[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números, trigonometria e racionalidade

Em dom., 11 de dez. de 2022 às 10:32, Anderson Torres escreveu: > > Em sáb., 10 de dez. de 2022 às 22:08, marcone augusto araújo borges > escreveu: > > > > Seja p um número primo tal que p = = 3 (mod4) e @ um ângulo tal que tan@ é > > racional. Prove que tan((p+1)@) também é racional com

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números, trigonometria e racionalidade

Em sáb., 10 de dez. de 2022 às 22:08, marcone augusto araújo borges escreveu: > > Seja p um número primo tal que p = = 3 (mod4) e @ um ângulo tal que tan@ é > racional. Prove que tan((p+1)@) também é racional com numerador múltiplo de p > Desde já agradeço por algum esclarecimento ou solução.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Números

De nada mano. Em seg, 26 de out de 2020 09:40, joao pedro b menezes < joaopedrobmene...@gmail.com> escreveu: > Muito obrigado pela ajuda! Entendi o exercício agora. > > Em dom, 25 de out de 2020 às 19:59, Otávio Araújo < > otavio17.ara...@gmail.com> escreveu: > >> Vc resolve essa questão

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Números

Muito obrigado pela ajuda! Entendi o exercício agora. Em dom, 25 de out de 2020 às 19:59, Otávio Araújo escreveu: > Vc resolve essa questão mostrando q p=n^2+n+1. Se n=1 acabou. Se n>1,Já > que p divide n^3-1 e é primo, temos que p divide n-1 ou n^2+n+1. Não > podemos ter p dividindo n-1 pois

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Números

Vc resolve essa questão mostrando q p=n^2+n+1. Se n=1 acabou. Se n>1,Já que p divide n^3-1 e é primo, temos que p divide n-1 ou n^2+n+1. Não podemos ter p dividindo n-1 pois n divide p-1 -> n<= p-1 n-1 p>= n+1 e k será congruente a 1 módulo n também. Suponha que k>1, k>1 implica k>= n+1 daí

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Em qua., 29 de abr. de 2020 às 10:33, Anderson Torres escreveu: > > Em qui., 23 de abr. de 2020 às 06:31, Jeferson Almir > escreveu: > > > > Amigos, peço ajuda nessa questão. > > > > Sejam a e b inteiros positivos >=2 tal que (a^n)-1|(b^n)-1 pra todos os > > inteiros positivos n,mostrar que b

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Em qui., 23 de abr. de 2020 às 06:31, Jeferson Almir escreveu: > > Amigos, peço ajuda nessa questão. > > Sejam a e b inteiros positivos >=2 tal que (a^n)-1|(b^n)-1 pra todos os > inteiros positivos n,mostrar que b é potencia inteira de a. > Ajuda? Esse problema é bem dificinho. A ideia é, por

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] teoria dos números

muito obrigado, professor Ralph Em sáb., 11 de abr. de 2020 às 13:18, Ralph Costa Teixeira < ralp...@gmail.com> escreveu: > Tome por exemplo > a=1 > b=xy > c=y > > Mais genericamente > a=k > b=kxy > c=ky > servem para k≠0 complexo qualquer. > > On Sat, Apr 11, 2020, 11:17 Israel Meireles

[obm-l] Re: [obm-l] teoria dos números

Tome por exemplo a=1 b=xy c=y Mais genericamente a=k b=kxy c=ky servem para k≠0 complexo qualquer. On Sat, Apr 11, 2020, 11:17 Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> wrote: > Como posso provar a seguinte afirmação "Sejam x,y,z números complexos tais > que xyz=1, mostre que

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

O meu sonho tmbm é esse kk Em dom., 22 de mar. de 2020 às 13:22, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > vc é engenheiro? > > Em dom., 22 de mar. de 2020 às 13:19, Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > >> mas vc possui algum

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

vc é engenheiro? Em dom., 22 de mar. de 2020 às 13:19, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > mas vc possui algum graduação ? > > Em dom., 22 de mar. de 2020 às 13:00, Pedro José > escreveu: > >> Boa tarde! >> Perfeita a sua correção. >> Quanto ao

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

mas vc possui algum graduação ? Em dom., 22 de mar. de 2020 às 13:00, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Perfeita a sua correção. > Quanto ao questionamento, nem tenho formação em matemática, meu sonho é > cursar no IMPA ao me aposentar. Sou pitaqueiro. Ouço um assunto que não > conheço, tento

