Re: [obm-l] Trigonometria

[Claudio Buffara]

Tudo o que você precisa está nas primeiras duas páginas daqui:
http://people.math.sc.edu/filaseta/gradcourses/TheMath784Notes.pdf

On Mon, Sep 2, 2019 at 8:34 AM Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> wrote:

> Alguém sabe se existe sen(pi/n) racional para n suficientemente grande?
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avg.com
> .
> <#m_829828656712733292_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Trigonometria

[Prof. Douglas Oliveira]

Opa mandei errado aqui a tangente, não é dessa questão não, essa questão
sua tem algo errado.樂樂

Em qua, 28 de ago de 2019 14:42, Carlos Monteiro <
cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:

> Pode enviar a solução?
>
> Em qua, 28 de ago de 2019 13:57, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> X=arctg(2/3raiz5)
>>
>> Em qua, 28 de ago de 2019 10:13, Carlos Monteiro <
>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Sim, EC=2x; DE=x; BD=x.
>>>
>>> Em qua, 28 de ago de 2019 08:56, Claudio Buffara <
>>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Ou seja, os pontos ocorrem na ordem B-D-E-C, E é o ponto médio de BC e
 D é o ponto médio de BE. É isso?

 On Wed, Aug 28, 2019 at 8:15 AM Carlos Monteiro <
 cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:

> Caramba, me desculpa
>
> O correto é 2(BD)=2(DE)=EC
>
> Em ter, 27 de ago de 2019 11:24, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Tu tem a fonte dela amigao??
>> A notação é essa mesmo 2(BD)=2(DE)=2(EC)?
>>
>> Em ter, 27 de ago de 2019 às 09:48, Carlos Monteiro <
>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Seja ABC um triângulo. Sejam D e E pontos no lado BC tal que
>>> 2(BD)=2(DE)=2(EC). Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,
>>> ADE e AEC têm o mesmo raio, calcule o seno do ângulo .
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Trigonometria

[Carlos Monteiro]

Pode enviar a solução?

Em qua, 28 de ago de 2019 13:57, Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> X=arctg(2/3raiz5)
>
> Em qua, 28 de ago de 2019 10:13, Carlos Monteiro <
> cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:
>
>> Sim, EC=2x; DE=x; BD=x.
>>
>> Em qua, 28 de ago de 2019 08:56, Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Ou seja, os pontos ocorrem na ordem B-D-E-C, E é o ponto médio de BC e D
>>> é o ponto médio de BE. É isso?
>>>
>>> On Wed, Aug 28, 2019 at 8:15 AM Carlos Monteiro <
>>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:
>>>
 Caramba, me desculpa

 O correto é 2(BD)=2(DE)=EC

 Em ter, 27 de ago de 2019 11:24, Prof. Douglas Oliveira <
 profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Tu tem a fonte dela amigao??
> A notação é essa mesmo 2(BD)=2(DE)=2(EC)?
>
> Em ter, 27 de ago de 2019 às 09:48, Carlos Monteiro <
> cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:
>
>> Seja ABC um triângulo. Sejam D e E pontos no lado BC tal que
>> 2(BD)=2(DE)=2(EC). Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,
>> ADE e AEC têm o mesmo raio, calcule o seno do ângulo .
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


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>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Trigonometria

[Prof. Douglas Oliveira]

X=arctg(2/3raiz5)

Em qua, 28 de ago de 2019 10:13, Carlos Monteiro <
cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:

> Sim, EC=2x; DE=x; BD=x.
>
> Em qua, 28 de ago de 2019 08:56, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Ou seja, os pontos ocorrem na ordem B-D-E-C, E é o ponto médio de BC e D
>> é o ponto médio de BE. É isso?
>>
>> On Wed, Aug 28, 2019 at 8:15 AM Carlos Monteiro <
>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Caramba, me desculpa
>>>
>>> O correto é 2(BD)=2(DE)=EC
>>>
>>> Em ter, 27 de ago de 2019 11:24, Prof. Douglas Oliveira <
>>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Tu tem a fonte dela amigao??
 A notação é essa mesmo 2(BD)=2(DE)=2(EC)?

 Em ter, 27 de ago de 2019 às 09:48, Carlos Monteiro <
 cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:

> Seja ABC um triângulo. Sejam D e E pontos no lado BC tal que
> 2(BD)=2(DE)=2(EC). Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,
> ADE e AEC têm o mesmo raio, calcule o seno do ângulo .
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


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>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Trigonometria

[Carlos Monteiro]

Sim, EC=2x; DE=x; BD=x.

Em qua, 28 de ago de 2019 08:56, Claudio Buffara 
escreveu:

> Ou seja, os pontos ocorrem na ordem B-D-E-C, E é o ponto médio de BC e D é
> o ponto médio de BE. É isso?
>
> On Wed, Aug 28, 2019 at 8:15 AM Carlos Monteiro <
> cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:
>
>> Caramba, me desculpa
>>
>> O correto é 2(BD)=2(DE)=EC
>>
>> Em ter, 27 de ago de 2019 11:24, Prof. Douglas Oliveira <
>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Tu tem a fonte dela amigao??
>>> A notação é essa mesmo 2(BD)=2(DE)=2(EC)?
>>>
>>> Em ter, 27 de ago de 2019 às 09:48, Carlos Monteiro <
>>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Seja ABC um triângulo. Sejam D e E pontos no lado BC tal que
 2(BD)=2(DE)=2(EC). Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,
 ADE e AEC têm o mesmo raio, calcule o seno do ângulo .


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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>> acredita-se estar livre de perigo.
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> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Trigonometria

[Claudio Buffara]

Ou seja, os pontos ocorrem na ordem B-D-E-C, E é o ponto médio de BC e D é
o ponto médio de BE. É isso?

On Wed, Aug 28, 2019 at 8:15 AM Carlos Monteiro <
cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:

> Caramba, me desculpa
>
> O correto é 2(BD)=2(DE)=EC
>
> Em ter, 27 de ago de 2019 11:24, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Tu tem a fonte dela amigao??
>> A notação é essa mesmo 2(BD)=2(DE)=2(EC)?
>>
>> Em ter, 27 de ago de 2019 às 09:48, Carlos Monteiro <
>> cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Seja ABC um triângulo. Sejam D e E pontos no lado BC tal que
>>> 2(BD)=2(DE)=2(EC). Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,
>>> ADE e AEC têm o mesmo raio, calcule o seno do ângulo .
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Trigonometria

[Carlos Monteiro]

Caramba, me desculpa

O correto é 2(BD)=2(DE)=EC

Em ter, 27 de ago de 2019 11:24, Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Tu tem a fonte dela amigao??
> A notação é essa mesmo 2(BD)=2(DE)=2(EC)?
>
> Em ter, 27 de ago de 2019 às 09:48, Carlos Monteiro <
> cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:
>
>> Seja ABC um triângulo. Sejam D e E pontos no lado BC tal que
>> 2(BD)=2(DE)=2(EC). Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,
>> ADE e AEC têm o mesmo raio, calcule o seno do ângulo .
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Trigonometria

[Prof. Douglas Oliveira]

Tu tem a fonte dela amigao??
A notação é essa mesmo 2(BD)=2(DE)=2(EC)?

Em ter, 27 de ago de 2019 às 09:48, Carlos Monteiro <
cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:

> Seja ABC um triângulo. Sejam D e E pontos no lado BC tal que
> 2(BD)=2(DE)=2(EC). Sabendo que os círculos inscritos nos triângulos ABD,
> ADE e AEC têm o mesmo raio, calcule o seno do ângulo .
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] trigonometria, alguma sugestão?

[Esdras Muniz]

Usando a notação cis(u)=cos(u)+i.sen(u), temos que cis(u).cis(v)=cis(u+v),
para todos os u, v reais.
Daí, 1 = b/a.a/c.c/b = cis(x).cis(y)cis(z) = cis(x+y+z). Então cos(x+y+z) =
1 e sen(x+y+z) = 0. Portanto (x+y+z) é múltiplo de 2π.

Em qui, 27 de set de 2018 às 22:11, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

>   Prove que se existem números complexos a,b e c tais que  b/a = cos(x) +
> isen(x),  a/c = cos(y) + isen(y)  e  c/b = cos(z) + isen(z)
>
>   Então existe um valor de j pertencente aos naturais, tal que para cada
> valor de k natural a igualdade x + y + z = 2jπ/k é verdadeira.
>
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Trigonometria

[wagner]

Obrigado, Israel. Gostei muito.
Abraço,
E. Wagner.


Quoting Israel Meireles Chrisostomo :


Olá amigos da obm, estou passando para divulgar um texto que, após muitas
modificações, seja acrescentando novos problemas ou outras soluções,
acredito estar terminado(mesmo assim se virem erros por favor me digam :) ,
ficarei feliz se o texto estiver integralmente correto em termos
matemáticos, eis aqui o link para o texto:

http://media.wix.com/ugd/3eea37_21c6dd3b7aeb44279a7db6f205ba1686.pdf

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
 acredita-se estar livre de perigo.







This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.



--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Trigonometria

[Carlos Gomes]

Olá Israel, muito bom o seu material. A comunidade olímpica agradece!

Abraço, Cgomes.

Em 20 de novembro de 2015 14:50, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Olá pessoal, vou deixar um arquivo pdf que escrevi resolvendo problemas em
> trigonometria:
> http://media.wix.com/ugd/3eea37_c5b19270d73a42a9b0068a02d079846c.pdf
> Aqui um vídeo legal em que demonstro a desigualdade
> senA+senB+senC<=3sqrt(3)/2, se A,B,C são ângulos de um triângulo, a
> demonstração é geométrica e interessante, eis aí o vídeo(se puderem deixar
> um comentário lá no vídeo, eu agradeço):
> https://www.youtube.com/watch?edit=vd=ruCqqrMOzCQ
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Trigonometria

[Israel Meireles Chrisostomo]

Obrigado Carlos Gomes

Em 20 de novembro de 2015 17:47, Carlos Gomes 
escreveu:

> Olá Israel, muito bom o seu material. A comunidade olímpica agradece!
>
> Abraço, Cgomes.
>
> Em 20 de novembro de 2015 14:50, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá pessoal, vou deixar um arquivo pdf que escrevi resolvendo problemas
>> em trigonometria:
>> http://media.wix.com/ugd/3eea37_c5b19270d73a42a9b0068a02d079846c.pdf
>> Aqui um vídeo legal em que demonstro a desigualdade
>> senA+senB+senC<=3sqrt(3)/2, se A,B,C são ângulos de um triângulo, a
>> demonstração é geométrica e interessante, eis aí o vídeo(se puderem deixar
>> um comentário lá no vídeo, eu agradeço):
>> https://www.youtube.com/watch?edit=vd=ruCqqrMOzCQ
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Trigonometria

[Pedro José]

Boa tarde!

(i) Para base igual a 1 atende. Portanto basta que cosx =0

(ii) Para base diferente de um e maior que zero, a função é monótona então
a^y = 1 == y =0. Porém, a deve ser 0 pois 0^0 não existe.

sen(3x) = 0 e cosx  1 e cosx-1

(iii) Para base menor que 1 só da 1 ´para mesma condição que 2.



Em 2 de agosto de 2015 23:11, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

  Determine todos os valores de x E R tais que ( 1 - (cosx)^2)^(cos(3x -
 pi/4) = 1

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Trigonometria.

[Julio César Saldaña]

Olá, eu lembro ter rido uma aula de ângulos aproximados no cursinho de 
vestibular (no Peru). Para o triângulo pitagórico 20,21, e 29 os ângulos agudos 
mediam aproximadamente 41 e 49. Para o triângulo (não pitagórico) de catetos 1 e 
4 os ângulos agudos mediam 14 e 76.


Segundo isso o valor aproximado do ângulo fi seria 49+14=63, mas não está em 
nenhuma dal alternativas que você citou.


Segundo a minha calculadora um valor mais próximo sería 61.2

Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Sat, 30 Aug 2014 15:23:52 -0300
Asunto : [obm-l] Trigonometria.



Esse exercício caiu na primeira fase de uma Olimpíada. Três engrenagens
A, B e C estão assim dispostas. A é tangente à B e à C , mas B não é
tangente à C. Os raios das engrenagens são: A 28 cm , B 30 cm e C 22 cm.
Os centros das engrenagens são ligados por segmentos formando um
triângulo. A medida do ângulo do vértice que está em A mede fi ( letra
grega ). O ângulo cujo vértice está em B mede 41 graus. Quanto mede (
presumo aproximadamente) o ângulo fi? Estranho , pois tinha como
respostas os seguintes testes. : a)30 graus b) 40 graus c) 69,55 graus
d) 79, 55 graus e) 89,55 graus. Se alguém puder dar uma ajuda, agradeço
antecipadamente. Abraço. 


--
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] trigonometria (Carlos Victor, Douglas e João)

[Nehab]

Caramba,

Nada como ter amigos com boa memória.
Como se dizia há alguns anos, entrei de gaiato no navio.
Obrigado ao Victor e ao Douglas pela super memória ao identificar o 
problema proposto pelo Joao, que imaginei ser mais simples do que de 
fato era...
(calculei o ângulo A por geometria de maneira tão simples que achei que 
B e C eram imediatos... Ledo engano. Vi a solução...)...


Obrigado aos três... e ao Ghandi,
Abraços a todos,
Nehab

On 05/08/2013 18:00, douglas.olive...@grupoolimpo.com.br wrote:


Camarada Victor, saudações candangas e carrapatonianas, aliás não 
existem muitos carrapatos aqui nessa época do ano rsrs, a questão foi 
a número 11 da shortlisted da IMO de 1992 , e foi do japão. a 
resolução é bem legal no imo compendium.


Grande abraço!!

Douglas Oliveira.

Em 05.08.2013 11:55, Carlos Victor escreveu:


Olá  João ,
Esta questão é  de uma olimpíada não brasileira ou de um livro de 
olimpíadas ( não lembro qual País), mas encontrar os outros ângulos é 
um trabalho árduo e há uma estratégia para a sua solução geométrica . 
A que conheço ( em que o mestre Antonio Luis( Gandhi) me mostrou)  é 
traçar os simétricos de D e E em relação à  BD e CE , 
respectivamente, sobre BC . Faça  uma análise nos triângulos que 
surgirão , no sentido de que a bissetriz interna e externa de um 
triângulo se encontram num ex-incentro e, aparecerá um ângulo de 120º 
que é o mentor da solução, ok ? Vale apena pensar nessa solução ...

Abraços
Carlos Victor


Em 5 de agosto de 2013 11:04, Nehab carlos.ne...@gmail.com 
mailto:carlos.ne...@gmail.com escreveu:


Ora João!

Nem vem. Você é muito inteligente para odiar Geometria...
Não acho má ideia você estudar um pouquinho disso...
Costumo ter sucesso ensinando essa parte maravilhosa da
Matemática para quem odeia Geometria (hahaha) e gosta de
Trigonometria...
Veja que o ângulo A é imediato... Chamando de I o incentro, segue-se:
a) No triângulo BIC, ang(BIC) = 180 - (B/2+C/2) = 90 + A/2
b) No triângulo EID, ang(EID) = 180 - (24 + 18) = 138
c) Mas ang(BIC) = ang(EID) e daí sai A: 90 + A/2 = 138, ou seja,
A = 96

Tente completar a solução...

Grande abraço,
Nehab


On 04/08/2013 23:37, João Maldonado wrote:

Fala professor!

Adorei a resolução, tinha esquecido do 4sen18.cos36 =1   =D
Na verdade o problema era de geometria, mas como eu sou péssimo
em GP, sempre resolvo tudo por trigonometria (meu professor fala
que eu sou louco)
O problema era o seguinte:
Em um triângulo ABC, D e E são os pés das bissetrizes traçadas
dos vértices B e C respectivamente. CED = 24 graus e BDE = 18
graus, calcule os ângulos do triângulo.

De acordo com o que foi dito os ângulos são 2*36 = 72 graus, 12
graus e 96 graus

[]'s
João


Date: Sat, 3 Aug 2013 23:16:56 -0300
From: carlos.ne...@gmail.com mailto:carlos.ne...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br mailto:obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] trigonometria

Caramba, João,
Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:

a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente interessante
pro problema.

b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36
pois 4sen18.cos36 =1.
Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade
é clássica  se você estudou os triângulos isósceles que possuem
um ângulo de 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo
lá). Nesses triângulos o lado maior é phi vezes o lado menor, ou
seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma
semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é manjada
razão áurea.
Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as
alturas deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2.
Logo, 4sen18.cos36 = 1...

c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...

Então, fica assim:

tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66
tgx. cos36 = B/C onde
B = [2sen66cos36 - *4sen18cos36*] e
C = 2cos66
Desenvolvendo B, vem:
B = sen30 + sen102 - *1* =
B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
B = 2sen36cos66
Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x
= 36 + k180)

Abraços
Nehab

On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:

tgx = tg66 - 2sen18/cos66
Como achar x?



-- 
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acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] trigonometria

[Nehab]

Ora João!

Nem vem. Você é muito inteligente para odiar Geometria...
Não acho má ideia você estudar um pouquinho disso...
Costumo ter sucesso ensinando essa parte maravilhosa da Matemática para 
quem odeia Geometria (hahaha) e gosta de Trigonometria...

Veja que o ângulo A é imediato... Chamando de I o incentro, segue-se:
a) No triângulo BIC, ang(BIC) = 180 - (B/2+C/2) = 90 + A/2
b) No triângulo EID, ang(EID) = 180 - (24 + 18) = 138
c) Mas ang(BIC) = ang(EID) e daí sai A: 90 + A/2 = 138, ou seja, A = 96

Tente completar a solução...

Grande abraço,
Nehab

On 04/08/2013 23:37, João Maldonado wrote:

Fala professor!

Adorei a resolução, tinha esquecido do 4sen18.cos36 =1   =D
Na verdade o problema era de geometria, mas como eu sou péssimo em GP, 
sempre resolvo tudo por trigonometria (meu professor fala que eu sou 
louco)

O problema era o seguinte:
Em um triângulo ABC, D e E são os pés das bissetrizes traçadas dos 
vértices B e C respectivamente. CED = 24 graus e BDE = 18 graus, 
calcule os ângulos do triângulo.


De acordo com o que foi dito os ângulos são 2*36 = 72 graus, 12 graus 
e 96 graus


[]'s
João


Date: Sat, 3 Aug 2013 23:16:56 -0300
From: carlos.ne...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] trigonometria

Caramba, João,
Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:

a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente interessante pro 
problema.


b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois 
4sen18.cos36 =1.
Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é 
clássica  se você estudou os triângulos isósceles que possuem um 
ângulo de 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). 
Nesses triângulos o lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi 
= (raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma semelhançazinha). Além 
disso, esse phi é adorável e é manjada razão áurea.
Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as 
alturas deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2.

Logo, 4sen18.cos36 = 1...

c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...

