Vou fazer usando uns canhoes:
Lema: se R(x) eh um polinomio (nao nulo) com grau menor que Q(x), entao
R(x)/Q(x) nao pode ser inteiro para infinitos valores de x.
Prova:como lim(|x|-+Inf) R(x)/Q(x)=0, existe um certo N0 a partir do qual
|R(x)/Q(x)| 1 (isto eh, se |x|N0 teriamos |R(x)/Q(x)|1).
1) Considere o círculo de diâmetro P1P2. Ele contém o vértice A do
quadrado... Mas, melhor ainda, pense na diagonal AC! Como ela é a bissetriz
do ângulo P1AP2, então ela passa pelo ponto D1, médio do arco P1P2 daquele
círculo (veja figura anexa, viva Geogebra!), que é DETERMINADO A PARTIR DE
P1 e
Bom, o jeito ótimo não é exatamente o jeito que o pessoal empilha laranjas
na feira? Tipo:
http://mathworld.wolfram.com/SpherePacking.html
http://mathworld.wolfram.com/HexagonalClosePacking.html
http://pt.dreamstime.com/fotos-de-stock-pir%C3%A2mide-das-laranjas-image26292373
Abraço,
Ah, demorei para sacar este, mas agora que acabou é uma linha!
Note que a(b+ba-1)=1 também. Como b é o ÚNICO inverso à direita de a... :)
Abraço,
Ralph
2012/9/3 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com
Esse exercício parece ser fácil, mas está me complicando.
Seja R um anel associativo com
O problema me parece bem dificil! Estamos supondo que dois eucaliptos nao
podem se intersectar? Entao a distribuicao de probabilidade dos valores de
x serah uma doideira quase impossivel de calcular... Note-se que as
coordenadas x_1, x_2, ..., x_{10} NAO SAO independentes -- e mesmo que
E para completar a solucao, vamos encontrar alguma funcao f que satisfaca
aquela relacao (caso f nao existisse, a resposta seria f nao existe, entao
f(1) tambem nao).
Tomando y=1, vem:
f(x).f(1)-f(x)=x+1/x
Como f(1), se existir, eh 2, temos:
f(x)=x+1/x
Agora eh soh verificar se esta funcao de
Nao sei porque esta mensagem nao apareceu na lista Estou tentando de
novo, para ver se ganho os R$50.
-- Forwarded message --
From: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Date: 2012/8/28
Subject: Re: [obm-l] Solução única
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Hmmm Veja se voce conhece este
precisando dessa grana, pô!
** **
*Albert Bouskela*
bousk...@gmail.com
** **
*De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em
nome de *Ralph Teixeira
*Enviada em:* quarta-feira, 29 de agosto de 2012 10:34
*Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
*Assunto:* [obm-l
1. Bom, a chave eh olhar para os divisores de n. Se n tiver pelo menos 4
divisores positivos (distintos), digamos, 1, p, q=n/p e n, entao n^2 divide
n!. Por que? Oras, n!=1.2.3...n. Nesse produto teriamos os numeros p, q e
n, e este produto jah tem pqn=n^2.
Em suma, para que n! NAO seja divisivel
,
Ralph
2012/8/8 Vanderlei * vanderma...@gmail.com
*Obrigado Ralph. Mas existe um método algébrico para concluirmos que x =
2?*
Em 8 de agosto de 2012 00:40, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:
Lema: Se 0abc, entao a^x+b^x=c^x tem no maximo uma raiz positiva.
Dem.: Note que x0
Lema: Se 0abc, entao a^x+b^x=c^x tem no maximo uma raiz positiva.
Dem.: Note que x0 satisfaz a equacao sse f(x)=(c/b)^x-(a/b)^x=1. Mas esta
funcao f(x) eh crescente (pois c/b1 e a/b1), entao tem no maximo uma raiz
positiva!
(De fato, note que f(0)=0 e f(+Inf)=+Inf, entao f(x)=1 tem EXATAMENTE uma
Eu penso assim: as seguintes frases sao equivalentes entre si:
Se p, entao q
q, se p
p, somente se q
p implica q
p eh suficiente para q
q eh necessario para p
Entao, eh claro, tambem sao equivalentes as seguintes frases:
Se q, entao p
p, se q
q, somente se p
q implica p
q eh suficiente para p
p
Voce quer 1+(sen(ax))^2=cosx. O lado esquerdo eh =1, e o lado direito eh
=1. Entao isso ai soh tem solucao se forem ambos 1, isto eh, sin(ax)=0 e
cosx=1!!
