a ker(h) == h(X) = (I,I) == X mod m = I e X mod n = I == X(1,1) == X(2,2) == 1 (mod m); X(1,2) == X(2,1) == 0 (mod m); X(1,1) == X(2,2) == 1 (mod n); X(1,2) == X(2,1) == 0 (mod n) == X(1,1) == X(2,2) == 1 (mod mn); X(1,2) == X(2,1) == 0 (mod mn) == X mod mn = I == g(X) = I == X pertence a ker(g). Logo, ker(g) = Ker(h). O teorema dos isomorfismos diz entao que: SL(Z_mn) ~ SL(Z)/ker(g) = SL(Z)/ker(h) ~ SL(Z_m) x SL(Z_n). Em particular, |SL(Z_mn)| = |SL(Z_m)||SL(Z_n)|. *** A seguir, vamos calcular o valor de |SL(Z_(p^k))|, onde p eh primo e k eh inteiro positivo. k = 1: Sabemos que |SL(Z_p)| = |GL(Z_p)|/|Z_p*| = (p^2-1)(p^2-p)/(p-1) == |SL(Z_p)| = p^3 - p = p^3(1 - 1/p^2). Hipotese de inducao: Para k = 1, |SL(Z_(p^k))| = p^(3k)(1 - 1/p^2) Seja a funcao f:SL(Z_p^(k+1)) - SL(Z_p^k) dada por g(X) = X mod p^k. (ou seja, cada entrada de g(X) eh igual a entrada correspondente de X reduzida mod p^k) Eh facil ver que f eh um homomorfismo sobrejetor. X pertence a Ker(f) == f(X) = matriz identidade em SL(Z_p^k) == X mod p^k = I == X = I + p^kM. onde M = matriz 2x2 com entradas em Z_p e tal que: det(X) = det(I + p^kM) == 1 (mod p^(k+1)). X(i,j) = I(i,j) + p^kM(i,j), 1 = i, j = 2 == det(X) == X(1,1)X(2,2) - X(1,2)X(2,1) == (1 + p^kM(1,1))(1 + p^kM(2,2)) - (0 + p^kM(1,2))(0 + p^kM(2,1)) == 1 + p^k(M(1,1) + M(2,2)) + p^(2k)(M(1,1)M(2,2) - M(1,2)M(2,1)) == 1 + p^k(M(1,1) + M(2,2)) == 1 (mod p^(k+1)) (pois k+1 = 2k e, portanto, p^(k+1) | p^(2k) ) == M(1,1) + M(2,2) == 0 (mod p) M(1,2) e M(2,1) podem ser escolhidas arbitrariamente em Z_p. Uma vez que M(2,2) == -M(1,1) (mod p), a escolha de M(1,1) fixa automaticamente o valor de M(2,2). Logo, M pode ser escolhida de p^3 maneiras distintas == |ker(f)| = p^3 == |SL(Z_p^(k+1))| = |ker(f)||SL(Z_p^k)| = p^3p^(3k)(1 - 1/p^2) = p^(3(k+1))(1 - 1/p^2). *** De posse das identidades: |SL(Z_mn)| = |SL(Z_m)||SL(Z_n)| se mdc(m,n) = 1 e |SL(Z_(p^k))| = p^(3k)(1 - 1/p^2), concluimos que se n = Produto(i=1...r) p_i^x_i, onde os p_i's sao primos distintos e os x_i's inteiros nao negativos, entao: |SL(Z_n)| = Produto(i=1...r) |SL(Z_p_i^x_i)| = Produto(i=1..r) p_i^(3x_i)(1 - 1/p_i^2) = Produto(i=1...r) (p_i^x_i)^3 * Produto(i=1...r) (1 - 1/p_i^2) = n^3*Produto(p|n;p primo) (1 - 1/p^2). []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Questao 3 da OBM-U 2006
Continuação da questão 3 da obm-u: Se a bola partir de algum outro ponto da elipse na direção de uma reta tangente ao círculo inscrito em ABC, então a nova órbita também será um triângulo? *** Problema correlato: Numa mesa de bilhar elíptica em que ângulo de incidência = ângulo de reflexão, prove que: 1) se a bola parte de qualquer ponto da elipse e passa por um dos focos, então: a) entre duas rebatidas consecutivas, a bola sempre passará por um dos focos da elipse e alternará focos a cada rebatida; b) a trajetória da bola converge para o eixo maior da elipse. 2) se, entre as duas primeiras rebatidas consecutivas, a bola não intersectar o segmento que liga os focos F e F' da elipse, então a trajetória da bola jamais intersectará este segmento e, além disso, todos os segmentos da trajetória serão tangentes a uma elipse fixa com focos F e F'. 3) se, entre as duas primeiras rebatidas consecutivas, a bola intersectar o segmento que liga os focos F e F' da elipse, então cada segmento da trajetória da bola intersectará este segmento e será tangente a uma hipérbole, além disso, todos os segmentos da trajetória serão tangentes a uma hipérbole fixa com focos F e F'. 4) No item (3) podemos ter uma órbita de período 3, tal como a situação descrita na questão da obm-u (ou seja, onde a bola fica percorrendo um triângulo fixo)? *** E pra não perder a viagem, aqui vai outro bem bonitinho: Dados o triângulo ABC (qualquer) e uma reta que intersecta AB em D, AC em E e o prolongamento de BC em F, prove que: |DB| + |DE| = |CB| + |CE| se e somente se |AB| + |AE| = |FB| + |FE|. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Tue, 21 Nov 2006 12:53:49 -0300 Assunto:[obm-l] Questao 3 da OBM-U 2006 Esse eh o problema do bilhar eliptico (que eu nao teria resolvido sem a dica das isogonais no site do majorando). Dado o triangulo ABC, inscrito numa elipse, temos que provar que se as bissetrizes internas de B e C sao normais a elipse, entao a bissetriz interna de A tambem serah normal a elipse. Sejam F e F' os focos da elipse e I o incentro de ABC == AI, BI e CI sao bissetrizes de CAB, ABC e BCA, respectivamente. Pela propriedade de reflexao na elipse, temos: BI e CI sao bissetrizes internas dos angulos FBF' e FCF', respectivamente. Logo, FBA = F'BC e FCB = F'CA == F e F' sao conjugados isogonais em relacao ao triangulo ABC == BAF = CAF'. Como AI e bissetriz de BAC, concluimos que AI eh bissetriz de FAF' == AI eh normal a elipse.