Então, fica assim:

tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66
tgx. cos36 = B/C onde
B = [2sen66cos36 - *_4sen18cos36_***] e
C = 2cos66
Desenvolvendo B, vem:
B = sen30 + sen102 - *_1_* =
B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
B = 2sen36cos66
Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 + 
k180)


Abraços
Nehab

On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:

tgx = tg66 - 2sen18/cos66
Como achar x?



--
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acredita-se estar livre de perigo.

--
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acredita-se estar livre de perigo. 



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Re: [obm-l] trigonometria

[Carlos Victor]

Olá  João ,

Esta questão é  de uma olimpíada não brasileira ou de um livro de
olimpíadas ( não lembro qual País), mas encontrar os outros ângulos é um
trabalho árduo e há uma estratégia para a sua solução geométrica . A que
conheço ( em que o mestre Antonio Luis( Gandhi) me mostrou)  é traçar os
simétricos de D e E em relação à  BD e CE , respectivamente, sobre BC .
Faça  uma análise nos triângulos que surgirão , no sentido de que a
bissetriz interna e externa de um triângulo se encontram num ex-incentro e,
aparecerá um ângulo de 120º que é o mentor da solução, ok ? Vale apena
pensar nessa solução ...

Abraços

Carlos Victor


Em 5 de agosto de 2013 11:04, Nehab carlos.ne...@gmail.com escreveu:

  Ora João!

 Nem vem. Você é muito inteligente para odiar Geometria...
 Não acho má ideia você estudar um pouquinho disso...
 Costumo ter sucesso ensinando essa parte maravilhosa da Matemática para
 quem odeia Geometria (hahaha) e gosta de Trigonometria...
 Veja que o ângulo A é imediato... Chamando de I o incentro, segue-se:
 a) No triângulo BIC, ang(BIC) = 180 - (B/2+C/2) = 90 + A/2
 b) No triângulo EID, ang(EID) = 180 - (24 + 18) = 138
 c) Mas ang(BIC) = ang(EID) e daí sai A: 90 + A/2 = 138, ou seja, A = 96

 Tente completar a solução...

 Grande abraço,
 Nehab


 On 04/08/2013 23:37, João Maldonado wrote:

 Fala professor!

 Adorei a resolução, tinha esquecido do 4sen18.cos36 =1   =D
 Na verdade o problema era de geometria, mas como eu sou péssimo em GP,
 sempre resolvo tudo por trigonometria (meu professor fala que eu sou louco)
 O problema era o seguinte:
 Em um triângulo ABC, D e E são os pés das bissetrizes traçadas dos
 vértices B e C respectivamente. CED = 24 graus e BDE = 18 graus, calcule os
 ângulos do triângulo.

 De acordo com o que foi dito os ângulos são 2*36 = 72 graus, 12 graus e 96
 graus

 []'s
 João

  --
 Date: Sat, 3 Aug 2013 23:16:56 -0300
 From: carlos.ne...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: Re: [obm-l] trigonometria

 Caramba, João,
 Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:

 a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente interessante pro
 problema.

 b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois
 4sen18.cos36 =1.
 Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é
 clássica  se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de
 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o
 lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o
 lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é
 manjada razão áurea.
 Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas
 deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2.
 Logo, 4sen18.cos36 = 1...

 c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...

 Então, fica assim:

 tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66
 tgx. cos36 = B/C onde
 B = [2sen66cos36 - *4sen18cos36** *] e
 C = 2cos66
 Desenvolvendo B, vem:
 B = sen30 + sen102 - *1* =
 B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
 B = 2sen36cos66
 Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
 Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 +
 k180)

 Abraços
 Nehab

 On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:

 tgx = tg66 - 2sen18/cos66
 Como achar x?



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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.


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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] trigonometria

[douglas . oliveira]

 

Camarada Victor, saudações candangas e carrapatonianas, aliás não
existem muitos carrapatos aqui nessa época do ano rsrs, a questão foi a
número 11 da shortlisted da IMO de 1992 , e foi do japão. a resolução é
bem legal no imo compendium. 

Grande abraço!! 

Douglas Oliveira. 

Em
05.08.2013 11:55, Carlos Victor escreveu: 

 Olá João , 
 
 Esta
questão é de uma olimpíada não brasileira ou de um livro de olimpíadas (
não lembro qual País), mas encontrar os outros ângulos é um trabalho
árduo e há uma estratégia para a sua solução geométrica . A que conheço
( em que o mestre Antonio Luis( Gandhi) me mostrou) é traçar os
simétricos de D e E em relação à BD e CE , respectivamente, sobre BC .
Faça uma análise nos triângulos que surgirão , no sentido de que a
bissetriz interna e externa de um triângulo se encontram num ex-incentro
e, aparecerá um ângulo de 120º que é o mentor da solução, ok ? Vale
apena pensar nessa solução ... 
 
 Abraços 
 
 Carlos Victor 
 

Em 5 de agosto de 2013 11:04, Nehab carlos.ne...@gmail.com escreveu:


 Ora João!
 
 Nem vem. Você é muito inteligente para odiar
Geometria...
 Não acho má ideia você estudar um pouquinho disso...

Costumo ter sucesso ensinando essa parte maravilhosa da Matemática para
quem odeia Geometria (hahaha) e gosta de Trigonometria...
 Veja que o
ângulo A é imediato... Chamando de I o incentro, segue-se:
 a) No
triângulo BIC, ang(BIC) = 180 - (B/2+C/2) = 90 + A/2
 b) No triângulo
EID, ang(EID) = 180 - (24 + 18) = 138
 c) Mas ang(BIC) = ang(EID) e
daí sai A: 90 + A/2 = 138, ou seja, A = 96
 
 Tente completar a
solução...
 
 Grande abraço,
 Nehab 
 
 On 04/08/2013 23:37,
João Maldonado wrote: 
 
 Fala professor!
 
 Adorei a
resolução, tinha esquecido do 4sen18.cos36 =1 =D 
 Na verdade o
problema era de geometria, mas como eu sou péssimo em GP, sempre resolvo
tudo por trigonometria (meu professor fala que eu sou louco)
 O
problema era o seguinte: 
 Em um triângulo ABC, D e E são os pés das
bissetrizes traçadas dos vértices B e C respectivamente. CED = 24 graus
e BDE = 18 graus, calcule os ângulos do triângulo.
 
 De acordo
com o que foi dito os ângulos são 2*36 = 72 graus, 12 graus e 96
graus
 
 []'s
 João
 
 -

Date: Sat, 3 Aug 2013 23:16:56 -0300
 From:
carlos.ne...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: Re:
[obm-l] trigonometria
 
 Caramba, João,
 Gostei. Espertinho!
Meu raciocínio navegou assim:
 
 a) 66 = 36 + 30, então 36 é um
angulo duplamente interessante pro problema.
 
 b) O que eu sei
sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois 4sen18.cos36
=1.
 Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade
é clássica se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo
de 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses
triângulos o lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi =
(raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma semelhançazinha). Além disso,
esse phi é adorável e é manjada razão áurea.
 Dai é fácil você ver
nos triângulos isósceles citados (trace as alturas deles) que sen18 =
1/2phi e cos36 = phi/2. 
 Logo, 4sen18.cos36 = 1... 
 
 c)
Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...


 Então, fica assim: 
 
 tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 -
2sen18] / cos66
 tgx. cos36 = B/C onde 
 B = [2sen66cos36 -
4SEN18COS36] e 
 C = 2cos66 
 Desenvolvendo B, vem:
 B = sen30
+ sen102 - 1 = 
 B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)

B = 2sen36cos66 
 Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
 Logo, x = 36 (se
não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 + k180)
 

Abraços
 Nehab
 
 On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:

 
 tgx = tg66 - 2sen18/cos66
 Como achar x?
 
 -- 

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

acredita-se estar livre de perigo. 
 -- 
 Esta mensagem foi
verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de
perigo.
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de
antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.
 
 -- 
 Esta
mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar
livre de perigo.

 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] trigonometria

[Carlos Victor]

Olá grande Mestre Nehab,
Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a
igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo :

sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18=

sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!)

Abraços

Carlos Victor


Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab carlos.ne...@gmail.com escreveu:

  Caramba, João,
 Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:

 a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente interessante pro
 problema.

 b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois
 4sen18.cos36 =1.
 Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é
 clássica  se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de
 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o
 lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o
 lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é
 manjada razão áurea.
 Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas
 deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2.
 Logo, 4sen18.cos36 = 1...

 c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...

 Então, fica assim:

 tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66
 tgx. cos36 = B/C onde
 B = [2sen66cos36 - *4sen18cos36** *] e
 C = 2cos66
 Desenvolvendo B, vem:
 B = sen30 + sen102 - *1* =
 B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
 B = 2sen36cos66
 Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
 Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 +
 k180)

 Abraços
 Nehab


 On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:

 tgx = tg66 - 2sen18/cos66
 Como achar x?



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] trigonometria

[Hermann]

correção
2014-1974=40 bodas de rubi ou esmeralda, mas mesmo assim merece uma comemoração
Abraço a todos
Hermann
  - Original Message - 
  From: Carlos Victor 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, August 04, 2013 9:32 AM
  Subject: Re: [obm-l] trigonometria


  Olá grande Mestre Nehab,
  Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a
  igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo :


  sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18=


  sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!)


  Abraços


  Carlos Victor



  Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab carlos.ne...@gmail.com escreveu:

Caramba, João,
Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:

a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente interessante pro problema.

b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois 
4sen18.cos36 =1.
Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é clássica  
se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de 36 (trace as 
diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o lado maior é phi 
vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma 
semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é manjada razão áurea.
Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas 
deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2. 
Logo, 4sen18.cos36 = 1...  

c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...

Então, fica assim: 

tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66
tgx. cos36 = B/C onde 
B = [2sen66cos36 - 4sen18cos36 ] e 
C = 2cos66 
Desenvolvendo B, vem:
B = sen30 + sen102 - 1 = 
B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
B = 2sen36cos66 
Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 + k180)

Abraços
Nehab


On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:

  tgx = tg66 - 2sen18/cos66
  Como achar x?



-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 



  -- 
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
  acredita-se estar livre de perigo. 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] trigonometria

[Hermann]

2014-1974=50 essa aula fará bodas de ouro ano que vem, merece uma comemoração.
Abraços a todos
Hermann
  - Original Message - 
  From: Carlos Victor 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, August 04, 2013 9:32 AM
  Subject: Re: [obm-l] trigonometria


  Olá grande Mestre Nehab,
  Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a
  igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo :


  sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18=


  sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!)


  Abraços


  Carlos Victor



  Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab carlos.ne...@gmail.com escreveu:

Caramba, João,
Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:

a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente interessante pro problema.

b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois 
4sen18.cos36 =1.
Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é clássica  
se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de 36 (trace as 
diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o lado maior é phi 
vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma 
semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é manjada razão áurea.
Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas 
deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2. 
Logo, 4sen18.cos36 = 1...  

c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...

Então, fica assim: 

tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66
tgx. cos36 = B/C onde 
B = [2sen66cos36 - 4sen18cos36 ] e 
C = 2cos66 
Desenvolvendo B, vem:
B = sen30 + sen102 - 1 = 
B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
B = 2sen36cos66 
Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 + k180)

Abraços
Nehab


On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:

  tgx = tg66 - 2sen18/cos66
  Como achar x?



-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 



  -- 
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
  acredita-se estar livre de perigo. 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

RE: [obm-l] trigonometria

[marcone augusto araújo borges]

Essa foi muito legal.
 
From: ilhadepaqu...@bol.com.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] trigonometria
Date: Sun, 4 Aug 2013 10:59:12 -0300








correção
2014-1974=40 bodas de rubi ou esmeralda, mas mesmo 
assim merece uma comemoração
Abraço a todos
Hermann

  - Original Message - 
  From: 
  Carlos 
  Victor 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, August 04, 2013 9:32 
  AM
  Subject: Re: [obm-l] trigonometria
  

  Olá grande Mestre Nehab,
  Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a
  igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo :
  

  sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18=
  

  sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!)
  

  Abraços
  

  Carlos Victor
  


  Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab carlos.ne...@gmail.com escreveu:

  

Caramba, João,
Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou 
assim:

a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente 
interessante pro problema.

b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que 
o sen18 gosta do cos36 pois 4sen18.cos36 =1.
Isso não é exatamente um 
coelho da cartola, pois essa igualdade é clássica  se você estudou os 
triângulos isósceles que possuem um ângulo de 36 (trace as diagonais de um 
pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o lado maior é phi vezes o 
lado 
menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma 
semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é manjada razão 
áurea.
Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as 
alturas deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2. 
Logo, 4sen18.cos36 = 
1...  

c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado 
direito...

Então, fica assim: 

tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ 
sen66 - 2sen18] / cos66
tgx. cos36 = B/C onde 
B = [2sen66cos36 - 
4sen18cos36 ] e 
C = 2cos66 
Desenvolvendo B, 
vem:
B = sen30 + sen102 - 1 = 
B = sen102 - sen 30 
(passagem boba e bonita, né)
B = 2sen36cos66 
Dai tgx.cos36 = B/C = 
sen36.
Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 
36 + k180)

Abraços
Nehab



On 03/08/2013 18:08, João Maldonado 
wrote:




  tgx = tg66 - 2sen18/cos66
Como achar 
x?


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo 
sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 


-- 
Esta mensagem foi 
  verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 

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 acredita-se estar livre de perigo.   
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Re: [obm-l] trigonometria

[Carlos Victor]

Olá Marcone, aproveitando a ideia do meu mestre Nehab, podemos escrever :

acertando a expressão dada chegamos a

sen(66-x) = 2sen18.cosx

tomando 36-x =y ,teremos

sen(30+y) = 2sen18.cos(36-y) = 2sen18[ cos36.cosy + sen36.seny]

sen(30+y) = 2sen18.cos36.cosy + 2sen18.sen36.seny

sen30.cosy+seny.cos30 = 2sen18.cos36.cosy + 2sen18.sen36.seny

usando que o Nehab lembrou , teremos

(1/2)cosy +seny.cos30 =(1/2).cos30 +2sen18.sen36.seny

seny.cos30 = 2sen18.sen36.seny .

Não é difícil de mostrar que 2sen18.sen36 é diferente de cos30 ;

logo devemos ter seny =0 ; ou seja y = k180 ; daí

x= k180 +36 .

Agradecendo ao Nehab ,

Abraços

Carlos Victor


Em 4 de agosto de 2013 13:33, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Essa foi muito legal.

 --
 From: ilhadepaqu...@bol.com.br
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: Re: [obm-l] trigonometria
 Date: Sun, 4 Aug 2013 10:59:12 -0300


 correção
 2014-1974=40 bodas de rubi ou esmeralda, mas mesmo assim merece uma
 comemoração
 Abraço a todos
 Hermann

 - Original Message -
 *From:* Carlos Victor victorcar...@globo.com
 *To:* obm-l@mat.puc-rio.br
 *Sent:* Sunday, August 04, 2013 9:32 AM
 *Subject:* Re: [obm-l] trigonometria

 Olá grande Mestre Nehab,
 Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a
 igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo :

 sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18=

 sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!)

 Abraços

 Carlos Victor


 Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab carlos.ne...@gmail.com escreveu:

  Caramba, João,
 Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:

 a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente interessante pro
 problema.

 b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois
 4sen18.cos36 =1.
 Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é
 clássica  se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de
 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o
 lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o
 lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é
 manjada razão áurea.
 Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas
 deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2.
 Logo, 4sen18.cos36 = 1...

 c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...

 Então, fica assim:

 tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66
 tgx. cos36 = B/C onde
 B = [2sen66cos36 - *4sen18cos36** *] e
 C = 2cos66
 Desenvolvendo B, vem:
 B = sen30 + sen102 - *1* =
 B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
 B = 2sen36cos66
 Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
 Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 +
 k180)

 Abraços
 Nehab


 On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:

 tgx = tg66 - 2sen18/cos66
 Como achar x?



 --
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Re: [obm-l] trigonometria

[Carlos Victor]

Desculpem ,

digitei errado na linha
(1/2)cosy +seny.cos30 =(1/2).cos30 +2sen18.sen36.seny

que na verdade é
(1/2)cosy +seny.cos30 =(1/2).cosy +2sen18.sen36.seny .

Abraços

Carlos  Victor



Em 4 de agosto de 2013 14:09, Carlos Victor victorcar...@globo.comescreveu:

 Olá Marcone, aproveitando a ideia do meu mestre Nehab, podemos escrever :

 acertando a expressão dada chegamos a

 sen(66-x) = 2sen18.cosx

 tomando 36-x =y ,teremos

 sen(30+y) = 2sen18.cos(36-y) = 2sen18[ cos36.cosy + sen36.seny]

 sen(30+y) = 2sen18.cos36.cosy + 2sen18.sen36.seny

 sen30.cosy+seny.cos30 = 2sen18.cos36.cosy + 2sen18.sen36.seny

 usando que o Nehab lembrou , teremos

 (1/2)cosy +seny.cos30 =(1/2).cos30 +2sen18.sen36.seny

 seny.cos30 = 2sen18.sen36.seny .

 Não é difícil de mostrar que 2sen18.sen36 é diferente de cos30 ;

 logo devemos ter seny =0 ; ou seja y = k180 ; daí

 x= k180 +36 .

 Agradecendo ao Nehab ,

 Abraços

 Carlos Victor


 Em 4 de agosto de 2013 13:33, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:

  Essa foi muito legal.

 --
 From: ilhadepaqu...@bol.com.br
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: Re: [obm-l] trigonometria
 Date: Sun, 4 Aug 2013 10:59:12 -0300


 correção
 2014-1974=40 bodas de rubi ou esmeralda, mas mesmo assim merece uma
 comemoração
 Abraço a todos
 Hermann

 - Original Message -
 *From:* Carlos Victor victorcar...@globo.com
 *To:* obm-l@mat.puc-rio.br
 *Sent:* Sunday, August 04, 2013 9:32 AM
 *Subject:* Re: [obm-l] trigonometria

 Olá grande Mestre Nehab,
 Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a
 igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo :

 sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18=

 sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!)

 Abraços

 Carlos Victor


 Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab carlos.ne...@gmail.com escreveu:

  Caramba, João,
 Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:

 a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente interessante pro
 problema.

 b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois
 4sen18.cos36 =1.
 Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é
 clássica  se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo de
 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses triângulos o
 lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o
 lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, esse phi é adorável e é
 manjada razão áurea.
 Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas
 deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2.
 Logo, 4sen18.cos36 = 1...

 c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...

 Então, fica assim:

 tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66
 tgx. cos36 = B/C onde
 B = [2sen66cos36 - *4sen18cos36** *] e
 C = 2cos66
 Desenvolvendo B, vem:
 B = sen30 + sen102 - *1* =
 B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
 B = 2sen36cos66
 Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
 Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 +
 k180)

 Abraços
 Nehab


 On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:

 tgx = tg66 - 2sen18/cos66
 Como achar x?



 --
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Re: [obm-l] trigonometria

[Nehab]

Oi, querido amigo!

Isso é intriga! Em 1974 eu era uma criança...

