Re: [obm-l] Limite

[Artur Costa Steiner]

Sendo (a_n) o ln da sequência dada, então

a_n = 1/n ln(n!/n^n) = -1/n [-ln(1/n) - ln(2/n)  - ln(n/n)]

Temos uma sequência de somas inferiores de Riemann sobre [0, 1] da função
-ln, correspondente a uma partição de norma 1/n ---> 0. Conforme sabemos da
Análise, se a integral imprópria desta funçao sobre [0, 1] convergir, então
as somas inferiores convergirão para esta integral. E isto de fato ocorre,
pois

Int [0, 1] lnx dx = [x lnx - x] [0, 1] = 1 * 0 - 1 - (0 - 0) = -1, visto
que lim x ---> 0+ x lnx = 0. Logo, a_n ---> -1e sua sequência converge para
e^(-1) = 1/e

Artur

Em 19 de mar de 2018 19:17, "Carlos Victor" 
escreveu:

Oi Vanderlei,

Use a equivalência de Stirling :

n! ~ n^n.e^(-n).sqrt(2pi.n) e que lim(n^(1/n)=1 e o resultado será 1/e.

Abraços

Carlos Victor

Em 19/03/2018 12:27, Vanderlei Nemitz escreveu:

Bom dia!
Eu resolvi o limite a seguir de um modo muito complicado e encontrei 1/e.

Alguém conhece alguma solução?

lim [n!/n^n]^(1/n), quando n tende ao infinito.

Muito obrigado!

-- 
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Re: [obm-l] Limite

[Carlos Victor]

 

Oi Vanderlei, 

Use a equivalência de Stirling : 

n! ~ n^n.e^(-n).sqrt(2pi.n) e que lim(n^(1/n)=1 e o resultado será 1/e. 

Abraços 

Carlos Victor 

Em 19/03/2018 12:27, Vanderlei Nemitz escreveu: 

> Bom dia! 
> Eu resolvi o limite a seguir de um modo muito complicado e encontrei 1/e. 
> 
> Alguém conhece alguma solução? 
> 
> lim [n!/n^n]^(1/n), quando n tende ao infinito. 
> 
> Muito obrigado! 
> -- 
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> acredita-se estar livre de perigo.

 
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Re: [obm-l] Limite

[Claudio Buffara]

Seja X(n) = n!/n^n

Você quer lim X(n)^(1/n).

Sabe-se que:
liminf X(n+1)/X(n) <= liminf X(n)^(1/n) <= limsup X(n)^(1/n) <= limsup
X(n+1)/x(n)   (&)
(vide Curso de Análise, do Elon - cap. 4, se não me engano).

X(n+1) =  (n+1)!/(n+1)^(n+1) ==>
X(n+1)/X(n) = (n+1)!/n! * n^n/(n+1)^(n+1) = (n+1) * (n/(n+1))^n * 1/(n+1) =
(n/(n+1))^n = 1/(1+1/n)^n -> 1/e.

Logo, as extremidades de (&) são iguais a 1/e e, portanto, todos os termos
são iguais a 1/e.

[]s,
Claudio.


2018-03-19 13:14 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz :

> Obrigado! Mesmo assim, se alguém puder postar a resolução...
>
> Em seg, 19 de mar de 2018 13:09, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>
>> 2018-03-19 12:27 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz :
>> > Bom dia!
>> > Eu resolvi o limite a seguir de um modo muito complicado e encontrei
>> 1/e.
>> >
>> > Alguém conhece alguma solução?
>> >
>> > lim [n!/n^n]^(1/n), quando n tende ao infinito.
>>
>> Eu imagino que seja para usar a equivalência entre o teste da raiz e o
>> teste da razão.
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
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> acredita-se estar livre de perigo.
>

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Re: [obm-l] Limite

[Vanderlei Nemitz]

Obrigado! Mesmo assim, se alguém puder postar a resolução...

Em seg, 19 de mar de 2018 13:09, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> 2018-03-19 12:27 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz :
> > Bom dia!
> > Eu resolvi o limite a seguir de um modo muito complicado e encontrei 1/e.
> >
> > Alguém conhece alguma solução?
> >
> > lim [n!/n^n]^(1/n), quando n tende ao infinito.
>
> Eu imagino que seja para usar a equivalência entre o teste da raiz e o
> teste da razão.
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
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Re: [obm-l] Limite

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2018-03-19 12:27 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz :
> Bom dia!
> Eu resolvi o limite a seguir de um modo muito complicado e encontrei 1/e.
>
> Alguém conhece alguma solução?
>
> lim [n!/n^n]^(1/n), quando n tende ao infinito.

Eu imagino que seja para usar a equivalência entre o teste da raiz e o
teste da razão.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de sucessão

[faraujocosta]

Bom dia.  
Uma dúvida.  Questão do Ita. 
10^5cosx^3 é par?

Enviado do meu iPhone

> Em 22 de mar de 2017, às 22:44, Anderson Torres 
>  escreveu:
> 
> Em 21 de março de 2017 17:42, Pedro Chaves  escreveu:
>> Caros Colegas,
>> 
>> Como provar o teorema abaixo?
>> 
>> "Se uma sucessão é crescente e converge para o número real L, então 
>> nenhum
>> dos seus termos é maior do que L."
> 
> A sequência é crescente, logo a(M) >= a(N) se M>N
> 
> Se a(N) >C para um determinado N, então, para todo M>N vale a(M)>C.
> 
> Se o limite de a(N) é L, significa que para todo e>0, existe N(e) tal
> que, se m>N(e) então L-e <= a(N) <= L+e.
> 
> Assim, temos C < a(N) < L+e para todo e. Portanto, L>C, pois se L
> fosse menor que C, poderíamos escolher um valor de (e) que L+e < C
> (digamos, o ponto médio entre L e C, e=(C-L)/2).
> 
> Feito!
> 
> 
>> Agradeço-lhes a atenção.
>> 
>> Pedro Chaves
>> 
>> 
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =


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[obm-l] Re: [obm-l] Limite de sucessão

[Anderson Torres]

Em 21 de março de 2017 17:42, Pedro Chaves  escreveu:
> Caros Colegas,
>
> Como provar o teorema abaixo?
>
> "Se uma sucessão é crescente e converge para o número real L, então nenhum
> dos seus termos é maior do que L."
>

A sequência é crescente, logo a(M) >= a(N) se M>N

Se a(N) >C para um determinado N, então, para todo M>N vale a(M)>C.

Se o limite de a(N) é L, significa que para todo e>0, existe N(e) tal
que, se m>N(e) então L-e <= a(N) <= L+e.

Assim, temos C < a(N) < L+e para todo e. Portanto, L>C, pois se L
fosse menor que C, poderíamos escolher um valor de (e) que L+e < C
(digamos, o ponto médio entre L e C, e=(C-L)/2).

Feito!


> Agradeço-lhes a atenção.
>
> Pedro Chaves
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Limite de sucessão

[Pedro Soares]

E ai, cara. Tudo bem?

Uma forma de vc pensar é essa: A sua sequência crescente (a_n) converge
para L. Suponha que exista m tal que a_m = L+ε , ε>0. Como a sequência é
crescente: para todo n>m => a_n> L+ε, logo o limite da sequência é maior ou
igual a L+ε e vc chegou numa contradição. Isso garante que nenhum termo da
sequência é maior que L.

On Tuesday, 21 March 2017, Pedro Chaves  wrote:

> Caros Colegas,
>
> Como provar o teorema abaixo?
>
> "Se uma sucessão é crescente e converge para o número real L, então nenhum
> dos seus termos é maior do que L."
>
> Agradeço-lhes a atenção.
>
> Pedro Chaves
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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[obm-l] Re: [obm-l] Limite Com 3 Variáveis

[Carlos Nehab]

Oi Daniel,
Brinque com as variáveis x, y e z percorrendo sequências do tipo 1/n,
1/n^2 etc e vc verá que os limites , caso existissem, não seriam únicos.
Abs
Nehab
Em 25/07/2015 23:07, Daniel Rocha daniel.rocha@gmail.com escreveu:

 Olá a todos,

 Como eu posso mostrar que os Limites abaixo NÃO EXISTEM ???

  1)lim   X^2 + Y^2 - Z^2 / X^2 + Y^2 + Z^2
(x,y,z)-(0,0,0)

   2)   lim   X^4 +Y(X^3) + (Z^2)(X^2) / X^4 + Y^4 + Z^4
(x,y,z)-(0,0,0)

 Eu agradeço muito a quem me responder.


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[obm-l] Re: [obm-l] Limite, alguém pode me ajudar?

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2015-03-13 23:47 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo
israelmchrisost...@gmail.com:
 Alguém pode me dar uma idéia de como provar que
 lim n →∞ ( x/ncot(x/n)+x/n)^n=e^x

 Estava pensando em usar que  lim n →∞  x/ncot(x/n)=1 e substituir no limite
 obtendo o seguinte:
  lim n →∞ ( x/ncot(x/n)+x/n)^n= lim n →∞ ( 1+x/n)^n=e^x
 Mas não sei se posso fazer isso, pq o limite está dentro da expressão que
 está elevado a n.

Pois é, não pode. Imagine que a_n - 1 quando n - ∞ , que é a única
coisa que você provou.
Nada garante que lim (a_n + x/n)^n convirja, quanto mais para e^x. Os
3 casos clássicos são (sem demonstração, mas é fácil de fazer as
contas):
- a_n = 1 + 1/raiz(n), que vai divergir
- a_n = 1 + (-1)^n/n, que vai oscilar entre e^(x+1) e e^(x-1)
- a_n = 1 + 1/n^2, que vai convergir para e^x

Em termos vagos, tudo depende da velocidade com que a_n tende a 1.

 Se possível, me sugiram uma solução sem usar derivadas(L'Hospital) e por 
 favor,
 me respondam se eu posso fazer isso.

Pois é, não tem como não usar derivadas. Pode ser com L'Hôpital (que
vai dar muitas contas), pode ser de outras formas (expansões em séries
de Taylor truncadas, que aparentemente é um nome que só é conhecido na
França http://fr.wikipedia.org/wiki/Développement_limité), mas você
precisa de mais informação do que apenas o limite dos a_n. Só para
aplicar no seu caso:

x/n * cot(x/n) = y * cot(y) com y - 0 = y / tg(y) = y / (y + O(y^3))
= 1 + O(y^2) = 1 + O( (x/n)^2 )
E daí temos (1 + x/n + O( (x/n)^2 ))^n = exp(x) * (1 + O( (x/n)^2 ))^n - exp(x)

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limite, alguém pode me ajudar?

[Israel Meireles Chrisostomo]

obrigado


Em 14 de março de 2015 08:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com escreveu:

 2015-03-13 23:47 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo
 israelmchrisost...@gmail.com:
  Alguém pode me dar uma idéia de como provar que
  lim n →∞ ( x/ncot(x/n)+x/n)^n=e^x
 
  Estava pensando em usar que  lim n →∞  x/ncot(x/n)=1 e substituir no
 limite
  obtendo o seguinte:
   lim n →∞ ( x/ncot(x/n)+x/n)^n= lim n →∞ ( 1+x/n)^n=e^x
  Mas não sei se posso fazer isso, pq o limite está dentro da expressão que
  está elevado a n.

 Pois é, não pode. Imagine que a_n - 1 quando n - ∞ , que é a única
 coisa que você provou.
 Nada garante que lim (a_n + x/n)^n convirja, quanto mais para e^x. Os
 3 casos clássicos são (sem demonstração, mas é fácil de fazer as
 contas):
 - a_n = 1 + 1/raiz(n), que vai divergir
 - a_n = 1 + (-1)^n/n, que vai oscilar entre e^(x+1) e e^(x-1)
 - a_n = 1 + 1/n^2, que vai convergir para e^x

 Em termos vagos, tudo depende da velocidade com que a_n tende a 1.

  Se possível, me sugiram uma solução sem usar derivadas(L'Hospital) e por
 favor,
  me respondam se eu posso fazer isso.

 Pois é, não tem como não usar derivadas. Pode ser com L'Hôpital (que
 vai dar muitas contas), pode ser de outras formas (expansões em séries
 de Taylor truncadas, que aparentemente é um nome que só é conhecido na
 França http://fr.wikipedia.org/wiki/Développement_limité), mas você
 precisa de mais informação do que apenas o limite dos a_n. Só para
 aplicar no seu caso:

 x/n * cot(x/n) = y * cot(y) com y - 0 = y / tg(y) = y / (y + O(y^3))
 = 1 + O(y^2) = 1 + O( (x/n)^2 )
 E daí temos (1 + x/n + O( (x/n)^2 ))^n = exp(x) * (1 + O( (x/n)^2 ))^n -
 exp(x)

 Abraços,
 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa

 --
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 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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 =


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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limite, alguém pode me ajudar?

[Israel Meireles Chrisostomo]

E como seria a demonstração desse limite por l'hospital?tem como fazer aí
para eu ver?

Em 14 de março de 2015 14:13, Israel Meireles Chrisostomo 
israelmchrisost...@gmail.com escreveu:

 obrigado


 Em 14 de março de 2015 08:05, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
 bernardo...@gmail.com escreveu:

 2015-03-13 23:47 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo
 israelmchrisost...@gmail.com:
  Alguém pode me dar uma idéia de como provar que
  lim n →∞ ( x/ncot(x/n)+x/n)^n=e^x
 
  Estava pensando em usar que  lim n →∞  x/ncot(x/n)=1 e substituir no
 limite
  obtendo o seguinte:
   lim n →∞ ( x/ncot(x/n)+x/n)^n= lim n →∞ ( 1+x/n)^n=e^x
  Mas não sei se posso fazer isso, pq o limite está dentro da expressão
 que
  está elevado a n.

 Pois é, não pode. Imagine que a_n - 1 quando n - ∞ , que é a única
 coisa que você provou.
 Nada garante que lim (a_n + x/n)^n convirja, quanto mais para e^x. Os
 3 casos clássicos são (sem demonstração, mas é fácil de fazer as
 contas):
 - a_n = 1 + 1/raiz(n), que vai divergir
 - a_n = 1 + (-1)^n/n, que vai oscilar entre e^(x+1) e e^(x-1)
 - a_n = 1 + 1/n^2, que vai convergir para e^x

 Em termos vagos, tudo depende da velocidade com que a_n tende a 1.

  Se possível, me sugiram uma solução sem usar derivadas(L'Hospital) e
 por favor,
  me respondam se eu posso fazer isso.

 Pois é, não tem como não usar derivadas. Pode ser com L'Hôpital (que
 vai dar muitas contas), pode ser de outras formas (expansões em séries
 de Taylor truncadas, que aparentemente é um nome que só é conhecido na
 França http://fr.wikipedia.org/wiki/Développement_limité), mas você
 precisa de mais informação do que apenas o limite dos a_n. Só para
 aplicar no seu caso:

 x/n * cot(x/n) = y * cot(y) com y - 0 = y / tg(y) = y / (y + O(y^3))
 = 1 + O(y^2) = 1 + O( (x/n)^2 )
 E daí temos (1 + x/n + O( (x/n)^2 ))^n = exp(x) * (1 + O( (x/n)^2 ))^n -
 exp(x)

 Abraços,
 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa

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 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Re: [obm-l] Limite de sequência

[Ralph Teixeira]

Para ser chato, todas as frases abaixo estao corretas no universo dos Reais:

x^x^x^x...=2 IMPLICA x=raiz(2)
x^x^x^x...=4 IMPLICA x=raiz(2)
x^2+4=0 IMPLICA x=2
x^2+4=0 IMPLICA x=13
2x+x-3x=25 IMPLICA x=755
2x+x-3x=25 IMPLICA que eu sou o Papa
(O problema eh entender o que significa a palavra IMPLICA...)

O problema que voce descobriu ali eh o seguinte: para resolver uma equacao,
nao basta sair dela via implicacoes e chegar a valores de x! Se voce usou
apenas implicacoes, agora voce tem que TESTAR os ***candidatos a solucao
*** que voce achou para ver quais servem!

Em outras palavras, voce tem que ler o que voce fez assim: SE EXISTIR UMA
SOLUCAO POSITIVA x DA EQUACAO x^x^x^x...=4, entao ela DEVE SATISFAZER
x^4=4, portanto ela deve ser x=raiz(2). Note, SE EXISTIR!!! Infeliamente, o
mesmo se aplica a x^x^x^x...=2... Entao a pergunta que voce realmente quer
fazer eh ao contrario:

Se x=raiz(2), entao L=x^x^x^x... existe? Em caso positivo, L vale quanto?

Para resolver isso, vamos definir x(0)=1, e, recursivamente,
x(n+1)=raiz(2)^x(n) para n=0,1,2,... Vejamos dois fatos sobre esta
sequencia:

---///---
I) x(n) eh limitada, e 2 eh uma cota superior.
De fato, eh obvio que x(0)2; e para todo k, se x(k)2, entao
x(k+1)=raiz(2)^x(k)raiz(2)^22.
Portanto, por inducao, mostramos que x(n)2 para n=0,1,2,3,...
---///---
Deste item, jah concluimos que, **se existir**, L = lim (n-+Inf) x(n) =2.
Portanto, fica claro que a resposta NAO PODE SER 4. Mas ainda falta ver se
a resposta eh 2 (a priori, poderia ser que L simplesmente nao existisse, ou
fosse um outro numero!).
---///---
II) {x_n} eh crescente.
Eh facil fazer isso por inducao, mas vou provar logo que se 0y2, entao
yraiz(2)^y, porque isso vai ser util daqui a pouco.
Entao crie F(y)=raiz(2)^y-y e note que quando 0y2 tem-se
F'(y)=ln(raiz(2)).raiz(2)^y-1ln(raiz(2)).raiz(2)^2-1=ln(2)-10. Entao F(y)
eh decrescente em (0,2); como F(2)=0, vemos que F(y)0 em (0,2).
---///---

Pronto, agora usamos os canhoes de Navarone:
TEOREMA DE ANALISE REAL: TODA SEQUENCIA CRESCENTE COM COTA SUPERIOR TEM QUE
TER LIMITE.
Portanto, por (I) e (II), vemos que L existe. Mais ainda, por (I), jah
sabemos que L=2.

Enfim, lembre que x(n+1)=raiz(2)^x(n). Tomando n-+Inf (e SABENDO QUE L
EXISTE), podemos escrever L=raiz(2)^L. Mas lembra que se 0L2, temos
Lraiz(2)^L... Entao nao pode ser L2!

Ufa! Das duas ultimas linhas, conclui-se que L=2. Entao agora a gente pode
afirmar com certeza que

x^x^x^x^...=2 se, e somente se, x=raiz(2)
x^x^x^x^...=4 nao tem solucao real (se tivesse solucao, como voce
mostrou, esta solucao teria que ser raiz(2)...mas a linha anterior diz que
nao pode ser)

Abraco, Ralph.






2015-01-15 15:10 GMT-02:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:

 Estou reenviando, pois parece que não foi recebido.

 Pessoal, estou com uma dúvida:

 *Na igualdade x^x^x^... = 2, temos que x^2 = 2, que implica x = raiz
 quadrada de 2.*

 Se fizermos x^x^x^... = 4, temos x^4 = 4, que também implica x = raiz
 quadrada de 2.