Re: [obm-l] Questao 4 da OBM-U 2006
De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Wed, 22 Nov 2006 00:57:24 -0200 Assunto:Re: [obm-l] Questao 4 da OBM-U 2006 Outro modo de pensar: A idéia é que polinomios com raizes (todas elas) em pares de produto 1 deve ser simétrico. Ou seja, p(x)=x^np(1/x) *** De fato, o enunciado fala apenas num par de raízes com produto 1. Mas isso não afeta o resto do seu raciocínio. p é o polinomio minimal de r, fato consumado. Se o grau do polinomio p é n, temos que X^n * p(1/X) tem grau n e zera em r. Logo p(X) divide X^n * p(1/X), o que significa que os polinomios diferem pelo produto de uma constante. *** Essa observação elementar de fato simplifica bastante a solução e evita todo aquele algebrismo com os coeficientes. Gostei! Como os dois polinomios sao iguais quando X=1, entao os dois polinomios sao iguais. Entao temos o fato X^n * p(1/X) =p(x). Se n fosse ímpar, temos (-1)^n * p(-1) =p(-1) e assim -1 é raiz do polinomio, impossível pois o polinômio é irredutível. P.S.: O problema nao usa todo o poder do fato de o polinomio ser irredutível, apenas o de nao ter raiz (-1) *** Também usa o fato de que o termo independente de um polinômio irredutível é não-nulo. Caso contrário, x^n*p(1/x) teria grau n e o seu argumento não funcionaria. []s, Claudio.
Re: [obm-l] Questao 3 da OBM-U 2006
O teorema que eu usei eh uma generalizacao do resultado que diz que as bissetrizes internas de um triangulo sao concorrentes. O enunciado eh o seguinte: Num triangulo ABC, tome pontos A' e A'' em BC, B' e B'' em AC, C' e C'' em AB, de modo que: CBB' = ABB'' e ACC' = BCC'' (igualdades de angulos). Sejam: P = BB' inter CC' e Q = BB'' inter CC''. Entao, AA' contem P e AA'' contem Q se e somente se BAA' = CAA''. Quando A' = A'', B' = B'' e C' = C'', obtemos o resultado sobre a bissetrizes internas (nesse caso, P = Q = incentro de ABC). Proponho aqui o problema de demonstrar esse teorema. Outro problema legal eh provar que o circuncentro e o ortocentro de um triangulo qualquer sao conjugados isogonais. Bem, este teorema é decorrência direta de Ceva Trigonométrico (ou Ceva dos Senos) Se ABC é um triangulo X esta em BC Y esta em CA Z esta em AB entao sen(ABX)/sen(XBC) * sen(BCY)/sen(YCA) * sen(CAZ)/sen(ZAB) = 1 E a segunda par te e imediata.
Re: [obm-l] Questao 4 da OBM-U 2006
Outro modo de pensar:
A idéia é que polinomios com raizes (todas elas) em pares de produto 1 deve
ser simétrico. Ou seja, p(x)=x^np(1/x)
p é o polinomio minimal de r, fato consumado.
Se o grau do polinomio p é n, temos que X^n * p(1/X) tem grau n e zera em r.
Logo p(X) divide X^n * p(1/X), o que significa que os polinomios diferem
pelo produto de uma constante. Como os dois polinomios sao iguais quando
X=1, entao os dois polinomios sao iguais.
Entao temos o fato
X^n * p(1/X) =p(x).
Se n fosse ímpar, temos
(-1)^n * p(-1) =p(-1)
e assim -1 é raiz do polinomio, impossível pois o polinômio é irredutível.
P.S.: O problema nao usa todo o poder do fato de o polinomio ser
irredutível, apenas o de nao ter raiz (-1)
Em 21/11/06, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Como p é irredutível e tem grau 1, r e s (=1/r) são irracionais e, além
disso, p(x) é o polinômio mínimo de r, ou seja, é o polinômio de menor grau
em Q[x] que tem r como raíz (p(x) também é o polinômio mínimo de 1/r).
Seja p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n, com a_n 0
Como p é irredutível, a_0 0.
Suponhamos que n = grau(p) seja ímpar == n = 2m+1, com m em N.
r e 1/r são raízes de p(x) ==
p(r) = a_0 + a_1r + a_2r^2 + ... + a_nr^n = 0
e
r^n*p(1/r) = a_0r^n + a_1r^(n-1) + a_2r^(n-2) + ... + a_n = 0
Sejam:
f(x) = (p(x) + x^n*p(1/x))/(1+x)
e
g(x) = (p(x) - x^n*p(1/x))/(1-x).
Então, f(x) =
(a_0 + a_n)*(1 + x^n)/(1 + x) +
(a_1 + a_(n-1))*(x + x^(n-1))/(1 + x) +
...