Enorme abraço...
Se admirador de longa data,
Nehab

On 04/08/2013 09:32, Carlos Victor wrote:

Olá grande Mestre Nehab,
Você me ensinou também em 1974 que poderíamos retirar a
igualdade 4sen18.cos36 =1, fazendo :

sen18.cos36 = sen18.cos18.cos36/cos18 = sen36.cos36./2cos18=

sen72/4cos18 = 1/4 .( saudades!!)

Abraços

Carlos Victor


Em 3 de agosto de 2013 23:16, Nehab carlos.ne...@gmail.com 
mailto:carlos.ne...@gmail.com escreveu:


Caramba, João,
Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:

a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente interessante pro
problema.

b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36
pois 4sen18.cos36 =1.
Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é
clássica  se você estudou os triângulos isósceles que possuem um
ângulo de 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá).
Nesses triângulos o lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja,
phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma semelhançazinha).
Além disso, esse phi é adorável e é manjada razão áurea.
Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as
alturas deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2.
Logo, 4sen18.cos36 = 1...

c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...

Então, fica assim:

tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66
tgx. cos36 = B/C onde
B = [2sen66cos36 - *_4sen18cos36_***] e
C = 2cos66
Desenvolvendo B, vem:
B = sen30 + sen102 - *_1_* =
B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
B = 2sen36cos66
Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x =
36 + k180)

Abraços
Nehab


On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:

tgx = tg66 - 2sen18/cos66
Como achar x?



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RE: [obm-l] trigonometria

[João Maldonado]

Fala professor!

Adorei a resolução, tinha esquecido do 4sen18.cos36 =1   =D 
Na verdade o problema era de geometria, mas como eu sou péssimo em GP, sempre 
resolvo tudo por trigonometria (meu professor fala que eu sou louco)
O problema era o seguinte:
Em um triângulo ABC, D e E são os pés das bissetrizes traçadas dos vértices B e 
C respectivamente. CED = 24 graus e BDE = 18 graus, calcule os ângulos do 
triângulo.

De acordo com o que foi dito os ângulos são 2*36 = 72 graus, 12 graus e 96 graus

[]'s
João

Date: Sat, 3 Aug 2013 23:16:56 -0300
From: carlos.ne...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] trigonometria


  

  
  
Caramba, João,

  Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:

  

  a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente interessante pro
  problema.

  

  b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36
  pois 4sen18.cos36 =1.

  Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é
  clássica  se você estudou os triângulos isósceles que possuem um
  ângulo de 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá).
  Nesses triângulos o lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja,
  phi = (raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma semelhançazinha).
  Além disso, esse phi é adorável e é manjada razão áurea.

  Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as
  alturas deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2. 

  Logo, 4sen18.cos36 = 1...  

  

  c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado
  direito...

  

  Então, fica assim: 

  

  tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66

  tgx. cos36 = B/C onde 

  B = [2sen66cos36 - 4sen18cos36 ] e 

  C = 2cos66 

  Desenvolvendo B, vem:

  B = sen30 + sen102 - 1 = 

  B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)

  B = 2sen36cos66 

  Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.

  Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x =
  36 + k180)

  

  Abraços

  Nehab

  

  On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:



  
  tgx = tg66 - 2sen18/cos66

Como achar x?

  



  
--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] trigonometria

[Nehab]

Caramba, João,
Gostei. Espertinho! Meu raciocínio navegou assim:

a) 66 = 36 + 30, então 36  é um angulo duplamente interessante pro problema.

b) O que eu sei sobre 36 e companhia? Que o sen18 gosta do cos36 pois 
4sen18.cos36 =1.
Isso não é exatamente um coelho da cartola, pois essa igualdade é 
clássica  se você estudou os triângulos isósceles que possuem um ângulo 
de 36 (trace as diagonais de um pentágono e está tudo lá). Nesses 
triângulos o lado maior é phi vezes o lado menor, ou seja, phi = 
(raiz(5) + 1)/2 vezes o lado menor (uma semelhançazinha). Além disso, 
esse phi é adorável e é manjada razão áurea.
Dai é fácil você ver nos triângulos isósceles citados (trace as alturas 
deles) que sen18 = 1/2phi e cos36 = phi/2.

Logo, 4sen18.cos36 = 1...

c) Assim, achei que seria legal encostar um cos36 no lado direito...

Então, fica assim:

tgx = tg 66 - 2sen18/cos66 = [ sen66 - 2sen18] / cos66
tgx. cos36 = B/C onde
B = [2sen66cos36 - *_4sen18cos36_***] e
C = 2cos66
Desenvolvendo B, vem:
B = sen30 + sen102 - *_1_* =
B = sen102 - sen 30 (passagem boba e bonita, né)
B = 2sen36cos66
Dai tgx.cos36 = B/C = sen36.
Logo, x = 36 (se não foi dito que x está entre 0 e 180, então x = 36 + k180)

Abraços
Nehab

On 03/08/2013 18:08, João Maldonado wrote:

tgx = tg66 - 2sen18/cos66
Como achar x?



--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Trigonometria

[Diogo Gaia]

sen5x=cos3x
sex5x=sen(pi/2-3x)

O seno de dois ângulos é igual se os ângulos forem iguais, ou se se forem 
suplementares (não se esquecendo dos arcos côngruos). Olhar para o círculo 
trigonométrico ajuda.
i)5x=pi/2-3x+2k*pi, k inteiro
x=pi*(4k+1)/16

ii)5x=pi-(pi/2-3x)+2k*pi, k inteiro
x=pi*(4k+1)/4

Espero que tenha ajudado.
Abraço,

Diogo Gaia

On Mar 28, 2011, at 9:15 PM, Marcus Aurelio wrote:

 Alguem pode me ajudar nessa questão sen5x = cos3x...uma solução para essa 
 equação.

Re: [obm-l] Trigonometria

[Pedro Júnior]

Olá Carlos você está correto!!!
par que o problema ficasse correto bastava escrever 2cos20º - 1/*2*cos80º
note que faltou esse dois muitiplicando o cos80º. Problema que de fato sua
resolução passa pela cúbica citada no em seu texto. Porém, muitíssimo
obrigado pela participação.


Agora, será que você ou alguém poderia me ajudar noutro problema da mesma
prova:

4. Seja n um inteiro maior que 2. Se c é a hipotenusa de um triângulo
retângulo e a e b são seus catetos, prove que c^n  a^n + b^n.

Desde já agradeço.
Pedro Jr
João Pessoa - PB
Abraços.


Em 15 de novembro de 2010 08:42, Carlos Nehab ne...@infolink.com.brescreveu:

  Oi, Pedro,

 Infelizmente o enunciado está errado.
 Mas para você não ficar triste, tente resolver algo parecido e correto:

 2cos 20 - 1/ (2cos 40 -1)  é um inteiro...

 Abraços
 Carlos Nehab

 Dica: este negócio de 20, 40 e 80 graus muitas vezes acabam em samba se
 você usar as expressões de arco triplo, pois linhas trigonométricas desse
 arcos se expressam em termos de raízes de uma equação cúbica..., que no
 fundo é o que as expressões do arco triplo nos mostram...  Se você conhecer
 Cardano, poderá inclusive se divertir (?) explicitando os senos e cossenos
 destes arcos.
 Vários problemas interessantes já circularam por aqui com estes malditos
 e instigantes ângulos...  Além disso um estudo do eneágono e do octadecágono
 (18 lados) também será fascinante para quem gosta destes angulozinhos
 decididamente desafiadores.


 Em 15/11/2010 00:00, Pedro Júnior escreveu:

 Parece simples mais ainda não consegui exergar o caminho.
 Usei tansformações, forma exponencial dos complexos, combinei várias
 transformações, etc, só ainda não dei um tratamento geométrico..


 Vejam: Mostre que 2cos20º - 1/cos80º é um inteiro.


 Abraços.

 Pedro Júnior
 João Pessoa - PB

Re: [obm-l] Trigonometria

[Pedro Júnior]

Isso Arlane muitíssimo obrigado...

Em 16 de novembro de 2010 08:33, Arlane Manoel S Silva ar...@usp.brescreveu:

   Um Pedro, uma prova desse resultado pode ser feita por indução em n2.
 Como c
  é hipotenusa temos ca e cb. Para n=3 temos
   c^3=c(a^2+b^2)=c.a^2+c.b^2a.a^2+b.b^2=a^3+b^3.

   Acho que vc pode continuar a prova.

   A.
 Citando Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com:

  Olá Carlos você está correto!!!
 par que o problema ficasse correto bastava escrever 2cos20º - 1/*2*cos80º

 note que faltou esse dois muitiplicando o cos80º. Problema que de fato
 sua
 resolução passa pela cúbica citada no em seu texto. Porém, muitíssimo
 obrigado pela participação.


 Agora, será que você ou alguém poderia me ajudar noutro problema da mesma
 prova:

 4. Seja n um inteiro maior que 2. Se c é a hipotenusa de um triângulo
 retângulo e a e b são seus catetos, prove que c^n  a^n + b^n.

 Desde já agradeço.
 Pedro Jr
 João Pessoa - PB
 Abraços.


 Em 15 de novembro de 2010 08:42, Carlos Nehab ne...@infolink.com.br
 escreveu:

  Oi, Pedro,

 Infelizmente o enunciado está errado.
 Mas para você não ficar triste, tente resolver algo parecido e correto:

 2cos 20 - 1/ (2cos 40 -1)  é um inteiro...

 Abraços
 Carlos Nehab

 Dica: este negócio de 20, 40 e 80 graus muitas vezes acabam em samba se
 você usar as expressões de arco triplo, pois linhas trigonométricas desse
 arcos se expressam em termos de raízes de uma equação cúbica..., que no
 fundo é o que as expressões do arco triplo nos mostram...  Se você
 conhecer
 Cardano, poderá inclusive se divertir (?) explicitando os senos e
 cossenos
 destes arcos.
 Vários problemas interessantes já circularam por aqui com estes
 malditos
 e instigantes ângulos...  Além disso um estudo do eneágono e do
 octadecágono
 (18 lados) também será fascinante para quem gosta destes angulozinhos
 decididamente desafiadores.


 Em 15/11/2010 00:00, Pedro Júnior escreveu:

 Parece simples mais ainda não consegui exergar o caminho.
 Usei tansformações, forma exponencial dos complexos, combinei várias
 transformações, etc, só ainda não dei um tratamento geométrico..


 Vejam: Mostre que 2cos20º - 1/cos80º é um inteiro.


 Abraços.

 Pedro Júnior
 João Pessoa - PB







 --
Arlane Manoel S Silva
  Departamento de Matemática Aplicada
 Instituto de Matemática e Estatística-USP

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =

Re: [obm-l] Trigonometria

[Pedro Júnior]

Olha esse problema foi da Olimpíada Pessoense de Matemática 2010 (João
Pessoa - PB), de fato não fiz as contas usando uma máquina, porém a dúvida
é, será que a máquina não fez arredondamentos que não torne a diferença um
número inteiro?
De fato cheguei a desconfiar que tal problema apresenta falhas em sua
edição.
Nesse momento, diante das colocações feitas, como mostro que não é inteiro?

Em 15 de novembro de 2010 01:19, Ivan lopes lopesivan@gmail.comescreveu:

 2cos20º - 1/cos80º = -3,879385242
 nops!

 2010/11/15 Marcos Valle marcos.vall...@gmail.com

 2cos20º - 1/cos80º
 2cos20° - 1/sen10°
 2(1 - 2sen²10°) - 1/sen10°
 (2sen10° - 4sen³10° - 1)/sen10°
 (sen30° - sen10° - 1)/sen10°
 (-1/2 - sen10°)/sen10°
 -1 - 1/(2sen10°)

 Pode usar o que quiser, vai ser difícil de achar um inteiro aí =]



 Em 15 de novembro de 2010 00:00, Pedro Júnior 
 pedromatematic...@gmail.com escreveu:

 Parece simples mais ainda não consegui exergar o caminho.
 Usei tansformações, forma exponencial dos complexos, combinei várias
 transformações, etc, só ainda não dei um tratamento geométrico..


 Vejam: Mostre que 2cos20º - 1/cos80º é um inteiro.




 Abraços.


 Pedro Júnior
 João Pessoa - PB




 --
 Marcos Valle
 Instituto Militar de Engenharia - IME
 1° ano A - básico

Re: [obm-l] Trigonometria

[Carlos Nehab]

Oi, Pedro,

Infelizmente o enunciado está errado.
Mas para você não ficar triste, tente resolver algo parecido e correto:

2cos 20 - 1/ (2cos 40 -1)  é um inteiro...

Abraços
Carlos Nehab

Dica: este negócio de 20, 40 e 80 graus muitas vezes acabam em samba se 
você usar as expressões de arco triplo, pois linhas trigonométricas 
desse arcos se expressam em termos de raízes de uma equação cúbica..., 
que no fundo é o que as expressões do arco triplo nos mostram...  Se 
você conhecer Cardano, poderá inclusive se divertir (?) explicitando os 
senos e cossenos destes arcos.
Vários problemas interessantes já circularam por aqui com estes 
malditos e instigantes ângulos...  Além disso um estudo do eneágono e 
do octadecágono (18 lados) também será fascinante para quem gosta destes 
angulozinhos decididamente desafiadores.



Em 15/11/2010 00:00, Pedro Júnior escreveu:

Parece simples mais ainda não consegui exergar o caminho.
Usei tansformações, forma exponencial dos complexos, combinei várias 
transformações, etc, só ainda não dei um tratamento geométrico..



Vejam: Mostre que 2cos20º - 1/cos80º é um inteiro.


Abraços.

Pedro Júnior
João Pessoa - PB

Re: [obm-l] Trigonometria

[Marcos Valle]

2cos20º - 1/cos80º
2cos20° - 1/sen10°
2(1 - 2sen²10°) - 1/sen10°
(2sen10° - 4sen³10° - 1)/sen10°
(sen30° - sen10° - 1)/sen10°
(-1/2 - sen10°)/sen10°
-1 - 1/(2sen10°)

Pode usar o que quiser, vai ser difícil de achar um inteiro aí =]



Em 15 de novembro de 2010 00:00, Pedro Júnior
pedromatematic...@gmail.comescreveu:

 Parece simples mais ainda não consegui exergar o caminho.
 Usei tansformações, forma exponencial dos complexos, combinei várias
 transformações, etc, só ainda não dei um tratamento geométrico..


 Vejam: Mostre que 2cos20º - 1/cos80º é um inteiro.




 Abraços.


 Pedro Júnior
 João Pessoa - PB




-- 
Marcos Valle
Instituto Militar de Engenharia - IME
1° ano A - básico

Re: [obm-l] Trigonometria

[Ivan lopes]

2cos20º - 1/cos80º = -3,879385242
nops!

2010/11/15 Marcos Valle marcos.vall...@gmail.com

 2cos20º - 1/cos80º
 2cos20° - 1/sen10°
 2(1 - 2sen²10°) - 1/sen10°
 (2sen10° - 4sen³10° - 1)/sen10°
 (sen30° - sen10° - 1)/sen10°
 (-1/2 - sen10°)/sen10°
 -1 - 1/(2sen10°)

 Pode usar o que quiser, vai ser difícil de achar um inteiro aí =]



 Em 15 de novembro de 2010 00:00, Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com
  escreveu:

 Parece simples mais ainda não consegui exergar o caminho.
 Usei tansformações, forma exponencial dos complexos, combinei várias
 transformações, etc, só ainda não dei um tratamento geométrico..


 Vejam: Mostre que 2cos20º - 1/cos80º é um inteiro.




 Abraços.


 Pedro Júnior
 João Pessoa - PB




 --
 Marcos Valle
 Instituto Militar de Engenharia - IME
 1° ano A - básico

Re: [obm-l] Trigonometria UFG

[Joao Maldonado]

Fácil, 
 
Fazendo um rascunho do rio temos:
 
 
  B
-
    }
    } = x
    }
    }
-
 } = b
     C-A
 
Tendo y = x+b, 
Temos::
y = a.tan(alfa)
 
Foi dado que: sen(alfa) = c
Pela relação sen^2 + cos^2 = 1
Temos cos(alfa) = raiz(1-c^2)
Pela relação tang = sen/cos
temos tan(alfa) = c/raiz(1-c^2)
 
Então y = ac/raiz(1-c^2)
x = y-b = ac/raiz(1-c^2)-b donde vem o resultado.
 
João Victor
abs.
 


--- Em qua, 21/4/10, vitorioga...@uol.com.br vitorioga...@uol.com.br escreveu:


De: vitorioga...@uol.com.br vitorioga...@uol.com.br
Assunto: [obm-l] Trigonometria UFG
Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 21 de Abril de 2010, 20:56





Um homem quer medir a largura de um rio, mas não pode atravessá-lo. Então, 
de um ponto A próximo da margem, visa um ponto B na margem oposta. De A, ele 
traça uma perpendicular à linha AB e marca sobre esta perpendicular um ponto 
C, distando 
a metros de A do ponto C, visa os pontos A e B e mede o ângulo BCA, 
encontrando alfa graus. Se a distância de A à margem mais próxima, sobre AB, 
é de b metros e sen alfa = c, mostre que a largura x do rio é dada por: 

x = (ac-b*R[1-c^2])/R[1-c^2]


tentei fazer, contudo só chego a identidades 
absurdas.=
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
= 


  

RE: [obm-l] TRIGONOMETRIA - TANGENTE

[Domingos Romualdo]

Wagner,
 
Lembre que tg (A+B) = (tg A + tg B)/(1 – tgA x tgB).  Como A + B + C = 180,
temos tg(A+B) + tg C = 0, donde (tg A + tg B)/(1 – tg A x tg B) + tg C = 0,
e o resultado segue.
 
Abraços,
 
Domingos
 
  _  

From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of warley ferreira
Sent: Wednesday, April 07, 2010 10:24 AM
To: Lista de Discussão
Subject: [obm-l] TRIGONOMETRIA - TANGENTE
 
Pessoal queria uma ajuda nesta questão. Como devo proceder.
Prove que em todo triângulo não retângulo ABC, tg A + tgB + tgC =
tgA.tgB.tgC.
Desde já agradeco
Abraços
Wagner Luis 
 
  _  

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[obm-l] Re: [obm-l] Trigonometria ( equação tg)

[Henrique Rennó]

Como podemos escrever 9pi/4 como 8pi/4 + pi/4 = 2pi + pi/4, o ângulo 9pi/4 e
pi/4 são os mesmos, assim tg(9pi/4 + kpi) = tg(pi/4 + kpi).

2009/10/8 Gustavo Duarte gvdua...@hotlink.com.br

  A questão apresenta  a seguinte equação: *tg X = tg ( 9pi )/4 *,
 pergunta-se:

  1) A solução *X =  ( 9pi)/4 + Kpi * dada como gabarito desta equação  é
 iquivalente a soluão  *X = pi/4 + Kpi*  ( com k inteiro)?