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Boa tarde! Perfeita a sua correção. Quanto ao questionamento, nem tenho formação em matemática, meu sonho é cursar no IMPA ao me aposentar. Sou pitaqueiro. Ouço um assunto que não conheço, tento aprendê-lo. Na verdade, gosto de matemática. Talvez seja ela o "Mundo das ideias", o mundo ideal, a

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Acho q tem uma ´pequena correção no seguinte passo "4k+1. Pegando os fatores (4n-1)^2 e (4n+1)^2, teremos que 2^6 |p(n) para qualquer n=4k+1."O correto seria "Para n=4k+1.Pegando os fatores (n-1)^2 e (n+1)^2" Em dom., 22 de mar. de 2020 às 10:14, Israel Meireles Chrisostomo <

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Primeiramente obrigado pela solução.Mas Pedro, tenho uma pergunta : o sr. é professor de Matemática? Em dom., 22 de mar. de 2020 às 01:34, Pedro José escreveu: > Bom dia! > Dei uma mancada. > O expoente de 3 é 3 e não 2. > Retornando às classes mod 3. > Ao último fator é côngruo à (n-1)*n >

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Bom dia! Dei uma mancada. O expoente de 3 é 3 e não 2. Retornando às classes mod 3. Ao último fator é côngruo à (n-1)*n Para n=3k aparece outro fator e 3^3|p(n), n=3k. n=3k+1, tenho (n-1)^2 e (n-1), 3^3|p(n), n=3k+1 n=3k+2, tenho(n-2)^2 é (n+1)^2, 3^3|p(n), n=3k+2, Logo 3^3|p(n) para todo n

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Boa tarde! Nem carece método numérico. Para n=1 ou n=0 ou n=2 temos que qualquer inteiro divide o polinômio p(n)=(n-2)^2*(n-1)^2*n^2*(n+1)^2*(4n^2-4n-9) p(3)=8640 p(4)=561600 então (p(3),p(4))=8640=2^6*3^3*5. Seja D o maior inteiro que divide p(n) para todo n inteiro, D<=8640 Vamos pegar as

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Bom dia! Falta de novo, em seu questionamento, informar que n é inteiro ou natural e colocar a condição para qualquer valor de n. Chamando o polinômio de p(n) Para n=0, 1 ou 2, qualquer inteiro divide. Faria mdc(p(3),p(4))= A1 Se der "pequeno", com poucos fatores primos e expoentes pequenos. Paro

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Boa noite! Aí, como dizia minha falecida vó, são outros quinhentos. Como nas propostas anteriores n era natural. Vamos seguir nessa linha, se não for reformule o problema. Seja f(n)= n (427 - 90n - 70n^2 + 45n^3 + 18n^4) f(0)=0 qualquer natural divide, portanto, é indiferente. f(1)= 330 f(2)=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Sim é isso q eu quis dizer Em ter, 17 de mar de 2020 11:12, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira < g...@impa.br> escreveu: > Acho que a pergunta deve ser qual é o maior inteiro positivo que divide > essa expressão para todo valor de n ao mesmo tempo. > > On Tue, Mar 17, 2020 at 6:58 AM Pedro

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Acho que a pergunta deve ser qual é o maior inteiro positivo que divide essa expressão para todo valor de n ao mesmo tempo. On Tue, Mar 17, 2020 at 6:58 AM Pedro José wrote: > Bom dia! > Se você considerar a expressão n(427-90n-70n^2+45n^3+18n^4) > D=|n(427-90n-70n^2+45n^3+18n^4)| > Por

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Bom dia! Se você considerar a expressão n(427-90n-70n^2+45n^3+18n^4) D=|n(427-90n-70n^2+45n^3+18n^4)| Por exemplo, n=1 D=330. Agora se liberar n para variar D tende a oo. Se n for raiz da expressão, também tende a oi, pois qualquer inteiro divide 0. Em seg, 16 de mar de 2020 22:16, Israel

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

não entendi Em seg., 16 de mar. de 2020 às 22:01, Pedro José escreveu: > Para um dado n é o módulo do valor da expressão. > > Em seg, 16 de mar de 2020 21:49, Pedro José > escreveu: > >> Boa noite! >> O módulo dessa expressão tende a oo. Não existe máximo. >> Saudações, >> PJMS >> >> Em seg,