(a_m + a_(m+1))*(x^m + x^(m+1))/(1 + x) =
(a_0 + a_n)*(1 - x + x^2 - ... + x^(n-1)) +
(a_1 + a_(n-1))*(x - x^2 + x^3 - ... + x^(n-2)) +
...
(a_m + a_(m+1))*x^m.
(repare que podemos escrever f(x) desta forma justamente porque estamos
supondo que n é ímpar e, portanto, que existe um número par (n+1) de
coeficientes a_k, os quais podem ser agrupados em pares da forma:
{a_k,a_(n-k)}).
Analogamente, obtemos que g(x) =
(a_0 - a_n)*(1 + x + x^2 + ... + x^(n-1)) +
(a_1 - a_(n-1))*(x + x^2 + x^3 + ... + x^(n-2)) +
...
(a_m - a_(m+1))*x^m
É fácil ver que f(x) e g(x) pertencem a Q[x].
Além disso, não podem ser ambos identicamente nulos pois, se esse fosse o
caso, então p(x) = ((1+x)*f(x) + (1-x)*g(x))/2 seria identicamente nulo, o
que é impossível.
Logo, pelo menos um deles será um polinômio não-nulo de grau = n-1.
No entanto, como f(r) = g(r) = 0, somos forçados a concluir que r é raiz
de um polinômio não-nulo de grau = n-1, o que contradiz o fato de p(x) ser
o polinômio mínimo de r.
Essa contradição mostra que grau(p) não pode ser ímpar.
[]s,
Claudio.
--
Ideas are bulletproof.
V
[obm-l] Questao 2 da OBM-U 2006
Seja R um anel comutativo com 1. Seja SL(R) o grupo das matrizes 2x2 com entradas em R e determinante igual a 1 . O problema pede que se calcule |SL(Z_n)|, com n inteiro = 2. A ideia eh provar que se m e n sao inteiros positivos primos entre si, entao: |SL(Z_mn)| = |SL(Z_m)||SL(Z_n)|. Sejam as funcoes: g:SL(Z) - SL(Z_mn) e h:SL(Z) - SL(Z_m) x SL(Z_n) dados por: g(X) = X mod mn e h(X) = (X mod m,X mod n) (ou seja, cada entrada de g(X) eh igual a entrada de X reduzida mod mn. Definicao analoga para cada componente de h(X)). Eh facil ver que g e h sao homomorfismos. Basta notar que, para todo n em N: i) se det(X) = 1, entao det(X) == 1 (mod n), e ii) XY mod n = (X mod n)(Y mod n). g eh claramente sobrejetor. h tambem eh, pois dadas A em SL(Z_m) e B em SL(Z_n), o TCR garante a existencia de X em SL(Z) tal que: X mod m = A e X mod n = B. X pertence a ker(h) == h(X) = (I,I) == X mod m = I e X mod n = I == X(1,1) == X(2,2) == 1 (mod m); X(1,2) == X(2,1) == 0 (mod m); X(1,1) == X(2,2) == 1 (mod n); X(1,2) == X(2,1) == 0 (mod n) == X(1,1) == X(2,2) == 1 (mod mn); X(1,2) == X(2,1) == 0 (mod mn) == X mod mn = I == g(X) = I == X pertence a ker(g). Logo, ker(g) = Ker(h). O teorema dos isomorfismos diz entao que: SL(Z_mn) ~ SL(Z)/ker(g) = SL(Z)/ker(h) ~ SL(Z_m) x SL(Z_n). Em particular, |SL(Z_mn)| = |SL(Z_m)||SL(Z_n)|. *** A seguir, vamos calcular o valor de |SL(Z_(p^k))|, onde p eh primo e k eh inteiro positivo. k = 1: Sabemos que |SL(Z_p)| = |GL(Z_p)|/|Z_p*| = (p^2-1)(p^2-p)/(p-1) == |SL(Z_p)| = p^3 - p = p^3(1 - 1/p^2). Hipotese de inducao: Para k = 1, |SL(Z_(p^k))| = p^(3k)(1 - 1/p^2) Seja a funcao f:SL(Z_p^(k+1)) - SL(Z_p^k) dada por g(X) = X mod p^k. (ou seja, cada entrada de g(X) eh igual a entrada correspondente de X reduzida mod p^k) Eh facil ver que f eh um homomorfismo sobrejetor. X pertence a Ker(f) == f(X) = matriz identidade em SL(Z_p^k) == X mod p^k = I == X = I + p^kM. onde M = matriz 2x2 com entradas em Z_p e tal que: det(X) = det(I + p^kM) == 1 (mod p^(k+1)). X(i,j) = I(i,j) + p^kM(i,j), 1 = i, j = 2 == det(X) == X(1,1)X(2,2) - X(1,2)X(2,1) == (1 + p^kM(1,1))(1 + p^kM(2,2)) - (0 + p^kM(1,2))(0 + p^kM(2,1)) == 1 + p^k(M(1,1) + M(2,2)) + p^(2k)(M(1,1)M(2,2) - M(1,2)M(2,1)) == 1 + p^k(M(1,1) + M(2,2)) == 1 (mod p^(k+1)) (pois k+1 = 2k e, portanto, p^(k+1) | p^(2k) ) == M(1,1) + M(2,2) == 0 (mod p) M(1,2) e M(2,1) podem ser escolhidas arbitrariamente em Z_p. Uma vez que M(2,2) == -M(1,1) (mod p), a escolha de M(1,1) fixa automaticamente o valor de M(2,2). Logo, M pode ser escolhida de p^3 maneiras distintas == |ker(f)| = p^3 == |SL(Z_p^(k+1))| = |ker(f)||SL(Z_p^k)| = p^3p^(3k)(1 - 1/p^2) = p^(3(k+1))(1 - 1/p^2). *** De posse das identidades: |SL(Z_mn)| = |SL(Z_m)||SL(Z_n)| se mdc(m,n) = 1 e |SL(Z_(p^k))| = p^(3k)(1 - 1/p^2), concluimos que se n = Produto(i=1...r) p_i^x_i, onde os p_i's sao primos distintos e os x_i's inteiros nao negativos, entao: |SL(Z_n)| = Produto(i=1...r) |SL(Z_p_i^x_i)| = Produto(i=1..r) p_i^(3x_i)(1 - 1/p_i^2) = Produto(i=1...r) (p_i^x_i)^3 * Produto(i=1...r) (1 - 1/p_i^2) = n^3*Produto(p|n;p primo) (1 - 1/p^2). []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Questao de logaritmo