Mas as solucoes x nao-nulas de cosx=1 sao todas da forma x=2.k.pi com k
inteiro nao-nulo. Para algum destes servir na primeira, tem que ser:
Você PODE usar essa desigualdade para quaisquer x,y,z positivos. O problema
não é na desigualdade, é de lógica.
Em outras palavras: você mostrou que SE x,y,z são positivos com x+y+z=5 e
xy+xz+yz=3 ENTÃO x=H (onde H é um número HORROROSO, achei numericamente
H~4.565). Isto está corretíssimo!
É, acho que o Bernardo tem razão. Considere o sistema:
a^12+b^12+c^12=8
a^3+b^3+c^3=6abc
Tomando por exemplo c=0, temos uma solução (a,b,c)=(2^(1/6),-2^(1/6),0),
que daria S=a^6+b^6+c^6=4 (que eu estou apostando que é o valor máximo de
S, mas não demonstrei).
Por outro lado, tomando b=c, podemos
Seja D(n) esse número que você quer. Então:
D(0)=1 (vazio)
D(1)=1+1=2 (1 com 0 elementos, 1 com 1 elemento)
D(2)=1+2+0=3 (vazio e os subconjuntos unitários)
D(3)=1+3+1+0=5 (vazio, os unitários e {1,3}, mas com 3 elementos não dá)
Será que eu arrumo uma recorrência? Oras, os subconjuntos que eu
Bom, isto eh falso: 6/9=8/12, 86, 129 mas nao existe esse k.
Faltou dizer que m/n eh fracao irredutivel, talvez?
Abraco,
Ralph
2012/6/9 Paulo Argolo pauloarg...@bol.com.br
Caros Colegas,
Sendo m, n , p e q inteiros positivos, tal que pm, qn e m/n = p/q,Â
como podemos provar que
Agora faz que nem o outro. A propriedade basica eh a seguinte:
Teorema: Se mdc(a,b)=1 e a eh divisor de bc, entao a eh divisor de c.
Agora eh simples: temos mq=pn, entao m|pn. Como (m,n)=1, entao m|p. Assim,
p=km para algum k inteiro.
Abraco,
Ralph
2012/6/9 Paulo Argolo
Coom 2n+1 eh impar, se for quadrado perfeito serah quadrado de um numero
impar. Assim:
2n+1=(2k+1)^2 (onde k eh inteiro)
2n+1=4k^+4k+1
n=2k^2+2k
n+1=2k^2+2k+1=k^2+(k+1)^2
Abraco,
Ralph
2012/6/9 Lucas Hagemaister lucashagemais...@msn.com
Se n é um inteiro positivo tal que 2n+1 é um
O que o Bernardo disse! Usando a ideia dele, cheguei em:
Você tem um alfabeto de apenas 3 letras -- digamos, A, B e C -- e quer
montar uma palavra com n símbolos (a ordem importa, repetições obviamente
são aceitas). Por exemplo, uma palavra válida com n=6 é ABBACA (eu sem
querer escrevi outra
Versao relampago:
casa-dos-pombos, 68,68,68,69,69,69,70,70,70,...,100,100,100,101,101,101,
contradicao.
Versao explicada:
Ha 101-67=34 numeros entre 68 e 101 (que sao os possiveis numeros de
amigos) de cada fulano.
Seja xi o numero de estudantes com i amigos (onde i=68,69,...,101). Note
que sao
Escolher um retangulo significa escolher o canto esquerdo superior e o
canto direito inferior.
Como o canto esquerdo superior tem que ficar a Noroeste desta celula, sao
pq opcoes para ele.
Como o canto direito inferior tem que ficar a Sudeste dela, sao
(m-p+1)(n-q+1) opcoes para ele (note que
Vai parecer magica, porque eu fiz dum jeito meio feioso e depois arrumei:
Queremos mostrar que:
2^(2p-3)-2^(p-2) + 72 = 0 (mod 100)
Farei x=2^(p-4) (note que p=4), para enxergar isso melhor:
32x^2-4x+72=0 (mod 100)
Magiquinha:
32x^2-4x-28=0 (mod 100)
Agora dah para fatorar!
4(8x^2-x-7)=0 (mod
Nao ha equivoco! Soh faltou o ultimo passo:
Como
3% dos funcionarios sao mulheres menores de idade
15% dos funcionarios sao menores de idade
entao
3%/15%=20% dos menores de idade sao mulheres. Resposta (E).