 2) A equação dada é equivalente a *tg x = tg pi/4  *ou seja possui
 soluções iguais ?
 **
 Desde já agradeço alguma ajuda !!
 **





-- 
Henrique

Re: [obm-l] Trigonometria ( equação tg)

[gustavo]

Gustavo Duarte wrote:
A questão apresenta  a seguinte equação: *tg X = tg ( 9pi )/4 *, 
pergunta-se:
 
 1) A solução *X =  ( 9pi)/4 + Kpi * dada como gabarito desta 
equação  é iquivalente a soluão  *X = pi/4 + Kpi*  ( com k inteiro)?
 
2) A equação dada é equivalente a *tg x = tg pi/4  *ou seja possui 
soluções iguais ?
** 
Desde já agradeço alguma ajuda !!
** 
 

Primeiro post na lista ;)

1- Sim. Veja:

9pi/4 + Kpi = pi/4 + (K+2)pi
pi/4 + (K+2)pi = pi/4 + K'pi

Lembrando que tg x = tg ( x +Kpi)

2-Sim. Temos tg x = tg (9pi/4 + Kpi)
como mostrei antes,

9pi/4 + Kpi = pi/4 + (K+2)pi
pi/4 + (K+2)pi = pi/4 + K'pi
K'=K-2 (V) = K inteiro

Abraços,
Gustavo Ramires

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Trigonometria

[lucianarodriggues]

Em 16/06/2009 10:34, Gustavo Simoes Araujo  gustavo.simo...@gmail.com  escreveu:
Pessoal,         Por acaso alguém sabe como poderia provar que existe um x tal que a inequação abaixo é verdadeira, sendo w1/w2 irracional e b um numero real menor que 4:cos(w1*x) + cos(w2*x) = (b-4)/4 Abraços,-- Gustavo Simões Araújo
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] trigonometria

[fabrici...@usp.br]

Muito legais as soluções do Nicolau e do Nehab, vou contribuir com  
mais uma, diferente das anteriores.


Antes, é necessário determinar uma fórmula para a tangente do arco  
triplo.


A idéia de usar fonte mono-espaçada realmente deixa a escrita mais  
simples.


Assumindo válido que tan(2a) = 2.tan(a)/(1-tan²(a), é possível chegar  
[através da fórmula da soma de arcos com tan(3a) = tan(2a+a)] em:



  3.tan(a)-tan³(a)
tan(3a) = 
   1 - 3.tan²(a)


queremos mostrar que: tg20.tg30.tg40 = tg10  (em graus)


= tan(30-10).tan(30).tan(30+10)

   tan(30)-tan(10) tan(30)+tan(10)
= - . - . tan(30)
  1-tan(30).tan(10)   1+tan(30).tan(10)



   tan²(30) - tan²(10)
= - . tan(30)
  1 - tan²(30).tan²(10)


  1 - 3.tan²(10)
= -- . tan(30)
   3 - tan²(10)


(notemos aqui a semelhança com a fórmula para o arco triplo)


   1
= -- . tan(30)
 3 - tan²(10)   
--
1 - 3.tan²(10)


   1tan(10)
= -- . - . tan(30)
 3 - tan²(10)   tan(10)
--
1 - 3.tan²(10)


 tan(10)
=  . tan(30)
3.tan(10) - tan³(10)

   1 - 3.tan²(10)


tan(10)
= --- . tan(30)
   tan(3.10)


   tan(10)
= - . tan(30)
   tan(30)


= tan(10)

.



On Nov 8, 2007, at 17:24 , Carlos Nehab wrote:


Oi, Graciliano,

Nicolau ja deu uma solução muito legal, indicando, na verdade, uma  
técnica geral para problemas desta natureza (o que é extremamente  
útil).


Eis entretanto outra solução, que embora local, é bonitinha (e se  
você ainda não souber complexos, esta o agradará:
(use fonte courier, monoespaçada, por exemplo, para não esculhambar  
os espaçamentos a seguir).


tg20.tg30.tg40 = tg10  sss
tg20.tg40 = cot30.cot80sss
sen20.sen40   cos30.cos80
--- = ---  sss  (usando proporções)
cos20.cos40   sen30.sen80

cos20.cos40 + sen20.sen40sen30.sen80 + cos30.cos80
- =  -   sss
cos20.cos40 - sen20.sen40sen30.sen80 - cos30.cos80

cos20cos50
- = ---  sss
cos60   -cos110

cos20   sen40
- = --  sss
cos60   sen20

2.sen20.cos20 = sen40
que é obviamente verdadeira...

Abraços
Nehab

Graciliano Antonio Damazo escreveu:


Galera, estou com uma dificuldade de resolver este exercicio:

1) prove  que: tg20º.tg30º.tg40º = tg10º

Agredeço desde já

Graciliano

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== 
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em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html  
== 
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=
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Re: [obm-l] trigonometria

[Simão Pedro]

Tem muita diferença!
Perceba que metade da circunferência trigonométrica vai ter valores
negativos dos ângulos, [-pi,0] (no sentido anti-horário); e a outra metade
vai ter valores positivos, [0,pi].

Compreendeste?






2008/7/20 Bernardo [EMAIL PROTECTED]:

  Ao resolver uma inequação trigonométrica o problema pedia que o intervalo
 de solução variasse de [-pi, pi]. Gostaria de saber se há alguma diferença
 na solução do problema caso o intervalo fosse [0, 2pi]




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Re: [obm-l] trigonometria

[Walter Tadeu Nogueira da Silveira]

Simão,

Sendo mais explicito com valores numéricos: supondo uma solução x = pi/3.
Pergunta: É solução para os intervalos [-pi,pi] e [0,2pi]?
Ou ainda. Poderia dar um exemplo de uma solução em [-pi,pi] que não seria de
[0,2pi]? E vice versa?
Abraços
PS: Estava acompanhando a discussão.


Em 20/07/08, Simão Pedro [EMAIL PROTECTED] escreveu:


 Tem muita diferença!
 Perceba que metade da circunferência trigonométrica vai ter valores
 negativos dos ângulos, [-pi,0] (no sentido anti-horário); e a outra metade
 vai ter valores positivos, [0,pi].

 Compreendeste?






 2008/7/20 Bernardo [EMAIL PROTECTED]:

  Ao resolver uma inequação trigonométrica o problema pedia que o
 intervalo de solução variasse de [-pi, pi]. Gostaria de saber se há alguma
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Re: [obm-l] trigonometria

[Simão Pedro]

Ok! Vamos pegar o exemplo dado. Seja x = pi/3, pegando todos os valores do
módulo do seno de x, | sen x |, no intervalo de [-pi, pi].
Daí, teremos como solução os valores de x para os quais sen x = + ou -
sqrt(3)/2, ou seja, S = {-pi/3, -2pi/3, pi/3, -2pi/3}

Estou certo?













2008/7/20 Walter Tadeu Nogueira da Silveira [EMAIL PROTECTED]:

 Simão,

 Sendo mais explicito com valores numéricos: supondo uma solução x = pi/3.
 Pergunta: É solução para os intervalos [-pi,pi] e [0,2pi]?
 Ou ainda. Poderia dar um exemplo de uma solução em [-pi,pi] que não seria
 de [0,2pi]? E vice versa?
 Abraços
 PS: Estava acompanhando a discussão.


 Em 20/07/08, Simão Pedro [EMAIL PROTECTED] escreveu:


 Tem muita diferença!
 Perceba que metade da circunferência trigonométrica vai ter valores
 negativos dos ângulos, [-pi,0] (no sentido anti-horário); e a outra metade
 vai ter valores positivos, [0,pi].

 Compreendeste?






 2008/7/20 Bernardo [EMAIL PROTECTED]:

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Re: [obm-l] trigonometria

[Simão Pedro]

Continuei pensando no caso e esqueci de colocar a solução para o intervalo
[0;2pi].
Então vamos lá! Encontrar a solução de |sen x| = sqrt(3)/2.
Daí, novamente teremos os valores de sen x = + ou - sqrt(3)/2. S = {pi/3,
2pi/3, 4pi/3, 5pi/3}

Concluindo, a solução não será a mesma para os intervalos [-pi, pi] e [0;
2pi]; no exemplo apresentado a solução foi a mesma apenas para dois dos
quatro resultados.





2008/7/20 Simão Pedro [EMAIL PROTECTED]:

  Ok! Vamos pegar o exemplo dado. Seja x = pi/3, pegando todos os valores
 do módulo do seno de x, | sen x |, no intervalo de [-pi, pi].
 Daí, teremos como solução os valores de x para os quais sen x = + ou -
 sqrt(3)/2, ou seja, S = {-pi/3, -2pi/3, pi/3, -2pi/3}

 Estou certo?













 2008/7/20 Walter Tadeu Nogueira da Silveira [EMAIL PROTECTED]:

  Simão,

 Sendo mais explicito com valores numéricos: supondo uma solução x = pi/3.
 Pergunta: É solução para os intervalos [-pi,pi] e [0,2pi]?
 Ou ainda. Poderia dar um exemplo de uma solução em [-pi,pi] que não seria
 de [0,2pi]? E vice versa?
 Abraços
 PS: Estava acompanhando a discussão.


 Em 20/07/08, Simão Pedro [EMAIL PROTECTED] escreveu:


 Tem muita diferença!
 Perceba que metade da circunferência trigonométrica vai ter valores
 negativos dos ângulos, [-pi,0] (no sentido anti-horário); e a outra metade
 vai ter valores positivos, [0,pi].

 Compreendeste?






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Re: [obm-l] trigonometria

[Walter Tadeu Nogueira da Silveira]

Hum...
Valeu mesmo Simão...
Obrigado


Em 20/07/08, Simão Pedro [EMAIL PROTECTED] escreveu:

  Continuei pensando no caso e esqueci de colocar a solução para o
 intervalo [0;2pi].
 Então vamos lá! Encontrar a solução de |sen x| = sqrt(3)/2.
 Daí, novamente teremos os valores de sen x = + ou - sqrt(3)/2. S = {pi/3,
 2pi/3, 4pi/3, 5pi/3}

 Concluindo, a solução não será a mesma para os intervalos [-pi, pi] e [0;
 2pi]; no exemplo apresentado a solução foi a mesma apenas para dois dos
 quatro resultados.





 2008/7/20 Simão Pedro [EMAIL PROTECTED]:

  Ok! Vamos pegar o exemplo dado. Seja x = pi/3, pegando todos os valores
 do módulo do seno de x, | sen x |, no intervalo de [-pi, pi].
 Daí, teremos como solução os valores de x para os quais sen x = + ou -
 sqrt(3)/2, ou seja, S = {-pi/3, -2pi/3, pi/3, -2pi/3}

 Estou certo?













 2008/7/20 Walter Tadeu Nogueira da Silveira [EMAIL PROTECTED]:

  Simão,

 Sendo mais explicito com valores numéricos: supondo uma solução x = pi/3.
 Pergunta: É solução para os intervalos [-pi,pi] e [0,2pi]?
 Ou ainda. Poderia dar um exemplo de uma solução em [-pi,pi] que não seria
 de [0,2pi]? E vice versa?
 Abraços
 PS: Estava acompanhando a discussão.


 Em 20/07/08, Simão Pedro [EMAIL PROTECTED] escreveu:


 Tem muita diferença!
 Perceba que metade da circunferência trigonométrica vai ter valores
 negativos dos ângulos, [-pi,0] (no sentido anti-horário); e a outra metade
 vai ter valores positivos, [0,pi].

 Compreendeste?






 2008/7/20 Bernardo [EMAIL PROTECTED]:

  Ao resolver uma inequação trigonométrica o problema pedia que o
 intervalo de solução variasse de [-pi, pi]. Gostaria de saber se há alguma
 diferença na solução do problema caso o intervalo fosse [0, 2pi]




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 Walter Tadeu Nogueira da Silveira
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Re: [obm-l] trigonometria

[Eduardo Wilner]

nbsp; 
nbsp;nbsp; Seja z = Pi {k=1-gt; 89){sen kx}nbsp;nbsp; onde x=1º e Pi 
(k=1-gt;m) é o produtório para k variando nbsp; nbsp;nbsp; denbsp; 1 a m 
(natuiais, naturalmentehe he he..).
nbsp;nbsp; 
nbsp;nbsp; z^2 = Pi (k=1-gt;89){(sen kx)^2 =nbsp; (sen 45º)^2 * 
Pi(k=1-gt;44} {(sen kx)^2 *[1 - (sen kx)^2]}, 
nbsp;nbsp; já quenbsp; sen (90 -kx) = cos kx.
..
nbsp; Denominandonbsp; y(k) = (sen kx)^2 , temos, z^2 =(1/2) Pi 
(k=1-gt;44)nbsp; {y(k) -(y(k))^2} com nbsp; 
nbsp; y(k)lt;1/2nbsp; portanto y(k) -(y(k))^2 lt; 1/4, para klt;45.

nbsp; Assim z^2 lt; (1/2)*1/2^(2*44)nbsp; ou z lt; 1/2^(44,5)  
.nbsp;nbsp; como z = 1/2^n ,nbsp; ngt; 44,5 e não menor que 45



--- Em qui, 29/5/08, Pedro Júnior lt;[EMAIL PROTECTED]gt; escreveu:
De: Pedro Júnior lt;[EMAIL PROTECTED]gt;
Assunto: [obm-l] trigonometria
Para: obm-l lt;obm-l@mat.puc-rio.brgt;
Data: Quinta-feira, 29 de Maio de 2008, 23:22

Boa noite a todos...
Me deparei com esse probleminha e ainda não consegui vê a saída!

Sabendo-se que sen1° .sen2°. sen3° . ... . sen85° .sen87° .sen89° = 1/2^n, 
mostre que nlt;45.

Acho que alguém mandou e minha esposa limpou miha caixa de e-mail's e a solução 
foi junto, parece piada, mas foi o que aconteceu!

Se alguém tiver enviado e puder enviar novamente agradeço desde já!
Abraço a todos.





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Re: [obm-l] trigonometria

[Rogerio Ponce]

Ola' Eduardo,
k varia de 1 a 89, de 2 em 2.
E a expressao vale exatamente 1 / 2^44.5

[]'s
Rogerio Ponce

PS: O termo sen(2) foi acidental. No primeiro email do Pedro isso
estava bem claro.
Entretanto, mesmo com esse engano no texto atual, ao incluir o sen2 ,
repare que a sequencia termina com os senos de 85, 87 e 89.



2008/6/3 Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED]:

Seja z = Pi {k=1- 89){sen kx}   onde x=1º e Pi (k=1-m) é o produtório
 para k variando  de  1 a m (natuiais, naturalmentehe he he..).

z^2 = Pi (k=1-89){(sen kx)^2 =  (sen 45º)^2 * Pi(k=1-44} {(sen kx)^2
 *[1 - (sen kx)^2]},
já que  sen (90 -kx) = cos kx.
 ..
   Denominando  y(k) = (sen kx)^2 , temos, z^2 =(1/2) Pi (k=1-44)  {y(k)
 -(y(k))^2} com
   y(k)1/2  portanto y(k) -(y(k))^2  1/4, para k45.

   Assim z^2  (1/2)*1/2^(2*44)  ou z  1/2^(44,5) .   como z = 1/2^n ,  n
 44,5 e não menor que 45
 


 --- Em qui, 29/5/08, Pedro Júnior [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 De: Pedro Júnior [EMAIL PROTECTED]
 Assunto: [obm-l] trigonometria
 Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
 Data: Quinta-feira, 29 de Maio de 2008, 23:22

 Boa noite a todos...
 Me deparei com esse probleminha e ainda não consegui vê a saída!

 Sabendo-se que sen1° .sen2°. sen3° . ... . sen85° .sen87° .sen89° = 1/2^n,
 mostre que n45.

 Acho que alguém mandou e minha esposa limpou miha caixa de e-mail's e a
 solução foi junto, parece piada, mas foi o que aconteceu!
 Se alguém tiver enviado e puder enviar novamente agradeço desde já!
 Abraço a todos.


 
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] trigonometria

[Rogerio Ponce]

Ola' Pedro,
o problema original era:

Sabendo-se que sen1° .sen3° .sen5°. ... .sen85°. sen87°. sen89° =
1/(2^n), mostre que n45.

O Bernardo mandou uma solucao e eu mandei outra, que reproduzo abaixo.
-

Multiplicando e dividindo a expressao original por

X = sen(2)*sen(4)*sen(6)*...*sen(84)*sen(86)*sen(88)

e lembrando que sen(89)=cos(1), sen(88)=cos(2), etc, obtemos:

sen(1)*sen(2)*sen(3)*sen(4)*...*sen(87)*sen(88)*sen(89) / X =

sen(1)*cos(1) * sen(2)*cos(2) * ... *sen(44)*cos(44) * [ sen(45)/X] =

sen(2)/2 * sen(4)/2 *...*sen(88)/2 * [sen(45)/X] =

X / 2^44  *  [sen(45) / X] =

sen(45) / 2^44 = 1 / 2^44.5

ou seja, n=44.5

[]'s
Rogerio Ponce


Em 29/05/08, Pedro Júnior[EMAIL PROTECTED] escreveu:
 Boa noite a todos...
 Me deparei com esse probleminha e ainda não consegui vê a saída!

 Sabendo-se que sen1° .sen2°. sen3° . ... . sen85° .sen87° .sen89° = 1/2^n,
 mostre que n45.

 Acho que alguém mandou e minha esposa limpou miha caixa de e-mail's e a
 solução foi junto, parece piada, mas foi o que aconteceu!
 Se alguém tiver enviado e puder enviar novamente agradeço desde já!
 Abraço a todos.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Trigonometria

[Bruno França dos Reis]

Tenho a impressao de que o problema 1 ou algum MUITO pareciso jah foi
discutido na lista ha algum tempo... de uma procurada nos arquivos.

On Thu, Nov 1, 2001 at 4:11 AM, Pedro [EMAIL PROTECTED] wrote:

  Amigos como faço essas?
  1)Calcule a soma : S = 1/cos(pi/7)  + 1/cos(3pi/7)  +  1/cos(5pi/7)
 Resposta: S= 4

  2) Calule a soma : S = tang^6(pi/18)   + tang^6 (5pi/18)  +
 tang^6(7pi/18)   Respota S = 433

 Como encontrar esta resposta




-- 
Bruno FRANÇA DOS REIS

msn: [EMAIL PROTECTED]
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16

e^(pi*i)+1=0

RE: [obm-l] trigonometria 2

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes, 
 
Oi Pedro, 
 
Mais uma vez recorri ao prof. Rousseau e ele 
me mandou a solução. 
 
Bem, ele se desculpou por mandar uma solução parcial 
pois ($\ast$) foi considerado um resultado conhecido. 
Uma soma parecida usando \csc^2 no lugar de 
\sec^2 apareceu na AMM de 1967. 
 
Foi ele também que mandou a soma resolvida pelo 
Ralph. 
 