Se a e b são números positivos , com b diferente de 0, então [ b.(log a ) ] / (log b ) é igual a: (a)a (b) b (c)a + b (d) a b (e)a . b Obs: log x representa o logaritmo de x na base 10 Acho que deve haver algum erro nessa questão - Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
Re: [obm-l] Questao de logaritmo
Olá, parece ter problemas sim.. se b = 1, temos que log b = 0, e teremos divisao por 0... outra coisa, se b != 0 e b != 1, entao, se a = 1, temos que a expressao é igual a 0... fato que não condiz com nenhuma das opcoes.. da uma conferida na questao ai.. abraços, Salhab - Original Message - From: Robÿe9rio Alves To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, November 14, 2006 10:56 PM Subject: [obm-l] Questao de logaritmo Se a e b são números positivos , com b diferente de 0, então [ b.(log a ) ] / (log b ) é igual a: (a)a (b) b (c)a + b (d) a - b (e)a . b Obs: log x representa o logaritmo de x na base 10 Acho que deve haver algum erro nessa questão -- Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.409 / Virus Database: 268.14.5/534 - Release Date: 14/11/2006
Re: [obm-l] questao boa de trigo.
Olá, chame S = P'/P = cotgx + 2 . cotg(2x) + ... + 2^n . cotg(2^nx) S - 2S = cotgx + 2 [ cotg(2x) - cotgx ] + 4 [ cotg(4x) - cotg(2x) ] + ... + 2^n [ cotg(2^nx) - cotg(2^(n-1)x) ] - 2^(n+1) . cotg(2^nx) cotg(ax) - cotg(ax/2) = cos(ax)/sen(ax) - cos(ax/2)/sen(ax/2) = [cos(ax) - 2(cos(ax/2))^2]/sen(ax) = (-1)/sen(ax) = -1/sen(ax) logo: S - 2S = cotgx - 2/sen(2x) - 4/sen(4x) - 8/sen(8x)- ...- 2^n/sen(2^nx) - 2^(n+1) . cotg(2^nx) -S = cotgx - 2/sen(2x) - 4/sen(4x) - 8/sen(8x) - ... - 2^n/sen(2^nx) - 2^(n+1) . cotg(2^nx) S = -cotgx+ 2/sen(2x)+ 4/sen(4x)+ 8/sen(8x)+ ...+ 2^n/sen(2^nx)+ 2^(n+1) . cotg(2^nx) agora, quanto vale Sum(i = 1 até n, a/sen(ax)) ? hehe parece q to travando toda hora :P abraços, Salhab - Original Message - From: Marcelo Salhab Brogliato To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, September 14, 2006 8:18 PM Subject: Re: [obm-l] questao boa de trigo. Ae Vinicius, tudo bem? P= senx . sen2x . sen4x. sen8x ... sen2^nx P' = dP/dx = cosx . sen2x . sen4x ... sen2^nx + 2 . senx . cos2x . sen4x ... sen2^nx + ... + 2^n . senx . sen2x . sen4x . sen8x ... cos2^nx P'/P = cosx / senx + 2 cos2x / sen2x + ... + 2^n . cos2^nx / sen2^nx P'/P = cotgx + 2 .cotg(2x) + ... + 2^n . cotg(2^nx) d(lnP)/dx = P'/P integrando, temos: lnP = ln(senx) + ln(sen2x) + ... + ln sen(2^nx) + c P = k. senx . sen2x . sen4x ... sen2^nx usando um valor conhecido, temos que k = 1.. logo, voltei de onde comecei! hehehe dps eu tento denovo! vou estudar q tenho prova amanha.. abraços Salhab - Original Message - From: vinicius aleixo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, September 13, 2006 10:42 PM Subject: [obm-l] questao boa de trigo. qt vale: Senx . sen2x . sen4x . sen8x sen2^nx flw! Vinicius Meireles Aleixo O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir! No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.12.4/448 - Release Date: 14/9/2006 No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.12.4/448 - Release Date: 14/9/2006
Re: [obm-l] questao boa de trigo.
Fala Salhab..poiseh cara..eh legal essa sua saida por calculo, eu naum tinha pensado nesse caminho, mas o exercicio eh bem dificil msm.. seria uma boa questao 10 para o ime..heheabracao flw! Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
RES: [obm-l] questao boa de trigo.
Tou endoidando aqui e não consegui nada.. somente uma coisa bem feia, entao acho que errei em alguma passagem: [cos(2^(n+1))x.(tgx)^n.2^(n.(n+1)/2)]/cosx Alguém ajuda ai, pq todo mundo que respondeu, respondeu pensando que é a cosx.cos2x...cos2^nx onde multiplicamos por senx/senx e sai transformando. Tou penando nessa questão. Agradeceria se alguém ajudasse De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em nome de vinicius aleixo Enviada em: quarta-feira, 13 de setembro de 2006 22:43 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] questao boa de trigo. qt vale: Senx . sen2x . sen4x . sen8x sen2^nx flw! Vinicius Meireles Aleixo O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
RE: [obm-l] questao boa de trigo.