Abraco,
Ralph
P.S.: Eu costumo fazer isto montando uma tabelinha, comecando por
Eu ia tentar escolher dois numeros a e b com a+b100, depois tomar
c=100-(a+b) e no fim eliminar os casos onde ha uma repeticao Mas entao
resolvi fazer no braco mesmo:
Se o menor numero for 1, basta escolher agora dois numeros (maiores que 1)
que somem 99. Pode ser 2+97, 3+96,...,49+50. Total:
Neste caso, acho que é verdade sim. Não sei se dá para formalizar como a
seguir, mas tentemos...
Suponha por contradição que todos os ângulos do seu polígono são menores
que 180 graus, mas ele não é convexo. Você pode perfeitamente supor que não
há ângulos de 180 graus (se houver, elimine os
Isto eh falso. Pegue, por exemplo, um icosagono estrelado (ligando os
pontos de 3 em 3).
Abraco,
Ralph
2012/5/20 Paulo Argolo pauloarg...@bol.com.br
Caros Colegas,
Aproveitando a resposta dada sobre a questão Paralelogramo é convexo,
formulo nova questão:
— Mostrar que um
A chave eh decidir onde vao os impares e onde vao os pares... quero dizer,
decidir qual das seguintes formas seu numero vai ser:
Forma 1: PPPIII
Forma 2: PPIPII
...
Forma ??: IIIPPP
(I= impar, P=par; tecnicamente, ??=C(6,3), mas isto nao interessa agora)
Isto dito, a gente vai ter que evitar com
Cuidado: ao passar de n=k para n=k+1 no Passo de Inducao... o ultimo
termo era 3n-1, agora eh 3(n+1)-1=3n+2 -- nao eh questao de somar
um no termo, eh trocar n por n+1.
Abraco,
Ralph
2012/5/17 Thiago Bersch thiago_t...@hotmail.com:
Então eu estava tentando fazer mas parava no mesmo
A resposta eh nao, este nao eh o ponto que maximiza o angulo ACB, e
sim, eh possivel resolver isso com Geometria Cearense (muito mais
elegante que G.A.!).
Para derrubar a conjectura, note que se AB for perpendicular aa reta
r, entao o ponto que minimiza o perimetro ACB claramente estah em AB
Acho que a figura não foi estou tentando de novo.
2012/5/13 drechum drec...@prodind.gecpri.co.cu:
ABC é um triângulo eqüilateral; BCDE é um quadrado 2 lateral construído
exteriormente ao triângulo. Os vértices A, D e E que eles pertencem à mesma
circunferência. Acha o valor do rádio da
Oi, Drechum.
Suponho que você seja de Cuba? Olá, bemvindo!
Acho que ele quer o raio da circunferência da figura (veja anexo),
onde F é o centro.
Um jeito de fazer é usar Pitágoras. Seja EF=FA=R o raio pedido. Note
que AG=2+raiz(3) (lado do quadrado mais altura do triângulo
equilátero), então
Oi, Ruy.
Para mim, o argumento combinatorio (separando em duas classes, etc.)
eh o mais elegante, e (para mim) mais do que serve como demonstracao.
Se voce realmente quiser fazer por inducao... bom, vamos supor que
C(n,p) seja definido indutivamente do jeito que a gente monta o
Triangulo de
Ha uma ordem especifica para a diferenca, tipo vermelho - branco, ou
eh sempre maior - menor? Vou supor este ultimo.
De um jeito ou de outro, eu faria uma tabelinha com as 36
possibilidades equiprovaveis:
\ 1 2 3 4 5 6 -(primeiro dado aqui)
1 0 1 2 3 4 5
2 1 0 1 2 3 4
3 2 1 0 1 2 3
4 3 2 1 0
Pense o que acontece se voce sair do polo sul, andar 1km para N, 1 km
para E, e 1 km para S.
(Agora, tecnicamente, nao ha ursos no polo sul, entao o problema nao
funciona do jeito que ele disse. Tinha que comecar 1 km para o SUL.)
Abraco,
Ralph
2012/5/3 Marco Antonio Leal
Em primeiro lugar, note que 1/2=1/3+1/6. Dividindo por k dos dois
lados, note que 1/(2k)=1/(3k)+1/(6k)
Então usando esta ideia, você pode ir abrindo assim:
1=1/2+1/3+1/6 (use k=3 para abrir o 1/6)
1=1/2+1/3+1/9+1/18 (use k=9 para abrir o 1/18)
1=1/2+1/3+1/9+1/27+1/54 (use k=18 para abrir o 1/54)
Sejam x e y números reais positivos.