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Boa noite! O módulo dessa expressão tende a oo. Não existe máximo. Saudações, PJMS Em seg, 16 de mar de 2020 20:36, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > Qual é o maior inteiro que divide n (427 - 90n - 70n^2 + 45n^3 + 18n^4)? > > -- > Israel Meireles

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Para um dado n é o módulo do valor da expressão. Em seg, 16 de mar de 2020 21:49, Pedro José escreveu: > Boa noite! > O módulo dessa expressão tende a oo. Não existe máximo. > Saudações, > PJMS > > Em seg, 16 de mar de 2020 20:36, Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

muito obrigado Em seg., 16 de mar. de 2020 às 13:29, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > > Difícil generalizar. Mas consegui dois valores que não zeram a expressão > (soluções triviais), a duras penas, n=32 e n=43. > Vou continuar pensando no assunto. > > Saudações, > PJMS > > > Em dom., 15 de

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Boa tarde! Difícil generalizar. Mas consegui dois valores que não zeram a expressão (soluções triviais), a duras penas, n=32 e n=43. Vou continuar pensando no assunto. Saudações, PJMS Em dom., 15 de mar. de 2020 às 18:48, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > Faltou um contraexemplo. > n=5 >

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Boa tarde! Faltou um contraexemplo. n=5 3^2*4^2*5^2*6^2*71 não é múltiplo de 11 nem de 37. Saudações, PJMS Em sáb, 14 de mar de 2020 19:47, Pedro José escreveu: > Boa noite! > Creio que a pergunta correta seria, para que valores de n natural... > 8140=2^2*5*11*37. Então a solução só se dará

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Boa noite! Creio que a pergunta correta seria, para que valores de n natural... 8140=2^2*5*11*37. Então a solução só se dará para um subconjunto dos naturais diferente de|N. Saudações, PJMS Em sex, 13 de mar de 2020 20:05, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: >

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Em tese, nada impede... a == b (mod m) <==> (a - b)/m é inteiro. Por exemplo, em trigonometria trabalha-se muito com congruência mod 2*pi. sen x = sen y e cos x = cos y <==> x == y (mod 2*pi) On Fri, Dec 13, 2019 at 3:54 PM Esdras Muniz wrote: > Existe congruência com números que não são

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Existe congruência com números que não são inteiros? Em sex, 13 de dez de 2019 11:57, Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Olá caros amigos, > preciso de uma ajuda pra criar uma fórmula que seja congruente (módulo p) > ao somatório > S_a=sum{(a^k)/k}, com k de 1 a

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] teoria dos números curiosidade

muito obrigado!!! Em qui, 4 de jul de 2019 às 09:13, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Considere o seguinte algoritmo: > Dada a/b (acho q precisa ser entre 0 e 1), tome o menor n1 tal que 1/n1 <= > a/b. > Daí, tome o menor n2 tal que 1/n2 <= a/b - 1/n1. > Daí tome o menor

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] teoria dos números curiosidade

Considere o seguinte algoritmo: Dada a/b (acho q precisa ser entre 0 e 1), tome o menor n1 tal que 1/n1 <= a/b. Daí, tome o menor n2 tal que 1/n2 <= a/b - 1/n1. Daí tome o menor n3 tal que 1/n3 <= a/b - 1/n1 - 1/n2 Etc... Esse processo eventualmente para (quando uma desigualdade <= se torna uma

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] teoria dos números curiosidade

On Wed, Jul 3, 2019 at 8:34 PM Claudio Buffara wrote: > Infinitas. > Basta usar recursivamente a relação 1/n = 1/(n+1) + 1/(n(n+1)), que cada vez > você obtém uma representação mais longa. > 1/2 = 1/3 + 1/6 = 1/3 + 1/7 + 1/42 = 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1806 = ... Mais difícil, talvez, seria

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] teoria dos números curiosidade

Infinitas. Basta usar recursivamente a relação 1/n = 1/(n+1) + 1/(n(n+1)), que cada vez você obtém uma representação mais longa. 1/2 = 1/3 + 1/6 = 1/3 + 1/7 + 1/42 = 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1806 = ... On Wed, Jul 3, 2019 at 7:16 PM Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> wrote:

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] teoria dos números curiosidade

Eu estive pensando para comigo mesmo, e então me perguntei qual é o número mínimo de representações distintas que se pode fazer com uma fração em suas representações unitárias.Alguém consegue chegar a alguma resposta?