Bem , a solução que eu conheço envolve complexos: use a fórmula de euler para descobrir que sen x = (e^xi - e^-xi)/2 e use isto em sen x . sen 2x ... sen 2^n x Fale que isso é igual a S . Multiplique S por e^ix + e^-xi e e desenvolva isso em uma coisa mais simples. Depois, dividindo por e^xi + e^-xi , descubra finalmente S. Abraços. From:vinicius aleixo [EMAIL PROTECTED]Reply-To:obm-l@mat.puc-rio.brTo:obm-l@mat.puc-rio.brSubject:[obm-l] questao boa de trigo.Date:Wed, 13 Sep 2006 22:42:30 -0300 (ART) qt vale: Senx . sen2x . sen4x . sen8x sen2^nx flw! Vinicius Meireles Aleixo O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir! Mande Torpedos Messenger do computador para o celular Clique aqui e descubra como! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] questao boa de trigo.
Bem , a solução que eu conheço envolve complexos: use a fórmula de euler para descobrir que sen x = (e^xi - e^-xi)/2 e use isto em sen x . sen 2x ... sen 2^n x Fale que isso é igual a S . Multiplique S por e^ix + e^-xi e e desenvolva isso em uma coisa mais simples. Depois, dividindo por e^xi + e^-xi , descubra finalmente S.cara,acho q eu naum entendi..olha soh, pelo q entendi vc pensou nisso: (a+b)(a2+b2)(a4+b4) certo? aih eh facil msm.. mas no caso acima aparecem diferencas..se tiver como explicar melhor ficaria gratoflw! Você quer respostas para suas perguntas? Ou você sabe muito e quer compartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostas!
Re: [obm-l] questao boa de trigo.
Ae Vinicius, tudo bem? P= senx . sen2x . sen4x. sen8x ... sen2^nx P' = dP/dx = cosx . sen2x . sen4x ... sen2^nx + 2 . senx . cos2x . sen4x ... sen2^nx + ... + 2^n . senx . sen2x . sen4x . sen8x ... cos2^nx P'/P = cosx / senx + 2 cos2x / sen2x + ... + 2^n . cos2^nx / sen2^nx P'/P = cotgx + 2 .cotg(2x) + ... + 2^n . cotg(2^nx) d(lnP)/dx = P'/P integrando, temos: lnP = ln(senx) + ln(sen2x) + ... + ln sen(2^nx) + c P = k. senx . sen2x . sen4x ... sen2^nx usando um valor conhecido, temos que k = 1.. logo, voltei de onde comecei! hehehe dps eu tento denovo! vou estudar q tenho prova amanha.. abraços Salhab - Original Message - From: vinicius aleixo To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, September 13, 2006 10:42 PM Subject: [obm-l] questao boa de trigo. qt vale: Senx . sen2x . sen4x . sen8x sen2^nx flw! Vinicius Meireles Aleixo O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir! No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.12.4/448 - Release Date: 14/9/2006
[obm-l] questao boa de trigo.
qt vale:Senx . sen2x . sen4x . sen8x sen2^nxflw!Vinicius Meireles Aleixo O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
Re: [obm-l] questao boa de trigo.
Esta é clássica, Vinicius: Observando que sen 2a = 2 sen a cos a, multiplique em cima e embaixo por cos x...:-) Complete o desencvolvimento... Abraços, nehab At 22:42 13/9/2006, you wrote: qt vale: Senx . sen2x . sen4x . sen8x sen2^nx flw! Vinicius Meireles Aleixo O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
Re: [obm-l] questao boa de trigo.
A pressa é inimiga até da imperfeição. Desculpe a asneira da resposta... Nehab At 00:30 14/9/2006, you wrote: Esta é clássica, Vinicius: Observando que sen 2a = 2 sen a cos a, multiplique em cima e embaixo por cos x...:-) Complete o desencvolvimento... Abraços, nehab At 22:42 13/9/2006, you wrote: qt vale: Senx . sen2x . sen4x . sen8x sen2^nx flw! Vinicius Meireles Aleixo O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
Re: [obm-l] Questao de Triangulo
Satisfaz sim! É exatamenteo tipo desolução que eu procurava, com retas mágicas e tudo. Maravilha!