Como já vimos num E-mail anterior, se a1=b1, a2=b2, ..., an=bn, com
todos positivos, então a1a2...an=b1b2...bn
(Tá, se eu me lembro direito tínhamos feito isso com a1b1, a2b2,
etc, mas é fácil adaptar aquela prova para =).
Tomando a1=a2=...=an=x e
Acho que um dos problemas mais comuns quando as pessoas pensam em
infinito é achar que, se algo vale para todo N, então deve valer
para N=Infinito, seja lá o que isto for, como se Infinito fosse um
número natural... Acho que ambos as contradições que você cita caem
nesta categoria:
1) É verdade
Comece com n=2; suponha a1b1 e a2b2. Entao
b2b1-a2a1=b2b1-b2a1+b2a1-a2a1=b2(b1-a1)+a1(b2-a2)
Como b2, b1-a1, a1 e b2-a2 sao positivos, a expressao acima eh
positiva, isto eh, b2b1a2a1.
Agora eh facil generalizar para n desigualdades, basta usar o caso n=2
varias vezes. Assim:
a1b1, a2b2
Tome a=x^n e b=y^n (com x e y positivos). Entao voce quer mostrar quea raiz
n-esima de (x^n+y^n) eh menor que x+y, isto eh, que
x^n+y^n=(x+y)^n
Se voce abrir o lado direito pelo binomio de Newton, fica facil.
Serve assim?
Abraco,Ralph
2012/4/24 ennius enn...@bol.com.br: Prezados amigos da
A frase o espaco solucao tem dimensao 3 eh um conceito de Algebra
Linear. Significa (mais ou menos) que tem 3 constantes arbitrarias na
solucao geral do sistema -- neste caso, a, b e S.
Em linhas bem gerais, eh o seguinte: se voce tiver um sistema com
14 equacoes DE VERDADE, lineares e
Não, não pode ser. Afinal, a definição de quadrado mágico consiste em 8
equações lineares com 10 incógnitas (as incógnitas são as 9 entradas do
quadrado e a soma S de cada linha ou coluna). No entanto, uma das 8
equações é linearmente dependente das outras (se a soma de cada uma das 3
linhas é S,
Bom, do jeito que eu escrevi seria f_0=0. Entao voce tinha razao quando
disse que eu estava errado.
Eu acho. :)
Abraco,
Ralph
2012/4/1 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
Esqueça.claro,f_0=2.Obrigado.
--
From:
Oi, Hermann.
A definicao de derivada (do Calculo I), eh esta:
lim_(h-0) (f(x+h)-f(x))/h
Acho que eh isto que voce quer dizer com limite incremental? Pois
bem, quando a gente diz limite quando h vai para zero, note que h
pode ir para 0 PELOS DOIS LADOS (positivo ou negativo). Ou seja, a
Argh favor trocar o numerador se aproxima de 1 por o numerador
se aproxima de -1. Tambem, eu deveria dizer:
lim_(h-0-) ([n+h]-[n])/h=+Infinito
Agora acho que acertei? :)
2012/3/15 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com:
Oi, Hermann.
A definicao de derivada (do Calculo I), eh esta:
lim_(h-0
Mas quem disse que o proximo termo eh sin(60°)? ;)
Abraco,
Ralph
2012/3/15 Albert Bouskela bousk...@msn.com:
Olá!
O enunciado da 2ª questão está completamente errado!
sin(30°)/sin(15°) = 2cos(15°) = 1,93
Supondo que o próx. termo da sequência seja sin(60°): sin(60°)/sin(30°)
Para o primeiro problema, considere a=x.exp(iA), b=y.exp(iB) e c=z.exp(iC).
Note que Kr é a parte imaginária de S(r)=a^r+b^r+c^r.
Seja Q(w) o polinômio (mônico) de grau 3 cujas raízes são a, b e c. Note
que:
Q(w)=w^3-S.w^2+D.w-P
onde
S=a+b+c=S(1) é real pois sua parte imaginária, K1, é nula;
Vou supor que o triangulo ABC de area maxima existe (o que eh bem razoavel,
e eh verdade, mas nao eh obvio usando soh geometria).
Entao seja ABC esse triangulo de area maxima. Fixe o lado BC e pense nas
possiveis posicoes de A. Como o triangulo ABC tem area maxima, entao A eh o
ponto da
possível existir um triângulo de área máxima com apenas AO um pedaço da
altura ? ou seja , sem o ponto O como ortocentro ?
Foi isto que vc quis observar com NECESSÁRIA ?