 Claro que o segundo resultado está errado, mas como justificar?

 Mais que isso, como saber quando podemos utilizar esses artifícios sem
 incorrer em um absurdo. Imagine que alguém tivesse proposto apenas a
 segunda equação? Como saber quando o limite existe?

 Obrigado!

 --
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Re: [obm-l] Limite por l'Hospital

[Ralph Teixeira]

Ah, o Saulo fez de outro jeito que funciona. Mas acho que tem um
sinalzinho trocado aqui:

lny=(nln(1+1/n)-1)/(1/n)
lny=(ln(1+1/n)   **-**1/(1+n))/(-1/n^2)


2014-06-23 2:12 GMT-03:00 saulo nilson saulo.nil...@gmail.com:
 lim (n - inf) (1+1/n)^(n²) e^(-n)
 =lim(1+1/n)^n^2* e^-n
 y=lim(1+1/n)^n^2
 lny=limn^2ln(1+1/n) -n
 lny=oo*0-oo
 lny=limn(nln(1+1/n))-1)
 lny=(nln(1+1/n)-1)/(1/n)
 lny=(ln(1+1/n)+1/(1+n))/(-1/n^2)=0/0
 lny=(-1/n*1/(n+1)-1/(n+1)^2)/2/n^3=
 lny=-n^2/2(n+1)*(2n+1)/(n+1))=-limn^2(2n+1)/2(n+1)^2=-oo
 y=e^-00
 y=0



 2014-06-23 0:43 GMT-03:00 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com:

 Vamos ver o ln disso, que eh:

 g(x)=x^2.ln(1+1/x)-x = x^2 (ln(1+1/x)-1/x) = (ln(1+1/x)-1/x) / (x^(-2))

 Quando x-+Inf, isto aqui eh uma indet. do tipo 0/0. Note como eu
 deixei o ln o mais sozinho possivel, por que agora L'Hopital vai
 simplificar as coisas (se o ln ficar misturado com outras coisas,
 ele nao some na derivada):

 lim (x-+Inf) g(x) = lim (x-+Inf) ((-1/x^2)(1/(1+1/x))-1/x^2) /
 (-2x^(-3)) = lim (x-+inf) (-1/2)(x/(x+1)) = -1/2

 Entao, se eu nao errei conta, o limite original eh e^(-1/2).

 Abraco,
Ralph

 2014-06-23 0:17 GMT-03:00 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com:
  Fala galera, tem como alguém me dar uma ajuda no seguinte limite? Faz
  uma
  horta que estou tentando calcular e não sai.
 
  lim (n - inf) (1+1/n)^(n²) e^(-n)
 
  []'s
  Joao
 
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Limite por l'Hospital

[Ralph Teixeira]

Vamos ver o ln disso, que eh:

g(x)=x^2.ln(1+1/x)-x = x^2 (ln(1+1/x)-1/x) = (ln(1+1/x)-1/x) / (x^(-2))

Quando x-+Inf, isto aqui eh uma indet. do tipo 0/0. Note como eu
deixei o ln o mais sozinho possivel, por que agora L'Hopital vai
simplificar as coisas (se o ln ficar misturado com outras coisas,
ele nao some na derivada):

lim (x-+Inf) g(x) = lim (x-+Inf) ((-1/x^2)(1/(1+1/x))-1/x^2) /
(-2x^(-3)) = lim (x-+inf) (-1/2)(x/(x+1)) = -1/2

Entao, se eu nao errei conta, o limite original eh e^(-1/2).

Abraco,
   Ralph

2014-06-23 0:17 GMT-03:00 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com:
 Fala galera, tem como alguém me dar uma ajuda no seguinte limite? Faz uma
 horta que estou tentando calcular e não sai.

 lim (n - inf) (1+1/n)^(n²) e^(-n)

 []'s
 Joao

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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Limite por l'Hospital

[saulo nilson]

lim (n - inf) (1+1/n)^(n²) e^(-n)
=lim(1+1/n)^n^2* e^-n
y=lim(1+1/n)^n^2
lny=limn^2ln(1+1/n) -n
lny=oo*0-oo
lny=limn(nln(1+1/n))-1)
lny=(nln(1+1/n)-1)/(1/n)
lny=(ln(1+1/n)+1/(1+n))/(-1/n^2)=0/0
lny=(-1/n*1/(n+1)-1/(n+1)^2)/2/n^3=
lny=-n^2/2(n+1)*(2n+1)/(n+1))=-limn^2(2n+1)/2(n+1)^2=-oo
y=e^-00
y=0



2014-06-23 0:43 GMT-03:00 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com:

 Vamos ver o ln disso, que eh:

 g(x)=x^2.ln(1+1/x)-x = x^2 (ln(1+1/x)-1/x) = (ln(1+1/x)-1/x) / (x^(-2))

 Quando x-+Inf, isto aqui eh uma indet. do tipo 0/0. Note como eu
 deixei o ln o mais sozinho possivel, por que agora L'Hopital vai
 simplificar as coisas (se o ln ficar misturado com outras coisas,
 ele nao some na derivada):

 lim (x-+Inf) g(x) = lim (x-+Inf) ((-1/x^2)(1/(1+1/x))-1/x^2) /
 (-2x^(-3)) = lim (x-+inf) (-1/2)(x/(x+1)) = -1/2

 Entao, se eu nao errei conta, o limite original eh e^(-1/2).

 Abraco,
Ralph

 2014-06-23 0:17 GMT-03:00 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com:
  Fala galera, tem como alguém me dar uma ajuda no seguinte limite? Faz
 uma
  horta que estou tentando calcular e não sai.
 
  lim (n - inf) (1+1/n)^(n²) e^(-n)
 
  []'s
  Joao
 
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  acredita-se estar livre de perigo.

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  acredita-se estar livre de perigo.


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[obm-l] Re: [obm-l] Limite por épsilon e delta

[Pacini Bores]

Olá  Pedro,

Em geral avalio que a pergunta deveria ser :

1) Calcule o Limite da sequência, caso exista.

2) Depois, mostre que o limite é o valor calculado em (1), utilizando a
definição de limite de uma sequência.

Pacini


Em 2 de maio de 2014 19:48, Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.comescreveu:

 Calcular, por épsilon e delta, o limite da sequência: x_n = (sen n ) / (n²
 - n).

 --

 Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

 Professor de Matemática

 Geo João Pessoa – PB

 --
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[obm-l] Re: [obm-l] Limite por épsilon e delta

[Pacini Bores]

Olá Pedro,

(1) Como sen(n) é  limitada e 1/(n^2-n) tem limite zero , lim(x_n)=0 pelo
teorema do confonto.

(2) Seja epsilon0 e seja n_0  1/epsilon . Tomemos nn_0 e n tal que

n^2 - n  n ; logo 1/(n^2 - n)  1/n  1/(n_0)   epsilon .

Como módulo de  ( sen(n)/( n^2 - n))  1/(n^2 - n) ; teremos

módulo de ( sen(n)/( n^2 - n) - 0)  epsilon .

 Daí é só formalizar os detalhes.

Pacini


Em 2 de maio de 2014 21:24, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu:

 Olá  Pedro,

 Em geral avalio que a pergunta deveria ser :

 1) Calcule o Limite da sequência, caso exista.

 2) Depois, mostre que o limite é o valor calculado em (1), utilizando a
 definição de limite de uma sequência.

 Pacini


 Em 2 de maio de 2014 19:48, Pedro Júnior 
 pedromatematic...@gmail.comescreveu:

 Calcular, por épsilon e delta, o limite da sequência: x_n = (sen n ) / (n²
 - n).

 --

 Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

 Professor de Matemática

 Geo João Pessoa – PB

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limite por épsilon e delta

[Pedro Júnior]

Certo, e como faz?


Em 2 de maio de 2014 21:24, Pacini Bores pacini.bo...@globo.com escreveu:

 Olá  Pedro,

 Em geral avalio que a pergunta deveria ser :

 1) Calcule o Limite da sequência, caso exista.

 2) Depois, mostre que o limite é o valor calculado em (1), utilizando a
 definição de limite de uma sequência.

 Pacini


 Em 2 de maio de 2014 19:48, Pedro Júnior 
 pedromatematic...@gmail.comescreveu:

 Calcular, por épsilon e delta, o limite da sequência: x_n = (sen n ) /
 (n² - n).

 --

 Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

 Professor de Matemática

 Geo João Pessoa – PB

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Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limite por épsilon e delta

[Pacini Bores]

Digo, confronto.

Pacini


Em 2 de maio de 2014 21:48, Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.comescreveu:

 Certo, e como faz?


 Em 2 de maio de 2014 21:24, Pacini Bores pacini.bo...@globo.comescreveu:

 Olá  Pedro,

 Em geral avalio que a pergunta deveria ser :

 1) Calcule o Limite da sequência, caso exista.

 2) Depois, mostre que o limite é o valor calculado em (1), utilizando a
 definição de limite de uma sequência.

 Pacini


 Em 2 de maio de 2014 19:48, Pedro Júnior 
 pedromatematic...@gmail.comescreveu:

 Calcular, por épsilon e delta, o limite da sequência: x_n = (sen n ) /
 (n² - n).

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 Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

 Professor de Matemática

 Geo João Pessoa – PB

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 Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

 Professor de Matemática

 Geo João Pessoa – PB

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Re: [obm-l] Limite de sequência (pela definição)

[Artur Costa Steiner]

Para todo n, |a_n - 1| = |1/(n - 1)| = 1/(n - 1). Dado eps  0, fazendo- se k = 
1 + 1/eps, para n  k temos que |a_n - 1|  1/( k - 1), logo |a_n - 1|  eps. 
Pela definição de limite, segue-se que lim a_n = 1.

Artur Costa Steiner

 Em 05/01/2014, às 21:53, Ennius Lima enn...@bol.com.br escreveu:
 
 
 Como podemos provar que a sequência com termo geral a_n = 1 - 1/(n+1) 
 converge para 1?
 (Obs.: Usar diretamente a definição de limite de uma sequência.)
 
 Ennius Lima
 ___
 Â 
 
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 acredita-se estar livre de perigo. 
 = 
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
 =

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 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável

[Pedro Chaves]

 Date: Tue, 31 Dec 2013 17:50:20 -0200 
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável 
 From: kelvinan...@gmail.com 
 To: obm-l@mat.puc-rio.br

 Olá, Kelvin!

Muito obrigado!

Gostaria, entretanto, de uma definição de limite de uma variável, e não de uma 
função.

Feliz Ano Novo!
Pedro Chaves
___
 


Dada a função ƒ(x) definida no intervalo aberto em torno de a, mas não 
 necessariamente definida em a, temos que: 
 Limite é o número L ao qual aproximam-se os valores de ƒ(x), quando x 
 tende a um número a. 
 Se, e somente se, existir um número ε 0, e que para cada ε, existir 
 um número δ 0, e qualquer que seja o x, seja válido: 
 0  |x - a|  δ que implica em |ƒ(x) - L|  ε. 
 
 
 
 Em 31 de dezembro de 2013 17:09, Pedro Chaves 
 brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com escreveu: 
 Qual a definição de limite de uma variável real? 
 
 Feliz 2014 para todos!!! 
 
 Pedro Chaves 
 _ 
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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo. 
 
 
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 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
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 acredita-se estar livre de perigo.  
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável

[Pacini Bores]

Olá Pedro,

Podemos definir o que desejas da seguinte forma : limx =a , com a real;

 para todo k0 , existe x  real tal que  0  |x - a|  k  .

Abraços

Pacini


Em 1 de janeiro de 2014 08:06, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu:

 
  Date: Tue, 31 Dec 2013 17:50:20 -0200
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável
  From: kelvinan...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br

  Olá, Kelvin!

 Muito obrigado!

 Gostaria, entretanto, de uma definição de limite de uma variável, e não de
 uma função.

 Feliz Ano Novo!
 Pedro Chaves
 ___
 


 Dada a função ƒ(x) definida no intervalo aberto em torno de a, mas não
  necessariamente definida em a, temos que:
  Limite é o número L ao qual aproximam-se os valores de ƒ(x), quando x
  tende a um número a.
  Se, e somente se, existir um número ε 0, e que para cada ε, existir
  um número δ 0, e qualquer que seja o x, seja válido:
  0  |x - a|  δ que implica em |ƒ(x) - L|  ε.
 
 
 
  Em 31 de dezembro de 2013 17:09, Pedro Chaves
  brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com escreveu:
  Qual a definição de limite de uma variável real?
 
  Feliz 2014 para todos!!!
 
  Pedro Chaves
  _
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  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
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  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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  acredita-se estar livre de perigo.
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  acredita-se estar livre de perigo.


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 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável

[Pedro Chaves]

Olá, Pacini,

Muito obrigado!

E como definir os limites infinitos?
Isto é: x tende a mais infinito e x tende a menos infinito.

Abraços do Pedro!



 Date: Wed, 1 Jan 2014 10:21:53 -0200 
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável 
 From: pacini.bo...@globo.com 
 To: obm-l@mat.puc-rio.br 
 
 Olá Pedro, 
 
 Podemos definir o que desejas da seguinte forma : limx =a , com a real; 
 
  para todo k0 , existe x real tal que 0  |x - a|  k  . 
 
 Abraços 
 
 Pacini 
 
 
 Em 1 de janeiro de 2014 08:06, Pedro Chaves 
 brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com escreveu: 
  
 Date: Tue, 31 Dec 2013 17:50:20 -0200 
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável 
 From: kelvinan...@gmail.commailto:kelvinan...@gmail.com 
 To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br 
 
 Olá, Kelvin! 
 
 Muito obrigado! 
 
 Gostaria, entretanto, de uma definição de limite de uma variável, e não 
 de uma função. 
 
 Feliz Ano Novo! 
 Pedro Chaves 
 ___ 
 
 
 
 Dada a função ƒ(x) definida no intervalo aberto em torno de a, mas não 
 necessariamente definida em a, temos que: 
 Limite é o número L ao qual aproximam-se os valores de ƒ(x), quando x 
 tende a um número a. 
 Se, e somente se, existir um número ε 0, e que para cada ε, existir 
 um número δ 0, e qualquer que seja o x, seja válido: 
 0  |x - a|  δ que implica em |ƒ(x) - L|  ε. 
 
 
 
 Em 31 de dezembro de 2013 17:09, Pedro Chaves 
 
 brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com
  
 escreveu: 
 Qual a definição de limite de uma variável real? 
 
 Feliz 2014 para todos!!! 
 
 Pedro Chaves 
 _ 
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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo. 
 
 
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 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e 
 acredita-se estar livre de perigo. 
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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo. 
 
 
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 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e 
 acredita-se estar livre de perigo.  
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável

[Pacini Bores]

Olá Pedro,

Para o mais infinito, observe o seguinte :

 para todo M real positivo escolhido, sempre existe x real tal que x  M 
.
Note que se tomarmos M´  M , será possível escolher a variável x  tal que
 x  M´.

Para o menos infinito, é só pensar  em M  0 e tomarmos  x  M , ok ?

Abraços

Pacini



Em 1 de janeiro de 2014 11:29, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu:

 Olá, Pacini,

 Muito obrigado!

 E como definir os limites infinitos?
 Isto é: x tende a mais infinito e x tende a menos infinito.

 Abraços do Pedro!


 
  Date: Wed, 1 Jan 2014 10:21:53 -0200
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma
 variável
  From: pacini.bo...@globo.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
  Olá Pedro,
 
  Podemos definir o que desejas da seguinte forma : limx =a , com a real;
 
   para todo k0 , existe x real tal que 0  |x - a|  k  .
 
  Abraços
 
  Pacini
 
 
  Em 1 de janeiro de 2014 08:06, Pedro Chaves
  brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com escreveu:
  
  Date: Tue, 31 Dec 2013 17:50:20 -0200
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável
  From: kelvinan...@gmail.commailto:kelvinan...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br
 
  Olá, Kelvin!
 
  Muito obrigado!
 
  Gostaria, entretanto, de uma definição de limite de uma variável, e não
  de uma função.
 
  Feliz Ano Novo!
  Pedro Chaves
  ___
 
 
 
  Dada a função ƒ(x) definida no intervalo aberto em torno de a, mas não
  necessariamente definida em a, temos que:
  Limite é o número L ao qual aproximam-se os valores de ƒ(x), quando x
  tende a um número a.
  Se, e somente se, existir um número ε 0, e que para cada ε, existir
  um número δ 0, e qualquer que seja o x, seja válido:
  0  |x - a|  δ que implica em |ƒ(x) - L|  ε.
 
 
 
  Em 31 de dezembro de 2013 17:09, Pedro Chaves
 
  brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.commailto:
 brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com
  escreveu:
  Qual a definição de limite de uma variável real?
 
  Feliz 2014 para todos!!!
 
  Pedro Chaves
  _
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  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 
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  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
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  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
  acredita-se estar livre de perigo.
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  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
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  Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
  =
 
 
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  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
  acredita-se estar livre de perigo.
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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


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 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável

[Ralph Teixeira]

Desculpa, Pacini, mas isto nao faz sentido se voce nao disser algo sobre o
que x significa. A frase que voce escreveu:

para todo k0, existe x real tal que 0|x-a|k

eh simplesmente VERDADEIRA, sempre -- SEMPRE existe esse x real, basta
tomar x=a+k/2, por exemplo.

---///---

Entao, Pedro, nao existe (pelo menos nos Calculos iniciais) limite de uma
variavel sem que ela dependa de outras. Existem varios tipos de limite,
mas todos eles sao:

o limite de ALGO, quando ALGO OUTRO  vai para ALGUM LUGAR...

Tah, ficou horrivel quando dito assim... Deixa eu tentar de novo com
letras; o que faz sentido eh:

o limite de y, quando x vai para A (nao apenas limite de y).

Ai voce pergunta como assim limite de y se eh o x que vai para algum
canto? Pois eh, esta frase soh faz sentido se y depender de x de alguma
maneira clara, isto eh, se y for uma funcao de x.

Entao vamos comecar tudo de novo: seja x uma variavel independente (estou
omitindo alguns detalhes tecnicos sobre o dominio de x; suponha que eh um
intervalo real), seja A um numero real fixo, e seja y=f(x) (y eh uma funcao
de x). A frase

lim_(x-A) f(x) = L(ou, equivalentemente, lim_(x-A) y=L )
(le-se: o limite de f(x), quando x tende a A, eh igual a L;ou  y tende a
L quando x tende a A)

SIGNIFICA

eh possivel garantir que y=f(x) fique tao perto quanto eu quiser de L,
bastando para tanto que x fique suficientemente proximo de A
(ou em linguagem mais formal, algo parecido com o que o Kelvin falou ali em
cima).

---///---

Voce quer limites infinitos? Ou limites no infinito? Tah, mudamos um
pouquinho:

lim_(x-A) f(x)=+Inf
SIGNIFICA
eh possivel garantir que f(x) fique tao grande quanto eu queira, bastando
para tanto que x fique suficientemente proximo de A
(formalmente: para todo K real, existe delta tal que vale
 |x-A|delta  ==  f(x)K)

lim_(x-+Inf) f(x)=L
SIGINIFICA
eh possivel garantir que f(x) fique tao perto quando eu quiser de L,
bastando para tanto que x seja suficientemente grande
(para todo eps0, existe K real tal que vale  xK ==
|f(x)-L|delta)

Note que isto tudo merece uma leitura cuidadosa, de varios dias Eu
sugiro um bom livro de calculo, como o Stewart para as ideias iniciais, ou
o Guidorizzi para algo um pouco mais formal; ou o do Elon se voce quiser ir
direto para a parte BEM formal.