Fica então o problema de mostrar ($\ast$). 
===
Cópia do código LaTeX 
 
This is easily proved with the aid of\begin{equation}\sum_{k=0}^{2n-1} \sec^2 
\left( \frac{\pi(2k+1)}{4n} \right) =4n^2. \tag{$\ast$}\end{equation}Using 
($\ast$) with $n = 45$, straightforward calculation 
gives\begin{align*}\sum_{k=0}^{89} \tan^2 \left( \frac{\pi(2k+1)}{180} \right) 
 =\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{89} \left\{  \sec^2 \left(\frac{\pi(2k+1)}{180} 
\right)  - 1 \right\} \\[.1in] = \frac{1}{2} (90^2 - 90) = 
4005.\end{align*}=== []'s 
Luís 


From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] trigonometria 2Date: Thu, 1 
Nov 2001 03:25:29 -0200




Feras da lista como faço issa?
 
Prove que : 
_
Confira vídeos com notícias do NY Times, gols direto do Lance, videocassetadas 
e muito mais no MSN Video!
http://video.msn.com/?mkt=pt-brattachment: clip_image002.gif

Re: [obm-l] Trigonometria

[Rafael Ando]

Como ele chegou a essa conclusão não sei direito, mas funciona depois
pra chegar na outra equação é só substituir

81sen^10 (x) + cos^10 (x) = 81/256
[ 81 (1-3z)^5 + 243(1+z)^5 ] / 1024 = 81/256
(1-3z)^5 + 3 (1+z)^5 = 4 -- note que é (1-3z)^5, e não (1-z) como vc tinha
escrito...

abrindo as expressões (1-3z)^5 e (1+z)^5 e passando o 4 pro primeiro termo
obtemos a expressão que vc escreveu (vezes 60...)

2001/11/1 Pedro [EMAIL PROTECTED]:

  Amigos ajude-me a entender essa solução.

  Determine todos x no intervalo [0,2p] da seguinte equação

  81sen^10(x) + cox^10(x) = 81/256

 Eu vi no forum a seguinte solução:

  se   sen^2 (x) = ( 1 - 3z)/4 com ( -1= z = 1/3).
 Primeira dúvida como ele chegou a essa comclusão? cotinuando. Usando a
 relação fundamental ele encontrou cos^2(x) = 3.(1+z)/4 aí tudo bem.

Ele fez o seguinte :

  (1 - z )^5 +3(1+z)^5 =4 como arrumo
 essa equação?

z^2(2 - 4z +7z^2- 4z^3) = 0

   1. z =0 implica x =+/- (p/6) +kp  , onde p =pi e
 óbvio que nao há outra solução no inetrvalo




-- 
Rafael

Re: [obm-l] trigonometria

[saulo nilson]

Ja resolveram esse exercicio nesta lista.

On Mon, Mar 17, 2008 at 10:42 PM, [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Seja f(x)=cos(nx).sen(5x/n), onde n é um inteiro positivo. Determine a
 soma
 dos valores de n para os quais f tem período igual a 3pi.



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Re: [obm-l] trigonometria

[alexmay nunes soares]

Uma condição necessária (mas, não suficiente) para q f tenha período 3pi é q 
F(0)=F(3pi) logo, vem q : cos(0).sen(0)=cos(n*3pi).sen(15pi/n)  = 0daí temos 
duas possibilidades: cos (n*3pi)=0 ou sen(15pi/n)=0
   
  1º caso : cos (n*3pi)=0 vem que n*3pi = pi/2 + k*pi logo 3n=1/2 + k que 
obviamente n admite soluções inteiras.
   
  2º caso: sen(15pi/n)=0 de onde temos que 15pi/n=kpi logo n.k=15 e portanto k 
e nsão divisores positivos de 15, isto é k e n pertencem ao conj.{1,3,5,15}.
   
  Como foi dito isto é uma condição necessária, mas não suficiente é preciso 
testar as soluções uma a uma:
   
  n=1 implica f( x) =cos(x).sen(5x), q notamos não servir pois tem preríodo pi 
e não 3pi.
   
  n=3 implica f( x) =cos(3x).sen(5x/3), que tem período 3pi e portanto é solução
   
  n=5 implica f( x) =cos(5x).sen(x), q notamos não servir pois tem preríodo pi 
e não 3pi.
  n=15 implica f( x) =cos(15x).sen(x/3), que tem período 3pi e portanto é 
solução
   
  Resposta correta : 3+15=18!!!
   
   
   
   
   
  

saulo nilson [EMAIL PROTECTED] escreveu:
  Ja resolveram esse exercicio nesta lista.

  On Mon, Mar 17, 2008 at 10:42 PM, [EMAIL PROTECTED] wrote:
  Seja f(x)=cos(nx).sen(5x/n), onde n é um inteiro positivo. Determine a soma
dos valores de n para os quais f tem período igual a 3pi.



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Re: [obm-l] Trigonometria...

[fagner almeida]

  http://imagetoker.com/viewer.php?id=890318geometria.JPG

http://imagetoker.com/viewer.php?id=541398geometria2.JPG 
   
   
  quem puder  ajuda  valeu


   
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Re: [obm-l] Trigonometria...

[fagner almeida]

vamos lá
   
  sabendo que   cosx =sen( 90 - x)
  temos
   
  sen(2x + 30)  -   sen(90 - x) = 0
   
  aplicando a  relação  para  transforma  soma  em produto
  sen x  -  seny = 2sen[(x - y)/2].cos[(x + y)/2] 
  então
   
  2sen[( 2x +30 -90  +x )/2].cos](2x + 30 + 90 - x)/2] =0 
   
  2sen[(3x -60)/2].cos[(x + 120)/2] =0
   
  sen[(3x -60)/2]=0   ou   cos[(x + 120)/2] =0
   
  (3x - 60)/2 =  k180ou   (x+  120)/2= 90  + k180
   
  x = 120k + 20ou   x = 60 + k360
   
  k=0   x = 20k=0 x=60
  k=1   x = 140  k=1  x=420  não  pertence (0,360)
  k=2   x  = 260
  k=3   x  não pertence  (0,360)
   
  a  soma  é   20 + 140 + 260 + 60  =480
  espero  ter  ajudado
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
  

Joao Victor Brasil [EMAIL PROTECTED] escreveu:
  Caro Saulo,

Tente numa calculadora cos80-sin190(2*80+30)=0

Não bate!!!

mas valeu assim mesmo.
JVB

On 12/19/07, saulo nilson wrote:
 3x+30=90
 x=20º
 3x+30=270
 x=80



 On 12/19/07, Joao Victor Brasil wrote:
 
  Olá pessoal,
 
  Estou precisando de uma ajuda para resolver este problema:
 
  No intervalo [0º,360º], a soma dos valores que satisfazem a eqaução
  sen(2x+30º)=cosx.
 
  Agradeço desde já a ajuda.
 
  Abraços,
 
  Joao Victor
 
  =
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Re: [obm-l] Trigonometria...

[João Luís Gomes Guimarães]

No primeiro, é só observar que, na figura, os dois triângulos ROP e QOP possuem 
as caracterísitcas do enunciado (porque RO = QO (pela informação que está no 
desenho), OP = OP (lado comum aos dois triângulos) e P = P (ângulo comum aos 
dois triângulos)), mas obviamente os dois triângulos não são congruentes;

O segundo link é um pouco extenso para a minha falta de tempo no momento. 
quando puder, volto a ele, ou então algum outro colega da lista responde pra 
você.

Um abraço,

João Luís.
  - Original Message - 
  From: fagner almeida 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, December 20, 2007 5:00 PM
  Subject: Re: [obm-l] Trigonometria...




  http://imagetoker.com/viewer.php?id=890318geometria.JPG

  http://imagetoker.com/viewer.php?id=541398geometria2.JPG 


  quem puder  ajuda  valeu



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Re: [obm-l] Trigonometria...

[saulo nilson]

3x+30=90
x=20º
3x+30=270
x=80



On 12/19/07, Joao Victor Brasil [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Olá pessoal,

 Estou precisando de uma ajuda para resolver este problema:

 No intervalo [0º,360º], a soma dos valores que satisfazem a eqaução
 sen(2x+30º)=cosx.

 Agradeço desde já a ajuda.

 Abraços,

 Joao Victor

 =
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Re: [obm-l] Trigonometria...

[Joao Victor Brasil]

Caro Saulo,

Tente numa calculadora cos80-sin190(2*80+30)=0

Não bate!!!

mas valeu assim mesmo.
JVB

On 12/19/07, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote:
 3x+30=90
 x=20º
 3x+30=270
 x=80



 On 12/19/07, Joao Victor Brasil [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
  Olá pessoal,
 
  Estou precisando de uma ajuda para resolver este problema:
 
  No intervalo [0º,360º], a soma dos valores que satisfazem a eqaução
  sen(2x+30º)=cosx.
 
  Agradeço desde já a ajuda.
 
  Abraços,
 
  Joao Victor
 
  =
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Re: [obm-l] trigonometria

[César Santos]

Chame um dos ângulos não fornecidos do quadrilátero PABC de x o outro de 
360-(x+20+26+60) e aplique a lei dos senos para achar PB usando esses ângulos 
acima citados, os outros segmentos é o mesmo esquema.

Graciliano Antonio Damazo [EMAIL PROTECTED] escreveu:galera, estou com 
dificuldades nesse exercicio.
   
  1) um quadrilatero PABC onde temos AB=4, BC=5, angulo(ABC)=60º( angulo do 
vertice B), angulo(APB)=20º e angulo(BPC)=26º. Calcular PA, PB e PC.
   
  esse exercicio é do livro da coleção do professor de matematica da SBM.
   
  Desde de já agradeço.
   
  Graciliano

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Re: [obm-l] Trigonometria-IME

[Iuri]

(senx)^3 + (cosx)^3 = 1 - (senx * cosx)^2

Fatorando: (senx+cosx)(sen²x+cos²x-senx.cosx)=(1-senx*cosx)(1+senx*cosx)

Como sen²x+cos²x=1: (senx+cosx)(1-senx.cosx)=(1-senx*cosx)(1+senx*cosx)

Colocando (1-senx.cosx) em evidencia: (1-senx.cosx)(senx+cosx-1-senx.cosx)=0

Desenvolvendo soh o segundo fator: senx+cosx-1-senx.cosx = (senx-1) -
cosx(senx-1) = (senx-1)(1-cosx)

Entao o produto que temos eh: (senx-1)(1-cosx).(1-senx.cosx) = 0

Dai temos, senx=1 ou cosx=1 ou senx.cosx=1 = sen2x=1/2, que é x=2kpi ou
x=pi/2 + 2kpi ou 2x=pi/6+2kpi ou 2x=5pi/6+2kpi

O conjunto solucao da equacao eh { 2kpi, pi/2 + 2kpi, pi/12 + kpi,
5pi/12+kpi }

Espero nao ter errado nenhuma conta.



On Nov 27, 2007 1:37 AM, Graciliano Antonio Damazo 
[EMAIL PROTECTED] wrote:

 Amigos da lista, vieram me perguntar sobre uma questao do IME de
 trigonometria e minha soluçao nao concordava com a do gabarito, entao
 gostaria que voces me ajudassem:

 1) resolva a equação:

 (senx)^3 + (cosx)^3 = 1 - (senx * cosx)^2

 agradeço desde de já pela ajuda...

 Graciliano

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Re: [obm-l] Trigonometria-IME

[César Santos]

Eu acho que é isso:
  Primeiro membro soma de dois cubos, segundo membro diferença de dois 
quadrados::
  (senx+cosx)(sen²x -senxcosx +cos²) =  (1-senxcosx)(1+senxcosx)
  sen²x+cos²x = 1
  Então:
  (senx+cosx)(1-senxcosx) = (1-senxcosx)(1+senxcosx)
  (senx+cosx) = (1+senxcosx)
  Elevando ao quadrado:
  sen²x + 2senxcosx + cos²x = 1 + 2senxcosx + sen²xcos²x
  1 + 2senxcosx = 1 + 2senxcosx + sen²xcos²x
  sen²xcos²x = 0
  cos²x = 1 -sen²x
  sen²x(1-sen²x) = 0
  sen²x = 0  == x = 0 +k*pi (k inteiro)
  1-sen²x = 0 == senx = -1 ou senx = 1  == x = pi/2 + k*pi 
  

Graciliano Antonio Damazo [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Amigos da lista, vieram me perguntar sobre uma questao do IME de 
trigonometria e minha soluçao nao concordava com a do gabarito, entao gostaria 
que voces me ajudassem:
   
  1) resolva a equação:
   
  (senx)^3 + (cosx)^3 = 1 - (senx * cosx)^2 
   
  agradeço desde de já pela ajuda...
   
  Graciliano

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Re: [obm-l] Trigonometria-IME

[Graciliano Antonio Damazo]

Iuri, muito obrigado pela sua ajuda, e eu resolvi igualzinho a vc, com os 
mesmos passos. Só que na expressao senx.cosx=1 = sen2x=1/2 tem um equivoco 
pois o correto seria senx.cosx=1 = sen2x=2 o que é impossivel, servido como 
solução as outras que vc encontrou...eu acho que é isso nao é?
  Entao muito obrigado pela ajuda e até a proxima..
   
  Graciliano 
Iuri [EMAIL PROTECTED] escreveu:
  (senx)^3 + (cosx)^3 = 1 - (senx * cosx)^2

Fatorando: (senx+cosx)(sen²x+cos²x-senx.cosx)=(1-senx*cosx)(1+senx*cosx)

Como sen²x+cos²x=1: (senx+cosx)(1-senx.cosx)=(1-senx*cosx)(1+senx*cosx)

Colocando (1-senx.cosx ) em evidencia: (1-senx.cosx)(senx+cosx-1-senx.cosx)=0

Desenvolvendo soh o segundo fator: senx+cosx-1-senx.cosx = (senx-1) - 
cosx(senx-1) = (senx-1)(1-cosx)

Entao o produto que temos eh: (senx-1)(1-cosx).(1-senx.cosx ) = 0

Dai temos, senx=1 ou cosx=1 ou senx.cosx=1 = sen2x=1/2, que é x=2kpi ou x=pi/2 
+ 2kpi ou 2x=pi/6+2kpi ou 2x=5pi/6+2kpi

O conjunto solucao da equacao eh { 2kpi, pi/2 + 2kpi, pi/12 + kpi, 5pi/12+kpi } 

Espero nao ter errado nenhuma conta.



  On Nov 27, 2007 1:37 AM, Graciliano Antonio Damazo [EMAIL PROTECTED] wrote: 
Amigos da lista, vieram me perguntar sobre uma questao do IME de 
trigonometria e minha soluçao nao concordava com a do gabarito, entao gostaria 
que voces me ajudassem: 
   
  1) resolva a equação:
   
  (senx)^3 + (cosx)^3 = 1 - (senx * cosx)^2 
   
  agradeço desde de já pela ajuda...
   
  Graciliano

  
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Re: [obm-l] Trigonometria-IME

[Graciliano Antonio Damazo]

César, o seu metodo também nao esta errado, porem vc elevou ao quadrado em um 
trecho de sua solução e isso muitas vezes acrescenta raizes a mais no final que 
nao fazem parte do conjunto solução..por isso devemos conferir a resposta 
nesses casos...aqui tem soluçoes a maismas tambem me ajudou muito e 
obrigado mais uma vez
  

César Santos [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Eu acho que é isso:
  Primeiro membro soma de dois cubos, segundo membro diferença de dois 
quadrados::
  (senx+cosx)(sen²x -senxcosx +cos²) =  (1-senxcosx)(1+senxcosx)
  sen²x+cos²x = 1
  Então:
  (senx+cosx)(1-senxcosx) = (1-senxcosx)(1+senxcosx)
  (senx+cosx) = (1+senxcosx)
  Elevando ao quadrado:
  sen²x + 2senxcosx + cos²x = 1 + 2senxcosx + sen²xcos²x
  1 + 2senxcosx = 1 + 2senxcosx + sen²xcos²x
  sen²xcos²x = 0
  cos²x = 1 -sen²x
  sen²x(1-sen²x) = 0
  sen²x = 0  == x = 0 +k*pi (k inteiro)
  1-sen²x = 0 == senx = -1 ou senx = 1  == x = pi/2 + k*pi 
  

Graciliano Antonio Damazo [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Amigos da lista, vieram me perguntar sobre uma questao do IME de 
trigonometria e minha soluçao nao concordava com a do gabarito, entao gostaria 
que voces me ajudassem:
   
  1) resolva a equação:
   
  (senx)^3 + (cosx)^3 = 1 - (senx * cosx)^2 
   
  agradeço desde de já pela ajuda...
   
  Graciliano

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RE: [obm-l] trigonometria

[Tales Prates Correia]

  Olá!

  Acredito que existam soluções mais elegantes, porém no momento só 
disponho da que segue.

  Para resolver a equação proposta, recorreremos às identidades a 
seguir:

  cos2x = 2cos²x -1

  cos3x = 4cos³x - 3cosx

  Válidas para qualquer x real.

  Temos, então, a equação:

  cos²x + (2cos²x - 1)² + (4cos³x - 3cosx)² = 1

  Façamos, então, y = cosx. A nova equação tem a forma: 

  y² + (2y² - 1)² + y²(4y² - 3)² = 1

  Após algumas transformações algébricas simples, nós chegamos à 
presente equação equivalente:

  y²[8(y²)² - 10y² + 3] = 0

  cujas raízes são y = 0, y = sqrt{1/2}, y = -sqrt{1/2}, y = sqrt{3/4} 
e y = -sqrt{3/4}.

  Basta, então, você resolver a coleção de equações obtidas, 
lembrando-se de que y = cosx.

  Resposta: S = {x real | x= pi/6 + kpi ou x = -pi/6 + kpi ou x = pi/3 
+ kpi ou x = -pi/3 + kpi ou x = pi/2 + kpi, com k inteiro}

  Acho que seja isso.

  Abraços!
Date: Mon, 19 Nov 2007 19:07:16 -0300
From: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] trigonometria
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Galera estou enroscado nessa questao. 1) (cosx)^2 + (cos2x)^2 + (cos3x)^2 = 
1 agradeço desde já 


  Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
armazenamento! 

_
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Re: [obm-l] trigonometria

[Nicolau C. Saldanha]

On Nov 7, 2007 5:07 PM, Graciliano Antonio Damazo
[EMAIL PROTECTED] wrote:
 Galera, estou com uma dificuldade de resolver este exercicio:

 1) prove  que: tg20º.tg30º.tg40º = tg10º

Seja z = exp(pi i/18) = cos(10 graus) + i sen(10 graus).

Temos
i tan(10 graus) = (z-z^(-1))/(z+z^(-1))
i tan(20 graus) = (z^2-z^(-2))/(z^2+z^(-2))
i tan(30 graus) = (z^3-z^(-3))/(z^3+z^(-3))
i tan(40 graus) = (z^4-z^(-4))/(z^4+z^(-4))

donde basta verificar que
(z-z^(-1))(z^2+z^(-2))(z^3+z^(-3))(z^4+z^(-4)) +
(z+z^(-1))(z^2-z^(-2))(z^3-z^(-3))(z^4-z^(-4)) = 0.