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] teoria dos números curiosidade

Muito obrigado pessoal! Livre de vírus. www.avg.com . <#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

[obm-l] Re: [obm-l] teoria dos números curiosidade

Qualquer fração pode ser decomposta em frações egípcias (com numerador = 1). a/b = 1/b + 1/b + ... + 1/b (a parcelas). Como as parcelas devem ser distintas, use a identidade 1/n = 1/(n+1) + 1(n(n+1)), com n natural. Por exemplo: 3/7 = 1/7 + 1/7 + 1/7 = 1/7 + 1/8 + 1/56 + 1/8 + 1/56 = 1/7 + 1/8 +

[obm-l] Re: [obm-l] teoria dos números curiosidade

Lembro-me de uma resolucao feita por amigo aqui da lista, o Carlos Victor, na eureka número 2, no finalzinho, de uma olhada. Att Douglas Oliveira. Em qua, 3 de jul de 2019 15:08, Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > Esses dias eu estava estudando sobre frações

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números revisado

Muito obrigado Pedro José Livre de vírus. www.avg.com . <#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números revisado

Bom dia! Se x for fixo, falha. Seja x=1. 1 é racional e não há como atender 1 = 1 + 1/y com y inteiro. E mesmo com x,y inteiros livres. Seja r, u,m racional então r = p/q com p e q inteiros e (p,q)=1 ==> p/q = x + 1/y para algum par (x,y) inteiros Então py = qxy + q py - qxy = q. Como (xy,x)

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] teoria dos números

Boa noite! Ops! "O que antecede antes[sic].." Dessa feita me superei... Saudações, PJMS Em ter, 28 de mai de 2019 às 18:36, Pedro José escreveu: > Boa tarde! > > > 2003 = 3 mod1000 e ordem1000 3 = 100 > então supondo que a falta de parêntesis está correta. > Resta calcular 2002^2001 mod100

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] teoria dos números

Boa tarde! 2003 = 3 mod1000 e ordem1000 3 = 100 então supondo que a falta de parêntesis está correta. Resta calcular 2002^2001 mod100 2002= 2 mod100; então temos que procurar o período e o que acontece antes do período. há 21 ocorrências e depois aparece um período de 20 termos.

[obm-l] Re: [obm-l] teoria dos números

On Sun, May 26, 2019 at 8:50 AM Daniel Quevedo wrote: > > Calcule a soma dos 3 últimos algarismos do número 2003^2002^2001. Oi Daniel. Você já ouviu falar de congruências? E do "pequeno teorema de Fermat"? Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Bom dia! Obrigado! Encontrei uma demonstração, mas não tive bagavem para enrender. Vou ler as publicações. Saudações, PJMS Em sáb, 4 de mai de 2019 11:57, Anderson Torres < torres.anderson...@gmail.com escreveu: > Em seg, 29 de abr de 2019 às 16:38, Pedro José > escreveu: > > > > Boa tarde! >

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Em seg, 29 de abr de 2019 às 16:38, Pedro José escreveu: > > Boa tarde! > Pelo menos consegui descobrir que se um inteiro z >= não puder ser escrito da > forma z=4^k (8m+7), com m,k >=0 e m,k inteiros então ele pode ser > representado por uma soma de três parcelas, todas quadrados perfeitos. >

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Boa tarde! Pelo menos consegui descobrir que se um inteiro z >= não puder ser escrito da forma z=4^k (8m+7), com m,k >=0 e m,k inteiros então ele pode ser representado por uma soma de três parcelas, todas quadrados perfeitos. Já a demonstração, não consegui compreender. Saudações, PJMS Em seg,

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Em 29 de abr de 2019 11:37, Pedro José escreveu:Bom dia!Gostei desse problema. Fiz um montão de exemplos com números que não podem ser escritos como 4^n(8n+7) e todos puderam ser escritos como a soma de três quadrados.Vale para todos? Se sim, alguém poderia indicar uma

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Bom dia! Gostei desse problema. Fiz um montão de exemplos com números que não podem ser escritos como 4^n(8n+7) e todos puderam ser escritos como a soma de três quadrados. Vale para todos? Se sim, alguém poderia indicar uma demonstração? Saudações, PJMS Em dom, 7 de abr de 2019 às 16:16, Pedro