Abraco,
  Ralph


2014/1/1 Pacini Bores pacini.bo...@globo.com

 Olá Pedro,

 Podemos definir o que desejas da seguinte forma : limx =a , com a real;

  para todo k0 , existe x  real tal que  0  |x - a|  k  .

 Abraços

 Pacini


 Em 1 de janeiro de 2014 08:06, Pedro Chaves brped...@hotmail.comescreveu:

 
  Date: Tue, 31 Dec 2013 17:50:20 -0200
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável
  From: kelvinan...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br

  Olá, Kelvin!

 Muito obrigado!

 Gostaria, entretanto, de uma definição de limite de uma variável, e não
 de uma função.

 Feliz Ano Novo!
 Pedro Chaves
 ___
 


 Dada a função ƒ(x) definida no intervalo aberto em torno de a, mas não
  necessariamente definida em a, temos que:
  Limite é o número L ao qual aproximam-se os valores de ƒ(x), quando x
  tende a um número a.
  Se, e somente se, existir um número ε 0, e que para cada ε, existir
  um número δ 0, e qualquer que seja o x, seja válido:
  0  |x - a|  δ que implica em |ƒ(x) - L|  ε.
 
 
 
  Em 31 de dezembro de 2013 17:09, Pedro Chaves
  brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com escreveu:
  Qual a definição de limite de uma variável real?
 
  Feliz 2014 para todos!!!
 
  Pedro Chaves
  _
  --
  Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =
 
 
  --
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  acredita-se estar livre de perigo.
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  acredita-se estar livre de perigo.


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 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =



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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável

[Pacini Bores]

Ok! Ralph, obrigado pela sua observação e explicação .

Se tivesse dito : k 0   tão pequeno quanto eu queira tal que 0|x-a|k ,
teria algum problema ?

Ou no momento que estou escrevendo  tão pequeno quanto eu queira, já
estou definindo algo que k  depende ?

Abraços

Pacini




Em 1 de janeiro de 2014 13:02, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 Desculpa, Pacini, mas isto nao faz sentido se voce nao disser algo sobre o
 que x significa. A frase que voce escreveu:

 para todo k0, existe x real tal que 0|x-a|k

 eh simplesmente VERDADEIRA, sempre -- SEMPRE existe esse x real, basta
 tomar x=a+k/2, por exemplo.

 ---///---

 Entao, Pedro, nao existe (pelo menos nos Calculos iniciais) limite de uma
 variavel sem que ela dependa de outras. Existem varios tipos de limite,
 mas todos eles sao:

 o limite de ALGO, quando ALGO OUTRO  vai para ALGUM LUGAR...

 Tah, ficou horrivel quando dito assim... Deixa eu tentar de novo com
 letras; o que faz sentido eh:

 o limite de y, quando x vai para A (nao apenas limite de y).

 Ai voce pergunta como assim limite de y se eh o x que vai para algum
 canto? Pois eh, esta frase soh faz sentido se y depender de x de alguma
 maneira clara, isto eh, se y for uma funcao de x.

 Entao vamos comecar tudo de novo: seja x uma variavel independente (estou
 omitindo alguns detalhes tecnicos sobre o dominio de x; suponha que eh um
 intervalo real), seja A um numero real fixo, e seja y=f(x) (y eh uma funcao
 de x). A frase

 lim_(x-A) f(x) = L(ou, equivalentemente, lim_(x-A) y=L )
 (le-se: o limite de f(x), quando x tende a A, eh igual a L;ou  y tende a
 L quando x tende a A)

 SIGNIFICA

 eh possivel garantir que y=f(x) fique tao perto quanto eu quiser de L,
 bastando para tanto que x fique suficientemente proximo de A
 (ou em linguagem mais formal, algo parecido com o que o Kelvin falou ali
 em cima).

 ---///---

 Voce quer limites infinitos? Ou limites no infinito? Tah, mudamos um
 pouquinho:

 lim_(x-A) f(x)=+Inf
 SIGNIFICA
 eh possivel garantir que f(x) fique tao grande quanto eu queira, bastando
 para tanto que x fique suficientemente proximo de A
 (formalmente: para todo K real, existe delta tal que vale
  |x-A|delta  ==  f(x)K)

 lim_(x-+Inf) f(x)=L
 SIGINIFICA
 eh possivel garantir que f(x) fique tao perto quando eu quiser de L,
 bastando para tanto que x seja suficientemente grande
 (para todo eps0, existe K real tal que vale  xK ==
 |f(x)-L|delta)

 Note que isto tudo merece uma leitura cuidadosa, de varios dias Eu
 sugiro um bom livro de calculo, como o Stewart para as ideias iniciais, ou
 o Guidorizzi para algo um pouco mais formal; ou o do Elon se voce quiser ir
 direto para a parte BEM formal.

 Abraco,
   Ralph


 2014/1/1 Pacini Bores pacini.bo...@globo.com

 Olá Pedro,

 Podemos definir o que desejas da seguinte forma : limx =a , com a real;

  para todo k0 , existe x  real tal que  0  |x - a|  k  .

 Abraços

 Pacini


 Em 1 de janeiro de 2014 08:06, Pedro Chaves brped...@hotmail.comescreveu:

 
  Date: Tue, 31 Dec 2013 17:50:20 -0200
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável
  From: kelvinan...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br

  Olá, Kelvin!

 Muito obrigado!

 Gostaria, entretanto, de uma definição de limite de uma variável, e não
 de uma função.

 Feliz Ano Novo!
 Pedro Chaves
 ___
 


 Dada a função ƒ(x) definida no intervalo aberto em torno de a, mas não
  necessariamente definida em a, temos que:
  Limite é o número L ao qual aproximam-se os valores de ƒ(x), quando x
  tende a um número a.
  Se, e somente se, existir um número ε 0, e que para cada ε, existir
  um número δ 0, e qualquer que seja o x, seja válido:
  0  |x - a|  δ que implica em |ƒ(x) - L|  ε.
 
 
 
  Em 31 de dezembro de 2013 17:09, Pedro Chaves
  brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com escreveu:
  Qual a definição de limite de uma variável real?
 
  Feliz 2014 para todos!!!
 
  Pedro Chaves
  _
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  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
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  acredita-se estar livre de perigo.
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  acredita-se estar livre de perigo.


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 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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 --
 Esta

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável

[Pedro Chaves]

Muito obrigado, Ralph e Pacini.

Continuo em dúvida:

Como expressar em linguagem formal as afirmações x tende para a, x tende a 
mais infinito e x tende a menos infinito?
Como provar que as afirmações x tende a mais infinito e x + r tende a mais 
infinito são equivalentes?  ( x é variável real e r é uma constante real) —-- 
Questão já proposta na Lista.

Abraços do Pedro Chaves
_

 Date: Wed, 1 Jan 2014 13:02:24 -0200 
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite 
 de uma variável 
 From: ralp...@gmail.com 
 To: obm-l@mat.puc-rio.br 
 
 Desculpa, Pacini, mas isto nao faz sentido se voce nao disser algo 
 sobre o que x significa. A frase que voce escreveu: 
 
 para todo k0, existe x real tal que 0|x-a|k 
 
 eh simplesmente VERDADEIRA, sempre -- SEMPRE existe esse x real, basta 
 tomar x=a+k/2, por exemplo. 
 
 ---///--- 
 
 Entao, Pedro, nao existe (pelo menos nos Calculos iniciais) limite de 
 uma variavel sem que ela dependa de outras. Existem varios tipos de 
 limite, mas todos eles sao: 
 
 o limite de ALGO, quando ALGO OUTRO vai para ALGUM LUGAR... 
 
 Tah, ficou horrivel quando dito assim... Deixa eu tentar de novo com 
 letras; o que faz sentido eh: 
 
 o limite de y, quando x vai para A (nao apenas limite de y). 
 
 Ai voce pergunta como assim limite de y se eh o x que vai para algum 
 canto? Pois eh, esta frase soh faz sentido se y depender de x de 
 alguma maneira clara, isto eh, se y for uma funcao de x. 
 
 Entao vamos comecar tudo de novo: seja x uma variavel independente 
 (estou omitindo alguns detalhes tecnicos sobre o dominio de x; suponha 
 que eh um intervalo real), seja A um numero real fixo, e seja y=f(x) (y 
 eh uma funcao de x). A frase 
 
 lim_(x-A) f(x) = L (ou, equivalentemente, lim_(x-A) y=L ) 
 (le-se: o limite de f(x), quando x tende a A, eh igual a L;ou y 
 tende a L quando x tende a A) 
 
 SIGNIFICA 
 
 eh possivel garantir que y=f(x) fique tao perto quanto eu quiser de L, 
 bastando para tanto que x fique suficientemente proximo de A 
 (ou em linguagem mais formal, algo parecido com o que o Kelvin falou 
 ali em cima). 
 
 ---///--- 
 
 Voce quer limites infinitos? Ou limites no infinito? Tah, mudamos um 
 pouquinho: 
 
 lim_(x-A) f(x)=+Inf 
 SIGNIFICA 
 eh possivel garantir que f(x) fique tao grande quanto eu queira, 
 bastando para tanto que x fique suficientemente proximo de A 
 (formalmente: para todo K real, existe delta tal que vale 
 |x-A|delta == f(x)K) 
 
 lim_(x-+Inf) f(x)=L 
 SIGINIFICA 
 eh possivel garantir que f(x) fique tao perto quando eu quiser de L, 
 bastando para tanto que x seja suficientemente grande 
 (para todo eps0, existe K real tal que vale xK == 
 |f(x)-L|delta) 
 
 Note que isto tudo merece uma leitura cuidadosa, de varios dias Eu 
 sugiro um bom livro de calculo, como o Stewart para as ideias iniciais, 
 ou o Guidorizzi para algo um pouco mais formal; ou o do Elon se voce 
 quiser ir direto para a parte BEM formal. 
 
 Abraco, 
 Ralph 
 
 
 2014/1/1 Pacini Bores pacini.bo...@globo.commailto:pacini.bo...@globo.com 
 Olá Pedro, 
 
 Podemos definir o que desejas da seguinte forma : limx =a , com a real; 
 
  para todo k0 , existe x real tal que 0  |x - a|  k  . 
 
 Abraços 
 
 Pacini 
 
 
 Em 1 de janeiro de 2014 08:06, Pedro Chaves 
 brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com escreveu: 
 
  
 Date: Tue, 31 Dec 2013 17:50:20 -0200 
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável 
 From: kelvinan...@gmail.commailto:kelvinan...@gmail.com 
 To: obm-l@mat.puc-rio.brmailto:obm-l@mat.puc-rio.br 
 
 Olá, Kelvin! 
 
 Muito obrigado! 
 
 Gostaria, entretanto, de uma definição de limite de uma variável, e não 
 de uma função. 
 
 Feliz Ano Novo! 
 Pedro Chaves 
 ___ 
 
 
 
 Dada a função ƒ(x) definida no intervalo aberto em torno de a, mas não 
 necessariamente definida em a, temos que: 
 Limite é o número L ao qual aproximam-se os valores de ƒ(x), quando x 
 tende a um número a. 
 Se, e somente se, existir um número ε 0, e que para cada ε, existir 
 um número δ 0, e qualquer que seja o x, seja válido: 
 0  |x - a|  δ que implica em |ƒ(x) - L|  ε. 
 
 
 
 Em 31 de dezembro de 2013 17:09, Pedro Chaves 
 
 brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.commailto:brped...@hotmail.com
  
 escreveu: 
 Qual a definição de limite de uma variável real? 
 
 Feliz 2014 para todos!!! 
 
 Pedro Chaves 
 _ 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo. 
 
 
 = 
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
 = 
 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e 
 acredita-se estar

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2014/1/1 Pacini Bores pacini.bo...@globo.com:
 Ok! Ralph, obrigado pela sua observação e explicação .

 Se tivesse dito : k 0   tão pequeno quanto eu queira tal que 0|x-a|k ,
 teria algum problema ?
Teria. Essa (e outras) frases de cálculo são recursos intuitivos úteis
para pensar sobre limites, mas não para definí-los. Assim, quando você
diz tão pequeno quanto eu queira, isso é uma abreviação para uma
frase bem mais complicada. E que, nesse caso (limites de uma única
variável) não faz sentido, porque o que esta abreviação contém é uma
relação dependência entre várias quantidades relacionadas ao
comportamento de DUAS variáveis juntas.

 Ou no momento que estou escrevendo  tão pequeno quanto eu queira, já estou
 definindo algo que k  depende ?
Na verdade, você está definindo alguma coisa que vai depender de k.
Nas definições habituais, o seu k é chamado de épsilon, e o delta
é que depende do épsilon quando eles aparecem.

Mas o maior problema, mesmo, como disse o Ralph, é que o limite de
alguma coisa só faz sentido de esta mesma coisa (o x) variar. Na sua
frase

para todo k, existe x tal que ...,

o x aparece depois do k, então ele não varia, ele existe.

Se você conhece programação, isso é exatamente o que acontece quando
você define uma variável local com o mesmo nome de uma variável
global. Daí pra frente, dentro do bloco onde você estiver, a
variável global está inacessível. Em matemática, você define uma
variável quando você a introduz numa fórmula por meio de um existe
ou um para todo. Assim, no seu exemplo, o lim x = a que vem antes
está falando de um x que NÃO é o mesmo que o que você introduz
depois por existe!

Uma outra forma de pensar é que os nomes das variáveis são totalmente
neutros. Ou seja, a sua frase não pode mudar de valor lógico se você
substituir todos os x de uma afirmação por y, ou z. Nesse seu caso,
o problema é que existem várias (sub-)afirmações dentro da definição
(que é o análogo exato dos blocos de código num programa) e portanto
em CADA uma delas, as variáveis novas poderiam ser chamadas como você
quiser.

E é exatamente por o seu x ser uma nova variável que o Ralph pode
dizer que a sua (sub)-afirmação era sempre verdadeira, qualquer que
fosse o a. A ordem em que você introduz as variáveis muda o sentido da
frase! (Ou seja, a fala não é comutativa ;-))

 Em 1 de janeiro de 2014 13:02, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 Desculpa, Pacini, mas isto nao faz sentido se voce nao disser algo sobre o
 que x significa. A frase que voce escreveu:

 para todo k0, existe x real tal que 0|x-a|k

 eh simplesmente VERDADEIRA, sempre -- SEMPRE existe esse x real, basta
 tomar x=a+k/2, por exemplo.

 2014/1/1 Pacini Bores pacini.bo...@globo.com

 Olá Pedro,

 Podemos definir o que desejas da seguinte forma : limx =a , com a real;

  para todo k0 , existe x  real tal que  0  |x - a|  k  .

Abraços, e bom 2014
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2014/1/1 Pedro Chaves brped...@hotmail.com:
 Muito obrigado, Ralph e Pacini.

 Continuo em dúvida:

 Como expressar em linguagem formal as afirmações x tende para a, x tende a 
 mais infinito e x tende a menos infinito?
 Como provar que as afirmações x tende a mais infinito e x + r tende a mais 
 infinito são equivalentes?  ( x é variável real e r é uma constante real) 
 —-- Questão já proposta na Lista.

Bom, as afirmações acima não são formais. O primeiro passo, portanto,
seria transformá-las em afirmações formais, dando um sentido preciso.
Assim, eu vejo duas formas.

Podemos pensar x como uma seqüência infinita de valores x_1, x_2,
... x_n, ... Daí, x+r será um abuso de notação para a seqüência
infinita (x_1 + r), (x_2 + r), ... , (x_n + r), ... . Então, a
demonstração será sobre limites de sequências.

A segunda forma é como fizeram antes: x é uma função de uma outra
variável (tempo, por exemplo, que é a metáfora mais comum para o
entendimento de limites), e neste caso x+r será uma outra função,
tomando valores r maiores. E a demonstração será, agora, sobre
limites de funções.


Talvez o que complique a coisa seja o seguinte. Existe uma expressão
informal para limites que é f(x) tende a A quando x tende a B, e
parece que precisamos dar um sentido separado para quando x tende a
B. É claro que fazendo isso, também temos um sentido separado para
f(x) tende a A, e assim acabamos de decompor uma sentença em duas.
Por mais que isso seja interessante e intuitivo (como frase do
português), o problema todo é que a expressão original não é
matematicamente formal. Ela abrevia uma coisa complicada (com épsilons
e deltas, desigualdades, para todos e existes) e, quando você vai
ver, não dá para separar. Como o Ralph e o Kelvin já escreveram, eu
vou pegar carona, repetir, e tentar mostrar que estas duas partes são,
realmente, inseparáveis. Pelo menos, como foram definidas. Talvez
valha a pena tentar dar uma definição formal do que seja x tende a B
sem ligar com mais nada, mas até hoje ninguém achou uma.

Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo B. (B poderia
estar na borda, poderia ser mais geral do que um intervalo, mas isso
não vem ao caso aqui)
A expressão A é o limite de f(x) quando x tende a B quer dizer, exatamente:

Para todo épsilon positivo, existe delta positivo, tal que, para todo
x no intervalo, se |x - B|  delta então | f(x) - A |  épsilon

Note que a expressão original é uma afirmação com 3 variáveis livres:
f, A e B.  O x é uma variável muda da definição: isso é mais claro
ao ler a versão formal, onde eu introduzi o x com o para todo na
frente, e poderia ter chamado de w que não ia fazer a menor
diferença (entre a afirmação ser verdadeira ou falsa claro ;  você
pode achar - e eu concordo - que chamar uma coisa de x dá uma idéia
diferente de chamar a mesma coisa de batata ou w).

A parte que parece que tem a ver com o x tende a B é a seguinte:

existe delta positivo, tal que, para todo x no intervalo, se |x - B|  delta

Fora disso, parece que tem mais a ver com o f(x) tende a A, não?
Mas o problema é que esta frase que a gente obteve ficou capenga, ela
não pede muita coisa para o x, nem explica muita coisa também. Ela
diz: x está no intervalo e bota um se, mas não completa o então.
Pior ainda, o então | f(x) - A |  épsilon, na verdade, é uma
condição no x. Isso é até mais claro quando você bota os parêntesis na
frase para interpretar direito:

Para todo épsilon positivo ( existe delta positivo, tal que [ para
todo x no intervalo, { se |x - B|  delta, então | f(x) - A | 
épsilon } ] )

Assim, você não pode separar a parte de dentro como sendo uma das
metades da definição. Você até poderia cortar a frase para ficar só
com os parêntesis (e você teria uma afirmação com 4 variáveis livres,
f, A, B e épsilon), ou para ficar só com os colchetes (e daí seriam 5
variáveis, porque aparece o delta) ou só com as chaves (e daí você tem
6 variáveis, f, A, B, épsilon, delta, x, na ordem em que foram
introduzidas, o A e o B introduzidas simultaneamente). E veja que, até
o nível mais profundo da definição (o com 6 variáveis) o f aparece. O
que explica porque não dá para separar direito.