Abraços
Bob
Em 20 de fevereiro de 2012 10:31, Ralph Teixeira ralp...@gmail.comescreveu:
Vou supor que o triangulo ABC
existir máximo então O é ortocentro.
Boa pergunta: existe máximo?
Outra questão é: e se quisermos minimizar o perímetro?
Em 20 de fevereiro de 2012 11:31, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
escreveu:
Vou supor que o triangulo ABC de area maxima existe (o que eh bem
razoavel,
e eh verdade, mas nao
H nao sei nao. Vou usar C para estah contido e E para
pertence a.
Concordo que toda inclusao de conjuntos pode ser pensada como uma
implicacao (bom, com um quantificador para todo). Afinal:
A C B
eh o mesmo que dizer
para todo x, xEA = xEB
Por isso, concordo que a Teoria dos Conjuntos e
Sim, **logicamente**, a frase 23 == Eu sou o papa estah correta. A
implicacao logica eh um simbolo DEFINIDO por esta tabela-verdade:
p q p = q
V V V
V F F
F V V
F F V
e, a principio, eh soh isso. Nada em p=q **intrinsicamente** significa
causa, efeito, razao ou qualquer coisa
Oi, galera.
Dah para resumir a simetria do raciocinio do Ponce... Basta considerar os
eventos:
X = A obtem mais caras do que B
Y = A obtem mais coroas do que B
Note que X e Y nao podem ocorrer ao mesmo tempo (A tem apenas UMA moeda a
mais) mas pelo menos um deve ocorrer (A tem mais MOEDAS que
Pense no triangulo de Pascal modulo 2, isto eh, soh marcando pares (0) e
impares (1):
1
11
101
10001
110011
1010101
...
Etc. Ha varios padroes a serem explorados ali, varias repeticoes de
triangulos anteriores, que podem ser demonstradas por inducao, por exemplo.
Em particular,
Bom, eu não sabia disso mas agora que você falou...
A recorrência que define os termos de ordem ímpar da seq. de Fibonacci
pode ser obtida assim:
F(2n+1)=F(2n)+F(2n-1)
F(2n)=F(2n-1)+F(2n-2)
F(2n-2)=F(2n-1)-F(2n-3) (tô fazendo um esforço para só deixar os de
ordem ímpar do lado direito)
Então
-- Forwarded message --
From: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Date: 2012/1/16
Subject: RE: [obm-l] Quantidade mínnima de tentativas
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Hugo, nao desanime! Com um pequeno ajuste, sua solucao ainda dah 22 testes!
(Eu tinha mandado isso para a lista, mas acho
Uma pergunta divertida ligeiramente relacionada: escolha um dia 13
aleatoriamente (todos os dias 13 de todos os meses de todos os anos com a
mesma probabilidade; suponha que o numero de anos eh BEM grande, mas todos
no calendario gregoriano para evitar complicacoes). Qual a probabilidade de
este
Procure derivadas parciais. :)
2011/11/24 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Recentemente vi um problema na lista sobre como calcular a soma dos 3
senos de um triângulo, em que a resposta foi p/R
Fiquei pensando então qual deveria ser o valor máximo para esta soma
Fiz assim:
maior que 1/2 de vencer?
Em 15 de outubro de 2011 15:24, Ralph Teixeira ralp...@gmail.comescreveu:
Eu devia ter frisado melhor, que minha solucao imagina um sapo que estah
**SEMPRE FAMINTO** (que eh equivalente ao original, como expliquei na outra
mensagem). Por isso uso a cumulativa, X=3.
Na
a binomial é
cumulativa e (2) porque voce usou X=3 (pelo que entendi do problema, o sapo
*nunca* come mais de 3 moscas)?
Abracos,
Rafael
2011/10/13 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Entendi o enunciado assim: um sapo, *quando faminto*, tem 50% de chance de
comer uma mosca que passe por perto
Entendi o enunciado assim: um sapo, *quando faminto*, tem 50% de chance de
comer uma mosca que passe por perto dele. Ele só deixa de estar faminto após
comer 3 moscas -- depois da 3a, é 0% de chance de ele comer a mosca. Digo
isso porque, tecnicamente, não é verdade que uma mosca tenha 50/50 de
Oi, Luan. Sua solução funciona, mas tem que consertar dois pontinhos:
o) Faltou o caso 0 das 5 primeiras, o que adiciona mais 1/64 na sua
resposta.
iii) Por outro lado, o número de casos em (iii) é menor, pois você já
fixou uma mosca comida em cada subcaso. Seria:
iiia) Há apenas C(4,2)=6 casos,
Oi, Luan.