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
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obm-l@mat.puc-rio.br
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Data:
Wed, 23 Aug 2006 16:05:48 -0300 (ART)
Assunto:
Re: [obm-l] Questao de TrianguloOla' pessoal,essa solucao aqui nao satisfaz pois usa mais de "uma reta magica"...mas ja' quebra um galho!1) Trace a bissetriz do angulo C ate' encontrar o lado AB no ponto E.2) Marque o ponto F sobre AC de modo que AD=AF.Trace os segmentos DF e FE.Como o angulo do vertice vale 100, entao os angulos da base valem 40 (angulos expressos em graus).De (1) , podemos dizer que os angulos BCE=ECF=20.Como BD=AC, entao (2) implica em FC=AB , pois BD=AC . Portanto FC=BC, de onde os triangulos ECF e ECB sao simetricos. Logo o angulo EFC=100. Assim, os angulos FEC=CEB=60. Portanto, tambem o angulo DEF=60. Mas o triangulo DAF e' isosceles, com angulos da base 20 (pois o angulo FAE=40). Assim, o angulo DFE=20+80=100. Portanto, os triangulos EFD e EFC sao simetricos (um lado comum entre 2 angulos iguais). Entao, DF=FC . Portanto o triangulo DCF e' isosceles, com angulos da base iguais a 10 (pois o angulo DFA=20).Logo, o angulo DCA=10.Abracos,Rogerio PoncePS: Nehab, voce pode consultar a lista na web, no enderecohttp://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/maillist.htmlO unico detalhe e' que entre a entrega dos emails e a publicacao do mesmo assunto na lista online, ha' um delay de algumas horas.Abracao,Rogerio.Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Pois é, Claudio,Juro que se eu a tivesse encontrado (e tentei) a teria explicitado. Mas se você a encontrou, não faça cerimônia... Adoro aprender.. Caso contrário, fica devendo...Abraços,Nehab At 15:08 22/8/2006, you wrote:
E a solução macetosa? Ou seja, aquela reta auxiliar "mágica" que mata o problema em 2 linhas...[]s,Claudio.De: [EMAIL PROTECTED]Para: obm-l@mat.puc-rio.brCópia: Data: Tue, 22 Aug 2006 00:20:32 -0300Assunto: Re: [obm-l] Questao de Triangulo Oi, Palmerim, Tipicamente, angulos multiplos de 18 ou de 10 exigem uma certa dose de "malandragem". Eh muito facil ficar em "loop"... Tente desenvolver a equacao (3) seguindo outros caminhos aparentemente tao naturais quanto o escolhido e voce verah que as coisas podem ficar irritantes ! A chave do problema eh a lei dos senos... Vamos lah: Chamando o angulo ACD de X, temos: ADC = 40-X e BCD = 40+X; da lei dos senos (no triangulo BDC), vem: (1) BD / BC = sen (40+X) / sen (40-X) Porem, BD = AC = 2.BC. cos 40; logo: (2) BD / BC = 2.cos 40; De (1) e (2) temos: (3) sen (40+X) = 2..sen (40-X).cos 40, que eh uma equacao trigonometrica razoavelmente simples (embora mil caminhos nos levem a lugar nenhum..). Utilizando a identidade trigonometrica 2.sen p.cos q = sen (p+q) + sen (p-q) no lado direito de (3), vem: (4) sen(40+X) = sen (80-X) + sen (-X). Logo, (5) sen(40+X) - sen (80-X) = sen (-X) Utilizando a identidade trigonometrica sen p - sen q = 2.sen (p-q)/2 .cos (p+q)/2 no lado esquerdo de (5), obtemos: 2.sen (X-20).cos 60 = sen (-X) sen (X-20) = sen (-X), que acarreta X = 10 graus. Abracos, Nehab At 16:18 21/8/2006, you wrote: UFFA! Não consegui resover esta aqui: "ABC e triangulo isosceles de base AC e angulo do vertice igual a 100°. Prolonga-se o lado BA ("para baixo") ate o ponto D, tal que BD seja congruente a AC. Calcular o valor do angulo ACD." Palmerim agora!
[obm-l] Re:[obm-l] Questao de Combinatória
Em cada esquina ele deve decidir se vai para o Norte ou para o Leste por mais uma quadra. Além disso, sabemos que ele precisa andar 7 quadras para Leste e 8 quadras para o Norte par ir de casa até o escritório. Assim, um dado trajeto pode ser codificado como uma sequência de 7 letras L e 8 letras N justapostas. Quantas sequências deste tipo existem? De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 24 Aug 2006 21:12:05 -0300 Assunto: [obm-l] Questao de Combinatória Peço ajuda aos amigos da Lista para seguinte questão dew combinatória da qual estou em dúvida. Um homem trabalha em um escritório localizado sete esquinas a oeste e oito esquinas ao norte da sua casa. Assim, ao se deslocar de casa para o trabalho ele passa em quinze esquinas. Represente esta situação adequadamente por um diagrama cartesiano 7x8, formado por ruas verticais e ruas horizontais, ligando esquinas consecutivas. Rotule as esquinas verticais inferiores do diagrama com as letras A, B, C, ..., H e as esquinas horizontais mais a esquerda do diagrama com os números 1, 2, 3, ..., 9. a) Se todas as ruas horizontais ligando duas esquinas consecutivas estão desimpedidas e todas as ruas verticais ligando duas esquinas consecutivas estão desimpedidas, quantos são os caminhos possíveis que o homem pode tomar ao ir de casa para o trabalho? b) Se todas as ruas horizontais ligando duas esquinas consecutivas estão desimpedidas e todas as ruas verticais ligando duas esquinas consecutivas estão desimpedidas com excessão da rua ligando as esquinas E5, e E6, quantos são os caminhos possíveis que o homem pode tomar ao ir de casa para o trabalho? Obrigado pela ajuda galera, estou com dúvidas nessa questão, toda ajuda será bem vinda. []'s. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Questao de Combinatória