Espero que ajude... um dos grandes problemas da análise (e que levou
sua cota de séculos para ser resolvido) foi justamente esse de passar
de uma idéia intuitiva de limites de uma variável para a definição
formal de limites de uma coisa DEPENDENDO do comportamento de outra.
A vantagem da primeira é que você dá sentido às duas partes da frase
limite de f(x) quando x tende a B, mas o problema é que, como é
apenas intuitivo, você não consegue fazer uma demonstração 100%
formal.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html

Re: [obm-l] Limite de uma variável

[Artur Costa Steiner]

Vc já recebeu excelentes respostas. Já ficou claro que só faz sentido falar de 
limite de uma função. Vou resumir aqui os tipos de limite no caso de funções 
com domínio D em R e valores em R, usando as clássicas definições com eps, 
delta e M.

Se a e L forem reais e a for ponto de acumulação de D, então

lim x = a  f(x) = L -  dado eps  0, existe delta  0 tal que, para todo x 
de D com 0  |x - a |  delta, tenhamos |f(x) -L|   eps.

Veja que a definição exige que a seja ponto de acumulação de D, mas não exige 
que a pertença a D. O limite depende apenas do comportamento de f em uma 
vizinhança de a, deletado o próprio a. Se f(a) existir, seu valor em nada 
influencia o limite (ou sequer a existência do limite)(isto dá origem aos os 
conceitos de descontinuidade removível e de descontinuidade essencial)

lim x = oo f (x) = oo  dado M  0, existe k  0 tal que, se x está em D e 
x  k, então f(x)  M.

Veja que, para que isto faça sentido, D tem ser ilimitado superiormente. 

E há ainda os casos em que x= a e f(x) = oo e em que x = oo e f(x) = a. 
Deixo para vc formular estes casos. 

E há ainda os casos em aparece -oo. São todos análogos.

Observe que, conforme usual, as desigualdades envolvidas são estritas. Mas se 
vc quiser, pode formular o limites com uma ou ambas desigualdades do tipo =. 
Sugiro que vc prove que são definições equivalentes, é instrutivo. O eps, é 
claro, tem que ser sempre positivo

Feliz 2014 para todos nós! Que o limite de nossas realizações seja oo!

Artur Costa Steiner

 Em 31/12/2013, às 17:09, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu:
 
 Qual a definição de limite de uma variável real?
 
 Feliz 2014 para todos!!!
 
 Pedro Chaves
 _ 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
 
 
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 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável

[Pacini Bores]

Obrigado a todos que opinaram e pelos esclarecimentos, que certamente
concretizaram  o que eu pensava que sabia.

Abraços

Pacini


Em 1 de janeiro de 2014 14:34, Artur Costa Steiner
steinerar...@gmail.comescreveu:

 Vc já recebeu excelentes respostas. Já ficou claro que só faz sentido
 falar de limite de uma função. Vou resumir aqui os tipos de limite no caso
 de funções com domínio D em R e valores em R, usando as clássicas
 definições com eps, delta e M.

 Se a e L forem reais e a for ponto de acumulação de D, então

 lim x = a  f(x) = L -  dado eps  0, existe delta  0 tal que, para
 todo x de D com 0  |x - a |  delta, tenhamos |f(x) -L|   eps.

 Veja que a definição exige que a seja ponto de acumulação de D, mas não
 exige que a pertença a D. O limite depende apenas do comportamento de f em
 uma vizinhança de a, deletado o próprio a. Se f(a) existir, seu valor em
 nada influencia o limite (ou sequer a existência do limite)(isto dá origem
 aos os conceitos de descontinuidade removível e de descontinuidade
 essencial)

 lim x = oo f (x) = oo  dado M  0, existe k  0 tal que, se x está em
 D e x  k, então f(x)  M.

 Veja que, para que isto faça sentido, D tem ser ilimitado superiormente.

 E há ainda os casos em que x= a e f(x) = oo e em que x = oo e f(x) =
 a. Deixo para vc formular estes casos.

 E há ainda os casos em aparece -oo. São todos análogos.

 Observe que, conforme usual, as desigualdades envolvidas são estritas. Mas
 se vc quiser, pode formular o limites com uma ou ambas desigualdades do
 tipo =. Sugiro que vc prove que são definições equivalentes, é instrutivo.
 O eps, é claro, tem que ser sempre positivo

 Feliz 2014 para todos nós! Que o limite de nossas realizações seja oo!

 Artur Costa Steiner

  Em 31/12/2013, às 17:09, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu:
 
  Qual a definição de limite de uma variável real?
 
  Feliz 2014 para todos!!!
 
  Pedro Chaves
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Limite de uma variável

[Kelvin Anjos]

Dada a função *ƒ(x) *definida no intervalo aberto em torno de *a*, mas não
necessariamente definida em *a*, temos que:
Limite é o número *L *ao qual aproximam-se os valores de *ƒ(x)*,
quando *x*tende a um número*
a*.
Se, e somente se, existir um número *ε*  0*, *e que para cada *ε*, existir
um número *δ*  0, e qualquer que seja o *x*, seja válido:
*0  |x - a|  **δ *que implica em*  |ƒ(x) - L|  ε.*



Em 31 de dezembro de 2013 17:09, Pedro Chaves brped...@hotmail.comescreveu:

 Qual a definição de limite de uma variável real?

 Feliz 2014 para todos!!!

 Pedro Chaves
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 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Re: [obm-l] Limite da série 0 + 0 + 0 ...

[luiz silva]

Uai, mas a as integrais,  que são um somatório   [Area = Soma F(x) dx], onde o 
limite quando dx tende a 0 é zero, mas o somatório não é ?





Em Segunda-feira, 11 de Novembro de 2013 13:56, Pedro Chaves 
brped...@hotmail.com escreveu:
 
Queridos Colegas,

Solicito uma demonstração de que a série que possui todos os termos iguais a 
zero é convergente e tem limite igual a zero.

Abraços!
Pedro Chaves
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Re: [obm-l] Limite da série 0 + 0 + 0 ...

[Artur Costa Steiner]

Seja s_n a sequência das somas parciais da série. Então, s_n = 0 ...+ .. 0 (n 
zeros) = 0. Logo, temos trivialmente que lim s_n = 0.

Artur Costa Steiner

 Em 11/11/2013, às 13:36, Pedro Chaves brped...@hotmail.com escreveu:
 
 Queridos Colegas,
 
 Solicito uma demonstração de que a série que possui todos os termos iguais a 
 zero é convergente e tem limite igual a zero.
 
 Abraços!
 Pedro Chaves
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limite da série 0 + 0 + 0 ...

[Artur Costa Steiner]

Tender a 0 não significa que seja 0. Por exemplo, para x  0, 1/x  0. Mas lim 
x == oo 1/x = 0. 

Integrais e séries na realidade não são somas finitas, mas sim limites de uma 
sequência de somas. Se todas estas somas forem 0, o limite das mesmas é 0. 

Artur Costa Steiner

 Em 11/11/2013, às 14:37, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu:
 
 Uai, mas a as integrais,  que são um somatório   [Area = Soma F(x) dx], onde 
 o limite quando dx tende a 0 é zero, mas o somatório não é ?
 
 
 
 Em Segunda-feira, 11 de Novembro de 2013 13:56, Pedro Chaves 
 brped...@hotmail.com escreveu:
 Queridos Colegas,
 
 Solicito uma demonstração de que a série que possui todos os termos iguais a 
 zero é convergente e tem limite igual a zero.
 
 Abraços!
 Pedro Chaves
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limite da série 0 + 0 + 0 ...

[luiz silva]

Mas o que estava falando é que o lim de f(x). delta x, quando delta x tende a 
zero é zero. Assim, o que nos resta é uma soma infinita de elementos de área 
(estou pegando o caso de integrais para calculo de área) zero. Não?



Em Segunda-feira, 11 de Novembro de 2013 20:24, Artur Costa Steiner 
steinerar...@gmail.com escreveu:
 
Tender a 0 não significa que seja 0. Por exemplo, para x  0, 1/x  0. Mas lim 
x == oo 1/x = 0. 

Integrais e séries na realidade não são somas finitas, mas sim limites de uma 
sequência de somas. Se todas estas somas forem 0, o limite das mesmas é 0. 

Artur Costa Steiner

Em 11/11/2013, às 14:37, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu:


Uai, mas a as integrais,  que são um somatório   [Area = Soma F(x) dx], onde o 
limite quando dx tende a 0 é zero, mas o somatório não é ?






Em Segunda-feira, 11 de Novembro de 2013 13:56, Pedro Chaves 
brped...@hotmail.com escreveu:
 
Queridos Colegas,

Solicito uma demonstração de que a série que possui todos os termos iguais a 
zero é
 convergente e tem limite igual a zero.

Abraços!
Pedro Chaves
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Re: [obm-l] Limite

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/4/3 Heitor Bueno Ponchio Xavier heitor.iyp...@gmail.com:
 Galera, não consegui resolver a seguinte questão:
 Para todo r real, defina n(r)=#((m,n)∈ Z² | m²+n² r²)
 Calcule o limite:
 limite n(r)/r²r-infinito
Você tem que ver o que n(r) quer dizer, senão é impossível. Dica, a
resposta começa com 3 ;-)

-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Re: [obm-l] Limite

[Marcelo Ribeiro]

oi, Heitor, tudo bem?
Observe o seguinte: n(r) são os pontos reticulados (coordenadas inteiras)
dentro do círculo centrado em (0,0) e de raio r. Faça um desenho. Acho que
vai ajudar. A propósito, essa questão está na sua lista de cálculo vetorial
e geometria analítica? rsrs
:)
abraços,
monitor de CVGA. iauhiauahiauhaiuha ;-)


Em 3 de abril de 2013 23:35, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com escreveu:

 2013/4/3 Heitor Bueno Ponchio Xavier heitor.iyp...@gmail.com:
  Galera, não consegui resolver a seguinte questão:
  Para todo r real, defina n(r)=#((m,n)∈ Z² | m²+n² r²)
  Calcule o limite:
  limite n(r)/r²r-infinito
 Você tem que ver o que n(r) quer dizer, senão é impossível. Dica, a
 resposta começa com 3 ;-)

 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Re: [obm-l] Limite x^1/x

[Rogerio Ponce]

Oi Joao,
reescrevendo o x como e ^ ln(x), o que queremos calcular e'
  e ^ [ ln(x) * 1/x ] , quando x-inf.

Agora, acreditando que o limite da funcao seja a funcao do limite,
basta calcularmos o limite de
  ln(x)/x , quando x-inf.

Aplicando LHopital, basta derivarmos numerador e denominador, obtendo
  (1/x) / 1 , que vale zero quando x- infinito.

Portanto, o limite procurado vale
  e^0 = 1

[]'s
Rogerio Ponce


Em 05/04/12, João Maldonadojoao_maldona...@hotmail.com escreveu:

 Como posso provar o limite x^(1/x),   x- infinito?


 Acho que consegui uma prova, mais ficou bem complexaVocês podem ver se tem
 algum erro?
 Primeiramente uso o limite (1+n/x)^x , x- Infinito = e^nDaí vem a parte
 meio conceitual:Vamos definir (por falta de palavras)  um número infinital
 como um número que tende ao infinito e um número normal como um número que
 não tende ao infinitoSe n é infinital (Qualquer que seja esse infinito,
 digamos uma fração do infinito do x, por exemplo, x/100)O limite tende ao
 infinito
 Se n é normal o limite é normal
 Além disso é óbvio que x^(1/x)1 para x1
 Vamos supor agora que  limite x^(1/x),   x- infinito = k, k1Sendo k =
 1+k', k'1 normal
 É óbvio que  k' pode ser escrito como a divisão de dois infinitais, digamos
 n/x
 Temos x = (1+n/x)^x, x- infinito - x = e^n = e^(k'.x) = e^k'^x
 Vamos provar agora que e^(k'.x)  x, se x tende ao infinito
 Derivando a função e^(k'.x)-x,  temos k'.e^  (k'.x)-1, que é crescente
 Além disso quando x = ln|1/k'|/k', temos coeficiente angular de 45º e quando
 x=x1=ln(3^(1/2)/k')/k' temos coeficiente angular de 60º, Logo em algum x
 normal x1/(sqrt(3)-1), e^(k'.x) ultrapassa x, Ou seja e^(k'.x)  x,  se x
 tende ao infinito,  qualquer que seja  esse k' normal. Como k' pode ser tão
 pequeno como queiramos, o  limite tem que tender a 1

 Isso está certo?Além disso tem alguma prova mais fácil?
 []'sJoão

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Limite x^1/x

[João Maldonado]

Onde disse k'   1, na verdade e k' 0

From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Limite x^1/x
Date: Thu, 5 Apr 2012 17:08:34 -0300



Como posso provar o limite x^(1/x),   x- infinito?


Acho que consegui uma prova, mais ficou bem complexaVocês podem ver se tem 
algum erro?
Primeiramente uso o limite (1+n/x)^x , x- Infinito = e^nDaí vem a parte meio 
conceitual:Vamos definir (por falta de palavras)  um número infinital como um 
número que tende ao infinito e um número normal como um número que não tende ao 
infinitoSe n é infinital (Qualquer que seja esse infinito, digamos uma fração 
do infinito do x, por exemplo, x/100)O limite tende ao infinito
Se n é normal o limite é normal
Além disso é óbvio que x^(1/x)1 para x1
Vamos supor agora que  limite x^(1/x),   x- infinito = k, k1Sendo k = 1+k', 
k'1 normal
É óbvio que  k' pode ser escrito como a divisão de dois infinitais, digamos n/x
Temos x = (1+n/x)^x, x- infinito - x = e^n = e^(k'.x) = e^k'^x
Vamos provar agora que e^(k'.x)  x, se x tende ao infinito
Derivando a função e^(k'.x)-x,  temos k'.e^  (k'.x)-1, que é crescente
Além disso quando x = ln|1/k'|/k', temos coeficiente angular de 45º e quando 
x=x1=ln(3^(1/2)/k')/k' temos coeficiente angular de 60º, Logo em algum x normal 
x1/(sqrt(3)-1), e^(k'.x) ultrapassa x, Ou seja e^(k'.x)  x,  se x tende ao 
infinito,  qualquer que seja  esse k' normal. Como k' pode ser tão pequeno como 
queiramos, o  limite tem que tender a 1 

Isso está certo?Além disso tem alguma prova mais fácil? 
[]'sJoão  
  

Re: [obm-l] Limite x^1/x

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2012/4/5 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com:
 Oi Joao,
 reescrevendo o x como e ^ ln(x), o que queremos calcular e'
  e ^ [ ln(x) * 1/x ] , quando x-inf.

 Agora, acreditando que o limite da funcao seja a funcao do limite,
 basta calcularmos o limite de
  ln(x)/x , quando x-inf.

 Aplicando LHopital, basta derivarmos numerador e denominador, obtendo
  (1/x) / 1 , que vale zero quando x- infinito.

 Portanto, o limite procurado vale
  e^0 = 1

 []'s
 Rogerio Ponce
É claro que a solução do Rogério está certa, mas como ele deixou ao
critério do leitor de acreditar na continuidade da exponencial, eu
bolei a seguinte idéia, inspirada (ora direis, roubada) do truque
exponencial de Cauchy.

Divida os reais em intervalos exponenciais: 2^n = x  2^(n+1)
Daí, 1  x^(1/x) = 2^{ (n+1)/2^n }

Mas (n+1)/2^n  1/n para n suficientemente grande: isso é equivalente
a 2^n  n^2 + n. Assim, para x suficientemente grande, x^(1/x) =
2^(1/n), que tende a 1.

Assim, quando você tem um limite que parece ser meio monótono (no
sentido de crescente / decrescente, não de chato!), vale a pena tentar
fazer uma substituição exponencial, muitas vezes limpa bastante o
campo. E (é claro) que isso é exatamente o análogo dos logaritmos do
Ponce, mas cada um tem um jeito preferido de fazer as contas ;) (eu
particularmente uso bastante log quando eu quero expansões em série)

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Limite x^1/x

[João Maldonado]

Brilhante :)

Eu sempre tenho o azar de fazer pelo jeito mais dificil k

Valeu mais uma vez rogerio,

[]s
Joao

 Date: Thu, 5 Apr 2012 21:07:50 +
 Subject: Re: [obm-l] Limite x^1/x
 From: abrlw...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 Oi Joao,
 reescrevendo o x como e ^ ln(x), o que queremos calcular e'
   e ^ [ ln(x) * 1/x ] , quando x-inf.
 
 Agora, acreditando que o limite da funcao seja a funcao do limite,
 basta calcularmos o limite de
   ln(x)/x , quando x-inf.
 
 Aplicando LHopital, basta derivarmos numerador e denominador, obtendo
   (1/x) / 1 , que vale zero quando x- infinito.
 
 Portanto, o limite procurado vale
   e^0 = 1
 
 []'s
 Rogerio Ponce
 
 
 Em 05/04/12, João Maldonadojoao_maldona...@hotmail.com escreveu:
 
  Como posso provar o limite x^(1/x),   x- infinito?
 
 
  Acho que consegui uma prova, mais ficou bem complexaVocês podem ver se tem
  algum erro?
  Primeiramente uso o limite (1+n/x)^x , x- Infinito = e^nDaí vem a parte
  meio conceitual:Vamos definir (por falta de palavras)  um número infinital
  como um número que tende ao infinito e um número normal como um número que
  não tende ao infinitoSe n é infinital (Qualquer que seja esse infinito,
  digamos uma fração do infinito do x, por exemplo, x/100)O limite tende ao
  infinito
  Se n é normal o limite é normal
  Além disso é óbvio que x^(1/x)1 para x1
  Vamos supor agora que  limite x^(1/x),   x- infinito = k, k1Sendo k =
  1+k', k'1 normal
  É óbvio que  k' pode ser escrito como a divisão de dois infinitais, digamos
  n/x
  Temos x = (1+n/x)^x, x- infinito - x = e^n = e^(k'.x) = e^k'^x
  Vamos provar agora que e^(k'.x)  x, se x tende ao infinito
  Derivando a função e^(k'.x)-x,  temos k'.e^  (k'.x)-1, que é crescente
  Além disso quando x = ln|1/k'|/k', temos coeficiente angular de 45º e quando
  x=x1=ln(3^(1/2)/k')/k' temos coeficiente angular de 60º, Logo em algum x
  normal x1/(sqrt(3)-1), e^(k'.x) ultrapassa x, Ou seja e^(k'.x)  x,  se x
  tende ao infinito,  qualquer que seja  esse k' normal. Como k' pode ser tão
  pequeno como queiramos, o  limite tem que tender a 1
 
  Isso está certo?Além disso tem alguma prova mais fácil?
  []'sJoão
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
  

Re: [obm-l] RE: [obm-l] Limite difícil

[Carlos Nehab]

Perfeito, João,

E como o Eduardo também já pontuou nem precisou do senx/x...

Abraços
Nehab

Em 10/9/2011 14:13, João Maldonado escreveu:


v²+c²  = c²/cosk

c(  (v² + c²)^(1/2) - c)/v²  =   ( c²(1-cos)/cos)   / (c²sen²/cos²) = 
 (1-cos).cos/ sen² = (1-cos).cos/(1-cos²)  =  cos/(1+cos)



Como  k- 0,  cosk -  1,  cos/(1+cos) = 1/2

Está certo?
[]'s

João


Date: Sat, 10 Sep 2011 08:31:40 -0300
From: ne...@infolink.com.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Limite difícil

Oi, João.