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Boa tarde! Fiquei na dúvida se algoritmo valia para demonstração. Mas salvo engano para demonstração de quais números aceitam raízes primitivas usa-se algoritmo. Mas, agora com mais calma, poderia ter usado indução. 1) Foi provado que não vale para n=0. 2) Supondo que não vale para n, não valeria

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Obrigado irmão. Está correto sim. Douglas O. Em qui, 4 de abr de 2019 às 19:44, Pedro José escreveu: > Boa noite! > Estou mal, mesmo. Ao invés de nenhum li qualquer. Tinha simulado dois, > três, quatro e deram fora, já iria questionar. > Mas vamos lá: > 0^2 = 0 mod8; 1^2 = 1 mod8; 2^2 = 4 mod8

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Ou seja, existem m e n inteiros positivos tais que: 8a + 1 = mb e 8b + 1 = na De cara, dá pra ver que a e b precisam ser ímpares (caso contrário, não dividiriam 8b+1 e 8a+1, respectivamente). Além disso... b = (8a+1)/m ==> 8(8a+1)/m + 1 = na ==> 64a + 8 + m = mna ==> a = (m+8)/(mn-64) (A)

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Boa noite! Estou mal, mesmo. Ao invés de nenhum li qualquer. Tinha simulado dois, três, quatro e deram fora, já iria questionar. Mas vamos lá: 0^2 = 0 mod8; 1^2 = 1 mod8; 2^2 = 4 mod8 3^2= 1 mod8; 4^2 = 0 mod 8; 5^2 = 1 mod 8 6^2 = 4 mod 8 e 7^2 = 1 mod8; Portanto o quadrado de um número, ou dá 0

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Não consegui resolver inteiro, mas uma possível conjectura é que seria 9n Como 9+...+9 = 9n, então o número 999...999 é divisível por 9, logo o produto (888...888)×(999...999) também tem 9 como fator. Então temos que a soma dos algarismos do produto em questão também é divisível por 9. Fazendo

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Ah, a soma fica sendo 8n-1+1n+1, ou seja, 9n Em ter, 5 de fev de 2019 15:33, matematica10complicada < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Amigos preciso de uma ajuda. > > PROBLEMA: > > Determinar a soma dos algarismos do produto (888...888)×(999...999), onde > cada parcela possui "n"

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Basta substituir (999...999) por (10^n-1) O produto será 888...888000...000-888...888, ou seja, 888...887111...112 Em ter, 5 de fev de 2019 15:33, matematica10complicada < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Amigos preciso de uma ajuda. > > PROBLEMA: > > Determinar a soma dos algarismos

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Então... Usando MA>=MG temos (x+y)(y+z)=xz+xy+y^2+yz>=2sqrt( xz(xy+y^2+yz))=2sqrt(xyz(x+y+x))=2 Resposta :2 Um abraço Douglas Oliveira. Em ter, 11 de dez de 2018 11:53, Daniel Quevedo Se x, y e z são números reais positivos tais que xyz(x+y+z) = 1, o menor > valor da expressão (x+y)(y+z) é:

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Boa tarde! Perdoem-me pela insistência. Mas outra forma de pensar. Se k>0, e se a>b e se pensarmos em duas soluções positivas logicamente estamos assumindo que a seja máximo. Pois, se existe a1 solução e a1>=a então a1.a=b^2-k>b^2, absurdo. Portanto quando dizemos que a>b, estamos escolhendo

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Boa tarde! Preciso de ajuda. Após pensar mais um pouco é bem razoável que dada uma solução hipotética e se consiga provar que há uma menor, que seja um absurdo. Absurdo no sentido, que não há solução. Gostaria até que me sugerissem material didático sobre o tópico. Não obstante existe solução para

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Bom dia! Refiro-me a solução recomendada por Israel. A princípio eu encrenquei com a solução. Pois, sem nenhuma caracterização definiu que a era mínimo. Então achei que a solução para a a, também seria absurdo. Aí, encrenquei mesmo com a soluçao e achei essa família de soluções para a1, xinteiro,

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Bom dia! Linda solução pela simplicidade de ferramentas utilizadas. Todavia, creio eu que não foi de bom alvitre utilizar a imagem de um matemático famoso e divulgar que ele só ganhou um ponto na questão. A mensagem, não explícita, mas é uma mensagem:"Ele não resolveu mas eu sim." As condições de

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Assista a esse vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=Cy3Vyl-jxpk Em qui, 23 de ago de 2018 às 14:09, Daniel Quevedo escreveu: > Blz não sabia q era de lá, vou consultar. Obrigado! > > Em qui, 23 de ago de 2018 às 10:30, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Esse é

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Blz não sabia q era de lá, vou consultar. Obrigado! Em qui, 23 de ago de 2018 às 10:30, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Esse é clássico. Foi o problema 6 da IMO de 1988 e é usualmente > considerado o problema mais difícil proposto numa IMO, pelo menos até > aquela data.