Pois é, tem dois sapos aqui que parecem ser distintos:
i) O sapo do problema; após comer 3 moscas, ele nunca mais decide nada, pois
está satisfeito.
ii) O meu sapo. Ele sempre **decide** comer uma mosca com 50% de chance --
mas, se ele já comeu 3, ele desiste de comer a mosca, DEPOIS
Formalmente, o problema estah mal definido. Informalmente, este negocio
sempre foi divertido, acho legal brincar com coisas assim, como o problema
dos quatro quatros. Podemos votar na resposta mais bacana, usando simbolos
mais banais, etc. :)
Que tal:
77/7-7=4
Abraco,
Ralph
2011/9/28
Eu gosto de fazer assim, usando o produto interno u,v de dois vetores u e
v:
u+v eh paralelo aa bissetriz sse
u+v,u/|u||u+v| = u+v,v/|v||u+v| (pois estes sao os cossenos dos angulos
de u+v com u e v respectivamente; note-se que estou usando que u+v sempre
estah no menor angulo ENTRE u e v) sse
Vou supor que a e b sao positivos -- os outros casos sao analogos.
Seja c=raiz(a^2+b^2). Seja y tal que cosy=a/c e siny=b/c -- note que y
existe sim, jah que (a/c)^2+(b/c)^2=1.
Entao a nossa expressao eh
c(cosy.sinx+siny.cosx)=c.sin(x+y)
cujo minimo eh -c (que ocorre quando x+y=2kpi+3pi/2).
Pffft -- nao usei que a e b sao positivos, entao o que escrevi vale para
todos os casos. :)
2011/9/23 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Vou supor que a e b sao positivos -- os outros casos sao analogos.
Seja c=raiz(a^2+b^2). Seja y tal que cosy=a/c e siny=b/c -- note que y
existe sim, jah que
Bom, vou reclamar que o enunciado esqueceu de dizer que E pertence a AC...
mas o João espertamente adivinhou que tinha que ser isto (senão não saía) e
matou o problema.
Abraço,
Ralph
2011/9/5 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
ABC = CED, logo AED = 180 - ABC e o
--- Em *sex, 2/9/11, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com* escreveu:
De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Assunto: Re: [obm-l] Enc: Outro Probleminha
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 2 de Setembro de 2011, 1:40
Eh, mas falta algo -- nao ha garantia nenhuma que o triangulo formado
Eh, mas falta algo -- nao ha garantia nenhuma que o triangulo formado por
dois lados do quadrilatero e pela diagonal seja este que eh semelhante ao
triangulo original.
Alias, note que o enunciado original soh menciona os lados do quadrilatero,
e, em geral, os lados NAO determinam o quadrilatero.
Oi, Douglas. Vamos lah.
2011/8/31 douglas.olive...@grupoolimpo.com.br
**
Olá, gostaria de saber como se faz a seguinte questão:
1) Existem 100 portas numeradas de 1 a 100, atrás de 99 delas existe um
burro, e em uma delas existe um carro, um rapaz começa a abrir as portas,
sabendo que ele
a escolhida por A até restarem 2 portas fechadas, para A tanto faz
trocar, pela mesma razão: cometer um erro e trocar de porta não lhe
garantirá um carro. Esta última parte ainda não é muito clara pra mim.
Em 31 de agosto de 2011 21:04, Ralph Teixeira ralp...@gmail.comescreveu:
Oi, Douglas. Vamos lah
Oi, Marcus.
Eh, o jeito que voce escreveu estah estranho. Voce partiu do que queria
provar, e chegou na hipotese -- isto nao demonstra o teorema.
Isto dito, eh facil consertar a sua ideia:
i) PRIMEIRA OPCAO: basta escrever o que voce fez, mas na ordem correta:
Suponha ab0.
Como a e b sao
Eu pensei numa relacao bacana, usando a formula quadratica usual, nao sei se
voce vai gostar.
Vamos resolver ax^2+bx+c=0. Vamos supor que x=0 nao eh uma raiz (ou seja,
suponha c0); entao, dividindo por x^2, vem
a+b/x+c/x^2=0
Isto quer dizer que 1/x eh raiz da quadratica P(z)=cz^2+bz+a. Se voce
Correto, mas para ser chato, eu diria que i^i eh indeterminado e pode
assumir varios valores distintos, dependendo da sua definicao de
exponenciacao nos complexos.
Ilustrando o que eu disse: i=e^(i pi/2 + 2k.i.pi) onde k eh um inteiro
qualquer. Agora, fazendo o que o Victor fez, vem:
i^i = (e^(i
Estranho... eh isso mesmo?