Para isso basta expandir o lado esquerdo que dá
2*(z-1)*(z+1)*(z^2+1)*(z^4+1)*(z^12-z^6+1)/z^10.

Assim basta verificar que z^12-z^6+1 = 0.
Mas z^12-z^6+1 = (z^18+1)/((z^2+1)*(z^4-z^2+1)) = 0.

N.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] trigonometria

[Carlos Nehab]

Oi, Graciliano,

Nicolau ja deu uma soluo muito legal, indicando, na verdade, uma
tcnica geral para problemas desta natureza (o que  extremamente
til). 

Eis entretanto outra soluo, que embora local,  bonitinha (e se voc
ainda no souber complexos, esta o agradar:
(use fonte courier, monoespaada, por exemplo, para no esculhambar
os espaamentos a seguir). 

tg20.tg30.tg40 = tg10 sss
tg20.tg40 = cot30.cot80 sss
sen20.sen40 cos30.cos80
--- = --- sss (usando propores)
cos20.cos40 sen30.sen80

cos20.cos40 + sen20.sen40 sen30.sen80 + cos30.cos80
- = - sss
cos20.cos40 - sen20.sen40 sen30.sen80 - cos30.cos80

cos20 cos50 
- = --- sss 
cos60 -cos110 

cos20 sen40 
- = -- sss 
cos60 sen20 

2.sen20.cos20 = sen40 
que  obviamente verdadeira...

Abraos
Nehab

Graciliano Antonio Damazo escreveu:

  Galera, estou com uma dificuldade de resolver este exercicio:
  
  1) prove que: tg20.tg30.tg40 = tg10
  
  Agredeo desde j
  
  Graciliano
   
  Abra sua conta no Yahoo!
Mail, o nico sem limite de espao para armazenamento! 



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Trigonometria

[Henrique Rennó]

On 10/14/07, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote:
 1) considere a função f(x) = arc cos (2x dividido por 1+x)
 calcule F(pi sobre 2).

Se substituirmos x por pi/2 teremos

(2*pi/2) / (1+pi/2)

Cancelando o 2 que multiplica e divide no numerador.
Multiplicando e dividindo o 1 por 2 para que fique com o mesmo
denominador que pi/2 e possamos somar os numeradores.

pi / (2/2+pi/2) = pi / (2+pi)/2

O inverso do inverso de 2 é o próprio 2, ou seja, 1 / 1/2 = 2. Logo o
2 dividindo pi+2 se torna um 2 multiplicando pi no numerador.

pi / (2+pi)/2 = 2pi/(pi+2) que é um valor maior do que 1, pois 2pi é
aproxidamamente 6,28 e pi+2 é aproximadamente 5,14 (já que pi é
aproximadamente 3,14). 6,28 / 5,14  1

O valor de cos(x) está sempre no intervalo [-1,1], logo não é possível
calcular o arccos dado no problema.

A função dada e o valor pedido estão corretos?

 2) Resolva em R
 tgx + tg2x - tg3x = 0

As duas igualdades ajudarão na resolução do problema. Elas são obtidas
através da relação tg(x+y) = (tgx + tgy)/(1 - tgx*tgy) que pode ser
obtida das relações de seno da soma e coseno da soma de 2 ângulos x e
y.

tg2x = 2tgx / (1 - (tgx)^2)
tg3x = (3tgx - (tgx)^3) / (1 - 3(tgx)^2)

tgx + tg2x - tg3x = 0  -- tg3x = tgx + tg2x

(3tgx - (tgx)^3) / (1 - 3(tgx)^2) = tgx + 2tgx / (1 - (tgx)^2)

Multiplicando tgx do lado direito da igualdade por (1 - (tgx)^2) temos

(3tgx - (tgx)^3) / (1 - 3(tgx)^2) = (tgx - (tgx)^3) / (1 - (tgx)^2) +
2tgx / (1 - (tgx)^2)

(3tgx - (tgx)^3) / (1 - 3(tgx)^2) = (tgx - (tgx)^3 + 2tgx) / (1 - tgx)^2)

(3tgx - (tgx)^3) / (1 - 3(tgx)^2) = (3tgx - (tgx)^3) / (1 - (tgx)^2)

Multiplicando toda equação por (1 - (tgx)^2), depois por (1 -
3(tgx)^2) e depois por 1 / (3tgx - (tgx)^3) obtemos

1 - (tgx)^2 = 1 - 3(tgx)^2

Subtraindo 1 de cada lado e somando 3(tgx)^2 em cada lado

2(tgx)^2 = 0

Dividindo ambos lados por 2

(tgx)^2 = 0

Para que a igualdade seja válida, tgx tem que ser 0, o que é possível
quando x = k*pi, para k pertencente aos inteiros, ou seja, ..., -3,
-2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

A tgx é 0 para x = k*pi e k em Z pois tgx = senx / cosx e senx é 0
quando x = k*pi e k em Z.

Logo, x = k*pi, k pertencente a Z é solução de tgx + tg2x - tg3x = 0

-- 
Henrique

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Re: [obm-l] Trigonometria

[rejane]

Oi Henrique,

muito obrigada pela explicação.
Quanto a primeira questão a função é essa mesma arc cos 2x : 1+x 
é pedido dom., f(0) e f(pi:2).

Muito obrigada  e boa tarde.




 On 10/14/07, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote:
  1) considere a função f(x) = arc cos (2x dividido por 1+x)
  calcule F(pi sobre 2).
 
 Se substituirmos x por pi/2 teremos
 
 (2*pi/2) / (1+pi/2)
 
 Cancelando o 2 que multiplica e divide no numerador.
 Multiplicando e dividindo o 1 por 2 para que fique com o mesmo
 denominador que pi/2 e possamos somar os numeradores.
 
 pi / (2/2+pi/2) = pi / (2+pi)/2
 
 O inverso do inverso de 2 é o próprio 2, ou seja, 1 / 1/2 = 2. Logo o
 2 dividindo pi+2 se torna um 2 multiplicando pi no numerador.
 
 pi / (2+pi)/2 = 2pi/(pi+2) que é um valor maior do que 1, pois 2pi é
 aproxidamamente 6,28 e pi+2 é aproximadamente 5,14 (já que pi é
 aproximadamente 3,14). 6,28 / 5,14  1
 
 O valor de cos(x) está sempre no intervalo [-1,1], logo não é possível
 calcular o arccos dado no problema.
 
 A função dada e o valor pedido estão corretos?
 
  2) Resolva em R
  tgx + tg2x - tg3x = 0
 
 As duas igualdades ajudarão na resolução do problema. Elas são obtidas
 através da relação tg(x+y) = (tgx + tgy)/(1 - tgx*tgy) que pode ser
 obtida das relações de seno da soma e coseno da soma de 2 ângulos x e
 y.
 
 tg2x = 2tgx / (1 - (tgx)^2)
 tg3x = (3tgx - (tgx)^3) / (1 - 3(tgx)^2)
 
 tgx + tg2x - tg3x = 0  -- tg3x = tgx + tg2x
 
 (3tgx - (tgx)^3) / (1 - 3(tgx)^2) = tgx + 2tgx / (1 - (tgx)^2)
 
 Multiplicando tgx do lado direito da igualdade por (1 - (tgx)^2) temos
 
 (3tgx - (tgx)^3) / (1 - 3(tgx)^2) = (tgx - (tgx)^3) / (1 - (tgx)^2) +
 2tgx / (1 - (tgx)^2)
 
 (3tgx - (tgx)^3) / (1 - 3(tgx)^2) = (tgx - (tgx)^3 + 2tgx) / (1 - tgx)^2)
 
 (3tgx - (tgx)^3) / (1 - 3(tgx)^2) = (3tgx - (tgx)^3) / (1 - (tgx)^2)
 
 Multiplicando toda equação por (1 - (tgx)^2), depois por (1 -
 3(tgx)^2) e depois por 1 / (3tgx - (tgx)^3) obtemos
 
 1 - (tgx)^2 = 1 - 3(tgx)^2
 
 Subtraindo 1 de cada lado e somando 3(tgx)^2 em cada lado
 
 2(tgx)^2 = 0
 
 Dividindo ambos lados por 2
 
 (tgx)^2 = 0
 
 Para que a igualdade seja válida, tgx tem que ser 0, o que é possível
 quando x = k*pi, para k pertencente aos inteiros, ou seja, ..., -3,
 -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
 
 A tgx é 0 para x = k*pi e k em Z pois tgx = senx / cosx e senx é 0
 quando x = k*pi e k em Z.
 
 Logo, x = k*pi, k pertencente a Z é solução de tgx + tg2x - tg3x = 0
 
 -- 
 Henrique
 
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Re: [obm-l] Trigonometria

[saulo nilson]

x/2sen2a+ycoa^2=asen2a
x/2sem2a-ysena^2=a/2sen2a
y=a/2sen2a
xsen2a+ycos2a=3a/2sen2a
x2y/a+1/ayrq(a^2-4y^2)=3y
3a-2x=rq(a^2-4y^2)
(3a-2x)^2=a^2-4y^2
4y^2+4x^2-12ax+8a^2=0
y^2+x^2-3ax+2a^2=0



On 9/26/07, Roger [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Caros,

 Bom dia,

 Uma ajuda para concluir a seguinte questão:

 Eliminando q nas equações:

 x.senq +ycosq =2asenq
 xcosq -ysenq =acosq , a0, temos:

 a) [(x+y)^2/3] - [(x-y)^2/3] = 2a[(x+y)^2/3]
 b) [(x+y)^2/3] + [(x-y)^2/3] = 2(a^2/3)
 c) [(x+y)^2] + [(x-y)^2] = a(x+y)
 d) nenhuma das respostas anteriores
 e) impossível eliminar q

 Grato.

Re: [obm-l] Trigonometria

[Dênis Emanuel da Costa Vargas]

Se você multiplicar a 1a equação por cos (teta) e a 2a equação por -sen(teta), 
você consegue isolar x e y em funão de teta e de a. Na pior das hipóteses, 
substitua x e y nas alternativas. Tomara que seja uma delas, pois esse método 
só vale pra questões de múlipla escolha. Se não for nenhuma, não podemos 
concluir que seja possível ou impossível eliminar teta. Devemos pensar outra 
solução neste caso. Mas acho que vale tentar. Põe o maple pra trabalhar.
   
  abraços
   
  Dênis

Roger [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Caros,
   
  Bom dia,
   
  Uma ajuda para concluir a seguinte questão:
   
  Eliminando q nas equações:
   
  x.senq +ycosq =2asenq 
  xcosq -ysenq =acosq , a0, temos:
   
  a) [(x+y)^2/3] - [(x-y)^2/3] = 2a[(x+y)^2/3]
  b) [(x+y)^2/3] + [(x-y)^2/3] = 2(a^2/3)
  c) [(x+y)^2] + [(x-y)^2] = a(x+y)
  d) nenhuma das respostas anteriores
  e) impossível eliminar q 
   
  Grato.
   
   


   Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais.

Re: [obm-l] Trigonometria

[Samir Rodrigues]

Nao sei se ajuda muito, mas o sistema representa um círculo de raio a/2 e
centro (3a/2,0)

Em 26/09/07, Dênis Emanuel da Costa Vargas [EMAIL PROTECTED]
escreveu:

 Se você multiplicar a 1a equação por cos (teta) e a 2a equação por
 -sen(teta), você consegue isolar x e y em funão de teta e de a. Na pior das
 hipóteses, substitua x e y nas alternativas. Tomara que seja uma delas, pois
 esse método só vale pra questões de múlipla escolha. Se não for nenhuma, não
 podemos concluir que seja possível ou impossível eliminar teta. Devemos
 pensar outra solução neste caso. Mas acho que vale tentar. Põe o maple pra
 trabalhar.

 abraços

 Dênis

 *Roger [EMAIL PROTECTED]* escreveu:

 Caros,

 Bom dia,

 Uma ajuda para concluir a seguinte questão:

 Eliminando q nas equações:

 x.senq +ycosq =2asenq
 xcosq -ysenq =acosq , a0, temos:

 a) [(x+y)^2/3] - [(x-y)^2/3] = 2a[(x+y)^2/3]
 b) [(x+y)^2/3] + [(x-y)^2/3] = 2(a^2/3)
 c) [(x+y)^2] + [(x-y)^2] = a(x+y)
 d) nenhuma das respostas anteriores
 e) impossível eliminar q

 Grato.




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-- 
Samir Rodrigues

Re: [obm-l] Trigonometria

[Arlane Manoel S Silva]

  Uma possível solução. Confira todas as contas, por favor!

  No sistema dado, queremos eliminar sen(q) e cos(q). Primeiro  
reescrevemos o sistema assim:

   (x-2a)sen(q) + ycos(q) =0 (I)
   -ysen(q) + (x-a)cos(q)=0   (II)

  É fácil ver que o sistema homogênio acima admite solução  
não-trivial em termos de das variáveis sen(q) e cos(q). Então

   (II) = ysen(q)=(x-a)cos(q)

  Agora multiplicamos (I) por y e depois substituimos o resultado  
acima, o que dá:


  {(x-2a)(x-a)+y^2}cos(q) =0

  Se cos(q)=0 então, de (I) e (II) temos que x=2a e y=0, pois neste  
caso sen(q) é diferente de zero.

  Caso contrário,
  (x-2a)(x-a)+y^2 =0  =  (x-3a/2)^2 + y^2 = (a/2)^2

  De qualquer forma, concluo que a alternativa correta é D.

  inté


Citando Roger [EMAIL PROTECTED]:


Caros,

Bom dia,

Uma ajuda para concluir a seguinte questão:

Eliminando q nas equações:

x.senq +ycosq =2asenq
xcosq -ysenq =acosq , a0, temos:

a) [(x+y)^2/3] - [(x-y)^2/3] = 2a[(x+y)^2/3]
b) [(x+y)^2/3] + [(x-y)^2/3] = 2(a^2/3)
c) [(x+y)^2] + [(x-y)^2] = a(x+y)
d) nenhuma das respostas anteriores
e) impossível eliminar q

Grato.





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Arlane Manoel S Silva
  MAT-IME-USP


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Re: [obm-l] Trigonometria

[Samir Rodrigues]

Então, como tinha dito, é um círculo de centro (3a/2,0) e raio a/2; mas aí
nao quis arriscar concluir que era D, apesar de que as outras equações tem
uma cara de astróide

Em 26/09/07, Arlane Manoel S Silva [EMAIL PROTECTED] escreveu:

Uma possível solução. Confira todas as contas, por favor!

No sistema dado, queremos eliminar sen(q) e cos(q). Primeiro
 reescrevemos o sistema assim:
 (x-2a)sen(q) + ycos(q) =0 (I)
 -ysen(q) + (x-a)cos(q)=0   (II)

É fácil ver que o sistema homogênio acima admite solução
 não-trivial em termos de das variáveis sen(q) e cos(q). Então
 (II) = ysen(q)=(x-a)cos(q)

Agora multiplicamos (I) por y e depois substituimos o resultado
 acima, o que dá:

{(x-2a)(x-a)+y^2}cos(q) =0

Se cos(q)=0 então, de (I) e (II) temos que x=2a e y=0, pois neste
 caso sen(q) é diferente de zero.
Caso contrário,
(x-2a)(x-a)+y^2 =0  =  (x-3a/2)^2 + y^2 = (a/2)^2

De qualquer forma, concluo que a alternativa correta é D.

inté


 Citando Roger [EMAIL PROTECTED]:

  Caros,
 
  Bom dia,
 
  Uma ajuda para concluir a seguinte questão:
 
  Eliminando q nas equações:
 
  x.senq +ycosq =2asenq
  xcosq -ysenq =acosq , a0, temos:
 
  a) [(x+y)^2/3] - [(x-y)^2/3] = 2a[(x+y)^2/3]
  b) [(x+y)^2/3] + [(x-y)^2/3] = 2(a^2/3)
  c) [(x+y)^2] + [(x-y)^2] = a(x+y)
  d) nenhuma das respostas anteriores
  e) impossível eliminar q
 
  Grato.
 



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 Arlane Manoel S Silva
MAT-IME-USP


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Re: [obm-l] Trigonometria

[Andre Araujo]

Raphael,

1/sen2x + 1/cos2x= 1+cotg2x + 1+tg2x = (sen2x + cos2x)/(sen2x * cos2x) = 2
+ [sen^2 (2x) + cos^2 (2x)]/(sen2x * cos2x)

sen2x + cos2x = 1 + 2*(sen2x * cos2x) = sen^2 (2x) + cos^2 (2x) + 2* (sen2x
* cos2x) = 1 + 4*[sen^2 (2x) * cos^2 (2x)]  + 4*[sen(2x) * cos(2x)]
=  4*[sen^2 (2x) * cos^2 (2x)]  + 2*[sen(2x) * cos(2x)] =  2*(sen2x *
cos2x) ( 2*sen2x * cos2x + 1) = 0
sen4x = -1 = 4x = 3*pi/2 + 2*k*pi, k inteiro. Assim, x = 3*pi/8 + k*pi/2.

André Araújo.




Em 30/06/07, Raphael Henrique Pereira dos Santos [EMAIL PROTECTED]
escreveu:



Olá pessoal!!!

Estou tentando simplificar esta expressãopor favor, me ajudem a
terminar

1/sen2x + 1/cos2x= 1+cotg2x + 1+tg2x.

_
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Re: [obm-l] trigonometria

[Marcelo Salhab Brogliato]

Ola,

nao entendia sua pergunta, vamos la:
sen(2x) = 2senxcosx = 2senx

vamos dizer que senx=0, entao, um conjunto de solucoes é: x = k*pi
agora, para senx != 0, temos:
2cosx = 2
cosx=1... x = k*2*pi

como a conjunto solucao eh a uniao destas solucoes:
U = { x | x = k*pi, k inteiro }

abracos,
Salhab


On 4/6/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote:

sen2x = 2senx ...só para x real?


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Re: [obm-l] trigonometria

[vitoriogauss]

Ok...valeutinha essa alternativa
muito obrigado
 Ola,
 
 nao entendia sua pergunta, vamos la:
 sen(2x) = 2senxcosx = 2senx
 
 vamos dizer que senx=0, entao, um conjunto de solucoes é: x = k*pi
 agora, para senx != 0, temos:
 2cosx = 2
 cosx=1... x = k*2*pi
 
 como a conjunto solucao eh a uniao destas solucoes:
 U = { x | x = k*pi, k inteiro }
 
 abracos,
 Salhab
 
 
 On 4/6/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote:
  sen2x = 2senx ...só para x real?
 
 
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Vitório Gauss


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Re: [obm-l] trigonometria

[Bruno França dos Reis]

Não entendi, vc quer saber para quais x vale sen2x = 2senx?
sen2x = 2 senx cosx = 2 senx
sen x = 0 ou cos x = 1, aí acabou


On 4/6/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote:


sen2x = 2senx ...só para x real?