Peço ajuda aos amigos da Lista para seguinte questão dew combinatória da qual estou em dúvida. Um homem trabalha em um escritório localizado sete esquinas a oeste e oito esquinas ao norte da sua casa. Assim, ao se deslocar de casa para o trabalho ele passa em quinze esquinas. Represente esta situação adequadamente por um diagrama cartesiano 7x8, formado por ruas verticais e ruas horizontais, ligando esquinas consecutivas. Rotule as esquinas verticais inferiores do diagrama com as letras A, B, C, ..., H e as esquinas horizontais mais a esquerda do diagrama com os números 1, 2, 3, ..., 9. a) Se todas as ruas horizontais ligando duas esquinas consecutivas estão desimpedidas e todas as ruas verticais ligando duas esquinas consecutivas estão desimpedidas, quantos são os caminhos possíveis que o homem pode tomar ao ir de casa para o trabalho? b) Se todas as ruas horizontais ligando duas esquinas consecutivas estão desimpedidas e todas as ruas verticais ligando duas esquinas consecutivas estão desimpedidas com excessão da rua ligando as esquinas E5, e E6, quantos são os caminhos possíveis que o homem pode tomar ao ir de casa para o trabalho? Obrigado pela ajuda galera, estou com dúvidas nessa questão, toda ajuda será bem vinda. []'s. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questao de Triangulo
Tambem nao encontrei. E passei um bom tempo tentando... A lei dos senos eh extremamente util, sem duvidas, mas de alguma forma, solucoes trigonometricas (e tambem por geometria analitica) nao tem o mesmo impacto pra mim que uma bela solucao magica no estilo grego. []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 22 Aug 2006 17:01:25 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Questao de Triangulo Pois é, Claudio, Juro que se eu a tivesse encontrado (e tentei) a teria explicitado. Mas se você a encontrou, não faça cerimônia... Adoro aprender.. Caso contrário, fica devendo... Abraços, Nehab At 15:08 22/8/2006, you wrote: E a solução macetosa? Ou seja, aquela reta auxiliar mágica que mata o problema em 2 linhas... []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 22 Aug 2006 00:20:32 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Questao de Triangulo Oi, Palmerim, Tipicamente, angulos multiplos de 18 ou de 10 exigem uma certa dose de malandragem. Eh muito facil ficar em loop... Tente desenvolver a equacao (3) seguindo outros caminhos aparentemente tao naturais quanto o escolhido e voce verah que as coisas podem ficar irritantes ! A chave do problema eh a lei dos senos... Vamos lah: Chamando o angulo ACD de X, temos: ADC = 40-X e BCD = 40+X; da lei dos senos (no triangulo BDC), vem: (1) BD / BC = sen (40+X) / sen (40-X) Porem, BD = AC = 2.BC. cos 40; logo: (2) BD / BC = 2.cos 40; De (1) e (2) temos: (3) sen (40+X) = 2..sen (40-X).cos 40, que eh uma equacao trigonometrica razoavelmente simples (embora mil caminhos nos levem a lugar nenhum..). Utilizando a identidade trigonometrica 2.sen p.cos q = sen (p+q) + sen (p-q) no lado direito de (3), vem: (4) sen(40+X) = sen (80-X) + sen (-X). Logo, (5) sen(40+X) - sen (80-X) = sen (-X) Utilizando a identidade trigonometrica sen p - sen q = 2.sen (p-q)/2 .cos (p+q)/2 no lado esquerdo de (5), obtemos: 2.sen (X-20).cos 60 = sen (-X) sen (X-20) = sen (-X), que acarreta X = 10 graus. Abracos, Nehab At 16:18 21/8/2006, you wrote: UFFA! Não consegui resover esta aqui: ABC e triangulo isosceles de base AC e angulo do vertice igual a 100°. Prolonga-se o lado BA (para baixo) ate o ponto D, tal que BD seja congruente a AC. Calcular o valor do angulo ACD. Palmerim = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questao de Triangulo
Para essa eu tenho uma solução bonitinha (embora se caísse numa prova e não conhecesse eu provavelmente usaria a boa e velha lei dos senos). Vou só deixar um outline, vocês devem conseguir terminar. Seja E um ponto tal que o quadrilátero BCED (nessa ordem mesmo) seja um trapézio isósceles (faça o desenho!). Então o triângulo ACE é equilátero pois AC = BD = CE e o ângulo ACE mede 60 graus (o ângulo BCE mede 100 graus e o ângulo BCA mede 40 graus, pois ABC é isósceles com base AC). Com mais algumas continhas com ângulos vê-se que DEA é isósceles de vértice E. Isso implica que o triângulo CED é também isósceles de vértice E e o resto é calcular ângulos. []'s Shine --- claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Tambem nao encontrei. E passei um bom tempo tentando... A lei dos senos eh extremamente util, sem duvidas, mas de alguma forma, solucoes trigonometricas (e tambem por geometria analitica) nao tem o mesmo impacto pra mim que uma bela solucao magica no estilo grego. []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 22 Aug 2006 17:01:25 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Questao de Triangulo Pois é, Claudio, Juro que se eu a tivesse encontrado (e tentei) a teria explicitado. Mas se você a encontrou, não faça cerimônia... Adoro aprender.. Caso contrário, fica devendo... Abraços, Nehab At 15:08 22/8/2006, you wrote: E a solução macetosa? Ou seja, aquela reta auxiliar mágica que mata o problema em 2 linhas... []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 22 Aug 2006 00:20:32 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Questao de Triangulo Oi, Palmerim, Tipicamente, angulos multiplos de 18 ou de 10 exigem uma certa dose de malandragem. Eh muito