Estritamente falando, A seria a intersecao de AB com AC, e A tem coordenadas
inteiras. Mas imagino que o problema queira uma interseccao de coordenadas
inteiras que NAO seja um dos pontos originais.
Entao resolvi me divertir com o Geogebra, botei 5 pontos no plano,
Ah... aposto que o problema original era para mostrar que um dos PONTOS
MEDIOS desses 10 segmentos tem coordenadas inteiras, nao? Ai tudo faz
sentido: basta olhar a paridade de ambas as coordenadas. Ha 4 classes de
possibilidades: (Par,Par), (Par, Impar), (Impar, Par), (Impar, Impar). Como
voce
Eu gosto MUITO da solucao do Fernando, tambem acho que eh a mais elegante.
Isto dito, vou ser chato muito muito chato: nada no problema sugere nem pede
probabilidades. Entao vamos usar a otima ideia, mas mudar a linguagem:
Para cada possibilidade que tenha a ordem ABC, teremos possibilidades
Oi, Joao.
Certamente, ha um monte de teoria sobre Equacoes Diferenciais Ordinarias, um
monte mesmo; ha varios tipos de EDOs que se resolvem por varios metodos, e
um monte de EDOs que nao tem solucao ou que nao se resolve por integrais
simples.
Essa ai bom, eu nao acompanhei a discussao, mas
G foi cuidadosamente escolhida para que isto valha. Afinal, note que:
d(FG)/dw=F`G+FG`
e note que G=e^(Int b), entao pela Regra da Cadeia G`=e^(Int b)(d(Int
b)/dw)=b.e^(Int b)=bG
Para achar quaisquer constantes de integracao, substitua um valor conhecido
(t=0 e v(0)=v_0, como voce sugeriu) e
Como voce disse, se a eh uma raiz de P(x), entao a^2+1 tem que ser raiz de
P(x) tambem. Entao se voce pegar as raizes de P(x) e aplicar x^2+1 nelas,
voce ainda tem que cair em raizes. Portanto, dada uma raiz qualquer a, temos
que a^2+1, (a^2+1)^2+1, etc. gera varias raizes de P(x). Como P(x) tem
O raciocínio do Dirichlet mostra que basta achar UM polinômio (não
constante) que tenha esta propriedade. Afinal, como ele mostrou, se p(x)
serve, então q(x)=(p(x))^2 também serve.
Mas seja lá quem for o polinômio mágico, eu sei que ou ele é um polinômio
par ou ele é ímpar. Afinal, escreva
)]^2.
Aliás, esse raciocínio mostra que esse p(x) não pode ter nenhuma raiz real
-- se tiver uma raiz real x, terá infinitas, já que x^2+1x para todo x
real.
(Por enquanto, fico com a terrível impressão de que tal polinômio não
existe... Alguém achou o dito cujo?)
2011/7/1 Ralph Teixeira ralp
Hmmm, vejamos. Será que a gente arruma algum polinômio cujas raízes sejam as
3 parcelas da sua soma?
Considere a famosa identidade
trigonométrica sin7t=(8(cos2t)^3+4(cos2t)^2-4(cos2t)-1).sint
(Desculpa, não pude resistir.)
Note que t=kpi/7 (k=1,2,4) dá três raízes de sin7t, mas nenhum deles dá
Ah, já vi errinho de sinal no meio do caminho, no sinal de ab+ac+bc e no de
abc. Corrigi abaixo, mas deve haver outros. De qualquer forma, a ideia ainda
vale.
2011/6/27 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Hmmm, vejamos. Será que a gente arruma algum polinômio cujas raízes sejam
as 3 parcelas da
Eh fiquei tambem com a impressao que, em geral, ac eh bem maior que a+c em
modulo.
Vejamos como formalizar isto. Primeiro vou me livrar de uns casos pequenos
(que soh vi serem necessarios depois que terminei o problema :P):
CASO 0: Se um deles for 0 (digamos a=0)
Entao -2=b+c, que tem uma
1) Suponho n natural. Como 28n^2+1 eh impar e tem que ser quadrado perfeito,
escrevo
28n^2+1=(2k-1)^2 (com k inteiro)
7n^2=k^2-k=k(k-1)
(Note que a expressao toda eh 2+2(2k-1)=4k; entao nosso objetivo eh mostrar
que k eh quadrado perfeito)
Leminha: Como k e k-1 sao primos entre si, um deles eh
caso afirmativo ,onde posso adquirir o livro?Ele tá disponível na
FGV?