Seu limite tem forte apelo geométrico, pois extrair a raiz quadrada 
de  soma de quadradaos remete para triângulos retângulos...(catetos c 
e v).
Assim, uma simples troca de variável resolve o problema sem 
necessidsde de recursos adicionais além do limite clássico senx/x 
tende a 1 qdo x tende a zero...

Faça v = c.tg(teta) e seu limite se tornará trivial, na variável teta.

Nehab

Em 7/9/2011 20:22, João Maldonado escreveu:

Como posso provar que o limite:



c(   ( v^2 + c^2) ^(1/2) - c)/v^2  = 1/2,  quando v- 0?


[]s
João

Re: [obm-l] Limite difícil

[Carlos Nehab]

Oi, João.

Seu limite tem forte apelo geométrico, pois extrair a raiz quadrada 
de  soma de quadradaos remete para triângulos retângulos...(catetos c e v).
Assim, uma simples troca de variável resolve o problema sem necessidsde 
de recursos adicionais além do limite clássico senx/x tende a 1 qdo x 
tende a zero...

Faça v = c.tg(teta) e seu limite se tornará trivial, na variável teta.

Nehab

Em 7/9/2011 20:22, João Maldonado escreveu:

Como posso provar que o limite:



c(   ( v^2 + c^2) ^(1/2) - c)/v^2  = 1/2,  quando v- 0?


[]s
João

[obm-l] RE: [obm-l] Limite difícil

[João Maldonado]

v²+c²  = c²/cosk
c(  (v² + c²)^(1/2) - c)/v²  =   ( c²(1-cos)/cos)   / (c²sen²/cos²) =  
(1-cos).cos/ sen² = (1-cos).cos/(1-cos²)  =  cos/(1+cos)

Como  k- 0,  cosk -  1,  cos/(1+cos) = 1/2
Está certo?[]'s
João
Date: Sat, 10 Sep 2011 08:31:40 -0300
From: ne...@infolink.com.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Limite difícil


  



  
  
Oi, João.



Seu limite tem forte apelo geométrico, pois extrair a raiz
quadrada de  soma de quadradaos remete para triângulos
retângulos...(catetos c e v).

Assim, uma simples troca de variável resolve o problema sem
necessidsde de recursos adicionais além do limite clássico senx/x
tende a 1 qdo x tende a zero...

Faça v = c.tg(teta) e seu limite se tornará trivial, na variável
teta.



Nehab



Em 7/9/2011 20:22, João Maldonado escreveu:

  
  
Como posso provar que o limite:









c(   ( v^2 + c^2) ^(1/2) - c)/v^2  = 1/2,  quando
  v- 0?






[]s
João
  


  

[obm-l] Re: [obm-l] Limite difícil

[Eduardo Wilner]

Podemos até dispensar o clássico senx/x, pois a substituição trigonométrica 
leva à

c^2( sec x -1)/(c^2.tg^2(x)) = (1 - cos x).cos^2x/(1-cos^2(x)) = 
cos^2(x)/(1+cosx)

cujo li9mite, para x -0 é 1/2.
 
--- Em sáb, 10/9/11, Carlos Nehab ne...@infolink.com.br escreveu:

De: Carlos Nehab ne...@infolink.com.br
Assunto: Re: [obm-l] Limite difícil
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sábado, 10 de Setembro de 2011, 8:31


  


  
  
Oi, João.



Seu limite tem forte apelo geométrico, pois extrair a raiz
quadrada de  soma de quadradaos remete para triângulos
retângulos...(catetos c e v).

Assim, uma simples troca de variável resolve o problema sem
necessidsde de recursos adicionais além do limite clássico senx/x
tende a 1 qdo x tende a zero...

Faça v = c.tg(teta) e seu limite se tornará trivial, na variável
teta.



Nehab



Em 7/9/2011 20:22, João Maldonado escreveu:

  
  
Como posso provar que o limite:









c(   ( v^2 + c^2) ^(1/2) - c    )/v^2  = 1/2,  quando
  v- 0?






[]s
João
  



  

[obm-l] Re: [obm-l] Limite difícil

[Victor Seixas Souza]

Conhecendo a regra de L`Hôpital, fica simples:

Temos que:
L = lim v- 0 [ c((v²+c²)^(1/2) - c )/v² ] = c lim v- 0 [ ((v²+c²)^(1/2) -
c )/v² ]
Aplicando a Regre de L`Hôpital para indeterminações do tipo 0/0, temos:
L = c lim v- 0  [ ((v²+c²)^(1/2) - c )' / (v²)' ] = c lim v- 0  [ 2v /
(2(v² + c²)^(1/2)) / 2v ] = c lim v-0 [ 1/(2(v²+c²)^(1/2)) ] = c * (1/2c) =
1/2

Victor

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Limite de série

[Lucas Prado Melo]

2010/11/16 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com

  Sauda,c~oes, oi Lucas,

 Entendido. Aguardo os comentários do seu professor.


Eu falei com ele e parece que encontrar a soma da série pode envolver
conhecimentos de análise funcional (se não me engano) que estão acima da
alçada de um estudante de cálculo C. Então (acho) não poderei dar mais
detalhes sobre a solução, infelizmente. =/
(isso sugere que essa série não devia estar na lista de exercícios...)

-- 
[]'s
Lucas

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm -l] Limite de série

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes, oi Lucas, 

Gostaria de voltar ao assunto. 

Não me importarei se não entender a solução. Mas realmente 
gostaria de vê-la. Ou se não for possível (será mesmo que podemos 
calcular a soma da série??) gostaria de ter pelo menos a resposta. 

Se vc preferir, favor pedir pro seu professor me escrever diretamente. 

[]'s 
Luís 


From: luca...@dcc.ufba.br
Date: Thu, 18 Nov 2010 06:34:24 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] 
RE: [obm-l] Limite de série
To: obm-l@mat.puc-rio.br

2010/11/16 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com







Sauda,c~oes, oi Lucas, 

Entendido. Aguardo os comentários do seu professor. 
Eu falei com ele e parece que encontrar a soma da série pode envolver 
conhecimentos de análise funcional (se não me engano) que estão acima da alçada 
de um estudante de cálculo C. Então (acho) não poderei dar mais detalhes sobre 
a solução, infelizmente. =/


(isso sugere que essa série não devia estar na lista de exercícios...)

-- 
[]'s
Lucas
  

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Limite de série

[Lucas Prado Melo]

2010/11/18 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com

  Sauda,c~oes, oi Lucas,

 Gostaria de voltar ao assunto.

 Não me importarei se não entender a solução. Mas realmente
 gostaria de vê-la. Ou se não for possível (será mesmo que podemos
 calcular a soma da série??) gostaria de ter pelo menos a resposta.

 Se vc preferir, favor pedir pro seu professor me escrever diretamente.


Ele me deu a entender que não conhecia a resolução. =/

-- 
[]'s
Lucas

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Limite de série

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes, oi Lucas, 

Entendido. Aguardo os comentários do seu professor. 

[]'s 
Luís 


From: luca...@dcc.ufba.br
Date: Mon, 15 Nov 2010 21:19:38 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Limite de série
To: obm-l@mat.puc-rio.br

2010/11/15 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com







Sauda,c~oes, oi Lucas, 

Troquei emails com o prof Rousseau e achar o valor da 
série dada pelo somando arctan(n)/(1+n²) está se revelando 
muito difícil. Inclusive a resposta sen 1 parece errada. 

Vc poderia nos dar alguma dica? Falar com o professor que passou 


o problema, confirmar o valor da série etc? O que foi feito em termos 
de correção e avaliação da lista? 

Eu acredito que é um erro de digitação mesmo.
A lista não é rigidamente corrigida porque serve somente de suporte para a 
disciplina e não como avaliação.



Como há muitos professores da disciplina, deve ser muito difícil encontrar o 
autor desta questão para nos esclarecer, mas vou ver com o meu professor.

Muito obrigado por olhar a questão.

-- 
[]'s


Lucas
  

[obm-l] RE: [obm-l] Limite d e série

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes, 
Oi Lucas, 

Você tem a fonte deste problema? 

E favor confirmar se é mesmo arctan(n)/(1+n²). Poderia ser 
arctan [n/(1+n^2)] ? 

Luís 


From: luca...@dcc.ufba.br
Date: Wed, 3 Nov 2010 21:17:08 -0300
Subject: [obm-l] Limite de série
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Olá,

como encontrar o limite da série cuja sequência é arctan(n)/(1+n²)?
-- 
[]'s
Lucas
  

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Limite de série

[Lucas Prado Melo]

2010/11/8 Luís Lopes qed_te...@hotmail.com

  Sauda,c~oes,
 Oi Lucas,

 Você tem a fonte deste problema?

 E favor confirmar se é mesmo arctan(n)/(1+n²). Poderia ser
 arctan [n/(1+n^2)] ?

É uma lista da disciplina de cálculo C da UFBA.
Pode ser baixada aqui: http://www.graphics.ufba.br/unid3lista2010.1.pdf
É a questão 4.m

A propósito, se vc puder responder para arctan[n/(1+n²)] acho que seria útil
também :-)

-- 
[]'s
Lucas

RE: [obm-l] Limite

[Artur Steiner]

2)  Seja
 x_n0 para todo n.Mostre que, se Lim x_n+1/x_n =a, então Lim (x_n)^1/n=a.
Conclua que , Lim n/n!^1/n=e( neperiano   
Para n  1, (x_n)^(1/n) = (x_1(^(1/n) .  [(x_2/x_1)  . (x_n/x_(n 
-1))]^(1/n) = (x_n)^(1/n) = (x_1(^(1/n) .  [((x_2/x_1)  . (x_n/x_(n 
-1)))^(1/(n -1))]^(n/(n -1))
Temos que lim (x_1)^(1/n) = 1[((x_2/x_1)  . (x_n/x_(n -1)))^(1/(n - 1) eh a 
sequencia das medias geometricas de (x_n/x_(n - 1)), Como esta ultima converge 
para a, o mesmo se verifica para a sequencia de suas medias geometricas.lim 
n/(n - 1) = 1.
Sendo x_n = n/(n!^(1/n)) = [n^n/n!]^(1/n), mostre que x_(n + 1)/x_n -- e. Sem 
tempo agora.
Artur



 







  
_
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RE: [obm-l] Limite

[Artur Steiner]

2)  Seja
 x_n0 para todo n.Mostre que, se Lim x_n+1/x_n =a, então Lim (x_n)^1/n=a.
Conclua que , Lim n/n!^1/n=e( neperiano   
Para n  1, (x_n)^(1/n) = (x_1(^(1/n) .  [(x_2/x_1)  . (x_n/x_(n 
-1))]^(1/n) = (x_n)^(1/n) = (x_1(^(1/n) .  [((x_2/x_1)  . (x_n/x_(n 
-1)))^(1/(n -1))]^(n/(n -1))
Temos que lim (x_1)^(1/n) = 1[((x_2/x_1)  . (x_n/x_(n -1)))^(1/(n - 1) eh a 
sequencia das medias geometricas de (x_n/x_(n - 1)), Como esta ultima converge 
para a, o mesmo se verifica para a sequencia de suas medias geometricas.lim 
n/(n - 1) = 1.
Sendo x_n = n/(n!^(1/n)) = [n^n/n!]^(1/n), mostre que x_(n + 1)/x_n -- e. Sem 
tempo agora.
Artur



 







  
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Re: [obm-l] Limite

[Francisco Barreto]

Ajuda com uma parte: se xn = 0 para todo n, então a = lim(xn) =0
 Suponha por absurdo, que x_n =0  e a 0. Agora tome eps = |a| e encontre
um elemento da sequência negativo.


2010/1/20 Pedro Costa npc1...@gmail.com



 1)  Se X_n=0, para todo n pertence N, então a=0 e Lim (X_n)^1/k=a^1/
 k, para qualquer k natural.

 2)  Seja  x_n0 para todo n.Mostre que, se Lim x_n+1/x_n =a, então Lim
 (x_n)^1/n=a. Conclua que , Lim n/n!^1/n=e( neperiano

Re: [obm-l] Limite

[Henrique Rennó]

2009/4/28 Angelo Schranko quintern...@yahoo.com.br


 Sim.

 lim  (3^x - 1) / x = lim  (e^(xln3) - 1) / x
 x-0 x-0

 Fazendo: y = xln3

 ln3 * lim  (e^y - 1) / y
  y-0

 Como lim  (e^y - 1) / y = 1, logo:


 y-0


Esse limite acima seria um limite fundamental? Daria pra ser demonstrado?




 lim  (3^x - 1) / x = ln3
 x-0

 [ ]´s
 Angelo

 --- Em ter, 28/4/09, Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com escreveu:

  De: Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com
  Assunto: [obm-l] Limite
  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
  Data: Terça-feira, 28 de Abril de 2009, 19:45
  Existe uma forma algébrica de calcular
  o seguinte limite?
 
  lim (x - 0) (3^x - 1)/x
 
  --
  Henrique
 
 


   Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
 http://br.maisbuscados.yahoo.com

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
 =




-- 
Henrique

Re: [obm-l] Limite

[Angelo Schranko]

lim  (e^y - 1) / y = 1
y-0

Fazendo e^y - 1 = u = y = ln(u + 1)

Assim: (e^y - 1) / y = u / ln(u + 1) = 1 / ( ln[(u+1)^(1/u)] )

Logo: lim  (e^y - 1) / y = lim 1 / ( ln[(u+1)^(1/u)] ) = 1 / ln(e) = 1
  y-0 u - 0

[ ]´s
Angelo

--- Em qui, 30/4/09, Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com escreveu:

 De: Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com
 Assunto: Re: [obm-l] Limite
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Data: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009, 11:35
 
 
 2009/4/28 Angelo Schranko quintern...@yahoo.com.br
 
 
 
 Sim.
 
 
 
 lim  (3^x - 1) / x = lim  (e^(xln3) - 1) / x
 
 x-0                 x-0
 
 
 
 Fazendo: y = xln3
 
 
 
 ln3 * lim  (e^y - 1) / y
 
       y-0
 
 
 
 Como lim  (e^y - 1) / y = 1,
 logo: 
 
      y-0
 Esse limite acima seria um limite fundamental? Daria pra
 ser demonstrado?
  
 
 
 
 
 
 lim  (3^x - 1) / x = ln3
 
 x-0
 
 
 
 [ ]´s
 
 Angelo
 
 
 
 --- Em ter, 28/4/09, Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com
 escreveu:
 
 
 
  De: Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com
 
  Assunto: [obm-l] Limite
 
  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 
  Data: Terça-feira, 28 de Abril de 2009, 19:45
 
  Existe uma forma
 algébrica de calcular
 
  o seguinte limite?
 
 
 
  lim (x - 0) (3^x - 1)/x
 
 
 
  --
 
  Henrique
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       Veja quais são os assuntos do momento
 no Yahoo! +Buscados
 
 http://br.maisbuscados.yahoo.com
 
 
 
 =
 
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
 lista em
 
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =
 
 
 
 
 -- 
 Henrique
 
 


  Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Limite

[Angelo Schranko]

Sim.

lim  (3^x - 1) / x = lim  (e^(xln3) - 1) / x
x-0 x-0

Fazendo: y = xln3

ln3 * lim  (e^y - 1) / y
  y-0

Como lim  (e^y - 1) / y = 1, logo:
 y-0

lim  (3^x - 1) / x = ln3
x-0

[ ]´s
Angelo

--- Em ter, 28/4/09, Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com escreveu:

 De: Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com
 Assunto: [obm-l] Limite
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Data: Terça-feira, 28 de Abril de 2009, 19:45
 Existe uma forma algébrica de calcular
 o seguinte limite?
 
 lim (x - 0) (3^x - 1)/x
 
 -- 
 Henrique
 
 


  Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Limite

[Henrique Rennó]

Olá Ralph,

Desculpas, coloquei errado no excel.

Obrigado pela correção.

2009/4/16 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com

 Eu tomara (tomara!) y=1/(x-1), não y=1/(1-x). É um sinalzinho de diferença.

 O limite era de x^(1/(1-x)), não era? Aposto que você estava colocando
 x^(1/(x-1)) no Excel -- assim dá e, daquele jeito dá 1/e.

 Abraço,
   Ralph

 2009/4/16 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com:
  Olá Ralph e Marcelo,
 
  2009/4/16 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
 
  O que o Marcelo fez funciona (ele tirou a exponencicao do ln, que fica
  entao multiplicando do lado de fora do ln; depois ele se preocupou soh
  com o limite dentro de exp, tem que esquecer o exp por um instante --
  esse limite de dentro eh que foi feito por L'Hopital) e eu acho que eh
  o jeito mais rapido. Mas, se ainda nao sabemos L'Hopital, temos a
  seguinte opcao: vamos fazer os limites laterais trocando variaveis.
 
  Pela direita, quando x - 1, vou tomar y=1/(x-1). Note que x - 1+
  sse  y - +Inf. Assim
  lim(x - 1+) x^[1/(1-x)] = lim(y - +Inf) (1+1/y)^(-y) = 1 / lim (y -
  +Inf) (1+1/y)^y=1/e
 
  Não sei se estou errado, mas seria lim(x - 1+) x^[1/(1-x)] = lim(y -
 +Inf)
  (1+1/y)^(y) e não lim(y - +Inf) (1+1/y)^(-y), já que y = 1/(1-x). Assim,
 a
  resposta seria e e não 1/e.
 
  Coloquei a fórmula no excel e para x-1, x^[1/(1-x)] tende a e.
 
 
  (imagino que este limite fundamental do denominador tenha sido feito
  previamente, talvez ateh como a definicao de e, senao temos que
  trabalhar mais)
 
  Para x - 1-, vou tomar z=1/(1-x). Note que, de novo, z - +Inf (eu
  mudei a variavel porque odeio trabalhar com -Inf, eu sempre me
  enrolo). Entao x=1-1/z, e:
  lim(x - 1-) x^[1/(1-x)] = lim(z - +Inf) (1-1/z)^z = 1/e
  (Este tambem jah deve ter sido feito... senao, faca agora z=h+1 e
 escreva:
  lim (h - +inf) (1-1/(h+1))^(h+1) = lim (h/(h+1))^(h+1) = 1/ [lim
  ((h+1)/h)^h . lim (h+1)/h]= 1/(e.1)=1/e.)
 
  Abraco,
Ralph
 
  2009/4/16 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com:
   Olá Marcelo,
  
   Desculpe, mas não entendi sua solução.
  
   Seria x^[1/(1-x)] = exp(ln x^[1/(1-x)]) como o Leandro citou e não
   exp[ln(x)/(1-x)]?
  
   O teorema de L'Hôpital seria que para derivadas (que são limites,
   certo?)
   onde surge uma indeterminação pode-se calcular a derivada da função
   tantas
   vezes quanto necessário e quando for possível (não existir mais a
   indeterminação) calcula-se o valor da função. Não entendi como você
   chegou
   em exp[(1/x)/(-1)].
  
   Eu não mencionei, mas o exercício está num capítulo sobre limites.
   Assim,
   acredito que a solução não seria através de derivadas ou do Teorema de
   L'Hôpital.
  