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--
Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000

e^(pi*i)+1=0

Re: [obm-l] trigonometria

[Renan Kruchelski Machado]

tg x + sen x = m
tg x - sen x = n == senx = (m - n)/2 e tgx = (m+n)/2.

Ai lembrando que (cotg x)^2 + 1 = (cossec x)^2 tem-se

4/(m - n)^2 = 1 + 4/(m+n)^2 == 8mn = (m^2 - n^2)^2


Em 29/03/07, Julio Sousa [EMAIL PROTECTED] escreveu:


eliminar o arco x na igualdade

tgx + senx = m e tgx - senx = n




--
Atenciosamente
Júlio Sousa

Re: [obm-l] trigonometria

[Iuri]

tg x + sen x = m
tg x - sen x = n

Colocando tgx em evidencia:
tgx(1+cosx)=m
tgx(1-cosx)=n

Multiplicando as duas, tg²x(1-cos²x)=mn - tg²x.sen²x=mn

Eh facil ver que tgx=(m+n)/2 e senx=(m-n)/2.

[m²-n²]²=16mn


On 3/29/07, Renan Kruchelski Machado [EMAIL PROTECTED] wrote:


tg x + sen x = m
tg x - sen x = n == senx = (m - n)/2 e tgx = (m+n)/2.

Ai lembrando que (cotg x)^2 + 1 = (cossec x)^2 tem-se

4/(m - n)^2 = 1 + 4/(m+n)^2 == 8mn = (m^2 - n^2)^2


Em 29/03/07, Julio Sousa [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 eliminar o arco x na igualdade

 tgx + senx = m e tgx - senx = n




 --
 Atenciosamente
 Júlio Sousa

Re: [obm-l] trigonometria

[saulo nilson]

cosB = senA/2*senC


A nao pode ser 90 porque senao teriamos
sen45=1 imp0ossivel
B=90
senA/2*senC=0
cos(A/2-C)=cos(a/2+C)
A/2-C=A/2+C
C=0 nao pode
A/2-C=A/2+C+360 impossivel
C=90
cosB=senA/2
B=A/2=pi/4
ou
B+A/2=90
ficamos com
B=45=2C letraB

On 3/26/07, Julio Sousa [EMAIL PROTECTED] wrote:


1) Sendo A, B, C ângulos internos de um triângulo retângulo, prove que:

senA + senB + senC = 4*cos(A/2)*cos(B/2)*cos(C/2)

2) Se num triângulo retângulo for satisfeita a igualdade cosB =
senA/2*senC, existirá entre seus ângulos a relação

a) B = A+C
b) B = 2C
c) C = 2B
d) C = A - B
e) B = C


--
Atenciosamente
Júlio Sousa

Re: [obm-l] trigonometria

[Renan Kruchelski Machado]

1) Por que o triangulo tem que ser retangulo??

senA + senB + senC = 2*sen(A+B)/2*cos(A-B)/2 + 2*sen(A+B)/2*cos(A+B)/2 =

2*sen(A+B)/2 ( cos(A-B)/2 + cos(A+B)/2) = 2*cosC/2 ( 2*cosA/2*cosB/2) =

4*cosA/2*cosB/2*cosC/2.

Eu nao usei em nenhuma parte que ele tem que ser retangulo.










Em 26/03/07, Julio Sousa [EMAIL PROTECTED] escreveu:


1) Sendo A, B, C ângulos internos de um triângulo retângulo, prove que:

senA + senB + senC = 4*cos(A/2)*cos(B/2)*cos(C/2)

2) Se num triângulo retângulo for satisfeita a igualdade cosB =
senA/2*senC, existirá entre seus ângulos a relação

a) B = A+C
b) B = 2C
c) C = 2B
d) C = A - B
e) B = C


--
Atenciosamente
Júlio Sousa

Re: [obm-l] Trigonometria

[Maria Angela de Camargo]

Faça os gráficos de f(x) = x/100 e de g(x) = sen x.
'Conte' as intersecções.
Não garanto quais, mas você saberá quantas são as soluções.



On 2/22/07, Pedro Costa [EMAIL PROTECTED] wrote:



  Como resolver essa equação


   O número de soluções reais  da equação : x/100 = senx. Eu
sei que uma solução é o( zero) dá mostar outra?






--


--

M. Ângela

RE: [obm-l] Trigonometria

[Guilherme Neves]

 Como resolver essa equação


 O número de soluções reais da equação : x/100 = senx. Eu sei que uma solução é o( zero) dá mostar outra?

Solução:
O problema não pede as raízes... e sim a quantidade de raízes.Note que se um número real k for solução da equação então -k também é raiz.Portando o número de raízes negativas é igual ao número de raízes positivas.E como voce disse.. zero também é raiz da equação.Nosso problema se reduz a encontrar o número de raízes positivas.
Nenhuma raíz, pode em módulo, ultrapassar 100, pois 100/100=1 que é o valor máximo de sen(x). Vamos dividir o intervalo de 0 a 100 em segmentos de comprimento 2*pi, exceto o último segmento que terá comprimento menor.No intervalo de 0 a 2*pi teremos uma raíz.. e em cada um dos outros intervalos teremos duas raizes. examinemos o ultimo intervalo em particular. Teremos 100/2pi intervalos que é um numero entre 15 e 16.Teremos 15 intervalos de comprimento 2pi e o ultimo intervalo tem comprimento 100-15*2pi  pi.O ultimo intervalo é grande o suficiente para conter a parte superior do periodo da senoide , e portanto o ultimo intervalo tambem contribiu com 2 raizes. Então o numero de raízes sera..1 (raiz do primeiro periodo), mais 14*2 (raizes dos demais periodos.. mais 2 do ultimo periodo.. temos entao 31 raizes. O numero total de raizes sera 31*2+1 que é a raiz 
nula. Total: 63Mande Torpedos do seu messsenger para o celular da galera! Clique aqui e descubra como! 

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Trigonometria

[Nicolau C. Saldanha]

On Thu, Mar 15, 2007 at 05:52:34AM -0700, André Smaira wrote:
 Voces poderiam me informar se existe uma função que determinasen kx e cos
 kx em função de sen x, cos x e k?

Temos

cos kx + i sen kx = (cos x + i sen x)^k

Expandindo o lado direito pelo binômio de Newton e tomando
a parte real e imaginária você obtem as fórmulas desejadas.
Por exemplo, para k = 3 temos

cos 3x + i sen 3x = (cos x + i sen x)^3 
  = cos^3 x + 3i cos^2 x sen x - 3 cos x sen^2 x - i sen^3 x
  = (cos^3 x - 3 cos x sen^2 x) + i (3 cos^2 x sen x - sen^3 x)

donde

cos 3x = cos^3 x - 3 cos x sen^2 x
sen 3x = 3 cos^2 x sen x - sen^3 x

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] trigonometria

[Ricardo J.F.]

 

solução da 1:

 

(senx)^3-(cosx)^3=1  =  (senx-cosx)(1+senx.cosx)=1  fazendo  senx – cosx = y, 
temos :

 

a.( 1 + (1-a^2)/2 ) = 1  =  a^3 – 3a + 2 = 0   =  a =1,1,-2  

 

Para a=1 , temos:

senx – cosx =1  =  sen(x-pi/4)=senpi/4  = x={pi/2,pi}+ 2kpi

 

Para a = -2 ,temos;

senx – cosx = -2  = sen(x-pi/4)= -√2 (impossivel)

 

Veja a questão do IME  95/96 questão 2 (essa questão foi de uma IMO)

 

Solução da 2:

 

Seja a = tg(x/2)  =  senx = 2a/(1+a^2)  cosx = (1-a^2)/(1+a^2)

 

Substituindo na equação 2 obtemos  uma equação em a:

 

a^4 + 6a^3 + 6a^2 – 6a + 1 = 0 dividindo por a^2 , temos:

 

(a^2 + 1/a^2) + 6(a - 1/a) + 6 = 0 seja y= a-1/a , então a equação fica:

 

y^2 + 6y + 8 = 0   y­­_1= -4y_2=-2

 

para  y = -4 temos a = -2 ± √5

para  y = -2 temos a = -1 ± √2

 

logo x = 2 arctg{-2 ± √5, -1 ± √2}



Acho que é isso

 

[ ]s,Ricardo J.F.

  - Original Message - 
  From: Graciliano Antonio Damazo 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, February 27, 2007 8:19 PM
  Subject: [obm-l] trigonometria


  estou com dificuldades nessa duas equaçoes. Alguem poderia me ajudar?
  Já agradeço antecipadamente
  1) (senx)^3 - (cosx)^3 = 1

  2) 5(senx)^2 - 3(senx)(cosx) + 4(cosx)^2 = 3
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Re: [obm-l] Trigonometria

[Alex pereira Bezerra]

Vc poderia pensar em tgx = tg(x +10).tg(x+20)tg(x+30),dai vc faz uma mudança
de variável,do tipo y = x+ 15 e sua equação fica tg(y
-15)=tg(y-5)tg(y+5)tg(y +15) dai é só fazer as contas e ver que o resultado
segue

RE: [obm-l] trigonometria

[Rog�rio Possi J�nior]

Caro Vanderlei,


Essa á da IMO-61 ... e a solução pode ser encontrada no livro do Samuel 
Greitzer ou no endereço
http://www.mathlinks.ro/Forum/resources.php?c=1cid=16 , cuja solução 
postada é:



Since cos2x + sin2x = 1, we cannot have solutions with n not 2 and 0  |cos 
x|, |sin x|  1. Nor can we have solutions with n=2, because the sign is 
wrong. So the only solutions have sin x = 0 or cos x = 0, and these are: x = 
multiple of #960;, and n even; x even multiple of #960; and n odd; x = 
even multiple of #960; + 3#960;/2 and n odd.




Sds,


Rogério



From: [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] trigonometria
Date: Fri, 09 Feb 2007 07:38:20 -0200

Olá amigos da lista.

Alguém poderia por favor auxiliar-me com a resolução da equação
cos^n(x) – sen^n(x) = 1, onde n é um número natural?

Muito obrigado!

Vanderlei


_
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] trigonometria

[Carlos Eddy Esaguy Nehab]

Oi, Vanderlei

Esta caiu no IME há algum tempo.  Consulte  o pdf em 
www.lps.ufrj.br/~sergioln/ime  que é a compilação mais completa das 
provas de Matemática do IME.


Abraços,
Nehab

At 07:38 9/2/2007, you wrote:

Olá amigos da lista.

?xml:namespace prefix = o ns = urn:schemas-microsoft-com:office:office /

Alguém poderia por favor auxiliar-me com a resolução da equação

cos^n(x) – sen^n(x) = 1, onde n é um número natural?



Muito obrigado!



Vanderlei

Re: [obm-l] trigonometria

[vandermath]

Muito obrigado colegas, eu já tinha visto a bela resolução do Sérgio, mas não 
queria utilizar derivada, pois é para um aluno do ensino médio que não teve 
esse assunto.

Um abraço,

Vanderlei

- Mensagem Original -
De: Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED]
Data: Sexta-feira, Fevereiro 9, 2007 12:09 pm
Assunto: Re: [obm-l] trigonometria
Para: obm-l@mat.puc-rio.br

 Oi, Vanderlei
 
 Esta caiu no IME há algum tempo.  Consulte  o pdf em 
 www.lps.ufrj.br/~sergioln/ime  que é a compilação mais 
 completa das 
 provas de Matemática do IME.
 
 Abraços,
 Nehab
 
 At 07:38 9/2/2007, you wrote:
 Olá amigos da lista.
 
 ?xml:namespace prefix = o ns = urn:schemas-microsoft-
 com:office:office /
 
 Alguém poderia por favor auxiliar-me com a resolução da equação
 
 cos^n(x) – sen^n(x) = 1, onde n é um número natural?
 
 
 
 Muito obrigado!
 
 
 
 Vanderlei

Re: [obm-l] Trigonometria - O retorno

[Carlos Eddy Esaguy Nehab]

Oi, Luiz e Eduardo,

Ué ! não gostei :-( !!!   Achei a solução sugerida 
inadequada  !!!  Não entendi o mérito da solução NÃO usar   \sum tan 
= \prod tan   mas usar 4 relações que dependem de muito mais 
conhecimento que a referida relação entre as tangentes.


Aliás, a solução que eu sugeri  (que não tem nada que haver com as 
duas anteriores) não possui nenhum mérito, é absolutamente clássica e 
está em qq livro de trigonometria.  Mas não entendo porque vocês 
acharam a relação   r = S/s = 4Rsen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2)   mais 
simples que a relação entre as tangentes, demonstrável em 3 linhas e 
que usa apenas conhecimento primário de trigonometria !


Abraços,
Nehab

At 11:02 16/10/2006, you wrote:

Sauda,c~oes,

Mandei este problema para o Eduardo, o outro autor do
Manual de Trigonometria 2a. ed, com a solução acho que
do Nehab para fazer parte do livro. E ele veio com esta
nova solução. Acho que o Morgado teria gostado de
ambas.

Fui aluno dele no ano 1971, no vestibular do Curso Vetor.
Dava aulas de combinatória (foi aí que comecei a entender
a diferença entre combinações e permutações), números
complexos e polinômios. Atribuo a ele e suas apostilas meu
descobrimento de uma matemática interessante, diferente
do que havia visto até então. Tive muita sorte em tê-lo
tido como professor.

[]'s
Luís

P.S.: imagino que a RPM, SBM, FGV, IMPA etc farão algum
necrológio escrito para ele. Sugiro que as declarações nas
mensagens desta lista façam parte dele.


On Monday 09 October 2006 09:58, you wrote:
cos(a) + cos(b) + cos(c) = 1 + 4*sen(a/2)*sen(b/2)*sen(c/2)
com a + b + c =180° (angulos internos de um triangulo)

Oi Luís,

Sei que é feriadão. É só pra dizer que realmente sai como falei,
mas sem precisar usar que \sum tan = \prod tan.

Sejam (A, B, C) ângulos e (a, b, c) lados de um triângulo T.
Sabe-se que:
1. Lei dos co-senos: a² = b² + c² - 2bc cosA; (análogo para B e C)
2. Heron: S² = s(s-a)(s-b)(s-c), s=(a+b+c)/2;
3. raio do círculo circunscrito a T: R = abc/4S
raio do círculo inscrito em T: r = S/s = 4Rsen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2)
Prova:
cos A + cos B + cos C =
(b² + c² - a²) / 2bc + (a² + c² - b²) / 2ac + (a² + b² - c²) / 2ab =
[2abc + 8(s-a)(s-b)(s-c)] / 2abc = 1 + 4(s-a)(s-b)(s-c) =
1 + r / R = 1 + 4sen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2) Q.E.D.

(referência utilizada: Manual de Trigonometria, Luís Lopes)

Manda pra lista.

Inté+,

Edu.

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Re: [obm-l] Trigonometria - O retorno

[Carlos Yuzo Shine]

Oi gente, agora que tenho um tempinho posso escrever a
outra solução.

Considere um triângulo com ângulos internos A/2, B/2 e
90 + C/2. Pela Lei dos Senos, se o circunraio do
triângulo é 1/2, seus lados medem sen(A/2), sen(B/2) e
sen(90+C/2) = cos(C/2). Pela Lei dos Co-senos,
  cos^2(C/2) = sen^2(A/2) + sen^2(B/2)
  - 2sen(A/2)sen(B/2)cos(90+C/2)

Como cos(90+C/2) = -sen(C/2), cos^2(x/2) = (1+cosx)/2
e sen^2(x/2) = (1-cosx)/2, obtemos
  (1+cos C)/2 = (1-cos A)/2 + (1-cos B)/2
  + 2sen(A/2)sen(B/2)sen(C/2)
e aí é só mexer na continha acima para chegar ao
resultado.

[]'s
Shine

--- Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Oi, Luiz e Eduardo,
 
 Ué ! não gostei :-( !!!   Achei a solução sugerida 
 inadequada  !!!  Não entendi o mérito da solução NÃO
 usar   \sum tan 
 = \prod tan   mas usar 4 relações que dependem de
 muito mais 
 conhecimento que a referida relação entre as
 tangentes.
 
 Aliás, a solução que eu sugeri  (que não tem nada
 que haver com as 
 duas anteriores) não possui nenhum mérito, é
 absolutamente clássica e 
 está em qq livro de trigonometria.  Mas não entendo
 porque vocês 
 acharam a relação   r = S/s =
 4Rsen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2)   mais 
 simples que a relação entre as tangentes,
 demonstrável em 3 linhas e 
 que usa apenas conhecimento primário de
 trigonometria !
 
 Abraços,
 Nehab
 
 At 11:02 16/10/2006, you wrote:
 Sauda,c~oes,
 
 Mandei este problema para o Eduardo, o outro autor
 do
 Manual de Trigonometria 2a. ed, com a solução acho
 que
 do Nehab para fazer parte do livro. E ele veio com
 esta
 nova solução. Acho que o Morgado teria gostado de
 ambas.
 
 Fui aluno dele no ano 1971, no vestibular do Curso
 Vetor.
 Dava aulas de combinatória (foi aí que comecei a
 entender
 a diferença entre combinações e permutações),
 números
 complexos e polinômios. Atribuo a ele e suas
 apostilas meu
 descobrimento de uma matemática interessante,
 diferente
 do que havia visto até então. Tive muita sorte em
 tê-lo
 tido como professor.
 
 []'s
 Luís
 
 P.S.: imagino que a RPM, SBM, FGV, IMPA etc farão
 algum
 necrológio escrito para ele. Sugiro que as
 declarações nas
 mensagens desta lista façam parte dele.
 
 
 On Monday 09 October 2006 09:58, you wrote:
 cos(a) + cos(b) + cos(c) = 1 +
 4*sen(a/2)*sen(b/2)*sen(c/2)
 com a + b + c =180° (angulos internos de um
 triangulo)
 
 Oi Luís,
 
 Sei que é feriadão. É só pra dizer que realmente
 sai como falei,
 mas sem precisar usar que \sum tan = \prod tan.
 
 Sejam (A, B, C) ângulos e (a, b, c) lados de um
 triângulo T.
 Sabe-se que:
 1. Lei dos co-senos: a² = b² + c² - 2bc cosA;
 (análogo para B e C)
 2. Heron: S² = s(s-a)(s-b)(s-c), s=(a+b+c)/2;
 3. raio do círculo circunscrito a T: R = abc/4S
 raio do círculo inscrito em T: r = S/s =
 4Rsen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2)
 Prova:
 cos A + cos B + cos C =
 (b² + c² - a²) / 2bc + (a² + c² - b²) / 2ac + (a² +
 b² - c²) / 2ab =
 [2abc + 8(s-a)(s-b)(s-c)] / 2abc = 1 +
 4(s-a)(s-b)(s-c) =
 1 + r / R = 1 + 4sen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2)
 Q.E.D.
 
 (referência utilizada: Manual de Trigonometria,
 Luís Lopes)
 
 Manda pra lista.
 
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Re: [obm-l] Trigonometria - O retorno de Jedi?