Um abraço
Paulo
--
*De:* Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
*Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
*Enviadas:* Segunda-feira, 6 de Junho de 2011 22:57:34
*Assunto:* Re: [obm-l] Probleminha
Que tal
Que tal assim:
Multiplicando tudo por (x-a)(x-b)(x-c), vemos que a equacao dada
**implica**:
(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=0
Chame o lado esquerdo de f(x). Note que f(x) eh quadratica (coeficiente de
x^2 eh 3, nao eh 0, entao quadratica mesmo). Tambem:
f(a)=(a-b)(a-c)0
f(b)=(b-a)(b-c)0
Cuidado: nao confunda o TERMO GERAL de uma serie com a SERIE em si...
Na serie SOMATORIO(a_n), o termo geral eh a_n. Mas a serie consiste em SOMAR
todos esses a_n.
A SEQUENCIA 1/n converge para 0 quando n vai para infinito. 1/n eh o termo
geral da serie SOMATORIO(1/n) -- mas nao eh a SERIE.
A
Bom, notações que eu vou usar:
XY -- segmento XY ou vetor XY, espero que não dê confusão.
v,w -- o produto interno de v com w
||v|| -- o módulo (norma, tamanho) do vetor v
vxw -- o produto vetorial de v com w
[u,v,w] -- o produto misto de u, v e w
|z| -- o módulo do número z
Então vamos lá:
2) Com este enunciado, não há triângulo nestas condições...
Tracei a bissetriz interna AX do ângulo A, fiz CX=x. Note que AXC é
isósceles, então AC=2xcosC, então BC=xcosCx=XC. Em outras palavras, a
bissetriz interna AX corta o lado BC *fora* de BC, absurdo.
Não seria ângulo C=2A? Aí seria um
1) Começou bem. Mas você não quer mostrar que o m.d.c é 1, ou que eles são
(ou não) cubos. Você quer mostrar que eles não podem ser POTÊNCIAS DE 2 ao
mesmo tempo (você já cuidou do cubo na fatoração...). Neste
caso, pensando na paridade de x :)
2) Sim, o seu jeito é possivelmente
Yeah! Ninjei de novo! :) :) :) ;)
2011/5/27 Johann Dirichlet peterdirich...@gmail.com
Poxa! O Ralph destruiu minha mensagem! Mas acabei respondendo do mesmo
jeito (ou nao!:))
Em 27/05/11, Johann Dirichletpeterdirich...@gmail.com escreveu:
Ce já estudou congruencias? Um bom começo é pegar a
Se fosse apenas um turno, era mais difícil. Com turno e returno, é mais
simples, e é generalizável...
A chave é olhar para os 17 melhores times, isto é, para os 17 times que
terminaram (terminariam, terminarão?) o campeonato com a melhor posição.
Quantas partidas incluem pelo menos um desses 17?
Olha, se alguem escrevesse este argumento numa prova, eu o aceitaria
uma demonstracao.
Ou seja, concordo com o Paulo -- a inducao formal seria tao imediata,
que para mim nao vale a pena escreve-la explicitamente. Ela nao
acrescentaria nada NESTE CASO.
Pebolim.
Abraco,
Ralph
2011/5/19
Para mim, é 3 - 2.
(E é pebolim. Hmpf! :) )
2011/5/17 Paulo Argolo argolopa...@hotmail.com: Caros Colegas,
Subtrair 2 de 3 significa calcular 3 - 2 ou 2 - 3? Abraços! Paulo
=
Instruções para entrar na lista, sair da
Tecnicamente, poderia ser também um trapézio isósceles (bases AC e
BD). Mas a conclusão é a mesma.
Abraço,
Ralph
2011/5/15 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com:
Na verdade LLL é o maior caso de congruência de triângulos, O triângulo ABC
é congruente a ADC, logo ABC = ADC = CDA,
Isso é legal, né?
-- A média minimiza a soma dos quadrados dos desvios
-- A mediana minimiza a soma dos módulos dos desvios.
Olhando deste jeito, a mediana parece mais natural do que média para
resumir os dados de uma sequência alíás, vocês já pararam para
pensar PORQUE a gente usa a média o
Concordo que, se a soma dos seus dados tem algum sentido, a media tem
esta propriedade adicional de zerar a soma dos desvios (com sinal) e,
portanto, manter a mesma soma. Como voce disse, **quando somar faz
sentido**, a soma perdas com ganhos se anula... Mas note como a
ideia de soma eh essencial
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