   Obrigado!
  
   Abraços
  
   2009/4/15 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com
  
   Olá Henrique,
  
   x^[1/(1-x)] = exp[ln(x)/(1-x)] aplicando L'Hopital: exp[(1/x)/(-1)] =
   exp(-1/x)
  
   Logo, o limite vale 1/e.
  
   abraços,
   Salhab
  
  
  
  
  
   2009/4/15 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com
  
   Existe uma solução algébrica para o seguinte limite?
  
   lim, x-1, x^[1/(1-x)]
  
   --
   Henrique
  
  
  
  
   --
   Henrique
  
 
 
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
 
 =
 
 
 
  --
  Henrique
 

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
 =




-- 
Henrique

Re: [obm-l] Limite

[Henrique Rennó]

Olá Marcelo,

Desculpe, mas não entendi sua solução.

Seria x^[1/(1-x)] = exp(ln x^[1/(1-x)]) como o Leandro citou e não
exp[ln(x)/(1-x)]?

O teorema de L'Hôpital seria que para derivadas (que são limites, certo?)
onde surge uma indeterminação pode-se calcular a derivada da função tantas
vezes quanto necessário e quando for possível (não existir mais a
indeterminação) calcula-se o valor da função. Não entendi como você chegou
em exp[(1/x)/(-1)].

Eu não mencionei, mas o exercício está num capítulo sobre limites. Assim,
acredito que a solução não seria através de derivadas ou do Teorema de
L'Hôpital.

Obrigado!

Abraços

2009/4/15 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com

 Olá Henrique,

 x^[1/(1-x)] = exp[ln(x)/(1-x)] aplicando L'Hopital: exp[(1/x)/(-1)] =
 exp(-1/x)

 Logo, o limite vale 1/e.

 abraços,
 Salhab





 2009/4/15 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com

 Existe uma solução algébrica para o seguinte limite?

 lim, x-1, x^[1/(1-x)]

 --
 Henrique





-- 
Henrique

Re: [obm-l] Limite

[Marcelo Salhab Brogliato]

Opz, esqueci de falar sobre o L'Hopital.

Tem como resolver lim{x-1} ln(x)/(1-x) sem utilizar L'Hopital, façamos x =
1+y, entao: lim{y-0} -ln(1+y)/y = -1
Ta certo, estou afirmando que lim{y-0} ln(1+y)/y = 1 sem provar.. mas no
meu curso de cálculo 1 esse era considerado um limite fundamental e podia
ser usado sem problemas.

Já vi a demonstração que lim{y-0} ln(1+y)/y = 1 sem utilizar L'Hopital..
mas eu realmente não lembro ;)
Acho que outros aqui podem nos ajudar nesta ;) hehehe

abraços,
Salhab



2009/4/16 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com

 Olá Henrique,
 desculpe, realmente pulei diversas etapas na minha solução.

 x^[1/(1-x)] = exp[ ln(x^(1/(1-x))) ]
 mas ln[ x^(1/(1-x)) ] = ln(x) / (1-x), pois log(a^b) = b*log(a).
 Desta maneira, temos: x^[1/(1-x)] = exp[ ln(x)/(1-x) ]

 Veja que em lim{x-1} ln(x)/(1-x) temos uma indeterminação do tipo 0/0,
 logo, podemos aplicar L'Hopital.
 Usando L'Hopital, derivamos o numerador e o denominador, obtendo: lim{x-1}
 ln(x)/(1-x) = lim{x-1} (1/x)/(-1) = lim{x-1} -1/x = -1

 Certo, agora vamos usar o seguinte teorema:
 Se f(x) é continua, temos que lim{x-a} f(g(x)) = f(lim{x-a} g(x))

 No caso, temos f(x) = exp(x) e g(x) = ln(x)/(x-1)
 Como lim{x-1} g(x) = -1, temos que lim{x-1} f(g(x)) = f(-1) = exp(-1) =
 1/e.

 Novamente respondi correndo um pouco, mas acho que fui mais claro.

 abraços,
 Salhab



 2009/4/16 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com

 Olá Marcelo,

 Desculpe, mas não entendi sua solução.

 Seria x^[1/(1-x)] = exp(ln x^[1/(1-x)]) como o Leandro citou e não
 exp[ln(x)/(1-x)]?

 O teorema de L'Hôpital seria que para derivadas (que são limites, certo?)
 onde surge uma indeterminação pode-se calcular a derivada da função tantas
 vezes quanto necessário e quando for possível (não existir mais a
 indeterminação) calcula-se o valor da função. Não entendi como você chegou
 em exp[(1/x)/(-1)].

 Eu não mencionei, mas o exercício está num capítulo sobre limites. Assim,
 acredito que a solução não seria através de derivadas ou do Teorema de
 L'Hôpital.

 Obrigado!

 Abraços

 2009/4/15 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com

 Olá Henrique,

 x^[1/(1-x)] = exp[ln(x)/(1-x)] aplicando L'Hopital: exp[(1/x)/(-1)] =
 exp(-1/x)

 Logo, o limite vale 1/e.

 abraços,
 Salhab





 2009/4/15 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com

 Existe uma solução algébrica para o seguinte limite?

 lim, x-1, x^[1/(1-x)]

 --
 Henrique





 --
 Henrique

Re: [obm-l] Limite

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Henrique,
desculpe, realmente pulei diversas etapas na minha solução.

x^[1/(1-x)] = exp[ ln(x^(1/(1-x))) ]
mas ln[ x^(1/(1-x)) ] = ln(x) / (1-x), pois log(a^b) = b*log(a).
Desta maneira, temos: x^[1/(1-x)] = exp[ ln(x)/(1-x) ]

Veja que em lim{x-1} ln(x)/(1-x) temos uma indeterminação do tipo 0/0,
logo, podemos aplicar L'Hopital.
Usando L'Hopital, derivamos o numerador e o denominador, obtendo: lim{x-1}
ln(x)/(1-x) = lim{x-1} (1/x)/(-1) = lim{x-1} -1/x = -1

Certo, agora vamos usar o seguinte teorema:
Se f(x) é continua, temos que lim{x-a} f(g(x)) = f(lim{x-a} g(x))

No caso, temos f(x) = exp(x) e g(x) = ln(x)/(x-1)
Como lim{x-1} g(x) = -1, temos que lim{x-1} f(g(x)) = f(-1) = exp(-1) =
1/e.

Novamente respondi correndo um pouco, mas acho que fui mais claro.

abraços,
Salhab



2009/4/16 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com

 Olá Marcelo,

 Desculpe, mas não entendi sua solução.

 Seria x^[1/(1-x)] = exp(ln x^[1/(1-x)]) como o Leandro citou e não
 exp[ln(x)/(1-x)]?

 O teorema de L'Hôpital seria que para derivadas (que são limites, certo?)
 onde surge uma indeterminação pode-se calcular a derivada da função tantas
 vezes quanto necessário e quando for possível (não existir mais a
 indeterminação) calcula-se o valor da função. Não entendi como você chegou
 em exp[(1/x)/(-1)].

 Eu não mencionei, mas o exercício está num capítulo sobre limites. Assim,
 acredito que a solução não seria através de derivadas ou do Teorema de
 L'Hôpital.

 Obrigado!

 Abraços

 2009/4/15 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com

 Olá Henrique,

 x^[1/(1-x)] = exp[ln(x)/(1-x)] aplicando L'Hopital: exp[(1/x)/(-1)] =
 exp(-1/x)

 Logo, o limite vale 1/e.

 abraços,
 Salhab





 2009/4/15 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com

 Existe uma solução algébrica para o seguinte limite?

 lim, x-1, x^[1/(1-x)]

 --
 Henrique





 --
 Henrique

Re: [obm-l] Limite

[Ralph Teixeira]

O que o Marcelo fez funciona (ele tirou a exponencicao do ln, que fica
entao multiplicando do lado de fora do ln; depois ele se preocupou soh
com o limite dentro de exp, tem que esquecer o exp por um instante --
esse limite de dentro eh que foi feito por L'Hopital) e eu acho que eh
o jeito mais rapido. Mas, se ainda nao sabemos L'Hopital, temos a
seguinte opcao: vamos fazer os limites laterais trocando variaveis.

Pela direita, quando x - 1, vou tomar y=1/(x-1). Note que x - 1+
sse  y - +Inf. Assim
lim(x - 1+) x^[1/(1-x)] = lim(y - +Inf) (1+1/y)^(-y) = 1 / lim (y -
+Inf) (1+1/y)^y=1/e
(imagino que este limite fundamental do denominador tenha sido feito
previamente, talvez ateh como a definicao de e, senao temos que
trabalhar mais)

Para x - 1-, vou tomar z=1/(1-x). Note que, de novo, z - +Inf (eu
mudei a variavel porque odeio trabalhar com -Inf, eu sempre me
enrolo). Entao x=1-1/z, e:
lim(x - 1-) x^[1/(1-x)] = lim(z - +Inf) (1-1/z)^z = 1/e
(Este tambem jah deve ter sido feito... senao, faca agora z=h+1 e escreva:
lim (h - +inf) (1-1/(h+1))^(h+1) = lim (h/(h+1))^(h+1) = 1/ [lim
((h+1)/h)^h . lim (h+1)/h]= 1/(e.1)=1/e.)

Abraco,
   Ralph

2009/4/16 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com:
 Olá Marcelo,

 Desculpe, mas não entendi sua solução.

 Seria x^[1/(1-x)] = exp(ln x^[1/(1-x)]) como o Leandro citou e não
 exp[ln(x)/(1-x)]?

 O teorema de L'Hôpital seria que para derivadas (que são limites, certo?)
 onde surge uma indeterminação pode-se calcular a derivada da função tantas
 vezes quanto necessário e quando for possível (não existir mais a
 indeterminação) calcula-se o valor da função. Não entendi como você chegou
 em exp[(1/x)/(-1)].

 Eu não mencionei, mas o exercício está num capítulo sobre limites. Assim,
 acredito que a solução não seria através de derivadas ou do Teorema de
 L'Hôpital.

 Obrigado!

 Abraços

 2009/4/15 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com

 Olá Henrique,

 x^[1/(1-x)] = exp[ln(x)/(1-x)] aplicando L'Hopital: exp[(1/x)/(-1)] =
 exp(-1/x)

 Logo, o limite vale 1/e.

 abraços,
 Salhab





 2009/4/15 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com

 Existe uma solução algébrica para o seguinte limite?

 lim, x-1, x^[1/(1-x)]

 --
 Henrique




 --
 Henrique


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Limite

[Henrique Rennó]

Olá Ralph e Marcelo,

2009/4/16 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com

 O que o Marcelo fez funciona (ele tirou a exponencicao do ln, que fica
 entao multiplicando do lado de fora do ln; depois ele se preocupou soh
 com o limite dentro de exp, tem que esquecer o exp por um instante --
 esse limite de dentro eh que foi feito por L'Hopital) e eu acho que eh
 o jeito mais rapido. Mas, se ainda nao sabemos L'Hopital, temos a
 seguinte opcao: vamos fazer os limites laterais trocando variaveis.

 Pela direita, quando x - 1, vou tomar y=1/(x-1). Note que x - 1+
 sse  y - +Inf. Assim
 lim(x - 1+) x^[1/(1-x)] = lim(y - +Inf) (1+1/y)^(-y) = 1 / lim (y -
 +Inf) (1+1/y)^y=1/e


Não sei se estou errado, mas seria lim(x - 1+) x^[1/(1-x)] = lim(y - +Inf)
(1+1/y)^(y) e não lim(y - +Inf) (1+1/y)^(-y), já que y = 1/(1-x). Assim, a
resposta seria e e não 1/e.

Coloquei a fórmula no excel e para x-1, x^[1/(1-x)] tende a e.



 (imagino que este limite fundamental do denominador tenha sido feito
 previamente, talvez ateh como a definicao de e, senao temos que
 trabalhar mais)

 Para x - 1-, vou tomar z=1/(1-x). Note que, de novo, z - +Inf (eu
 mudei a variavel porque odeio trabalhar com -Inf, eu sempre me
 enrolo). Entao x=1-1/z, e:
 lim(x - 1-) x^[1/(1-x)] = lim(z - +Inf) (1-1/z)^z = 1/e
 (Este tambem jah deve ter sido feito... senao, faca agora z=h+1 e escreva:
 lim (h - +inf) (1-1/(h+1))^(h+1) = lim (h/(h+1))^(h+1) = 1/ [lim
 ((h+1)/h)^h . lim (h+1)/h]= 1/(e.1)=1/e.)

 Abraco,
   Ralph

 2009/4/16 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com:
  Olá Marcelo,
 
  Desculpe, mas não entendi sua solução.
 
  Seria x^[1/(1-x)] = exp(ln x^[1/(1-x)]) como o Leandro citou e não
  exp[ln(x)/(1-x)]?
 
  O teorema de L'Hôpital seria que para derivadas (que são limites, certo?)
  onde surge uma indeterminação pode-se calcular a derivada da função
 tantas
  vezes quanto necessário e quando for possível (não existir mais a
  indeterminação) calcula-se o valor da função. Não entendi como você
 chegou
  em exp[(1/x)/(-1)].
 
  Eu não mencionei, mas o exercício está num capítulo sobre limites. Assim,
  acredito que a solução não seria através de derivadas ou do Teorema de
  L'Hôpital.
 
  Obrigado!
 
  Abraços
 
  2009/4/15 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com
 
  Olá Henrique,
 
  x^[1/(1-x)] = exp[ln(x)/(1-x)] aplicando L'Hopital: exp[(1/x)/(-1)] =
  exp(-1/x)
 
  Logo, o limite vale 1/e.
 
  abraços,
  Salhab
 
 
 
 
 
  2009/4/15 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com
 
  Existe uma solução algébrica para o seguinte limite?
 
  lim, x-1, x^[1/(1-x)]
 
  --
  Henrique
 
 
 
 
  --
  Henrique
 

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 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
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-- 
Henrique

Re: [obm-l] Limite

[Ralph Teixeira]

Eu tomara (tomara!) y=1/(x-1), não y=1/(1-x). É um sinalzinho de diferença.

O limite era de x^(1/(1-x)), não era? Aposto que você estava colocando
x^(1/(x-1)) no Excel -- assim dá e, daquele jeito dá 1/e.

Abraço,
  Ralph

2009/4/16 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com:
 Olá Ralph e Marcelo,

 2009/4/16 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com

 O que o Marcelo fez funciona (ele tirou a exponencicao do ln, que fica
 entao multiplicando do lado de fora do ln; depois ele se preocupou soh
 com o limite dentro de exp, tem que esquecer o exp por um instante --
 esse limite de dentro eh que foi feito por L'Hopital) e eu acho que eh
 o jeito mais rapido. Mas, se ainda nao sabemos L'Hopital, temos a
 seguinte opcao: vamos fazer os limites laterais trocando variaveis.

 Pela direita, quando x - 1, vou tomar y=1/(x-1). Note que x - 1+
 sse  y - +Inf. Assim
 lim(x - 1+) x^[1/(1-x)] = lim(y - +Inf) (1+1/y)^(-y) = 1 / lim (y -
 +Inf) (1+1/y)^y=1/e

 Não sei se estou errado, mas seria lim(x - 1+) x^[1/(1-x)] = lim(y - +Inf)
 (1+1/y)^(y) e não lim(y - +Inf) (1+1/y)^(-y), já que y = 1/(1-x). Assim, a
 resposta seria e e não 1/e.

 Coloquei a fórmula no excel e para x-1, x^[1/(1-x)] tende a e.


 (imagino que este limite fundamental do denominador tenha sido feito
 previamente, talvez ateh como a definicao de e, senao temos que
 trabalhar mais)

 Para x - 1-, vou tomar z=1/(1-x). Note que, de novo, z - +Inf (eu
 mudei a variavel porque odeio trabalhar com -Inf, eu sempre me
 enrolo). Entao x=1-1/z, e:
 lim(x - 1-) x^[1/(1-x)] = lim(z - +Inf) (1-1/z)^z = 1/e
 (Este tambem jah deve ter sido feito... senao, faca agora z=h+1 e escreva:
 lim (h - +inf) (1-1/(h+1))^(h+1) = lim (h/(h+1))^(h+1) = 1/ [lim
 ((h+1)/h)^h . lim (h+1)/h]= 1/(e.1)=1/e.)

 Abraco,
       Ralph

 2009/4/16 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com:
  Olá Marcelo,
 
  Desculpe, mas não entendi sua solução.
 
  Seria x^[1/(1-x)] = exp(ln x^[1/(1-x)]) como o Leandro citou e não
  exp[ln(x)/(1-x)]?
 
  O teorema de L'Hôpital seria que para derivadas (que são limites,
  certo?)
  onde surge uma indeterminação pode-se calcular a derivada da função
  tantas
  vezes quanto necessário e quando for possível (não existir mais a
  indeterminação) calcula-se o valor da função. Não entendi como você
  chegou
  em exp[(1/x)/(-1)].
 
  Eu não mencionei, mas o exercício está num capítulo sobre limites.
  Assim,
  acredito que a solução não seria através de derivadas ou do Teorema de
  L'Hôpital.
 
  Obrigado!
 
  Abraços
 
  2009/4/15 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com
 
  Olá Henrique,
 
  x^[1/(1-x)] = exp[ln(x)/(1-x)] aplicando L'Hopital: exp[(1/x)/(-1)] =
  exp(-1/x)
 
  Logo, o limite vale 1/e.
 
  abraços,
  Salhab
 
 
 
 
 
  2009/4/15 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com
 
  Existe uma solução algébrica para o seguinte limite?
 
  lim, x-1, x^[1/(1-x)]
 
  --
  Henrique
 
 
 
 
  --
  Henrique
 

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 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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 Henrique


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] Limite

[silverratio]

Dica: use a identidade Y = exp( ln( Y ) ), onde Y é a função que aparece no
seu limite.

- Leandro.

Re: [obm-l] Limite

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Henrique,

x^[1/(1-x)] = exp[ln(x)/(1-x)] aplicando L'Hopital: exp[(1/x)/(-1)] =
exp(-1/x)

Logo, o limite vale 1/e.

abraços,
Salhab





2009/4/15 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com

 Existe uma solução algébrica para o seguinte limite?

 lim, x-1, x^[1/(1-x)]

 --
 Henrique

Re: [obm-l] limite

[*Vidal]

Caro Hermann,

O enunciado correto deve ser lim x- 0+ (zero por valores superiores), já
que a função real f(x) = ln(x) só é definida para valores positivos de x.

Seu resultado (3) está correto.

O limite é uma forma indeterminada do tipo (-infinito)/(-infinito).

Você pode resolvê-lo de duas maneiras:

Solução 1: Usando desprezo:

O número 4 que aparece no denominador é desprezível em face do ln(x) que
tende para (-infinito).
Desprezando-o, você pode cancelar o ln(x) do numerador com o do denominador
e encontrar o resultado (3).

Solução 2: Usando a Regra de L'Hôpital:

Basta derivar o numerador e o denominador.
Seu limite ficará lim x- 0+ (3/x) / (1/x) = 3.

Abraços,
Vidal.