facil ficar em loop... Tente desenvolver a equacao (3) seguindo outros caminhos aparentemente tao naturais quanto o escolhido e voce verah que as coisas podem ficar irritantes ! A chave do problema eh a lei dos senos... Vamos lah: Chamando o angulo ACD de X, temos: ADC = 40-X e BCD = 40+X; da lei dos senos (no triangulo BDC), vem: (1) BD / BC = sen (40+X) / sen (40-X) Porem, BD = AC = 2.BC. cos 40; logo: (2) BD / BC = 2.cos 40; De (1) e (2) temos: (3) sen (40+X) = 2..sen (40-X).cos 40, que eh uma equacao trigonometrica razoavelmente simples (embora mil caminhos nos levem a lugar nenhum..). Utilizando a identidade trigonometrica 2.sen p.cos q = sen (p+q) + sen (p-q) no lado direito de (3), vem: (4) sen(40+X) = sen (80-X) + sen (-X). Logo, (5) sen(40+X) - sen (80-X) = sen (-X) Utilizando a identidade trigonometrica sen p - sen q = 2.sen (p-q)/2 .cos (p+q)/2 no lado esquerdo de (5), obtemos: 2.sen (X-20).cos 60 = sen (-X) sen (X-20) = sen (-X), que acarreta X = 10 graus. Abracos, Nehab At 16:18 21/8/2006, you wrote: UFFA! Não consegui resover esta aqui: ABC e triangulo isosceles de base AC e angulo do vertice igual a 100°. Prolonga-se o lado BA (para baixo) ate o ponto D, tal que BD seja congruente a AC. Calcular o valor do angulo ACD. Palmerim = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questao de Triangulo
Essa questão está no livro Fundamentos da Matemática Elementar, Vol 9. Já tive muita dor de cabeça por causa dela. Aqui vai uma solução apenas por geometria sintética: O problema principal é saber usar a informação de que AC = BD. Trace BE = AB = BC de modo que o ângulo ABE seja de 40º (o ângulo ABC fica dividido em duas partes, uma de 40º e uma de 60º). Agora ligue D com E. Note que o triângulo BDE é congruente ao triângulo ABC (L.A.L) e que, portanto, ED = EB. Agora ligue E com C. Perceba que o triângulo BCE é equilátero (dois lados congruentes e um ângulo de 60º). Então, temos que EC = EB = BC = ED. Como EC = ED, o triângulo CDE é isósceles, cujo ângulo do vértice vale 160º. Agora é só fazer as continhas e encontrar como resposta 10º. Esse problemas possui algumas variantes interessantes (e tão difíceis quanto!). Assim que der eu posto aqui, mas acredito que a maioria dos colegas da lista já os conhece. Um abraço PC
Re: [obm-l] Questao de Triangulo
Aí vai uma solução sem utilizar a lei dos senos! Trace DE paralela a AC de modo que DE=BA. Agora, uma vez que BD=AC e \angle(ADE)=\angle(BAC)=40º, então o triângulo ABC é congruente ao triângulo EBD. Portanto, BE=BC, \angle(DBE)=40º e assim \angle(EBC)=60º. Deste modo, o triângulo BEC é equilátero e então EC=DE. Considerando agora o triângulo CED, vemos que ele é isósceles com ângulos da base iguais a 10º e daí, os ângulos ACD e CDE são congruentes portanto, \angle(ACD) que é o ângulo procurado é igual a 10º.Um abraço do Antonio Luiz(Gandhi)"claudio.buffara" [EMAIL PROTECTED] escreveu: Tambem nao encontrei. E passei um bom tempo tentando...A lei dos senos eh
extremamente util, sem duvidas, mas de alguma forma, solucoes trigonometricas (e tambem por geometria analitica) nao tem o mesmo impacto pra mim que uma bela solucao "magica" no estilo grego.[]s,Claudio. -- Cabeçalho original ---De: [EMAIL PROTECTED]Para: obm-l@mat.puc-rio.brCópia: Data: Tue, 22 Aug 2006 17:01:25 -0300Assunto: Re: [obm-l] Questao de Triangulo Pois é, Claudio, Juro que se eu a tivesse encontrado (e tentei) a teria explicitado. Mas se você a encontrou, não faça cerimônia... Adoro aprender.. Caso contrário, fica devendo... Abraços, Nehab At 15:08 22/8/2006, you wrote: E a solução macetosa? Ou seja, aquela reta auxiliar "mágica" que mata o problema em 2 linhas... []s, Claudio. De:
[EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 22 Aug 2006 00:20:32 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Questao de Triangulo Oi, Palmerim, Tipicamente, angulos multiplos de 18 ou de 10 exigem uma certa dose de "malandragem". Eh muito facil ficar em "loop"... Tente desenvolver a equacao (3) seguindo outros caminhos aparentemente tao naturais quanto o escolhido e voce verah que as coisas podem ficar irritantes ! A chave do problema eh a lei dos senos... Vamos lah: Chamando o angulo ACD de X, temos: ADC = 40-X e BCD = 40+X; da lei dos senos (no triangulo BDC), vem: (1) BD / BC = sen (40+X) / sen (40-X) Porem, BD = AC = 2.BC. cos 40; logo: (2) BD /
BC = 2.cos 40; De (1) e (2) temos: (3) sen (40+X) = 2..sen (40-X).cos 40, que eh uma equacao trigonometrica razoavelmente simples (embora mil caminhos nos levem a lugar nenhum..). Utilizando a identidade trigonometrica 2.sen p.cos q = sen (p+q) + sen (p-q) no lado direito de (3), vem: (4) sen(40+X) = sen (80-X) + sen (-X). Logo, (5) sen(40+X) - sen (80-X) = sen (-X) Utilizando a identidade trigonometrica sen p - sen q = 2.sen (p-q)/2 .cos (p+q)/2 no lado esquerdo de (5), obtemos: 2.sen (X-20).cos 60 = sen (-X) sen (X-20) = sen (-X), que acarreta X = 10 graus. Abracos, Nehab At 16:18 21/8/2006, you wrote: UFFA! Não consegui resover esta
aqui: "ABC e triangulo isosceles de base AC e angulo do vertice igual a 100°. Prolonga-se o lado BA ("para baixo") ate o ponto D, tal que BD seja congruente a AC. Calcular o valor do angulo ACD." Palmerim = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
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