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Esse é clássico. Foi o problema 6 da IMO de 1988 e é usualmente considerado o problema mais difícil proposto numa IMO, pelo menos até aquela data. Um bom ponto de partida pode ser este: https://en.wikipedia.org/wiki/Vieta_jumping Ou então: https://mks.mff.cuni.cz/kalva/imo.html []s, Claudio.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Eu acho que o enunciado pede a soma dos elementos simplesmente porque é uma questão de múltipla escolha. Já vi isso antes. E perguntei a proveniência porque me parece muito difícil para ser uma questão de vestibular. Talvez do ITA ou da OBM (1a fase)... *** Sobre as soluções, acho interessante

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Boa noite! O que também achei legal nesse problema foi o fato do questionamento ser quanto a soma dos elementos do conjunto solução. Embora bem sutil, filosoficamente falando é forte. Pois, ela descarta a interpretação de n raízes iguais ao invés de uma raiz de multiplicidade n. Todas

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

De um livro q tenho. Não duvidaria q fosse d alguma olimpíada pq há muitas questões q são tiradas daí. O nome é Problemas Selecionados de Matemática, do Gandhi Em sáb, 2 de jun de 2018 às 17:29, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > De onde é este problema? > 1a fase de alguma

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

De onde é este problema? 1a fase de alguma olimpíada? Abs Enviado do meu iPhone Em 2 de jun de 2018, à(s) 16:15, Daniel Quevedo escreveu: > Muito obrigado a todos. De fato com a mudança de variável fica td mais > fácil. Não tinha visto isso. > Obrigado > > Em sáb, 2 de jun de 2018 Ã

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Muito obrigado a todos. De fato com a mudança de variável fica td mais fácil. Não tinha visto isso. Obrigado Em sáb, 2 de jun de 2018 às 16:02, Pedro José escreveu: > Boa tarde. > A limitação para X5 obviamente não inclui 5, foi lambança. > Saudações, > PJMS > > Em Sáb, 2 de jun de 2018 15:22,

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Boa tarde! A propósito, é necessária a verificação se X5 = X mod5. Para o exemplo foi simples pois eram potências 5 de X5. Mas em outras situações, poderia haver uma solução inteira em que X5<>X mod5 e não atenderia o problema. Saudações PJMS Em Sáb, 2 de jun de 2018 15:55, Pedro José escreveu:

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Boa tarde. A limitação para X5 obviamente não inclui 5, foi lambança. Saudações, PJMS Em Sáb, 2 de jun de 2018 15:22, Claudio Buffara escreveu: > Para |X| suficientemente grande, X^6 domina a soma dos outros termos. > > Mudando a notação, eu pus N = X e R = X5. > > Então: R^5*N^5 + R*N = N^6 +

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Boa tarde! Temos uma limitação para X5, só pode ser 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Para zero não adianta que dá x=0, não contribui para soma. Pode-se observar que não aceita raízes negativas, pois -X^6+X5^5*X^5 assume um valor negativo muito elevado para valores <>-1 É não poderá ser zerado pelas parcelas

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

2018-06-02 15:14 GMT-03:00 Claudio Buffara : > Mudando a notação, eu pus N = X e R = X5. > > Então: R^5*N^5 + R*N = N^6 + R^6. Essa mudança de notação é o pulo do gato! Daqui, um pouco de tentativa e erro faz a seguinte dedução: R^5 N^5 - R^6 = N^6 - RN R^5(N^5 - R) = N(N^5 - R) (N - R^5)(N^5 -