:: vi...@mail.com

Re: [obm-l] limite

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Hermann,

acredito que seja x-0+, pois o limite lateral a esquerda daria ln de numero
negativo.
faça y = ln(x), desta maneira, quando x-0+, temos y--inf, logo:

lim(y--inf) 3y/(4+y) = lim(y--inf) 3/(1+4/y) = 3

cheguei na mesma resposta que vc... onde acha que erramos?
abraços,
Salhab


2009/3/24 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br

  Boa tarde, poderiam me ajudar nesse limite.

 lim (x-0) [3.ln(x)] / [4+ln(x)]

 meu resultado deu 3 mas acho que eu errei
 muito obrigado
 Hermann

Re: [obm-l] Limite

[Rodrigo Piccinini]

[raiz(3x+4) -raiz(x + 4)]= 2x/(raiz(3x+4)+raiz(x+4))

raiz(x+1)-1=x/(raiz(x+1)+1)

A substituição dos termos elimina a indeterminação.
O resultado é 1.
Abs

2008/9/11 José Corino [EMAIL PROTECTED]

   Boa tarde!
   Sei que foge completamente ao escopo dessa lista, mas gostaria de
 resolver o limite abaixo (sem utilizar a definição, apenas manipulando a
 fração, como no Cálculo I).

   LIM   [(3x+4)^1/2 -(x + 4)^1/2] . {[(x+1)^1/2] - 1]}^ -1
   x-0

   Sei que tem um pulo-do-gato por aí, mas não consegui achar.
   Desculpem mais uma vez pelo off-topic.
   Abraços

   Corino - PY4WWW
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
 =




-- 
Rodrigo Badia Piccinini

ITA - Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Aluno do 5º ano de Engenharia Aeronáutica
Cel: +55 12 9172-9000
Email Alt: [EMAIL PROTECTED]

Re: [obm-l] Limite

[Bruno França dos Reis]

Calcule o limite sobre as curvas (x, 0) e (0, y).
No primeiro caso, dá 1, no outro, dá -1. Logo, o limite não existe.

Bruno

On Thu, Aug 21, 2008 at 4:42 AM, Marcus [EMAIL PROTECTED] wrote:

  Como mostro que esse limite não existe?

 Lim (x^2+y^2) / x^2 – y^2

 x,y (0,0)




-- 
Bruno FRANÇA DOS REIS

msn: [EMAIL PROTECTED]
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16

e^(pi*i)+1=0

Re: [obm-l] Limite para o infinito

[Bruno França dos Reis]

Seja c = 10^-b. Temos que 0  c  1 = a
(a + 10^-b)^n - a^n = (a+c)^n - a^n = a^n ( (1 + c/a)^n - 1).
Ora, 0  c/a (  1 ), então (1 + c/a)  1. Assim, (1 + c/a)^n tende a +oo
quando n tende a +oo, assim como ((1 + c/a)^n - 1). O outro fator da
expressão, a^n, ou tende a 1 ou a +oo, então a expressão toda tende a +oo.

De maneira geral, seja f(x) = b^n - a^n.
Se a  b, f(x) -- +oo para x -- +oo.
Se a = b, f(x) -- 0 para x -- +oo.
se a  b, f(x) -- -oo para x -- -oo.

Bruno

On Tue, Jul 15, 2008 at 2:39 PM, Lucas Prado Melo [EMAIL PROTECTED]
wrote:

 Olá,

 gostaria de saber como calcular limites tendendo ao infinito de
 expressões da seguinte forma:
 (a + 10^-b)^n - a^n
 Com 'a' e 'b' naturais diferentes de 0 e 'n' tendendo ao infinito

 []'s

 =
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 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
 =




-- 
Bruno FRANÇA DOS REIS

msn: [EMAIL PROTECTED]
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16

e^(pi*i)+1=0

Re: [obm-l] Limite para o infinito

[Lucas Prado Melo]

2008/7/15 Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]:
 De maneira geral, seja f(x) = b^n - a^n.
 Se a  b, f(x) -- +oo para x -- +oo.
 Se a = b, f(x) -- 0 para x -- +oo.
 se a  b, f(x) -- -oo para x -- -oo.
Obrigado!

E essa outra?
(a+10^-n)^n - a^n
Para 'a' natural diferente de 0 e 'n' tendendo ao infinito.

=
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=

Re: [obm-l] Limite para o infinito

[Rafael Ando]

Bom como a e b sao naturais nao nulos, a + 10^ -b  a = 1.

(a+10^-b)^n - a^n = a^n * [ (1+(10^-b)/a )^n - 1 ], fazendo o limite da
infinito.

On Tue, Jul 15, 2008 at 3:39 PM, Lucas Prado Melo [EMAIL PROTECTED]
wrote:

 Olá,

 gostaria de saber como calcular limites tendendo ao infinito de
 expressões da seguinte forma:
 (a + 10^-b)^n - a^n
 Com 'a' e 'b' naturais diferentes de 0 e 'n' tendendo ao infinito

 []'s

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
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-- 
Rafael

Re: [obm-l] Limite e derivada

[Nicolau C. Saldanha]

On Tue, Sep 11, 2007 at 02:43:54PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
 Suponhamos que f:R -- R seja derivável em a e sejam u e v funcões definidas
 em uma vizinhança I de 0 tais que  u(x) -- 0 e v(x) -- 0 quando x -- 0   e
 tais que  u -v nao se anule em I - {0}.  Podemos então afirmar que 
  
 lim ( x -- a) (f(a + u(x))  -  f(a + v(x))/(u(x) - v(x))  =  f'(a)? 

Se eu bem entendi a pergunta, a resposta é NÃO.

Considere f(x) = x^2 cos(exp(x^(-2))) para x diferente de 0 e f(0) = 0.
Claramente f'(0) = 0. Tome u(x) = x e exp((v(x))^(-2)) = pi + exp(x^(-2)).
Então o limite não existe.

É isto que você queria?

N.
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] limite

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Muitas vezes é mais interessante exibir um epsilon que funcione, mas quie
não seja tao exato. Calcular o epsilon deste caso é impraticável, mas nao
teria uma desigualdade mais bonitinha não? Vou pensar e depois escrevo algo
conclusivo...

Em 23/08/07, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Determinar limites com base na definicai epsilon/ delta eh, muitas vezes,
 consideravelmente dificil. Acho que este eh um detes casos.

 Mas sem usar L'Hopital, podemos fazer o seguinte. Conforme jah visto, x^x
 = e^(x ln(x), de mosdo que temos que avaliar lim x -- 0 x ln(x), caso
 exista. Fazendo-se x = e^t, isto eh o mesmo que lim t -- -oo t e^t = lim t
 -- oo -t e^(-t) = lim t -- oo - t/e^t Para ver que isto eh zero, basta t
 observar que e^t = 1 + t + t^2/2! = t^3/3!, de modo que, para t
 0,  t/e^t = 1/(1/t + 1 + t^2! +t^2/3!...). Como o denominador vai para oo
 com t, o limite é nulo.

 Artur
 -Mensagem original-
 De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
 nome de Jonas Renan Moreira Gomes
 Enviada em: quinta-feira, 23 de agosto de 2007 15:58
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Assunto: Re: [obm-l] limite


 Sobre esse problema..

 Além da prova utilizando a regra de L'hopital, qual seria o delta que
 deveríamos escolher para satisfazer a definição formal de limite
 (delta - epsilon)? |X| delta - |X^X -1 |  epsilon

 (Minha dúvida aqui é que não consigo representar delta em função
 apenas de epsilon, fico sempre com algo do tipo delta^delta = epsilon)



 J. Renan

 Em 22/08/07, Angelo Schranko[EMAIL PROTECTED] escreveu:
  Notação : lim f(x) é limite de f(x) quando x-0
 
  y = lim x^x
  ln y = ln lim x^x = lim ln x^x = lim x ln x = lim ( ln x ) / ( 1 / x ) =
 0
  logo, y = 1
 
  [ ]´s
  Angelo
 
 
  Marcus [EMAIL PROTECTED] escreveu:
 
 
  Algum sabe como resolver esse limite..
 
  lim de x tendendo a zero de x^x
 
  Marcus Aurélio
 
 
 
   Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais.

 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =

 =
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 =




-- 
Ideas are bulletproof.

V

Re: [obm-l] limite

[Jonas Renan Moreira Gomes]

Sobre esse problema..

Além da prova utilizando a regra de L'hopital, qual seria o delta que
deveríamos escolher para satisfazer a definição formal de limite
(delta - epsilon)? |X| delta - |X^X -1 |  epsilon

(Minha dúvida aqui é que não consigo representar delta em função
apenas de epsilon, fico sempre com algo do tipo delta^delta = epsilon)



J. Renan

Em 22/08/07, Angelo Schranko[EMAIL PROTECTED] escreveu:
 Notação : lim f(x) é limite de f(x) quando x-0

 y = lim x^x
 ln y = ln lim x^x = lim ln x^x = lim x ln x = lim ( ln x ) / ( 1 / x ) = 0
 logo, y = 1

 [ ]´s
 Angelo


 Marcus [EMAIL PROTECTED] escreveu:


 Algum sabe como resolver esse limite..

 lim de x tendendo a zero de x^x

 Marcus Aurélio



  Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] limite

[Angelo Schranko]

Notação : lim f(x) é limite de f(x) quando x-0
   
  y = lim x^x
  ln y = ln lim x^x = lim ln x^x = lim x ln x = lim ( ln x ) / ( 1 / x ) = 0
  logo, y = 1
   
  [ ]´s
  Angelo
  

Marcus [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Algum sabe como resolver esse limite..
   
  lim de x tendendo a zero de x^x
   
  Marcus Aurélio
   



   Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais.

Re: [obm-l] Limite

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

|cosx - 1| = |2sen^2(x/2)|  |2(x/2)^2| = |x^2/2|
assim: |x|  delta ... |x^2|  delta^2  |x^2/2|  delta^2/2
logo: |x|  delta implica |cosx - 1|  eps... qdo eps = delta^2/2

outro jeito, seria usando a ideia da derivada:
derivando, temos: f'(x) = -senx  logo, como existe f'(0), temos
que f(x) é contínua em 0, portanto: lim [x-0] cos(x) = cos(0) = 1

abracos,
Salhab


On 6/28/07, Kleber Bastos [EMAIL PROTECTED] wrote:

Ok . O problema da exponencial foi resolvido.

Tenho um outro , como eu provo que lim cos(x)=1 quando x-0 ?

Já recebi uma solução ,mas acho que não está bem clara , e com um possivel
erro nas relações trigonométricas de soma e produto.

|cosx- cos0| = |cos x -1| = |2.sen((x+1)/2).sen((x-1)/2)| =
|2.sen((x+1)/2)| = |2.((x+1)/2)| = x+1  d = e

O que acham ? correta ? Qual seria um modo melhor ? to com essa dúvida ..


=
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=

Re: [obm-l] Limite

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

lim[x-0+] (cosx)^(1/x^2)

(cosx)^(1/x^2) = exp[ ln(cosx)/x^2 ]

vamos calcular lim[x-0+] ln(cosx)/x^2
usando L'Hopital, ficamos com:
lim[x-0+] -tgx/(2x) = lim[x-0+] -(secx)^2/2 = -1/2

logo, o limite pedido é: exp(-1/2)

abraços,
Salhab



On 5/5/07, Ricardo J.Fernandes [EMAIL PROTECTED] wrote:





Alguém pode me ajudar com essa questão

Desde já obrigado



Detemine o limite

 Lim[x--0^+](cosx)^(1/x^2)



Abraços,Ricardo J.F.


=
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=

RE: [obm-l] Limite de F e elipse

[Filipe de Carvalho Hasché]

1)Determine K0 para que exita o limite de f(x), quando x tende a zero, 
sendo



f(x)=   [(x+1)^1/4 - 1]/x, x=0

2x + k^2, x0

(f(x) é definida pelas duas sentenças acima)




Para que haja limite da função em um ponto, devemos ter:

lim[x--0-] f(x) = lim[x--0+] f(x)

Ou seja, o limite à esquerda tem q ser igual ao limite à direita do tal 
ponto




lim[x--0-] f(x) = 0 / 0 (indeterminado)

Aplicando L'Hospital, temos: lim[x--0-] f(x) = 1/4 (Faça as contas. A 
notação aqui fica muito ruim)




lim[x--0+] f(x) = 2.0 + k² = k²



Logo: k² = 1/4

k = -1/2  ou  k = 1/2

Como queremos k0,   k = 1/2.



Abs,
FC.

_
MSN Messenger: converse com os seus amigos online. 
http://messenger.msn.com.br


=
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=

RE: [obm-l] Limite de F e elipse

[vitoriogauss]

Ok...eu tb fiz por L´hospital...e achei isso 0,5

1)Determine K0 para que exita o limite de f(x), quando x tende a zero, 
 sendo
 
 
 f(x)=   [(x+1)^1/4 - 1]/x, x=0
 
  2x + k^2, x0
 
 (f(x) é definida pelas duas sentenças acima)
 
 
 
 Para que haja limite da função em um ponto, devemos ter:
 
 lim[x--0-] f(x) = lim[x--0+] f(x)
 
 Ou seja, o limite à esquerda tem q ser igual ao limite à direita do tal 
 ponto
 
 
 
 lim[x--0-] f(x) = 0 / 0 (indeterminado)
 
 Aplicando L'Hospital, temos: lim[x--0-] f(x) = 1/4 (Faça as contas. A 
 notação aqui fica muito ruim)
 
 
 
 lim[x--0+] f(x) = 2.0 + k² = k²
 
 
 
 Logo: k² = 1/4
 
 k = -1/2  ou  k = 1/2
 
 Como queremos k0,   k = 1/2.
 
 
 
 Abs,
 FC.
 
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Vitório Gauss


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Re: [obm-l] Limite

[claudio.buffara]

 On 3/26/07, Leonardo Borges Avelino [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
  Calcule o limite:
 
  lim [cos(k/x)]^x x-infinito com k constante sem utilizar l'hospital
  ou série ou equivalência. somente por limites fundamentais..
  grato
 
  Leonardo Borges Avelino
 

Isso equivale a lim(t-0+) (cos(kt))^(1/t)

Uma desigualdade fundamental (demonstrada via areas no circulo unitario, por 
exemplo - veja qualquer livro de calculo) eh:
0  sen(x)  x, para x  0 ==
0  sen^2(x)  x^2 ==
1-x^2  1-sen^2(x)  1 ==
1-x^2  cos^2(x)  1 ==
(1-k^2t^2)^(1/t)  (cos(kt))^(2/t)  1

Para 0  t  1/k (0  kt  1) (estou supondo spdg que k  0), podemos usar a 
desigualdade de Bernoulli:
1 = (1 - k^2t^2)^(1/t) = 1 - (1/t)*k^2t^2 = 1 - k^2t ==
1 = lim(t-0+) (1 - k^2t^2)^(1/t) = lim(t-0+) (1 - k^2t) = 1.

Conclusao: (cos(kt))^(2/t) estah sanduichado entre duas funcoes cujo limite 
quando t-0+ eh 1.
Logo, o limite procurado eh 1.

[]s,
Claudio.



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Re: [obm-l] Limite

[Ronaldo Alonso]

Eu começaria observando que:

cos (k/x) = [e^(k i /x) + e^(-k i/x)] / 2
[cos (k/x)]^x = [e^(k i /x) + e^(-k i/x)]^x / 2^x

agora, multiplicando numerador e denominador por [e^(k i /x)]^x :

[e^(2 k i /x) + 1 ]^x / 2^x *  [e^(k i /x)]^x
 [e^(2 k i /x) + 1 ]^x /   [2 * e^(k i /x)]^x

Agora creio que o esquema é mudar as variáveis da  expressão  [e^(2 k i /x)
+ 1 ]^x  para que ela
se pareça com algo do tipo:  (1+h)^(1/h) cujo limite é e quando h --0
Não consigo fazer isso de forma rápida, alguém tem alguma sugestão?
Se eu colocar  e^(2 k i /x) = y  tenho ln y = 2ki /x == x =  2 k i/ln y  e
a expressão fica assim:

 [e^(2 k i /x) + 1 ]^x  =  [ y + 1] ^ ( 2 k i/ln y ) =  { [y+1] ^ (1/ln y)
} ^ (2ki)


Notar agora que [y+1] ^ (1/ln y)  tem um pentelho  1/lny atrapalhando.
Não é isso.  Eu quero 1/y e não 1/ln y
Alguém tem alguma boa sugestão para continuar usando esse caminho ?
PS: Posso ter cometido algum erro nas contas.


On 3/26/07, Leonardo Borges Avelino [EMAIL PROTECTED] wrote:


Calcule o limite:

lim [cos(k/x)]^x x-infinito com k constante sem utilizar l'hospital
ou série ou equivalência. somente por limites fundamentais..
grato

Leonardo Borges Avelino





--
-
Analista de Desenvolvimento
Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.

Re: [obm-l] Limite

[saulo nilson]

z=lim [cos(k/x)]^x=limraiz(1-(senk/x)^2)^x
x-oo
fazendo uma mudança de variaveis, x=1/y
limraiz(1-senky^2)^1/y
y-0
cos y torna-swe pequeno, podemos fazer
senky~ky
limraiz(1-(ky)^2)^1/y=limraiz(1-ky)^1/y *(1+ky)^1/y)
y-0   y-0
os dois sao limites fundamentais bem conhecidos de todos de forma que
z= raize^-k*e^k=1

On 3/26/07, Leonardo Borges Avelino [EMAIL PROTECTED] wrote:


Calcule o limite:

lim [cos(k/x)]^x x-infinito com k constante sem utilizar l'hospital
ou série ou equivalência. somente por limites fundamentais..
grato

Leonardo Borges Avelino

Re: [obm-l] Limite

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Saulo,

acredito que quando vc faz senky ~ ky, vc esta dizendo: senky = ky + o(y^2)... 
que é equivalente a expansao de taylor de seno..

abracos,
Salhab
  - Original Message - 
  From: saulo nilson 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, March 26, 2007 9:03 PM
  Subject: Re: [obm-l] Limite


  z=lim [cos(k/x)]^x=limraiz(1-(senk/x)^2)^x
  x-oo
  fazendo uma mudança de variaveis, x=1/y
  limraiz(1-senky^2)^1/y
  y-0
  cos y torna-swe pequeno, podemos fazer
  senky~ky
  limraiz(1-(ky)^2)^1/y=limraiz(1-ky)^1/y *(1+ky)^1/y)
  y-0   y-0
  os dois sao limites fundamentais bem conhecidos de todos de forma que
  z= raize^-k*e^k=1
   
  On 3/26/07, Leonardo Borges Avelino [EMAIL PROTECTED] wrote: 
Calcule o limite:

lim [cos(k/x)]^x x-infinito com k constante sem utilizar l'hospital ou 
série ou equivalência. somente por limites fundamentais.. 
grato

Leonardo Borges Avelino

Re: [obm-l] Limite

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

vamo fazer k/x = y, entao:

qdo x-inf, y-0

lim [cos(y)]^(k/y) = lim [(cos(y))^(1/y)]^k = { lim [cos(y)]^(1/y) }^k, quando 
y-0

agora, temos que calcular: lim [cos(y)]^(1/y), y-0

cos(y)^(1/y) = exp[ ln(cos(y))/y ]

assim, vamos calcular lim ln[cos(y)]/y, y-0

notemos que ln(cosy) = y^2 para y1 [pra provar, tome f(x) = ln(cosx) - x^2 e 
mostre que é sempre negativo..]

agora: 0 = ln(cosy)/y = y
assim, pelo teorema do sanduiche, ln(cosy)/y - 0 quando y-0
logo: exp[ ln(cosy)/y ] - 1, quando y-0 ... logo: cos(y)^(1/y) - 1...

assim: lim x-inf [cos(k/x)]^x = 1^k = 1

PS: ja q ficou pequeno, vamos mostrar a desigualdade..
f(x) = ln(cosx) - x^2... f(-x) = ln(cos(-x)) - (-x)^2 = f(x) [funcao par]
f'(x) = 1/cosx * (-senx) - 2x = -tgx-2x = -[tgx + 2x]
para 0x1, temos que tgx=0 e 2x=0... logo f'(x)  0
a funcao eh decrescente.. mas f(0) = 0 .. assim, no interno [-1, 1] a funcao é 
sempre negativa!
isto é: f(x) = 0 ... ln(cosx) = x^2, para |x|1

abracos,
Salhab

  - Original Message - 
  From: Leonardo Borges Avelino 
  To: obm-l 
  Sent: Monday, March 26, 2007 12:27 PM
  Subject: [obm-l] Limite


  Calcule o limite:

  lim [cos(k/x)]^x x-infinito com k constante sem utilizar l'hospital ou 
série ou equivalência. somente por limites fundamentais..
  grato

  Leonardo Borges Avelino

[obm-l] Re:[obm-l] Limite interessantissimo (2a edição)

[claudio\.buffara]

Aqui vai umausando trigonometria. Serve?