[Carlos Eddy Esaguy Nehab]

Bem, como este exercício está rendendo, pro pessoal de segundo grau 
ai vai a solucao padrao...


Pressupõe-se que conheçam as igualdades básicas
cos p + cos q =  2cos(p+q)/2 . cos(p-q)/2
cos p -  cos q = -2sen (p+q)/2 . sen(p-q)/2
e  1 - cosp = 2.(sen p/2)^2

Provar que cos(a) + cos(b) + cos(c) = 1 + 4*sen(a/2)*sen(b/2)*sen(c/2)
onde a+b+c = 180

Partindo de  cos (a) + cos(b) + cos (c) -1 , vem:
cos (a) + cos(b) + cos (c) -1  = [cos(a) + cos(b)] -  [1 -  cos(c)]
cos (a) + cos(b) + cos (c) -1  = [2cos (a+b)/2 . cos(a-b)/2 
] - [ 2(sen c/2) ^2 ]
Como (a+b)/2 = 90-(c/2), segue-se  que tais arcos são complementares; 
logo, cos(a+b)/2 = sen c/2
cos (a) + cos(b) + cos (c) -1  = 2 sen c/2 [ cos(a-b)/2 - 
cos (a+b)/2 ]
cos (a) + cos(b) + cos (c) -1  = 2 sen c/2 . [-2 sen (2a)/2 
. sen (-2b)/2]

Dai, igualdade provada..

Nehab


At 22:09 16/10/2006, you wrote:

Oi gente, agora que tenho um tempinho posso escrever a
outra solução.

Considere um triângulo com ângulos internos A/2, B/2 e
90 + C/2. Pela Lei dos Senos, se o circunraio do
triângulo é 1/2, seus lados medem sen(A/2), sen(B/2) e
sen(90+C/2) = cos(C/2). Pela Lei dos Co-senos,
  cos^2(C/2) = sen^2(A/2) + sen^2(B/2)
  - 2sen(A/2)sen(B/2)cos(90+C/2)

Como cos(90+C/2) = -sen(C/2), cos^2(x/2) = (1+cosx)/2
e sen^2(x/2) = (1-cosx)/2, obtemos
  (1+cos C)/2 = (1-cos A)/2 + (1-cos B)/2
  + 2sen(A/2)sen(B/2)sen(C/2)
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--- Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Oi, Luiz e Eduardo,

 Ué ! não gostei :-( !!!   Achei a solução sugerida
 inadequada  !!!  Não entendi o mérito da solução NÃO
 usar   \sum tan
 = \prod tan   mas usar 4 relações que dependem de
 muito mais
 conhecimento que a referida relação entre as
 tangentes.

 Aliás, a solução que eu sugeri  (que não tem nada
 que haver com as
 duas anteriores) não possui nenhum mérito, é
 absolutamente clássica e
 está em qq livro de trigonometria.  Mas não entendo
 porque vocês
 acharam a relação   r = S/s =
 4Rsen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2)   mais
 simples que a relação entre as tangentes,
 demonstrável em 3 linhas e
 que usa apenas conhecimento primário de
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 Abraços,
 Nehab

 At 11:02 16/10/2006, you wrote:
 Sauda,c~oes,
 
 Mandei este problema para o Eduardo, o outro autor
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 Manual de Trigonometria 2a. ed, com a solução acho
 que
 do Nehab para fazer parte do livro. E ele veio com
 esta
 nova solução. Acho que o Morgado teria gostado de
 ambas.
 
 Fui aluno dele no ano 1971, no vestibular do Curso
 Vetor.
 Dava aulas de combinatória (foi aí que comecei a
 entender
 a diferença entre combinações e permutações),
 números
 complexos e polinômios. Atribuo a ele e suas
 apostilas meu
 descobrimento de uma matemática interessante,
 diferente
 do que havia visto até então. Tive muita sorte em
 tê-lo
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 On Monday 09 October 2006 09:58, you wrote:
 cos(a) + cos(b) + cos(c) = 1 +
 4*sen(a/2)*sen(b/2)*sen(c/2)
 com a + b + c =180° (angulos internos de um
 triangulo)
 
 Oi Luís,
 
 Sei que é feriadão. É só pra dizer que realmente
 sai como falei,
 mas sem precisar usar que \sum tan = \prod tan.
 
 Sejam (A, B, C) ângulos e (a, b, c) lados de um
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 1. Lei dos co-senos: a² = b² + c² - 2bc cosA;
 (análogo para B e C)
 2. Heron: S² = s(s-a)(s-b)(s-c), s=(a+b+c)/2;
 3. raio do círculo circunscrito a T: R = abc/4S
 raio do círculo inscrito em T: r = S/s =
 4Rsen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2)
 Prova:
 cos A + cos B + cos C =
 (b² + c² - a²) / 2bc + (a² + c² - b²) / 2ac + (a² +
 b² - c²) / 2ab =
 [2abc + 8(s-a)(s-b)(s-c)] / 2abc = 1 +
 4(s-a)(s-b)(s-c) =
 1 + r / R = 1 + 4sen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2)
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Re: [obm-l] trigonometria - O retorno!

[Carlos Victor]

Olá  marinho ,
Faça o seguinte :

A/2+B/2+C/2 = 90°  , então  cos( A/2+B/2) = sen(C/2) --  cos(A/2).Cos(B/2) 
- sen(A/2).sen(B/2) = sen(C/2) ;


multiplique os dois  lados por 4sen(A/2).sen(B/2)  , adicione  uma unidade 
ambos os membros ,


 substitua senA =2sen(A/2).cos(B/2) ,senB=2sen(B/2).cos(B/2) 
e   sen(A/2)^2 =(1-cosA)/2 , fazendo o mesmo  para sen(B/2)^2 .


No  final teremos :  senA.senB -+cosA+cosB -cosA.cosB = 1 + 
4sen(A/2).sen(B/2).sen(C/2)  e ,


como senA.senB-cosA.cosB=cosC   chegaremos  ao resultado  pedido , ok ?

[]´s  Carlos  Victor





At 20:05 7/10/2006, Marinho Kamiroski wrote:

Essa é meio q clássica, vem me perseguindo a meses e nada de sair.

cos(a) + cos(b) + cos(c) = 1 + 4*sen(a/2)*sen(b/2)*sen(c/2)
com a + b + c =180° (angulos internos de um triangulo)

_
Descubra aqui como mandar Torpedos Messenger! 
http://www.msn.com.br/artigos/maguire/default.asp 
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Re: [obm-l] trigonometria - O retorno!

[Carlos Eddy Esaguy Nehab]

Bora clássica nisto, 

Faça(cos a + cos b) - ( 1 - cos c)  ...
e agora dê uma raladinha...
Nehab

At 20:05 7/10/2006, you wrote:

Essa é meio q clássica, vem me perseguindo a meses e nada de sair.

cos(a) + cos(b) + cos(c) = 1 + 4*sen(a/2)*sen(b/2)*sen(c/2)
com a + b + c =180° (angulos internos de um triangulo)

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http://www.msn.com.br/artigos/maguire/default.asp 
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Trigonometria em aberto

[claudio\.buffara]

-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Sat, 30 Sep 2006 08:16:51 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Trigonometria em aberto

 ...
 P(Y) = 8Y^3 - 4Y^2 - 4Y + 1
 Sabemos pois que cos pi/7, cos 3pi/7   e  -cos 2pi/7 = cos 5pi/7 são 
 as 3 raízes de P(Y).

Gostei!
E aqui vao dois corolarios:
Fazendo X = 2Y, obtemos P(Y) = F(X) = X^3 - X^2 - 2X + 1, cujas raizes sao:
2*cos(pi/7), 2*cos(3pi/7) e 2*cos(5pi/7)

1) Como cos(0) = 1, cos(2*pi/7) = -cos(5*pi/7) e cos(4*pi/7) = -cos(3*pi/7), 
concluimos que 2*cos(k*pi/7) eh inteiro algebrico para todo k 
em Z.

2) F(1) = -1 e F(-1) = 1 == F(X) nao tem raizes racionais == F(X) eh 
irredutivel sobre Q
Q[x]/F(x) eh uma extensao algebrica de grau 3 de Q ==
2*cos(pi/7) nao eh construtivel com regua e compasso ==
o heptagono regular nao eh construtivel com regua e compasso

[]s,
Claudio.




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Re: [obm-l] Trigonometria em aberto

[Carlos Eddy Esaguy Nehab]

Oi, Claudio,

Para a turma não versada em seu argumento sobre o fato do heptágono 
não ser construtível com régua e compasso segue o ...


Teorema de Gauss
Um polígono regular de n lados, n impar, é construtível com régua e 
compasso  se e somente se n é produto de primos de Fermat (isto é 
primos da forma 2^2^k +1).  Logo, como os únicos primos de Fermat 
conhecidos são  3, 5, 17, 257 e 65537, o heptágono tá fora... e 
surpreendentemente o 17  tá dentro... !


Abraços,
Nehab


At 12:28 1/10/2006, you wrote:

-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Sat, 30 Sep 2006 08:16:51 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Trigonometria em aberto

 ...
 P(Y) = 8Y^3 - 4Y^2 - 4Y + 1
 Sabemos pois que cos pi/7, cos 3pi/7   e  -cos 2pi/7 = cos 5pi/7 são
 as 3 raízes de P(Y).

Gostei!
E aqui vao dois corolarios:
Fazendo X = 2Y, obtemos P(Y) = F(X) = X^3 - X^2 - 2X + 1, cujas raizes sao:
2*cos(pi/7), 2*cos(3pi/7) e 2*cos(5pi/7)

1) Como cos(0) = 1, cos(2*pi/7) = -cos(5*pi/7) e cos(4*pi/7) = 
-cos(3*pi/7), concluimos que 2*cos(k*pi/7) eh inteiro algebrico para todo k

em Z.

2) F(1) = -1 e F(-1) = 1 == F(X) nao tem raizes racionais == F(X) 
eh irredutivel sobre Q

Q[x]/F(x) eh uma extensao algebrica de grau 3 de Q ==
2*cos(pi/7) nao eh construtivel com regua e compasso ==
o heptagono regular nao eh construtivel com regua e compasso

[]s,
Claudio.




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Re: [obm-l] Trigonometria em aberto

[Carlos Eddy Esaguy Nehab]

Oi, Claudio,
Ai vai a questão que você chamou de (2) ===
tg(pi/7)*tg(2*pi/7)*tg(3*pi/7).
Ontem o Marcelo postou uma solução legal para a questão mas ainda
assim achei que valia à pena postar a minha, pelo fato de parecer um
pouco mais natural (será) para os meninos do segundo grau e apresentar
uma estratégia util para problemas semelhantes.
Vamos mostrar que dá para calcular separadamente sen pi/7.sen
2pi/7.sen3pi/7 e idem para os cossenos, ao invés de trabalhar
apenas com o produto das tangentes. A estratégia é mostrar
que sen pi/7, sen 2pi/7 e sen 3pi/7 são raízes de um polinônomio e dai o
produto das raízes pode ser calculado sem o conhecimento das
raízes. Idem para os cossenos. 
Vamos lá:
Se x = pi/7 ou 3pi/7 === 3x + 4x
= pi ou 3pi e então 
(1) cos 4x = - cos 3x 
Infelizmente o mesmo não ocorre para 2pi/7 mas observe
que cos 5pi/7 = - cos 2pi/7 e então para x = 5pi/7 vale
(1), pois 3x+4x = 37pi/7 = 5pi
Dai usando as relações básicas cos 2a = 2(cos a)^2
-1 e cos 3a = 4.(cos a)^3 - 3.cos
a em (1), vem:
[(2.cos x)^2 -1 ] ^2 -1 = 4.(cos x)^3 - 3.cos x 
Fazendo Y = cos x obtemos:
8Y^4 + 4Y^3 -8Y^3 -3Y + 1 = 0
Entretanto -1 é uma das raízes deste polinômio e podemos eliminá-la
porque nem cos pi/7 nem cos 2pi/7 nem cos 3pi/7 valem -1.
Dividindo por Y - 1 obtemos:
P(Y) = 8Y^3 - 4Y^2 - 4Y + 1 
Sabemos pois que cos pi/7, cos 3pi/7 e -cos 2pi/7 = cos
5pi/7 são as 3 raízes de P(Y).
Logo, seu produto vale -1/8, ou seja, o produto desejado,
cospi/7.cos2pi/7/cos3pi/7 vale 1/8
Na verdade, o procedimento para o cálculo de
senpi/7.sen2pi/7.sen3pi/7 é semelhante. Vejamos:
Se x = pi/7, 2pi/7 ou 3pi/7 tem-se 3x + 4x = pi ou 2pi ou
3pi, logo: 
(2) sen 4x = sen 3x.
Usando as relações sen 2a = 2sena.cosa e sen 3a = 3.sena - 4
(sena)^3 em (2), obtemos:
2.sen2x.cos2x = 3.senx - 4 (senx)^3 
4.senx.cos x. [1 - 2.(sen x)^2 ] = 3.senx - 4 (senx)^3 
Dai, como para nossos xizes, sen x 0, vem: 
(4) 4.cosx. [1 - 2.(sen x)^2 ] = 3 - 4
(senx)^2 
Aqui uma pequena encrenca, pois neste desenvolvimento sobra
um cos x  indesejado na obtenção do polinômio em
sen x.
Elevado ao quadrado, substituindo (cos x) ^2 = 1 - (senx) ^2
e fazendo (sen x)^2 = Y, obtemos:
Q(x) = 64Y^3 -112 Y^2 + 56 Y -7 = 0 
Dai, o produto das raízes deste polinômio vale 7/64, que corresponde ao
quadrado do produto desejado senpi/7.sen2pi/7.sen3pi/7.
Logo, obtemos raiz(7)/8. 
Abraços,
Nehab
At 15:20 29/9/2006, you wrote:
Não.

Temos 3 em aberto de trigonometria:

1) sen(x)*sen(2x)*sen(4x)*sen(2^(n-1)*x)

2) tg(pi/7)*tg(2*pi/7)*tg(3*pi/7)
(por sinal isso é igual a raiz(7), mas eu achei a resposta com o
Excel)

3) cos(a)*cos(a*q)**cos(a*q^(n-1))
(desse, eu conheço apenas a manjadíssima solução para o caso q = 2)

[]s,
Claudio.

De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data:
Fri, 29 Sep 2006 09:53:32 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Arcos trigonométricos
em PG
 Oi, gente,
 
 Se não me distraí, acho que a solução ainda não foi postada!!!
Foi?
 
 Nehab
 
 
 At 16:48 28/9/2006, you wrote:
 È pois é, tinha muito tempo q eu naum entrava aqui, ai acabei

 postando tópico repetido, putz que coincidencia em
vinicius.
 vlws entaum
 M.A. Kamiroski M.
 
 
 From: Marinho Kamiroski 
 Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Arcos trigonométricos em PG
 Date: Thu, 28 Sep 2006 18:16:46 +
 
 Alguem ae sabe como fazer o produtório de arcos em PG?,
tipow
 cos(a)*cos(aq)*cos(aq²)*...*cos[aq^(n-1)]
 
 

RE: [obm-l] Trigonometria em aberto

[marcelo oliveira]

Sempre contribuí bastante com a lista até 2003. Depois de mais de 3 anos é a 
primeira vez que me animo a resolver uma questão.




Temos 3 em aberto de trigonometria:

1) sen(x)*sen(2x)*sen(4x)*sen(2^(n-1)*x)

2) tg(pi/7)*tg(2*pi/7)*tg(3*pi/7)
(por sinal isso é igual a raiz(7), mas eu achei a resposta com o Excel)



Sabe-se que:
sen 7x = 7[(cos x)^6](sen x) - 35[(cos x)^4][(sen x)^3] + 21[(cos x)^2][(sen 
x)^5] - (sen x)^7

Então:
sen 7x = [(cos x)^7][7(tg x) - 35(tg x)^3 + 21(tg x)^5 - (tg x)^7]
Fazendo x = {pi/7, 2.pi/7, 3.pi/7, 4.pi/7, 5.pi/7, 6.pi/7} obtemos sen 7x = 
0, ou seja, tg(pi/7), tg(2.pi/7), tg(3.pi/7), tg(4.pi/7), tg(5.pi/7), 
tg(6.pi/7) e tg (pi) são as raízes do polinômio

p(x) = - x^7 + 21x^5 - 35x^3 + 7x
Como tg (pi) = 0 então tg(pi/7), tg(2.pi/7), tg(3.pi/7), tg(4.pi/7), 
tg(5.pi/7), tg(6.pi/7) são as raízes da equação x^6 - 21x^4 + 35x^2 - 7 = 0.

Logo,
tg(pi/7).tg(2.pi/7).tg(3.pi/7).tg(4.pi/7).tg(5.pi/7).tg(6.pi/7) = - 7   =
tg(pi/7).tg(2.pi/7).tg(3.pi/7).[- tg(3.pi/7)].[- tg(2.pi/7)].[- tg(pi/7)] = 
- 7   =

tg(pi/7).tg(2.pi/7).tg(3.pi/7) = raiz(7)





3) cos(a)*cos(a*q)**cos(a*q^(n-1))
(desse, eu conheço apenas a manjadíssima solução para o caso q = 2)

[]s,
Claudio.

De:[EMAIL PROTECTED]

Para:obm-l@mat.puc-rio.br

Cópia:

Data:Fri, 29 Sep 2006 09:53:32 -0300

Assunto:Re: [obm-l] RE: [obm-l] Arcos trigonométricos em PG

 Oi, gente,

 Se não me distraí, acho que a solução ainda não foi postada!!! Foi?

 Nehab


 At 16:48 28/9/2006, you wrote:
 È pois é, tinha muito tempo q eu naum entrava aqui, ai acabei
 postando tópico repetido, putz que coincidencia em vinicius.
 vlws entaum
 M.A. Kamiroski M.
 
 
 From: Marinho Kamiroski
 Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Arcos trigonométricos em PG
 Date: Thu, 28 Sep 2006 18:16:46 +
 
 Alguem ae sabe como fazer o produtório de arcos em PG?, tipow
 cos(a)*cos(aq)*cos(aq²)*...*cos[aq^(n-1)]
 



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] trigonometria

[Jefferson Franca]

Vejo duas soluções, a primeira seria escrever tangente como seno sobre cosseno, ou seja, tg(pi/7) = (sen(pi/7))/ cos(pi/7) e assim por diante, agora multiplique em cima e embaixo por 2sen(pi/14), e transforme o produto em somas.  Infelizmente, estou extremamente atrasado, depois te dou a solução com mais detalhes. Espero ter ajudado um pouco.  Abs[EMAIL PROTECTED] escreveu:  Quanto vale (tg pi /7).(tg 2pi /7).(tg 3pi /7)?=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= 
		 
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Re: [obm-l] trigonometria

[ricardo . bioni]

Fazendo 2npi/(2n+1) = y, sabemos que sen(y) = sen(pi - y), logo:sen(2npi/(2n+1)) = sen(pi - 2npi/(2n+1)) = sen(pi/(2n+1))