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Para |X| suficientemente grande, X^6 domina a soma dos outros termos. Mudando a notação, eu pus N = X e R = X5. Então: R^5*N^5 + R*N = N^6 + R^6. Caso 1: N >= 0: R <= 4, de modo que o lado esquerdo <= N*(1024*N^4 + 4). Já o lado direito >= N^6. N*(1024*N^4 + 4) < N^6 ==> 1024*N^4 + 4 < N^5 ==>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Bom dia! Dei uma "roubadinha" e achei outra solução, pois veio de trás para a frente. Veio da observação que nas respostas u=st. (s-1)(t-1)(u-1) | ust-1 1=2 e só atende quando k(s,t,u) é inteiro. Fixando-se duas váriaveis k é monótona decrescente para a outra; assim

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Bom dia! Sua pergunta foi outra. Viajei. Saudações, PJMS Em 29 de mar de 2018 11:10 PM, "Pedro José" escreveu: > Boa noite! > Não consegui provar que se mdc(a,b)=1 Fi(ab)=Fi(a).Fi(b), para completar a > demonstração. > Porém pesquisando, encontrei essa pérola: > A

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Boa noite! Não consegui provar que se mdc(a,b)=1 Fi(ab)=Fi(a).Fi(b), para completar a demonstração. Porém pesquisando, encontrei essa pérola: A probabilidade de que um número inteiro d, 0< d <=m seja primo com m é igual a FI(m)/m. Se d é primo com m d <>0 mod p para todo p que divide m. Então a

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Desculpe- me, não são divisores. São os únicos números que não são co-primos de p^k. Em 29 de mar de 2018 22:25, "Pedro José" escreveu: > Boa noite! > Israel, > você é detalhista. > É fácil ver que se n = p^k, só haverá p^(k-1) divisores de p^k. > Ou seja, d = m.p, onde

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Boa noite! Israel, você é detalhista. É fácil ver que se n = p^k, só haverá p^(k-1) divisores de p^k. Ou seja, d = m.p, onde 0

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Boa noite! Não tenho editor de símbolos. Portanto. Fi(n)= n . Produtório de ( p-1)/ p, onde p é primo e p divide n. Em 28 de mar de 2018 22:19, "Anderson Torres" escreveu: > Em 28 de março de 2018 21:24, Israel Meireles Chrisostomo >

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Em 28 de março de 2018 21:24, Israel Meireles Chrisostomo escreveu: > Existe alguma função na matemática que conta a quantidade de divisores > primos de um dado número n qualquer?Sabe-se que phi(n) -totiente- conta a > quantidade de números primos menores ou iguais

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Certamente existe. Basta definir f(n) = número de primos distintos que dividem n. Mas duvido que possa ser expressa por alguma fórmula simples. n-phi(n) não é a quantidade de divisores. Tome 10 por exemplo. Phi(10) = 4 ==> 10 - Phi(10) = 6, mas 10 tem apenas 4 divisores: 1, 2, 5 e 10. 2018-03-28

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Bom dia! Agora estou contente. Posso alardear que pelo menos matei um problema da IMO. (s-1)(t-1)(u-1) | ust-1 1=2 e só atende quando k(s,t,u) é inteiro. Fixando-se duas váriaveis k é monótona decrescente para a outra; assim kmax(s) = k(s,s+1,s+2)=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

De fato, trata-se do problema 1 da IMO 1992. Abs, Matheus Secco Em Seg, 26 de mar de 2018 09:24, Claudio Buffara escreveu: > Muito fácil pra ser de IMO... > > 2018-03-26 6:58 GMT-03:00 Anderson Torres : > >> Este não é o problema de

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Muito fácil pra ser de IMO... 2018-03-26 6:58 GMT-03:00 Anderson Torres : > Este não é o problema de alguma IMO não? Eu lembro de ter resolvido, > quase igual à solução oficial: substituir s,t,u por a+1,b+1,c+1 e > calcular os possiveis valores de > 1/a+1/b+1/c +

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Este não é o problema de alguma IMO não? Eu lembro de ter resolvido, quase igual à solução oficial: substituir s,t,u por a+1,b+1,c+1 e calcular os possiveis valores de 1/a+1/b+1/c + 1/ab+1/ac+1/bc usando desigualdades - para daí limitar os valores de a,b,c. Em 23 de março de 2018 17:01, Claudio

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Em 23 de março de 2018 10:35, Claudio Buffara escreveu: > Na verdade os meus questionamentos surgiram por causa do meu interesse em > ensino de matemática. > > Por exemplo, produtos notáveis e fatorações são notoriamente mal ensinados, > pelo menos nos livros didáticos