Sejam O = (0,0) e A = (1,0).
Chamando o ângulo POQ de 2t, teremos:
Triângulo POQ isósceles == OPQ = OPR = 90-t.
Triângulo POR é retângulo em O == ORP = t.
Logo, OR = OP*ctg(t) = r*ctg(t).
Triângulo AOQ é isósceles == AOQ = AQO = 90-2t == OAQ = 4t ==
OQ/OA = 2*sen(2t) = r/1 == r = 2*sen(2t) ==
OR = 2*sen(2t)*ctg(t) = 4*sen(t)*cos(t)*cos(t)/sen(t) = 4*cos^2(t).
r - 0 == sen(2t) - 0 == t - 0 == OR - 4.

[]s,
Claudio.





De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Fri, 3 Nov 2006 17:35:53 + (GMT)




Assunto:
[obm-l] Limite interessantissimo (2a edição)
 Caros colegas da lista,
 
 Resolvi estrear minha participação aqui propondo o seguinte
 desafio: uma nova solução para o seguinte problema postado
 em agosto pelo colega George, mas dessa vez usando
 geometria simples. Aliás o legal desse problema foi
 justamente que a solução analítica me incentivou a buscar a
 solução geométrica.
 
 "Imaginem uma circunferência C1 com equação (x- 1)²+y²=1 e
 outra circunferência C2, a ser encolhida, com raio r e
 centro na origem. P é o ponto (0,r) , Q é o ponto de
 intersecção superior das circunferências e R é o ponto de
 intersecção da reta PQ com o eixo x. 
 
 O que acontecerá com R quando C2 encolher, isto é, quando
 r---0+?"
 
 [],
 Marcelo Cruz
 (Filho pródigo das Olimpíadas de Matemática)
 

[obm-l] Re:[obm-l] Limite interessantissimo (2a edição)

[claudio\.buffara]

-- Cabeçalho original ---

De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Fri, 3 Nov 2006 17:35:53 + (GMT)
Assunto: [obm-l] Limite interessantissimo (2a edição)

 Caros colegas da lista,
 
 Resolvi estrear minha participação aqui propondo o seguinte
 desafio: uma nova solução para o seguinte problema postado
 em agosto pelo colega George, mas dessa vez usando
 geometria simples. Aliás o legal desse problema foi
 justamente que a solução analítica me incentivou a buscar a
 solução geométrica.
 
 Imaginem uma circunferência C1 com equação (x- 1)²+y²=1 e
 outra circunferência C2, a ser encolhida, com raio r e
 centro na origem. P é o ponto (0,r) , Q é o ponto de
 intersecção superior das circunferências e R é o ponto de
 intersecção da reta PQ com o eixo x. 
 
 O que acontecerá com R quando C2 encolher, isto é, quando
 r---0+?
 
 [],
 Marcelo Cruz
 (Filho pródigo das Olimpíadas de Matemática)
 

Ponha O = (0,0) e A = (2,0).
Uma solucao puramente geometrica consiste em se provar que o triangulo QAR e 
isosceles.
Isso pode ser feito atraves do exame dos angulos do triangulo isosceles POQ 
(POQ = 2t e OPQ = OQP = 90-t),
dos triangulos retangulos OQA (inscrito num semi-circulo - OQA = 90, AOQ = 
90-2t == OAQ = 2t),
e POR (POR = 90, OPR = OPQ = 90-t == ORP = ARQ = t).
OAQ e angulo externo ao triangulo QAR == OAQ = AQR + ARQ == 2t = AQR + t == 
AQR = t ==
QAR e isosceles == QA = AR = OR - OA = OR - 2 == OR = QA + 2.

Quando r - 0+ == Q - O == QA - QO = 2 == OR - 4.

[]s,
Claudio.



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Re: [obm-l] Limite (00 - 00)

[claudio\.buffara]

Ou então, sem usar l'Hospital (e supondo que n é positivo)
Se 0  a = 1, então o limite é +infinito, pois o numerador tende a +infinito e o denominador é limitado.
Se a  1, tome logaritmos em base a, obtendo log(y) = n*log(x) - x ==
log(y) - -infinito, quando x - + infinito == y - 0.

[]s,
Claudio.





De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Sun, 27 Aug 2006 11:23:21 -0300 (ART)




Assunto:
Re: [obm-l] Limite (00 - 00)Ola' Cleber,voce resolve isso aplicando n vezes l'Hopital .No numerador aparecera' n! , e no denominador aparecera'a^x * (ln a)^nAssim, o limite e' 0.Abracos,Rogerio Poncecleber vieira [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Olá amigos estou tentando resolver este limite mais até agora não consegui, por isso ,peço ajuda de vocês. Vamos lá .
 
 O valor do lim (x^n) / (a^x), x tende a infinito, a0 é:
 a) 0 b) 1 c) +00 d) -00 e) 1/a
 
 Só consegui chegar até aqui 
 y = (x^n) / (a^x)
 lny = ln(x^n) / (a^x)
 lny =ln(x^n) - ln (a^x)
 lny = nlnx - x lna 
 tentei fezer outras manipulações para ficar com 00 / 00 mas só fiquei dando voltas e não consegui eliminar(x^n) / (a^x) que é o que interessa.Muito obrigado !
 Cleber
 

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RE: [obm-l] Limite (00 - 00)

[George Brindeiro]

Dica:

Você pode usar L'Hopital com indeterminações do tipo inf/inf também.
Nesse caso nem precisa, é só entender que funções exponenciais crescem muito 
mais rápido que funções polinomiais, portanto quando x tende a infinito o 
limite é zero.




From: cleber vieira [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Limite (00 - 00)
Date: Sun, 27 Aug 2006 03:49:01 + (GMT)

Olá amigos estou tentando resolver este limite mais até agora não consegui, 
por isso ,peço ajuda de vocês. Vamos lá .


  O valor do lim (x^n) / (a^x), x tende a infinito, a0 é:
  a) 0b) 1  c) +00 d) -00 e) 1/a

  Só consegui chegar até aqui 
  y = (x^n) / (a^x)
  lny = ln (x^n) / (a^x)
  lny = ln (x^n) - ln (a^x)
  lny = nlnx - x lna
  tentei fezer outras manipulações para ficar com 00 / 00 mas só fiquei 
dando voltas e não consegui eliminar (x^n) / (a^x) que é o que interessa.


Muito obrigado !
  Cleber


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Re: [obm-l] Limite (00 - 00)

[Carlos Eddy Esaguy Nehab]

Oi, Cleber,
Se n é natural, pense, por exemplo, na aplicação sucessiva do teorema de
L' Hopital...
Nehab
Os engenheiros primeiro pensam numa solução. Depois verificam
se há alguma solução elegante... 
(meu Deus, tive coragem de dizer isto numa lista de Matemáticos)...

At 00:49 27/8/2006, you wrote:
Olá amigos estou tentando
resolver este limite mais até agora não consegui, por isso ,peço ajuda de
vocês. Vamos lá .

O valor do lim (x^n) / (a^x), x tende a infinito, a0 é:
a) 0 b) 1 c)
+00 d) -00 e) 1/a

Só consegui chegar até aqui 
y = (x^n) / (a^x)
lny = ln (x^n) / (a^x)
lny = ln (x^n) - ln (a^x) 
lny = nlnx - x lna 
tentei fezer outras manipulações para ficar com 00 / 00 mas só fiquei
dando voltas e não consegui eliminar (x^n) / (a^x) que é o que
interessa.
Muito obrigado !
Cleber

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conferir! 

Re: [obm-l] Limite (00 - 00)

[Rogerio Ponce]

Ola' Cleber,voce resolve isso aplicando n vezes l'Hopital .No numerador aparecera' n! , e no denominador aparecera'a^x * (ln a)^nAssim, o limite e' 0.Abracos,Rogerio Poncecleber vieira [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá amigos estou tentando resolver este limite mais até agora não consegui, por isso ,peço ajuda de vocês. Vamos lá .O valor do lim (x^n) / (a^x), x tende a infinito, a0 é:  a) 0 b) 1 c) +00 d) -00 e) 1/aSó consegui chegar até aqui   y = (x^n) / (a^x)  lny = ln(x^n) / (a^x)  lny =ln(x^n) - ln (a^x)  lny = nlnx - x lna  
 tentei fezer outras manipulações para ficar com 00 / 00 mas só fiquei dando voltas e não consegui eliminar(x^n) / (a^x) que é o que interessa.Muito obrigado !  Cleber  O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir! 
		 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limite int eressantíssimo

[Ojesed Mirror]

Errei novamente, é (4,0) mesmo.. valeu.

- Original Message - 
From: George Brindeiro [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, August 24, 2006 3:55 PM
Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limite interessantíssimo



Caro Ojesed,

Nos meus cálculos, R--4.
Creio que esteja correto, pois após encontrar a resposta verifiquei 
graficamente no winplot, pois realmente acreditava (devido à intuição, que 
nos deixa na mãos várias vezes), que R tendia ao eixo x por completo, como 
acredito foi sua primeira resposta.


Se quiser mandar a sua resolução, podemos constatar se houve algum erro, 
ou se o erro foi meu.


O problema não deixa de ser trivial, não há nada nele que não um pouco de 
trabalho manual.

Mas que o resultado é interessante.. isso é.

Abraços,
George B



From: Ojesed Mirror [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limite interessantíssimo
Date: Thu, 24 Aug 2006 15:34:24 -0300

Errei nas contas, agora achei R-+2.
Informe se está certo pra eu mandar a demonstração.
Se tiver certo é realmente surpreendente !!! mas é trivial.



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RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite interessant�ssimo

[George Brindeiro]

É fácil se deixar enganar pelas aparências meu caro..
Não se engane! Pense analiticamente.

Abraços,
George B



From: Ojesed Mirror [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Limite interessantíssimo
Date: Thu, 24 Aug 2006 01:55:57 -0300

R- +oo

- Original Message - From: George Brindeiro 
[EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, August 23, 2006 1:15 PM
Subject: [obm-l] Limite interessantíssimo



Caros colegas de lista,

Não participo muito mandando problemas, apenas observo suas soluções na 
maior parte do tempo.
Porém, me mandaram um problema em minha comunidade do orkut, 'Cálculo 
Diferencial e Integral', que é muito interessante, e nada trivial. Fiquei 
surpreso com o resultado! Deleitem-se.


Imaginem uma circunferência C1 com equação (x- 1)²+y²=1 e outra 
circunferência C2, a ser encolhida, com raio r e centro na origem. P é o 
ponto (0,r) , Q é o ponto de intersecção superior das circunferências e R 
é o ponto de intersecção da reta PQ com o eixo x.


O que acontecerá com R quando C2 encolher, isto é, quando r---0+?

Minha solução está postada na comunidade, se quiserem eu posso postá-la 
aqui depois.


Um Abraço,
George B.

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Re: [obm-l] Limite interessantíssimo

[Rogerio Ponce]

E' verdade George, apos escrever x=r^2/2 continuei o raciocinio como se a equacao original fosse x+y=r^2 . So' me dei conta da burrada depois do "enviar". Nao usei l'Hopital , mas acabei no hospital... []s Rogerio Ponce George Brindeiro [EMAIL PROTECTED] escreveu: Caro Rogerio,Há uma falha em seu raciocínio gerada pela premissax=r²/2=yÉ fácil provar que esta não confere ao substituir os valores de x e y em C2.Se (r²/2,r²/2) é um ponto de C2, então..r^4/4+r^4/4=r²r^4/2=r²O que é trivialmente falso para todo x diferente de 0 ou +-sqrt(2).O caminho está certo, x=r²/2, mas y não.Abraços,George BFrom: Rogerio Ponce Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: RE: [obm-l]
 Re: [obm-l] Limite interessantíssimoDate: Thu, 24 Aug 2006 17:44:02 + (GMT)Ola' George,  Calculando o ponto Q: de C2 temos  y^2 = r^2 - x^2  Substituindo em C1, obtemos x=y=r^2/2  Usando a semelhanca de triangulos para obtermos a coordenada x de R:  r * (r^2/2) / (r - r^2/2) , que converge para 0 quando r-0  Assim, o ponto R converge para a origem.  []s  Rogerio Ponce._MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= 
		 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Limite interessantíssimo

[Ojesed Mirror]

achei que convergia para 
(2,0)

  - Original Message - 
  From: 
  Rogerio Ponce 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, August 24, 2006 4:42 
  PM
  Subject: RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite 
  interessantíssimo
  Tá errado, pois quando x=r^2/2 , entao y=sqrt(r^2 - 
  r^4/4)Usando a semelhanca de triangulos, obtemos a seguinte coordenada x 
  do ponto R:r * (r^2/2) / (r - sqrt(r^2 - r^4/4) ) , que converge 
  para 4.O ponto R converge para (4,0).[]sRogerio 
  PonceRogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] 
  escreveu:
  Ola' 
George,Calculando o ponto Q: de C2 temos y^2 = r^2 - 
x^2Substituindo em C1, obtemos x=y=r^2/2Usando a semelhanca de 
triangulos para obtermos a coordenada x de R:r * (r^2/2) / (r - r^2/2) , 
que converge para 0 quando r-0Assim, o ponto R converge para a 
origem.[]sRogerio Ponce.George Brindeiro 
[EMAIL PROTECTED] escreveu:
É 
  fácil se deixar enganar pelas aparências meu caro..Não se engane! 
  Pense analiticamente.Abraços,George BFrom: 
  "Ojesed Mirror" Reply-To: 
  obm-l@mat.puc-rio.brTo: Subject: 
  [obm-l] Re: [obm-l] Limite interessantíssimoDate: Thu, 24 Aug 2006 
  01:55:57 -0300R- +oo- Original 
  Message - From: "George Brindeiro" To: Sent: 
  Wednesday, August 23, 2006 1:15 PMSubject: [obm-l] Limite 
  interessantíssimoCaros colegas de 
  lista,Não participo muito mandando problemas, 
  apenas observo suas soluções na maior parte do 
  tempo.Porém, me mandaram um problema em minha comunidade do 
  orkut, 'Cálculo Diferencial e Integral', que é muito 
  interessante, e nada trivial. Fiquei surpreso com o resultado! 
  Deleitem-se."Imaginem uma circunferência C1 com 
  equação (x- 1)²+y²=1 e outra circunferência C2, a ser 
  encolhida, com raio r e centro na origem. P é o ponto (0,r) , 
  Q é o ponto de intersecção superior das circunferências e R é 
  o ponto de intersecção da reta PQ com o eixo x.O 
  que acontecerá com R quando C2 encolher, isto é, quando 
  r---0+?"Minha solução está postada na 
  comunidade, se quiserem eu posso postá-la aqui 
  depois.Um Abraço,George 
  B._MSN 
  Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. 
  http://messenger.msn.com.br=Instruções 
  para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
  emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=--No 
  virus found in this incoming message.Checked by AVG Free 
  Edition.Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.11.5/426 - 
  Release Date: 
  23/8/2006=Instruções 
  para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
  emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=_MSN 
  Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. 
  http://messenger.msn.com.br=Instruções 
  para entrar na lista, sair da lista e usar a lista 
  emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
__Fale com seus 
amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger 
http://br.messenger.yahoo.com/ 
  
  
  Yahoo! SearchMúsica para ver e ouvir: You're 
  Beautiful, do James Blunt
  
  

  No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free 
  Edition.Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.11.5/426 - Release Date: 
  23/8/2006

RE: [obm-l] Re: [obm-l] Limite interessantíssi mo

[Rogerio Ponce]

Tá errado, pois quando x=r^2/2 , entao y=sqrt(r^2 - r^4/4) Usando a semelhanca de triangulos, obtemos a seguinte coordenada x do ponto R: r * (r^2/2) / (r - sqrt(r^2 - r^4/4) ) , que converge para 4. O ponto R converge para (4,0).  []s Rogerio Ponce Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' George, Calculando o ponto Q: de C2 temos y^2 = r^2 - x^2 Substituindo em C1, obtemos x=y=r^2/2 Usando a semelhanca de triangulos para obtermos a coordenada x de R: r * (r^2/2) / (r - r^2/2) , que converge para 0 quando r-0 Assim, o ponto R converge para a origem. []s Rogerio Ponce. George Brindeiro [EMAIL PROTECTED] escreveu: É fácil se deixar enganar pelas aparências meu caro..Não se engane! Pense analiticamente.Abraços,George BFrom: "Ojesed Mirror" Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Limite interessantíssimoDate: Thu, 24 Aug 2006 01:55:57 -0300R- +oo- Original Message - From: "George Brindeiro"  To: Sent: Wednesday, August 23, 2006 1:15 PMSubject: [obm-l] Limite interessantíssimoCaros colegas de lista,Não participo muito mandando problemas, apenas observo suas soluções na maior parte do tempo.Porém, me mandaram um problema em minha comunidade do orkut, 'Cálculo Diferencial e Integral', que é muito interessante, e nada
 trivial. Fiquei surpreso com o resultado! Deleitem-se."Imaginem uma circunferência C1 com equação (x- 1)²+y²=1 e outra circunferência C2, a ser encolhida, com raio r e centro na origem. P é o ponto (0,r) , Q é o ponto de intersecção superior das circunferências e R é o ponto de intersecção da reta PQ com o eixo x.O que acontecerá com R quando C2 encolher, isto é, quando  r---0+?"Minha solução está postada na comunidade, se quiserem eu posso postá-la aqui depois.Um Abraço,George B._MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br=Instruções para entrar
 na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=--No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.11.5/426 - Release Date:  23/8/2006=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=_MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos.
 http://messenger.msn.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= __Fale com seus amigos  de graça com o novo Yahoo! Messenger  http://br.messenger.yahoo.com/  
		 
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