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Pois do jeito que você propôs, alguém poderia pensar que se trata de provar que (s-1)(t-1)(u-1) divide stu - 1 para todos os inteiros s, t, u com 1 < s < t < u, o que certamente não é verdade. 2018-03-23 16:55 GMT-03:00 Claudio Buffara : > Sim. Eu só quis ter certeza

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Sim. Eu só quis ter certeza de que o problema era: achar todos os inteiros s, t, u com 1 < s < t < u tais que (s-1)(t-1)(u-1) divide stu - 1 2018-03-23 16:45 GMT-03:00 Pedro José : > Boa tarde! > Seria bom desconsiderar o problema aqui, pois já tem um caminhão de notas. >

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Boa tarde! Seria bom desconsiderar o problema aqui, pois já tem um caminhão de notas. Criei uma mensagem nova, não sei porque foi parar aqui, não sei se pelo assunto ter o mesmo nome. Alguém postá-lo independente dessa leva. Cláudio, o que você propôs, não tem solução. Não creio que ajude. Não

[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Será que ajuda começar com um mais simples? Achar s, t tais que (s-1)(t-1) | st - 1, com 1 < s < t. 2018-03-23 15:38 GMT-03:00 Pedro José : > Boa tarde! > > Aproveitando que deu o que falar o problema postado pelo Douglas, tem um > que achei mais interessante. > >

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Você não havia explicado que* "fui fazer um experimento tirando o "1" da equação. Usei um par (x,y) com a mesma paridade e achei um z inteiro. Novamente usei outro par e deu outro z inteiro. Olhando para os experimentos. Vi que nos dois casos z = -(x+y)/2. Ai tornou-se uma conjectura."* Ou seja,

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Boa tarde! Cláudio, desculpe-me discordar, mas eu disse de onde veio. Só não veio de nenhuma técnica. Estava vendo que a parcela do problema: (x+y) (x+z) (y+z)/2 sempre seria inteira pois dois desses valores teriam paridade iguais. Aí fui fazer um experimento tirando o "1" da equação. Usei um

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Bom dia! Anderson, o Gugu já avançou, em uma nota acima. E é passível. Revendo a solução do Ralph, fica claro que essa transformação seria de valia. Pois essa transformação leva a : a = (y+z)/2 b= (x+z)/2 c= (x+y)/2 Então na ordem que o Ralph apresentou: 1/2*(2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z)=1 (b+c) dá

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Na verdade os meus questionamentos surgiram por causa do meu interesse em ensino de matemática. Por exemplo, produtos notáveis e fatorações são notoriamente mal ensinados, pelo menos nos livros didáticos de 8o e 9o ano que eu examinei. Nenhum menciona que: a) as generalizações de (x+y)^2 = x^2 +

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Em 21 de março de 2018 09:47, Claudio Buffara escreveu: > Como você passou de: > 4abc + (a+b+c)^3 + (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) = 1 > > Para: > 4(a+b+c)(ab+ac+bc) - 4abc = 1 It's kind of magic. Eu simplesmente abri tudo com vontade e notei certas repetições que sempre

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Boa noite! Nem havia reparado que a transformação do Gugu, foi feita em composição com a anterior que fora postada. Acabou sendo a mesma que postei. Escolhi porque fazia sumir os termos com expoente 3. Saudações, PJMS Em 22 de mar de 2018 22:59, "Pedro José" escreveu: >

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Oi Claudio, Eu não sei de onde veio a substituição mágica do Anderson Torres - só achei uma fatoração na expressão obtida a partir dela... Não sou especialmente fã desse tipo de problema. Abraços, Gugu Quoting Claudio Buffara : Tudo muito

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Boa noite! Vi duas proposições de substituições de variáveis, nas notas anteriores e ratifico os questionamentos do Cláudio. Aventurei uma substituição: a=x+y ; b=x+z; c = y + z. Aí, na munheca cancelam-se os termos com expoentes cúbicos. E separando os termos de (a+b)*(a+c), no que sobra, chega-

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números

Tudo muito bom, mas o que ninguém explicou é como foram obtidas as fatorações/transformações algébricas mágicas. Insight? Conhecimentos prévios? Tentativa e erro e muito braço? []s, Claudio. 2018-03-21 18:54 GMT-03:00 : > Sim, e fazendo a=u/2, b=v/2 e c=w/2 temos

  1   2   3   >